Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• identificará una variable aleatoria continua• distinguirá y aplicará el concepto de función de den- sidad de probabilidad y de función de distribución acumulada, de una variable aleatoria continua• calculará probabilidades por medio de las variables aleatorias continuas• encontrará el valor esperado de una variable aleatoria continua• encontrará la varianza de una variable aleatoria continua• resolverá problemas relacionados con el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria continua

UNIDAD

7

Introducción

Ya se han estudiado variables aleatorias discretas en las que se debía realizar un conteo para determinar sus puntos muestrales. En esta unidad se verán experimentos donde las variables aleatorias son resultado de una medición y los espacios muestrales no son contables. Por ejemplo,

• al medir la altura de las personas • al medir la humedad en una región del país • al medir el tiempo de espera de una persona en el banco, etcétera

Los ejemplos anteriores tienen la particularidad de que los valores de la variable no secuentan, puesto que no es posible, sino que se miden.

Basándose en lo anterior, las variables aleatorias que se definan en estas condiciones tomarán valores continuos; por tanto, la asignación de probabilidades no se puede realizar de la misma forma que se hizo con las variables aleatorias discretas. Este problema de asignación se elimina con la introducción de la teoría de la medida en forma continua, por medio de los métodos de integración. Una vez más se aplicarán técnicas del cálculo para resolver problemas de probabilidades.

La unidad comienza con asignar una función a los puntos muestrales de unexperimento continuo. Posteriormente, para las variables aleatorias continuas, se definen algunos conceptos como

• función de densidad• función de distribución acumulada• el valor esperado de la variable aleatoria continua• la varianza de la variable aleatoria continua

7.1 Variables aleatorias continuas

En las unidades 5 y 6 se estudiaron las variables aleatorias como una función cuyodominio es el espacio muestral del experimento realizado y su rango un subconjunto de los números reales. Se analizaron también experimentos que requieren del conteo de sus elementos, lo que da origen a variables aleatorias discretas, es decir, variables con dominios finitos o infinitos numerables. Sin embargo, en la práctica resultan una infinidad de experimentos, en los cuales sus resultados se obtienen por mediciones y sus valores pueden ser cualesquiera de los puntos de un intervalo.

1. Al lanzar una moneda, se calcula el área en que puede caer. En este caso, es posible notar que la cantidad de resultados posibles no es

contable, puesto que el resultado puede ser cualquier región de un área determinada. Del cálculo se sabe que un área tiene una cantidad no numerable de puntos.

2. La humedad de cierta región es medible y a cada medición de humedad se le puede asignar un punto único en un intervalo.

Ejemplo 1

208

3. La estatura de los estudiantes de una universidad. Al medir a los estudiantes, se puede asignar un valor dentro de un intervalo a

cada una de sus estaturas.4. El tiempo de espera en una fila de una oficina, negocio, etcétera. Al medir el tiempo de espera, se le puede asignar un punto cualesquiera de un

intervalo.5. La precipitación pluvial en un punto geográfico. Se puede medir y asociar a cada valor un punto dentro de un intervalo.

Una variable aleatoria X de un experimento aleatorio con rango RX, se llama variable aleatoria

continua (vac ) cuando el conjunto RX es un intervalo del conjunto de los números reales R.

Como se observó en los ejemplos anteriores, generalmente este tipo de variables tiene cabida cuando la variable del experimento es tal, que se requiere de una medición para determinar sus elementos.

Para la asignación de probabilidades de las variables aleatorias continuas, a diferencia de las variables aleatorias discretas, resulta un poco más complejo el problema, puesto que en éstas últimas se pueden contar las probabilidades P(X = xi ) y posteriormente sumarlas, mientras que en las variables aleatorias continuas (como se verá más adelante) no se puede. Por otro lado, en las variables aleatorias continuas X la cantidad de elementos no es contable. Por tanto, P(X = x) incluso pierde significado, como se verá en unos momentos, puesto que la probabilidad en un punto de una variable aleatoria continua siempre será igual a cero.

En las variables aleatorias continuas el primer problema que se debe resolver es la asignación de probabilidades. En la definición de variable aleatoria (unidad 5), secomentó sobre la importancia de haber introducido las funciones en el estudio de la teoría de las probabilidades, puesto que se heredaban todas las propiedades de la teoría de funciones al cálculo de probabilidades. Continuando con el uso de la teoría de funciones es necesario introducir una función que permita realizar el cálculo de probabilidades con variables aleatorias continuas.

7.1.1 Función de densidad de probabilidad

En unidades anteriores las sumatorias se relacionaban con el cálculo de probabilidades de variables aleatorias discretas; el cálculo de probabilidades de las variables aleatorias continuas se relaciona con el estudio de las integrales. Dada una variable aleatoria continua X, para resolver el problema sobre el cálculo de probabilidades de la variable, se introduce una función f(x) definida en todo R, de la siguiente forma:

A la función f(x) función de densidad de

probabilidad (fdp ), de la variable aleatoria continua X, si cumple con las condiciones:

a) f(x) 0, para toda x R

b) f x dx( ) 1

c) para cualesquiera números reales a y b, tales que a b; se tiene P a X b f x dxa

b

( ) ( )

Definición 7.1

Definición 7.2

209

1. En cálculo integral se llama función sumable a la función cuya integral en R es finita (dicha función no necesariamente es continua); en nuestro caso, f(x) es función sumable. Para propósitos del curso, se considerará que el conjunto de los puntos de discontinuidad es finito.

Por ejemplo,

• todas las funciones continuas en intervalos cerrados son sumables• todas las funciones seccionadas que sean continuas dentro de sus intervalos

y acotadas en sus puntos de discontinuidad, siendo éstos una cantidad finita

2. Antes de continuar se debe notar que f(x) no representa alguna probabilidad; las probabilidades en un intervalo (a, b) están representadas por el área bajo la curva de la función f(x), en dicho intervalo (ver la figura 7.1).

Verificación de los axiomas de Kolmogorov en variables aleatorias continuas

Se verifica que la asignación de probabilidades según el inciso c) de la definición 7.2, función de densidad, cumple con los tres axiomas de Kolmogorov en el espacio muestral S = R.

Dada X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x).

1. El primer axioma se deduce del inciso c) de la definición de función de densidad: Para cualesquiera números reales a y b, tales que a b, se tiene

P a X b f x dxa

b

( ) ( ) 0

Lo anterior se cumple puesto que f(x) 0 (inciso a)), a b y mediante cálculo integral, se sabe que la integral de una función no negativa no puede ser negativa en un intervalo creciente.

2. El segundo axioma se deduce del inciso b) de la definición de una función de densidad,

P S P X f x dx( ) ( ) ( ) 1

3. El tercer axioma se deduce de la propiedad aditiva de las integrales.

Como se ha comprobado, la definición de función de densidad en su tercer punto proporciona una fórmula para calcular probabilidades de variables aleatorias

Observaciones

210

continuas. Por tanto, es posible calcular cualquier probabilidad de una variable aleatoria continua, en particular, en un punto por medio de

P X a P a X a f x dxa

a

( ) ( ) ( ) 0

Esto demuestra que si la probabilidad de un evento es cero, no necesariamente elevento es el vacío.

7.1.2 Función acumulada de una variable aleatoria continua

Por lo visto en la unidad 5, una variable aleatoria puede ser clasificada no sólo por su distribución, sino también por su función de distribución acumulada. A continuación se verá que la función de distribución acumulada muestra cuándo una variable aleatoria es discreta o continua. En la unidad 5 se determinó que la función de distribución acumulada era una función discontinua en cada punto de la variable, en esta unidad será posible distinguir que la función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua, es continua en todos los reales.

Dada X una variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad f(x), se llama función de distribución acumulada (fda ) de la variable aleatoria continua X, a la función F(x),

F x P X x f t dtx

( ) ( ) ( ) para toda x R

Propiedades de una función de distribución acumulada

En la siguiente unidad es posible apreciar que el estudio de las funciones de distribución acumulada juega un papel muy importante en el cálculo de probabilidades, para lasvariables cuya función de densidad no es tan fácil integrar. Por tanto, es fundamental tener un mejor conocimiento de éstas; se comenzará con el estudio de algunas de sus propiedades.

A partir de la definición de F(x), se deduce

• F(x) es una función no decreciente ; es decir, para todos los reales x e y, si x y, entonces F(x) F(y).

La comprobación es muy sencilla; se deduce de lapropiedad aditiva de las integrales y el primer axioma de Kolmogorov

F y f t dt f t dt f t dt F x f t dt F xy x

x

y

x

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

• lím ( )x

F x 0

Definición 7.3

211

• lím ( )x

F x 1

• Mediante la función de distribución acumulada se pueden efectuar los cálculos de las probabilidades sin necesidad de integrar a la función de densidad de probabilidad (ver ejemplo 2, numeral 3).

Dada f(x) una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, entonces su función de distribución acumulada F(x) es

• continua en todos los números reales

• diferenciable1 en todos los números reales, menos en los puntos de discontinuidad de f(x)

La continuidad de la función de distribución acumulada es la motivación para llamar a su variable aleatoria correspondiente continua.

Del teorema anterior se deduce que cuando se conoce una función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X, se puede encontrar su función de densidad correspondiente, por medio de

f xdF x

dx( )

( )

en los puntos donde la función de distribución acumulada es diferenciable.

En la solución de problemas relacionados con funciones de densidad de probabilidad y funciones de distribución acumulada de una variable aleatoria continua, se emplea constan-temente el cálculo de integrales impropias, y muy a menudo las funciones seccionadas, por lo que se recomienda dar un repaso a estos temas antes de realizar ejercicios.

1. Dada una variable aleatoria continua X y una función definida en todos los números reales, se calculan el valor de k, con el cual f(x) es una función de densidad de X, y su función de distribución acumulada.

a) f x

k x

x x( )

, ( , )

, ( , )

,

2 0 2

2 2 3

0

si

si

en otro lugar

b) f x

k x

x x( )

, ( , )

, ( , )

,

2 0 2

2 2 4

0

si

si

en otro lugar

Para resolver este tipo de problemas, se debe comprobar las primeras dos condiciones de la definición de una función de densidad de probabilidad.

Teorema 7.1

Nota

Corolario

Nota

Ejemplo 2

1 Una función es diferenciable en un punto, si tanto ésta como su derivada son continuas en dicho punto.

212

a) la primer condición: f(x) 0, se cumple para valores de k 0. La segunda condición

f x dx( ) 1

f x dx dx k dx x dx dx k dxx

( ) ( ) ( )(

0 2 2 0 20

0

2

2

3

3 0

2 22

2

41

2

0

24

1

21

2

2

3)

x

x

k k

Despejando k de la última expresión, resulta k = 1/ 8. Para calcular la función de distribución acumulada, integramos por secciones

F x

dt x

dt dt x

dt

x

x

( )

, ,

, ,

0 0

028

0 2

0

0

0

0

si

si

14

2 2 3

014

2

0

2

2

0

0

2

2

dt t dt x

dt dt t dt

x

( ) , ,

( )

si

33

3

0 3

0 0

4

dt x

x

x

x

, ( , )

, ,

,

si

si

ssi

si

si

x

xx

x

0 2

1

2

2

22 3

1 3

2

,

( ), ,

, ( , )

Las gráficas de las funciones de densidad de probabilidad y de distribución acumulada obtenidas se muestran en la figura 7.2.

Generalmente, se olvida verificar la primer condición de una función de densidad y únicamente se comprueba el resultado de la segunda condición, cometiendo con esto un grave error, como se verá a continuación.

b) la segunda condición

f x dx( ) 1

se comprueba, puesto que

f x dx dx k dx x dx dx k dxx

( ) ( ) ( )(

0 2 2 0 20

0

2

2

4

4 0

2 22

24 2

0

2

4 2 1

2

2

4)

x

x

k

k

213

Despejando k de la última expresión, k = –1/4. En caso de no verificar la primer condición de la definición de función de

densidad de probabilidad se cometerá el error de introducir una función de densidad de probabil idad negativa. La primer condición, f(x) 0, se cumple para valores k 0. Por tanto, la respuesta correcta para este caso es: no existe valor de k, con el cual la función f(x) sea una función de densidad de probabilidad.

2. Dada una variable aleatoria continua X y una función F(X), definida en todos los números reales, se determina si F(X) es una función de distribución acumulada para X. En caso de que fuera una función de distribución acumulada, encontrar su función de densidad de probabilidad y sus gráficas.

a) F x

x

x x

x

( )

, ,

, ,

, ( , )

0 1

1 1 2

1 2

2

si

si

si

b) F x

x

xx

x

( )

, ,

, ,

, ( , )

0 1

16

1 2

1 2

2

si

si

si

c) F x

x

xx

x

( )

, ,

, ,

, ( , )

0 1

1

31 2

1 2

2

si

si

si

En general, para resolver este tipo de problemas y determinar si es una función de distribución acumulada, se deben verificar las siguientes condiciones

• lím ( )x

F x 0

• lím ( )x

F x 1

• la función F(x) debe ser no decreciente • la función F(x) debe ser continua en todos los números reales

a) se puede comprobar que se cumplen

lím ( ) lím ( )x x

F x F x0 1y

Por otro lado, no se cumple que F(x) sea no decreciente, ya que la función vale 3 en x = 2, mientras que a la derecha de dos vale 1. Por tanto, F(x) no es una función de distribución acumulada.

b) se puede comprobar que se cumplen

lím ( ) lím ( )x x

F x F x0 1y

Nota

214

Por otro lado, F(x) es no decreciente. Pero F(x) no es función de distribución acumulada, ya que, como se verá a continuación no se cumple la continuidad de la función en todos los números reales, condición obtenida del teorema 7.1.

Se comprueba la discontinuidad de F(x) en x = 2, mediante el teorema de los límites unilaterales para la existencia de un límite

lím lím

lím lím

x x

x x

F xx

F x

2 0 2 0

2

2 0 2 0

1

6

1

2

1 1

( )

( )

Como los límites unilaterales son diferentes, se concluye que no existeomo los límites unilaterales son diferentes, se concluye que no existe límite en x = 2. Por tanto, la función F(x) es discontinua y no podrá ser una función de distribución acumulada.

c) se puede comprobar que se cumplen

lím ( ) lím ( )x x

F x F x0 1y

F(x) es no decreciente. La continuidad se verifica fácilmente, puesto que los únicos puntos posibles de discontinuidad son x = 1 y x = 2, comprobando su continuidad en los puntos.

Para el punto x = 1, se tiene

lím lím

lím lím

x x

x x

F x

F xx

1 0 1 0

1 0 1 0

2

0 0

13

0

( )

( )

y, por tanto, el límite en x = 1 existe y es igual a cero.Para el punto x = 2, se tiene

lím lím

lím lím

x x

x x

F xx

F x

2 0 2 0

2

2 0 2 0

13

1

1 1

( )

( )

La función es continua en estos puntos, por lo que F(x) sí es una función de distribución acumulada.

Para encontrar su función de densidad correspondiente, se emplea el corolario del teorema 7.1.

Se deriva F(x)

f xdF x

dx

ddx

x

d

dx

xx( )

( )

( ),

,

0

1

31

2

si , 1

si ,,

( ), ( , )

, ,

,

si

si

en 2

12

23

1 2

0d

dxx

x x

ootro lugar

215

3. Mediante la siguiente función de distribución acumulada

F xx

xx

( ),

,

0 0

11

102

si

si

se calculan las siguientes probabilidades

a) P(2 X 5) b) P(X 3) c) P(X 3 | X 1)

Una forma de calcular dichas probabilidades puede ser encontrando la función de densidad de probabilidad correspondiente, por medio del corolario del teorema 7.1, posteriormente, con la fórmula para el cálculo de probabilidades de una variable aleatoria continua, se calculan las probabilidades deseadas.

Otra forma consiste en emplear la función de distribución acumulada. Puesto que F(x) representa la suma de todas las probabilidades, desde menos infinito hasta el valor dado de x, se tiene

P X b f x dx F b

P a X P X a f x dx F a

P

b

a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a X b f x dx f x dx f x dx F b F aa

b b a

Para efectos de este ejercicio, se empleará la última forma y, como se verá, es mucho más cómodo hacer cálculos de probabilidades cuando se conoce la función dedistribución acumulada.

a) P X F F( ) ( ) ( )2 5 5 2 11

5 11

1

2 1

126

15

2112 2 330

b) P X P X F( ) ( ) ( )3 1 3 1 3 1 11

3 1

1

102

–1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

f (x)

F (x)1.1

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

–0.1–1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1.5

1.3

1.1

0.9

0.7

0.5

0.3

0.1

–0.1

216

c) P X XP X

P X

F F

P X( | )

( )

( )

( ) ( )

( )3 1

1 3

1

3 1

1 1

1

3 1

1

1 11

2 2

FF( )1

110

12

11

1 1

41012

4

52

El estudio de la función de distribución acumulada de las variables aleatorias continuas parece no ser de trascendencia, sin embargo, es de suma importancia en el estudio de las probabilidades y la estadística. Por medio de la función de distribución acumulada o de su función de densidad de probabilidad, se puede identificar el tipo de variable en estudio. Por ejemplo, en la estadística se emplea la función de distribución acumulada o la función de densidad de probabilidad de una variable para realizar una prueba de bondad de ajuste, a la que se le llama criterio de Kolmogorov-Smirnov. Ésta consiste en determinar la variable aleatoria continua que más se asemeje a la distribución de datos de un cierto fenómeno en estudio, los cuales se han dividido en clases de frecuencias, y por medio de dichas clases se obtiene su frecuencia acumulada, con base en la cual se establece el tipo de variable continua con la que se ajustarán. Es decir, se pueden interpolar diferentes valores intermedios de las frecuencias dadas.

Otra aplicación de la función de distribución acumulada muy común se tiene en lasimulación de modelos estocásticos, para la obtención de números aleatorios; donde se emplea la función de distribución acumulada de distintas variables para obtener diferentes series de números aleatorios.

Ejercicio 1

1. La siguiente figura representa una función de densidad de probabilidad f(x).

¿Qué valor de k debe tener f(x) para que sea una función de densidad de probabilidad? 2. Sea X una variable aleatoria continua, determina el valor de k, para que la siguiente

función sea una función de densidad de probabilidad.

f x

x x

k x x( )

,

,

,

si

si

en cualquier otro caso

0 1

1 2

0

3. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad está dada por

f x

ax x

x x( )

,

,

,

si

si

para otros valores

1 0

0 1

0

2

Nota

X

k

0 1 2 3

f (x)

217

a) determina el valor de la constante a b) calcula la función de distribución acumulada c) calcula P(–1/ 2 X 1/ 3)

4. Dada X una variable aleatoria continua, con función de distribución acumulada

F x

x

xx x

xx

( )

,

,

,

0 2

22 2 3

24 7

2

2

si

si 2

si 33

si

x

x

4

1 4,

a) calcula la función de densidad f(x) b) calcula P(X 2.4 | X 3.5)

5. Dada X una variable aleatoria, con función de distribución acumulada

F x

x

xx

xx

x

( )

,

,

,

0 0

80 2

162 4

1 4

2

si

, si

si

si

a) calcula la función de densidad de la variable aleatoria X b) calcula P(X 3 | X 1.5) 6. Determina si la siguiente función es una función de densidad de probabilidad.

f(x) = x + 1/ 2 para x (–1, 1)

7. Dada X una variable aleatoria, comprueba si la siguiente es una función de distri-bución acumulada para X.

F x

x

xx

xx

x

( )

,

,

,

0 0

80 2

252 5

1 5

2

si

, si

si

si

7.1.3 Valor esperado de una variable aleatoria continua

Los parámetros valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta se estudiaron en la unidad 5. Para las variables aleatorias continuas se conserva la interpretación, sólo cambia la fórmula para hacer cálculos, puesto que la sumatoria se cambia por una integral.

218

Dada X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x), se llama valor esperado de o esperanza matemática de , al valor que denotamos por E(X) o X, y se calcula por

E X xf x dx( ) ( )

Se dice que el valor esperado de la variable aleatoria continua X existe, si y sólo si, la integral impropia anterior converge absolutamente; es decir

x f x dx( ) es finita

Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria continua

Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. Primero veremos una propiedad referente al valor esperado de la función de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad conocida. Su demostración es similar a la de las variable aleatorias discretas, por lo que la omitiremos.

Dado un experimento con una variable aleatoria continua X y función de densidad de probabilidad f(x), si Y = h(X) es una función en X, entonces

E Y E h X h x f x dx( ) ( ) ( ) ( )

Se verá ahora mediante un teorema, una propiedad relativa al desplazamiento y proporcionalidad de una variable aleatoria.

Dado un experimento con una variable aleatoria continua X y función de densidad de probabilidad f(x), sea Y = h(X) = aX + b una función con a y b constantes, entonces

E(Y) = aE(X) + b

1. Si X = c, entonces E(X) = c. Es decir, el valor esperado de una constante, es la misma constante.

2. Si Y = aX, entonces E(Y) = aE(X).

7.1.4 Varianza de una variable aleatoria continua

De forma similar a las variables aleatorias discretas, un solo parámetro no es suficiente para describir el comportamiento de una variable aleatoria continua, por lo que es necesario otro parámetro que indique la dispersión de la variable con respecto al valor esperado.

Definición 7.4

Nota

Teorema 7.2

Teorema 7.3

Observación

219

Dada X una variable aleatoria continua, con función de densidad de probabilidad f(x), se llama varianza de al valor denotado por V(X) o 2

X, y se calcula

V X x E X f x dx( ) ( ) ( )2 (una variable aleatoria continua).

Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su varianza no coinciden, se suele introducir otro parámetro cuya finalidad es idéntica a la varianza pero en sus unidades de medida coincide con las de la variable.

En las condiciones anteriores, se llama desviación estándar de la variable aleatoria continua X a la raíz positiva de la varianza

X V X( )

Propiedades de la varianza de una variable aleatoria continua

Cuando se realizan cálculos con la varianza, o la desviación estándar, es preferible emplear algunas características de éstas que faciliten las operaciones. Entre las más comunes están las siguientes tres

1. Del teorema 7.2 se deduce que

V X x E X f xdx E X E X( ) ( ) ( ) ( )2 2

2. Para realizar cálculos de la varianza es mejor emplear la fórmula del siguiente teorema.

Dado un experimento con una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x), entonces

V X E X E X( ) ( ) ( )2 2

3. Ahora se verá una propiedad que muestra cómo influyen los desplazamientos y las proporcionalidades en una variable aleatoria.

Dado un experimento con una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x), sea Y = h(X) = aX + b, una función con a y b constantes, entonces

V(Y) = a2V(X)

a) en particular, si X = c, entonces V(X) = 0, puesto que no existe variabilidad entre los elementos de una variable aleatoria continua constante

b) en particular, si Y = aX, entonces V(Y) = a2V(X)

1. Dada la variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), se calcula su valor esperado y la varianza de X.

Definición 7.5

Definición 7.6

Teorema 7.4

Teorema 7.5

Ejemplo 5

220

f x

x

x x( )

, ( , )

, ( , )

,

1

40 2

2 2 3

0

si

si

en otro lugar

Por definición de valor esperado se tiene

E X xf x dx x dx x dx x x dx x dx( ) ( ) ( )014

2 00

0

2

2

3

3

14 2 3

12

9 983

42

0

2 32

2

3x x

xx

x

x

x12

43

116

Para el cálculo de la varianza, primero se calcula E(X2)

E X x f x dx x dx x dx x x dx x( ) ( ) ( )2 2 20

2

0

22

2

320

14

2 0ddx

x x x

x

x

x

x

3

3

0

2 4 3

2

314 3 4

23

23

814

18 4163

23

94

43

174

Finalmente, del teorema 7.4

V X E X E X( ) ( ) ( )2 2 174

12136

89

2. Sea la variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x) igual a la del ejemplo anterior. Dada la variable aleatoria continua Y = 6X – 20, se calcula el valor esperado y la varianza de Y.

Por el teorema 7.3, E(Y) = 6E(X) – 20 = 6 × 11/6 – 20 = –9. Por el teorema 7.5, V(Y) = 62 V(X) = 36 × 8/ 9 = 32.

Ejercicio 2

1. La siguiente figura representa una función de densidad de probabilidad f(x)

a) calcula su valor esperado b) calcula V(X)

0 1 2 3

23

X

f (x)

221

2. Dada X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad está dada por

f x

xx

x x( )

,

,

,

43

1 0

0 1

0

2

si

si

para otros valores

a) calcula el valor esperado de X b) calcula la varianza de X

3. El tiempo requerido por unos estudiantes para presentar un examen programado para una hora es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad

f xCx x x

( ),

,

2 0 1

0

si

en otro lugar

a) determina el valor de C, para que f(x) sea una función de densidad de proba-bilidad

b) calcula el valor esperado y la varianza de la variablec) dado que un estudiante necesita al menos 15 minutos para presentar el

examen, calcula la probabilidad de que necesite por lo menos 30 minutos para terminarlo

4. Dada X una variable aleatoria, con función de distribución acumulada

F x

x

xx

xx

x

( )

,

,

,

0 0

80 2

162 4

1 4

2

si

, si

si

si

a) calcula la media y la varianza de X b) calcula P(X 3 | X 1.5)

5. Dada X una variable aleatoria, con función de densidad

f xkx x x

( )( ),

,

2 0 2

0

si

en otro lugar

a) determina el valor de k, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad

b) calcula P(X 1) c) calcula E(X) y V(X)

6. Dada la siguiente función

f x

kx x

k x x( )

,

( ),

,

si 0 2

si

en otra

4 2 4

0 pparte

222

a) determina el valor de k, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad

b) calcula el valor esperado de la variable

7. Dada una variable aleatoria X, que representa la vida útil (en horas) de un tubo, con una función de densidad

f x

x

a

xx

( )

,

,

0 1000

10002

para

para

a) obtén el valor de la constante a para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad

b) calcula la varianza de X

1. Una gasolinera tiene dos bombas, que suministran hasta 10 mil galones de gasolina por mes, cada una. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en 10 miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por

f x

x x

x x( )

,

,

,

0 1

2 1 2

0 en otro lugar

a) se calcula la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8 mil y 12 mil galones en un mes

P X f x xdx x dxx

x

x

( . . ) ( ) ( ).

.

.

.

.

0 80 1 2 22

0 8

1 2

0 8

1

1

1 2 2

0 8

11 2

1

1 22

2

0 18 0 18 0 36

( )

. . .

.x

x

x

b) si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10 mil galones en un mes, se calcula la probabilidad de que haya bombeado más de 15 mil galones durante el mes

P X XP X X

P X

P X

P X

x dx

1 5 11 5 1

1

1 5

1

2

. |( . ) ( )

( )

( . )

( )

( )11 5

2

1

2

2

1 5

2

2

1

2

2

22

22

0 1250 50

. .

( )

( )

( )

..

x dx

x

x

x

x

x

x

0 25.

2. Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad

f xe x

x

x( )

,

,

si 0

si 0 0

y la variable aleatoria continua Y = h(x) = 3X + 10, se calcula E(Y) y V(Y). Primero se calculará

E X xf x dx xe dx e xx x

x

x( ) ( ) ( )

00

1 0 1 1

Ejemplos

223

Por el teorema 7.3, E(Y) = 3E(X) + 10 = 3(1) + 10 = 13. Para la varianza, primero se calcula E(X2)

E X x f x dx x e dx e x xx x

x

x( ) ( ) ( )2 2 2

0

2

02 2 0 2 2

Por el teorema 7.4, se tiene V(X) = E(X2) – E2(X) = 4 – 1 = 3. Finalmente, por el teorema 7.5 se tiene V(Y) = 32 V(X) = 33 = 27.3. El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de

probabilidad dada por

f xx x

( )( ) ,

,

31 0 1

0

2

en otro lugar

Con lasmedicionesdadasenmiles,¿quécantidaddedinerodebepresupuestarseon las mediciones dadas en miles, ¿qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada 10% de las veces?

Dada x0 como la cantidad buscada, se tiene

0 10 31 1 0 1 102

13 1

03

0

00

. ( ) ( ) ( ) ( ) (P X x x dx x x xx

x x

x)) .3 0 10

Despejando x0 en la última igualdad de la expresión anterior, se tiene

x031 0 10. 0.53584 miles de pesos, esto es x0 = $ 535.84

Ejercicios propuestos

1. Comprueba si la siguiente función es de densidad de probabilidad.

f(x) = x + 1, para x (–2, 2)

2. Dada una variable aleatoria X, con función de densidad

f xkx x x

( )( ),

,

2 0 2

0

si

en otro lugar

a) determina el valor de k, para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad

b) calcula F(X) c) calcula P(1 X 2)

3. Dada X una variable aleatoria, comprueba si la siguiente es una función de distri-bución acumulada para X

F x

x

xx

xx

x

( )

,

,

,

0 0

80 2

252 5

1 5

2

si

, si

si

si

224

4. Dada

F x

x

xx

xx

( )

,0 0

20 1

22

2

2

si

, si

1 1 2

1 2

, si

, si

x

x

a) calcula la función de densidad de probabilidad correspondiente b) calcula P(1/ 2 X 3/4)

5. Una gasolinera tiene tres bombas que suministran hasta 10 mil galones de gasolina por mes, cada una. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por

f xx

( ),

,

13

0 3

0 en otro lugar

a) calcula la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8 mil y 12 mil galones en un mes

b) si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 20 mil galones en un mes en particular, calcula la probabilidad de que haya bombeado más de 25 mil galones durante el mes.

6. El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de probabilidad

f xx x

( )( ),

,

2 1 0 1

0 en otro lugar

Con las mediciones dadas en diez miles de pesos, ¿qué cantidad debe presupuestarse anualmente en los costos de reparación para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada 10% de las veces?

7. El tiempo de vida útil (en días) de un bote desechable de leche es una variable aleatoria con una función de la forma

f x

k

xx

x

( ) ( ),

,

80

0 0

2

a) determina el valor de k, para que sea una función de densidadb) calcula la probabilidad de que un bote de esta leche dure al menos 30 díasc) si en una caja se tienen 20 botes de leche y en su duración son independientes,

calcula la probabilidad de que al menos dos de tales botes duren más de 60 días

8. El tiempo de espera para la llegada del microbús (en minutos) tiene un comportamiento aproximadamente igual a la función acumulada

F xx

e xx( )

,

,

0 0

1 03

calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a cuatro minutos.

225

9. Dada la siguiente función de densidad

f x

xx

( )

( ),

,

3

180 6

0

2

en otro lugar

a) calcula la función de distribución acumulada b) calcula la probabilidad P(X 5 / X 2)

Autoevaluación

1. Obtén el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad

f xk

x

xx

x

( ) ( ),

,

2 210

0 0 a) 2 b) 1 c) –2 d) –1

2. En una fábrica de cereales una máquina llena aleatoriamente las cajas con cereal por medio de la siguiente función de densidad, que representa la descarga de la máquina

f xx

x( )

, ,

, ,

1

60850 910

0 850 910

el fabricante quiere saber la probabilidad de que sus cajas de cereales contengan de890 a 905 gramos.

a) 0.150.15 b) 0.50 c) 0.25 d) 0.75

3. El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de probabilidad

f x

x x( )

( ) ,

,

31 0 1

0

2

en otro lugar

con las mediciones dadas en diez miles de pesos, ¿qué cantidad debe presupuestarse anualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada 25% de las veces?

a) 0.25 b) 0.37 c) 0.63 d) 0.75

226

4. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X(expresada en diez miles de galones), con una función de densidad de probabilidad dada por

f x

x x

x x( )

,

,

,

0 1

2 1 2

0 en otro lugar

calcula la probabilidad de que la gasolinera suministre más de 8 mil galones en unmes.

a) 0.800.80 b) 0.32 c) 0.68 d) 0.75

5. Dadas las siguientes funciones, indica cuál de ellas es una función de distribución acumulada de alguna variable aleatoria X.

a) F x

x

x x

x

( )

,

,

,

0 2

1 2 0

1 0

b) F x

x

x x

x

( )

,

,

,

0 0

2 0 1

1 1

c) F x xx

e xx( )

,

,

1

10

1 0

2

d) F x

x

xx

x

( )

,

,

,

0 5

5

25 7

1 7

6. El tiempo de espera para la llegada del microbús (en minutos), tiene un compor-tamiento aproximadamente igual a la función acumulada

F xx

e xx( )

,

,

0 0

1 03

calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea a lo más cinco minutos.

a) 0.810.81 b) 0.19 c) 0.33 d) 0.67

227

7. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X(expresada en diez miles), con una función de densidad de probabilidad dada por

f x

x x

x x( )

,

,

,

0 1

2 1 2

0 en otro lugar

calcula la cantidad de galones que se espera que la gasolinera suministre en un mesy su desviación estándar con respecto al valor esperado en un mes.

a) 8 mil b) 12 mil c) 5 mil5 mil d) 10 mil

8. El tiempo de espera para la llegada del microbús (en minutos), tiene un comportamiento aproximadamente igual a la función acumulada

F xx

e x( )

,

,

0 0

1 05x

calcula el tiempo de espera para la llegada del microbús en un día determinado (en minutos).

a) 4 b) 5 c) 3 d) 10

9. La vida útil de una lavadora automática tiene una distribución con función de densidad igual a

f xx

e xx( )

,

. ,.

0 0

0 5 00 5

¿Cuántos años de garantía tiene que otorgar la empresa si sólo quiere reparar 20% de las lavadoras que venda?

a) 6.26.2 b) 2.5 c) 4 d) 1.116

10. Al elaborar cierto proyecto se programa su terminación según una variable aleatoria X, la cual tiene la siguiente función de densidad: para el primer año se espera un resultado optimista dado por x y en caso de surgir contratiempos se tiene un comportamiento de terminación pesimista dado por 2 – x. Es decir, la función de densidad correspondiente está dada por

f x

x x

x x

x

( )

,

,

, ,

0 1

2 1 2

0 0 2

228

calcula la probabilidad de que el proyecto sea terminado en la segunda mitad deltiempo optimista.

a) 0.375 b) 0.250 c) 0.750 d) 0.500

Respuestas de los ejercicios

Ejercicio 1

1. k = 2

3

2. k = 2

3. a) a =

43

b) F x

x

x x

xx

x

( )

,

,

,

,

0 1

2

3

2

31 0

3

2

30 1

1 1

2

3

c) 0.179

4. a) f x

x x

x x( )

,

,

2 2 3

4 3 4

0 en otro lugar

b) 0.9086

5. a) f x

x

xx( )

,

,

,

1

80 2

82 4

0 en otro lugar

b) 1

3

6. no es una función de densidad, f(x) 0, cuando –1 x –0.5

7. no es una función de distribución acumulada, no es continua en x = 2

229

Ejercicio 2

1. a)

43

b)

718

2. a) E X( )

7

36 b) V(X) = 0.4955

3. a) C = 1.5 b) E X V X( ) ( ) .

17

24

139

22800 0483

c) 104

1230 8455.

4. a) E X V X( ) ( ) .

31

12

167

1441 1597

b) 7

13 5. a) k

3

4 b) 0.5 c) E(X) = 1 V(X) = 0.2

6. a) k = 0.25 b) 2

7. a) a = 1 000 b) no es acotada la integral

Respuestas de los ejercicios propuestos

1. no

2. a) 0.75

b) F x

x

x xx

x

( )

,

,

,

0 0

34

0 2

1 2

2 3

c) 0.5

230

3. no

4. a) f x

x x

x x( )

,

,

0 1

2 1 2

0 en otro lugar

b) 5

32 5. a)

2

15 b) 0.5

6. a 1 0 1. , en diez miles, es decir, $6 837.72

7. a) k = 8 b)

4

19 c) 0.700

8. e–12

9. a) F X

x

xx

x

( )

,

( ),

,

0 0

1

2

3

540 6

1 6

3

b) 9

28

Respuestas de la autoevaluación

1. a)

2. c)

3. b)

4. c)

5. d)

6. a)

7. d)

8. b)

9. d)

10. a)