unidad 2 vigas

8/19/2019 Unidad 2 Vigas

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Unidad 2. Fuerzainternas en vigas.Ing. Ana Isabel Rosado Gruintal, M.I.


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Contenido• Objetivo• Sistema general de fuerzas internas.• Naturaleza de las fuerzas internas en vigas.•

Ecuaciones de fuerzas internas en vigas: fuerza cortantey momento flexionante.

• Relación entre carga, fuerza cortante y momentoflexionante.

•

Diagramas de fuerzas internas: de fuerzas cortantes yde momentos flexionantes.

• Bibliografía2


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Objetivo• Obtener las fuerzas internas, sus ecuaciones y sus diagramas

en vigas isostáticas.

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Introducción• Viga.- Elemento estructural diseñado para soportar cargas que

sean aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. En lamayoría de los casos las cargas son perpendiculares al eje dela viga y únicamente ocasionaran corte y flexión. Cuando las

cargas no formen ángulo recto con la viga, producirán fuerzasaxiales en ella.

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Introducción•

Las vigas se clasifican de acuerdo con la forma en que esténapoyadas.

• Determinadas ( = −( + ))

• Indeterminadas

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Introducción• Tipos de cargas:

Concentrada Uniformemente distribuida Variable

Momento Combinación 6


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Sistema general de fuerzasinternas.

• En la figura se representa una viga simplemente apoyada, enequilibrio bajo la acción de una fuerza concentrada P y de susreacciones R 1 y R2. Por el momento se desprecia el pesopropio de la viga y solamente se tiene en cuenta el efecto de

la carga P.• Supongamos que se corta la viga en una sección a-a a una

distancia x de R 1, quedando la viga dividida en dos partes.

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Para mantener el equilibrio, en la sección de corte a-a debenaparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer lascondiciones de la estática, fuerzas que representan la acción dela parte derecha suprimida sobre la porción izquierda.

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• Para satisfacer la condición ∑Y=0, las fuerzas interiores en lasección a-a deben originar una fuerza resistente que seoponga a R 1. Esta fuerza es V 1.

− = 0El momento flexionante es la suma de los momentos de todaslas fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda o a laderecha de una sección, respecto al eje perpendicular al planode las fuerzas.

− = 09


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• − = 0• − = 0• = = 6•

− = 0• − + = 0• M = = 6•

•

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Naturaleza de las fuerzasinternas en vigas.

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• Para examinar las condiciones internas de una viga es preciso estudiar uncuerpo libre en el que se ponga de manifesto las fuerzas que deben estarpresentes para que ese cuerpo permanezca en equilibrio.

• Fuerza normal: la suma algebraica de las fuerzas externas que son paralelasal eje de la viga. Normalmente la fuerza normal se considera positiva si lasuma de las fuerzas a la izquierda de la sección esta dirigida hacia la

izquierda, la fuerza interna a la izquierda necesaria para el equilibrio estadirigida hacia la derecha.


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Naturaleza de las fuerzasinternas en vigas.

• Fuerza cortante: la suma algebraica de las fuerzas externas que sonperpendiculares al eje de la viga. Normalmente la fuerza cortante seconsidera positiva si la suma de las fuerzas a la izquierda de la secciónesta dirigida hacia arriba, la fuerza interna a la izquierda necesaria parael equilibrio esta dirigida hacia abajo.

• El momento flexionante es la suma algebraica de los momentoscausados por todas las fuerzas externas de una sección. Se calcularespecto a un eje que pase por el centroide de la sección transversal. Un

signo positivo indica que la suma de los momentos externos a laizquierda tiene sentido horario. Es decir, el momento flexionante internonecesario para el equilibrio tiene sentido antihorario.

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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas

• El diseño de una viga requiere un conocimiento detallado delas variaciones de la fuerza normal N, la fuerza cortante V ymomento interno M actuando en cada punto a lo largo del ejede la viga.

• Las variaciones de N, V y M como una función de la posición xde un punto arbitrario a lo largo del eje se puede conseguirmediante el método de secciones.

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El procedimiento siguiente proporciona un método paradeterminar la variación de N, V y M en función de la posición x.

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Reacciones en los apoyos• Determine las reacciones en los apoyos de la viga y resolver

todas las fuerzas externas en componentes que actúanperpendicular y paralelo al eje de la viga.

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= − cos = 0 = cos

= + − sin = 0

= ( )− sin ( /2 = sin ( /2)

= sin2 = sin2


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Funciones de fuerza normal, cortante y momento.• Cortar un cuerpo libre de la viga hasta una posición de x, cada vez que la

carga cambia a lo largo de la viga.

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Funciones de fuerza normal, cortante y momento.• Definir el diagrama de cuerpo libre de cada segmento para determinar las

incógnitas N, V y M en la sección de corte como función de x.

170 ≤ 1 < /2 L/2≤ 2 ≤


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Ecuación de cortante

− = 0 − = 0

( ) = = sin2

0 < < /2

Ecuación de normal

+ = 0 + = 0( ) = −= − cos

Ecuación de momento

+ = 0− + = 0( ) = ( ) = sin ( )2


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Ecuación de cortante

− = 0 − sin − = 0( ) = − sin

( ) = sin2 − sin = −sin2Ecuación de normal

+ = 0 − cos + = 0 = − + cos = − cos + cos = 0

Ecuación de momento

+ = 0

− + sin ( − /2)+ = − sin −2 = sin 2 − sin −2

= sin

2 − +

L/2< <


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• Los resultados pueden comprobarse observando que = y donde =, donde w es positivo cuando actúa hacia arriba.

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0 < < /2 L/2< < ( ) = sin2( ) = − cos( ) = sin ( )

2

( ) = −sin2 = 0 = sin

2 − +

0 < < /2 L/2< < ( ) = sin2 = ( )( ) = 0

( ) = − sin2 = ( )( ) = 0


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Relación entre carga, fuerzacortante y momento flexionante.

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Los diagramas de cortante y momento pueden ser graficadoscon las funciones (ecuaciones) de cortante y momento. Estospueden ser graficados usando las siguientes dos relaciones:

Notar que en el punto donde el cortante es cero se localiza elpunto de máximo momento.

= Pendiente del diagrama decortante = intensidad de lacarga distribuida

= Pendiente del diagrama demomentos = Cortante

∆ = Cambio en el momento = área

debajo del diagrama decortante

∆ = Cambio en el cortante= área

debajo del diagrama de cargadistribuida


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Diagramas de fuerzas internas• Un diagrama de fuerzas cortantes, normales o momentos

flexionantes es una grafica que muestra las magnitud de lafuerza a lo largo de la viga.

• Las graficas de las fuerzas internas de cortante, normal y

momento se pueden obtener de graficar cada una de lasecuaciones.

• El método usual para obtener los diagramas de fuerzacortante y momento flexionante es construirlo a base de lasrelaciones desarrolladas. Usar las relaciones es mucho masrápido que graficar las ecuaciones, especialmente cuando haycargas múltiples.

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Diagramas de fuerzas internas

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• Procedimiento:• 1. Calcular las reacciones.• 2. Calcular los valores de la fuerza cortante en los puntos de

discontinuidad.

Ubicación Cortante

0 sin2

L/2 Izquierda Derecha −

L − sin2


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• 3. Trazar el diagrama de fuerza cortante.


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• 4. Determinar los puntos de fuerza cortante nula.L/2

• 5. Calcular los valores de momento flexionante en los puntos dediscontinuidad o cambio de cargas y en los puntos de cortante

nula, empleando ∆ = Cambio en el momento = área debajo del diagrama de cortante 1 = × = 4 2 = − × = − 4


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• 6. Trazar el diagrama de momentos flexionantes.


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• 7. Calcular los valores de la fuerza normal en los puntos dediscontinuidad.

Ubicación Cortante

0 − cosL/2 Izquierda − cosDerecha 0

L 0


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• 8. Trazar el diagrama de fuerza normal.


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• Se pueden trazar mas rápidamente los diagramas cuando seconoce la forma general de la curva para casos particulares decarga.

Carga concentrada Carga uniforme Carga uniforme variable


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Diagramas de fuerzas internas• Tarea 2.1. Calcular las reacciones de las siguientes vigas, las

ecuaciones y diagramas de los elementos mecánicos.

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Diagramas de fuerzas internas• Tarea 2.2. Calcular las reacciones de las siguientes vigas, las

ecuaciones y diagramas de los elementos mecánicos.

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Diagramas de fuerzas internas• Tarea 2.3.• A) Encontrar la ecuación de V y M y las reacciones en los

soportes. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momentoflexionante.

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Viga

Cortantey

Momento33

− +

= − = −2

= = 2


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Viga

Cortantey

Momento

34

− + −

= −2 = −3

6 = − +

2 = −

2 + 3

6


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Viga

Cortantey

Momento

35

−

= −2

= 2 − 3

6 = 2 =

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Bibliografía• Beer F. y Johnston R.E . (2007). “Mecánica para ingenieros,

estática”. McGraw -Hill. 8ª ed.• Fitzgerald R. (1990 ). “Mecánica de materiales”. Alfaomega.• Hibbeler R.(2007). “Structural Analysis ”. Prentice Hall. 8ª ed.• Nelson J. K. y McCormac J. C. (2010). “Análisis de estructuras:

métodos clásico y matricial ”. Alfaomega. 4ª ed.• Pytel A. y Singer F. (2012). “Resistencia de materiales”. Oxford

University Press. 4ª ed.

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