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ÁLGEBRA II (LSI – PI)

UNIDAD Nº 2

GEOMETRÍA ANALÍTICA

2017

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías - UNSE

http://algebra-lineal.blogspot.com Unidad 2 2

Álgebra II (LSI y PI)

UNIDAD Nº 2 GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.- LA RECTA

Definición 1

Sean un punto nP∈ℝ ( 2 3n n= ∨ = ) y un vector { }0n

VA∈ −ℝ ( 2 3n n= ∨ = ). Se

denomina “recta que contiene al punto P y tiene la misma dirección que el vector A” al conjunto R, formado por todos los puntos nX ∈ℝ tales que cada vector X – P es paralelo al vector A. Es decir,

R { }/ ||nX X P A= ∈ −ℝ .

1.1 Ecuación vectorial de una recta

Es claro que a partir de la condición ||X P A− y el concepto de paralelismo de vectores (ver Observación 1), podemos afirmar que

• para cada � ∈ �� existe un único � ∈ � tal que � � � � � , y recíprocamente

• para cada � ∈ � existe un único� ∈ �� tal que � � � � �. Nótese que t puede asumir el valor 0 ∈ � (ver Observación 1).

Por lo tanto, podemos escribir a la recta R del siguiente modo,

R � �� ∈ ��/� � � � �, � ∈ ��con n = 2 o n = 3,

en donde,

∗ a la condición � � � � � , con � ∈ � se le denomina ecuación vectorial de la recta R

∗ a t se le llama parámetro de la recta R

∗ al vector no nulo A se le llama vector de dirección de la recta R.

Observaciones

1.- Recordemos la definición de paralelismo de vectores

Cualesquiera sean � y � vectores no nulos de �� o ��, || 0 : def

u v c c u cv⇔ ∃ ∈ ∧ ≠ =ℝ

Si bien esta definición exige que el escalar real � debe ser no nulo, en el caso de la ecuación vectorial de la recta R

� � � � �, � ∈ � Estamos admitiendo que t también asuma el valor real 0.

P

O

R

Figura 1




�

Esto es así, ya que para el real t = 0, resulta X = P. Si quitáramos la posibilidad que t asuma el valor 0, la recta R no contendría al punto P, lo que contradice la Definición 1 ya que la recta R debe contener al punto P. 2.- Mientras el parámetro t varía en el conjunto de los números reales, X “recorre” todos los puntos de la recta R y

recíprocamente.

1.2 Ecuaciones paramétricas y cartesiana(s) de una recta

A partir de la ecuación vectorial de una recta, es posible determinar otro tipo de ecuaciones que también la representan. Para ello haremos un estudio separado de rectas en el plano real y de rectas en el espacio real.

Rectas en ��

Sea un punto ( ) 20 0, P x y= ∈ℝ y un vector ( ) { }2

1 2, (0,0)A a a= ∈ −ℝ . Como la ecuación

vectorial de una recta R que contiene a un punto P y tiene la misma dirección del vector no nulo A

viene dada por la ecuación

� � � � �, � ∈ �

si designamos con � � ��, �� un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación

vectorial junto con los datos, obtenemos

( ) ( ) ( )0 0 1 2, , , x y x y t a a− = , � ∈ � (1)

Esta es la ecuación vectorial en el plano real de la recta R que contiene al punto

( ) 20 0, P x y= ∈ℝ y tiene la misma dirección del vector ( ) { }2

1 2, (0,0)A a a= ∈ −ℝ .

Realizamos las operaciones indicadas en ambos miembros de (1) y por igualdad de vectores, obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en las variable x e y, con � ∈ �

0 1

0 2

x x t a

y y t a

− = − =

, � ∈ � (2)

Estas dos ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta R que contiene al punto

� � ��, �� y tiene la misma dirección del vector no nulo � ��, ��.

Ahora trataremos, mientras sea posible, de “eliminar” el parámetro t. Para ello, es importante tener en cuenta las componentes del vector no nulo � ��, ��, situaciones que analizaremos a continuación.

a) 1 20 0a a≠ ∧ ≠ ,

R

y0 P a2 A

a1 x0 Figura 2

�

Y




Teniendo en cuenta que �� 0y�� 0, las dos ecuaciones paramétricas (2) podemos expresarlas del siguiente modo,

0

1

0

2

x xt

a

y yt

a

− = − =

, � ∈ �

y dado que para cada t ∈ � existe un único x y un único y tal que el punto � � ��, �� pertenece a la recta, debe ocurrir que

0 0

1 2

x x y y

a a

− −=

ésta ecuación es la llamada ecuación cartesiana de la recta que contiene al punto � � ��, �� y tiene la misma dirección del vector no nulo � ��, ��. Es claro que realizando unos pocos procedimientos algebraicos también podemos escribir a la ecuación cartesiana del siguiente modo,

20 0

1

( )a

y y x xa

− = −

donde ! " es la pendiente de la recta R, es decir es la tangente trigonométrica del ángulo �

formado por la recta R y el eje #�$$$$$% en la dirección positiva (ver Figura 2).

A la pendiente de la recta R la simbolizaremos con la letra &, de modo que

& � �� '�

En consecuencia otra forma de escribir la ecuación cartesiana de la recta R, es

0 0( )y y m x x− = − ,

o bien,

0 0tg ( )y y x x− = α −

b) 1 20 0a a≠ ∧ =

Y

y0 P R

A

a1 x0 X

Teniendo en cuenta que �� 0y�� 0, las dos ecuaciones paramétricas (2) podemos expresarlas del siguiente modo,

Figura 3




0 1

0 0

x x t a

y y t

− = − =

, � ∈ �

es decir

0 1

0

x x ta

y y

= + =

, � ∈ �

Analizando estas ecuaciones, concluimos que

∗ para cada número real que asignemos al parámetro t , x asume un número real, es decir,

que cuando t varía en� también x varía en �,

∗ y permanece constantemente igual a 0y .

En consecuencia, la ecuación que caracteriza a esta recta es

0y y=

Observemos que la pendiente de la recta R es nula, pues

& � ��

0�� 0

y como

& � �� '�

resulta entonces que �'� � 0 con lo que � � 0, es decir el ángulo que forma la recta con el eje

#�$$$$$$$%en la dirección positiva es nulo.

Por lo tanto, la recta de ecuación 0y y= es paralela al eje #�$$$$$% como ya habíamos advertido en la Figura 3.

c) �� 0 ∧ �� 0

Y R

a2 A

x0

y0 P

Figura 4

�




Teniendo en cuenta que �� 0y�� 0, a las dos ecuaciones paramétricas (2) podemos expresarlas del siguiente modo,

0

0

0

2

x x t

y y t a

− = − =

, � ∈ �

Esto es,

0

0 2

x x

y y ta

= = +

,� ∈ �

Analizando del modo análogo que en b) se tiene que la ecuación de la recta R es

0x x=

Notemos que en este caso no es posible hablar de pendiente m ya que no podemos calcular ! "

puesto que no está definida la división por cero.

Observemos en la Figura 4 que el ángulo formado por la recta R y el eje #�$$$$$% en su dirección

positiva es � �2

π y la tangente trigonométrica de

2

π no está definida, este es otro modo de

modo de advertir la no existencia de la pendiente de la recta R.

Recta en �3

Sea un punto ( ) 30 0 0 0, ,P x y z= ∈ℝ y un vector ( ) 3

1 2 3, ,A a a a= ∈ℝ − {(0, 0, 0)}. Como la

ecuación vectorial de una recta que contiene a un punto P y tiene la misma dirección del vector no nulo A es

� � � � �,� ∈ �

si designamos con � � ��, �, )� un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación


( ) ( ) ( )0 0 0 1 2 3, , , , , ,x y z x y z t a a a− = , � ∈ � (1)

Esta es la ecuación vectorial en el espacio real de la recta R que contiene al punto

( ) 30 0 0 0, ,P x y z= ∈ℝ y tiene la misma dirección del vector ( ) { }3

1 2 3, , (0,0,0)A a a a= ∈ −ℝ .

Realizamos las operaciones indicadas en ambos miembros de (1) y por igualdad de vectores, obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales en las variable x, y, z con � ∈ �

0 1

0 2

0 3

x x ta

y y ta

z z ta

− = − = − =

, � ∈ � (2)

Estas tres ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta R que contiene al punto

� � ��, ��, )�� y tiene la misma dirección del vector no nulo � ��, ��, �*�.




Procederemos de similar modo y mientras sea posible, a “eliminar” el parámetro t. Para ello, es importante tener en cuenta las componentes del vector no nulo � ��, ��, �*�. Algunas de estas situaciones analizaremos a continuación.

a) �� 0 ∧ �� 0 ∧ �* � 0 Teniendo en cuenta que �� 0, �� 0y�* � 0, podemos despejar el el parámetro t de las tres ecuaciones paramétricas (2) obteniendo las siguientes tres ecuaciones,

0

1

0

2

0

3

x xt

a

y yt

a

z zt

a

− = − = − =

, � ∈ �

y dado que para cada t ∈ � existen y son únicos �, �, ) que son precisamente las

componentes del punto � � ��, �, )� perteneciente a la recta R, se verifica que

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

− − −= =

Es claro que también podemos escribir,

0 00 0

1 31 2

0 0 0 0

2 3 2 3

( ) o ( )

x x z zx x y y

a aa a

y y z z y y z z

a a a a

− −− − == σ ρ − − − − = =

Éstas dos ecuaciones dadas en ( )σ son las llamadas ecuaciones cartesianas de la recta

R que contiene al punto� � ��, ��, )�� y tiene la misma dirección del vector no nulo

� ��, ��, �*�. Lo mismo ocurre con las ecuaciones dadas en ( )ρ .

Observación

Las componentes 21 3, ,a a a del vector suelen denominarse números directores de la recta.

b) �� 0 ∧ �� 0 ∧ �* � 0

Como �� 0, �� 0y�* � 0, podemos escribir las tres ecuaciones paramétricas (2) del siguiente modo

0 1

0 2

0 0

x x ta

y y ta

z z t

− = − = − =

, � ∈ �




es decir,

0 1

0 2

0

x x ta

y y ta

z z

= + = + =

, � ∈ �

En esta situación, para cada t ∈ � existen y son únicos �, � que son precisamente las dos

primeras componentes del punto � � ��, �, )� perteneciente a la recta R, mientras que ) asume

constantemente el valor )�, por lo tanto las dos ecuaciones cartesianas de la recta son

0 0

1 2

0

x x y y

a a

z z

− − = =

Es fácil comprobar geométricamente, que es una recta paralela al plano �,.

c) �� 0 ∧ �� 0 ∧ �* � 0

Procediendo de manera análoga a las situaciones precedentes se obtienen las dos ecuaciones cartesianas siguientes,

0 0

1 3

0

x x z z

a a

y y

− − = =

Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al plano XZ.

d) �� 0 ∧ �� 0 ∧ �* � 0

Procediendo de manera análoga a las situaciones precedentes se obtienen las dos ecuaciones cartesianas siguientes,

2

0 0

3

0

y y z z

a a

x x

− − = =

Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al plano YZ.

e) �� 0 ∧ �� 0 ∧ �* � 0

Las tres ecuaciones paramétricas (2) las escribimos del siguiente modo

0 1

0

0

x x ta

y y

z z

= + = =

, � ∈ �




Dado que para cada t ∈ �, existe un único x ∈ � , resulta que x varía en el conjunto de los números reales, por lo tanto las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son,

0

0

y y

z z

= =

Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje #�$$$$$%.

f) 1 2 30 0 0a a a= ∧ ≠ ∧ = , se tiene

0

0 2

0

x x

y y ta

z z

= = + =

, � ∈ �

Dado que y toma todos los valores reales cuando t varía en �, las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son

0

0

x x

z z

= =

Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje#,$$$$$$%.

g) 1 2 30 0 0a a a= ∧ = ∧ ≠

0

0

0 3

x x

y y

z z ta

= = = +

,� ∈ �

Dado que z toma todos los valores reales cuando t recorre �, las dos ecuaciones cartesianas que definen a la recta en este caso son,

0

0

x x

y y

= =

Estas dos ecuaciones cartesianas representan una recta paralela al eje #-$$$$$%.

EJERCICIOS

1. Obtenga las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de las siguientes rectas en �2 a) La recta que contiene al punto P = (- 1 , 3) y es paralela al vector A = (- 2 , 0)

b) La recta que contiene al punto P = (3 , -1 , 1 ) y es paralela al vector A = .%–0%1 23$% Para cada una de las rectas de los apartados anteriores, determine un punto distinto de P perteneciente a ella. 2. Halle la ecuación vectorial de la recta que contiene al punto P = (3 , -2) con pendiente:

2

3)

2

1) =−= mbma . Grafique dichas rectas.




La figura ilustra en �2 lo que se verifica también en �3

3. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta cuyas ecuaciones cartesianas se dan a continuación: a) x + 2y + 3z = 2 4x + 5y + 6z = 5

1.3 Recta determinada por dos puntos distintos

Sean P y Q dos puntos distintos del plano o del espacio. Queremos determinar la ecuación

vectorial de la recta R determinada por los dos puntos dados.

Para ello es necesario conocer un vector no nulo A de �2 (4�3) tal que la recta R tenga la misma dirección que ese vector A, es decir debemos determinar un vector de dirección de la recta R.

Como sólo conocemos dos puntos de la recta R, a partir de estos datos trataremos de determinar un

vector de dirección de la recta que contiene a tales puntos.

Para ello consideremos un vector con origen del sistema y extremo en el punto � y otro vector con origen en el sistema y extremo en el punto 5, como se muestra en la Figura 5.

Es evidente que tomando

� �– 5,tenemos un vector de dirección de la recta R. Por lo tanto el conjunto de todos los puntos X de �2 (4�3) tales que ||X P P Q− − , es precisamente la recta buscada, esto es

{ }/ || ( )nX R X P P Q= ∈ − −R , para n = 2 o n = 3

luego, la ecuación vectorial de la recta R, determinada por los puntos �y5 viene dada por,

� � � � ��– 5�, � ∈ �

Observación

Dado que tenemos dos puntos de la recta R, podemos usarlos indistintamente como así también podemos elegir al

vector 5– � como vector de dirección de la recta. Por lo tanto, la recta determinada por dos puntos distintos �y5 también viene dada por

P

x

y

P- Q

R

Figura 5




� � � � �65– �7, � ∈ � o

� � 5 � �6�– 57, � ∈ �o

� � 5 � ��5– ��, � ∈ �.

Ejemplo

Sean los puntos ( ) 21 2, P p p= ∈ℝ y ( )1

22, Q q q= ∈ℝ , tales que P Q≠ , la recta que contiene a P

y a Q podemos expresarla mediante la siguiente ecuación vectorial

� � � � ��– 5�, � ∈ �

si designamos con � � ��, �, )� un punto genérico de la recta R y sustituyendo en la ecuación


( ) ( ) ( )21 1 2 1 2, , ( , ) ( , )x y p p t p p q q− = − , � ∈ �

y realizando las operaciones en ambos miembros obtenemos

( ) ( )1 2 1 1 2 2, ( ), t )x p y p t p q (p q− − = − − , � ∈ �

Luego, las dos ecuaciones paramétricas son

1 1 1

2 2 2

( )

( )

x p t p q

y p t p q

− = − − = −

, � ∈ �

Para determinar la ecuación cartesiana debemos tener en cuenta las componentes del vector P – Q.

a) Supongamos que 1 1 2 2 p q p q≠ ∧ ≠ , entonces podemos escribir

1

1 1

2

2 2

x pt

p q

y pt

p q

− = − − = −

, � ∈ �

Luego, la ecuación cartesiana de la recta que contiene a los puntos P y Q viene dada por

1 2

1 1 2 2

x p y p

p q p q

− −=

− −

O bien, la ya conocida ecuación

2 22 1

1 1

( )p q

y p x pp q

−− = −

−.

Observemos que la pendiente viene dada por

2 2

1 1

p qm

p q

−=

−




b) Cuando 8� � 9� ∧ 8� � 9� , no existe la pendiente de la recta y las ecuaciones paramétricas son

1 1 1

2 2 2

( )

( )

x p t q q

y p t p q

− = − − = −

, � ∈ �

Es decir,

1

2 2 2( )

x p

y p t p q+

= = −

, � ∈ �

Por tal motivo, la ecuación cartesiana de la recta es

1x p= ,

Esta ecuación cartesiana representa a una recta paralela al eje #,$$$$$$%. c) En el caso en que 1 1 2 2 p q p q≠ ∧ = , las ecuaciones paramétricas son

1 1 1

2 2 2

( )

( )

x p t p q

y p t q q

− = − − = −

, � ∈ �

Por lo tanto,

1 1 1

2

( )x p t p q

y p

= + − =

, � ∈ �

Luego, la ecuación cartesiana de la recta es

2y p= ,

Y es evidente que la pendiente de la recta es cero y la representación gráfica de la recta es paralela al eje #�$$$$$%.

EJERCICIOS

4. Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesianas de la recta que contiene a los puntos P y Q. a) P = (2, 0) y Q = (1, -1) b) P = (1, 0, 1) Q = (0, 1, 1)

1.4 Paralelismo de rectas

Sean R1 y R2 dos rectas en el plano o en el espacio dadas por , X P tA t− = ∈ � y , X Q sB s− = ∈ �, respectivamente.

Definición 2

R1 es paralela a R2 c⇔∃ ∈ � { } 0 : A cB− =

De acuerdo con esta definición podemos decir que “R1 es paralela a R2 si y sólo si sus vectores de dirección son paralelos”. Esto es,

R1 es paralela a R2 ⇔ A || B

Como el paralelismo entre vectores es una relación simétrica, si la recta R1 es paralela a la recta R2 diremos simplemente que las rectas R1 y R2 son paralelas.




Ejemplo

Sean las rectas

R1 ( ) ( ) ( ): , , 1, 2,3 1, 3,0x y z t− = − ,� ∈ � y R2 ( ) ( ) ( ): , , 0,1, 2 2, 6,0x y z s− − = − ,: ∈ �.

Es evidente que R1 y R2 son rectas paralelas, puesto que (2,-6,0) = 2(1,-3,0).

Relación de las pendientes de dos rectas paralelas

Analizaremos ahora las ecuaciones vectoriales de dos rectas paralelas en �2 a fin de obtener una relación entre sus pendientes cuando estas existen.

Sean R1 y R2 dos rectas paralelas cuyas ecuaciones vectoriales son( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , ,x y p p t a a− =

� ∈ � y ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , ,x y q q s b b− = : ∈ � respectivamente.

Por definición de paralelismo de rectas, se tiene ∃� ∈ � � �0� tal que

( ) ( )1 2 1 2, ,a a c b b=

Por igualdad de vectores podemos escribir,

<�� =��1�� =��2�

Analizaremos dos situaciones teniendo en cuenta las componentes de los vectores de dirección de ambas rectas.

a) �� 0

Es claro que si �� 0 y como � � 0, entonces de la igualdad (1) se sigue que =� � 0 y además si multiplicamos en ambos miembros de la igualdad (2) por el recíproco de �� y sustituyendo (1) en el denominador del segundo miembro tenemos,

2 2

1 1

a b

a b=

Es decir ,

1 2m m= .

Esta igualdad de las pendientes, es otra forma de expresar que las rectas R1 y R2 son paralelas

b) �� 0

Como �� 0 y � � 0, entonces de la igualdad (1) se sigue que =� � 0. Y por lo tanto

las rectas paralelas R1 y R2 no tienen pendiente, ya que no podemos multiplicar en (2) por el

recíproco de �� 0, pues no existe la división por cero.

También podemos observar gráficamente en esta situación que la medida del ángulo que forma

cada una de las rectas R1 y R2 con el eje #�$$$$$% en la dirección positiva es ?�, y la tangente

trigonométrica de ?� no existe, esta es otra manera de determinar la no existencia de la pendiente

de ambas rectas.




1.5 Ortogonalidad de rectas

Sean R1 y R2 dos rectas en el plano o en el espacio dadas por , X P tA t− = ∈� y , X Q sB s− = ∈ �, respectivamente, y consideremos el producto escalar definido en la Unidad 1

tanto en ��comoen�*.

Definición 4

R1 es ortogonal a R2 0A B⇔ ⋅ = .

De acuerdo con esta definición podemos decir, R1 es ortogonal a R2 si y sólo si sus vectores de

dirección son ortogonales. Esto es,

R1 es ortogonal a R2 ⇔ A ⊥ B

Notemos que la ortogonalidad de vectores es una relación simétrica, debido a que el producto escalar es conmutativo, entonces se verifica que

si R1 es ortogonal a R2 entonces R2 es ortogonal a R1

por lo tanto diremos en adelante que las rectas R1 y R2 son ortogonales.

Ejemplo

Sean las rectas R1 y R2 de ecuaciones

( ) ( ) ( ), , 3,0, 4 1,0, 2 , x y z t t− = − ∈ℝ y ( ) ( ), , 2, 3, 1 , x y z s s= ∈ℝ ,

respectivamente. Es claro que R1 y R2 son rectas ortogonales, puesto que sus vectores de

dirección lo son, esto es

( ) ( )1,0, 2 2, 3, 1 2 0 2 0− ⋅ = + − =

Relación de las pendientes de dos rectas ortogonales

Estudiaremos las ecuaciones vectoriales dos rectas ortogonales en �2 a fin de obtener una relación entre sus pendientes cuando estas existen.

Sean R1 y R2 dos rectas ortogonales cuyas ecuaciones vectoriales son

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , x y p p t a a t− = ∈ℝ y ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , x y q q s b b s− = ∈ℝ respectivamente.

Por definición de ortogonalidad de rectas, se tiene

��, �� ∙ �=�, =�� 0

Efectuando el producto escalar tenemos,

1 1 2 2 0a b a b+ = 1

Consideraremos dos situaciones teniendo en cuenta las componentes de los vectores de dirección de ambas rectas.




a) �� 0 ∧ =� � 0 2

De la igualdad 1 y de las condiciones 2 se tiene que

2 2

1 1

1 0a b

a b+ =

o bien

2 2

1 1

1a b

a b=− 3

Como 2

1

a

aes la pendiente de la recta R1 y 2

1

b

b es la pendiente de la recta R2, la igualdad 3 es

la conocida relación entre pendientes de dos rectas ortogonales

m1 m2 = −1

b) �� 0

Como �� 0 podemos afirmar que la recta R1 no tiene pendiente. Además, teniendo en cuenta

la igualdad 1, es obvio que 2 0b = , lo cual indica que la pendiente de la recta R2 es 2 0m = .

Por lo tanto no se puede establecer relación alguna de pendientes.

EJERCICIOS

5. Determine si los siguientes pares de rectas corresponden a rectas paralelas:

1 2

1 2

2 1) : : ( , ) ( 6, 4) (9, 3)

3 19 4 121 4

) : :9 212 3

x ya R R x y t

x yx yb R z R

y z

− += − − = −−

− = −− += = − + =

6. Determine si los siguientes pares de rectas corresponden a rectas perpendiculares:

1 2

1 2

1 4 1) : :

4 3 6 2

) : 4 2 0 : 2 3 4 0

x t x ya R R

y t

b R y x R y x

+ = − += − = −

+ − = − + =

ECUACIÓNES VECTORIAL Y CARTESIANA DE PLANOS EN �3

Definición 5

Sean un punto ( ) 31 2 3, ,P p p p= ∈ℝ y un vector ( ) { }3

1 2 3, , (0,0,0)N a a a= ∈ −ℝ .

Se llama plano que contiene al punto P y es ortogonal al vector N, al conjunto P formado por

todos los puntos 3X ∈ℝ tales que cada vector X – P es ortogonal al vector N. En símbolos

P = { }3 /X R X P N∈ − ⊥ .




La exigencia X P N− ⊥ equivale, por definición de ortogonalidad entre vectores, a expresar al plano P del siguiente modo:

P = ( ){ }3 / 0X R X P N∈ − ⋅ =

A la condición

( ) 0X P N− ⋅ = (γ)

se la denomina ecuación vectorial del plano P que contiene al punto P y es ortogonal al vector N.

A partir de la ecuación vectorial y por la distributividad del producto escalar respecto a la resta de vectores, se tiene

( )X N P N⋅ − ⋅ = 0

Como P y N son dados, llamando d = ( )P N− ⋅ ∈ � se tiene otra forma de expresar la ecuación

vectorial del plano P

X N⋅ + d = 0

o bien

0N X d⋅ + =

Ahora bien, si el vector genérico X viene dado por X = (x, y, z), la ecuación (γ) se escribe

( ) ( )( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , , , 0x y z p p p a a a− ⋅ =

y realizando el producto escalar indicado se obtiene la ecuación cartesiana del plano P que contiene al punto P y es ortogonal al vector no nulo N.

1 2 3 0a x a y a z d+ + + = (*)

donde

( )1 1 2 2 3 3 d p a p a p a=− + +

Fig. 6

N




Notas:

� Obsérvese que ( ) d P N=− ⋅ = ( )1 1 2 2 3 3 p a p a p a− + +

� El número real d indica si el plano contiene o no al origen del sistema de coordenadas pues:

a) si d = 0, el vector nulo satisface la ecuación cartesiana (*) del plano P, por lo tanto el vector nulo pertenece al plano P.

b) si d ≠0, el vector nulo no satisface la ecuación cartesiana (*) del plano P y en consecuencia el vector nulo no pertenece al plano P.

A continuación se analizan algunas de las situaciones particulares que pueden presentarse:

a) Supóngase que 1 2 30 0 0 0a a a d≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ . En este caso es claro que la ecuación

1 2 3 0a x a y a z d+ + + = representa un plano que no contiene al origen de coordenadas

pues el vector (0, 0, 0) no satisface la ecuación de dicho plano.

b) Si 1 2 30 0 0 0a a a d≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ = , la ecuación 1 2 3 0a x a y a z+ + = es la de un plano

que contiene al origen del sistema de coordenadas pues el vector (0, 0, 0) verifica la ecuación.

Observemos que al ser d = 0 los vectores P y N resultan ortogonales.

N




c) Si 1 2 30 0 0 0a a a d≠ ∧ ≠ ∧ = ∧ ≠ , la ecuación 1 2 0a x a y d+ + = representa un plano

paralelo al eje z, puesto que si el punto 1 1 1( , , )x y z satisface la ecuación del plano, también lo

harán los puntos del conjunto { }1 1( , , ) /x y z z R∈ que es una recta paralela al eje z, de modo

que el plano de ecuación 1 2 0a x a y d+ + = contiene a esa recta, entonces resulta ser

paralelo al eje z.

En tanto un plano paralelo al eje y es de ecuación 1 3 0a x a z d+ + = ; y uno paralelo al eje

x es de la forma 2 3 0a y a z d+ + = .

d) Si 1 2 30 0 0 0a a a d≠ ∧ ≠ ∧ = ∧ = , el plano es de ecuación 1 2 0a x a y+ = , los puntos

de la forma (0, 0, z) con z∈ℝ satisfacen esta ecuación son de la forma, esto indica que el plano contiene al eje z.

Análogamente el plano de ecuación 1 3 0a x a z+ = contiene al eje y, y el plano

2 3 0a y a z+ = contiene al eje x.




e) Si 1 2 30 0 0 0a a a d≠ ∧ = ∧ = ∧ = se obtiene un plano de ecuación x = 0, que es el

plano coordenado yz puesto que los puntos que satisfacen esa ecuación son de la forma (0, , )y z con y∈ℝ y z∈ℝ .

Así, la ecuación del plano coordenado XZ es y = 0 y la ecuación del plano coordenado XY es z = 0.

EJERCICIOS

7. Determine la ecuación cartesiana del plano que contiene a P y es ortogonal a N e indique aproximadamente la posición del plano. a) P = (-2, 2, 6) N = (-1, 1, 0) b) P = (-2, 0, 1) N = (0, 2, 0) c) P = (0, 0, 0) N = (2, -5, 3) d) P = (4,-1,0) N = (0, 1, -1) 8. Caracterice los siguientes planos y escriba la ecuación vectorial de cada uno de ellos: a) 3(x – 5) – 2 (y – 4) + 4(z – 2) = 0 b) 3x – 4z = – 2

PLANO DETERMINADO POR TRES PUNTOS DISTINTOS Y NO ALINEADOS EN �3

Sean ( )1 2 3, ,P p p p= , ( )1 2 3, ,Q q q q= y ( )1 2 3, ,R r r r= tres puntos distintos y no alineados en �3.

Para determinar la ecuación vectorial del plano P que contiene a los puntos P, Q, y R, es necesario

encontrar un vector ortogonal al plano P.

Para ello se consideran los vectores

Q – P y R – P

x

y

z

O

P

Q

R

Q – P

R – P

N

P

(Q – P) × (R – P)




Es claro que estos vectores son paralelos al plano P que contiene a los tres puntos P, Q, y R, por lo tanto el vector

N = ( ) ( )Q P R P− × −

es ortogonal a los vectores Q – P y R – P y también es ortogonal al plano P.

Teniendo en cuenta que la ecuación vectorial de un plano que contiene a un punto P y es ortogonal a un vector no nulo N es

( ) 0X P N− ⋅ = 1

resulta que la ecuación vectorial del plano que contiene a P, Q y R está dada por:

( ) ( ) ( )( ) 0X P Q P R P− ⋅ − × − =

Preguntas

¿Por qué P, Q y R deben ser distintos?

Si P, Q y R son distintos ¿Por qué P, Q y R no pueden estar alineados?

EJERCICIOS

9. Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos P = (1, 0 , 3), Q = (-2, -4, 5) y R = (2, -1, 13)

PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE PLANOS

Dados los planos:

P1 ( ) : 0X P N− ⋅ =

P2 ( ): 0X Q M− ⋅ =

Definición 6

Diremos que

P1 es paralelo a P2 { } 0 : c R N cM⇔ ∃ ∈ − = .

Definición 7

Diremos que

P1 es ortogonal a P2 0 N M⋅ =⇔ .




PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

Dados un plano y una recta

P ( ): 0X P N− ⋅ =

R : X Q t A− =

Definición 9

Diremos que

P es paralelo a R 0N A⇔ ⋅ = .

Definición 10

Diremos que

P es ortogonal a R { } 0 : c R N c A⇔ ∃ ∈ − = .

EJERCICIOS

10. Determine cuáles de los siguientes pares de planos son ortogonales o paralelos. a) P1: 2x – y + z = 0 P2: 2y + 2z + 2 = 0 b) P1: x – y + 3z = 0 P2: 2x – 2y + 6z – 1 = 0 11. Determine en cada caso, si el plano y la recta son ortogonales o paralelos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 4) :4 2 2 9 0

2 7 3

) : , , 1,0, 1 1,3, 1 0 , , 0, 2,5 2,6, 2

x y za P x y z R

b P x y z R x y z t

+ −+ + + = = = =−

− − ⋅ − − = = − − = − −

unidad 2 - galeon.comgaleon.com/algebralineal/algii_inform/unidad2.pdf · facultad de ciencias...

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