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3. Variable Aleatoria y Esperanza Matemática – Ejercicios ResueltosPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 1

1.- En una multitienda se realiza un estudio para analizar la cantidad de freezers de ciertamarca que se venden diariamente. Considere la siguiente función de distribución deprobabilidad de la variable aleatoria X: “nº de freezers vendidos diariamente”

x 1 2 3 4 5 6P(x) 0,18 0,23 0,20 0,15 0,14 0,10

1.1) La multitienda decide no comercializar esta marca de freezer si vende en promediomenos de cuatro diariamente. ¿Cuál es la decisión que se toma en la multitienda?Utilice medida estadística adecuada.

1.2) Calcule la desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente.

1.1) Solución: Sabemos que el valor esperado o esperanza matemática de la variablealeatoria discreta, se calcula por medio de la siguiente fórmula:( ) = ∗ ( )Por lo tanto, al reemplazar los datos otorgados por el problema, tenemos:( ) = 1 ∗ 0,18 + 2 ∗ 0,23 + 3 ∗ 0,20 + 4 ∗ 0,15 + 5 ∗ 0,14 + 6 ∗ 0,10 = 3,14Respuesta: Debido a que el valor esperado es menor a cuatro freezers, la decisión que setoma es no comercializar esta marca de freezer.

1.2) Solución: Por otro lado, conocemos que la formula de la varianza en variable aleatoriadiscreta, es la siguiente: ( ) = ( ) − [ ( )]Donde, ( ) = 1 ∗ 0,18 + 2 ∗ 0,23 + 3 ∗ 0,20 + 4 ∗ 0,15 + 5 ∗ 0,14 + 6 ∗ 0,10 = 12,4Finalmente: ( ) = 12,4 − [3,14] = 2,5404 → ( ) = ( ) = 1,594Respuesta: La desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente es 1,594.

Binomial2.- El porcentaje de reclamos en una empresa de correos es de 15%, se realiza unseguimiento de estos reclamos ya que esta cifra se considera excesiva. Se toma una muestrade 25 despachos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos?

2) Solución: Primeramente definimos la notación a utilizar:= “Número de reclamos en una muestra”

Luego, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, por lo que quedaexpresado de la siguiente manera:~ ( = 25; = 0,15) ( ) = 25 (0,15) (0,85) ; = 1,2, …0Finalmente, calculamos la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos:( ≥ 2) = 1 − ( < 2) = 1 − [ ( = 0) + ( = 1)]( ≥ 2) = 1 − 250 (0,15) (0,85) + 251 (0,15) (0,85) = 0,907



Respuesta: La probabilidad que al menos dos de ellos tengan reclamos en una muestra de25 despachos, corresponde a 0,907

Hipergeometrica3.- Una empresa solicita a la oficina de colocaciones de una municipalidad, obreros pararealizar un trabajo de pintura exterior en un edificio. La oficina de colocaciones envía a 6obreros con experiencia, en este tipo de trabajo y 4 sin experiencia. La empresa decidecontratar a 5 obreros.3.1) Determine la función de cuantía de la variable aleatoria, : “Número de obreros conexperiencia, dentro de los contratados”.3.2) ¿Cuál es la probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueroncontratados sea a lo más 2?

3.1) Solución: Sea: : “Número de obreros con experiencia, dentro de los contratados”.Cuya variable es una distribución Hipergeometrica, lo que se representa como continua:

~ = 10; = 5; = = 0,6 ( ) = ; = 1,2, … ,50Luego, calculamos los valores las probabilidades para = 1,2, … ,5

( = 1) = = 0,0238 ( = 4) = = 0,2381( = 2) = = 0,2381 ( = 5) = = 0,0238( = 3) = = 0,4762

Finalmente, la función de cuantía de la siguiente forma:

x 1 2 3 4 5P(x) 0,0238 0,2381 0,4762 0,2381 0,0238

3.2) Solución: Sea = “Número de obreros sin experiencia dentro de la contratación”( ≤ 2) = ( ≥ 3) = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5)( ≤ 2) = 0,4762 + 0,2381 + 0,0238 = 0,7381Respuesta: La probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueroncontratados sea a lo más 2, es 0,7381.



Mixto4) De un lote grande de artículos fabricados el 10% tiene defectos.Se extraen al azar 8 artículos.

4.1) Determine la probabilidad de que a lo más uno de los artículos elegidos tenga defecto.4.2) El costo (en UF) de hacer efectiva la garantía al vender estos productos está dado por= 3 , donde es número de artículos defectuosos entre los ocho vendidos ¿Cuál

es el costo esperado de hacer efectiva la garantía?4.3) El gerente de la industria exige probar uno a uno artículos elegidos al azar de

diferentes lotes. Si el primer artículo con defecto resulta antes de la sexta prueba elgerente subirá el precio del artículo debido a la garantía. Determine la probabilidad deque se lleve a efecto la medida propuesta por el gerente

4.4) En la industria ocurren en promedio dos accidentes laborales por semana. Determinela probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tres accidenteslaborales.

4.1) Solución: Para comenzar definimos la siguiente notación:= “Número de artículos defectuosos entre 8 elegidos independientemente”

Además, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, quedandoexpresado de la siguiente manera: ~ ( = 8; = 0,1)( ) = 8 (0,1) ∗ (0,9) = 0,1,2, … ,80Enseguida procedemos a calcular la probabilidad requerida por el problema:( ≤ 1) = ( = 0) + ( = 1)( ≤ 1) = 80 (0,1) (0,9) + 81 (0,1) (0,9) = 0,8131Respuesta: La probabilidad de que a lo más uno de los ocho artículos tenga defecto es0,8131

4.2) Solución: Lo primero, será calcular mediante formula la esperanza y varianza de , con= 0,1 ; = 0,9 ; = 8 , lo que se expresa como sigue:( ) = ∗ ( ) = ∗ ∗ → ( ) = 8 ∗ 0,1 = 0,8( ) = 8 ∗ 0,1 ∗ 0,9 = 0,72Además, sabemos que ( ) = ( ) − [ ( )] → ( ) = ( ) + [ ( )]( ) = 0,72 + 0,8 = 1,36Luego, calculamos el costo esperado de hacer efectiva la garantía, de la siguiente manera:( ) = (3 ) = 3 ( ) = 3 ∗ 1,36 = 4,08 [ . ]Respuesta: El costo esperado de hacer efectiva la garantía es 4,08 U.F.

4.3) Solución: Utilizaremos esta notación:= “Número de artículos elegidos independientemente hasta encontrar uno defectuoso”~ ( = 0,1) ( ) = (0,1)(0,9) = 1,2,3, …0



Procedemos a calcular la probabilidad que se nos pide:( < 6) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) + ( = 5)( < 6) = (0,1)(0,9) + (0,1)(0,9) + (0,1)(0,9) + (0,1)(0,9) + (0,1)(0,9) = 0,40951Respuesta: La probabilidad de que el primer artículo con defecto resulte antes de la sextaprueba, por lo tanto, que el gerente lleve a cabo la medida propuesta por el gerente, es0,40951.

4.4) Solución: Sea: = “Número de accidentes laborales en una semanas”~ ( = 2 )Luego, utilizamos la siguiente notación:= “Número de accidentes laborales en dos semanas”~ ( = 2 ∗ 2 = 4 )Tenemos: ( ) = ( )! , = 0,1,2, …0Enseguida calcularemos la probabilidad de que se nos solicita:( > 3) = 1 − ( ≤ 3) = 1 − [ ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) + ( = 3)]( > 3) = 1 − (4)0! + (4)1! + (4)2! + (4)3! = 0,5665Respuesta: La probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tresaccidentes labores es 0,5665

Poisson5.- Una cajera de supermercado demora en promedio 100 segundos en atender a un cliente.Si se establecen como válidos los supuestos de Poisson:

5.1) ¿Cuál es la probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos?5.2) Si la cajera es observada en 5 períodos diferentes de dos minutos cada uno elegidos al

azar ¿Cuál es la probabilidad que en sólo uno de los períodos atienda a un cliente?

5.1) Solución: Utilizamos la notación que sigue:= “Número de clientes que atiende la cajera en 100 segundos”~ ( = 1 )Luego, utilizamos la siguiente notación:= “Número de clientes que atiende la cajera en 120 segundos”~ ( = 120100 = 1,2 )Tenemos: ( ) = , ( , )! , = 0,1,2, …0



Luego, la probabilidad requerida:( > 1) = 1 − ( ≤ 1) = 1 − [ ( = 0) + ( = 1)]( > 1) = 1 − , (1,2)0! + , (1,2)1! = 1 − 0,6626 = 0,3374

Respuesta: La probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos,corresponde a 0,3374

5.2) Solución: Nos encontramos frente a una distribución binomial, por lo que utilizaremos lasiguiente notación:= “Número de periodos en que la cajera atiende a un cliente en dos minutos”

Aplicaremos la distribución Poisson en = 1, para poder definir el valor de la probabilidad deéxito ( ): = ( = 1) = , (1,2)1! = 0,3614Por ende, queda expresado de la siguiente manera:~ ( = 5; = 0,3614) ( ) = 5 (0,3614) (0,6386) ; = 1,2, . . ,50

Finalmente, calculamos la probabilidad pedida:( = 1) = 51 (0,3614) (0,6386) = 0,3005Respuesta: Si la cajera es observada en 5 periodos diferentes de dos minutos cada unoelegidos al azar, la probabilidad de que sólo uno de los periodos atienda a un cliente,corresponde a 0,3005.

04. Variable Aleatoria Continua y Distribuciones Continuas – Ejercicios Resueltos

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


1.- El fabricante de cierto tipo de compresor ha encontrado que la vida útil de un compresor,

en años, se puede modelar con la siguiente función de densidad:

1.1) Si un cliente compró un compresor y ha estado funcionando por lo menos 6 meses ¿Cuál

es la probabilidad que falle antes de 18 meses?

1.2) Cada compresor tiene un costo de 20 u.m. y se vende en 32 u.m. y el fabricante da

ciertas garantías. Si el compresor falla antes de 3 meses se devuelve el importe de lo

pagado. Si falla entre 3 meses y 6 meses, se compromete a asumir el costo de mano de

obra de la reparación que tiene un valor de 5 u.m. ¿Cuál es la utilidad esperada por

compresor?

1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:

“Vida útil de un compresor, en años”

1.1) Solución: Procedemos a calcular la siguiente probabilidad condicional:

Respuesta: Si el cliente compra un compresor, el que ha funcionado por lo menos seis

meses, la probabilidad de que este falle antes de los dieciocho meses es 0,6274.

1.2) Solución: Lo que se debe hacer en este ítem es definir la siguiente variable:

“Utilidad de un compresor, en u.m.”

Enseguida, calculamos las respectivas probabilidades:




Luego, aplicando la formula de esperanza, para así poder calcular la utilidad esperada:

Respuesta: Según las condiciones que posee la utilidad de los compresores, la utilidad esperada es 8,348 u.m.

2.- El tiempo de activación de los sensores fabricados por una empresa es una variable

aleatoria con función de densidad:

Un sensor se dice rápido si su tiempo de activación es inferior a 0,2 segundos y lento si su

tiempo de activación es superior a 1 segundo. Se pide:

2.1) Calcular el valor de k para que sea función de densidad.

2.2) Obtener la función de distribución

2.3) Determinar: La esperanza, desviación estándar y el porcentaje de variabilidad del

tiempo de activación.

2.4) De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo. ¿Qué porcentaje

supera a su tiempo esperado?

2.5) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 sensores elegidos al azar, como mínimo 3

sean lentos?

2.6) Determinar la probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar

el cuatro sensor rápido.

2.7) El costo de producción de un sensor es de 2000 u.m. Los sensores definidos como

rápidos se venden en 5000 u.m. y los lentos en 3500 u.m. Determine la utilidad

esperada en la venta de un sensor, si los restantes se venden en 4000 u.m.

2.1) Solución: Para calcular el valor de k, partimos con que para que sea función de

densidad, se debe cumplir lo siguiente:

Por lo tanto, basándonos en esta propiedad, tenemos:




Respuesta: El valor que debe tomar son dos segundos, para que sea una función de

densidad.

2.2) Solución: Para obtener la función de distribución, aplicaremos la fórmula que se muestra

a continuación:

Finalmente, que expresa la función de distribución de la siguiente manera:

2.3) Solución




Respuesta: Tiempo promedio o esperado de activación = 0,833 segundos

Desviación estándar = 0,4249 segundos

Porcentaje de variabilidad = 50,8099%

2.4) Solución: Definimos la probabilidad condicional, para calcular lo requerido:

Luego, lo multiplicamos por cien, para así obtener el porcentaje solicitado.

Respuesta: De los sensores con tiempo de activación inferior a 1 segundo, el porcentaje que

supera a su tiempo esperado, es igual a 18,056%.

2.5) Solución: Definimos la siguiente variable:

“Número de sensores lentos en una muestra de diez sensores elegidos al azar”

Luego, calculamos la probabilidad de que salga un sensor lento, o sea que su tiempo de

activación sea superior a un segundo, como se muestra a continuación:

Enseguida, definimos la variable que se distribuye de forma binomial, como sigue:

Finalmente, calculamos la probabilidad pedida:

Respuesta: Al elegir al azar entre diez sensores, la probabilidad de que sean como mínimo

tres lentos, corresponde a 0,7008.

2.6) Solución: Lo primero que debemos hacer es calcular la probabilidad de encontrar un

sensor rápido, lo que está dado por:

Sea: “Número de sensores examinados hasta encontrar el cuarto sensor rápido, en una

muestra de 15 sensores”

Notemos que estamos en presencia de una distribución Pascal o Binomial negativa, por lo

que queda expresada de la siguiente forma:




Enseguida, calculamos la probabilidad pedida:

Respuesta: La probabilidad de que sea necesario examinar 15 sensores para encontrar el

cuarto sensor rápido, es igual a 0,00059

2.7) Solución: Sabemos que la utilidad está definida por la siguiente expresión:

Calculamos las respectivas probabilidades:

Quedando distribuido de la siguiente forma:

Finalmente, calculamos la utilidad esperada, de la siguiente forma:

Exponencial:

3.- En una Aerolínea, el tiempo ( ) necesario para atender los pasajeros sin boleto en el

mesón, se distribuye exponencial con media 5 minutos.

Se registra con un “contador” los minutos dedicados a la atención de cada pasajero. ¿Cuál es

la probabilidad de que entre 15 pasajeros atendidos, elegidos al azar, los registros muestren

que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de 7 minutos?.

Suponga que los tiempos de atención entre un pasajero y otro son independientes.

3) Solución: Sea: “Tiempo necesario para atender los pasajeros sin boleto en el mesón”

Ya que esta variable está distribuida exponencialmente, tenemos que:

Por lo tanto, queda expresado de la siguiente manera la distribución:




Luego, calculamos la probabilidad de que sean atendidos en el mesón en menos de 7 minutos:

Después, definimos la siguiente notación, y su respectiva distribución:

“Número de pasajeros sin boleto que fueron atendidos en el mesón en menos de 7

minutos, entre 15 pasajeros elegidos al azar”

Finalmente, determinamos la probabilidad requerida:

Respuesta: Entre 15 pasajeros atendidos elegidos al azar, la probabilidad de que los

registros muestren que por lo menos 14 pasajeros fueron atendidos en el mesón en menos de

7 minutos, corresponde a 0,0845.

Uniforme: 4.- La duración del trayecto de camiones mezcladores y transportadores de concreto, que van

a la construcción de una carretera, es una variable aleatoria distribuida uniformemente en un

intervalo de 50 a 70 minutos.

Determine la probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres

minutos después del tiempo esperado.

4) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:

“Cantidad de tiempo que demora el camión en llegar a la construcción, en minutos”

La que se distribuye uniformemente, lo que se ve como sigue:

Además, sabemos que la esperanza de la distribución esta dado por:

Enseguida, la probabilidad que nos pide el ejercicio es:

Respuesta: La probabilidad de que un camión llegue a la construcción como máximo, tres

minutos después del tiempo esperado, corresponde a 0,65.




Normal:

5.- El espesor de la película fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores

se distribuye normal con media µ y varianza . Se sabe que el 2.28% de la películas

fotoprotectoras tienen un espesor superior a 13.4 micrómetros y el mismo porcentaje inferior a

8.6 micrómetros. Se considera que los semiconductores tienen una película fotoprotectora de

espesor óptimo si fluctúa entre 9 y 13 micrómetros.

5.1) Determine los valores de la media y de la varianza del espesor de la película.

5.2) Se realiza un control de calidad, ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que revisar

a lo más tres semiconductores hasta encontrar el primer semiconductor con una película

fotoprotectora de espesor óptimo?

5.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación:

“Espesor de la película fotoprotectora de semiconductores”

Luego, la información que nos entrega el problema, es:

Enseguida, ocupamos la información que nos brinda el ejercicio para obtener las ecuaciones

correspondientes:

Después, considerando las ecuaciones e , las que por medio de un sistema de

ecuaciones obtenemos los valores de e , que son y , respectivamente.




Respuesta: Los valores de la media y de la varianza del espesor de la película, son 11

micrómetros y 1,44 (micrómetros)2.

5.2) Solución: Lo primero es calcular la probabilidad de que el Espesor sea Óptimo, lo que

está dado por:

Posteriormente, definimos la notación y la distribución de esta:

“Número de semiconductores revisados hasta encontrar el primer semiconductor con una

película fotoprotectora de espesor óptimo”.

Finalmente, calculamos la probabilidad que nos solicita el problema:

Respuesta: La probabilidad de que se tengan que revisar a lo más tres semiconductores

hasta encontrar el primer semiconductor con una película fotoprotectora de espesor óptimo.

6.- La resistencia de un cable eléctrico de alta tensión se considera una variable aleatoria con distribución normal con una media de 36 (ohmios) y una varianza de 0,64 (ohmios)2. Un cable se considera defectuoso si su resistencia es inferior a 35 (ohmios).

6.1) De los cables que tienen una resistencia superior a 34 (ohmios) ¿Qué proporción de cables se consideran defectuosos?

6.2) Se eligen al azar y en forma independiente 10 cables, ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 cables resulten defectuosos?

6.1) Solución: Utilizaremos la siguiente notación, la que distribuye normalmente:

“Resistencia de un cable eléctrico de alta tensión”

Posteriormente, calculamos la probabilidad condicional que nos pide el ejercicio:




Respuesta: De los que tienen una resistencia superior a 34 ohmios, la proporción de cables

que se consideran defectuosos, es 0,1001

6.2) Solución: Definimos la variable:

Número de cables defectuosos en la muestra”

La que tiene una distribución binomial, lo que se expresa de la siguiente manera:

Determinamos la probabilidad requerida, de la siguiente manera:

Respuesta: Al elegir 10 cables de forma aleatoria e independientemente, la probabilidad que

más de dos cables resulten defectuosos, corresponde a 0,0814

Mixto 7.- En la red informática de una empresa hay 3 sistemas multiusuario, que se identificarán

como , y . Las peticiones de conexión que se realizan a estos equipos se reparten de

forma que, el 60% se efectúan sobre , el 30% sobre el 10% sobre .

Los tiempos de respuestas a estas peticiones son variables aleatorias, expresadas en

segundos, tal que:

i) El tiempo ( ) de respuesta de , en segundos, se distribuye exponencialmente en media 5 seg.

ii) El tiempo ( ) de respuesta de , en segundos, se distribuye uniforme entre 4 seg. y 8 seg.

iii) El tiempo ( ) de respuesta de , se segundos, tiene la siguiente distribución de probabilidad:

Si el tiempo de respuesta de una petición de conexión supera los 7 segundos, se dice que la

petición es fallida, y en otro caso se considera petición atendida.

7.1) Calcule la probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida.

7.2) En 5 peticiones de conexión al sistema S1, seleccionadas aleatoriamente y de forma

independiente entre sí, determine la probabilidad de que resulten al menos cuatro

peticiones de las que se consideran atendidas.

7.1) Solución: Definimos las siguientes notaciones a utilizar:

“Petición de conexión que se realiza en el sistema multiusuario que se identifica como , ”

“Tiempo de respuesta de conexión a las peticiones de conexión en el sistema multiusuario que se

identifica como , "




Además, los tiempos de respuesta se expresan de la siguiente manera, según sus

distribuciones:

Enseguida, exponemos la información probabilística que nos brinda el ejercicio:

Luego, procedemos a calculas las respectivas probabilidades de que la respuesta de una

petición de conexión supere los 7 segundos, por lo tanto, sea fallida, como se muestra a

continuación:

Finalmente:

Respuesta: La probabilidad de que una petición seleccionada aleatoriamente sea fallida, es

igual a 0,24296

7.2) Solución: Sea: “Número de peticiones que fueron consideradas atendidas, entre 5

peticiones de conexión al sistema ”

Además, podemos determinar la probabilidad de que la petición de conexión sea considerada

atendida, de la siguiente forma:

Por otro lado, notemos que la variable tiene una distribución binomial, como se expresa

enseguida:

Por último, nos dirigimos a determinar la probabilidad requerida por el ejercicio:

Respuesta: Entre 5 peticiones de conexión al sistema , seleccionadas al azar e

independiente entre sí, la probabilidad de que resulten al menos cuatro peticiones de las que

se consideran atendidas, corresponde a 0,63998

5 – Probabilidad Conjunta - Ejercicios ResueltosPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA


1.- En empresas que prestan servicio de soporte computacional los fines de semana, se haestudiado que el número (Y) de llamadas recibidas solicitando atención de emergencia cadafin de semana y el número (X) de especialistas disponibles, son variables aleatorias condistribución de probabilidad conjunta:

1.1) En los fines de semana en que hay dos especialistas disponibles ¿Cuál es el númeroesperado de llamadas de emergencia recibidas?

1.2) ¿Cuál es la probabilidad que en un fin de semana el número de llamadas solicitandoatención de emergencia sobrepase el número de especialistas disponibles?

1.3) Determine el porcentaje de variabilidad del número de llamadas que solicitan atención deemergencia los fines de semana.

1) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones:= “Número de especialistas disponibles”= “Número de llamadas recibidas”1.1) Solución: ( = 2⁄ ) = ∗ ( / = 2)

( = 2⁄ ) = 0,570,42 = 1,357Respuesta: Cuando en los fines de semanas hay dos especialistas disponibles, el númeroesperado de llamadas de emergencias recibidas es igual a 1,357.

1.2) Solución:( > ) = ( = 1; = 2) + ( = 1; = 3) + ( = 1; = 4) + ( = 2; = 3)+ ( = 2; = 4) + ( = 3; = 4) = 0,12Respuesta: La probabilidad que en un fin de semana el número de llamadas solicitandoatención de emergencia sobrepase el número de especialistas, corresponde a 0,12

1.3) Solución: ( ) = 2,56 ( ) = 1,28 ( ) = 0,9216 → = 0,96

( ) = 0,961,28 ∗ 100 = 75%Respuesta: El porcentaje de variabilidad del número de llamadas que solicitan atención deemergencia los fines de semana es 75%.

yx 0 1 2 3 4

1 0,15 0,10 0,05 0,02 0,002 0,04 0,23 0,12 0,02 0,013 0,01 0,12 0,08 0,03 0,02

y P( y / x = 2 )0 0,04 0,42⁄1 0,23 0,42⁄2 0,12 0,42⁄3 0,02 0,42⁄4 0,01 0,42⁄

y P(y)0 0,201 0,452 0,253 0,074 0,03



2.- Las proporciones y , de dos sustancias que se encuentran en muestras deinsecticidas, tienen la siguiente función de densidad conjunta:( , ) = 2 0 ≤ ≤ 1 0 ≤ + ≤ 10 .Determine la proporción esperada de la sustancia , cuando las muestras de insecticidacontienen 0,2 de la sustancia .

2) Solución: Definimos la función marginal de , lo que se obtiene integrando la función conrespecto a , con los límites de integración dados gráficamente en la figura, como semuestra a continuación:

( ) = ( , ) = 2 = 2(1 − )Por lo que queda expresada la función marginal de , de lasiguiente forma:( ) = 2(1 − ) ; 0 ≤ ≤ 10Luego, calculamos la función marginal de la sustancia , dado que contiene 0,2 de lasustancia , lo que se expresa como sigue:

( = 0,2⁄ ) = ( , )( ) = 0,2 = 22(1 − ) = 0,2 = 10,8Y la distribución de dicha función marginal, se ve a continuación:

( = 0,2⁄ ) = 10,8 ; 0 ≤ ≤ 0,80Enseguida calculamos la esperanza, por medio de la fórmula general de esperanza, paradistribuciones continuas:

( = 0,2⁄ ) = ∗ ( = 0,2⁄ ) = 0,8, = 0,4Análogamente, notemos que = 0,2⁄ , posee una distribución uniforme, por lo que sepuede ocupar la formula de esperanza para distribuciones uniformes, quedando de lasiguiente forma: ( = 0,2⁄ ) ~ [0; 0,8] ( = 0,2⁄ ) = , = 0,4Respuesta: La proporción esperada de la sustancia , cuando las muestras de insecticidacontienen 0,2 de la sustancia , es igual a 0,4.



3.- El Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible (SEC)dispone de la información del consumo de gas natural (X), expresada en cientos de m3,además del consumo de energía eléctrica (Y) en cientos de KW, de un conjunto de viviendasubicadas en el sector sur oriente de la capital durante el mes de Abril pasado. La función dedensidad conjunta de dichas variables es la siguiente:

( , ) = +24 0 < < 2 ; 0 < < 40 . . .La Superintendencia tiene la intención de revisar los medidores de aquellos hogares donde elconsumo de gas y energía eléctrica no sobrepasa las respectivas cantidades esperadas.

3.1) ¿Qué porcentaje de los hogares de este sector deberá revisar la SEG?3.2) Si se considera una revisión aleatoria de 10 hogares del sector, determine la

probabilidad de que sólo en uno de ellos se revisen los medidores.3.3) Si se revisan los consumos de los hogares uno a uno, ¿Cuál es la probabilidad de que

al tercer hogar revisado se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas yelectricidad no sobrepase lo esperado?

3.4) De los hogares con un consumo de 100 m3 mensuales en gas ¿Qué proporciónconsume menos de 100 KW en energía eléctrica?

3.1) Solución: Sean: = “Consumo de gas natural, en cientos de m3”= “Consumo de energía eléctrica, en cientos de KW”

Enseguida, procedemos a calcular las funciones marginales de e , respectivamente:( ) = ( , ) = +24 = 124 (4 + 8) = ( + 2)6( ) = ( , ) = +24 = 124 (2 + 2 ) = ( + 1)12

Luego, determinamos las esperanzas de cada una de las variables, como se muestra acontinuación:( ) = ∗ ( ) = ∗ ( + 2)6 = 16 + 2 = 16 83 + 4 = 109

( ) = ∗ ( ) = ∗ ( + 1)12 = 112 + = 112 643 + 8 = 229Posteriormente, calculamos la probabilidad de los hogares de este sector que deberá revisarel Departamento de Estudios de la Superintendencia de Electricidad y Combustible, los quecorresponden a aquellos hogares donde el consumo de gas y energía eléctrica no sobrepasalas respectivas cantidades esperadas, por lo que los limites de integración están dados entrecero y el valor esperado de cada variable, lo que se denota de la siguiente forma:



≤ ( ); ≤ ( ) = ( ≤ 10 9⁄ ; ≤ 22 9⁄ ) = +24// = 0,2011Finalmente, el porcentaje pedido es:% ( ≤ 10 9⁄ ; ≤ 22 9⁄ ) = 0,2011 ∗ 100 = 20,11%Respuesta: El porcentaje de los hogares de este sector que deberá revisar la SEG,corresponde al 20,11%

3.2) Solución:Sea: = “Número de hogares donde se revisan los medidores, en una revisión aleatoria de10 hogares del sector”

Donde,~ ( = 10 ; = 0,2011) ( ) = 10 (0,2011) (0,7989) ; = 0,1,2, … ,100Luego, calculamos la probabilidad de que a sólo uno le revisen el medidor:( = 1) = 101 (0,2011) (0,7989) = 0,2666Respuesta: Si se considera una muestra aleatoria de 10 hogares del sector, la probabilidadde que sólo en uno de ellos se revisen los medidores, es igual a 0,2666.

3.3) Solución:Sea: = “Número de hogares revisados hasta encontrar el segundo, cuyo consumo de gas yelectricidad no sobrepase lo esperado”

Con: ~ ∗( = 2; = 0,2011) ( ) = − 11 (0,2011) (0,7989) ; = 2,3, …0( = 3) = 21 (0,2011) (0,7989) = 0,065Respuesta: Si se hace una revisión de los consumos uno a uno, la probabilidad de que altercer hogar revisado, se encuentre el segundo hogar donde el consumo de gas yelectricidad no sobrepase lo esperado, corresponde a 0,065.

3.4) Solución: Lo primero será definir la función condicional:( ⁄ ) = ( , )( ) = +24+ 26 = +4 + 8Luego, calculamos la función condicional para = 1:( ⁄ = 1) = + 112Finalmente, determinamos el valor de la probabilidad condicional,

( < 1 = 1⁄ ) = + 112 = 112 12 + 1 = 18 = 0,125



4.- La mezcla adecuada de polvos finos y gruesos, antes de sintetizar cobre, es esencial paralograr uniformidad en el producto terminado. La cantidad de polvos finos (X) y polvos gruesos(Y), ambos en toneladas, utilizadas en las mezclas, son variables aleatorias modeladas por lasiguiente función de densidad de probabilidad conjunta:

( , ) = 27 ( + 2 ) 0 < < 1; 1 < < 204.1) Se toman al azar 10 muestras de estas mezclas. ¿Cuál es la probabilidad de que en

cuatros de ellas el doble de la cantidad de polvos finos sea superior que la cantidad depolvos gruesos?

4.2) Determine la probabilidad de que la cantidad de polvos finos sea inferior a la esperaday la cantidad de polvos gruesos fluctúe entre 1,3 y 1,5 toneladas.

4.3) El número promedio de irregularidades que se encuentran en tubos de cobre,fabricados con esta mezcla, es 6 por metro lineal de tubo. Se toma al azar un tubo de90 centímetros de largo. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos dosirregularidades en el tubo? Considere válidos los supuestos de Poisson.

4.1) Solución: Sean: = “Cantidad de polvos finos, en toneladas”= “Cantidad de polvos gruesos, en toneladas”

Luego, determinamos la probabilidad de que eldoble de la cantidad de polvos finos sea superiorque la cantidad de polvos gruesos, donde loslímites de integración están definidos gráficamenteen la imagen:

(2 > ) = 27 ( + 2 )= −9 + 16 + 428 = 14 = 0,25

Enseguida, utilizaremos la siguiente variable:= “Número de mezclas en el cual el doble de la cantidad de polvos finos es superior que lacantidad de polvos gruesos de un total de diez mezclas analizadas elegidasindependientemente”

Cuya variable se distribuye de forma binomial, como se ve en la siguiente expresión:~ ( = 10; = 0,25) ( ) = 10 (0,25) (0,75) ; = 0,1,2, … ,100Finalmente, hacemos los cálculos para = 4:( = 4) = 104 (0,25) (0,75) = 0,14599



Respuesta: De una muestra de 10 mezclas, la probabilidad de que en cuatros de ellas secumpla que el doble de la cantidad de polvos finos sea superior que la cantidad de polvosgruesos, es igual a 0,14599.

4.2) Solución: Notemos que debemos calcular la siguiente notación:( < ( ); 1,3 ≤ ≤ 1,5)Por lo que, lo primero que debemos hacer en este ítem, es calcular la función marginal de ,usando la siguiente fórmula:( ) = ( , ) = 27 ( + 2 ) = 27 ( + 3)Luego, la esperanza de la cantidad de polvos finos, la determinamos por fórmula:

( ) = ∗ ( ) = ∗ 27 ( + 3) = 27 + 3 = 0,5238Enseguida, reemplazamos los valores determinados anteriormente, quedando de la siguienteforma: ( < 0,5238; 1,3 ≤ ≤ 1,5) = 27 ( + 2 ),,

,= (0.5238)7 + 2.09527,, = 0,09164

Respuesta: La probabilidad de que la cantidad de polvos finos sea inferior a la esperada y lacantidad de polvos gruesos fluctúe entre 1,3 y 1,5 toneladas, corresponde a 0,09164.

4.3) Solución: Sean las variables con sus respectivas distribuciones:= “Número de irregularidades en un tubo de 100 cm”~ ( = 6) ( ) = ∗ 6! ; = 0,1,2, …0= “Número de irregularidades en un tubo de 90 cm”~ = 6 ∗ 90100 = 5,4 ( ) = , ∗ 5,4! ; = 0,1,2, …0Finalmente, calculamos la probabilidad requerida:( ≥ 2) = 1 − ( < 2) = 1 − [ ( = 0) + ( = 1)]= 1 − , ∗ 5,40! + , ∗ 5,41! = 1 − [0,00452 + 0,0243] = 0,97118Respuesta: La probabilidad de encontrar por lo menos dos irregularidades en el tubo de 90centímetros de largo, es igual 0,97118



5.- Sean X e Y variables aleatorias que denotan la producción diaria de cable (en miles demetros) en los turnos A y B respectivamente de cierta Empresa. Por disposición de lagerencia de comercialización la producción en el turno B no debe superar a la del turno A.El comportamiento conjunto de ambas variables se modela mediante función de densidad:

( , ) = 65 (2 + ) 0 ≤ ≤ 1 ; 0 ≤ ≤0Las funciones de densidad para cada variable son:( ) = 3 0 ≤ ≤ 10 ; ( ) = (1 + − 2 ) 0 ≤ ≤ 10La empresa clasifica su productividad diaria de acuerdo al siguiente criterio:

Nivel deProductividad

Producción diaria(en miles de metros)

Baja X ≤ 0.5 e Y ≤ 0.5Alta X ≥ 0.7 e Y ≥ 0.7

Normal X > 0.5 e Y < 0.7

5.1) Cuando en el turno A se producen 800 metros de cable, ¿Cuál es la producciónesperada en el turno B?

5.2) ¿Cuál es la probabilidad de que la producción en el turno B supere los 600 metros decable?

5.3) Si el costo de producir un metro de cable es de $1800 en el turno A y de $2100 en elturno B. ¿Cuál es el costo total esperado de la producción diaria de cables en estaempresa?

5.4) Al observar el consumo diario de energía eléctrica para los distintos niveles deproductividad, se observó un comportamiento de tipo exponencial con media de 30, 50y 40 Kw respectivamente. Determine la probabilidad que el consumo de energía diario,en la empresa, sea mayor a 35 Kw.

5.1) Solución: Sean:= “Producción diaria de cable en el turno A, de cierta empresa, en miles de metros”= “Producción diaria de cable en el turno B, de cierta empresa, en miles de metros”

Lo primero será definir la función condicional, dado que la producción diaria de cable sea 0,8en el turno A, lo que se hace con la siguiente fórmula:

( = 0,8⁄ ) = ( , )( ) = 0,8 = 65 (2 + )3 = 0,8 = 65 (2 (0,8) + )3 (0,8) = 1 + 58Luego, calculamos la esperanza de la función que definimos en el paso anterior, de lasiguiente forma:( = 0,8⁄ ) = ( = 0,8⁄ ), = 1 + 58, = +, 58 = 3275 = 0,4267Respuesta: Cuando en el turno A se producen 800 metros de cable, la producción esperadaen el turno B, corresponde a 0,4267 miles de metros, o 4267 metros.



5.2) Solución: Debido a que nos preguntan sobre la producción en el turno B, donde estasupere los 600 metros de cable, por lo tanto, utilizaremos la función de densidad de laproducción diaria de cable en el turno B, quedando de la siguiente forma:

( > 0,6) = ( ), = 65 (1 + − 2 ), = 148625 = 0,2368Respuesta: La probabilidad de que la producción en el turno B supere los 600 metros decable, es igual a 0,2368

5.3) Solución: Lo primero será definir el costo total de la producción diaria de cable en estaempresa, la que por la información que nos suministra el ejercicio, está dada por la siguienteecuación: = 1800 + 2100 ,Luego, nos piden el valor esperado de esta ecuación, la que por medio de propiedades nosqueda expresada de la siguiente forma:( ) = (1800 + 2100 ) = 1800 ( ) + 2100 ( )Entonces, debemos calcular los valores esperados de la producción diaria de cable, en elturno A y B, respectivamente.( ) = ∗ ( ) = ∗ (3 ) = 3 = 0,75 = 750

( ) = ( ) = 65 (1 + − 2 ) = 65 ( + − 2 ) = 0,4 = 400Finalmente, reemplazamos los valores obtenidos, quedando como se ve a continuación:( ) = 1800 ( ) + 2100 ( ) = 1800 ∗ 750 + 2100 ∗ 400 = $2.190.000Respuesta: El costo total esperado de la producción diaria de cables en esta empresa, es$2.190.000.

5.4) Solución: Sean: = “Nivel de Productividad Baja”= “Nivel de Productividad Alta”= “Nivel de Productividad Normal”= “Consumo diario de energía”

Luego calculamos las probabilidades de cada nivel de producción,sin perder de vista que los límites de integración están dadosgráficamente por la imagen, lo que se realiza de la siguienteforma: ( ) = ( ≤ 0,5; ≤ 0,5) = 65 (2 + ), = 0,125



( ) = ( ≥ 0,7; ≥ 0,7) = 65 (2 + ),, = 0,1404( ) = ( > 0,5; < 0,7) = 1 − [ ( ) + ( )] = 0,7346

Posteriormente, definimos las probabilidades condicionales:⁄ ~ = → ( > 35⁄ ) = = 0,3114⁄ ~ = → ( > 35⁄ ) = = 0,4966⁄ ~ = → ( > 35⁄ ) = = 0,4169

Finalmente, calculamos la probabilidad total de consumo diario de energía, por medio deformulas, quedando de la siguiente forma:( > 35) = ( > 35⁄ ) ∗ ( ) + ( > 35⁄ ) ∗ ( ) + ( > 35⁄ ) ∗ ( )( > 35) = 0,3114 ∗ 0,125 + 0,4966 ∗ 0,1404 + 0,4169 ∗ 0,7346 = 0,4149Respuesta: La probabilidad que el consumo de energía diario, en la empresa, sea mayor a35 Kw, es igual a 0,4149.

material de pep 2 proba (3)

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