unidad 6 anÁlisis plÁstico de estructuras...el análisis elástico de estructuras acepta el...
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UNIDAD 6
ANÁLISIS PLÁSTICO DE
ESTRUCTURAS
Ing. Fernando R. Detke
2
1) INTRODUCCIÓN
Es bien conocido el hecho de que los materiales no cumplen
perfectamente las ecuaciones lineales en que se basa la teoría
de la elasticidad, pero sin embargo ésta puede utilizarse con
suficiente aproximación dentro de ciertos rangos de carga.
Fuera de dichos límites, y particularmente para cargas cercanas
a la rotura de la pieza, los estados de tensión que solicitan los
elementos obedecen a las leyes completamente distintas, las
cuales entran dentro del dominio de la teoría de la plasticidad y
de la elasto-plasticidad.
Es así entonces, que para calcular la carga de rotura de un
sistema estructural, y por lo tanto su estado de solicitación en
ese instante, el Ingeniero debe estar familiarizado con los
elementos básicos de los métodos plásticos de análisis.
El análisis elástico de estructuras acepta el cumplimiento de la
ley de Hooke para los materiales, la cual tiene como
consecuencia la validez del “principio de superposición de
efectos”.
3
El campo de aplicación de los métodos de análisis basados en
la ley de Hooke, o métodos de análisis elásticos, termina
cuando en la fibra más exigida de la sección más solicitada se
alcanza la tensión del límite de proporcionalidad o límite
elástico.
Se recuerda que el límite de proporcionalidad y el límite elástico
corresponden a conceptos diferentes, sin embargo se puede
considerar que coincide a los fines prácticos, e p.
En la teoría elástica o clásica, se define la tensión admisible
afectando con un coeficiente de seguridad a la tensión del límite
elástico, y se exige que bajo las cargas de servicio no se supere
dicha tensión en ningún punto de la estructura.
Este planteo no permite determinar el valor de las cargas que
producen el estado último o estado de ruina de la estructura, y por
lo tanto no permite determinar el “verdadero coeficiente de
seguridad” de la estructura, que será la relación entre dichas
cargas y las cargas de servicio.
4
Por estas razones resulta de interés el enfoque que aporta el
llamado “cálculo plástico” cuyo principal objetivo es determinar
la “carga límite de la estructura”, es decir la carga asociada con
el límite real de la estructura como sistema capaz de transmitir
cargas.
Para determinar la carga límite es necesario superar el límite
elástico del material, que significa que deja de tener validez el
principio de superposición de efectos. Cuando existen
diferentes estados de cargas, se deberán considerar por
separado las diferentes combinaciones posibles, y se deberá
calcular una carga límite para cada combinación, eligiendo
finalmente la menor de ellas.
Para el desarrollo de los métodos de búsqueda de la carga límite
es necesario suponer que para cada combinación de cargas,
éstas crecen uniformemente o proporcionalmente entre si. Esta
limitación no lleva a resultados alejados del caso en que cada
carga pueda variar libremente dentro de su rango.
5
Con referencia a los formatos determinísticos de verificación de
la seguridad de los códigos actuales, que incluyen factores
parciales de mayoración de cargas y de minoración de
resistencia, la expresión general de estado límite es
URn
donde la resistencia nominal Rn será la carga límite PL nominal
de la estructura, el factor de minoración de resistencia, y U la
carga mayorada con la siguiente expresión
i
ii PU
con i los factores parciales de mayoración de las cargas
nominales Pi prescriptas por los códigos
(1)
(2)
6
2) MATERIAL ELASTO PLÁSTICO IDEAL - ACERO
La figura muestra la curva tensión – deformación del acero dúctil
de bajo contenido de carbono, donde se observa que una vez
alcanzada la tensión de fluencia se inicia un periodo de grandes
deformaciones, del orden de 20 veces la deformación elástica, a
tensión constante.
%1.0 %2 %20
I II III IV
f
e
p
r
Tensiones reales
nominal
Ensayo con
máquina con
circuito de aceite
- I: periodo elástico
- II: periodo plástico
- III: periodo de
reendurecimiento
- IV: periodo estricción
7
En consecuencia, cuando en las fibras de una tajada de una
barra de la estructura se alcanza la fluencia, estas fibras
comienzan a deformarse a tensión constante, en una magnitud
lo suficientemente grande como para que mientras las cargas
siguen aumentando se producen fenómenos análogos en otras
tajadas de la estructura, sin que la tajada que primero entró en
fluencia alcance el periodo de reendurecimiento .
Cuando en un número suficiente de secciones las fibras han
entrado en fluencia, la estructura se comporta como un
mecanismo que no puede resistir cargas mayores, alcanzando
deformaciones inadmisibles para los fines proyectados, o
llegando al colapso de la estructura.
De más está decir que al no aplicarse la ley de Hooke, el
principio de superposición no tiene validez, no habiendo en
general una relación lineal entre cargas y deformaciones.
8
f
I II
Por estas razones, y teniendo en cuenta que e p f , se
supone para el acero la relación constitutiva simplificada o
ideal que se muestra en la figura.
Resumiendo podemos decir que el material presenta en su
diagrama una zona perfectamente elástica (I) y una zona
perfectamente plástica con fluencia ilimitada (II).
- I: periodo elástico
- II: periodo plástico con
fluencia ilimitada
9
3) ANÁLISIS DE UN HIPERESTÁTICO SENCILLO BAJO
CARGAS AXIALES
Se analiza el comportamiento del hiperestático de grado 1
mostrado en la figura para cargas crecientes
aL
bL
AE,
AE,
AE,
P
barra rígida
10
3.1. Periodo elástico
Ecuaciones de equilibrio
Las tres barras se encuentran en el periodo elástico. La ecuación de
equilibrio es
ba SSP 2 (3)
Ecuaciones de compatibilidad
La barra rígida se conserva horizontal por simetría, luego la
ecuación de compatibilidad resulta
ba uu (4)
Ecuaciones constitutivas
Se aplica la ley de Hooke porque todas las barras están en el
periodo elástico
AE
LSu
L
uE
A
SE (5)
11
Reemplazando en la ecuación de compatibilidad, y teniendo en
cuenta que La > Lb, resulta
(6
Entonces, de la ecuación de equilibrio se obtiene
)21(a
bb
L
LSP (7)
La primera barra cuyas fibras alcancen la tensión de fluencia
será la barra más cargada, es decir la barra b.
Desde el punto de vista del criterio clásico del cálculo elástico,
dicha carga sería la resistencia nominal de la estructura
En
a
bfE R
L
LAP )21( (8)
abab
b
aab
bbaa SSL
LSS
AE
LS
AE
LS
12
El desplazamiento, o la flecha, en función de la carga es
AE
L
LL
P
AE
L
LL
Pu a
ba
b
ab /2/21
(9)
La máxima flecha de este periodo será para P = PE.
Reemplazando (8) en (9), resulta
E
Lu
bf
E
(10)
13
3.2) Periodo elasto plástico
Las dos barras a se encuentran en periodo elástico y la barra b
en periodo plástico, es decir la estructura está en fluencia
limitada.
El análisis se vuelve estáticamente determinado como se
muestra en la figura
Af
P
14
El esfuerzo en las barras se determina con la siguiente
ecuación de equilibrio
af SAP 2 (11)
La flecha para este periodo se puede escribir como
Ea
E PPPAE
LPuuuu
con
2siendo (12)
Para un mismo incremento de carga P, las barras (a) están
más solicitadas en este periodo que en el anterior porque la
barra b ha dejado de tomar carga.
Se dice que ha habido una “redistribución de esfuerzos” si se
compara con la situación en que las barras permanezcan
indefinidamente elásticas.
15
3.3) Periodo plástico
La capacidad de carga del sistema, es decir la resistencia
nominal, se alcanza cuando las dos barras a llegan a fluencia.
En ese momento esASS fba
(13
Debido a que el equilibrio se conserva, la carga límite resulta
PnfL RAP 3(14)
Esta resistencia se denomina “carga límite” porque una vez
alcanzada puede aumentar la flecha sin aumentar la carga. La
estructura entra en fluencia ilimitada, se comporta como un
mecanismo de un grado de libertad, y sobreviene la falla por
deformaciones excesivas o inadmisibles.
Utilizando los factores parciales de mayoración de cargas y
minoración de resistencia, se debe cumplir que
i
iiuL PPP (15)
16
3.4) Conclusiones
Comparando la ec(9) con ec(15) resulta RnL RnE, siendo
igual para La = Lb.
Si La = 2 Lb entonces RnL = 1.5 RnE
El cálculo plástico muestra la capacidad de carga real de la
estructura, que es mayor que la calculada al aplicar el criterio
elástico. Desde el punto de vista del dimensionamiento se
obtiene una economía de material ya que a partir de (14)
f
uP
PA
3 (16)
Mientras que con el criterio elástico resulta
fab
uE
LL
PA
)/21( (17)
Es decir que AP AE, siendo igual para La = Lb
17
Se hace notar que la mayor capacidad de carga con respecto
al criterio elástico se debe al carácter hiperestático de la
estructura considerada.
Si la estructura es isostática, al entrar en fluencia una de las
barras se aumenta en uno los grados de libertad, y se forma un
mecanismo con fluencia ilimitada. En ese caso resulta PE = PL
En la fase elasto-plástica del ejemplo se observa que para un
incremento de carga P, las barras (a) incrementan su esfuerzo
interno en una cantidad mayor que el incremento que para un
mismo P se producía en la fase elástica, debido a que la barra
b ya no colabora. Es consecuencia que en la fase elasto-
plástica se produce una redistribución de esfuerzos internos en
la estructura.
Las zonas menos solicitadas inicialmente comienzan a tomar
carga en mayor proporción porque se ha agotado la capacidad
de absorber carga en las zonas más solicitadas en la fase
elástica. El término “redistribución de esfuerzos” se refiere a
que en la fase elasto-plástica existe una distribución de
esfuerzos internos diferente a la que se produce si el material
fuera elástico.
18
El cálculo de la carga límite de un hiperestático es un
problema estáticamente determinado porque las incógnitas
superabundantes con respecto a las ecuaciones de equilibrio
son G+1, siendo G las incógnitas hiperestáticas y una carga
externa de referencia P, si se supone que las cargas van
creciendo proporcionalmente entre si de modo que Pi = P.
Para las G+1 incógnitas se establecen G+1 relajaciones de
vínculos internos por plastificación de G+1 secciones para
llegar al mecanismo de colapso, que transforman al problema
en estáticamente determinado. Resulta finalmente una cadena
cinemática de un grado de libertad con una carga exterior
incógnita que es la carga de referencia P.
Se puede calcular la carga límite directamente si se conocen las
secciones de las barras y el límite de fluencia del material, sin
necesidad de analizar previamente el comportamiento elasto-
plástico del sistema.
19
Diagrama carga – flecha: de acuerdo con las ecuaciones (9) y
(12) se representa el gráfico mostrado en la figura
En general, bajo cargas de servicio, es decir cargas sin
mayorar, los desplazamientos se encuentran en el periodo
elástico, luego no existe el peligro de deformaciones
importantes.
P
LP
EP
u
Eu Lu
20
4) FLEXIÓN PLÁSTICA
Se considera el caso frecuente de una sección con eje de
simetría sometida a flexión recta. Se comprueba que con
cargas crecientes, las fibras más exigidas entran en fluencia,
sigue valiendo la ley del plano mientras el eje neutro se
mantiene perpendicular al eje de solicitación por razones de
simetría.
n n
0h
uh
y
dx
dx
0y
uy
f
f
zona
plástica
zona
plástica
zona
elástica
4.1) Momento plástico. Factor de forma
21
Ecuación de compatibilidad
siendo la curvatura, y vale la ley del plano
(18)
Ecuaciones de equilibrio
(19)
Ecuaciones constitutivas
Se utiliza la relación bilineal
(20)
MdyM
NdN
A
A
0
00
yf
yE
para
para
y
ydx
y
dx
22
Reemplazando las ecuaciones (18) y (20) en las ecuaciones de
equilibrio (19), resulta
(21)
El máximo momento que puede absorber la sección ocurre
cuando todas las fibras están en fluencia, es decir para y0 = yu = 0
Este momento se denomina momento plástico de la sección, y a
partir de la segunda de las ecuaciones (21) resulta
(22)
uh
uy
f
y
h
f
uy
u
f
y
f
A
uh
uy
f
y
h
f
uy
u
f
y
f
A
dyybydyybydyybyy
dyybyy
Mdy
dyybdyybdyybyy
dyybyy
d
)()()()(
)()()()(0
0
00
20
0
2
0
0
00
0
00
Donde WP es el módulo plástico que es una característica
geométrica de la sección.
Pf
h
h
fP WdyybydyybyMu
0
0
)()(
0
23
En la ec(22) la primera integral es el valor absoluto del
momento estático del área superior con respecto al eje neutro.
El término resulta positivo porque la distancia y es negativa. La
segunda integral es el momento estático del área inferior con
respecto al eje neutro.
(23)
De la primera de las ecuaciones (21) se deduce la ubicación del
eje neutro en correspondencia con el momento plástico, resulta
uh
h
uh
f
h
f
A
dyybdyybdyybdyybd
0
0
00
0
0
)()(0)()(0
Es decir que el área superior es igual al área inferior, o dicho de
otro modo el eje neutro divide a la sección en dos áreas
iguales, y en general deja de ser baricéntrico.
24
Se llama momento elástico ME al momento en el que la fibra
más exigida de la sección alcanza la tensión de fluencia, y
siendo W el módulo resistente, se obtiene
EfE WM (24)
Se define el factor de forma k que representa a la reserva
plástica que tiene una sección solicitada a flexión
1E
P
E
P
W
W
M
MK (25)
Ejemplos
Rectángulo 50.12
3
6/
8/22
2
hb
hb
W
WK
E
P
Círculo Rombo Perfil doble T70.13
16
K 00.2K 13.1K
25
En los ejemplos se observa que cuanto más material se
distribuye en las proximidades del eje neutro, mayor es el
coeficiente de forma. En consecuencia, un coeficiente de forma
elevado indica una sección poco apta para resistir flexión.
En flexión se manifiesta otra reserva plástica que es la reserva
plástica de la sección. En una estructura isostática, cuando la
fibra más exigida de la sección más solicitada entra en fluencia,
todavía queda la reserva plástica de la sección para que se
forme un mecanismo.
Hay que observar que el caso y0 = yu = 0 , para el cual se
deduce el momento plástico, no es alcanzable en la práctica
porque siempre existirá una zona en régimen elástico en las
proximidades del eje neutro. Sin embargo, debido a que las
fibras vecinas al eje neutro colaboran poco en el momento
resistente por su pequeño brazo de palanca, se considera
aceptable la aproximación y0 = yu = 0.
26
4.2) Concepto de rótula plástica
Se analiza la relación momento-curvatura de una tajada genérica
Periodo elástico
Se utilizan las expresiones para flexión recta de cualquier sección
en régimen elástico, es decir que es válida la ley de Hooke. A partir
de la ley de conservación de las secciones planas resulta
IE
M
yy
IE
M
E
, (26)
Se define una curvatura ideal P que sería la curvatura de la tajada
si la sección se conservara en régimen elástico hasta alcanzar el
momento plástico MP
IE
M PP (27)
Entonces resulta
E
PP
MMM
M para
(28)
27
La zona A-B sufrirá un momento que
cumple con:
Los diagramas de tensiones de las
secciones que están comprendidas
en la misma, estarán entre los
diagramas extremos, el de
plastificación total y el de iniciación
de la fluencia.
La zona plastificada va aumentando
desde los bordes hacia el eje neutro a
medida que aumenta el momento,
iniciándose la plastificación en A y B
(por ser en estos puntos M = Mf) y
estando totalmente plastificada en el
punto C, mientras que en los otros
puntos la plastificación es intermedia.
Consideremos la viga de la figura y supongamos que la carga P
alcanza un valor tal que nos da el diagrama de momentos
flectores que se indica.
A C B
Mp Mf
PE MMM
ME
28
Se considera que una vez alcanzado el Mp, la sección ha agotado
su capacidad de absorción de cargas y se produce la rotura
estructural. Incrementando el valor del par sobre Mp continúan
aumentando las deformaciones sin que lo hagan las tensiones. Se
producen giros relativos considerables de las secciones y se
forma en la pieza prismática un mecanismo cinemático que se
conoce con el nombre de rótula plástica y que constituye uno de
los elementos fundamentales del cálculo plástico de estructuras.
La diferencia entre una articulación real y una articulación
plástica es que mientras en la primera el momento es nulo, la
segunda absorbe un momento constante igual a Mp.
29
5) RESUMEN DE HIPÓTESIS
Esta hipótesis, representada en la figura, permite suponer que
la primera rótula plástica que se forma en la estructura, seguirá
funcionando mientras se desarrollan las siguientes, sin que
aparezca el fenómeno de reendurecimiento.
5.1) Material elasto plástico ideal
f
30
5.2) Diagrama de tensiones idealizado
Para el cálculo del momento plástico se acepta el diagrama de
tensiones idealizado mostrado en la figura, que no es
alcanzable, pero predice resultados suficientemente
aproximados a los experimentales.
f
f
31
5.3) Diagrama momento curvatura idealizado
Esta hipótesis representada en la figura permite introducir el
concepto de rótula plástica, y además permite idealizar el
mecanismo de colapso de estructuras solicitadas a flexión, por
medio de la formación de sucesivas rótulas plásticas.
PM
M
P
1
1
32
5.4) Nudos de pórticos
Los nudos de los pórticos deben ser capaces de transmitir el
momento plástico de una viga o columna adyacente. Significa
que no debe formarse una articulación en el nudo, si no que el
momento plástico se alcance en la sección adyacente de la viga
o columna, la que tenga menor resistencia. Esta hipótesis se
ilustra en la figura
PM
PM
33
5.5) Carga límite
La carga límite está definida por la transformación de la
estructura en un mecanismo por la formación de suficientes
vínculos plásticos internos.
No se tienen en cuenta otro tipo de fallas como inestabilidad
elástica prematura, fallas en medios de unión, etc. Se debe
proyectar la estructura con una mayor resistencia para estos
tipos de falla.
5.6) Condiciones de equilibrio
Las condiciones de equilibrio se plantean sobre la
configuración inicial, es decir que se supone que los
desplazamientos alcanzados en el instante de formarse el
mecanismo de colapso son pequeños como para que el
análisis de primer orden sea suficientemente aproximado.
Se cumple la ley del plano o hipótesis de Bernoulli.
34
5.7) Cargas aplicadas
Las cargas aplicadas a la estructura aumentan
proporcionalmente. Esto permite reducir las cargas exteriores a
un solo parámetro incógnita que se denomina carga de
referencia.
35
6) ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS SOLICITADA A FLEXIÓN
Se considera el caso mostrado en la figura
6.1) Viga simplemente apoyada
P
L
4max
LPM
Análisis elástico
La carga máxima asociada al límite elástico es
L
MP E
E
4 (29)
36
Análisis plástico
A partir de la carga del límite elástico comienza la plastificación
de la sección central hasta que se alcance el momento plástico.
Se forma en la sección central una rótula plástica y se produce
el mecanismo de colapso. La carga límite es
(30)
(31)
Resulta
L
MP P
L
4
KM
M
P
P
E
P
E
L
Además, como se supone que la ley momento curvatura sigue
la ley elástica hasta que se alcanza el momento plástico, luego
el diagrama carga flecha será la mostrada en la figura siguiente.
37
Se observa la falta del periodo elasto – plástico o de fluencia
controlada.
Esta característica, así como la expresada por la ec.(31), es
propia de los sistemas isostáticos debido a que es suficiente la
formación de una sola rótula plástica para que se forme el
mecanismo de colapso.
P
LP
EP
u
EI
LPu L
48
3
Periodo
elástico
Periodo
plástico
38
Carga límite por trabajos virtuales
La carga límite se puede calcular aplicando el principio de los
trabajos virtuales poniendo de manifiesto el mecanismo de
colapso, introduciendo una rótula en la sección plastificada y
restableciendo el equilibrio mediante la aplicación de
momentos plásticos como cuplas externas como se indica en
la figura
LP
PM
2/L
2
39
Como se trata de una cadena cinemática con un grado de
libertad, se aplica el PTV para el rígido parcialmente vinculado.
El equilibrio exige que el trabajo virtual de las cargas externas
sea nulo para todo desplazamiento virtual compatible con los
vínculos.
L
MPM
LP P
LPL
402
2
(32)
Se observa como regla general que cuando el desplazamiento
virtual tiene el sentido del colapso, el trabajo virtual del
momento plástico será negativo.
40
6.2) Viga empotrada - empotrada con carga uniforme
Se considera el caso de carga uniformemente distribuida
representada en la figura
Análisis elástico
El diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de
Hooke es el mostrado en la figura
q
L
12
2Lq
24
2Lq
41
La carga límite del análisis elástico se produce cuando en el
empotramiento se alcance el momento elástico
2
2 12
12 L
Mq
LqM E
EE
E (33)
De acuerdo al concepto de rótula plástica, el diagrama de
momentos es válido hasta que en la sección más solicitada se
alcanza el momento plástico, es decir hasta una carga q1 tal
que:
EP qKq
L
Mq 121 resulta,
12(34)
donde, en general, K es el factor de forma de la sección más
solicitada.
42
Análisis elasto plástico
A partir de esta carga se han establecido dos rótulas plásticas
en los apoyos y comienza el periodo elasto-plástico.
La viga se comporta en fluencia limitada o controlada, como
simplemente apoyada con dos momentos MP en los extremos,
como se observa en la figura
Con carga creciente, el momento en la sección central se
incrementa mientras permanecen constantes en los apoyos
porque ya no pueden aumentar más allá del MP. Cuando se
alcanza el MP en la sección central finaliza el periodo elasto-
plástico.
1qq
PM PM
PM PM 8
2Lq
43
Análisis plástico
Con la formación de la rótula plástica en el centro del tramo se
ha formado el mecanismo de colapso con un grado de libertad,
y la estructura se encuentra en fluencia ilimitada.
Para la carga límite vale aún considerar equilibrio y en
consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la
figura.
2
2 162
8 L
MqM
Lq PLP
L (35)
PM PM
PM
8
2LqL
Resulta
La relación con la carga que produce el final del periodo
elástico esK
q
q
E
L
3
4 (36)
44
El diagrama carga – flecha se presenta en la figura
q
Lq
1q
Eq
Lu 1u
u
elástico elasto -
plástico
plástico
Para el periodo elástico:
EI
LMuqq
EI
Lqu P
32para
384
2
11
4
(37)
Para el periodo elasto - elástico:
EI
LMuqq
EI
LM
EI
Lqu P
LLP
12para
8384
5224
(38)
45
6.3) Viga empotrada empotrada con carga concentrada
Se considera el caso de carga concentrada aplicada en el
centro de la luz representada en la figura
Análisis elástico
P
L
El diagrama de momentos que resulta de aceptar la ley de
Hooke es el mostrado en la figura
8
LP
8
LP
46
La carga límite del análisis elástico se produce cuando en el
empotramiento, y simultáneamente en el centro del tramo, se
alcance el momento elástico
L
MP
LPM E
EE
E
8
8 (39)
Análisis plástico
Con la formación de las tres rótulas plásticas simultáneamente
se forma el mecanismo de colapso, y en consecuencia falta el
periodo elasto-plástico.
Para la carga límite vale aún considerar equilibrio y en
consecuencia el diagrama de momentos es el mostrado en la
figura
PM
PM
4
LPL
47
Resulta
L
MPM
LP PLP
L 82
4 (40)
La relación con la carga que produce el final del periodo
elástico es
KM
M
P
P
E
P
E
L (41)
La relación carga flecha, con las hipótesis realizadas, se
muestra en la figura P
u
LP
EP
Lu elástico plástico
48
6.4) Caso general de una estructura hiperestática
En general en un hiperestático de grado G, solicitado por un estado
de cargas que crece uniformemente, se puede reconocer un periodo
elástico hasta la formación de la primera rótula plástica en la
sección más solicitada.
A partir de ese valor de las cargas en dicha sección se mantiene MP
constante, y este hecho se puede poner de manifiesto introduciendo
una rótula y un par de cuplas MP como acción externa. El grado de
hiperestaticidad habrá disminuido en una unidad.
Comienza así el periodo elasto-plástico de la estructura, que se
caracteriza por la formación de sucesivas rótulas plásticas. Al
generarse la rótula plástica NºG la estructura comienza a
comportarse como isostática.
Con la formación de la rótula plástica G+1 la estructura se
transforma en una cadena cinemática con fluencia ilimitada, es decir
se produce el periodo plástico y el colapso.
49
7) TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS LÍMITE
APLICACIONES
Se demuestra que: “Una carga calculada a partir de un
diagrama de momentos en equilibrio, en el que no se viola la
condición de plasticidad: M MP, es inferior o igual a la carga
límite”
7.1) Teorema del límite inferior o teorema estático
Para la estructura de la figura (a), todo diagrama de momentos
que satisfaga equilibrio se obtiene a partir del estado mostrado
en la figura (b).
Se pueden conseguir diferentes diagramas de momentos
estáticamente compatibles asignando valores arbitrarios al Map,
como se observa en la figura (c), (d) y (e).
Por equilibrio se debe cumplir la ec.(42) en todos los casos
50
P
2/L 2/L
P
apM apM
apM apM
trM
4
LP
PM
PM
PM
PM PM
PM5.0 PM5.0
trap MMLP
4
L
MPM
LP
MMM
PP
Ptrap
4
4
,0
L
MPM
LP
MMMM
PP
PtrPap
65.1
4
,5.0
L
MPM
LP
MMMM
PP
PtrPap
82
4
,
(42)
(43)
(44)
(45)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
51
Para este caso la carga límite es PL = 8 MP / L como se dedujo
en la sección 6.3, ec(40).
Se observa el cumplimiento de P PL como lo establece el
teorema. Además, el signo igual ocurre cuando el diagrama de
momentos se corresponde con un mecanismo.
Más adelante se mostrará que este resultado tiene carácter
general.
7.2) Teorema del límite superior o teorema cinemático
Se demuestra que: “La carga calculada a partir de un
mecanismo de colapso arbitrario es mayor o igual a la carga
límite, y será igual a dicha carga cuando el mecanismo de
colapso propuesto coincida con el verdadero mecanismo de
colapso”.
52
Cuando se adopta un mecanismo de colapso errado, la carga
calculada resulta mayor que la carga límite y en una o más
secciones de la estructura se viola la condición de plasticidad,
es decir resulta M > MP
xq
PM PM
PM PM
PM PM
PM
8
2Lq x
x
1
1
2
2
2
16
3
4)4/(
L
MLxq P
53
7.3) Teorema de la unicidad
Combinando ambos teoremas se puede enunciar: “La carga
calculada a partir de un mecanismo de colapso arbitrario es
mayor o igual a la carga límite, y será igual a dicha carga
cuando en el correspondiente diagrama de momentos flectores
en equilibrio no se viole la condición de plasticidad”.
El enunciado de este teorema indica un procedimiento de
cálculo que consiste en proponer un mecanismo de colapso, y
calcular la carga y el diagrama de momentos por condiciones
de equilibrio.
Si en el diagrama de momentos no se viola la condición de
plasticidad, M MP, se habrá obtenido la carga límite, y en
caso contrario un límite superior.
54
7.4) Métodos para determinar la carga límite
Aplicando el procedimiento de cálculo enunciado se describen
a continuación dos métodos para determinar la carga límite.
Difieren entre si en la forma de aplicar las condiciones de
equilibrio para calcular la carga correspondiente al mecanismo
propuesto:
(a) Método estático: se aplican ecuaciones de la estática
(b) Método cinemático: se aplica el Principio de los Trabajos
Virtuales.
Se muestran a través del ejemplo de la figura
55
P2
P3
L2
L L
2
1
3 4
cteM P
Posibilidades de mecanismos con rótulas plásticas en (1, 2, 3), (1, 2,
4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).
El primer caso (1, 2, 3) no puede ocurrir porque, de acuerdo a los
diagramas de momentos bajo la acción de la carga horizontal
solamente, y por otro lado la acción de la carga vertical, en ambos
casos el momento en la sección 4 es de tracción arriba y se suman.
Luego en la sección 4 se formará una rótula plástica.
56
( a ) Aplicación del método estático
A partir de un sistema fundamental isostático, ver figura, y aplicando
las ecuaciones de la estática, se expresan los momentos en las
secciones donde existe posibilidad de formación de rótulas
plásticas. P2
P3
BX
BY
2 3 4
1
Convenio de signos: M > 0 de tracción en las fibras internas del
pórtico
57
Se recuerda el concepto de esfuerzos internos: para calcular los
momentos a partir de las fuerzas que quedan hacia un lado de la
sección considerada es necesario que exista equilibrio. Luego, las
ecuaciones (46) expresan condiciones necesarias de equilibrio.
A partir de las ecuaciones (46) se eliminan las incógnitas
hiperestáticas y se obtiene un sistema de ecuaciones que vincula la
carga P con los momentos.
En este ejemplo de (a) y (b) se despejan las incógnitas XB, YB, y se
reemplazan en (c) y (d), resultando
(46)LPLPLYMd
LPLYLXMc
LYLXMb
LXMa
B
BB
BB
B
2322)(
222)(
2)(
2)(
1
2
3
4
431
432
228)(
22)(
MMMLPf
MMMLPe
Ahora se proponen mecanismos de colapso
(47)
58
Mecanismo Nº 1 : mecanismo de viga
PMMMM 432 (48)
2
3
4
En la forma del mecanismo
se observa que
0y0, 342 MMM
Reemplazando en el sistema (e), (f) se obtiene
PPPP
PP
MMMMMMf
L
MPMLPe
122216)( de
242)( de
11
11
(49)
Se viola condición plástica, M1 > MP, luego, se ha encontrado un
límite superior de la carga límite y bastante malo.
59
Mecanismo Nº 2 : mecanismo lateral o de panel
(50)
Reemplazando en el sistema (e), (f) se elimina M3 que es incógnita,
y resulta
(51)
PMMMM 421
2
1
4
En la forma del mecanismo
se observa que
0y0, 241 MMM
22)( de
26
33
24212
PPPP
P
MMMMMMe
L
MPMMMLP
Luego, es el mecanismo correcto porque no se viola la condición de
plasticidad M3 < MP. Resulta :
L
MP P
L2
(52)
60
Mecanismo Nº 3 : mecanismo general
(53)
Reemplazando en el sistema (e), (f) se obtiene
(54)
PMMMM 431
En la forma del mecanismo
se observa que
0y0, 341 MMM
4
3
1
4
72
4
5)( de
8
558)( de
22
33
PPP
P
PP
MMMMM
Me
L
MPMLPf
Se viola condición plástica, M2 > MP, luego, se ha encontrado un
límite superior de la carga límite.
61
( b ) Aplicación del método cinemático
Se propone un mecanismo de colapso que se pone en evidencia
introduciendo rótulas plásticas en correspondencia con las
secciones plastificadas y restableciendo el equilibrio mediante la
aplicación de momentos plásticos como cuplas externas.
Se define así una cadena cinemática de un grado de libertad sobre
la cual se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales para el rígido
parcialmente vinculado, y se obtiene el valor de la carga externa de
referencia.
Aplicando ecuaciones de la estática se verifica si se viola o no la
condición de plasticidad. De cumplirse que en todas las secciones
M MP, se ha encontrado la carga límite buscada.
Se analiza como ejemplo el Mecanismo Nº 2, que es el mecanismo
de panel. La cadena cinemática en equilibrio se muestra en la figura
62
P2
P3 21C
1C
32C
2C
3C
PM
PM PM
PM
PM
1
2
3
Diagrama de elaciones
de la chapa 2
Diagrama de elaciones
de las chapas 1 y 3
Aplicando el PTV resulta
L
MPMLPT P
P2
0323 (55)
Se debe verificar si M3 viola la condición de plasticidad
63
PPPP
BB
PPB
PB
MM
LL
ML
L
MLHLVM
L
M
L
MLPLPVM
L
MHM
22
22
32 luego
2
3
2
2320 de
20 de
3
1
4
(56)
Resulta entonces:
L
MP P
L2
(57)
El diagrama de momentos flectores en el instante del colapso se
muestra en la figura
64
PM
PM
PM PM
2
PM
Observación
Los métodos descriptos, que consisten en analizar
sucesivamente diferentes mecanismos de colapso, resultan
inaplicables cuando la estructura tiene un elevado grado de
hiperestaticidad. Para esos casos existen métodos más
generales de análisis no lineal implementados en programas
computacionales.