u1.ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones diferenciales I Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

1

Licenciatura en matemáticas

5° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Ecuaciones diferenciales I

Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Clave: 060920518/050920518

Universidad Abierta y a Distancia de México



2

2

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ................................................................ 3

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ................................................................................................... 3

PROPÓSITOS DE LA UNIDAD ........................................................................................................ 3

COMPETENCIA ESPECÍFICA ......................................................................................................... 3

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN .............................................................. 3

1.1. DEFINICIONES ........................................................................................................................... 3

ACTIVIDAD 1. RELACIÓN DE COLUMNAS ................................................................................... 7

1.1.1. Soluciones de ecuaciones diferenciales ........................................................................... 7

ACTIVIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON SOLUCIÓN ÚNICA ................................... 9

1.1.2. Problema del valor inicial .................................................................................................. 9

1.2. VARIABLES SEPARABLES Y REDUCIBLES ................................................................................... 11

1.2.1. Exactas no exactas, factor integrante ........................................................................ 12

ACTIVIDAD 3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ....................................... 14

1.2.2 Ecuaciones lineales diferenciales ................................................................................ 15

1.3. ECUACIÓN DE BERNOULLI ........................................................................................................ 15

1.3.1. Situaciones diversas .................................................................................................... 15

1.3.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden ............................... 16

ACTIVIDAD 4. PROBLEMA DE REPRESENTACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO ............. 17

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. SISTEMAS ALGEBRAICOS DE COMPUTACIÓN (SAC) ........ 18

AUTORREFLEXIONES .................................................................................................................. 18

CIERRE DE LA UNIDAD ................................................................................................................ 18

PARA SABER MÁS ....................................................................................................................... 19

FUENTES DE CONSULTA ............................................................................................................ 19



3

3

Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Presentación de la unidad

En esta unidad se muestra una perspectiva del estudio de las ecuaciones diferenciales. Primero

aprenderás a clasificar una ecuación diferencial para realizar su proceso de solución y utilizarás las

ecuaciones exactas a través de modelos matemáticos para poder resolver ecuaciones diferenciales de

primer orden.

Así mismo, podrás desarrollar un excelente nivel de abstracción, de forma tal que, cuando se te presente

un problema, tu mente se agilice y lo resuelvas más fácilmente, sobre todo en el desarrollo de algoritmos o

modelos matemáticos y sus aplicaciones. Además, desarrollarás habilidades de razonamiento matemático

y destrezas para la investigación.

Propósitos de la unidad

Mediante el estudio de esta unidad podrás:

Analizar las ecuaciones diferenciales por su clasificación.

Utilizar las variables para determinar el grado de una ecuación diferencial y así resolver modelos

matemáticos que impliquen ecuaciones diferenciales de primer orden.

Competencia específica

Utilizar los principios de ecuaciones diferenciales para resolver, según el orden grado y linealidad, una

ecuación diferencial ordinaria mediante diferentes técnicas de solución.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Definiciones

Una ecuación diferencial (ED) es aquella que contiene diferenciales (o derivadas) con respecto a una o

más variables independientes, por ejemplo:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0.2 𝑥𝑦



4

4

Este tipo de ecuaciones las podemos clasificar de tres maneras:

1. Por tipo

Cuando una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola

variable independiente, toma la denominación de Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).

Por ejemplo:

En el tercer ejemplo puedes observar que una ED puede contener más de una variable dependiente dx y

dy.

La ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes respecto de dos o

más variables independientes se llama Ecuación Diferencial Parcial (EDP).

Por ejemplo:

Variable dependiente

= 0

Variable independiente

𝑑2

𝑑 2−

𝑑𝑦

𝑑 𝑦 = 0

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2 𝑦

𝑑𝑦

𝑑 5𝑦

= 𝑒

𝑑2 𝑢

𝑑 2

𝑑2𝑢

𝑑𝑦2= 0

𝑑2 𝑢

𝑑 2=

𝑑2𝑢

𝑑𝑡2− 2

𝑑𝑢

𝑑𝑡′= 0 𝑓)

𝑑𝑢

𝑑𝑦=

𝑑𝑣

𝑑



5

5

La notación es la forma o manera de denotar las diferenciales. En la siguiente tabla te mostramos las dos

más utilizadas: Leibniz Prima

dy/dx y’

d2/d2 y’’

d3/dx3 y’’’

d4/dx4 Y(4)

De acuerdo a la tabla anterior, las ecuaciones se escriben:

a) y’ +5x = ex y

b) y’’ –y’ +6y=0 respectivamente.

2. Por orden

Sin importar si es EDO o EDP, el orden de la ecuación es siempre de mayor a menor. A continuación te

mostramos un ejemplo:

Segundo orden Primer orden

𝑑2𝑦

𝑑 2 5(

𝑑𝑦

𝑑 )3

− 𝑦 = 𝑒

La ecuación anterior es de segundo orden. Puedes expresar una EDO de n-ésimo orden con una variable

dependiente por medio de la forma general 𝑦 𝑦 )) = 0

En donde es una función con valores reales de n+2 variables: 𝑦 𝑦 ). Con esto puedes resolver

ecuaciones diferenciales ordinarias como la ecuación anterior, únicamente para la mayor derivada 𝑦 ) en

términos de las n+1 variables restantes. De esta manera, un ED de la forma normal se representa así:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑦) 𝑦

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑓 𝑥 𝑦 𝑦′)



6

6

3. Por linealidad

Una ED de n-ésimo orden se reconoce como lineal si es lineal de 𝑦 𝑦 𝑦 ). Puedes identificar una

ecuación diferencial lineal (EDL) cuando se encuentra de la siguiente manera:

O de la siguiente manera:

Existen casos especiales para las ecuaciones diferenciales lineales que son de primer orden (n=1) y de

segundo orden (n=2)

A continuación se mencionan algunos casos en donde hay ED no lineales:

a) Éste es un término no lineal, porque el coeficiente depende de y:

(1-y)y’ + 2y = e

b) Este término no es lineal, porque es una función no lineal de y:

𝑑2𝑦

𝑑 2 𝑒 𝑦 = 0

c) Este término tampoco es lineal, porque el exponente es diferente de uno:

𝑑4𝑦

𝑑 4 𝑦2 = 0

𝑎𝑛 𝑥)𝑦𝑛 𝑎𝑛−1 𝑥)𝑦

𝑛−1 . . . 𝑎1 𝑥)𝑦1 𝑎0 𝑥)𝑦 − 𝑔 𝑥) = 0



7

7

Actividad 1. Relación de columnas

A través de este ejercicio podrás analizar una serie de ecuaciones, definir su orden, grado y linealidad y

clasificarlas.

1. Descarga el documento “Clasificación de ecuaciones diferenciales”.

2. Observa la tabla que se te presenta.

3. Relaciona cada una de las ecuaciones con su clasificación, anotando la letra correcta dentro del

paréntesis.

4. Envía tu documento con la nomenclatura ED1_U1_A1_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de

tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El

peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

5. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

1.1.1. Soluciones de ecuaciones diferenciales

Dada una función, que esté definida en un intervalo I y que al menos tenga ene derivadas continuas en I,

cuando son sustituidas en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden, reducen la ecuación a una

identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo.

El intervalo I de la definición anterior también es conocido como:

Intervalo de definición, Intervalo de existencia, Intervalo de validez, o Dominio de la solución,

y se puede denotar como:

(a,b) Intervalo abierto, [a,b] Intervalo cerrado, (a,h) Intervalo infinito, etc.

Para verificar que la función dada es una solución, hay que observar que una vez que se ha sustituido,

cada lado de la ecuación, sea el mismo para toda en el intervalo.

De tal forma, podemos decir que es una función que posee al menos ene

derivadas para las que 𝐹 (x, (x), ’ (x),… (n)(x))= 0 para toda x que este en I



8

8

Por ejemplo:

Dada la función

=

=

Tenemos

𝑦

12⁄ = (

4)

12⁄

= (

2) =

3

Igualmente

𝑑𝑦

𝑑 =

3) =

3

Se trata de una solución explícita cuando se dice que una relación ( ), tal que, al ser sustituida en la ED,

satisface la ecuación para toda en el intervalo I.

Por ejemplo:

Al realiza la comprobación dada la función

− 𝑦2 25 𝑦 = 5 5 es una solución de la ED.

1. Realizamos la derivación de 𝑦.

= 25 𝑒 25

2. Se sustituye 𝑦 y a su derivada en la ED.

3. Sabemos que:

tan2 5x = sec2 5x-1 R c

4. Sustituyendo(c) en (b) obtenemos:

Ahora bien, se dice que se trata de una solución implícita cuando una relación (x,y )=0 es una solución

implícita de una ED en el intervalo I, siempre que exista al menos una función (x) que satisfaga tanto a

la relación como a la ED en I.



9

9

Por ejemplo:

Verifica que la relación dada es una solución de la ED

=

2

−1 𝑦 − 𝑦 = 2

1. Derivando la relación tenemos:

𝑑𝑦

𝑑 −

𝑑𝑦

𝑦 𝑑 = 2

2. Despejando

conseguimos:

[𝑦 −

𝑦] =

𝑑𝑦

𝑑 2 𝑒 𝑡 𝑒 𝑒 𝑒 𝑢 𝑑 𝑑

𝑑𝑦

𝑑 =

2 𝑦

𝑦 −

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solución única

A través de esta actividad podrás identificar una ecuación diferencial, analizar la estructura de una

ecuación diferencial para conocer su categoría y, de esta manera, diferenciar entre una ecuación de una

solución o más.

1. Descarga el archivo llamado “Ecuaciones diferenciales con solución única”.

2. Observa detenidamente las ecuaciones diferenciales que se te presentan.

3. Determina si se trata de una ecuación diferencial con solución única o no.

4. Selecciona la respuesta correcta anotando dentro del cuadro una .

Envía tu documento con la nomenclatura ED1_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu

primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso

del archivo no debe exceder los 4 MB.

Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

1.1.2. Problema del valor inicial



10

10

Para representar el modelo de valor inicial se tomaremos ejemplos del texto de Dennis G.Zill: Ejemplos de

ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (2009).

De acuerdo a la pregunta:

¿Qué función conoces de cálculo, tal que su primera derivada sea ella misma y que su segunda

derivada sea el negativo de ella misma?

Nos encontramos que 𝑦 = 𝑒 pertenece a una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación de

primer orden y’=y. Así, todas las soluciones de esta familia están definidas en el intervalo (-h,h).

Si imponemos una condición inicial, digamos y (0)=3, y=3 en la familia se determina la constante

= 𝑒0 = , por lo que 𝑦 = 𝑒 es una solución del problema de valor inicial: 𝑦′ = 𝑦 𝑦 0) =

Sea la ecuación diferencial de primer orden:

′ = 𝑓 𝑡 ) 𝑡0) = 0

De esta manera, si desarrollamos la gráfica con la curva solución (en color azul de la figura) y queremos

que esta pase por el punto (1,-2) (en color rojo) en lugar de (0,3), entonces

𝑦 (1) = -2 obtendremos −2 = 𝑒 = −2𝑒−1.

En este caso, 𝑦 = −2𝑒 −1 es una solución de problema de valor inicial.

Por ejemplo, dado 𝑦′ = √ 𝑦 , resolver el problema de valor inicial.

Si el problema de valor inicial se denota por:

𝑦′ = √ 𝑦

0 𝑦0)} )



11

11

Donde se puede mencionar que 𝑓 = 𝑦) = √ 𝑦 donde f es continua si el valor de x es menor o igual a 0;

es decir ( 0).

En cambio se mencionamos que las derivadas parciales de “f” y “y” (

=

√

2√ )

es continua si x es menor

o igual a cero, es decir 0, e y es menor a cero (𝑦 0), o bien x mayor o gual a cero e y es mayor a

cero, es decir ( 0 𝑒 𝑦 0).

De tal forma podemos decir que para cada punto ( 0 𝑦0) en el primer y tercer cuadrante, existe un intervalo

centrado en 0, el cual tiene una solución única.

1.2. Variables separables y reducibles

En el curso anterior de Cálculo de varias variables, estudiaste que una ecuación diferencial de primer orden

es una ecuación de la forma:

Y otra forma de expresar la ecuación anterior es:

O bien:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑦)

𝑑

𝑑𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦)



12

12

La solución para la ecuación (1) es una función 𝑦 = 𝑦 ) diferenciable. Su solución queda representada de

la siguiente manera:

Es decir que, cuando sustituimos en la ecuación 1 a 𝑦 ) y su derivada 𝑦′ ), el resultado de la ecuación

es válido para todo en el intervalo .

Recordarás que la solución general para una ecuación diferencial de primer orden es una solución que

contiene todas las posibles soluciones. La solución general puede contener una constante arbitraria, pero

sin que ésta sea considerada como una solución general.

Podemos ver que al demostrar que la función 𝑦 = −1

3𝑒 es una solución al problema de valor inicial

de primer orden

= 𝑦 − 𝑦 0) =

2

3

1.2.1. Exactas no exactas, factor integrante

Hasta el momento has comprendido que hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver por

separación de variables. Tal es el caso de la ecuación diferencial: 2 𝑦 )𝑑 𝑦2 − )𝑑𝑦 = 0 entonces,

considera que tienes una función de dos variables de la forma: = 𝑓 𝑦) la cual tiene sus derivadas

parciales de primer orden, continuas en una región del plano 𝑦, entonces su diferencial total viene dada

por:

𝑑 = 𝑓

𝑑

𝑓

𝑦𝑑𝑦

Cuando 𝑓 𝑦) = siendo una constante, tenemos que:

𝑑 = 𝑓

𝑑

𝑓

𝑦𝑑𝑦 = 0

Por lo tanto, decimos que si tenemos una ecuación diferencial de la forma

𝑑

𝑑𝑦 = 0 entonces su

solución está dada implícitamente por 𝑓 𝑦) = .

𝑦′ = 𝑓 𝑥 𝑦)

𝑑

𝑑𝑥𝑦 𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥))



13

13

Definición

Se dice que una ecuación diferencial de la forma

𝑦)𝑑 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta si se puede

escribir como 𝑑𝑓 = 0 es decir:

𝑓

𝑑

𝑓

𝑦𝑑𝑦 = 0

O también podemos mencionar que la ecuación

diferencial 𝑦)𝑑 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta si

existe una función 𝑓 tal que:

𝑓

= 𝑦) 𝑦

𝑓

𝑦= 𝑦)

Observa que, la solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por la ecuación

𝑓 𝑦) = en donde es una constante.

El siguiente teorema proporciona un criterio sencillo para determinar si una ecuación diferencial es exacta:

Otro punto importante lo abordaste cuando se te presentó la ecuación diferencial

𝑦)𝑑 𝑦)𝑑𝑦 = 0 y decidimos que era exacta al verificar si existe una función 𝑦) tal que si

multiplicas la ecuación diferencial por esta última función, la ecuación que resulta es:

𝑦) 𝑦)𝑑 𝑦) 𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝜕𝑀 𝑥 𝑦)

𝜕𝑥=𝜕𝑁 𝑥 𝑦)

𝜕𝑦

Teorema

Sean las funciones 𝑀 𝑦 𝑁 continuas en una región rectangular 𝑅 del plano 𝑥𝑦 entonces la ecuación

𝑀 𝑥 𝑦)𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦)𝑑𝑦 = 0 se dice que es exacta en la región rectangular 𝑅 si y sólo si:

Para todo punto 𝑥 𝑦) dentro de la región 𝑅.



14

14

Entonces decimos que la función 𝑦) es un factor integrante de la ecuación diferencial

𝑦)𝑑 𝑦)𝑑𝑦 = 0.

Observa que la solución de la ecuación diferencial se propone como:

𝑦) 𝑦)𝑑 𝑦) 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Ésta es la solución de

𝑦)𝑑 𝑦)𝑑𝑦 = 0

En general, no es sencillo encontrar un factor integrante para la ecuación no exacta. Sin embargo, es

posible determinar ciertas condiciones que deberán cumplir las funciones 𝑦) 𝑦 𝑦) para encontrar

los factores integrantes.

Actividad 3. Clasificación de ecuaciones diferenciales

A través de esta actividad podrás:

Compartir con los compañeros la forma en que se categorizan las ecuaciones diferenciales.

Comentar la diferencia encontrada entre una ecuación diferencial exacta y una no exacta.

Comparar los conocimientos de los compañeros con los propios para reforzar el aprendizaje

obtenido.

1. Entra en la sección del Foro llamado “Clasificación de ecuaciones diferenciales.”

2. Lee la pregunta que ahí se plantea.

¿Como se clasifican las ecuaciones diferenciales?

¿Cual es la diferencia entre una ecuación diferencial exacta y no exacta?

3. Redacta tus conclusiones y súbelas al Foro.

4. Comenta la respuesta de tres de tus compañeros.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de

apoyo.



15

15

1.2.2 Ecuaciones lineales diferenciales

Podemos definir una ecuación lineal de la forma:

1 )𝑑𝑦

𝑑 0 )𝑦 = 𝑔 )

Se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y.

Al dividir ambos lados de la ecuación diferencial anterior entre el primer coeficiente, 1 ) podemos

obtener una ecuación más sencilla que se conoce como la forma estándar.

De acuerdo a la ecuación de la forma estándar, decimos que tiene la propiedad de que la solución es una

suma de soluciones, 𝑦 = 𝑦 𝑦 , donde 𝑦 es una forma de solución homogénea asociada

)𝑦 = 0 y 𝑦 es una forma de solución no homogénea.

En otras palabras, podemos definir cuatro pasos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer

orden y estos son:

a) Cambiar la ecuación 1 )

0 )𝑦 = 𝑔 ) por la forma

)𝑦 = 𝑓 ) .

b) Identificar la identidad de la forma estándar ) y después encontrar el factor integrante (recuerda

𝑒∫ ) ).

c) Multiplicar ambos términos, la forma estándar y el factor integrante

[𝑒∫ ) 𝑦] = 𝑒∫ ) 𝑓 ).

d) Integrar ambos de esta última ecuación.

1.3. Ecuación de Bernoulli

Dada la ecuación diferencial

)𝑦 = 𝑓 )𝑦 , donde n es cualquiera número real, se le conoce con el

nombre de ecuación de Bernoulli. De tal forma que para los valores de n=1 y n=2, la fórmula anterior

representa una ecuación lineal y para nK0 y nK1 la sustitución de 𝑢 = 𝑦1− reduce cualquier ecuación

como

)𝑦 = 𝑓 )𝑦 a una ecuación lineal.

1.3.1. Situaciones diversas



16

16

Para llenar un depósito de 20.0 litros es utilizado un tubo de 2.00 cm. de diámetro. Si el depósito se llena

en 1.00 min., ¿cuál es la velocidad con la que el agua sale del tubo? (1L = 103 cm3). Asumimos que la

sección transversal del tubo es:

Entonces tenemos que si la tasa de flujo es 20 lts./min. y lo igualamos con Av, tenemos que:

Si mantenemos el flujo de agua pero reducimos a 1.00 cm el ancho del tubo ¿cuál será la velocidad del

agua al salir?

Aplicando el mismo procedimiento tendremos 424 cm./seg.

1.3.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Se solicitó un cambio de voltaje de un marcapaso de corazón, el cual, en un inicio tenía los siguientes

componentes:

Un interruptor

Una batería de voltaje constante 0

Un capacitor con capacitancia constante C

Un resisitor con resistencia constante R (corazón)

El sistema funciona de la siguiente manera: cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el

interruptor se abre, el capacitor se descarga, enviando una descarga eléctrica que estimula el corazón.

Cuando el corazón se está estimulando, el voltaje de E tiene la ecuación diferencial lineal siguiente:

𝑑

𝑑𝑡= −

Resuelve la ecuación diferencial cuando E(4)= E0 . La respuesta debe ser: ) = 0 − −4) .



17

17

Utiliza un Sistema Algebraico Computacional (SAC) y ubica el apartado de curvas de nivel para dibujar las

líneas representativas de los miembros de la familia de soluciones de la ecuación diferencial:

𝑑𝑦

𝑑 =

− )

𝑦 −2 𝑦)

Prueba distintas variables del plano xy hasta que el resultado sea similar a la siguiente gráfica:

Actividad 4. Problema de representación de un modelo matemático

Al finalizar esta actividad podrás:

Analizar un problema de aplicación de ecuaciones diferenciales.

Resolver las ecuaciones necesarias para obtener un resultado.

Graficar el resultado obtenido.

1. Descarga el objeto de aprendizaje llamado “Problema de representaci n de un modelo matemático”

2. Observa con detalle la gráfica.

3. Encuentra una ecuación para representar la distancia, el pandeo y la longitud del problema

propuesto.

4. Desarrolla, dentro del mismo documento, la fórmula para modelar la forma de una cuerda, cable,

alambre, etc. de acuerdo a las características de la grafica mostrada.

5. Envía el archivo a tu facilitador(a) y espera su retroalimentación.



18

18

Evidencia de aprendizaje. Sistemas algebraicos de computación (SAC)

Al finalizar serás capaz de solucionar ecuaciones diferenciales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones que se presentan a continuación.

a) 𝑦 4) − 20 𝑦′′′- 58y’’-580 y’ 8 y =0

b) 3𝑦′′′ 2 2𝑦′′ 20 𝑦′ − 8𝑦 = 0 𝑦 = 20 5 )

5 )

2. Representa tus resultados en una documento de texto, anotando el procedimiento de solución

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura EDI_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las

dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial

de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende

sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo

Autorreflexiones

Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas

de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu facilitador(a) presente. A partir de ellas, debes:

Elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado ED1_U1_ATR_XXYZ.

Enviar tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.

Cierre de la unidad



19

19

En esta unidad se estudiaron los métodos de resolución analítica de los tipos de ecuaciones de primer

orden, así mismo se proporcionaron las nociones básicas para el estudio cualitativo de las soluciones para

este tipo de ecuaciones, así como los métodos básicos de resolución numérica.

Te invitamos a que continúes con el aprendizaje de la segunda unidad, donde utilizarás este conocimiento,

más lo aprendido en cuatrimestres anteriores.

Para saber más

Consulta en cualquier texto de los sugeridos en la bibliografía básica o especifica el tema “Familia de

soluciones.”

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Familia de soluciones

Fuentes de consulta

Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A.

Larson, R. (2009). Matemáticas II Cálculo integral. México: Mc Graw Hill

Picón, P. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa

Zill, D. (2008). Ecuaciones diferenciales. México: Mc Graw Hill

http://mat.izt.uam.mx/notas_de_clase/edo.pdf

http://books.google.com.mx/books?id=MipvfE1JLT8C&pg=PA7&lpg=PA7&dq=familia+de+soluciones+ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=fpIPIIFH8O&sig=S6wzIZkSOgrJz1lXNZkd8kbqgEw&hl=es#v=onepage&q=familia%20de%20soluciones%20ecuaciones%20diferenciales&f=false

u1.ecuaciones diferenciales de primer orden

Documents