unidad i teoría elemental de errores

Apuntes de Cálculo Numérico (Unidad I)

Teoría Elemental de ErroresLicdo. Deybis Boyer

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Octubre-2014

¿CUAN IMPORTANTE PUEDEN SER LAS UNIDADES DE MEDIDAS?

Viernes 24 de septiembre de 1999. Noticia de la BBC de Londres: “Los potentes radiotelescopios de la Red de Comunicación y Rastreo de Sondas Interplanetarias de la NASA” están llevando a cabo un último registro en las inmediaciones de Marte, en un intento desesperado de recuperar la nave Mars Climate Orbiter. ¿El error cometido? “Un programa de ordenador” encargado de controlar una de las maniobras de corrección de la trayectoria, hizo que el satélite antes de llegar a Marte se saliera de orbita (perdiendo el control del satélite) esto debido a que los cálculos escrito estaban con unidades de medida del sistema inglés (milla, libra) y la NASA estaba tomando estos datos en el sistema métrico (metros, kg). La confusión de unidades de medida le costó a la NASA 125 millones de dólares.

Medida y Error.

Aquellas propiedades de la materia que son susceptibles de ser medidas se llaman magnitudes; son las propiedades que estudia la física mediante el método científico. Medir una magnitud física es compararla con un valor de la misma que, por convenio, tomamos como patrón o unidad. Como resultado obtenemos el número de veces que esta unidad está contenida en nuestra magnitud, así que siempre tenemos que referirnos a esa unidad empleada, de lo contrario la medida no tiene sentido.

Por ejemplo, Una masa puede ser 21.3 g. Pero no 21.3 .

Ahora bien, ¿Qué clase de números deberían ser los resultantes de la operación de medir?; evidentemente deberían de ser números reales, es decir, números con infinitos dígitos decimales. Por otro lado nos hacemos las siguientes preguntas, ¿Cuántos de esos dígitos nos dará a conocer del valor de la magnitud?, ¿Podríamos obtener tantas magnitudes cómo quisiéramos?, ¿Qué podemos entonces obtener en un proceso de medida? Todas estas

Cálculo Numérico y sus Aplicaciones Octubre-2014 Página 1

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interrogantes nos ayudan a comprender que sólo podemos determinar un intervalo en que es probable que esté el verdadero valor de la magnitud.

Por ejemplo, Si decimos que una masa es de 21.3 g, queremos decir realmente que es probable que esté entre 21.2g. y 21.4 g.

Este intervalo de valores no tiene por qué ser siempre igual, así lo expresaremos en general como:

(Valor del centro del intervalo ± la mitad de la longitud del intervalo) unidad

Cuanto más estrecho es el intervalo, mejor conocemos el verdadero valor de la magnitud que medimos. Siguiendo con el ejemplo de la masa escribiríamos (Los paréntesis son necesarios ya que la unidad multiplica a los dos números):

m = (21.3 ± 0.1) g.La forma de calcular ese intervalo de valores se denomina cálculo de errores.

Errores cometidos por la calculadora.

A las calculadoras les resulta imposible almacenar todos los números reales (dada su capacidad finita de memoria), es por esto que para manipular y operar números, utiliza un conjunto finito de números, al que se le llama Sistema Numérico de Punto Flotante. En cada calculo que se realice, generalmente, se introducen errores que afectan sustancialmente los resultados y por ende los procesos pertinentes. Los errores son de diferente índole y provienen de diversas fuentes y surgen por medio de distintos métodos. Veamos un ejemplo que convenientemente busca minimizar la incidencia negativa de ellos.

EJEMPLO 1:

Solución:


EJEMPLO 2:

Solución:

Considere la expresión:

1=13+13+ 13

Solución:

Si hacemos, 13=0.3333333333…

Al considerar solo 6 cifras tenemos

13+ 13+13=0.333333+0.333333+0.333333=0.999999

Entonces 1=0.999999 ¿Qué error tan grande?

Los cálculos hechos por las calculadoras nos llevan solo a aproximaciones y por tanto, en los resultados obtenidos solo se pueden tomar unos pocos, ya que existen representaciones de cantidades con un infinito

número de dígitos como 13=0.3333333333…, es evidente que se comete un

mínimo error al tomar un determinado número de dígitos significativos por lo que las operaciones que se realicen con ellos van a ser solo aproximaciones.

EJEMPLO 3:

Considere la expresión:


x2−19

x−13

Solución:

1) Al calcular el valor de la expresión para x = 0.3334, resulta

(0.3334 )2−19

0.3334−13

=0.66673333333329821 (Usando software matemático)

(0.666733331) (Usando la calculadora)

2) Al factorizar la expresión resulta

x2−19

x−13

=x+13 y al evaluar para x = 0.3334

(0.3334 )+ 13=0.66673333333333329 (Usando software matemático)


3) Redondeando las fracciones

19=0.1111 ,

13=0.3333 y sustituyendo en la expresión original resulta

(0.3334 )2−0.11110.3334−0.3333

=0.55559999999988408 (Usando software matemático)


4) Ahora redondeando (0.3334 )2=0.1112 y sustituyendo en el resultado

anterior

0.1112−0.11110.3334−0.3333

=1 ¿Qué error tan grande?


Las causas del error son varias. Existen aquellas debidas a la

conceptualización, los datos introducidos en el proceso; las debidas a una

operación o conjunto de operaciones que se realizan en el proceso y las

debidas a la interpretación.

EJEMPLO 4:

Use la calculadora para realizar la siguiente operación

253−(253−1 )

Solución:

253−(253−1 )=0 (Usando la calculadora)

Pero usando operaciones de agrupación de términos semejantes

253−(253−1 )=(253−253 )+1

¿0+1

¿1 (El cual era el resultado esperado)

EJEMPLO 5:

Use la calculadora para realizar la siguiente operación

1314

−67

2e-5.4

Solución:

1314

−67

2e-5.4=1.953540139… (Usando la calculadora)

Aproximando cada cifra


1314

=0.93 , 67=0.86 , 2e=5.44 , 5.4=5.40

Así,

1314

−67

2e-5.4=0.93−0.865.44−5.40

=0.070.04

=1.75¿Qué error tan grande?

EJEMPLO 6:

Solución:

Fuente y Clasificación de los errores.

La resolución de cualquier problema de ingeniería está conformada de dos grandes pasos o etapas: La formulación del modelo que responde al fenómeno físico real que se quiere estudiar y la resolución del modelo. Cada una de estas etapas es fuente de distintos errores. En la figura siguiente se muestran las distintas fuentes de errores por etapas en la modelación de un problema de ingeniería.


Error del Modelo.

Para resolver un problema en ingeniería es necesario primeramente plantear o formular el problema. En esta primera etapa es necesario definir o precisar las leyes físicas que intervienen en el fenómeno a estudiar y después formular dichas leyes en término de ecuaciones matemáticas. En la formulación del problema se hacen suposiciones y simplificaciones del fenómeno con lo cual se está introduciendo un error llamado error del modelo.

Error de los Datos de Entrada.

En la resolución de todo problema intervienen datos de entrada los cuales no están exentos de errores producto de las distintas formas de obtención de los mismos. A estos errores se les llaman errores de los datos de entrada.

Error del método o de aproximación.

En la resolución de un problema se pueden utilizar distintos métodos para obtener la solución. Estos métodos pueden ser métodos aproximados los cuales conducen a soluciones aproximadas de la solución real o exacta. En dependencia del método seleccionado la solución aproximada estará más cerca de la solución exacta del problema por lo que aquí se introduce un error


en la resolución del problema. A este error se le llama error del método o de aproximación.

Error de redondeo.

Para obtener la solución de un problema generalmente es necesario efectuar numerosos cálculos numéricos y para esto frecuentemente se necesitan algoritmos de cálculos que pueden conducir a programas de computación. Si estos cálculos fueran hechos con todas las cifras decimales se obtendrían los resultados exactos de dichos cálculos pero esto generalmente no sucede ya que los cálculos son redondeados. Esto puede provocar resultados erróneos debido a que se pueden amplificar los errores de redondeo. Este es el llamado problema de la estabilidad. El problema de la estabilidad es el único error que se puede evitar o reducir su efecto.

Clasificación de los errores.

1. Errores inherentes o inevitables 1.1. Error del modelo1.2. Error en los datos

2. Errores evitables 2.1. Error del método 2.2. Error de redondeo

El Cálculo de Errores.

La manera de calcular los errores depende del tipo de medida. Distinguiremos:

MEDIDAS DIRECTAS: Las que se obtienen comparando la magnitud con el patrón directamente o mediante un aparato calibrado. Así se suelen medir la longitud, la masa, el tiempo, el voltaje, etc.MEDIDAS INDIRECTAS: Las que se calculan mediante una fórmula a partir de magnitudes medidas directamente. Así suelen obtenerse la velocidad, la superficie, etc. El que una medida sea directa o indirecta no depende de la magnitud en sí, sino del experimento que empleamos para determinarla. Lo que en un experimento se mide de manera directa, en otro puede determinarse de manera indirecta.

Tipos de Errores en Medidas Directas.

Clasificaremos los errores según su comportamiento, independientemente de donde provenga, en errores sistemáticos y errores accidentales.


a) ERRORES SISTEMÁTICOS: Se deben a causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas. Generalmente se deben a falta de calibración de los aparatos o a un mal hábito del experimentador. Su característica es que se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numéricamente

Por ejemplo, Una lectura de +105V . , realizada con un voltímetro que marca –5V . Cuando sus extremos están cortocircuitados (y debería por tanto marcar 0), indica que la tensión es de110V .

b) ERRORES ACCIDENTALES: Si medimos dos veces consecutiva la misma cantidad y en las mismas condiciones, es probable que no coincidan todos los dígitos de la medida.

Esto se debe a causas que actúan de forma imprevisible, aleatoria, unas veces aumentando, otras disminuyendo la medida, y en cantidades diferentes en cada intento de medir. Pueden deberse a pequeñas variaciones en la magnitud a medir, a la limitada fidelidad de los aparatos y a un experimentador poco hábil. Su característica principal es que no podemos hacer más que acotarlos en valor absoluto utilizando la teoría estadística de errores.

Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.

Muchos de los cálculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con valores aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la precisión en las mediciones y en los cálculos es casi imposible.

Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a derecha, partiendo del primer digito no cero y terminando en el último digito presente.Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal.


Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

Por ejemplo,

1.- Longitud¿26mm=0.026m=0.000026 km (dos cifras significativas)2.- Estatura¿1.72m=17.2decímetros.=172cm(tres cifras significativas)3.- 40072 (cinco cifras significativas)4.- 3.001 (cuatro cifras significativas)5.- 0,000203(tres cifras significativas)

Redondeo de un número.

Con el redondeo de un numero lo que se pretende es escribir un numero con menor cantidad de dígitos significativos, representando dicha cantidad con el menor error posible. Para redondear un número se fija a que cifra significativa se va a redondear dicho número. Si el número a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual a 5, se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5, se deja el número donde se quiere redondear sin agregarle nada.

EJEMPLO 7:

Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos:

27.067037.237.415

Solución:27.0670=27.1

37.23=37.27.415=7.42

EJEMPLO 8:

Redondea las siguientes cantidades a números enteros:

23.617237.217.5


Solución:23.617=24237.21=2377.5=8

EJEMPLO 9:

Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales:

57.23670.78992.3341

Solución:57.2367=57.240.789=0.7992.3341=92.33

Truncamiento de un número.

El truncado de un número consiste en el corte simple del resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando.

Por ejemplo, sí se trunca 37=0.4285714287… � a cuatro cifras significativas se

tiene 0.4285.

¿Cómo calcular los Errores?

Consideremos Xel valor exacto de una variable o magnitud y Xa un valor aproximado de X entonces se definen:

Error: X – Xa

Error absoluto: ¿ X – Xa∨¿

Error Relativo: ¿ X – Xa∨ ¿¿X∨¿¿

¿

Error Porcentual: ¿ X – Xa∨ ¿¿X∨¿∗100% ¿

¿

Observación:Definimos la tolerancia como ∆ x y siempre se cumple que

¿ X – Xa∨≤∆ x

¿ X – Xa∨ ¿¿X∨¿≤∆ x ¿

¿

EJEMPLO 10:


Calcular el error relativo y el error absoluto que se comete cuando .31415 x107 se

escribe como 3.1415 x107

Solución: Recordemos que .31415 x107 = 0 .31415 x107

Error Absoluto:

|3.1415 x107−0.31415 x107|=(3.1415−0.31415 ) x107

¿2.82735 x107

¿28273500

Error Relativo:

|3.1415 x107−0.31415 x107||0.31415 x107|

= 282735000.31415 x 107

=9

900% (si hablamos de error porcentual)

EJEMPLO 11:

Calcular El máximo intervalo donde debe esta Xa para que aproxime a ∛7 con

un error relativo a lo sumo de 0.00001 con un truncamiento de 5 cifras.

Solución:

Recordemos que 3√7=1.912931182…

Ahora bien,

Si |X−XaX |≤tolerancia entonces para X=1.91293 y tolerancia=0.00001 se tiene

|1.91293−Xa1.91293 |≤0.00001

→|1.91293−Xa|≤0.00001*1.91293


→|1.91293−Xa|≤0.0000191293

→1.9129108707≤ Xa≤1.9129491293

EJEMPLO 12:

Al medir las dimensiones de un tanque cisterna que tiene la forma de un paralelepípedo se obtuvo la siguiente información: Largo L = 3 m con un error de 4 cm, Ancho A = 4 m con un error de 3 cm Altura H = 2 m con un error de 2 cm. a) Determine el error relativo en la medición de cada dimensión. b) Determine el valor aproximado del error cometido en la medición del

volumen de la cisterna. Compare con el valor exacto del error. c) Determine el número de cifras significativas exactas que tiene el valor aproximado del volumen. d) Determine el valor aproximado del error cometido en la medición del área

lateral de la cisterna. Compare con el valor exacto del error. e) Determine el número de cifras significativas exactas que tiene el valor

aproximado del área lateral.

Solución:

Volumen=Ancho x Largo x Altura


2m

3m

4m

Valores aproximados Valores reales

Ancho: 4 m Ancho: (4±0.03) m

Largo: 3 m Largo: (3±0.04) m

Altura: 2 m Altura: (2±0.02) m

Parte a) Calculemos los errores relativos para cada medida

Ancho: |4−4.03|

|4|=0.0075

Largo: |3−3.04|

|3|=0.0133

Altura: |2−2.02|

|2|=0.01

Parte b) Calculemos el volumen

Volumen aproximado = (4.03) x (3.04) x (2.02) = 24.747424

Volumen real = 4 x 3 x 2 = 24

Error absoluto del volumen calculado

|24−24.747424|=0.747424

Parte c)

Volumen aproximado = 24.747424

Numero de cifras significativas: 8

Parte d)

Área lateral = (2 x Ancho + 2 x Largo) x Altura

Área lateral (Aproximada) = (2 x 4.03 + 2 x 3.04) x 2.02 = 28.5628

Área lateral (Real) = (2 x 4 + 2 x 3) x 2 = 28

Error absoluto del Área lateral calculada

|28−28.5628|=0.5628

Parte e)

Área lateral (Aproximada) = 28.5628


Numero de cifras significativas: 6

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA V

MODALIDAD: PRESENCIAL

CODIGO: 220501

CREDITOS: 4

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UNEFMOctubre-2014

OBJETIVO GENERAL.

Ofrecer al estudiante una introducción práctica a las técnicas actuales de aproximación numérica dando a conocer cómo, cuándo y por qué se espera que estas técnicas funcionen adecuadamente, y así poder hallar soluciones a los problemas de ingeniería traducidos en modelos matemáticos, cuya solución analítica resulta compleja o no existe, mediante métodos numéricos. Además se estudiaran la interpretación de los errores cometidos en cada estimación particular proporcionando una base firme para la resolución de problemas matemáticos desde un enfoque numérico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS.

Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de:

1. Comprender la importancia del cálculo numérico en la solución de problemas matemáticos aplicados a la ingeniería civil en los que no es posible o es muy difícil hallar soluciones en forma analítica y/o exacta.

2. Comprenda y maneje los conceptos y problemas básicos del cálculo numérico.

3. Comparar los resultados obtenidos a través de cálculo numérico con resultados exactos cuando sea posible.

4. Comprender y aplicar los métodos utilizados para la obtención de soluciones aproximadas.

5. Reconocer la utilidad de la obtención de resultados aproximados. 6. Aplicar los conceptos y algoritmos de cálculo numérico a la resolución de

problemas matemáticos aplicados a la ingeniería civil.7. Comprender la aplicación del cálculo numérico con problemas de otras

ramas de las matemáticas y otras disciplinas.


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8. Explorar aplicaciones del cálculo numérico al aula.

CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA.

La asignatura de Calculo numérico, es una asignatura que proporciona las herramientas necesarias para resolver problemas matemáticos y de ingeniería que resulta tediosos o cuya solución por métodos analíticos rigurosos resultan muy complicadas o que son imposibles. De esta manera posibilita al ingeniero civil para adquirir competencia como diseñar, seleccionar, adaptar y escalar equipos y procesos en los que se aprovechen de manera sustentable.Su importancia radica en que a través de los métodos numérico por media de simuladores comerciales o programados por el propio usuario, el ingeniero civil puede realizar el modelamiento, simulación y control y optimización de equipos y procesos reales y no conformarse con ejercicios simplificados de libro de texto.Esta asignatura tiene relación con las asignaturas como son las matemática I a la IV y posteriores con todas las asignaturas del ares de ingeniería, donde frecuentemente aparece problemas cuya solución requiere el uso de la computadora.

INTENCION DIDACTICA.

El temario de esta materia está organizado en cinco unidades. En las unidades I y II se aborda el tema de la programación. Se espera que ésta sea el pilar que permita la programación posterior de los diferentes métodos numéricos que se abordarán en las unidades subsecuentes. En la Unidad I se revisa el tema de la teoría elemental de errores. En las otras dos unidades se revisan otros métodos numéricos básicos.La idea es abordar los fundamentos de cada uno de los métodos numéricos, que permita al estudiante conocer el potencial y las limitaciones de cada método, y aprovechando la herramienta de la programación, el estudiante puede generar una biblioteca con los diferentes métodos, que le sean de utilidad en sus cursos posteriores.La intención de unir estos dos temas, la programación y los métodos numéricos, en un solo curso es prevenir el hecho que los métodos numéricos se vean aislados e independientes de la herramienta de la programación, que es realimente lo que potencia su utilidad.

CRITERIOS DE EVALUACION DE RESULTADOS:

Objetivo 1:


• El estudiante debe demostrar el conocimiento de los algoritmos y herramientas básicas del cálculo numérico y gráfico. [Exámenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prácticos con ordenador].

Objetivo 2: • El estudiante debe demostrar suficiencia en la selección y aplicación de

las herramientas de cálculo aplicada a la resolución de problemas de ingeniería civil. [Exámenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prácticos con ordenador].

Objetivo 3: • El estudiante debe demostrar su capacidad para utilizar de forma

autónoma el ordenador y las aplicaciones ofimáticas básicas para la realización de cálculos y la elaboración de informes. [Exámenes, Informes/trabajos en grupo, Trabajos prácticos con ordenador].

METODOLOGIA.

El fundamento teórico y la estructura algorítmica pertinente se exponen en forma de clases magistrales, apoyadas en ejemplos reales que se resuelven en clase de forma participativa para el desarrollo de conocimiento relativo a conceptos sobre teoría elemental de errores, solución de ecuaciones de una variable, interpolación polinomial, integración y derivación numérica, así como la solución de ecuaciones diferenciales con condición inicial utilizando métodos numéricos. Para cada uno de los capítulos el estudiante dispone de una colección de ejercicios propuestos para su resolución individual o bien en grupo. Tras la exposición de la teoría, se realizan talleres de resolución y discusión de los problemas propuestos.

Para cada uno de los algoritmos expuestos, los estudiantes elaboran, tanto en clase como fuera de horario lectivo, plantillas de cálculo sobre Scilab que deben validar frente a ejercicios resueltos, de forma que al final del curso cada estudiante puede disponer de un conjunto de herramientas de cálculo contrastadas aptas para su utilización posterior.

CONTENIDO

INTRODUCCION

TEMA 1. TEORIA ELEMENTAL DEL ERROR.

TEMA 2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE.


TEMA 3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Y APROXIMACION.

TEMA 4. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL.

TEMA 5. AJUSTE DE CURVAS.

TEMA 6. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS.

BIBLIOGRAFÍA.

CHAPRA Steven y CANALE Raymond. Métodos Numéricos para Ingenieros, McGraw Hill. 2006. Texto guía.

BURDEN, Richard y FAIRES Douglas. Métodos Numéricos. Thomson. 2004.

KINCAID David y CHENEY Ward. Análisis Numérico: las matemáticas del cálculo científico. Addison-Wesley

Iberoamericana. 1994.


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