unidad i. conceptos básicos y estadística descriptiva prof. manuel cumba e

Unidad I. Conceptos Básicos y Estadística Descriptiva

Prof. Manuel Cumba E.

Concepto de Estadística

Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de observaciones numéricas.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Concepto de Estadística

Sus fines son describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones o realizar generalizaciones acerca de las características de todas las observaciones bajo consideración.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Áreas que conforman a la Estadística

Estadística Descriptiva (Deductiva): es la encargada de la organización, condensación, presentación de los datos en tablas y gráficos y del cálculo de medidas numéricas que permitan estudiar los aspectos más importantes de los datos.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

DESCRIBIRDESCRIBIR

Áreas que conforman a la Estadística

Estadística Inferencial o Inferencia Estadística: está definida por un conjunto de técnicas, mediante las cuales se hacen generalizaciones o se toman decisiones en base a información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

INFERIRINFERIR

Áreas de Aplicación de la Estadística

El uso de la Estadística es muy amplio. Resulta difícil nombrar un área en la cual no se emplee.

Los métodos estadísticos han encontrado aplicación en: Gobierno Negocios Ciencias Sociales Ingeniería Ciencias Física y Naturales Control de Calidad Procesos de Manufactura Muchos otros campos de la actividad intelectual.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Áreas de Aplicación de la Estadística

Esto se debe a la creciente facilidad con la cual se pueden manejar grandes cantidades de datos numéricos, debido al uso de …

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Conceptos de Población y Muestra

Población: es la colección de todas las posibles mediciones u observaciones que pueden hacerse de una variable bajo estudio.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n


Se clasifica en dos categorías: Finita: es aquella que incluye una

cantidad limitada contable de observaciones, individuos o medidas. Siempre que sea posible alcanzar (contar) el número total de todas las posibles mediciones, se considera como finita la población.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n


Infinita: es aquella que incluye un gran conjunto de observaciones o mediciones que no pueden alcanzarse por conteo. Al menos, hipotéticamente, no existe límite en cuanto al número de observaciones que el experimento puede generar.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n


Muestra: es un conjunto de mediciones u

observaciones tomadas a partir de una población.

es un subconjunto de la población. Tem

a 1

. Intro

ducció

n


Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o individuo de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado. T

em

a 1

. Intro

ducció

n

Tipos de datos y escalas de medida

Variables: son las características o lo que se

estudia de cada individuo de la muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, ...

Datos: son los valores que toma la variable en

cada caso.

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Tipos de datos

Cualitativos: son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos. Ej: Sexo: f/m. Hábito de fumar: Fumador/No fumador Color de ojos: negro, azul, marrón, … Religión: católica, evangélica, … Estado civil: soltero, casado, divorciado,…

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

Tipos de datos

Cuantitativos: provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos: Peso Edad Estatura Presión Humedad Intensidad de un sismo Cantidad de hermanos

Tem

a 1

. Intro

ducció

n

TEMA 2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Organización de los datos

Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Formas de organizar los datos: Un arreglo: es la forma más sencilla de

organizar los datos en bruto, consiste en colocar las observaciones en orden según su magnitud: ascendente o descendente.

Poco práctica cuando se tiene una gran cantidad de datos.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Una distribución de frecuencias: es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa.

Clase Pto.Medio

fi Fi fri FRi

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


La Distribución de Frecuencias: Se recomienda su uso cuando se tienen

grandes cantidades de datos (n). Su construcción requiere, en primer

lugar, la selección de los límites de los intervalos de clase.

Para definir la cantidad de intervalos de clase (k), se puede usar:

La regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n) k = n

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


La cantidad de clases no puede ser tan pequeño (menos de 5) o tan grande (más de 20), que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de visualizar.

La amplitud de todas las clases deberá ser la misma. Se recomienda que sea impar y que los puntos medios tengan la misma cantidad de cifras significativas que los datos en bruto.

Los límites de las clases deben tener una cifra significativa más que los datos en bruto.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Determinar: Punto medio = (Li+Ls)/2. Frecuencia absoluta de la clase (fi).

Frecuencia acumulada de la clase (Fi).

Frecuencia relativa de la clase (fri): fri = fi/n

Frecuencia relativa acumulada de la clase (FRi).

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

A continuación se presentan las calificaciones de 60 estudiantes que presentaron la PINA en el año 2009:

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Ejemplos de Distribución de Frecuencias

23 60 79 32 57 74 52 70 82 3680 77 81 95 41 65 92 85 55 7652 10 64 75 78 25 80 98 81 6741 71 83 54 64 72 88 62 74 4360 78 89 76 84 48 84 90 15 7934 67 17 82 69 74 63 80 85 61

a) Construya una distribución de frecuencias.b) Qué puede concluir de estos datos.

Ejemplos de Distribución de Frecuencias

Representación gráfica de los datos

Los gráficos permiten visualizar en forma global y rápida el comportamiento de los datos.

Para datos cuantitativos agrupados en clases, comúnmente se utilizan tres gráficos: Histogramas. Polígono de frecuencias. Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Histograma


Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Histograma y Polígono de Frecuencias

Ojiva


Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Para datos cualitativos se usan: Curvas Barras Sectores

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Barras


Barras


Curvas


Sectores, torta o circular

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Ejemplos de construcción de gráficos T

em

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de tendencia central o posición

Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos.

Forma como los datos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los datos muestrales se distribuyen.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de tendencia central o posición

Las medidas de tendencia central más importantes son: Media: Aritmética y Aritmética

ponderada. Mediana. Moda.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Media Aritmética

Es la suma de todas las observaciones dividida entre el número total de observaciones.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. (wikipedia)

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable. (wikipedia)

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cálculo de la media aritmética

Para datos no agrupados:

n

xX

n

ii

1

Para datos agrupados:

n

fmX

k

iii

1

Donde: mi: punto medio de la clase i fi: frecuencia absoluta de la clase i

k: cantidad de clases

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Mediana

Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente.

Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cálculo de la mediana

Para datos no agrupados: Si n es impar: posición donde se ubica

la mediana es igual a (n+1)/2. Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo

tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cálculo de la mediana

Datos agrupados: clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición n/2.

Cmxf

xFn

LmMdm

m

)(

)(21

1

Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana. F(xm-1): frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana. f(xm): frecuencia absoluta de la clase mediana. Cm: amplitud de la clase mediana.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Moda

Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.

Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal.

Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cálculo de la moda

Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite.

Para datos agrupados:

CmLimMo21

1

Donde: Lim: límite inferior de la clase modal. 1: diferencia entre fi de la clase modal y la anterior. 2: diferencia entre fi de la clase modal y la posterior. Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Relación entre la media, la mediana y la moda

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md

Cuantiles

Los cuantiles son medidas de posición “no central” que se utilizan con mayor frecuencia y se emplean sobre todo para resumir o describir las propiedades de conjuntos grandes de datos numéricos.

Cuartiles Deciles Percentiles

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cuartiles

De la misma manera que la mediana divide un conjunto de datos en dos grupos iguales, los cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.

Cada grupo está formado por 25% de los datos de la muestra y se denotan por Q1, Q2 y Q3 respectivamente

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cuartiles

La obtención de los cuartiles depende del número de datos de la muestra; se utilizan los mismo conceptos del cálculo de la mediana. Las fórmulas para cada los cuartiles 1 y al vienen a ser:

)4)1(3

(

)4)1(2

(

)41

(

3

2

1

niónValorPosicQ

niónValorPosicQ

niónValorPosicQ

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse, desde que se levanta hasta que sale de casa. A lo largo de 10 días hábiles consecutivos, Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos) que se muestras a continuación

39 29 43 52 39

44 40 31 44 35

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Cuartil 1

Tamaño de la muestra N=10

2-200835

)3(

)75.2(

)4110

(

)41

(

1

1

1

1

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

33

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


5.3924039

)5.5(

)4)110(2

(

)41

(

2

2

2

2

1

Q

Q

VPQ

VPQ

nVPQ

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52

Cuartil 2

5.55.5

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

44

)8(

)25.8(

)4)110(3

(

)41

(

3

3

3

3

1

Q

VPQ

VPQ

VPQ

nVPQ

Cuartil 3

88

29

31

35

39

39

40

43

44

44

52


Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

2-200851

Deciles

Los deciles dividen una muestra en 10 grupos iguales y cada decil acumula el 10% de los

datos.

Se trabajan igual que los cuartiles

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

2-200852

Percentiles

Los percentiles dividen una muestra en 100 grupos iguales y cada percentil acumula el 1%

de los datos.

Se trabajan igual que los cuartiles y deciles

1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión, variación o variabilidad.

Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Rango. Varianza. Desviación Típica. Coeficiente de variación.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión: Rango

Rango (amplitud o recorrido): Está determinado por los dos

valores extremos de los datos muestrales, es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación.

Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión: Rango

Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores.

No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la distribución.

Notación: R

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión: Varianza

Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos x1,x2,…,xn con respecto a la media.

Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media.

Notación: s2, 2, var(X)

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva


Si la varianza de un conjunto de observaciones es grande se dice que los datos tiene una mayor variabilidad que un conjunto de datos que tenga un varianza menor.

21

2

2

1

2

2

xn

xs

n

xxs

n

ii

n

ii

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Para datos NOagrupados:

Para datos agrupados en una distribución de frecuencias:


21

2

2

1

2

2

xn

fms

n

fxms

k

iii

k

iii

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión: Desviación Típica

Es la raíz cuadrada de la varianza. Notación: s, .

2ss

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de dispersión: Coeficiente de Variación

Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables estadísticas diferentes.

No tiene dimensiones. Notación: CV

%100x

sCV

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de Forma: Asimetría

Permiten estudiar la forma de la curva, dependiendo de cómo se agrupan los datos. T

em

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de Forma: Kurtosis

Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución).

Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Medidas de Forma: Kurtosis

Mesocúrtica: grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable.

Leptocúrtica: grado de concentración elevado.

Platicúrtica: grado de concentración reducido.

Tem

a 2

. Esta

dística

Descrip

tiva

Una distribución o densidad de probabilidad de una variable aleatoria x es la función de distribución de la probabilidad de dicha variable Área de curva entre 2 puntos representa la

probabilidad de que ocurra un suceso entre esos dos puntos.

Distribuciones probabilidad pueden ser discretas o continuas, de acuerdo al tipo de.

Hay infinidad distribuciones probabilidad, pero hay ciertas distribuciones “modelo”: Normal

Distribuciones de Probabilidad

La Distribución Binomial

Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.En el deporte un equipo puede ganar o perder.Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.Vivo / muerto; enfermo / sano; verdadero / falsoPrueba múltiple 4 alternativas: correcta o incorrecta.Algo puede considerarse como Éxito o Fracaso

Propiedades de un experimento de Binomial

1. En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: Éxitos o Fracasos.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3. La probabilidad de un suceso (p) es constante y no varía de una prueba a otra.

4. La probabilidad del complemento (1- p) es q .

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener los datos para armar una distribución Binomial.

La función P(x=k)Función de la distribución Binomial:

k = número de aciertos. n = número de experimentos. p = probabilidad de éxito, como por

ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda.

1-p = “q”

Ejemplo 1

¿Probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

El número de aciertos k es 6. Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p = 0.50

P (k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras

al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

Distribución hipergeométrica

En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un total a.

Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.

Ejemplo

1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores,

b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos menores.

128741053130

6840

53130

231140513

525

1213320 .))()((

C

C*C*C)n,y,x(p

27357053130

14535

53130

134845

514525

0213420

.))()((

C

C*C*C)n;y,x(p

REGRESION LINEAL SIMPLE

Una de las aplicaciones mas importantes de la estadística implica la estimación del valor medio de una variable de respuesta y o la predicción de algún valor futuro de y con base el conocimiento de un conjunto de variables independientes relacionadas, x1, x2, . . . xk.

Los modelos que se emplean para relacionar una variable dependiente y con las variables independientes x1, x2, . . . xk se denominan modelos de regresión o modelos estadísticos lineales porque expresan el valor medio de y para valores dados de x1, x2, . . . xk como una función lineal de un conjunto de parámetros desconocidos.

Los conceptos de análisis de regresión se presentan empleando un modelo de regresión muy sencillo, uno que relaciona y con una sola variable x. Aprenderemos a ajustar este modelo a un conjunto de datos mediante el método de los mínimos cuadrados

Un tipo de modelo probabilístico, el modelo de regresión lineal simple, supone que el valor medio de y para un valor dado de x se grafica como una línea recta y que los puntos se desvían de esta línea de medias en una cantidad aleatoria (positiva o negativa) igual a

Modelo de regresión lineal simple (probabilístico)

Si queremos ajustar un modelo de regresión lineal simple a un conjunto de datos, debemos encontrar estimadores para los parámetros desconocidos, 0 y 1.

Ejercicio:

Con esta información encontrar la ecuación de la línea recta E(y)=?

Embarque 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia (km)

x

825

215

1070

550

480

920

1350

325

670

1215

Tiempo (dias) y

3.5 1.0 4.0 2.01.0 3.0 4.5 1.53.0 5.0

X Y XY X2 Y2

1 825 3.5 2287.5 680625 12.25

2 215 1.0 215.0 46225 1.00

3 1070 4.0 4280.0 1144900 16.00

4 550 2.0 1100.0 302500 4.00

5 480 1.0 480.0 230400 1.00

6 920 3.0 2760.0 846400 9.00

7 1350 4.5 6075.0 1822500 20.25

8 325 1.5 487.5 105625 2.25

9 670 3.0 2010.0 448900 9.00

10 1215 5.0 6075.0 1476225 25.00

7620 28.5 26370 7104300 99.75

2221 )762(107104300

)85.2)(762(1026370ˆ

xnX

yxnXY

SS

SS

xx

xy

xxy 0036.011.0ˆˆˆ 10

2221 )762(107104300)85.2)(762(1026370ˆ

xnX

yxnXY

SS

SS

xx

xy

0036.01̂

xy 10ˆˆ

11.0)762(0036.085.2

unidad i. conceptos básicos y estadística descriptiva prof. manuel cumba e

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