unidad 5: funciones implícitas y funciones inversas · clase 5.1. ecuaciones con dos ariablesv y...

Análisis Matemático I – CIBEX

Facultad de Ciencias ExactasUniversidad Nacional de La Plata

Unidad 5: Funciones Implícitas y Funciones Inversas

Curso 2015

Dr. Gerardo Rossini, Dra. Ana Alonso

Equipo Coordinador

UNIDAD 5

Funciones implícitas y funciones inversas.

Contenidos de la Unidad 5: Funciones implícitas. Derivación implícita. Funciones inversas.Derivada de la función inversa. Arcos: inversas de las funciones trigonométricas e hiperbó-licas.

Integración: Cálculo con funciones exponenciales y logarítmicas, naturales y en distintasbases.

Clase 5.1. Ecuaciones con dos variables y funciones implícitas.

Contenidos de la clase: Relaciones. Funciones implícitas. Multivaluación. Derivación implí-cita.

5.1.1. Relaciones, ecuaciones con dos variables y funciones implícitas

En muchas situaciones encontramos relaciones entre dos cantidades de interés, expresadas como unaecuación con dos incógnitas.

Ejemplo 5.1.1. La Ley de Boyle para gases ideales relaciona la presión P a que se encuentrasometida una cantidad de gas y el volumen V que ocupa dicho gas (mientras la temperatura se mantengaconstante). La relación se enuncia como

P V = k

donde k es un valor constante que se puede calcular como el producto de la presión y el volumen en unestado inicial (k = P0V0).

La relación dada por la ley de Boyle tiene la forma de una ecuación (una igualdad) que involucrados incógnitas: P y V . En general, no se espera resolver el valor de dos incógnitas cuando tenemos unasola ecuación. Lo que se puede intentar es despejar una en función de la otra: elegir una como variableindependiente y dejar la otra como variable dependiente.

La ley de Boyle es tan sencilla que permite despejar explícitamente P = k/V o bien V = k/P . Esdecir, al despejar podemos expresar P como función de V , que anotamos

P (V ) = k/V

También podemos despejar V como función de P , que anotamos

V (P ) = k/P

Notemos que la ecuación PV = k contiene, implícitamente, funciones de una variable. Por esto sesuele hablar de ecuaciones en dos variables en lugar de decir ecuaciones con dos incógnitas.

La ecuación con dos incógnitas del ejemplo anterior tiene in�nitas posibilidades de solución: in�nitospares de valores (P, V ), tales que reemplazados en la ecuación satisfacen la igualdad. La forma grá�caadecuada para mostrar las soluciones es construir el conjunto de puntos de coordenadas (P, V ) en unplano de ejes P − V .

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CLASE 5.1. ECUACIONES CON DOS VARIABLES Y FUNCIONES IMPLÍCITAS. 220

Actividad 5.1.2. La presión P se suele medir en atmósferas (atm) y el volumen V en litros (l).Además, la presión absoluta siempre es positiva, al igual que el volumen.

Consideren un experimento en que un gas se mantiene a temperatura constante, tal que P V =10 atm.l. El volumen se puede variar comprimiendo el recipiente que contiene el gas.

Gra�quen en un plano P − V todos los estados posibles del gas (es decir, los pares (P, V ) en que sepuede encontrar este gas).

En la discusión de la ley de Boyle habrán descubierto una conexión directa entre ecuaciones con dosincógnitas y funciones de una variable. Seguramente despejaron P en función de V , o quizás V en funciónde P . En general, esperamos que una ecuación con dos incógnitas x e y establezca una dependencia deuna de las incógnitas con la otra. Pero a veces puede ser complicado o imposible despejar una funciónexplícita.

Actividad 5.1.3. Consideremos la ecuación

x2 + y2 = a

para distintos valores de a. Gra�quen las soluciones en el plano x− y en los siguientes casos:

Muestren que para a = −1 no hay ninguna solución (es decir, que ningún par (x, y) satisface laigualdad). ¾Queda establecida una función y(x)?Muestren que para a = 0 hay un solo par (x, y) solución ¾Queda establecida una función y(x)?Reconozcan que para a = 1 la solución son todos los puntos de la circunferencia de radio 1.¾Pueden despejar y en función de x? ¾Queda establecida una función y(x)? (la discusión essimilar a la presentación de raíz cuadrada que hicimos en la Unidad 1, actividad 1.3.2). Dadoun valor de x, digamos x = 1/2, ¾cualquier valor de y satisface la ecuación?

En el ejemplo de la circunferencia con radio 1 reconocemos que las soluciones de la ecuación, es decirlos puntos (x, y) que están sobre la circunferencia, guardan una relación entre el valor de x y el valor dey. Pero no se puede expresar esta relación como una función: a ciertos valores de x le corresponden dosvalores de y. Se dice que la relación es multivaluada cuando a un valor de x le corresponden dos o másvalores de y. Cuando hay multivaluación, la relación no de�ne una función.

En otros casos será directamente imposible despejar y en función de x con técnicas algebraicas. Porejemplo, si

y5 + 2xy + x3 = 13

no hay manera de despejar. Pero hay una relación entre x e y, y hay soluciones: (x, y) = (2, 1) es unasolución que se reconoce a simple vista. Podemos intuir que si se toma x cerca de 2 habrá soluciones ycerca de 1, y que en esas soluciones al cambiar el valor de x también cambiará el valor de y.

Como dijimos en el primer renglón de esta clase, en muchos casos una relación entre dos variables x ey se escribe como una ecuación en dos variables, es decir una igualdad entre expresiones que involucran a


x y a y. Estas ecuaciones encierran en general una dependencia entre las variables, que muchas veces notiene forma de función.

La intención de esta clase es aprovechar lo que ya hemos aprendido de funciones, incluso cuando nopodemos despejar y en función de x.

5.1.2. Funciones implícitas

Para trabajar con una relación multivaluada intentaremos encontrar subconjuntos de soluciones que secomporten como funciones. Veamos la idea en un grá�co. Supongamos que una ecuación con dos variablestiene como solución los puntos de una espiral:

Claramente la ecuación no de�ne una función. Pero rescatamos con trazo grueso un subconjunto de lagrá�ca con características de función, que a cada x en el intervalo [a, b] le asigna un y sólo un valor de y. 1

Definición 5.1.4. (informal)Llamamos función implícita a cada función continua que se pueda reconocer en una relación multi-valuada, eligiendo adecuadamente algún tramo de la grá�ca de la relación.

Actividad 5.1.5. Dibujen otras funciones implícitas posibles en la relación de la �gura anterior,que tomen distintos valores en x0 y sean continuas en el dominio elegido.

Naturalmente, la elección de una función implícita no es única. Cada elección se llama una rama dela función implícita; para describirla sin ambigüedad, se debe dar el dominio y el codominio elegido.

Observación 5.1.6. En algunos casos sencillos podremos despejar algebraicamente y en función dex, siempre conviene intentarlo, aunque en general no es posible hacerlo. La noción de función implícitaes la misma, podamos o no podamos despejar.

1Noten que la elección del trazo grueso la hicimos respetando la noción de continuidad.


5.1.3. Existencia, continuidad y derivabilidad de funciones implícitas

Dada una ecuación en dos variables (x, y) y una solución, es decir punto (x0, y0) sobre su grá�ca, unacuestión importante es determinar si se puede rescatar una función implícita y = f(x), con f(x0) = y0,aunque no podamos despejar explícitamente.

Es decir, anticipar si tiene sentido decir que y depende de x como una función implícita y = f(x).Mejor aún, anticipar si esta función es continua, si es derivable, y cuánto vale f ′(x0).

No podemos en este curso responder todas estas cuestiones (se podrá hacer con herramientas de AnálisisMatemático II). Mientras tanto, les propondremos situaciones donde avisamos que existe la funciónimplícita y = f(x) al menos en un entorno de x0, que es continua, y que existe la derivada de yrespecto de x en el punto x0. En ese caso, lo que sí podemos hacer es obtener el valor de la derivada.

5.1.4. Mecanismo para obtener la derivada de una función implícita derivable

Supongamos que una ecuación en x e y de�ne una función implícita y = f(x) en un entorno de x0, yque es derivable en un punto x0. Entonces, reemplazamos y por f(x) en la ecuación y tenemos que tantoel lado izquierdo como el lado derecho dependen de una sola variable x.

Podemos ahora, si la expresión lo permite, derivar ambos miembros respecto de x. La derivada f ′(x)la dejamos indicada, porque no conocemos la fórmula de la función implícita. Luego evaluamos en x0

(donde sabemos que existe f ′(x0)) y podremos despejar el valor de f ′(x0). Este mecanismo se conocecomo derivación implícita.

Veamos un ejemplo

Ejemplo 5.1.7. Consideremos la ecuación x2 +y2 = 25. El punto (3, 4) la satisface, ya que 32 +42 =9 + 16 = 25. Aceptemos que la ecuación de�ne a y = f(x) como función implícita alrededor de x0 = 3(este caso no es difícil, si reconocen que la ecuación describe una circunferencia de radio 5 centrada enel origen). Reemplazando y por f(x), tenemos la igualdad

x2 + (f(x))2 = 25

donde el lado izquierdo es función de x, a través de una composición con f(x). Derivando ambosmiembros respecto de x, usando la regla de la cadena, resulta

2x+ 2 f(x) f ′(x) = 0


(observen que (f(x))2 se derivó como una función compuesta). Evaluamos en x0 = 3, usando quef(3) = 4,

2.3 + 2.4 f ′(3) = 0

y podemos despejar f ′(3):

f ′(3) = −3

4

En este ejemplo concreto reconocemos grá�camente que −3/4 es la pendiente de la recta tangente ala circunferencia en el punto (3, 4):

De hecho es posible despejar explícitamente y = f(x) = +√

25− x2 , eligiendo el signo + como larama de la función implícita tal que f(3) = 4. Podríamos entonces derivar directamente

f ′(x) =1

2√

25− x2.(−2x) =

−x√25− x2

que es el resultado válido para la semi-circunferencia superior, en el intervalo (−5, 5). En particular,comprobemos el resultado de la derivación implícita del ejemplo: f ′(3) = − 3√

25−9= −3

4 .

El mecanismo de derivación implícita funciona siempre que las expresiones en la ecuación se puedanderivar por reglas prácticas. Y verán que, aunque la ecuación sea complicada y no permita despejar y(x),sabiendo el valor de f(x0) será sencillo despejar al menos el valor de f ′(x0).

5.1.5. Ejercicios

Para �jar los conceptos de ecuaciones y relaciones multivaluadas, función implícita y derivada implícita,proponemos varios ejercicios. En algunos ejercicios buscamos la derivada de la función implícita en un puntodado, y en otros buscamos la derivada en un punto genérico (es decir, construirán la función derivada).

Una vez que reconozcan la función implícita y su derivada, podrán resolver problemas de recta tangente,crecimiento, etc.

Observen que si una ecuación tiene variables x e y, es posible estudiar funciones implícitas de la formay(x) o de la forma x(y); en algunos casos una posibilidad pueder ser más conveniente que la otra.

Ejercicio 5.1.1. Sea y = f(x) una función derivable en x = 1, que veri�ca la ecuaciónf(x) + x2 [f(x)]3 = 10. Si f(1) = 2, calculen f ′(1).

Ejercicio 5.1.2. Sea g(x) una función derivable en x = 0, que veri�ca la ecuacióng(x) + x sen (g(x)) = x2. Calculen g′(0), sabiendo que g(0) = 0.


Ejercicio 5.1.3. Veri�quen que los puntos (−1, 1) y (−1,−1) pertenecen a la curva x3 + xy2 = −2.

¾Es posible incluir los dos puntos en una misma función implícita y = f(x)?Encuentren la ecuación de la recta tangente en cada punto.

Ejercicio 5.1.4. La curva de ecuación x2 + y2 + xy = 4 es una elipse, cuyos ejes no son paralelos alos ejes coordenados.

1. Gra�quen con GeoGebra (el programa reconoce ecuaciones cuadráticas en dos variables). Hallengrá�camente la dirección de los ejes de la elipse.

2. Encuentren dos puntos de la elipse con ordenada y = 0.3. Hallen las rectas tangentes a la elipse en los puntos encontrados.4. Repitan el procedimiento de derivación implícita en un punto genérico (x0,y0) de la elipse. ¾En

qué puntos de la curva la tangente es horizontal?

Ejercicio 5.1.5. La curva de ecuación x3 + y3 = 6xy se llama folio de Descartes.

1. Encuentren la recta tangente al folio de Descartes en el punto (3, 3).2. Repitan el procedimiento de derivación implícita en un punto genérico (x0,y0). ¾En qué puntos de

la curva la tangente es horizontal?3. Pueden ver http://es.wikipedia.org/wiki/Folium_de_Descartes grá�cas de la curva. Aunque pa-

rezca imposible, hay una forma de despejar y en función de x; comparen el trabajo hecho mediantederivación implícita con el que tendrían que hacer si usaran la forma explícita de y(x).

Ejercicio 5.1.6. Para las siguientes relaciones, suponiendo que de�nen una función implícita y = y(x)derivable,

encuentren y′ por derivación implícita en un punto x0 genérico.despejen y = y(x) y deriven la expresión explícita.comprueben que ambas expresiones coinciden.

a) xy + 2x+ 3x2 = 4 b)1

x+

1

y= 1.

(pueden gra�car la ecuación (a) con GeoGebra para comprobar que representa una hipérbola; tambiénla (b), si la reescriben en forma cuadrática y + x = xy).

Ejercicio 5.1.7. Suponiendo que las siguientes relaciones de�nen funciones implícitas y = y(x) deri-vables, hallen una expresión para y′(x0) en un punto x0 genérico.

sen(x+ y) = x.ln(xy) + y = 0,x2y = ey,√xy = 1 + xy2.

CLASE 5.2. FUNCIONES INVERSAS. INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS. 225

Clase 5.2. Funciones inversas. Inversas trigonométricas e hiperbólicas.

Contenidos de la clase: Funciones inversas. Derivada de la función inversa. Funciones tri-gonométricas inversas. Funciones hiperbólicas inversas.

Una aplicación importante de la noción de función implícita es el estudio de la posibilidad construirfunciones inversas. Esto signi�ca: cuando tenemos una función bien de�nida y = f(x) que expresa lavariable dependiente y en función de la variable independiente x, nos preguntamos si podemos cambiarlos roles de las variables y expresar x en función de y.

Actividad 5.2.1. Comencemos con una función sencilla: y = f(x) = 3x+ 2.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables? (por ejemplo, laforma segmentaria o la forma normal de la ecuación de la recta)¾Pueden despejar x en términos de y? ¾Resulta x una función de y? En ese caso, ¾cuáles son eldominio y la imagen de la función hallada?

Actividad 5.2.2. Sigamos con una función todavía sencilla: y = f(x) = x2 + 2x− 3.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables? (por ejemplo, laforma general de las ecuaciones cuadráticas)¾Pueden despejar x en términos de y? ¾Resulta x una función de y?Si hay algún obstáculo, ¾pueden arreglarlo? En ese caso, ¾cuáles son el dominio y la imagen dela función hallada?

Actividad 5.2.3. Ahora, veamos una función especial: y = f(x) = sen x.

¾Cuál es el dominio natural de f(x)? ¾Cuál es su imagen?¾Pueden escribir la relación entre x e y como una ecuación en dos variables?¾Pueden despejar x en términos de y?

En las actividades anteriores discutimos casos bien distintos, sin embargo tienen algo en común: dadauna función bien de�nida y = f(x) siempre se puede escribir la relación entre x e y como una ecuación endos variables:

y − f(x) = 0

La posibilidad de despejar x en función de y nos lleva al tema de la clase anterior: a veces se puededespejar algebraicamente, en forma explícita, pero en general no se puede. Cuando no podamos despejar,nos vamos a preguntar si es posible de�nir x como una función implícita de y. También vamos preguntarsi hay distintas ramas para de�nir x como función de y.

Para estudiar qué tramos de la función y = f(x) permiten de�nir x como una función implícita de y,será importante analizar la grá�ca la función original.

Cuando partimos de una función y = f(x) y logramos expresar x en función de y se dice que cons-truimos una función inversa, que se anota x = f−1(y). Como sucede con las funciones implícitas, paradistinguir las distintas ramas posibles es importante dar el dominio y la imagen de cada función inversaconstruida2.

2La notación f−1(y) se lee "f inversa de y". No se debe confundir con "uno sobre f".


5.2.1. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas

Antes de construir una función inversa necesitamos primero hacer un estudio de la función originaly = f(x). Las palabras que leyeron en el título de esta sección describen características que una funciónpuede tener, o no tener. Observen que para de�nir estas características nos referimos con cuidado aldominio y codominio de la función; por eso usamos la notación completa

f : A→ B dada por y = f(x)

Estas características determinan cuándo es posible construir una función inversa.

Definición 5.2.4. Dada una función f : A → B, se dice que la función es suryectiva cuandoIm f = B.

Recordemos que la imagen de la función, anotada Im f o también f(A), es el conjunto de los valoresy ∈ B que toma la función cuando x recorre todo el dominio A. Entonces, en palabras, una función essuryectiva cuando toma todos los valores de su codominio.

Ejemplo 5.2.5. La parábola canónica y = x2 tiene como dominio todos los reales y como imagenel intervalo [0,+∞) de reales no negativos. Grafíquenla para seguir este ejemplo.

Si consideramos la funciónf : R→ R dada por y = x2

estamos diciendo que el codominio es R. Entonces encontramos que f no es suryectiva: la imagen[0,+∞) no coincide con el codominio.

Por otro lado, si consideramos la función

g : R→ [0,+∞) dada por y = x2

estamos diciendo que el codominio es [0,+∞). Entonces encontramos que g sí es suryectiva: la imagen[0,+∞) coincide con el codominio declarado.

Este ejemplo nos aclara dos puntos importantes. Primero, que para discutir si una función es suryectivano basta conocer su fórmula, sino que debemos aclarar con qué codominio está de�nida; sólo así podremoscomparar su imagen con el codominio declarado. Segundo, que es fácil lograr que una función con fórmulay = f(x) sea suryectiva: tenemos que ajustar su codominio descartando los valores de y que nuncaaparezcan como resultado de evaluar f(x). A este procedimiento se lo llama restringir el codominio.

Definición 5.2.6. Dada una función f : A → B con fórmula y = f(x), se dice que la función esinyectiva cuando a valores distintos de x ∈ A corresponden valores distintos de y ∈ B.

Dicho en palabras, una función y = f(x) es inyectiva cuando no repite valores de y a medida que xrecorre su dominio, no hay dos valores distintos de x que tengan el mismo resultado y.

Ejemplo 5.2.7. Volvamos a considerar la parábola canónica y = x2. Tengan a mano su grá�ca.Si consideramos la función

f : R→ R dada por y = x2

estamos diciendo que el dominio es R. Entonces encontramos que f no es inyectiva, porque hay valoresdistintos de x, por ejemplo −2 y 2, tales que dan en mismo valor de y: f(−2) = f(2) = 4.

Por otro lado, si restringimos el dominio al intervalo [0,+∞) y consideramos la función

h : [0,+∞)→ R dada por y = x2

entonces encontramos que g sí es inyectiva. Gra�quen y = g(x) y observen que describe solamente larama derecha de la parábola.


Nuevamente, este ejemplo nos aclara dos puntos importantes. Primero, que para discutir si una funciónes inyectiva no basta conocer su fórmula, sino que debemos tener claro cuál es su dominio. Segundo, quees posible lograr que una función con fórmula y = f(x) sea inyectiva: tenemos que ajustar su dominiodescartando valores de x que ya hayan aparecido como resultado de evaluar f(x). A este procedimiento selo llama restringir el dominio.

Restringir un dominio tiene un costo evidente: hay regiones del eje x que quedan fuera de consideración.La función restringida no contiene ninguna información sobre esas regiones. En un problema de aplicación,será muy importante asegurarse de que la función con dominio restringido realmente cubra el rango de lavariable que intentamos describir.

Definición 5.2.8. Dada una función f : A → B, se dice que la función es biyectiva cuando esinyectiva y suryectiva a la vez.

Juntando lo que ya dijimos, una función y = f(x) con dominio A y codominio B es biyectiva cuandosu imagen coincide con el codominio y cada valor de la imagen es alcanzados solamente una sola vez.

Ejemplo 5.2.9. Sigamos considerando la parábola canónica y = x2. Cuando consideramos la fun-ción

f : R→ R dada por y = x2

encontramos que f no es inyectiva. Por otro lado, cuando restringimos el dominio al intervalo [0,+∞)y consideramos la función

h : [0,+∞)→ R dada por y = x2

entonces encontramos que g sí es inyectiva, pero no es suryectiva: la imagen [0,+∞) no coincide conel codominio declarado R. Podemos arreglar la falta de suryectividad restringiendo el codominio alintervalo [0,+∞). De�nimos una nueva función (con la misma fórmula, pero no es la misma función)

b : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por y = x2

que �nalmente resulta biyectiva.

Actividad 5.2.10. Gra�quen la función y = b(x) del ejemplo anterior, marcando su dominio y sucodominio. Veri�quen grá�camente que es una función biyectiva. Tengan a mano una regla y discutan:

¾qué mecanismo grá�co les permite decidir si la función es suryectiva?¾qué mecanismo grá�co les permite decidir si la función es inyectiva?

Cuando una función f : A → B con fórmula y = f(x) es biyectiva se veri�ca que cada valor de y enel conjunto B aparece como imagen de un y solamente un valor x del conjunto A. Se dice que hay unacorrespondencia biunívoca entre los conjuntos A y B: cada elemento de A se corresponde con un y sóloun elemento de B, a la vez que cada elemento de B se corresponde con un y sólo un elemento de A. Lagrá�ca de una función f : A→ B biyectiva, generalizando lo discutido con la parábola, tiene el siguienteaspecto:


5.2.2. Función inversa

Volviendo al tema de función inversa, es decir a la posibilidad de despejar x como función de y, esimportante destacar que cuando una función f : A→ B es biyectiva, a cada valor de y se le puede asignarun único valor de x, elegido tal que f(x) = y.

Cuando una función

f : A→ B con fórmula y = f(x)

es biyectiva, se puede de�nir su función inversa, que anotamos

f−1 : B → A con fórmula x = f−1(y)

Simplemente, a cada y ∈ B se le asigna el único valor de x ∈ A tal que f(x) = y.

Definición 5.2.11. Dada una función f : A → B biyectiva, su función inversa se de�ne comof−1 : B → A tal que

x = f−1(y) siempre que f(x) = y

En esta de�nición, el dominio de f pasa a ser la imagen de f−1 y la imagen de f−1 pasa a ser eldominio de f . Para acompañar esta idea, dejamos y como variable independiente de f−1 y x como variabledependiente.

Podemos representar grá�camente a la función inversa cambiando el sentido de las �echas de asignación:

En el panel de la izquierda, a cada x se le asigna un y. Y en el panel de la derecha, a cada y de leasigna un x.

Usualmente se "endereza" el dibujo de la función inversa poniendo la variable independiente y en eleje horizontal, y la variable dependiente x en el eje vertical. Podemos imaginar el panel derecho dibujadoen papel de calcar, dar vuelta la hoja y acomodar los ejes. Se vería así:


donde ustedes podrán reescribir las letras "al derecho".

Actividad 5.2.12. Dibujen la grá�ca de una función biyectiva en papel transparente. Encuentrenla forma de mirarlo para visualizar la función inversa (bastará una hoja en blanco, vista a trasluz).

Observación 5.2.13. Una vez construida la función inversa, en muchos textos se suele intercambiarlas letras, escribir y = f−1(x). El propósito es tratar a la función inversa como a cualquier función, queestamos acostumbrados a escribir con x como variable, e y como resultado.

En esta unidad vamos a mantener la notación x = f−1(y) para recordar que hemos invertido unafunción y = f(x) (excepto en la actividad siguiente, presten atención al uso de las letras x e y).

Actividad 5.2.14. Dibujen en el plano x − y la grá�ca de una función biyectiva y = f(x) y lagrá�ca de su inversa y = f−1(x). Veri�quen que las grá�cas son simétricas respecto de la recta deecuación y = x (es decir, la bisectriz del primer y tercer cuadrante).

Por ejemplo, pueden usar f : [−1, 1]→ [−1, 1] dada por y = f(x) = 3√x.

Existencia de ramas de la función inversa

Hemos visto que una función biyectiva se puede invertir. Pero la vida no es tan sencilla, y es frecuenteque tengamos una función y = f(x) que no sea biyectiva, y necesitemos de alguna manera considerar a xcomo función de y.

El recurso que tenemos para construir una función inversa es lograr primero que la función sea biyectiva,restringiendo su dominio y codominio adecuadamente. En este proceso sacri�camos información, y nosquedamos solamente con una parte de la función original. Luego tiene sentido de�nir la inversa de esaparte. Según la restricción elegida, se obtiene una rama de función inversa.

Veamos grá�camente qué signi�ca "dominio y codominio adecuados". Para que exista una rama defunción inversa de y = f(x), tenemos que buscar un tramo de la grá�ca de f donde sea biyectiva. Es decir,que sea a la vez inyectiva (es decir no repetir valores en todo el dominio elegido) y suryectiva (es decir,que alcance todos los valores del codominio elegido). En general, como vemos en la �gura anterior, eso nosucede con la función f completa; pero si restringimos adecuadamente el dominio y el codominio de f,puede ser que encontremos una función inversa.

Imaginemos un grá�co de y = f(x), y supongamos que nos interesa trabajar con el punto (x0, y0):


Hagamos una restricción descartando valores de x a la izquierda de a y a la derecha de b (indicados enla �gura), para que f no repita valores: la imagen del intervalo [a, b] en el eje x resulta el intervalo [c, d]en el eje y. La función restringida3 f : [a, b] → [c, d] resulta biyectiva, y tiene sentido buscar su inversa.La función inversa f−1 : [c, d]→ [a, b], que pasa por (y0, x0) y es continua en [c, d] se puede ver "mirandode costado" o gra�cando los mismos puntos con el eje y en la horizontal y el eje x en la vertical:

Esperamos que se vea clara la situación razonando sobre un grá�co. Queda pendiente la pregunta: sino conocemos el grá�co ¾cómo ubicamos una restricción de la función y = f(x) que resulte biyectiva?

Funciones biyectivas en intervalos

Podemos aprovechar lo que aprendimos de continuidad, y de crecimiento, para seleccionar un tramo dela grá�ca de una función de forma que resulte biyectiva. Para estudiar la inyectividad tenemos la siguiente

Propiedad 5.2.15. Sea una función f : D → R y un intervalo I incluido en el dominio D.

Si la función f es estrictamente creciente en I, entonces f restringida al dominio I es inyectiva.Si la función f es estrictamente decreciente en I, entonces f restringida al dominio I esinyectiva.

3Sería apropiado usar una letra distinta de f , porque la función restringida es un objeto distinto de la original. Parafacilitar la lectura, nos permitimos este abuso de notación.


Demostración . Este resultado es una consecuencia directa de la de�nición de crecimiento: cuandouna función y = f(x) es estrictamente creciente (o decreciente) va tomando valores distintos a medida queaumenta x.

Se dice que una función es monótona para indicar que es o bien creciente o bien decreciente.También se dice brevemente que f es inyectiva en [a, b] para indicar que la restricción de f al dominio

[a, b] es una función inyectiva.

Para estudiar la suryectividad de f en un intervalo I tenemos que encontrar su imagen, que anotamosf(I). Resultan útiles los teoremas del Valor Extremo (3.5.23) y del Valor Intermedio (2.5.24).

Propiedad 5.2.16. Sea una función f : I → R.Si la función f es continua en el intervalo I, entonces la restricciónf : I → f(I) es suryectiva.

Demostración . Vamoa a analizar primero el caso en que el intervalo I sea cerrado, anotémoslo comoI = [a, b]. Según el teorema del Valor Extremo, una función continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanzaun mínimo y un máximo absolutos en ese intervalo. Llamemos c al valor del mínimo, y d al valor delmáximo. Entonces la imagen f([a, b]) está incluida en el intervalo [c, d]. Además, por el teorema del ValorIntermedio, cualquier valor y ∈ [c, d] se puede escribir como resultado de evaluar f(p) en algún valor4 p delintervalo [a, b]. Es decir, cualquier valor y ∈ [c, d] está en la imagen f([a, b]). En consecuencia, la restricciónf : [a, b]→ [c, d] es suryectiva.

Con un poco más de trabajo se puede mostrar que el resultado también es cierto cuando el intervaloI no es cerrado.

Sabemos que el crecimiento o decrecimiento de una función está determinado por el signo de suderivada, cuando ésta existe. Para recordar cuándo es posible de�nir una rama de función inversa podemosunir los resultados anteriores y enunciar la siguiente

Propiedad 5.2.17. Sea una función f : D → R y un intervalo I incluido en el dominio D. Si

f(x) es continua en el intervalo I,f(x) es derivable en el intervalo I, con la posible excepción de sus puntos extremos,f ′(x) > 0 en todo el intervalo I (o bien f ′(x) < 0 en todo el intervalo I) , con la posibleexcepción de sus puntos extremos,

entonces, llamando K = f(I) (es decir la imagen del intervalo I), la restricción f : I → K esbiyectiva y admite función inversa continua f−1 : K → I.

Esta propiedad a�rma que la función inversa existe, pero no a�rma que se pueda despejar algebrai-camente y en función de x. Es inportante reconocer que la función inversa existe, aunque no podamosdespejar su fórmula.

Observación 5.2.18. La propiedad 5.2.17 puede ser aplicada a intervalos abiertos, semiabietos ocerrados; en particular a todo el eje real (es decir, al intervalo I = R).

En el caso de intervalos cerrados I = [a, b], el enunciado asegura que existe la inversa cuando f(x)es derivable en el abierto (a, b) y continua en el intervalo cerrado [a, b], con f ′(x) positiva (o negativa)en (a, b). A esto se re�ere la "posible excepción de sus puntos extremos"; comparen con la Observación3.4.10.

4Nos referimos al valor que se llamó c en el enunciado del teorema del Valor Intermedio.


Derivabilidad de la función inversa.

Una vez que sabemos que una rama de la función inversa está bien de�nida, vamos a establecercondiciones para que sea derivable. Podríamos haberlo dicho en la propiedad anterior, pero preferimosdarle más importancia al siguiente:

Teorema 5.2.19. Consideremos una función y = f(x) tal que:

f(x) es continua en el intervalo I,f(x) es derivable en el intervalo I, con la posible excepción de sus puntos extremos,f ′(x) > 0 en todo el intervalo I (o bien f ′(x) < 0 en todo el intervalo I ), salvo posiblementeen sus extremos

Llamemos K = f(I) a la imagen del intervalo I . Entonces, la función inversa f−1 : K → I esderivable en todo su dominio K, con la posible excepción de sus extremos.Exactamente, si f ′(x0) 6= 0, entonces la función inversa x = f−1(y) es derivable en y0 y está dadapor (

f−1)′

(y0) = 1/f ′(x0)

donde x0 = f−1(y0)

Demostración. La función inversa existe y es continua, porque estamos en la situación de la propiedadanterior. Podemos intuir que existe x′(y0) porque existe la recta tangente a la grá�ca de y = f(x) en elpunto (x0, y0) y no es horizontal; es decir, existe la recta tangente a la grá�ca de x = f−1(y) en el punto(y0, x0) y no es vertical. Vamos a aceptar que la derivada existe y calcular x′(y) usando derivación implícita.Sea y = f(x) la relación que describe la grá�ca de f , y usemos que existe la función implícita x = f−1(y):

y = f(f−1(y)

)Derivando ambos miembros respecto de y, y evaluando en y0 ∈ K = f(I) obtenemos

1 = f ′(f−1(y0)).(f−1

)′(y0)

Pero f−1(y0) = x0 ∈ I y por hipótesis f ′(x0) 6= 0. Luego podemos despejar(f−1

)′(y0) = 1/f ′(x0)

Completamos así la demostración.2Si son críticos al analizar la demostración anterior, hemos calculado la derivada de la función inver-

sa utilizando derivación implícita asumiendo que existe, pero no demostramos su existencia. Podríamoscalcular la derivada por su de�nición, es decir como el límite del cociente incremental. Este mecanismonos dice que si el límite existe, la derivada también existe (y además nos dice cuánto vale). Para no serincompletos, les proponemos como desafío ese cálculo. En la práctica, utilizaremos el resultado del teoremadirectamente, viendo primero dónde valen las hipótesis, por supuesto.

Veamos un ejemplo en que la función inversa se pueda despejar, y otro en que no se pueda.

Ejemplo 5.2.20. Consideremos la función y = g(x) = x2, de�nida para todo x real. La funcióng(x) es continua y derivable en todo el eje real, con g′(x) = 2x.

Busquemos intervalos en que g(x) sea creciente: la región en que g′(x) > 0 es (0,+∞). Entonces esestrictamente creciente en [0,+∞) (recordemos que allí es continua). Su imagen, obtenida mirando lagrá�ca, es [0,+∞). En consecuencia, g : [0,+∞) → [0,+∞) es biyectiva. La correspondiente rama dela función inversa se anota g−1 : [0,+∞) → [0,+∞); despejando, esta rama está dada por la fórmulax =√y = g−1(y).

Después de este estudio analítico, gra�quen para observar que g : [0,+∞)→ [0,+∞) representa larama derecha de la parábola y = x2, y que g−1 : [0,+∞) → [0,+∞) representa la raíz cuadrada consigno positivo.


Como g′(x) no se anula en (0,+∞), podemos garantizar que la función inversa g−1(y) es derivableen cualquier y0 ∈ (0,+∞), y que la derivada se calcula como(

g−1)′

(y0) = 1/g′(x0) = 1/ (2x0) = 1/(2g−1(y0)

)= 1/ (2

√y0)

Noten que hay que trabajar un poco para que la derivada de g−1(y) quede escrita en función dey; esto es necesario para llegar a una regla práctica, donde aparezca sólo la variable y de la funcióninversa.

Por supuesto, este resultado coincide con las reglas que aprendimos para derivar la raíz cuadrada.Y, como ya saben, esta función es derivable en (0,+∞) pero no es derivable en y = 0.

Actividad 5.2.21. Discutan otra función inversa de y = g(x) = x2: repitan el Ejemplo 5.2.20 en elintervalo en que la función es decreciente. Deben obtener la función inversa asociada a la otra rama dela parábola.

Un ejemplo importante en que no se puede despejar algebraicamente la función inversa, pero sí sepuede asegurar que existe y es derivable, es el siguiente:

Ejemplo 5.2.22. Consideremos la función y = f(x) = senx, de�nida para todo x real. La funciónsenx es continua y derivable en todo el eje real, con (senx)′ = cosx.

Busquemos intervalos en que senx sea creciente. Proponiendo que (senx)′ = cosx > 0, o bienobservando la grá�ca, vamos a elegir el intervalo x ∈ [−π/2, π/2]: la derivada sen′(x) es positiva sóloen el abierto (−π/2, π/2) y la función sen(x) es continua en el cerrado [−π/2, π/2]. La imagen de esteintervalo, mirando la grá�ca, es el intervalo [−1, 1].

La función inversa sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] existe y es derivable en (−1, 1). Se llama arcoseno, y se anota como x = arcsen y (o también como x = sen−1(y) ).

En la próxima sección veremos con detalle la función arco seno: dominio, codominio, su grá�cas ysu derivada.

En la clase de integración discutiremos las inversas de las demás funciones trigonométricas.

5.2.3. Inversas de las funciones trigonométricas

En esta sección y en la clase de integración vamos a presentar la inversa de la función seno. Estafunción inversa da la respuesta a la siguiente pregunta:

si conocemos en seno de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?

Mirando la grá�ca de la función seno vemos que existen en general distintos ángulos que tienen el mismovalor de seno. Signi�ca que existen distintas ramas de función inversa. Por convención vamos a elegir la


rama que permita trabajar con ángulos del primer cuadrante. Esta elección se llama rama principal, y esla que van a encontrar en calculadoras y en GeoGebra.

En la clase de integración van a encontrar una presentación similar para las funciones inversas delcoseno y de la tangente. Las preguntas que se discuten allí son:

si conocemos en coseno de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?si conocemos la tangente de un ángulo, ¾cuál será ese ángulo?

Función arco seno. La función inversa del seno se llama arco seno. Si y = sen x, se la anota x =

arcsen(y). Su nombre se re�ere al arco x (o ángulo) tal que sen x = y. Como en realidad existen distintosxtales que sen x = y, para de�nir la función arco seno es necesario hacer restricciones.

Como vimos en el ejemplo 5.2.22, la función y = sen x restringida al intervalo x ∈ [−π/2, π/2] sepuede invertir (vean su grá�ca). No podemos despejar x algebraicamente de la ecuación y = sen x, pero lafunción inversa existe. Para pensarla deben recordar el grá�co, y para dar valores precisos deberán recurrira la calculadora.

Se de�ne la rama principal del arco seno como

arcsen : [−1, 1]→ [−π/2, π/2]; arcsen(y) = x siempre que y = sen(x)

Su grá�ca resulta

Como la función y = sen(x) es derivable, con derivada distinta de cero, en (−π/2, π/2), la funciónx =arcsen(y) es derivable en (−1, 1). La derivada se calcula así:

arcsen′(y) = 1/sen′(x) = 1/ cos(x)

Para expresar el resultado en función de y recurrimos a la relación de Pitágoras, sen2(x)+cos2(x) = 1 paradespejar cos(x) = ±

√1− sen2(x); como nos restringimos a x ∈ (−π/2, π/2) (primer y cuarto cuadrante)

sabemos que el coseno es positivo y corresponde usar

cos(x) = +√

1− sen2(x)

Volviendo a la derivada del arco seno,

arcsen′(y) = 1/√

1− sen2(x)

Finalmente, como sen(x) = y,arcsen′(y) = 1/

√1− y2

Este resultado es muy interesante: permite calcular la derivada de la función arco seno, cuya fórmulano es algebraica, como una expresión algebraica. Deben agregarlo a la tabla de derivadas de funcionesconocidas.


Inversas de las funciones hiperbólicas

Para completar esta clase, vamos a repasar la función seno hiperbólico y presentar su inversa (esoportuno que revisen el �nal de la Clase 1.5).

En la clase de integración, para que tengan el material completo, haremos lo mismo con las funcionescoseno y tangente hiperbólicas.

Función argumento seno hiperbólico. Comencemos con la grá�ca de la función y = senh(x) ≡(ex − e−x)/2

La función es derivable, con senh′(y) = cosh(y) > 0 en todo el eje real. Es decir, es creciente en todo sudominio. Existe la función inversa, que se llama5 argumento seno hiperbólico. Cuando se conoce un valorde senh(y), la función inversa nos da el argumento y de la función seno hiperbólico.

Se de�ne el argumento seno hiperbólico como

argsenh : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞); argsenh(x) = y siempre que x = senh(y)


Si observan la grá�ca de y = senh(x) dibujada más arriba, verán que a y arbitrariamente grande secorresponde con un x arbitrariamente grande:lımx→+∞ arcsenh(x) = +∞ y lımx→−∞ arcsenh(x) = −∞En consecuencia, esta función no tiene asíntotas horizontales.

Actividad 5.2.23. Calculen la derivada de la función x = argsenh(y). Si se guían por elejemplo dela derivada del arco seno, y usando que cosh2 x− senh2x = 1, deben llegar a

argsenh′(y) = 1/√

1 + y2

5También pueden encontrarla como arco seno hiperbólico.


(observen el parecido con arcsen′(y), no se las confundan!). Agreguen este resultado a la tabla dederivadas.

5.2.4. Ejercicios

Ejercicio 5.2.1. Consideremos la función f(x) = x3 + 3x.

Veri�car que se cumplen en todo punto las condiciones para que y = f(x) tenga inversa x = g(y).Calcular f(0), f(1), f(−1).Calcular g(4), g(0), g(−4).Calcular g′(4) , g′(0), g′(−4).Gra�quen f e interpreten los resultados obtenidos para g′.

Ejercicio 5.2.2. Supongamos f(x) derivable y monótona. Si f(4) = 5 y f ′(4) = 2/3, hallar(f−1

)′(5).

Hagan un grá�co esquemático con la información de este ejercicio.

Ejercicio 5.2.3. Hallen los mayores intervalos donde la función y = f(x) admite una función inversax = f−1(y), determinen el dominio de f−1(y) y hallen una expresión para su derivada. De ser posibleexpresen

(f−1

)′(y) en términos de y.

(a) f(x) = (x+ 1)3 + 2; (b) f(x) = x4 − 2x2; (c)f(x) = ln(x− 3).

Ejercicio 5.2.4. Hallen(f−1

)′(0) de dos maneras: como derivada de la función inversa y despejando

efectivamente x como función de y.

(a)f(x) =x− 1

x; (b) f(x) =

1

x3− 8.

Ejercicio 5.2.5. Sea f(x) = 2x + cosx. Prueben que admite inversa en toda la recta y hallen suderivada.

Gra�quen e interpreten.

Ejercicio 5.2.6. Dada la función y = f(x) = −x3 + 6x2 − 9x+ 3,(a) Comprobar que (x, y) = (2, 1) pertenece a la grá�ca de f .(a) Hallar el mayor intervalo donde la función y = f(x) admite una función inversa x = f−1(y) tal quef−1(1) = 2.(b) ¾Cuál es el dominio y el codominio de la función f−1(y) de�nida en el inciso anterior?(c) Calcular

(f−1

)′(1).

Ejercicio 5.2.7. Las funciones homográ�cas son invertibles. Analizar el caso y = f(x) =2x+ 1

x− 2(a) Analizando la continuidad y el crecimiento de f(x), determinar las posibles ramas de x = f−1(y) ydar la expresión de sus derivadas.(b) Despejando x en función de y, dar la forma explícita de la función inversa y veri�car la derivadaobtenida en el inciso (a).(c) Gra�car y = f(x) y x = f−1(y). Veri�car que los grá�cos muestran la simetría característica defunciones inversas.

Desafío (para pensar más) 5.2.8. Gra�quen cada situación y respondan, justi�cando, cada pre-gunta.


Si f(x) es una función par, ¾existe f−1(x)?Supongamos f(x) invertible en toda la recta real. ¾Es posible que f = f−1?

Desafío (para pensar más) 5.2.9. Presentamos aquí la demostración de la existencia de la derivadade una función inversa en los puntos y0 = f−1(x0) que veri�can que f ′(x0) 6= 0. Traten de seguir elrazonamiento y consulten lo que no entiendan.

Dado x0 ∈ I tal que f ′(x0) 6= 0, tomemos y0 = f(x0) y escribamos el límite que debemos estudiar:

f−1(y0) = lımy→y0

f−1(y)− f−1(y0)

y − y0.

Sabemos que existe un único x ∈ I tal que f(x) = y, es decir x = f−1(y). Entonces podemos escribir

el cociente anterior comof−1(y)− f−1(y0)

y − y0=

x− x0

f(x)− f(x0).

Por otro lado, al ser f−1 continua en y0, sabemos que lımy→y0

f−1(y) = f−1(y0); lo que signi�ca que

cuando y → y0 tenemos quef−1(y) = x→ f−1(y0) = x0. Reescribiendo todo el límite nos queda

f−1(y0) = lımy→y0

f−1(y)− f−1(y0)

y − y0= lım

x→x0

x− x0

f(x)− f(x0)= lım

x→x0

1f(x)−f(x0)

x−x0

.

Finalmente, como f ′(x0) 6= 0, obtenemos

f−1(y0) =1

lımx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

=1

f ′(x0).

EXPONENCIALES, LOGARITMOS, ARCOS TRIGONOMÉTRICOS Y ARGUMENTOS HIPERBÓLICOS. 238

Clase 5.3. Actividades de Integración

Exponenciales, logaritmos, arcos trigonométricos y argumentos hiperbólicos.

Contenidos de la clase: Revisión de exponencial y logaritmo naturales como funciones in-versas. Exponencial y logaritmo de base b > 0.Inversas de funciones trigonométricas e hiperbólicas. Ejercitación.

Aprovechando que la función logaritmo es la inversa de la función exponencial (como repasamos en laUnidad 1), esta clase de integración está dedicada a varios aspectos del uso de exponenciales y logaritmos,en base natural e y en otras bases distintas.

Luego completamos las inversas de funciones trigonométricas e hiperbólicas, siguiendo el modelo yavisto con el arco seno y el argumento seno hiperbólico.

5.3.1. Exponencial y logaritmo naturales

Recordemos que todavía no de�nimos rigurosamente la función exponencial natural, ni la funciónlogaritmo natural. Hemos trabajado con ellas a partir de sus grá�cas, y el uso de calculadoras. Sí hemosinsistido en la Unidad 1 que estas funciones son una inversa de la otra. También repasamos sus principalespropiedades.

Para no demorar el uso de estas funciones tan importantes en Ciencias preferimos, como se haceen el colegio secundario y como insisten algunos libros universitarios modernos, trabajar con la funciónexponencial antes de de�nirla rigurosamente. Por eso las hemos repasado en la Unidad 1 trabajando susprincipales propiedades.

En esta clase de integración vamos a aceptar la función exponencial natural y sus propiedades, yanalizar con más cuidado la de�nición del logaritmo natural como función inversa de la exponencialnatural. Lo mismo podemos hacer con base b 6= e. Algunos enunciados parecen repetidos con los de laUnidad 1, aunque ahora podemos probar ciertas propiedades que antes sólo habíamos enunciado.

Actividad 5.3.1. Aceptemos que la función exponencial natural x = exp(y) es derivable, y que suderivada es exp′(y) = exp(y) (repasen su grá�ca en la Clase 1.5).

Repasemos la de�nición de la función logaritmo natural como inversa de la exponencial:

ln : (0,+∞)→ (−∞,+∞); y = ln(x) siempre que exp(y) = x

Estudiando si la exponencial es biyectiva, prueben que esta de�nición tiene sentido y es la únicarama inversa posible.Prueben que y = ln(x) es derivable en todo su dominio.Usando la fórmula de derivación de la función inversa, prueben que

ln′(x) = 1/x

(esto justi�ca la regla de derivación enunciada en la Unidad 3)Prueben que y = ln(x) es creciente en todo su dominio.

5.3.2. Función exponencial de base b

A partir de las funciones exponencial y logaritmo naturales, que ya damos por conocidas, podemosescribir una de�nición fundamentada del cálculo de una exponencial con otras bases (repetimos aquí lasde�niciones 1.5.25 y 1.5.27):


Definición 5.3.2. Dado un número real b positivo, y un número real x cualquiera, se de�ne laexponencial de base b como

expb(x) = ex ln b

Por sus propiedades, se usa notación de potencias escribiendo expb(x) ≡ bx. En este sentido nospodemos referir a b como base y a x como exponente.

Además de las propiedades de cálculo que vimos en la Unidad 1, podemos a analizar bx como función:

Actividad 5.3.3. Consideren la función y = bx, con una base b > 0 �ja y x como variable.

¾Cuál es el dominio de y = bx? ¾Cuál es la imagen de y = bx?Prueben que la función y = bx es derivable en todo su dominio, y calculen su derivada (suge-rencia: usen funciones conocidas y la regla de la cadena).Recuerden agregar en la tabla de derivadas (bx)′ = (ln b)bx , o bien recuerden que se puedeescribir escribir bx = ex ln b y luego derivar usando la regla de la cadena.Estudien el signo de (bx)′. Si 0 < b < 1, ¾cómo es el crecimiento de bx? Si b > 1, ¾cómo es elcrecimiento de bx? ¾y si b = 1?Interpreten y = bx = e(ln b)x como una transformación de escala de la función exponencialnatural. ¾cómo es la grá�ca de y = bx para distintos valores de b > 1? ¾cómo es la grá�ca dey = bx para distintos valores de 0 < b < 1?

5.3.3. Derivación de xr con r real

Veamos otra aplicación importante de exponenciales de base distinta de la base natural. Tomemos labase como variable x y el exponente �jo, y tendremos una función

y = f(x) = xr

La expresión está bien de�nida, como vimos, para base x > 0. Además, coincide con las potencias alge-braicas siempre que x lo permita (natural, entero, racional).

Actividad 5.3.4. Estudiemos la función f(x) = xr, con r real �jo. Es decir, f(x) = er ln(x).

Indiquen su dominio.Indiquen si es derivable respecto de x.Calculen la derivada y comprueben que (xr)′ = r xr−1

Indiquen si es continua.Según el valor de r, indiquen si la función es creciente, decreciente o constante.Gra�quen f(x) = xr para varios valores de r. Comparen las grá�cas.

5.3.4. Función logaritmo de base b.

Intentemos hallar una función inversa para x = expb(y) = by. Recordemos (actividad 5.3.3) queexpb : R→ (0,+∞) es biyectiva cuando 0 < b < 1 o cuando b > 1, pero no lo es cuando b = 1 (x = 1y = 1es una función constante, no es inyectiva). Recordemos (Unidad 1) la de�nición del logaritmo de base b,como inversa de la exponencial de base b, para b > 0 y b 6= 1:

logb : (0,+∞)→ R; logb(x) = y siempre que x = by

Actividad 5.3.5. Calculen, como función inversa, la derivada de y = logb(x).


Ejercicio 5.3.1. Calcular el dominio natural y las funciones derivadas de las siguientes funciones.(a) f(x) =

(x2 + 1

)x; (b)f(x) = xsenx; (c)f(x) =

(x2 − 1

)x; (d)f(x) = log3(2x− 1).

5.3.5. Más funciones inversas

Esta sección es "enciclopédica": les presentamos como referencia las inversas de las funciones coseno,tangente, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Si no llegan a verlas ahora, recuerden que este es ellugar en nuestra guía donde pueden consultarlas. Por otro lado, para que se acostumbren a jugar con lasletras, escribimos las funciones que vamos a invertir como x = f(y). De esta manera, las inversas quedanescritas como y = f−1(x).

Luego les proponemos algunos ejercicios variados (derivadas, recta tangente, límites, etc.) donde setrabaja con estas funciones.

Función arco coseno. Comencemos con la grá�ca de la función x = cos(y):

La restricción que marcamos incluye el primer cuadrante, y el mayor intervalo en que x = cos(y) semantiene decreciente, es decir y ∈ [0, π]. Permite de�nir la rama principal del arco coseno como

arccos : [−1, 1]→ [0, π]; arccos(x) = y siempre que x = cos(y)


Como la función x = cos(y) es derivable, con derivada distinta de cero, en (0, π), la función arccos(x)es derivable en (−1, 1). La derivada se calcula así:

arccos′(x) = 1/cos′(y)


Trabajen este resultado hasta llegar a la fórmula práctica

arccos′(x) = −1/√

1− x2

Como sucede con la derivada del arco seno, la función derivada del arco coseno se expresa con unafórmula algebraica. Además, es muy parecida a la de arcsen′(x); esto se debe a que las grá�cas de senoy coseno se relacionan por traslación. No olviden agregar arccos′(x) a la tabla de derivadas de funcionesconocidas.

Función arco tangente. Comencemos con la grá�ca de la función x = tan(y):

La restricción que marcamos incluye el primer cuadrante, y el mayor intervalo en que x = tan(y) semantiene creciente, es decir y ∈ (−π/2, π/2). La imagen de la función tan(y) en este intervalo resulta sertodo el eje real. Entonces se puede de�nir la rama principal del arco tangente como

arctan : (−∞,+∞)→ (−π/2, π/2); arctan(x) = y siempre que x = tan(y)


Como la función x = tan(y) es derivable, con derivada distinta de cero, en (−π/2, π/2), la funciónarctan(x) es derivable en todo el eje real. La derivada se calcula con la regla:

arctan′(x) = 1/ tan′(y)


Trabajen este resultado hasta llegar a la fórmula práctica

arctan′(x) =1

1 + x2

(ayuda: a partir de la relación pitagórica cos2 x + sin2x = 1 dividan ambos miembros por cos2 x paraobtener 1 + tan2 x = 1/ cos2 x. Luego pueden escribir cos2 x = 1/(1 + tan2 x).)

Es interesante destacar que, aunque no tenemos una expresión algebraica para arctan(x), para lafunción derivada tenemos una expresión racional (un sencillo cociente de polinomios). Agreguen estafórmula a la tabla de derivadas.

Recuerden que arctan(x) es derivable en todo el eje real, y que su derivada es siempre positiva. Sibien arctan(x) es siempre creciente, no tiende a +∞: existe lımx→+∞ arctan(x) = π/2. También existelımx→−∞ arctan(x) = −π/2 (para justi�car estos límites, analicen las asíntotas verticales de x = tan y).En consecuencia, posee dos asíntotas horizontales: y = −π/2 e y = π/2.

Ejercicio 5.3.2. Gra�quen las funciones trigonométricas inversas junto con sus derivadas y sus de-rivadas segundas. Observen las regiones de crecimiento y de concavidad, en relación con el signo de lasderivadas.

Función argumento coseno hiperbólico. Completemos ahora las inversas de las funciones trigono-

métricas hiperbólicas. Comenzamos con la grá�ca de la función x = cosh(y) ≡ (ey + e−y)/2 (atención,aunque les parezca, no es una parábola):

La función es derivable, con cosh′(y) = senh(y) en todo el eje real. Esta derivada es positiva en(0,+∞), por lo que cosh(y) es creciente en [0,+∞). Además, la imagen de este intervalo resulta [1,+∞).En consecuencia tenemos una restricción biyectiva que permite de�nir la rama principal del argumentocoseno hiperbólico como

argcosh : [1,+∞)→ [0,+∞); argcosh(x) = y siempre que x = cosh(y)



Ejercicio 5.3.3. Calculen la derivada de la función argcosh(x). Deben llegar a

argcosh′(x) = 1/√x2 − 1

(observen el parecido con la derivada de arccos(x), no se las confundan!). Agreguen este resultado a latabla de derivadas.

Función argumento tangente hiperbólico. La función x = tanh(y) ≡ senh(y)/cosh(y) está de�nidaen todo el eje real, y su imagen es el intervalo (−1, 1). Les dejamos como ejercicio de�nir y analizar sufunción inversa, llamada argumento tangente hiperbólico.

Ejercicio 5.3.4. Gra�quen la función x = tanh(y). Siguiendo el modelo de las otras funciones "arco"y "argumento",

Indiquen su dominio y su imagen. Indiquensus asíntotas.Calculen su derivada.Identi�quen la mayor región de crecimiento posible.De�nan el argumento tangente hiperbólico como inversa de la tangente hiperbólica.Construyan la grá�ca del argumento tangente hiperbólico (mostrada más abajo).Hallen su derivada, hasta llegar a la expresión

argtanh′(x) =1

1− x2, en el intervalo (−1, 1)

Ejercitación con inversas trigonométricas e hiperbólicas.

En los siguientes ejercicios proponemos trabajar lo que hemos aprendido en las unidades anteriores ensituaciones que involucran funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas.

Ejercicio 5.3.5.


Calculen arc cos 0, arc cos√

22 , arc sen 1, arc sen 1

2 , arctan√

3.¾Por qué si tanπ = 0, no es trivialmente cierto que arctan 0 = π?

Ejercicio 5.3.6. Escriban la ecuación de la recta tangente a f(x) = arc senx en el punto x =√

22 .

Ejercicio 5.3.7. Determinen el dominio natural de cada función. Hallen una fórmula para su derivadae indiquen el dominio de la misma.

(a) f(x) = arcsen(2x); (b) f(x) = arcsen x+ x√

1− x2; (c)f(x) = arc cos(ex);(d)f(x) = ln(arctanx), (e) f(x) = argtanh(x/2), (f)g(x) = 2x+ argcosh(x+ 1).

Ejercicio 5.3.8. Hallen los extremos locales de la función f(x) = arc senx−2x en su dominio natural.¾Algún extremo es absoluto? Justi�quen la respuesta.

Ejercicio 5.3.9. Calculen los siguientes límites:

(a) lımx→+∞

arctan

(x+ 1

x

); (b) lım

x→+∞arctan

(x2 + 1

x

); (c) lım

x→0−arctan

(x2 + 1

x

).

(b) ¾Alguna de estas funciones posee asíntota horizontal, o vertical? De ser así, dibujen las asíntotas yescriban sus ecuaciones.

Ejercicio 5.3.10. Gra�quen la función f(x) = arctan(x2), analizando todas las características de lafunción (hagan un análisis cualitativo completo, como discutimos en la Clase 4.3).

Observación 5.3.6. Por completitud, antes de terminar esta Unidad queremos mencionar algunasformas de de�nir con precisión y formalidad las funciones exponencial y logaritmo.

Existen varias formas distintas (todas equivalentes entre sí) de de�nir la función exponencial na-tural exp : R → (0,+∞), y luego se puede de�nir la función logaritmo como su inversa. Todas estasformas involucran límites, y su estudio riguroso se puede hacer recién después de un curso de AnálisisMatemático. Para satisfacer la curiosidad, una de�nición posible es la siguiente: dado un número realx, se construye la sucesión asociada an = (1 + x/n)n, con n natural; se prueba que existe lımn→∞ an yda un valor real �nito (es un límite muy delicado, se multiplica n veces por sí mismo un número que,para n grande, se hace arbitrariamente cercano a 1). Entonces,

exp(x) = lımn→∞

(1 + x/n)n

Noten que la construcción de la sucesión an es algebraica, involucra sumas, productos y cocientes; ellímite para n → ∞ hace el resto. En nuestro curso, esta de�nición no nos resulta manejable y no nossirve en la práctica para calcular la exponencial o probar sus propiedades.

También es posible de�nir primero el logaritmo natural mediante integrales, y luego de�nir la funciónexponencial natural como su inversa. Este camino también requiere un curso de Análisis Matemáticocompleto. Les contaremos más al �nal de este curso, después de estudiar integrales.

EJERCICIO PARA AUTOEVALUACIÓN - UNIDAD 5 245

Ejercicio para autoevaluación - Unidad 5

Ejercicio. Dada la función y = f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 18,

(a) determinen un dominio y codominio adecuados para que exista una rama de función inversa x =f−1(y), tal que f−1(0) = 3.

(b) calculen el valor de la derivada de x respecto de y en y0 = 0.

(sugerencia: analicen la función y = f(x) = x3 − 9x2 + 24x − 18 con las herramientas vistas en laUnidad 4, y determinen los intervalos de crecimiento.

Veri�quen que a x = 3 le corresponde y = 0, y elijan el tramo invertible adecuado de la grá�ca dey = f(x). )

unidad 5: funciones implícitas y funciones inversas · clase 5.1. ecuaciones con dos ariablesv y...

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