Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos

Febrero 2013 - Junio 2013

Nombre del Alumno: Méndez_______ López__________Omar Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

No.Control: 12080851 Semestre: 2 Grupo: B

Fecha de inicio: Fecha de término:

Nombre del Docente: Vasconcelos_______Santiago____________CristobalApellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

PORTAFOLIO DE EVIDENCIASAsignatura

Probabilidad y estadísticasUnidad 3 Funciones de distribución de probabilidades

3.1 Variables aleatorias y su clasificación

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.

Ejemplos

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras (discreta).

Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos variable aleatoria y la denotaremos por X.

 

Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada sandía su peso es una variable aleatoria (continua).

Variable aleatoria (v. a.)

Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento.

Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real).

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer,  por convenio, la siguiente notación:

(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", yp(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.

(X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", yp(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.

(X x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x", yp(X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x.

Si una variable aleatoria sólo toma valores enteros, es decir, un número finito de valores o infinito numerable diremos que es discreta (los dos primeros ejemplos). Si teóricamente, puede tomar todos los valores de un intervalo de R, diremos que es continua (los dos últimos ejemplos).

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos (discreto y continuo), en este caso únicamente vamos a ver la discreta:

1.      Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.

 

Ejemplos:x® Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado.x®0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, etc. burbujas por envasex®Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos.x®0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote x®Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos.x®0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

3.2 Distribuciones de probabilidad discretas

Función de probabilidad y de distribución (discreta)

Cuando hablamos de la función de probabilidad, estamos evaluando la posibilidad de que una variable aleatoria tome un valor específico o bien al hablar de una función de distribución nos referimos al hecho de que una variable aleatoria tomé algún valor dentro de un intervalo (donde una variable aleatoria es una variable continua) pero estos conceptos no contemplan el hecho de que se requiera conocer la información de un valor esperado, valor medio o esperanza matemática de una variable aleatoria.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.Características:1. Es generada por una variable discreta (x).

 x®Variable que solo toma valores enterosx®0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc. 2. p(xi)³0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. 3.Sp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

Valor esperado y momentos

CALCULO DE MEDIA (valor esperado) Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA

DISTRIBUCIÓN DISCRETA

 1.      Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la

distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula: 

)xi(p*xi)x(E Donde: = media de la distribuciónE(x) = valor esperado de xxi = valores que toma la variablep(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x 

1. Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

 

)xi(p*)xi(2

Donde: = desviación estándar = media o valor esperado de xxi = valores que toma la variable xp(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x  Ejemplos:

1. Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.

 Solución:Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;

N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de usoS = sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso 

N  

NS

 N

NS

S

N

1er auto NS

SN

2o auto S

3o S

d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS} x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso  p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)==0.001176p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624

p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192 Por tanto la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:  

=E(x) = )xi(p*xi(0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=

=0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94@ 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.  

= 2

)xi(p*)xi( =

).(*)(...).(*)().(*)( 941192033001176031000008030222

 

= ).... 062396005762000470400000720 ±0.2497@±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.

3.3Distribución Hipergeométrica.Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes

características:a)       Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos

tipos de resultados.b)       Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son

constantes.c)       Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los

demás.d)       El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

  Ejemplo:En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay

una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

Solución: Luego;  

nN

xnaNxa

C

C*C)n,x(p

 donde:p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n

seleccionados 

xnaNxa C*C muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos

 dnNC todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos

tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral 

3.4 Distribución de Poisson

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2

- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería: 

!x),x(p

x

donde:p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto = 2.718x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.   Ejemplos:

1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

  Solución:

a) a)      x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

= 6 cheques sin fondo por día = 2.718 

133920

24

0024801296

4

7182664

64

.).)((

!

).()(),x(p

3.5 Distribuciones de probabilidad continuasEn teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de

una variable aleatoria X viene dada por  , la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.

En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.

Existe una definición alternativa más rigurosa en la que el término "distribución de probabilidad continua" se reserva a distribuciones que tienen función de densidad de probabilidad. Estas funciones se llaman, con más precisión, variables aleatorias absolutamente continuas (véase el Teorema de Radon-Nikodym). Para una variable aleatoria X absolutamente continua es equivalente decir que la probabilidad P[X = a] = 0 para todo número real a, en virtud de que hay un incontables conjuntos de medida de Lebesgue cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor).

Una variable aleatoria con la distribución de Cantor es continua de acuerdo con la primera definición, pero según la segunda, no es absolutamente continua. Tampoco es discreta, ni una media ponderada de variables discretas y absolutamente continuas.

En aplicaciones prácticas, las variables aleatorias a menudo ofrece una distribución discreta o absolutamente continua, aunque también aparezcan de forma natural mezclas de los dos tipos.

Definición 

Para una variable continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. En estas condiciones no es

posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable; como se puede hacer en el caso de variables discretas, pero es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución de probabilidad), y se puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto: la función de densidad.

En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

Sea   una variable continua, una distribución de probabilidad o función de

densidad de probabilidad (FDP) de   es una función   tal que, para cualesquiera dos números   y   siendo  .

La gráfica de   se conoce a veces como curva de densidad, la

probabilidad de que   tome un valor en el intervalo   es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

 área bajo la curva de   entre   y 

Para que   sea una FDP ( ) legítima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones:

1.     0 para toda  .

2. 

Ya que la probabilidad es siempre un número positivo, la FDP es una función no decreciente que cumple:

1.  . Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

2.  . Es decir, la probabilidad del suceso nulo es cero.

3.6 Distribución tLa apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones T-STUDENT

Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.

A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.

A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl =

Formula aplicada a muestras aleatorias de tamaño n de una población normal

Donde:t = t – studentx = media muestralμ = medias = desviación estándarn = tamaño de la muestra

Tabla de valores críticos de tgl t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 gl

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 12 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 23 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 34 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 45 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 67 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 78 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 89 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 910 1.372 1.812 2.228 2.764 3.168 1011 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 1112 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 1213 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 1314 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 14

gl t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 gl15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 1516 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 1617 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 1718 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 1819 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 19

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 2021 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 2122 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 2223 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 2324 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 2425 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 2526 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 26

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 2728 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 2829 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 ∞

Ejemplo:Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos sólo puede funcionar a un

nivel rentable si el proceso promedio de los diamantes que se obtengan es mayor que 0.5 quilates. Para evaluar la rentabilidad del proceso se generan seis diamantes cuyos pesos son 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57 y 0.54 de quilate. ¿ Las seis mediciones proporcionan suficiente evidencia de que el peso promedio de los diamantes que se obtienen con este proceso sobrepasa 0.5 quilates?

3.7 Distribución Chi-cuadradaLa distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de S2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con

varianza , el estadístico:

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.

Propiedades de las distribuciones X- cuadrada Los valores de X2 son mayores o iguales que 0. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un

número infinito de distribuciones X2. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se

extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1). El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

Ejemplos:Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Solución:Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Es una medida existente entre las frecuencias observadas y esperadas Y es

suministrada por el estadístico

También se utiliza para decidir si ciertas variables son independientes.

Por ejemplo un encuestador podría desear saber si, el sexo, los antecedentes étnicos o el rango salarial de una persona son factores relevantes en la votación para una elección de algún legislador.

La definición formal de la distribución es la siguiente:

Sean Z1, Z2,…,Zk, k distribuciones normales estandar independientes.

Se denomina también la distribución Chi- cuadrado con k grados de libertad. que puede ser cualquier entero positivo incluyendo al 1 y esta representado por “df”.

BONDAD DEL AJUSTE, HIPOTESIS NULA, VALORES CRITICOS.Supóngase que una recolección de datos, dados por una distribución de frecuencia con n categorías, se obtiene de un tamaño muestral que excede a 30. Consideremos que se desea decidir mediante algún examen si los datos se ajustan o no a alguna distribución especifica.

La distribución Chi-cuadrado se calcula con la siguiente formula: =∑ (obs-exp)2 exp Donde: Obs= los datos observadosExp= los datos esperados (obtenidos de la distribución dada

Suponiendo que los valores no son muy pequeños es decir que no son menores que 5, entonces la variable aleatoria anterior tiene (aproximadamente) la distribución chi-cuadrado con grados de libertad.

df= n-1

Entre menor sea el valor , mejor será el ajuste. Sin

embargo, si es muy grande, es decir, si excede algún valor critico c , se dice que el ajuste es malo y se rechaza la hipótesis nula

En la distribución Chi-cuadrado se deben hacer las recomendaciones siguientes:1.- los datos provienen de una muestra con una población mas grande , de manera que los valores de Chi- cuadrado forman una variable aleatoria discreta.

2.- la distribución también supone que el valor esperado de cada individuo no es muy pequeño, es decir que ningún valor es menor que 5.

3.- la formula df=n-1 supone que el tamaño es el único estadístico de la muestra que se utiliza.

3.8 Distribución FAsí como a veces una sola varianza poblacional es importante para un investigador también se podría necesitar comparar dos varianzas poblacionales. Una manera de comparar dos varianzas poblacionales, σ²1 y σ²2,es usar la razón de las varianzas muéstrales, s²1/s²2,si es casi igual a 1, se encontrara poca evidencia para concluir que σ²1 y σ²2, no son iguales. Por otro lado , un valor muy grande o muy pequeño para s²1/s²2 proporcionan evidencia de que las varianzas poblacionales son deferentes. ¿cuan grande o pequeña debe ser s²1/s²2 para concluir que de acuerdo con la evidencia se debe rechazar la siguiente hipótesis nula? H0: σ²1 = σ²2 Cuando se extraen muestras aleatorias independientes de dos poblaciones normales con varianzas iguales es decir, σ²1 =σ²2 entonces s²1/s²2 tiene una distribución de probabilidad en el muestreo repetido que los expertos conoces como distribución F

La prueba estadistica de la hipotesis nulaH0: σ²1 = σ²2Utiliza el estadistico de prueba F= s²1/s²2

Cuando la hipotesis alternativa implica una prueba de cola de una cola es decirHa: σ²1 > σ²2Se podra encontrar el otro valor critico de la cola derecha para rechazar H0 directamente en la tabla.Sin embargo cuando la hipótesis alternativa requiere una prueba de dos colas (α/2), la región de rechazo se divide entre las colas superior e inferior de la distribución F.

Los valores críticos de Fα y Fα/2 se basan en gl1= (n1-1) y gl2=(n2-1).Los valores tabulados para α=0.100, 0.050, 0.025, 0.010,0.005, se pueden encontrar en la tabla de distribución.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA σ²1 /σ²2

Donde gl1= (n1-1) y gl2=(n2-1).Fdf1.g2 es el valor critico tabulado de F que corresponde a los grados de libertad gl1 y gl2 del numerador de F respectivamente, con área α/2 a su derecha.

Ejemplo10.14. Un investigador se preocupa porque la variabilidad de las respuestas con dos procedimientos experimentales diferentes podrían no ser la misma. Antes de llevar a cabo su investigación realiza un previo estudio con muestras aleatorias de 10 y 8 respuestas y obtiene s²1 =7.14 y s²2=3.21, respectivamente. ¿Las varianzas

muéstrales proporcionan evidencia suficiente para concluir que las variaciones poblacionales son diferentes?

Con la tabla para α/2=0.025 se puede rechazar H0 cuando F>4.82 con α=0.050.El valor calculado del estadístico es:F= s²1/s²2

Ejemplo

3.9 Esperanza matemática.

Esperanza matemát ica

La esperanza matemát ica o valor esperado de una var iable

aleator ia discreta es la suma del producto de la probabi l idad de cada

suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemát ica y valor esperado t ienen su

or igen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia

promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de

apuestas.

Si la esperanza matemát ica es cero, E(x) = 0, el juego es

equi tat ivo, es decir , no existe ventaja ni para el jugador ni para la

banca.

Ejemplos

Si una persona compra una papeleta en una r i fa, en la que

puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con

probabi l idades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar

por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 =

11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € s i aparecen una o

dos caras. Por otra parte pierde 5 € s i no aparece cara. Determinar

la esperanza matemát ica del juego y s i éste es favorable.

E = {(c,c) ; (c,x) ; (x,c) ; (x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 =

−1/4. Es desfavorable