Asociación de ResortesAsociación de Resortes

Recordaremos la Ley de Hooke para hacer mas fácil el Recordaremos la Ley de Hooke para hacer mas fácil el entendimiento es este tema.entendimiento es este tema.

LEY DE HOOKE.- En todo cuerpo elástico las fuerzas LEY DE HOOKE.- En todo cuerpo elástico las fuerzas deformadoras son proporcionales sus respectivos deformadoras son proporcionales sus respectivos deformaciones.deformaciones.

F = k x F = k x F=fuerza deformadora F=fuerza deformadora

k= constante elásticak= constante elástica

x= deformaciónx= deformación

Recordaremos la Ley de Hooke para hacer mas fácil el Recordaremos la Ley de Hooke para hacer mas fácil el entendimiento es este tema.entendimiento es este tema.

LEY DE HOOKE.- En todo cuerpo elástico las fuerzas LEY DE HOOKE.- En todo cuerpo elástico las fuerzas deformadoras son proporcionales sus respectivos deformadoras son proporcionales sus respectivos deformaciones.deformaciones.

F = k x F = k x F=fuerza deformadora F=fuerza deformadora

k= constante elásticak= constante elástica

x= deformaciónx= deformación

Si un cuerpo elástico esta sometido a una fuerza deformadora presentara una reacción contraria, llamada “FUERZA RECUPERADORA”, de igual valor pero de sentido opuesto a la fuerza deformadora.

FR = - F = - kx

En serieEn serie

Se dice que dos resortes están asociados en seria cuando se sitúan como se muestra en la figura.

Este sistema puede ser reemplazado por un resorte equivalente de constante elástica kE

Resorte equivalentes es aquel que tiene la misma Resorte equivalentes es aquel que tiene la misma deformación que en conjunto al ser sometido a las deformación que en conjunto al ser sometido a las misma fuerza.misma fuerza.

Calculo de “kCalculo de “kEE”.- ”.- Aplicando una fuerza “F” al conjunto.Aplicando una fuerza “F” al conjunto.

Si: xSi: x11 = estiramiento del resorte “1” = estiramiento del resorte “1”

xx22 = estiramiento del resorte “2” = estiramiento del resorte “2”

x = estiramiento del resorte equivalentex = estiramiento del resorte equivalente..

Por definición de resorte equivalente: x = xPor definición de resorte equivalente: x = x11 + x + x2 .....(*)2 .....(*)

Aplicando la ley de hook:Aplicando la ley de hook:

F= kF= kEE x x = F x x = F

kkEE

Para el resorte “2”: Para el resorte “2”:

F = xF = x22

kk22

La misma fuerza “F”La misma fuerza “F”

se trasmite al resorte “1”se trasmite al resorte “1”

F = KF = K11 X X11 xx11 = F = F

kk11

Reemplazando x, x1 y x2 en la ecuación (*) se tiene:Reemplazando x, x1 y x2 en la ecuación (*) se tiene:

F = F + F 1 = 1 + 1F = F + F 1 = 1 + 1

kkEE k k11 k k22 k kEE k k11 k k22

En general, para “n” resortes:En general, para “n” resortes:

1 = 1 + 1 + 1 + … + 11 = 1 + 1 + 1 + … + 1

kkEE k k11 k k22 k k3 3 k knn

En paraleloEn paralelo

La característica fundamental de la asociación de resortes en paralelo es que todos los resortes se estiran o comprimen por igual; es decir, sus deformaciones son iguales al aplícaseles una fuerza deformadora

Calcula “kCalcula “kEE”.- Del D.C.L. del bloque “M” en la ”.- Del D.C.L. del bloque “M” en la posiciónposición

final:final:

F= kF= k11xx11 + k + k22xx22 ….(*) ….(*)

Como: Como: F = kF = kEE . X . X y y xx11 = x = x22 = x = x

Reemplazando en (*) :Reemplazando en (*) :

kkEE. x = k. x = k11xx11 + k + k22xx22 k kEE = k = k11 + + kk22

En general para “n” resortes:En general para “n” resortes:

NOTANOTA

No siempre la asociación en paralelo es notoria a simple No siempre la asociación en paralelo es notoria a simple vista, en algunos casos es confuso.vista, en algunos casos es confuso.

kE = k1 + k2 + k3 + …. + kn

Aparentemente “1” y “2” están asociados en paralelo y 3 en serio con ambos resortes. ¡lo cual no es cierto!. Los tres resortes están asociados en paralelo, pues si el bloque se mueve hacia la derecha, “3” se comprime una longitud “x”, y “1” y “2” se estiran también una longitud “x”.

D.C.LD.C.L

Por la segunda ley de Newton:Por la segunda ley de Newton:

kk11x + kx + k22x +kx +k33x = m.ax = m.a

kk11 + k + k22 + k + k33 . X . X = a = a

mm

Si el sistema fuese reemplazado por un unico Si el sistema fuese reemplazado por un unico resorte equivalente: a = (kresorte equivalente: a = (kEE/m) x/m) x

Donde kDonde kEE = k = k11 + k + k22 + k + k33 lo cual demuestra que los lo cual demuestra que los tres resortes están asociados en paralelo.tres resortes están asociados en paralelo.

Aplicaciones del M.A.S.Aplicaciones del M.A.S.

1.- Oscilaciones de un cuerpo Unido a un Resorte

CASO 1.- Cuerpo apoyado sobre una superficie lisa.

Si llevamos el bloque de masa “m” al punto “N”, el resorte se estira una longitud “A”, que viene a ser la amplitud del MAS.

Por la segunda ley de Newton: F = m.aPor la segunda ley de Newton: F = m.a

Pero: F = fuerza recuperador = kxPero: F = fuerza recuperador = kx

kx = ma a = (k/x).m …(*)kx = ma a = (k/x).m …(*)

Como la característica fundamental del MAS es Como la característica fundamental del MAS es

a = Rx o a = a = Rx o a = ωω22 x, comparando con (*): x, comparando con (*):

ωω22 = k/m = k/m ωω= k/m= k/m

22ππ/T = k/m T = 2/T = k/m T = 2ππ m/k m/k

Caso 2.- Caso 2.- Cuerpo suspendidoCuerpo suspendido

En la posición de equilibrio:En la posición de equilibrio:

kkλλ= mg= mg

Si el resorte es estirado una longitud “A” desde Si el resorte es estirado una longitud “A” desde la posición de equilibrio y se libera en esa la posición de equilibrio y se libera en esa posición, el cuerpo oscila con una amplitud posición, el cuerpo oscila con una amplitud “A”.“A”.

En un punto “P” cualquiera, por la Segunda Ley En un punto “P” cualquiera, por la Segunda Ley de Newton:de Newton:

- mg + k( x + - mg + k( x + λλ) = ma) = ma - mg + k - mg + k λλ + kx = ma + kx = ma

Como k Como k λλ = mg, resulta : = mg, resulta :

Kx = ma a = (k/m). XKx = ma a = (k/m). X

Luego:Luego:

ωω22 = k/m T = 2 = k/m T = 2ππ m/k m/k

ObservacionesObservaciones

a) Cuando se trate de cuerpos unidos a resortes es recomendable adoptar la siguiente conversión de los signos para la elongación:

El lado hacia donde se estire el resorte será considerado positivo y el lado hacia donde se comprime será considerado negativo.

ObservacionesObservaciones

b) Para la solución de algunos problemas, la velocidad puede considerarse positiva cuando su sentido apunte hacia el extremo positivo y será negativa cuando apunte al extremo negativo.

ObservacionesObservaciones

c) Los valores de la fase inicial “α” varían entre 0º y 360º, según sea la dirección del movimiento.

-Si va de la P.E. al extremo positivo : 0º < α < 90º

-Si va del extremo positivo a la P.E.: 90º < α< 180º

-Si va de la P.E. al extremo negativo : 180º < α < 270º

-Si va del extremo negativo a la P.E.: 270º < α< 360º