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Unidad didáctica para la enseñanza

de la inferencia estadística en

contextos biológicos

Dalila Magdalena Fajardo Tiriath

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Maestría Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2014

Unidad didáctica para la enseñanza

de la inferencia estadística en

contextos biológicos

DALILA MAGDALENA FAJARDO TIRIATH Licenciada en Física

Tesis presentada a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia

como requisito parcial para optar al título de

MAGISTER EN ENSEÑANZA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Director:

PEDRO NEL PACHECO DURÁN

Estadístico, M.Sc. UN

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Ciudad, Colombia

2014

Dedicado a:

Mi esposo, quien me brindó su apoyo constante, a

mis amadas hijas Valeria, Camila y Sofia por su

amor y paciencia en momentos en que tuve que

distanciarme y a mis padres por su apoyo

incondicional.

Agradecimientos

A mis profesores de la maestría quienes aportaron desde su experiencia elementos

importantes tanto en lo disciplinar como en lo pedagógico que hoy en día nutren mi

quehacer docente.

Al profesor Pedro Nel Pacheco quien orientó el desarrollo de este trabajo por su

paciencia, sus conocimientos y valiosa colaboración.

A mis amigas Yeimy Rocha y Carolina Bayona por el apoyo incondicional y sus valiosos

aportes al desarrollo de este trabajo.

Resumen y Abstract IX

Resumen

La estadística se ha consolidado como una asignatura de carácter indispensable dentro

de los contenidos curriculares de los diferentes programas de pregrado y posgrado. Los

avances teóricos de la estadística han consolidado otra perspectiva de estudio

denominada inferencia estadística. Se requieren diversas estrategias pedagógicas que

faciliten el aprendizaje de la inferencia estadística y su aplicación dentro de las diversas

áreas del saber. Investigaciones realizadas por Batanero (2011) han identificado

dificultades durante el proceso de enseñanza de la inferencia estadística. Por lo anterior,

en este trabajo se presentan los aspectos fundamentales que guían la creación de una

unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos.

Palabras claves: inferencia estadística, aprendizaje significativo, estudio de caso

Abstract

Statistics has been consolidated as an essential subject within the curriculum content of

the different under-graduate and post-graduate programs. Theoretical advances of

statistics has brought about another perspective in the area of study named inferential

Statistics. Diverse pedagogical strategies which facilitate the learning of inferential

Statistics and its application in the different areas of knowledge are required. Research

conducted by Batanero (2011) has identified difficulties during the statistical inference

learning process; therefore, the fundamental aspects which guide the creation of a

didactic unit for the teaching of statistical inference in biological contexts are presented.

Key words: inferential Statistics, meaningful learning, case study

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ......................................................................................................................... IX

Lista de figuras ............................................................................................................. XIII

Lista de tablas ............................................................................................................. XIV

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Planteamiento y Justificación del problema .......................................................... 3

2. Marco histórico y disciplinar ................................................................................... 7

2.1 Marco histórico ................................................................................................ 7

2.2 Marco disciplinar .............................................................................................. 9

2.2.1 Muestras aleatorias ............................................................................... 9

2.2.2 Técnicas de muestreo aleatorio .......................................................... 10

2.3 Tamaño de la muestra ................................................................................... 11

2.4 Distribuciones en el muestreo ........................................................................ 11

2.4.1 Distribución normal ............................................................................. 12

2.4.2 Distribución muestral de medias ......................................................... 13

2.4.3 Distribución muestral de proporciones ................................................ 15

2.4.4 Distribución de la varianza muestral .................................................... 16

3. Marco Pedagógico ................................................................................................. 17

3.1 Dificultades para la comprensión de la inferencia estadística ........................ 18

3.2 Pasos en la construcción del razonamiento Inferencial .................................. 22

3.2.1 Comprensión del concepto de muestreo ............................................. 22

3.2.2 Introducción intuitiva de ideas de inferencia ........................................ 23

3.2.3 La distribución muestral y el teorema central del límite ....................... 23

3.3 Estudio de caso ............................................................................................. 24

XII Unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos

3.3.1 Características .....................................................................................25

3.3.2 Modelos de estudio de caso ................................................................26

3.3.3 Aplicación de la metodología del estudio de casos ..............................27

3.3.4 Aprendizajes que fomenta ...................................................................27

3.4 Trabajo con datos reales ................................................................................28

3.5 La enseñanza de la Inferencia estadística y el uso de las Tecnologías de la

Información y la comunicación ..................................................................................28

4. Propuesta didáctica ................................................................................................31

4.1 Estructura de la unidad ...................................................................................31

4.2 Unidad Didáctica ............................................................................................32

4.2.1 Fase Preliminar ....................................................................................32

4.2.2 Fase Eclosiva ......................................................................................34

4.2.3 Fase de conceptualización ..................................................................41

5. Conclusiones ..........................................................................................................47

Bibliografía .....................................................................................................................49

Contenido XIII

Lista de figuras

Pág. Figura 2-1: Proceso de muestreo e inferencia ........................................................... 9

Figura 2-2: Selección de muestras infinitas y cálculo de sus características ............ 12

Figura 2-3: Gráfica de la función de densidad normal para valores diferentes de 𝜇 y 𝜎 13

Figura 2-4: Distribución muestral de medias ............................................................ 14

Figura 2-5: Distribución muestral de proporciones ................................................... 15

Figura 3-1: Directrices del estudio de caso .............................................................. 24

Figura 3-2: Aprendizajes que se desarrollan a través de la metodología de estudio de

casos………………………. ............................................................................................ 27

Figura 4-1: Identificación de variables ...................................................................... 35

Figura 4-2: Cálculo de los parámetros poblacionales ............................................... 35

Figura 4-3: Muestras posibles .................................................................................. 36

Figura 4-4: Valores de las variables para las muestras ............................................ 37

Figura 4-5: Promedio y probabilidad para cada muestra .......................................... 37

Figura 4-6: Valor esperado y varianza de los promedios de la muestras ................. 38

Figura 4-7: Valores de las variables para las muestras y sus promedios ................. 39

Figura 4-8: Valore esperado de la proporción de las muestras ................................ 39

Figura 4-9: Varianza de los promedios de las muestras........................................... 40

Figura 4-10: Distribución de probabilidades de la proporción ..................................... 40

Figura 4-11: Identificación de muestras ..................................................................... 42

Figura 4-12: Generación del primer número aleatorio para la muestra 1 ................... 42

Figura 4-13: Generación de números aleatorios para todas las muestras ................. 42

Figura 4-14: Generación de medias muestrales ........................................................ 43

Figura 4-15: Generación de distribución de frecuencias (a) ....................................... 44

Figura 4-16: Generación de distribución de frecuencias (b) ....................................... 44

Figura 4-17: Generación de distribución de frecuencias (c) ....................................... 45

Figura 4-18: Comparación de medias y desviación estándar ..................................... 45

XIV Unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos

Lista de tablas

Pág. Tabla 3-1: Construcción de los procesos de razonamiento inferencial ........................ 22

Tabla 3-2: Modelos de estudio de caso ...................................................................... 26

Tabla 3-3: Fases en la implementación de estudio de casos ...................................... 27

Tabla 4-1: Estructura de la unidad didáctica ............................................................... 32

Tabla 4-2: Media y desviación estándar del perfil lipídico por intervalos de edad ....... 33

Tabla 4-3: Porcentaje de individuos de la población total con alteraciones de perfil

lipídico ……………………………………………………………………………………34

Introducción

La estadística como ciencia, atraviesa un periodo de notable expansión que ha permitido el aumento significativo de los procedimientos disponibles así como su autonomía respecto de la matemática pura, para consolidarse como una "ciencia de los datos". El desarrollo de la estadística ha generado un campo del conocimiento denominado Inferencia Estadística gracias al cual es posible caracterizar una población y extraer conclusiones acerca del comportamiento de esa población utilizando una muestra en cuya selección ha intervenido el azar. La inferencia estadística proporciona métodos para estimar parámetros como promedio, proporción, varianza, desviación estándar entre otros. Dichos parámetros pueden inferirse a partir de una muestra aleatoria. Es importante considerar que mediante la muestra se busca “modelar” la realidad con el fin de explicarla y correlacionar los datos estadísticos con el fin de comprender la población que pretende representar e identificar y proyectar las consecuencias de una decisión equivocada (Batanero 2001). Cuando se “trasladan” los estimadores estadísticos obtenidos de la muestra a la población existe el riesgo de encontrar diferencias significativas entre las estadísticas de la muestra y los parámetros de la población, por lo anterior, la matemática ofrece procedimientos que permiten hacer una aproximación y cuantificar el error. Dentro de los procedimientos se destaca la prueba de hipótesis o la aproximación para lograr la confiabilidad de la muestra. Los mecanismos teóricos para proyectar las aproximaciones así como los niveles de riesgo tienen toda su construcción matemática en lo que se llama distribuciones en el muestreo y durante la enseñanza de estos aspectos lo que se hace es proporcionar a los estudiantes las expresiones teóricas de los estimadores de estos parámetros aunque para los alumnos estas expresiones carecen de sentido, lo que impide el desarrollo de un aspecto fundamental dentro de la inferencia estadística que es la actitud crítica frente a la información que les permita extrapolar las conclusiones a las poblaciones. Por lo anterior es necesario utilizar estrategias pedagógicas que permitan guiar el estudiante a la construcción de aspectos teóricos a partir de aspectos prácticos en los que se pueda aplicar la inferencia estadística a contextos significativos. De acuerdo con el panorama anterior, en este trabajo se plantea el diseño de una unidad didáctica aplicando el estudio de caso como técnica de aprendizaje, en donde el estudiante se enfrenta a una situación problema en un contexto real, es decir en un campo específico de conocimiento que debe ser comprendido, valorado y resuelto. Dentro de los casos se busca llevar a cabo la simulación de todas las muestras posibles para promover todas las posibilidades de análisis de los mismos. La simulación es una estrategia muy útil puesto que le permite al estudiante un amplio rango de opciones para desarrollar criterios que faciliten determinar el sentido de la confiabilidad y el sentido de

2 Introducción

riesgo. El estudiante debe responder interrogantes como: ¿Qué tan confiable es la inferencia desde la muestra que se escoge?, o, ¿Los parámetros del universo están “bien” aproximados con las estadísticas?. Al llevar a cabo el proceso anterior el estudiante tendrá las habilidades para identificar que en cada estudio de caso se haya hecho un muestreo para predecir la media, la proporción o la varianza con base a los saberes teóricos. Artículos de investigación recientes señalan que es posible entender los conceptos básicos de estadística y aplicarlos de manera adecuada con base en algunos conocimientos formales de probabilidad, siempre y cuando se enfatice en la intuición y en la simulación así como en la compresión de aspectos propios de la inferencia estadística a partir del análisis de datos propios del contexto, es decir, la comprensión de los conceptos estadísticos puede fundamentarse desde los modelos matemáticos de probabilidad así como en simulaciones de situaciones reales. Por lo que a lo largo de este trabajo se presentaran los aspectos fundamentales para llevar a cabo una unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos.

1. Planteamiento y Justificación del problema

La estadística se ha consolidado como una asignatura de carácter indispensable dentro de los contenidos curriculares de los diferentes programas de pregrado e incluso de posgrado que se ofrecen en las universidades a nivel nacional e internacional. Lo anterior debido a que a través de la inferencia estadística es posible estudiar diversos fenómenos propios de cada profesión y contribuir al avance científico e investigativo a nivel disciplinar e interdisciplinar. Llevar a cabo procesos de inferencia estadística requiere tiempo puesto que implica el desarrollo de habilidades cognitivas y específicas de pensamiento matemático que incluso deben haberse estimulado desde los niveles de educación básica y secundaria (Batanero 2011), aunque los espacios para estos desarrollos en los contextos escolares suelen ser poco frecuente. Por tanto, lograr apropiarse de la lógica necesaria para la inferencia en ocasiones requiere más de un semestre de educación universitaria puesto que muchos estudiantes en un semestre sólo alcanzan a establecer las bases iniciales y dichas bases requieren afianzarse en otros semestres con el fin de que el individuo pueda emplear o aplicar la inferencia estadística en casos particulares. El desarrollo de las temáticas relacionadas con los métodos de inferencia estadística y en particular con la estimación de parámetros a través de los cuales se busca relacionar los resultados de una muestra con los de la población, ha sido complicado debido a que los modelos de enseñanza se centran en presentar a los estudiantes las fórmulas matemáticas para llevar a cabo los procedimientos estadísticos sin tener en cuenta la comprensión de los mismos por parte de los alumnos. En este sentido se debe tener en cuenta que “La matemática es originalmente empírica. Su invención-o su descubrimiento- es mucho más interesante que su construcción formal y es necesario que la inmersión en ella se realice teniendo en cuenta más intensamente la experiencia y la manipulación de los objetos de los que surge. La formalización rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histórica o cada nivel científico, le corresponde su propio rigor” (Ángel 2006). Adicional a las dificultades de los alumnos en el aprendizaje de la inferencia estadística también se ha podido observar que en los cursos de estadística existe la tendencia de enfatizar el aprendizaje formal de la probabilidad y la inferencia estadística, es decir, el aprendizaje o memorización de fórmulas, restando importancia al desarrollo de actividades didácticas que favorezcan la aplicación de la inferencia estadística. Desde ese enfoque el curso de estadística puede convertirse en otro curso más de matemáticas, porque el proceso didáctico es deductivo en la mayoría de los casos, mientras que la aplicación de la inferencia estadística requiere los pasos del método inductivo, que se trabaja al interior del aula con poca frecuencia lo que obstaculiza su aprendizaje por parte del individuo (Behar y Grima 2001).

4 Unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos

Enseñar la inferencia estadística desde un enfoque teórico ocasiona la separación o fragmentación entre los conocimientos teóricos y su relación con los eventos del contexto cotidiano del estudiante, además el aprendiz puede considerar que la matemática y la estadística son saberes teóricos que tienen poca aplicación al momento de comprender situaciones reales en las que la incertidumbre y la variabilidad, son parte esencial de un fenómeno o realidad particular. Por lo anterior, se encuentra que los estudiantes tienen la capacidad para realizar los cálculos necesarios al resolver un problema de inferencia aunque les cuesta abstraer el proceso subyacente, es decir el proceso de inferencia así como los conceptos involucrados. La manera como se enseña la estadística en los contextos universitarios puede ocasionar una confrontación entre la estadística y la probabilidad puesto que durante los cursos introductorios de estadística se emplean muchos conceptos de probabilidad con el objetivo de abordar posteriormente los conceptos de inferencia estadística y análisis de datos, lo que implica que se haga un tratamiento formal del concepto de variable aleatoria y otros temas clásicos de la teoría de la probabilidad. Este enfoque ha generado controversias entre los docentes de estadística, así como el interés por investigar sobre la eficacia de dicha manera de enseñar la inferencia estadística (Behar y Grima 2001). Adicional a lo anterior, se reconoce que los modelos de formación de los licenciados en matemáticas o los docentes de estadística priorizan actividades para enseñar estadística desde modelos teóricos que requieren la memorización de gran número de fórmulas sin verificar la comprensión de los fenómenos que se observan así como los cálculos estadísticos que de ellos se derivan. Dentro de los hallazgos del estudio sobre la condición de la educación en Matemáticas y Ciencias en América Latína y el Caribe realizado por el Banco Interamericano de Desarrollo se determinó que los modelos pedagógicos se centran en la transmisión de contenidos sin tener en cuenta el desarrollo del razonamiento científico y matemático; adicionalmente los profesores han adquirido sus conocimientos en los mismos sistemas que afrontan dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de las ciencias naturales y las matemáticas lo que no les permite ir más allá de los aspectos de mero procedimiento para abordar conceptos más significativos (Valverde & Näslund-Hadley 2010). La enseñanza de la inferencia estadística requiere la formulación de estrategias para explicar sus conceptos básicos de forma más significativa para los estudiantes y en donde sea posible que ellos apliquen la lógica de la inferencia estadística y reconozcan la relevancia de dicho saber dentro de su quehacer profesional. A partir del panorama anterior en este trabajo se propone una unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística, específicamente en lo relacionado con las distribuciones en el muestreo, en estudiantes de primer semestre de universidad basada en la metodología de estudios de casos. Dicho caso se orientará a las distribuciones en el muestreo con el propósito de lograr que los estudiantes analicen e infieran el comportamiento de la media, la proporción y la varianza fundamentados en los conceptos teóricos de la inferencia estadística. La propuesta que aquí se describe se enmarcada dentro del campo de la bioestadística debido a dos aspectos: i) la multitud de posibilidades para estudiar datos, realizar aplicaciones de la inferencia estadística a partir del diseño de casos; ii) la experiencia de

Planteamiento y justificación del problema 5

la autora en la docencia de inferencia estadística a estudiantes universitarios que cursan carreras afines a las ciencias naturales. Cabe destacar que la unidad didáctica que se propone por sustentarse en la metodología de casos puede adaptarse a otros temas o intereses de los estudiantes.

2. Marco histórico y disciplinar

2.1 Marco histórico

La estadística en general ha evolucionado desde sus inicios partiendo de la recolección de datos hasta la utilización de métodos refinados para la interpretación de los mismos. Compostela Muñiz (2010) desarrolló en su conferencia –Breve Historia de la Estadística y el azar- aspectos relacionados con el desarrollo histórico de la Estadística que se presentan dentro de este marco histórico y que es importante destacar puesto que evidencian la relevancia de la estadística y la necesidad de continuar desarrollando trabajos que permitan potenciar el empleo de la estadística en contextos como el académico. Entre los primeros hallazgos que reflejan el uso de la estadística en la edad antigua se encuentran las nugaras, restos arqueológicos, ubicados en la isla de Cerdeña. Se estima que existieron hace 3500 años a.C. En las paredes de estos monumentos se han encontrado grabados que se interpretan como muescas utilizadas para llevar la contabilidad del ganado y de la caza. Los primeros indicios de reportes escritos con datos estadísticos provienen de Asia particularmente de China. Se trata del escrito de Confucio ( 550 a.C) titulado “Shu-King” en el que se relata como el emperador Yao ordenó realizar un censo en el Imperio el cual contenía estadísticas agrícolas, industriales y comerciales. Se estima además, que en Egipto se hicieron las primeras aplicaciones de la estadística hace unos 5000 años, puesto que se hacían censos de manera regular, como se constata en el Censo realizado por Ramsés II (1290-1224 a.C). La aplicación de censos fue una actividad utilizada en diferentes civilizaciones como Grecia y Roma y con diferentes propósitos. En occidente hacia el año 1085 se llevó a cabo el primer censo por orden del rey de Inglaterra Guillermo I el conquistador. Los datos del censo relacionados con información acerca de propiedades, extensión y valor de las tierras en Inglaterra se registró en el documento titulado: “Domesday Book”. El primer trabajo sobre estadística de la población considerado como el punto de partida de la Estadística Moderna fue la publicación hecha por John Graunt en el año de 1662, titulada “Observaciones políticas y Naturales sobre las listas de mortalidad de la ciudad de Londres. En esta publicación se compararon los registros de nacimientos y muertes ya existentes. El uso de datos estadísticos comenzó a responder a fines diferentes a los políticos, como la demografía y su relación con la economía. Hasta el siglo XIX, la Estadística se mantuvo en el campo de la descripción de datos a través de la representación de estos por medio de tablas, gráficos y medidas de


centralización. Sin embargo, durante el trascurso del tiempo la estadística descriptiva empieza tener transformaciones en la manera de trabajar la información, lo que permite llevar a cabo la interpretación acerca del comportamiento de variables dentro de la población a partir del análisis de muestras tomadas de dicha población. Lo anterior origina un nuevo campo de trabajo estadístico conocido como “inferencia estadística”. Con el surgimiento de la Inferencia Estadística se genera un cambio en la manera de analizar los datos cuyo énfasis se centraba en utilizar métodos descriptivos para integrar el empleo de métodos que permiten hacer generalizaciones. Galbiati (2005) expone que “entre los siglos XVIII y XIX, la Estadística experimentó lo que puede ser descrito como un desarrollo horizontal y vertical simultáneo. Horizontal, en el sentido que se propagó a través de diversas disciplinas, desde la astronomía, la geodesia, la psicología, la biología; hasta las ciencias sociales, sufriendo diversas transformaciones en el proceso. Vertical, en el sentido de profundizar en el conocimiento del rol de la probabilidad, siendo desplazada la analogía de los juegos de azar, por modelos probabilísticos apropiados para efectuar medidas bajo incertidumbre”. Este cambio fue posible por el desarrollo de la teoría de probabilidad. Durante los siglos XVIII y XIX se empezaron a estudiar los fenómenos aleatorios con los mismos métodos utilizados en el análisis de los juegos de azar. Es importante señalar que el avance más importante de la Estadística durante este período histórico ocurrió por la necesidad de estimar cantidades desconocidas en la población a partir de los datos de las muestras, por lo que Gauss propone la “distribución normal”, que también empleó Quetelet para estimar las características medias de los miembros de una comunidad. Francis Ysidro realizó un aporte importante a la inferencia estadística al desarrollar una versión del teorema del límite central que establece que bajo ciertas condiciones, un promedio muestral sigue de manera aproximada la ley probabilística normal, independientemente del comportamiento probabilístico de la población, si el número de observaciones es grande (Galbiati 2005). En 1926 en la reunión del Instituto Internacional de Estadística celebrada en Roma se discutieron aspectos importantes sobre el método de muestreo. En este punto es importante aclarar que el método de muestreo se empleaba desde la edad antigua teniendo en cuenta el criterio de representatividad estadística, es decir, la necesidad de seleccionar aleatoriamente algunas unidades para llevar a cabo un estudio sobre una población, sin embargo a lo largo de la historia la técnica del muestreo tuvo varios contradictores, por lo que dicho método fue rechazado por la comunidad científica. En 1926 gracias a los trabajos sobre representatividad en estudios sociales y económicos se favorece el uso del método del muestreo. En la reunión del instituto Internacional de Estadística, Bowley presentó una aplicación de la teoría de inferencia a las encuestas por muestreo, hecha en 1906. Hacia mediados del siglo XX, se dan procesos tecnológicos importantes como el inicio de la “era del computador” y la creación de diferentes armamentos y dispositivos para emplear durante la segunda guerra mundial. Durante este período histórico la estadística sufre grandes avances puesto que ante la gran cantidad de datos para analizar es necesario crear técnicas de análisis que faciliten los múltiples cálculos numéricos requeridos para el análisis de dicha cantidad de información y que no era posible realizar con los medios existentes hasta entonces, esto genera modelos estadísticos más complejos mediante los cuales es posible analizar estadísticamente grandes volúmenes

Marco teórico y disciplinar 9

de información. El surgimiento de los computadores contribuye al desarrollo de programas estadísticos envasados. Estos programas son de fácil manejo, procesan grandes volúmenes de datos provenientes de estudios e investigaciones y dan resultados precisos de múltiples cálculos estadísticos. En la actualidad la investigación en Estadística se apoya en el empleo de equipos sofisticados de cálculo, lo que ha favorecido la creación de nuevos métodos estadísticos así como una comprensión mejor de los métodos ya existentes.

2.2 Marco disciplinar

Para comprender el sentido de la inferencia estadística es necesario entender la naturaleza tanto de la población como de la muestra, puesto que el concepto de muestra entendida como un subconjunto de la población de mayor tamaño tiene dos características contradictorias: i) la representatividad que indica que la muestra se parece en cierto modo a la población; ii) la variabilidad que señala que una muestra puede ser diferente de otra (figura 2-1). Con base en lo anterior realizar Inferencia estadística implica objetividad así como pensamiento crítico que fundamente la argumentación (Batanero 2001).

Figura 2-1: Proceso de muestreo e inferencia

2.2.1 Muestras aleatorias

La información acerca de las características poblacionales ha sido una necesidad permanente en diferentes ámbitos como el gubernamental, el empresarial, el laboral entre otros, debido a que estos ámbitos desarrollan actividades para el servicio de la comunidad ya sea en el campo social, en el de la salud, en el educativo, en el agrícola o en el mercadeo. Sin embargo lograr obtener información de la totalidad de personas o elementos que constituyen la población en dichos contextos requiere mucho tiempo y dinero por lo cual se hace necesario la selección de una parte de la población llamada muestra. Dicha selección debe hacerse a través de métodos que permitan validarla como representativa de manera que se puedan inferir a partir de ella las características poblacionales (Ospina 2001).

POBLACIÓN

mu

estr

eo

Inferencia

Muestra


Según Ospina existen tres situaciones para las cuales es conveniente hacer la selección de una muestra antes que hacer un censo:

La población es grande y su estudio excede los recursos asignados.

Las unidades poblacionales son lo suficientemente homogéneas respecto a lo que se quiere medir, por lo que la muestra proporciona la información de interés que se requiere en el estudio.

El proceso de selección de la muestra es destructivo (por ejemplo en los procesos de control de calidad o en el estudio de poblaciones biológicas) lo cual obliga al análisis de solo una parte de la población.

2.2.2 Técnicas de muestreo aleatorio

a) Muestreo aleatorio simple

En diferentes ámbitos de la vida real es evidente que la mejor forma de aprender es a partir de la experiencia, es decir que se parte de observaciones particulares desde las cuales se hacen generalizaciones. En estadística ocurre algo similar se hace necesario partir del análisis de muestras de una variable para poder aprender de ellas y generalizar, inferir, aspectos referentes a las muestras a toda la población. (Saéz 2012). La muestra debe ser significativa, es decir, todos los individuos de la población deben verse representados en ella. Aquí se hace referencia al concepto de muestreo aleatorio simple. El muestreo aleatorio simple (MAS) tiene la característica particular de que todas las muestras posibles de tamaño n que hacen parte de una población de tamaño N tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Cada muestra o variable aleatoria 𝑋1,𝑋2, 𝑋3, … . 𝑋𝑛 conforman una muestra aleatoria cuando:

Las variables 𝑋1,𝑋2, 𝑋3, … . 𝑋𝑛 son independientes.

Cada 𝑋𝑖 tiene la misma distribución de probabilidad.

Estas dos condiciones se cumplen de manera aproximada si el muestreo se hace sin reemplazo.

b) Muestreo aleatorio simple sin reemplazo

Este tipo de muestreo se caracteriza porque ninguna unidad de la población puede estar representada en la muestra más de una vez. La probabilidad de una muestra específica

está dada por 𝑛!(𝑁−𝑛)!

𝑁! , ya que

𝑁!

𝑛!(𝑁−𝑛)! es el número total de muestras de tamaño n que

pueden ser seleccionadas de una población de tamaño N. (Ospina 2001) Para seleccionar una muestra aleatoria simple sin reemplazo se debe asignar a cada elemento de la población un número de 1 a N. Luego debe seleccionarse aleatoriamente n de esos números a través de algún paquete estadístico.


c) Muestreo ordenado con repetición (MOCR).

En el muestreo con reposición, el elemento seleccionado en cada extracción vuelve a ser incluido en la población antes de extraer el siguiente elemento. En este tipo de muestreo, un elemento de la población puede aparecer más de una vez en la muestra.

𝑁𝑛 Corresponde al número de variaciones con repetición de tamaño n, que es posible obtener a partir de un conjunto de N elementos, tendremos que en el muestreo aleatorio simple con reposición, todas las muestras ordenadas de un mismo tamaño tienen idéntica probabilidad de ser extraídas. (Ospina 2001)

2.3 Tamaño de la muestra

El tamaño de la muestra es un dilema dentro del proceso de muestreo. Puede ocurrir que el tamaño de la muestra sea insuficiente, que no proporcione estimaciones con el grado de precisión y confiabilidad requeridas lo cual puede llevar a conclusiones equivocadas o por el contrario muestras muy grandes que desborden los recursos asignados. (Ospina 2001). Como regla general los estadísticos han encontrado que para la mayor parte de las distribuciones poblacionales siempre que el tamaño de la muestra sea por lo menos 30, la distribución muestral de la media será aproximadamente normal. (Mendoza 2002).

2.4 Distribuciones en el muestreo

Para obtener conclusiones sobre el valor de la media poblacional a partir de la información que se obtenga de la muestra se requiere la Inferencia Estadística. Se considera hasta qué punto la media (𝑥 ̅) y la desviación típica (s) de una muestra puede

variar de la media (𝜇) y la desviación típica (𝜎) de la población respectivamente. El proceso de Inferencia para una población con media y varianza desconocidas se realiza a partir de la selección de una muestra y el cálculo de sus características, lo que permite inferir sobre estos valores desconocidos. De acuerdo con lo anterior, es posible seleccionar muchas muestras. Los reportes de investigación sobre la inferencia estadística indican que se pueden seleccionar infinitas muestras y calcular para cada una de ellas sus características como se ilustra en la figura 2-2.


Figura 2-2: Selección de muestras infinitas y cálculo de sus características

Cuando se conforma una población por medio de muestras, se obtiene de manera simultánea una población de medias muestrales y una población de varianzas muéstrales. Por lo anterior, se pueden considerar la media muestral y la varianza muestral como variables aleatorias. En este sentido, cualquier característica muestral es una variable aleatoria con parámetros de posición y de dispersión que siguen una distribución relacionada con la población original .Con base en estas condiciones se puede definir el estadístico. (Cabrera 2011). En conclusión la base de la inferencia estadística es conocer la relación entre la distribución de los estadísticos muestrales y la distribución de la población así como las características de la distribución de la población. Las poblaciones son descritas por medidas numéricas llamadas parámetros (Cabrera 2011).

2.4.1 Distribución normal

Una de las distribuciones de probabilidad continua es la distribución normal y es la más usada de ellas. Un gran número de estudios indica que esta distribución proporciona una adecuada representación, por lo menos en una primera aproximación, de las distribuciones de una gran cantidad de variable físicas. Es la piedra angular en la aplicación de la inferencia estadística en el análisis de datos, puesto que las distribuciones de muchas estadísticas muestrales tienden hacia la distribución normal conforme crece el tamaño de la muestra (Canavos 1988). Su representación gráfica es una curva simétrica en forma de campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección positiva como en la negativa (Martínez-González 2001) (figura 2-3).

Población

X: ( 𝜇,𝜎2)

𝑚. 𝑎. 𝑠1

(𝑥 1, 𝑠12)

𝑚. 𝑎. 𝑠2

(𝑥 2, 𝑠22)

𝑚. 𝑎. 𝑠𝑛

(𝑥 𝑛 , 𝑠𝑛2)

.

.

.


Figura 2-3: Gráfica de la función de densidad normal para valores diferentes de 𝜇 y 𝜎

2.4.2 Distribución muestral de medias

La distribución de frecuencia de un estadístico muestral se denomina distribución muestral, por lo general, la distribución muestral de un estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño. De acuerdo con las reglas que determinan la distribución muestral se sabe que dos muestras aleatorias extraídas de la misma población y del mismo tamaño pueden tener medias muestrales diferentes. Cualquier estadístico como la media muestral calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria cambia de valor entre una muestra y otra, por lo tanto se hace necesario la distribución de todos los valores posibles de un estadístico (Badii & Castillo 2009). El análisis de las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, permite juzgar la confiabilidad de un estadístico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido. Los valores de un estadístico, por ejemplo, la media, varían de una muestra aleatoria a otra, por lo que se puede considerar como una variable aleatoria con su correspondiente distribución de frecuencias (figura 2-4).


Figura 2-4: Distribución muestral de medias

Entonces al tomar k muestras diferentes, se obtienen k valores, en general diferentes de

medias muestrales 𝑥 1, 𝑥 2, …, 𝑥 𝑘. Si k tiende al infinito ocurre que los valores �̅�𝑖, tendrán una distribución llamada distribución muestral de la media (Gorjas 2011). Si se tiene una población con una distribución de probabilidad 𝑓(𝑥)caracterizada por los

parámetros poblacionales media 𝜇 y varianza 𝜎2 de la cual se toma una muestra de

tamaño n representada por las variables aleatorias �̅�𝑖, 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 y teniendo en cuenta

que cada �̅�𝑖 sigue la misma distribución de probabilidad 𝑓(𝑥) de la población con media

𝜇 entonces la media de cada �̅�𝑖 será:

𝐸(𝑋𝑖) = 𝜇 (2.1)

Entonces la media de la distribución muestral de medias y la varianza de �̅� están dadas por:

𝐸(�̅� ) = 𝐸 (𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛

𝑛) =

1

𝑛(𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋𝑛) =

1

𝑛(𝑛𝜇) (2.2)

𝜇�̅� = 𝐸(�̅�) = 𝜇 (2.3)

𝑉𝑎𝑟 (�̅� ) = ∑1

𝑛2𝑛𝑖=1 𝜎2 = 𝑛(𝜎2 𝑛2⁄ ) = 𝜎2 𝑛⁄ (2.4)

Donde 𝜇 y 𝜎2 son la media y la varianza de la distribución de la población a partir de la cual se obtuvo la muestra. Este resultado es válido sin importar la distribución de probabilidad de la población de interés siempre y cuando la varianza tenga un valor finito

(Canavos 1988). De otra parte la desviación estándar de �̅� es:

𝑑. 𝑒 (�̅�) = 𝜎√𝑛⁄ (2.5)

Se observa que a medida que crece el tamaño de la muestra, la variación estándar y de

esta forma la variabilidad, de �̅� disminuye, lo que significa que si el tamaño de la muestra

Muestra 1

Población

Muestra 2

Muestra k

Distribución muestral de medias

𝑥 1

𝑥 2

𝑥 𝑘


crece, la precisión de la media muestral para estimar la media poblacional aumenta. (Canavos 1988).

2.4.3 Distribución muestral de proporciones

Supóngase una población con una determinada característica de interés y sobre la cual se llevan a cabo n ensayos y el resultado de cada ensayo es un éxito o un fracaso y 𝑃 representa la probabilidad de éxito en cada ensayo, donde “éxito” corresponde a tener la característica, y 𝑄 ( = 1 − 𝑃) a la probabilidad de fracaso. Cada n ensayos se pueden considerar como una muestra de tamaño n. Para cada muestra se define el estadístico P como la proporción de éxitos, o número de éxitos dividido por el número de ensayos el cual seguirá una distribución de probabilidad, llamada distribución normal de una proporción (figura 4), que es, entonces, un caso particular de la distribución muestral de una media. (Gorjas 2011).

Figura 2-5: Distribución muestral de proporciones

La media y la varianza de la distribución de una proporción en el caso un muestro sin reemplazo de una muestra finita están dadas por:

𝜇�̂� = 𝐸(�̂�) = 𝜇 = 𝑃 (2.6)

𝜎�̂�2 =

𝜎2

𝑛(𝑁−𝑛

𝑁−1) =

𝑃𝑄

𝑛(𝑁−𝑛

𝑁−1) (2.7)

𝜎�̂�2 =

𝑃𝑄

𝑛(𝑁−𝑛

𝑁−1) Cuando 𝑛 → ∞ (2.8)

Siendo un caso particular de la distribución muestral de la media, la distribución muestral de una proporción puede aproximarse por una distribución normal para valores grandes del número de ensayos n.

Muestra 1

Población

Muestra 2

Muestra k

Distribución muestral de proporciones

𝑃1

𝑃2

𝑃𝑘


2.4.4 Distribución de la varianza muestral

La varianza muestral 𝑠2 es una medida de variabilidad e indica la dispersión entre las observaciones. Dado que la dispersión es una consideración tan importante como la

tendencia central, el significado de 𝑠2 para formular inferencias de 𝜎2 es comparable con

el que tiene �̅� para formular inferencias con respecto a 𝜇. (Canavos 1988)

Si se supone que la población tiene una distribución normal con 𝜇 conocida y 𝜎2 desconocida entonces la varianza muestral se define como:

𝑠2 = ∑ (𝑋𝑖 − �̅�)2 (𝑛 − 1)⁄𝑛𝑖=1 (2.8)

Para determinar la distribución de muestreo de 𝑠2 con base en una muestra aleatoria extraída de una población con distribución normal, se toma en cuenta el promedio de la

muestra �̅�. Se obtiene entonces que la distribución de muestreo de (𝑛 − 1)𝑠2 𝜎2⁄ es una

distribución chi-cuadrada con 𝑛 − 1 grados de libertad. (Canavos 1988)

3. Marco Pedagógico

La inferencia estadística es uno de los saberes fundamentales dentro de la formación universitaria puesto que brinda a los estudiantes los conocimientos para estudiar diferentes fenómenos; establecer predicciones sobre el comportamiento de una población y plantear investigaciones en diversos contextos. Su enseñanza requiere variadas estrategias didácticas debido al nivel de abstracción requerido por parte de los aprendices así como los conocimientos pedagógicos del docente para promover el aprendizaje de la inferencia estadística por parte de los estudiantes. El estudiante que asiste a las clases de estadística debe poseer conocimientos matemáticos previos y contar con habilidades cognitivas superiores entre las que están el análisis y síntesis de la información, la interpretación de los datos, capacidad de presuposición, correlación de datos, entre otras. Batanero (2011). Teniendo en cuenta la relevancia de la inferencia estadística dentro de los saberes de los estudiantes universitarios así como las altas demandas cognitivas que implica, diversos autores han realizado estudios para identificar las dificultades significativas de los individuos durante su proceso de aprendizaje de este saber. En este capítulo se presentará una breve síntesis de algunos estudios representativos sobre las dificultades que tienen los estudiantes de educación secundaria o universitaria para comprender y aplicar la inferencia estadística, luego se expondrán algunas, investigaciones sobre la enseñanza de la inferencia estadística, posteriormente se definirán aspectos básicos asociados a la metodología de estudios de caso, el empleo de las TIC´s en la enseñanza de las matemáticas y por último se definirán aspectos específicos de la unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística en contextos biológicos. Según Hacking citado por Batanero (2011) uno de los principales descubrimientos del siglo XX fue la constatación de que el mundo puede comprenderse desde otros puntos de vista diferentes al determinista, es decir, las cosas pueden definirse de múltiples maneras en particular cuando se estudian procesos biológicos, sociales, económicos, entre otros puesto que pueden establecerse diversidad de conclusiones. Esta variabilidad en el comportamiento de las poblaciones o los elementos de un entorno constituyen el fundamento de la teoría estadística. El impacto de la inferencia estadística dentro del análisis de grupos y poblaciones evidenció la necesidad de incluir dentro de los planes curriculares de los estudios universitarios su enseñanza. En la actualidad, es necesario tener en cuenta el aumento significativo de los procesos de investigación así como de la práctica basada en la evidencia, por lo que todas las profesiones requieren llevar a cabo estudios formales en


diversas áreas del conocimiento, lo que implica el uso de la inferencia estadística para interpretar la información, obtener predicciones, identificar conclusiones, tomar decisiones bajo un criterio objetivo de análisis.

3.1 Dificultades para la comprensión de la inferencia estadística

La inferencia estadística cada día adquiere mayor relevancia dentro de los procesos de aprendizaje de los estudiantes de educación superior, sin embargo su aprendizaje se ha visto obstaculizado por multitud de factores, entre los que se destacan aspectos inherentes al estudiante así como aspectos asociados a la metodología de enseñanza. Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1993) llevaron a cabo un estudio sobre los principales errores en la enseñanza de la inferencia estadística; a partir de dicho estudio encontraron que aunque los conceptos estadísticos elementales han sido incluidos en muchos diseños curriculares su enseñanza ha generado pocos resultados de aprendizaje por parte de los estudiantes. Los autores resaltan la importancia de la investigación en lo relacionado con los errores y dificultades de los alumnos que finalizan la educación secundaria y de primeros semestres universitarios para aprender conceptos estadísticos elementales. Sugieren que la investigación sobre las dificultades en la enseñanza de la inferencia estadística debe orientarse teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

Escasez de estudios sobre la enseñanza de la inferencia estadística en comparación con otras investigaciones en el campo de la enseñanza de las matemáticas.

Existencia de un número significativo de investigaciones realizadas en condiciones experimentales ideales o controladas mientras que los estudios en el contexto real o con datos del ambiente propio de los estudiantes son poco frecuentes lo que dificulta relacionar y establecer la utilidad de la estadística en las situaciones cotidianas.

Las investigaciones sobre la enseñanza de la estadística se han realizado con niños de escolaridad primaria y estudiantes universitarios, lo que refleja un vacío conceptual con relación a los estudios de la población de educación secundaria así como las características de los métodos con que se enseña la inferencia y las posibles dificultades de su aprendizaje.

Las primeras investigaciones sobre la enseñanza de la estadística han sido realizadas por psicólogos, no por docentes , lo que puede orientar los hallazgos hacia los procesos cognitivos o los procesos sicológicos asociados al aprendizaje que son de gran importancia pero que para ser significativos requieren de su integración dentro de las propuestas pedagógicas en el aula.

Lo anterior evidencia la necesidad de realizar estudios particulares sobre las dificultades en la enseñanza y el aprendizaje de la inferencia estadística desde la perspectiva pedagógica propia de los docentes de dichos cursos con el fin de comprender las dificultades y proponer modelos o propuestas pedagógicas que faciliten su enseñanza. Durante los últimos años se ha incrementado la participación de los docentes en el análisis de las problemáticas en la enseñanza de la estadística y las estrategias que permiten su aprendizaje de manera fácil a los estudiantes.

Marco pedagógico 19

Un principio que parte de la psicología educativa es el enunciado por Ausubel y Cols (1983) citado por Batanero (1993): “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente”. Este conjunto de “saberes” hacen parte de las concepciones previas de los estudiantes, las cuales pueden convertirse en “obstáculos cognitivos” definidos por Brusseau (1993) como un conocimiento y no una carencia del mismo. Estos obstáculos pueden ser superados en situaciones de enseñanza, es decir, situaciones didácticas adecuadas para ello. Moreno y Vallecillos (2001) realizaron un estudio en el que analizaron los obstáculos y errores en la comprensión de conceptos de inferencia estadística elemental. A partir de su estudio encontraron una serie de errores asociados al aprendizaje de la inferencia estadística, que para efectos de este trabajo se han sintetizado en dos grupos: a) Dificultades de carácter general: Este tipo de dificultades se asocian con las

características propias o intraindividuales de los estudiantes, es decir, la manera como conceptualizan la inferencia estadística, su capacidad para interpretar datos así como la motivación hacia la asignatura. Cuando un estudiante cuenta con pocas habilidades de pensamiento para el manejo de información matemática reflejará baja capacidad para comprender los conceptos generales sobre probabilidad, falta de motivación e incluso rechazo o imposibilidad para aprender los conceptos de probabilidad que requieren altos niveles de abstracción y que en la mayoría de los casos no se desarrollan en el aula puesto que el docente presupone su existencia o desconoce estrategias para lograr que los estudiantes desarrollen pensamiento complejo o generen abstracciones. (Grafield y Alhgreen (1988)). (Cañizares(1997);Serrano(1996)) citados por Moreno y Vallecillos (2001). Las dificultades antes mencionadas pueden asociarse a problemas en la comprensión de la información verbal o escrita, el pensamiento lógico matemático, la representación matemática de un enunciado, la comprensión del concepto de azar; el manejo del concepto de números racionales y el razonamiento proporcional.

Continuando con los hallazgos del estudio de Moreno y Vallecillos (2001) se presenta el segundo grupo de dificultades para la enseñanza de la inferencia estadística que comprende aspectos propios de los conceptos estadísticos denominados:

b) Dificultades de carácter específico: Este tipo de dificultades incluye aspectos

particulares relacionados con la comprensión de los términos teóricos de la estadística y la inferencia estadística o la manera como se deben aplicar. Los conceptos difíciles de entender son:

Concepto de muestra: Entender y definir de forma precisa lo que es una muestra ha sido una de las dificultades frecuentes para los estudiantes que cursan la asignatura de estadística. Existen múltiples definiciones teóricas sobre el concepto de muestra, sin embargo, para los estudiantes es complejo inferir que la definición no implica una muestra única. Los estudiantes se centran en idea de la “exactitud matemática” por lo que al definir el concepto de muestra piensan que se trata sólo de una muestra única.


Rubin, Bruce y Tenney (1990) estudiaron las concepciones de estudiantes sobre “representatividad de la muestra” y “variabilidad de la muestra”. Entrevistaron 12 estudiantes de último año de bachillerato que no habían cursado estadística durante su formación académica, realizaron seis preguntas abiertas sobre muestreo e inferencia. Los resultados de dicho estudio permitieron concluir que, si en la clase de matemáticas se enfatiza en la respuesta correcta así como en la idea de la precisión matemática, es decir, que en matemáticas no hay errores, los estudiantes reflejan una tendencia a pensar en la representatividad muestral. Por lo tanto, los estudiantes asumen que si el muestreo es realizado correctamente la muestra obtenida es la única muestra representativa lo cual es un aprendizaje inadecuado que posteriormente es complicado de cambiar dentro de las concepciones de los estudiantes.

Tamaño de la muestra: Definir lo que significa “tamaño de la muestra” es otro de los conceptos estadísticos difícil tanto para su enseñanza como su aprendizaje por parte de los estudiantes. Estudios realizados por Moreno y Vallecillos (2001) encontraron que cuando los alumnos deben realizar un trabajo de aplicación estadística, el tamaño de la muestra no es tenido en cuenta al momento de realizar inferencias. Los estudiantes estiman la probabilidad de obtención de una muestra por el parecido de dicha muestra con la población de la que proviene. De igual modo consideran que la población sobre la que se infiere tendrá las mismas características que la muestra obtenida, es decir, consideran que todo dato obtenido de una parte de la población les brinda información representativa de la misma. Lo anterior indica que los estudiantes tienen dificultades para comprender la relevancia de establecer el tamaño de la muestra al momento de realizar un ejercicio con datos reales así como los aspectos de representatividad y variabilidad de la muestra o los errores que pueden presentarse cuando se establece de manera inapropiada el tamaño de la muestra.

Muestreo: En la inferencia estadística, la unidad de análisis es la muestra, a partir de la cual se determina la media teórica de la población. Uno de los aspectos fundamentales para el estudio de la distribución de la media en el muestreo y la media de la variable aleatoria implica tener clara la diferencia entre la media teórica o poblacional que es una constante desconocida y la media de la muestra. Cuando el estudiante identifica cada tipo de muestra, puede correlacionar los datos de las medias muestrales con la media poblacional, lo que además evidencia la comprensión de los tipos de análisis estadístico y su aplicación.

Lo anterior requiere procesos de análisis matemático complejo que pueden aprenderse con dificultades por algunos estudiantes lo que hace que la enseñanza de cada tipo de análisis estadístico constituya otra dificultad conceptual para los estudiantes.

El espacio muestral: El espacio muestral corresponde a los posibles resultados de un experimento aleatorio. La identificación correcta de dicho espacio se presenta como un factor importante en la evaluación probabilística de los sucesos. Cuando se le solicita al estudiante que identifique el espacio muestral


propio de una situación experimental, se encuentra que el estudiante presenta dificultades o imprecisiones para inferirlo, lo que refleja vacíos en el aprendizaje de los conceptos explicados durante la clase y por tanto imposibilidad para establecer las inferencias con las que se logra determinar el espacio muestral.

El análisis de los resultados de un experimento realizado por Fischbein (1991) muestra que para las personas que carecen de conocimiento en probabilidad, existe una capacidad intuitiva que les permite identificar el espacio muestral correspondiente a una experiencia estocástica, sin embargo a pesar de tener dicho conocimiento intuitivo, cuando el estudiante debe emplearlo en una situación formal de aprendizaje presenta dificultades puesto que le cuesta aplicar sus conocimientos intuitivos. Con base en lo anterior, Fischbein describe las siguientes limitaciones que obstaculizan la correcta evaluación probabilística: - Los estudiantes tiene problemas para establecer diferencias en resultados con

otras secuencias, es decir, “No hay un respaldo natural e intuitivo para contar separadamente como distintos resultados, los mismos grupos de resultados con diferentes secuencias (por ejemplo 1,3 y 3,1)”

- “Los sujetos en ciertas ocasiones olvidan las condiciones específicas de la experiencia estocástica y el espacio muestral se constituye sin considerar las respectivas limitaciones(por ejemplo considerar los números 7 y 8 en un juego de dados)”

- “Muchos sujetos no poseen una técnica sistemática para producir todos los posibles resultados de una experiencia”

- “La disponibilidad parece ser un factor importante en la evaluación intuitiva de la magnitud de un espacio muestral”. Si se le pide a los sujetos que indiquen todos los números posibles que sumados dan 14, la respuesta frecuentes es: 2 y 12 y con menos frecuencia 3 y 11, debido a la preferencia natural de los individuos por los números pares al considerarlos más fáciles de manejar en operaciones matemáticas

Distribución muestral del estadístico: Schuyten (1991) citado por Vallecillos (1999) reporta como resultado del estudio sobre el aprendizaje de la estadística inferencial que una dificultad para los estudiantes es la utilización simultanea de conceptos con diferentes niveles de abstracción, siendo este el caso de la media de la muestra, la de la población y la de la distribución muestral de medias. En el análisis de las respuestas de los estudiantes al cuestionario propuesto para la investigación realizada por Vallecillos y Batanero (1997) se evidencia la confusión entre el estadístico muestral y el parámetro poblacional, en este caso la

confusión de la variable aleatoria muestral �̅̅� con el parámetro media poblacional

𝜇, conceptos que teóricamente son diferentes. Adicionalmente se constató que la dificultad se genera por factores diferentes al uso incorrecto de la notación específica de cada concepto, es decir al hecho de considerar en pocas ocasiones las distintas medias y distribuciones implicadas, de manera particular la distribución muestral del estadístico. Hasta el momento se han presentado algunas investigaciones significativas sobre los tipos de errores más frecuentes durante la enseñanza formal de la inferencia estadística con el fin de describir de manera general los aspectos representativos


para la enseñanza de dicha inferencia en el contexto de la educación superior. Teniendo en cuenta que este trabajo tiene como objetivo central proponer una unidad didáctica para la enseñanza de la Inferencia estadística a continuación se presentan algunos elementos que deben ser considerados cuando se va a enseñar el razonamiento inferencial a los estudiantes.

3.2 Pasos en la construcción del razonamiento Inferencial

Batanero (2011) afirma que el desarrollo de un pensamiento estadístico requiere varios años de formación porque se construye de manera progresiva. En este sentido, propone algunas etapas y alternativas didácticas que deben seguirse para la construcción de este razonamiento, que se muestran en la tabla 3-1:

Tabla 3-1: Construcción de los procesos de razonamiento inferencial

Etapas en la construcción del razonamiento inferencial

Comprensión del concepto de muestreo

Introducción intuitiva de ideas de inferencia

La distribución muestral y el Teorema Central del

límite

La idea fundamental que el estudiante debe comprender es que la muestra representa la población sin ser una copia de toda la población, esto le permitirá observar la variabilidad del muestreo.

Partir de los conocimientos previos de los estudiantes y de manera informal llevarlos a la conceptualización sobre inferencia.

Inducir en los estudiantes el concepto de variabilidad de cualquier estadístico.

3.2.1 Comprensión del concepto de muestreo

Este concepto constituye la base del análisis inferencial en estadística puesto que es a través de la muestra que se establece la relación entre la estadística y la probabilidad. Por lo anterior, cuando se plantea una estrategia didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística la comprensión de dicho concepto corresponde al primer aspecto a desarrollar a partir de la estrategia didáctica que se quiera proponer. Es fundamental explicarle al estudiante que una muestra representa una parte de la población, lo que permitirá que logre observar la variabilidad del muestreo.

Comprender el concepto de muestreo es básico dentro del estudio de la inferencia estadística puesto que “todo los conocimientos y juicios sobre el mundo se basan en el muestreo, debido a que sólo es posible observar una parte de la realidad objeto de estudio”. Batanero (2011).


3.2.2 Introducción intuitiva de ideas de inferencia

La inferencia estadística por lo general, se enseña en contextos formales que priorizan el uso constante de expresiones matemáticas en su mayoría complejas y faltas de significado para el estudiante porque tiene dificultad para aplicar dicha terminología matemática dentro de su vida cotidiana. Recientes investigaciones resaltan la importancia de aprovechar los conocimientos previos y emplear metodologías desprovistas de expresiones complejas que obstaculizan la interacción del estudiante con la asignatura, se sugiere el empleo de la intuición para construir los conceptos relacionados con la inferencia. La informalidad como alternativa para la enseñanza de la inferencia estadística ha sido sugerida por expertos tales como Rossman (2008) quien afirma que se debe enseñar la inferencia desprovista del formalismo matemático siguiendo teniendo en cuenta las siguientes etapas:

Partir de una hipótesis dada acerca de los datos

Utilizar la simulación o el cálculo de probabilidad elemental que permita determinar que los datos observados son muy poco probables si el modelo fuera cierto (cálculo intuitivo de un p-valor)

Rechazar la hipótesis inicial (modelo) basado en el p-valor muy pequeño, en lugar de creer que un suceso muy raro ha ocurrido por casualidad. Este proceso de razonamiento, es muy natural para los estudiantes, y de hecho sigue la concepción de Fisher de pruebas de significación.

3.2.3 La distribución muestral y el teorema central del límite

Un tercer concepto relevante en la enseñanza de la inferencia estadística se relaciona con la distribución muestral, con el objetivo de que los estudiantes comprendan la variación de cualquier estadístico dado, como la media y la varianza, en cada una de las muestras tomadas de una misma población (distribuciones en el muestreo). Los estudiantes deben tener clara la diferencia entre:

La distribución de probabilidad que describe los valores de una variable aleatoria de la población. Por ejemplo, la estatura de todos los estudiantes tiene comportamiento normal.

La distribución de los datos de los valores de una variable estadística de una sola muestra tomada al azar de la población. Por ejemplo, se toma una muestra aleatoria de 100 estudiantes y se analiza si hay una distribución complementaria de esos datos.

La distribución de probabilidad que describe los valores de un estadístico en todas las muestras tomadas al azar. Por ejemplo, todas las medias obtenidas de las muestras de tamaño 100 que se pueden obtener del universo

Obtener una muestra aleatoria simple en inferencia estadística es indispensable para entender los principios de representatividad y variabilidad de la muestra (Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos 1994).


Directrices del estudio de

caso

Autenticidad: La situación debe ser

concreta y corresponder a un

contexto real

Urgencia de la situación: Debe

provocar un diagnostico o una

decisión.

Orientación Pedagógica: Situación que debe proporcionar

formación en un dominio del

conocimiento o de la acción.

Totalidad: Debe incluir toda la información

necesaria y todos los hechos disponibles

3.3 Estudio de caso

El estudio de casos constituye una metodología didáctica destacada. Se basa en el entendimiento comprehensivo de la situación descrita que puede ser compleja y que se entiende gracias a la descripción y análisis de la misma cuando se considera como un conjunto y dentro de su contexto. El valor pedagógico del estudio de caso se debe a que proporciona datos concretos sobre los cuales se orienta la reflexión, el análisis y la discusión. No determina soluciones sino que permite al estudiante desarrollar las habilidades de análisis matemático y estadístico para proponer soluciones y argumentarlas. El uso de esta metodología cuenta con una trayectoria histórica importante, se destaca su aplicación dentro de las estrategias del programa de derecho en Harvard en 1914 y que hacia 1935 se integró a otros campos del conocimiento como la administración, medicina, ciencias políticas entre otras. De acuerdo con Mucchielli (1970) cada caso dentro de la perspectiva didáctica, debe ajustarse a unas directrices claramente establecidas:

Figura 3-1: Directrices del estudio de caso


Otro aspecto fundamental dentro de la metodología del estudio de casos es que en el análisis de un caso concreto aún en su singularidad, existe la posibilidad de establecer conclusiones generales de la problemática descrita en el caso, así como en la consideración de los siguientes aspectos: a) El análisis de un caso o el análisis en general consiste en relacionar los datos

actuales de una situación, captar sus detalles, transformaciones y encontrar la significación de cada uno de los elementos que la configuran de acuerdo con la posición que ocupan dentro del marco de la situacional global.

b) Conceptualización es algo pedagógicamente esencial después del análisis. Significa

que es preciso formular expresamente los conceptos clave que se deducen del caso. Pero se trata de una conceptualización operativa las ideas generales extraídas del caso son certezas de conducta que se deben adquirir. Servirán para afrontar directamente situaciones similares en la vida real.

3.3.1 Características

La estrategia del estudio de casos es muy útil cuando se busca que los estudiantes analicen diversos fenómenos para conocer su naturaleza, es decir, cómo y por qué ocurren. Existe bibliografía extensa que describe las características de esta metodología, a continuación se presentan algunos de los autores representativos en dichos estudios y las características que le atribuyen a estrategia de estudio de casos: Murillo y su grupo de colaboradores (2011) enfatizan en las siguientes características:

Facilita el estudio de los fenómenos desde múltiples perspectivas sin limitarse o estar influenciado por una sola variable.

Permite explorar con mayor precisión cada fenómeno con el propósito de obtener un mayor conocimiento del mismo así como correlacionar otros temas que se trabajen en la asignatura.

Constituye una manera de profundizar en un proceso de investigación a partir de los primeros datos analizados.

Pérez Serrano (1994) citado por Murillo caracteriza esta metodología como:

Particularista puesto que permite comprender profundamente una realidad singular, constituida por un individuo, un grupo, una situación social o una comunidad. Particularizar, es decir, formular un estudio de caso con base en aspectos específicos de una población permite descubrir y analizar situaciones únicas.

Descriptiva, debido a que el propósito del estudio de casos es lograr la descripción lo más detallada posible de la realidad observada. La descripción es contextualizada puesto que en todo estudio de caso se tiene en cuenta el contexto así como las variables que definen la situación.

Heurística porque amplía o confirma el horizonte conceptual del aprendiz. El estudio de casos es una estrategia que orienta a la toma de decisiones.

Inductiva, dado que se fundamenta en el razonamiento inductivo a partir del cual se realizan observaciones repetidas de objetos o acontecimientos de la misma índole y con base en estas observaciones se busca establecer una conclusión general para


todos los objetos o eventos de dicha naturaleza., lo que además favorece la proposición de hipótesis y su posterior verificación.

3.3.2 Modelos de estudio de caso

Dentro del enfoque del estudio de casos como estrategia didáctica (Martínez y Musitu, 1995), consideran tres modelos diferenciados básicamente por el propósito metodológico que se persigue, estos modelos se muestran en la tabla 3-2: Tabla 3-2: Modelos de estudio de caso

Modelos de estudio de casos

Centrado en el análisis de casos

Centrado en la aplicación de principios y normas

legales en casos particulares

Centrado en contextos específicos

Este modelo pretende el conocimiento de los recursos empleados en la resolución del caso así como la comprensión de los procesos de diagnóstico e intervención realizados. Se explican además las técnicas empleadas y los resultados obtenidos a través de los programas de intervención propuestos.

Este modelo tiene como propósito lograr que los estudiantes se ejerciten en la selección y aplicación de los principios adecuados a cada situación, su utilidad más significativa ocurre en el campo del derecho.

Pretende el entrenamiento en la resolución de situaciones particulares con base en la consideración del fundamento teórico propio. Este tipo de modelo requiere considerar la singularidad y complejidad de contextos específicos por lo que debe haber flexibilidad y considerar la variedad de soluciones que se presentan siempre y cuando se expliquen desde los argumentos teóricos apropiados y lógicos.

Los modelos centrados en contextos específicos comprenden los casos de resolución de problemas centrados en la toma de decisiones. Dentro de este tipo de modelos se reconocen dos subclases que son:

Modelos centrados en el análisis crítico: se busca que los estudiantes emitan juicios críticos sobre las decisiones tomadas por otros en la solución de una situación determinada.

Modelos centrados en generar criterios para la toma de decisiones, este modelo busca entrenar a los estudiantes en la selección de la o las soluciones más apropiadas para una situación o problema particular.


3.3.3 Aplicación de la metodología del estudio de casos

Colbert y Desberg (1996) proponen tres fases que deben seguirse cuando se implementa el estudio de casos (tabla 3-3): Tabla 3-3: Fases en la implementación de estudio de casos

Fases

Fase preliminar Fase eclosiva Fase de

conceptualización

Presentación oral o escrita de la situación a los estudiantes.

Lluvia de ideas, opiniones, impresiones, juicios, posibles alternativas, entre otras por parte de los estudiantes y el docente con relación al caso planteado.

Formulación de conceptos operativos o de principios concretos de acción, aplicables en el caso actual y que permiten ser utilizados en una situación parecida.

3.3.4 Aprendizajes que fomenta

El empleo el estudio de casos tiene como propósito desarrollar habilidades cognitivas y competencias de pensamiento crítico. López (1997) señala que al emplear el estudio de casos los estudiantes desarrollan habilidades cognitivas y de trabajo en equipo fomentando adicionalmente motivación por el aprendizaje, ya que los alumnos por lo general encuentran el trabajo de estudio de casos más interesante que las lecciones magistrales y la lectura de libros de texto. Figura 3-2: Aprendizajes que se desarrollan a través de la metodología de estudio de casos

Toma de decisiones

Análisis y síntesis de la información

Escucha comprensiva

Autoexpresión y comunicación

Trabajo en equipo


3.4 Trabajo con datos reales

La inferencia estadística implica la recolección, organización e interpretación de sistemas complejos de datos, en la medida en que las sociedades crecen, los medios de comunicación traspasan las fronteras geográficas, se obtienen altos volúmenes de datos y surgen nuevas dinámicas sociales, económicas, laborales, culturales, educativas entre otras que harán cada vez más complicado el manejo de los datos así como la inferencia estadística, pero que se convierte en el punto de partida para la enseñanza de la inferencia estadística. Repensar la didáctica con un enfoque hacia los intereses y necesidades de los estudiantes representa un reto para el docente en la medida en que debe articular el conocimiento con la realidad próxima de los estudiantes que requiere de explicaciones a la luz de la teoría Hasta el momento se han presentado los aspectos conceptuales relacionados con la metodología de análisis de casos. Teniendo en cuenta que este trabajo tiene como propósito desarrollar una unidad didáctica para la enseñanza de la inferencia estadística, en estudiantes universitarios específicamente en lo relacionado con distribuciones en el muestreo, se hará una breve descripción de otro aspecto significativo dentro del contexto de la enseñanza de la estadística que está asociado al empleo de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

3.5 La enseñanza de la Inferencia estadística y el uso de las Tecnologías de la Información y la comunicación

Batanero (2011) afirma que el empleo de las TIC´s ha contribuido al desarrollo de la Estadística como disciplina y facilita el acceso de aplicaciones estadísticas a un número y diversidad cada vez mayor de usuarios, lo que genera en los individuos la necesidad de un nivel de formación básica en estadística. El uso de computadores y programas estadísticos durante la enseñanza de la Estadística ha sido centro de varias investigaciones por parte de los docentes de estadística como de investigadores. Shaughnessy et al., (1996) y Shaughnessy, Garfield y Greer (1997). El Instituto Internacional de Estadística organizó una conferencia sobre el uso del computador en la enseñanza de la estadística durante la década del 70, posteriormente en 1984 realizó otra conferencia sobre la misma temática en Camberra en 1984. En 1986 la IASE realizó una coferencia centrada en “el rol de la tecnología en la enseñanza y aprendizaje de estadística (Garfield y Burrill, 1997). Los cinco congresos realizados por ICOTS han tenido como uno de sus temas de interés el empleo de los computadores para la enseñanza y la investigación en el área de la inferencia estadística. Durante el quinto congreso ICOTS el uso de ordenadores en la enseñanza de la estadística fue uno de los núcleos temáticos del congreso. Muchos de los trabajos presentados en las diversas mesas de trabajo del congreso analizaron desarrollos de software, materiales para la enseñanza, instrumentos de evaluación, experiencias didácticas e investigaciones sobre el impacto del uso del computador en el aprendizaje y las actitudes de los alumnos (Pereira-Mendoza y cols., 1998). Tomando como referencia las diversas ponencias presentadas en estos congresos así como otros


trabajos de investigación se determina que hay varias formas de uso del ordenador en la enseñanza de la estadística, todas ellas de gran importancia y que suponen una revolución sobre la forma en que se debe enseñar y se debe aprender estadística. El incremento en los programas estadísticos ha ocasionado un impacto en la manera como se enseñan los contenidos de estadística a los estudiantes universitarios puesto que le permite al docente enfocar la asignatura hacia el desarrollo de habilidades de interpretación de los datos y la aplicación de los aspectos conceptuales. El uso de computadores disminuye el tiempo dedicado al desarrollo de operaciones matemáticas para hacer cálculos estadísticos lo que hace posible aumentar el número de datos que se pueden analizar. Otra ventaja al integrar el computador a la enseñanza de la inferencia estadística es que permite a los estudiantes experimentar y explorar todos los aspectos de los procesos estadísticos, desde la planificación de la muestra o del diseño experimental hasta la recolección y el manejo de datos, la simulación y el análisis, para interpretar y comunicar los resultados. En la actualidad las clases de estadística se convierten en un espacio interactivo donde el profesor puede diseñar actividades interesantes para introducir al alumno en el uso de programas estadísticos para la inferencia estadística así como para el aprendizaje del manejo de la calculadora científica y gráfica. Con base en la actividad que el profesor proponga a los alumnos puede solicitar un informe escrito en el que los estudiantes realicen un análisis comprensivo y estructurado con relación a la información estadística obtenida exponiendo de forma clara sus argumentos, lo que además les permite prepararse para sus futuras actividades en el campo profesional. Tal y como lo señala Pacheco (2010) “Los profesores se relacionan ahora con estudiantes inmersos en un mundo globalizado en el que la tecnología es parte de su cotidianidad y a través de ella tienen al alcance volúmenes de información al punto que se dice que vivimos la "sociedad de la información", lo cual exige a los docentes adecuar su práctica al entorno, haciendo necesario entonces, revisar las concepciones que sobre enseñanza y aprendizaje han estado presentes en el quehacer pedagógico”.

4. Propuesta didáctica

A lo largo de este documento se ha hecho énfasis en la necesidad de generar una propuesta didáctica de la enseñanza de la inferencia estadística que le permita al estudiante aplicar dichos conceptos en el análisis de fenómenos propios de su realidad. Para lograr establecer una conexión entre los contenidos de inferencia estadística del curso y los intereses de los estudiantes se utilizará la metodología de estudio de caso, siendo esta una oportunidad de aprendizaje significativo en la medida en que los estudiantes logran involucrarse tanto en la discusión como en la reflexión alrededor del mismo, desarrollando habilidades de análisis, síntesis, evaluación de información, pensamiento crítico, trabajo en equipo y toma de decisiones. Luego de conocer los aspectos generales que han fundamentado el diseño de la unidad metodológica, se presenta su aplicación mediante el desarrollo de un caso específico, de igual modo el desarrollo de este tuvo en cuenta los principios de Mucchielli (1970) en cuanto a: a) Autenticidad: los datos que se presentan en el caso provienen de un artículo de

investigación publicada en la revista del Instituto Nacional de salud Biomédica. b) Urgencia de la situación: conforme al carácter de los datos, es posible plantearle al

estudiante un problema que genere en él el análisis de los datos para la toma de decisiones en cuanto a los procesos estadísticos así como realizar inferencias sobre la confiabilidad de los resultados.

c) Orientación Pedagógica: la manera como se organizan los casos busca facilitar la comprensión de conceptos básicos relacionados con la inferencia estadística así como comprender su relevancia dentro de su proceso de formación profesional.

d) Totalidad: el diseño de la unidad didáctica considera toda la información necesaria y se proyecta a resolver posibles inquietudes que se generen durante el desarrollo del mismo.

4.1 Estructura de la unidad

La unidad didáctica se enmarca dentro de una estructura que contempla tres fases: preliminar, eclosiva y de conceptualización. La tabla 4-1 da cuenta de los propósitos y descripción de cada una de ellas.


Tabla 4-1: Estructura de la unidad didáctica

TEMA: Inferencia Estadística-Distribuciones en el muestreo

Objetivo: Ilustrar algunos conceptos básicos relacionados con la inferencia estadística a través de la construcción de distribuciones de probabilidad de los estimadores estadísticos utilizando la herramienta Excel.

FASES PROPOSITO DESCRIPCIÓN

Preliminar Presentar a los estudiantes el caso elegido para el desarrollo de la unidad didáctica

Cada estudiante realiza la lectura del caso de manera individual y se le pide que haga una descripción del mismo con sus palabras. En un segundo momento se abre el espacio para que en grupos pequeños socialicen sus descripciones y lleguen a un consenso.

Eclosiva Modelar la situación presentada a través de un ejercicio sencillo de simulación.

Se plantea una pregunta frente a la cual en un primer momento se recogen posibles respuesta a manera de lluvia de ideas. Para orientar la reflexión acerca de esta pregunta se desarrollar un ejercicio sencillo a manera de ilustración utilizando la herramienta Excel.

Conceptualización Revisar y analizar los resultados de las simulaciones desde la teoría.

A través de la discusión de las respuestas a las preguntas formuladas en las actividades, establecer principios concretos de acción, aplicables en el caso actual y que permiten ser utilizados en una situación parecida.

4.2 Unidad Didáctica

Caso: Perfil Lipídico en una comunidad en Calarcá, Colombia Fuente: Estudio realizado en la Facultad de Formación Avanzada e Investigaciones de la Universidad del Quindío y publicado en la revista Biomédica (Arias et Al 1997).

4.2.1 Fase Preliminar

Actividad 1. Lea atentamente el caso: “Las enfermedades cardiovasculares (EC), en general, y la cardiopatía isquémica, en particular, constituyen un importante problema de salud pública por su alta mortalidad, morbilidad, costos médico-hospitalarios e impacto laboral por su poder incapacitante. Estas patologías constituyen la primera causa de muerte en la población adulta en Colombia después de las muertes por violencia. Dado que, en nuestro país, no se han determinado con exactitud parámetros propios del comportamiento de los Lípidos sanguíneos en la población, se hace necesaria su caracterización para que se puedan

Propuesta didáctica 33

establecer políticas de intervención para la prevención y control de EC, tanto a nivel individual como poblacional. Este trabajo intenta contribuir al estudio poblacional del comportamiento de los niveles de Lípidos en poblaciones colombianas. Se determinaron los niveles de colesterol total (CT), colesterol en lipoproteínas de baja densidad (C-LDL), colesterol en lipoproteínas alta densidad (C-HDL) y triglicéridos (TG), en sueros de 71 varones escogidos al azar con edades comprendidas entre 20 y 70 años. Los resultados de este estudio muestran que 21,1% de la población presenta colesterol mayor de 200 mg/dL, 66,2% C-HDL menor de 35 mg/dL, 5,6% presentan C-LDL mayor de 150 mg/dL y 36,6 presenta TG mayor de 150 mg/dL. Estos datos indican que, para esta población, el factor protector para las EC (C-HDL) está seriamente afectado y, además, presenta una hipertrigliceridemia aislada. Se encontró una alta incidencia sobre los valores del perfil lipídico de los factores de riesgo no lipidicos como son el índice de masa corporal, el fumar, los antecedentes familiares y la edad. Los resultados obtenidos en el presente estudio se asemejan a los encontrados para poblaciones de países en desarrollo y los encontrados en estudios de poblaciones colombianas, por tal motivo deben iniciarse estrategias de prevención y educación para el control de la EC. La tabla 4-2 presenta la media y la desviación estándar de los valores del perfil lipídico y el índice arterial de la población en estudio, discriminados por intervalos de edad. Los datos más interesantes en esta tabla los dan los triglicéridos, el índice arterial (IA) y C-HDL. En toda la población, los TG y el IA están por encima de los niveles deseables (<150 mg/dL ) para los TG y (<3.5) para el IA; C-HDL, en la mayoría está por debajo de 35 mg/dL, excepto para el grupo más joven, lo que muestra una población en términos generales en alto riesgo de sufrir EC, independientemente de las cifras de colesterol.” (Arias et Al 1997). Tabla 4-2: Media y desviación estándar del perfil lipídico por intervalos de edad

Perfil Lipídico Intervalo de edad en años

20-30 (13) 31-40(29) 41-50(10) 51-60(9) >61 (10)

CT 167,3 ±22 171,8 ±32 76,6 ±26 201,2 ±48 173,8 ±38

C-HDL 40,04 ±29 33,0 ±12 34,4 ±9,6 31,6 ±5 34,4 ±12

C-LDL 88,5 ±32 102,3 ±30 104,0 ±18 127,5 ±43 111,2 ±34

TG 190,3 ± 115 207,8 ±120 178,2 ±140

205,4 ±152 137,1 ±50

IND. ARTERIAL

5,3 ±2,4 5,5 ±1,7 5,4 ±1,5 6,6 ±2,4 5,6,3 ±2,4

Se determinó el porcentaje de individuos de la población con alteraciones del perfil lipídico, tal como se muestra en la tabla 4-3.


Tabla 4-3: Porcentaje de individuos de la población total con alteraciones de perfil lipídico

Perfil lipídico Valores de

riesgo* (mg/dL)

Individuos con alteraciones del perfil

lipídico

CT ≥200 21,1

C-HDL ≤35 66,1

C-LDL ≥50 5,6

TAG ≥150 36,3

IMC** ≥27 33,8

* Valores tomados del programa de Educación sobre colesterol de los Estados Unidos ** Valor de referencia (17)

4.2.2 Fase Eclosiva

A partir de los resultados del estudio se concluye que los factores de riesgo importante fueron los altos niveles de TG y los bajos niveles de C-HDL. Estos resultados confirman otros hallazgos realizados en poblaciones colombianas que muestran la tendencia de la población a padecer de hipertrigliceridemia aislada. Ante la imposibilidad de hacer todas las muestras posibles del universo, es decir de toda la población colombiana masculina entre los 20 y los 70 años. ¿Qué validez puede tener el resultado obtenido de esta muestra de 71 individuos?. Para orientar la reflexión acerca de esta pregunta vamos a desarrollar un ejercicio sencillo a manera de ilustración utilizando la herramienta Excel. Actividad 2. Considere una población finita de 5 elementos o individuos, para distinguirlos, denótelos A, B, C, D, E, las variables a observar en los individuos son las variables sexo y Talla o estatura. Con respecto a la variable sexo asigne un valor que codifique la observación niño=1 y la observación niña=0. Este recurso permite transformar una variable nominal en cuantitativa, De manera que se puede determinar la cantidad de niños o niñas que hay al observar cada elemento de la población. Luego registre para cada observación valores para la estatura en centímetros y asigne un valor para el sexo (figura 4-1).


Figura 4-1: Identificación de variables

Una vez definidas la población y las variables observadas, procedemos a determinar los parámetros de la población: promedio, varianza, proporción por sexo (escoja una de las dos opciones) y la varianza según el sexo (figura 4-2)

Calcule el promedio de la variable talla a través de la función promedio en Excel =PROMEDIO()

Calcule la varianza de la variable talla a través de la función varianza poblacional en Excel =VARP()

Determine de manera similar el promedio y la varianza de la variable talla.

Figura 4-2: Cálculo de los parámetros poblacionales


Ahora vamos a estudiar el comportamiento de la población (universo) partiendo de una muestra, tratando de inferir estos parámetros a través de una muestra seleccionada teniendo en cuenta el orden y la posibilidad de que un mismo elemento este presente varias veces muestra, es decir vamos a considerar una muestra ordenada con repetición (MOCR).

Consideremos todas las muestras posibles de tamaño n=2. En total se tienen 25 muestras que son:

Elabore una tabla que contenga las 25 muestras posibles (figura 4-3) Figura 4-3: Muestras posibles

Inserte dos columnas más y registre los valores de la variable talla correspondientes a cada una de las muestras (figura 4-4)

A,A A,B A,C A,D A,E

B,A B,B B,C B,D B,E

C,A C,B C,C C,D C,E

D,A D,B D,C D,D D,E

E,A E,B E,C E,D E,E


Figura 4-4: Valores de las variables para las muestras

Inserte otra columna y calcule el promedio de la variable talla para cada muestra (figura 4-5)

Calcule la probabilidad de ocurrencia para cada muestra, que para este caso será de 1/25. (figura 4-5)

Figura 4-5: Promedio y probabilidad para cada muestra

Como cualquiera de las muestras sería posible entonces por ejemplo la variable aleatoria talla puede ser analizada desde su valor esperado y su variabilidad.


Calcule el valor esperado de los promedios de las muestras. Para ello en otra

columna multiplique el promedio de cada muestra por su probabilidad y luego sume estos resultados. (figura 4-6)

Calcule la varianza de los promedios de la muestras (figura 4-6) Figura 4-6: Valor esperado y varianza de los promedios de la muestras

Actividad 3. Ahora realice el mismo análisis para la variable sexo

En otra hoja inserte tres columnas más y registre los valores de la variable sexo correspondientes a cada una de las muestras y calcule los respectivos promedios (figura 4-7).


Figura 4-7: Valores de las variables para las muestras y sus promedios

Calcule la probabilidad de ocurrencia para cada muestra y el valor esperado de los promedios (proporción) de las muestras (figura 4-8)

Figura 4-8: Valore esperado de la proporción de las muestras


Calcule la varianza de los promedios de la muestras (figura 4-9)

Figura 4-9: Varianza de los promedios de las muestras

Ahora vamos a construir la representación gráfica de la proporción de niños o de niñas. Pare ello construye una tabla que incluya los promedios posibles en cuanto al sexo y el porcentaje de muestras que están dentro de estos promedio (figura 4-10).

Figura 4-10: Distribución de probabilidades de la proporción


Actividad 4. Replique la simulación desarrollada en las actividades 2 y 3 considerando todas las muestras posibles de tamaño n=3 (En total tendría 125 muestras posibles).

4.2.3 Fase de conceptualización

Actividad 5. De acuerdo con la información que suministran las actividades 2,3 y 4 responda las siguientes preguntas:

¿Qué implicación tiene hacer la selección de muestras utilizando el muestreo ordenado con repetición? ¿En qué variaría el ejercicio?

Observe la variable sexo y escoja 1 muestra de todas las 25 muestras posibles. ¿Qué puede inferir respecto la variable sexo? Si usted escoge otra muestra ¿varía la inferencia respecto a proporción de la variable sexo?

Observe que el valor esperado del promedio de las muestras para cada una de las variables coincide con el parámetro de la población. Interprete para cada variable el valor obtenido de la varianza del promedio de las muestras.

¿Puede esperarse que la proporción de niños (o de niñas) en una muestra escogida de manera aleatoria sea idéntica a la proporción de niños (o de niñas) en la población?

Interprete con sus palabras los resultados obtenidos para la desviación estándar de la proporción de las muestras.

Interprete con sus palabras los gráficos de distribución de probabilidades de la proporción.

Es a través de la muestra que se pueden inferir (aproximar) los parámetros poblacionales ante la imposibilidad (en la vida real) de poder estudiar todas las muestras posibles. Considere nuevamente el caso presentado. ¿Cuál de todas las muestras posibles considera usted es la presentada en el caso del perfil lipídico.

Actividad 6. Analizar los niveles de TG encontrados en la población de estudio. Simular a través de la herramienta Excel la distribución de las posibles medias muéstrales de niveles de TG, para lo cual se deben seguir los siguientes pasos: Generar 10000 muestras aleatorias de tamaño 30 en una hoja de datos en Excel. Se

marca cada columna con el número correspondiente a cada muestra (figura 4-11)


Figura 4-11: Identificación de muestras

Generar números aleatorios que correspondan al nivel de TG: seleccione de la tabla 1, un valor de media y desviación estándar. En la celda A2 digite la función =DISTR.NORM.INV(aleatorio();media;desviaciónestándar) e introduzca los valores seleccionados previamente. Para el ejemplo, se tomaron los valores 205,4 ±152 medidos para el rango de edad de 51 a 60 años (figura 4-12).

Figura 4-12: Generación del primer número aleatorio para la muestra 1

Calcular los números aleatorios para todas las muestras de tamaño 30: copiar y pegar la fórmula en las celdas restantes (figura 4-13).

Figura 4-13: Generación de números aleatorios para todas las muestras


Calcular la media de cada muestra: digite la fórmula =Promedio() en la última fila de cada columna especificando el rango de cada muestra (figura 4-14)

Figura 4-14: Generación de medias muestrales

Elaborar el histograma de frecuencias: en la ficha “Datos”, grupo “Análisis de Datos”, se elige la opción “Histograma”. Se selecciona como rango de entrada las celdas correspondientes a las medias muestrales y como rango de salida otra celda que este libre y se da click en aceptar para que Excel genere la gráfica (figuras 4-15, 4-16, 4-17).


Figura 4-15: Generación de distribución de frecuencias (a)

Figura 4-16: Generación de distribución de frecuencias (b)


Figura 4-17: Generación de distribución de frecuencias (c)

Comparar los valores de la media y la desviación estándar de la simulación con los valores teóricos: utilizar las fórmulas =promedio () e =desvest() eligiendo como rango las medias muestrales (4-18).

Figura 4-18: Comparación de medias y desviación estándar

Actividad 7.

Observe la variable nivel de TG y escoja 1 muestra de todas las muestras posibles. ¿Qué puede inferir respecto la variable niveles de TG? Si usted escoge otra muestra ¿varía la inferencia respecto a proporción de la variable?

Observe que el valor esperado del promedio de las muestras para cada una de las variables coincide con el parámetro de la población. Interprete para cada variable el valor obtenido de la varianza del promedio de las muestras.


¿Puede esperarse que la proporción niveles de TG en una muestra escogida de manera aleatoria sea idéntica a la proporción de niveles de TG en la población?

Interprete con sus palabras los resultados obtenidos para la desviación estándar de la proporción de las muestras.

Interprete con sus palabras los gráficos de distribución de probabilidades de la proporción.

Elabore un comparativo entre los resultados de las diferentes simulaciones y los valores teóricos ¿Qué puede concluir?

Actividad 8.

Analizar los niveles de C-HDL encontrados en la población de estudio. Desarrolle la simulación siguiendo los pasos descritos en la actividad anterior, pero con respecto a los niveles de C-HDL. Elabore un comparativo entre los resultados de las diferentes simulaciones y los valores teóricos ¿Qué puede concluir?

Caracterice las distribuciones obtenidas a medida que aumenta el tamaño de la muestra

Con base en los resultados de individuos con alteraciones en el perfil lipídico (tabla 2), podría asegurarse que en una población mayor esos valores se mantienen? Presente sus argumentos desde el análisis de los datos obtenidos.

5. Conclusiones

La metodología de estudio de casos permite que el estudiante se enfrente a una situación en un contexto real, es decir, en un campo específico de conocimiento que debe ser comprendido, valorado y resuelto. Con el escogido se motivaron los siguientes temas: Salud pública y enfermedades cardiovasculares.

El caso seleccionado permitió plantear los aspectos teóricos que dan sustento a las conclusiones planteadas en términos de inferencia de la proporción, la media y la varianza.

Las herramientas tecnológicas posibilitan la modelación de los conceptos de los estimadores estadísticos, para que partiendo de la intuición se establezcan generalidades.

La obtención de una muestra aleatoria simple, como la referida para el caso de estudio en la práctica de aula, aparece con sesgos como por ejemplo: de vecindad o de ubicación. Didácticamente esto se puede superar a través de ejercicios de simulación que muestren el sentido de considerar todas las muestras posibles.

Discutido lo teórico, interpretar el caso muestra el sentido de insesgamiento que caracteriza a un estimador a partir de la muestra, adicionalmente induce a entender la idea de que entre más muestras se puedan considerar menor será el error.

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