Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA

Problemas de valores iniciales (PVI)

Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es:

Resuelva:

Sujeto a:

)()()()()( xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

011

1

1

.)(,,)(,)( )(10

11000

nn yxyyxyyxy

Existencia de una solución única

Sean an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) diferente de 0 para toda x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema de valor inicial

existe y es única.

.)(,,)(,)(

)()()()()(

:

)(10

11000

011

1

1

nn

n

n

nn

n

n

yxyyxyyxy

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

:a Sujeto

Resuelva

Problema de valores en la frontera (PVF)

Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problema como:

Se llama problema de valores en la frontera.

.)(,)(

)()()()(:

10

012

2

2

ybyyay

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

:a Sujeto

Resuelva

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma:

es homogénea, mientras que una ecuación:

con g(x) no igual a cero, es no homogénea.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

)()()()()( xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

011

1

1

Principio de superposición, ecuaciones homogéneas

Sean y1, y2, …, yk, soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden

en un intervalo I. Entonces la combinación lineal , donde ci=1,2,…,k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

)()()( xycxycxycy kk 2211

Dependencia lineal e independencia

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, …, cn, no todas cero, tales que:

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

02211 )()()( xfcxfcxfc nn

Wronskiano

Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), posee al menos n-1 derivadas. El determinante:

donde las primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de las funciones.

)()()(

),,,(

112

11

21

21

21

nn

nn

n

n

n

fff

fff

fff

fffW

Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean y1, y2, …, yn, n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo oden

en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y1, y2, …, yn) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

Conjunto fundamental de soluciones

Cualquier conjunto y1, y2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden

en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

Existencia de un conjunto fundamental de soluciones

Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden

en un intervalo I.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

Solución general, ecuaciones homogéneas

Sean y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden

en el intervalo I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es:

donde ci, i=1,2,…,n son constantes arbitrarias.

0011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()()()(

),()()( xfcxfcxfcy nn 2211