Álgebra ii (lsi – pi) - galeon.comgaleon.com/algebralineal/algii_inform/unidad5.pdf · facultad...

aa | ¡Error! No hay texto con el estilo especificado en el documento. 1

ÁLGEBRA II (LSI – PI)

UNIDAD Nº 5

TRANSFORMACIONES LINEALES

2017

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías - UNSE

http://algebra-lineal.blogspot.com Unidad 5 2

Álgebra II (LSI y PI)

§1.- Transformaciones Lineales

Definición 1

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F, y sea una función WVT : . La

función T es una Transformación Lineal de V en W si y sólo si se verifican los siguientes axiomas,

i) , ; ( ) ( ) ( )u v V T u v T u T v

ii) )()(; uaTauTVuFa

Diagrama de Venn de la definición de transformación lineal

1.2.- Propiedades de las Transformaciones Lineales

Proposición 1

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F. Si WVT : es una transformación

lineal entonces WVT 0)0(

Demostración

Por Proposición 1 de espacio vectorial se verifica que

uVu V 00 ;

Aplicando en ambos miembros T tenemos

(0 ) ( 0 )V

F V

T T u

(1)(0 ) 0 ( )V

F W

T T u

(2)(0 ) 0V WT

luego

WVT 0)0( .

Referencias

(1) Por axioma ii) de definición de transformación lineal.

(2) Por propiedad de espacio vectorial.

Q.E.D.

Proposición 2


lineal entonces

)()( ; uTuTVu

V W

u

v

u+v

T(u)

T(v)

T(u+v)=T(u)+T(v)

T

au T(au)=aT(u)




Demostración

)()()1()1()()2()1(

uTuTuTuTVF

Luego, )()( uTuT

Referencias

(1) Por axioma ii) de definición de transformación lineal.

(2) Por propiedad de espacio vectorial.

Q.E.D.

Proposición 3


lineal entonces

)(;,11

i

n

i

i

n

i

iiii uTauaTVuFa

(α)

Demostración

Demostraremos la proposición por inducción en n

a) n=1

1

1

11)1(

11

1

1

)()()(i

ii

i

ii uTauTauaTuaT

Luego la proposición (α) es verdadera para n = 1.

b) Suponemos que la proposición es verdadera para n=h, es decir, suponemos que es verdadera

la igualdad

1 1

= ( ) h h

i i i i

i i

T a u a T u

Bajo este supuesto, probaremos que la proposición (α) es verdadera para n=h+1, esto es,

probaremos que es verdadera la igualdad

)(1

1

1

1

h

i

ii

h

i

ii uTauaT

En efecto,

1 1

1 1 1 1 1 1(2) (3) (4) (5)

1 1 1 1 1

( ) ( )h h h h h

i i i i h h i i h h i i h h i i

i i i i i

T a u T a u a u T a u T a u a T u a T u a T u

Luego la proposición se cumple para todo n natural.

Referencias

(1) Por axioma ii) de la definición de transformación lineal.

(2) Por propiedad de sumas finitas.

(3) Por axioma i) de la definición de transformación lineal.

(4) Por hipótesis inductiva (*) y por axioma ii) de la definición de transformación lineal.

(5) Por propiedad de las sumas finitas.

Q.E.D.




1.3- Núcleo de una transformación lineal

Definición2

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F ysea una transformación

lineal. El núcleo de es el conjunto de vectores tales que su imagen es igual al vector nulo de

W.

En símbolos,

/ ( ) 0def

T WN u V T u

V W

T . . .

Diagrama de Venn del Núcleo de una transformación lineal

Es claro que,

( ) 0T Wu N T u

Ejemplo

El núcleo de la transformación lineal / es

{ }. En efecto,

{ } { }

Para determinar la forma en que se caracterizan los vectores del Núcleo de , trabajaremos de

modo análogo al que procedíamos para determinar el núcleo de un homomorfismo de grupos.

Partimos, entonces de la condición

(1)

(2)

{

(3)

De modo que

{ }

Referencias

(1) Por definición de la transformación lineal dada .

(2) Por igualdad de pares ordenados

(3) Por resolución del sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

.u .

. .

.

NT

. .

. . .

. .

0W . .

. .

. . .

. .

.

.

. .




Propiedades del núcleo de una transformación lineal

Proposición 4

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F. Si WVT : una transformación

lineal, entonces el núcleo de T es un subespacio vectorial del espacio vectorial V.

Demostración

i) TN V por definición de NT.

ii) TN , pues 0V TN ya que

WVT 0)0( por Proposición 1 de transformaciones lineales.

iii) Mostraremos que es verdadero el condicional , T Tu v N u v N

En efecto,

(1), ( ) 0 ( ) 0 T W Wu v N T u T v

Luego,

(2) (3) (4)

( ) ( ) ( ) 0 0 0 W W W TT u v T u T v u v N

Por lo tanto Tu v N

iv) Mostraremos ahora que es verdadero el condicional T Ta F u N au N

En efecto,

(5)

( ) 0 T Wa F u N a F T u

Luego,

(6) (7) (8)( ) ( ) 0 0 W W TT au aT u a au N

Por lo tanto Tau N

Dei), ii), iii) y iv), concluimos que el núcleo de T es un subespacio vectorial de de V.

Referencias (A completar por el alumno)

(1)…………………………………………………..(5)……………………………………………….

(2)…………………………………………………..(6)……………………………………………….

(3)…………………………………………………..(7)……………………………………………….

(4)…………………………………………………..(8)……………………………………………….

Q.E.D.

Proposición 5

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F y sea :T V W una transformación

lineal.

0 T VN T es inyectiva.

(Sin demostración)

1.4-Imagen de una transformación lineal

Definición3

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F y sea WVT : una transformación

lineal.La imagen de T es el conjunto de vectores de W, que tienen preimagen en V.

En símbolos,

/ : ( )def

TI w W v V T v w




Diagrama de Venn de la Imagen de una transformación lineal

Es claro que,

: ( ) Tw I v V T v w

Propiedades de la imagen de una transformación lineal

Proposición 6

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F. Si WVT : una transformación

lineal, entonces la imagen de T es un subespacio vectorial de W.

Demostración

i) TI W por definición de IT.

ii) TI , pues 0W TI ya que por propiedad 0 : (0 ) 0V V WV T .

iii) Mostraremos que es verdadero el condicional 1 2 1 2, T Tw w I w w I . Para ello partimos

del antecedente

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2(1) (2)

, , : ( ) ( ) , : ( ) ( )Tw w I v v V T v w T v w v v V T v T v w w

1 2 1 2 1 2 1 2(3) (1)

: ( ) Tv v V T v v w w w w I

luego 1 2 Tw w I

iv) Mostraremos que es verdadero el condicional T Ta F w I aw I . Partimos del

antecedente,

(1) (4) : ( ) : ( ) Ta F w I a F v V T v w a F v V aT v aw

(5) (1) : ( ) Tav V T av aw aw I

luego Taw I

Finalmente por i), ii), iii) y iv), la imagen de T es un subespacio vectorial de W.

IT .

. .

… .

. .v

. .. .

. .

. . …….

.T(v)= w

… …

. . .

.. . . .

. .

. . . ..

. .. .

. . .

V W

T




Referencias

(1) Por definición de imagen de T.

(2) Sumando miembro a miembro ambas igualdades, porque la suma es LCI en W.

(3) Porque la suma es LCI en V y por axioma i) de la definición de transformación lineal.

(4) Porque (.) es LCE en W con escalares en F

(5) Porque (.) es LCE en V y por axioma ii) de la Definición 1 de transformación lineal.

Q.E.D.

Proposición 7

Sean dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo F y sea :T V W una transformación

lineal.

TI W T es sobreyectiva.

Demostración

El bicondicional TI W Tes sobreyectiva es la definición de función sobreyectiva.

Q.E.D.

1.5-Teorema (Las dimensiones del núcleo y la imagen)


lineal y V tiene dimensión finita n, entonces

dim dim dimT TN I V

Sin demostración

1.6-Teorema (De existencia y unicidad de las transformaciones lineales)

Sean y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Si 1 2{ , ,..., }nB v v v una base de y

1 2{ , ,..., }nw w w un subconjunto cualquiera deW, entonces existe y es única la transformación lineal

WVT : tal que ii wvTni )( ;,...,1 .

Demostración

Construiremos una función T de V en W, para ello realizaremos el siguiente razonamiento,

Por hipótesis B es una base de V, en consecuencia, si Vu entonces existen y son únicos los

escalares 1 2, ,..., na a a F tales que u se escribe como combinación lineal de vectores de B, esto

es

1

n

i i

i

u a v

Definimos ahora

n

i

ii

defn

i

ii wavaTuT11

)( .

Es claro que para cada vector




u =

n

i

iiva1

V

existe un único vector

n

i

ii

defn

i

ii WwavaTuT11

)(

ya que para cada vector existen y son únicas las coordenadas 1 2, ,..., na a a F respecto a

la base B de V.

Por lo tanto queda bien definida la función

n

i

ii

defn

i

ii wavaTuTu

WVT

11

)(

:

(*)

Probaremos ahora que la función T, así definida, es una transformación lineal.

i) Mostraremos que es verdadero el condicional , ( ) ( ) ( )u v V T u v T u T v

En efecto,

∑ ∑

Donde los escalares y los escalares son las coordenadas de u y v respectivamente con

respecto a la base B del espacio vectorial V.

Ahora bien, la imagen del vector u +v a través de la función T, es

(1) (2) (3)1 1 1 1

( ) n n n n

i i i i i i i i i i ii i i i

T u v T a v b v T a v b v T a b v

(3) (4) (1) (5)1 1 1 1

( ) ( ) ( )

n n n n

i i i i i i i i i iii i i i

a b w a w b w a w b w T u T v

Referencias

(1) Se aplica propiedad de las sumas finitas.

(2) Por la distributividad del producto por escalares respecto a la suma de escalares en el espacio vectorial V.

El lector puede probar que los n escalares son las coordenadas del vector u+v respecto de la base B

de V.

(3) Por definición (*)de la función T.

(4) Como W es un espacio vectorial, vale la distributividad del producto por escalares respecto a la suma de

escalares. Se aplica también propiedad de las sumas finitas.

(5) Por definición (*)de la función T.

ii) Probaremos que es verdadero el condicional

( ) ( )F u V T u T u

En efecto,

1

! :n

i i i

i

F u V F a F u a v

donde los escalares son las coordenadas de u con respecto a la base B del espacio vectorial

V.




Obtengamos ahora la imagen a través de la función T del vector u

(1) (2)1 1 1

( ) n n n

i i i i i ii i i

T u T a v T a v a w

(3) (2)1

( )n

i ii

a w T u

Referencias

(1) Por distributividad del producto por escalares respecto a la suma de vectores en el espacio vectorial V y

axioma de la Definición 1.

El lector puede probar que los n escalares son las coordenadas del vector respecto de la base B de

V.

(2) Por definición (*) de la función T.

(3) Por distributividad del producto por escalares respecto a la suma de vectores en el espacio vectorial W.

Luego por i) y ii) la función T es una transformación lineal.

Mostraremos que

1,..., ; ( )i ii n T v w

En efecto, como entonces 1,..., ; 1,..., ; i ii n v B i n v V

por lo tanto existen y son únicos los escalares que permiten escribir a cada vector vi como

combinación de todos los vectores de la base B de V, esto es

1 1 2

2 1 2

1 2

1 0 ... 0

0 1 ... 0

0 0 ... 1

n

n

n n

v v v v

v v v v

v v v v

Entonces las imágenes de cada uno de los vectores de la base B del espacio vectorial V vienen

dadas por,

.(*)

1 1 2 1 2 1

.(*)

2 1 2 1 2 2

.(*)

1 2 1 2

( ) 1 0 ... 0 1 0 ... 0

( ) 0 1 ... 0 0 1 ... 0

( ) 0 0 ... 1 0 0 ... 1

def de la función T

n n


n n


n n n n

T v T v v v w w w w

T v T v v v w w w w

T v T v v v w w w w

Luego,

1,..., : ( )i ii n T v w .

Finalmente mostraremos que es única la transformación lineal

1 1

: / ( ) n ndef

i i i i

i i

T V W T u T a v a w




En efecto, sea WVG : otra transformación lineal tal que

1,..., : ( )i ii n G v w .

probaremos que G = T, que es equivalente a probar que para cada vector u del espacio vectorial

V se verifica que la imagen de u a través de G y la imagen de u a través de T son iguales. Esto

es,

G = T )()( ; uTuGVu

En efecto,

(1) (2)1 1 1

; ( ) ( ) ( )n n n

i i i i i i

i i i

u V G u G a v a G v a w T u

Luego G=T, es decir T es única.

Referencia

(1) Por Proposición 3 de transformación lineal.

(2) Por definición (*) de la función T.

Q.E.D.

Nota

El Teorema precedente nos muestra que cualquier transformación lineal T de V en W queda unívocamente

determinada si se conocen las imágenes de los vectores de una base dada del espacio vectorial V.

§2.- Matriz asociada a una transformación lineal

Teorema

Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre el cuerpo F, y sea W un espacio vectorial de

dimensión m sobre F. Sea B una base de V y C una base de W. Para cada transformación lineal T de

V en W, existe una única matriz nmFA x , tal que

[ ] [ ]

Demostración

a) Sea 1 2{ , ,..., }nB v v v la base dada de V y sea 1 2{ , ,..., }mC w w w la base dada de W. Si T es

cualquier transformación lineal de V en W, entonces T está determinada por su efecto sobre los

vectores vj B (por el teorema anterior).

Es claro ver que

1 2( ), ( ),..., ( )nT v T v T v W , donde 1 2, ,..., nv v v son los vectores de la base B.




WVT :

Diagrama de Venn de las imágenes de los vectores de la base B de V

Luego, cada uno de los n vectores T(vj) se expresa de manera única como combinación lineal

de vectores de la base 1 2{ , ,..., }mC w w w de W . Es decir,

211 11 1 2 1 11

2 12 1 22 2 2 21

1 1 2 21

( ) ...

( ) ...

( ) ...

m

m m i ii

m

m m i ii

m

n n n mn m in ii

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

T v a w a w a w a w

(γ)

Asignamos a cada escalar ija doble subíndice, de modo tal que el primero está asociado a cada

vector de la base C y el segundo se corresponde con cada vector de la base B .

Es decir,

1 1 2 21

1,..., ; ( ) ...m

j j j mj m ij ii

j n T v a w a w a w a w

(δ)

Los m escalares aij son las coordenadas del vector T(vj) respecto a la base C de W. En

consecuencia, las coordenadas de estos vectores respecto de la base C de W son

111 12

21 22 2

1 2

1 2

( ) , ( ) , ..., ( )

n

n

nC C C

m m mn

aa a

a a aT v T v T v

a a a

por lo tanto, la transformación lineal T está determinada por los mxn escalares aij a través de (γ)

Construimos una matriz A cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores

1 2( ), ( ),..., ( )nT v T v T v respecto de la base C de W, esto es

V W

T(v1)

T(v2)

T

vn T(vn)

B

v2

v1

. . .

. . .




1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

A

nC C C

n

n

m m mn

T v T v T v

a a a

a a a

a a a

Es claro que la matriz A pertenece al espacio vectorial . Además, es única debido a la

unicidad de las coordenadas aij.

La matriz A se denomina “matriz asociada a T respecto al par de bases B y C”.

b) Probaremos ahora que

; ( )C B

x V T x A x .

Es decir, veremos cómo la matriz A determina la transformación lineal T.

Si Vx , entonces existen y son únicos 1 2, ,..., nx x x F tales que x se escribe como

combinación lineal de vectores de la base B de V, es decir

1 1 2 21

...n

n n j jj

x x v x v x v x v

por lo que el vector de coordenadas del vector x respecto a la base B viene dado

1

2

B

n

x

xx

x

Calculamos T(x),

(1) (2) (3) (4)1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ( ) )n n n m n m

j j j j j ij i j ij ij j j i j i

T x T x v x T v x a w x a w

(4) (5) (3)1 1 1 1 1 1

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) n m m n m n

j ij i j ij i j ij ij i i j i j

F FF

x a w x a w x a w

Es decir,

∑(∑

)

O bien,

(∑

) (∑

) (∑

)




Observemos que está expresado como una combinación lineal de vectores de la base de

, y las m coordenadas del vector son

∑

∑

∑

luego el vector de coordenadas de T(x) respecto de la base C de W es

1111

2 21 1

1 1

1

2( ) ( )

nn

j jj jjj

n

j j j jj j

n n

j mj mj jj j

i a xx a

nx a i a x

T x T xc c

x a a xi m

( )

Referencias

(1) Por Proposición 3 de transformaciones lineales.

(2) Por ( ).

(3) Por propiedad distributiva del producto por escalares respecto a la suma finita de vectores de W.

(4) Por axioma de espacio vectorial (5) Por propiedad de las sumas finitas.

Calculamos ahora B

A x .

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1matriz de tipo

A

n

n

m m mn n

B

nm n

a a a x

a a a xx

a a a x

11

11 1 12 2 1

221 1 22 2 21

1 1 2 2

1

...

... ( )

...

n

j jj

n nn

j jn nj

nm m mn n

mj jj

a x

a x a x a x

a xa x a x a x

a x a x a xa x

De ( ) y ( ) se sigue que ; ( )C B

x V T x A x .

Q.E.D.

Nota

La matriz asociada representa a la transformación lineal en las bases B y C.




Ejemplo

Sea la transformación lineal 3 2:T R R / ( , , ) ( , )T x y z x z y z y sean las bases

1,0,0 ,(1,1,0), (1,1,1)B de 3R

1,0 ,(0,2)C de 2R

Para obtener la matriz asociada a T respecto de las bases B y C se procede como en (γ)

21

22

23

1 11

2 12

3 13

( ) (1,0,0) 1,0 (1,0) (0,2)

( ) (1,1,0) 1,1 (1,0) (0,2)

( ) (1,1,1) 0,2 (1,0) (0,2)

T v T a a

T v T a a

T v T a a

desarrollando los últimos miembros e igualando, se obtienen los sistemas de ecuaciones lineales

11

21

=1

2 0

a

a

por lo que 11 21=1, = 0a a

12

22

=1

2 1

a

a

por lo que 12 22

1=1, =

2a a

13

23

=0

2 2

a

a

por lo que 13 23= 0, = 1a a

luego la matriz asociada a T respecto de las bases B y Ces

11 12 13 2 3

21 22 23

1 1 0

A 10 1

2

a a aR

a a a

§3.- Transformación lineal asociada a una matriz

Proposición

Sea un cuerpo. Si entonces la función

definida por es

una transformación lineal del espacio vectorial en el espacio vectorial

.

Demostración

Probaremos que

es una transformación lineal

i) 1

(1) (2) (3), ( ) ( ) ( ) ( )nX Y F T X Y A X Y AX AY T X T Y

Referencias

(1) Por definición de T.

(2) Por distributividad del producto de matrices respecto a la suma de matrices





ii) 1

(1) (2) (3)( ) ( ) ( ) ( )na F X F T aX A aX a AX aT X

Referencias


(2) Por propiedad del producto de escalar por matriz


Luego por i) y ii)T es una transformación lineal.

Q.E.D.

Notas

1.- Dada una matriz queda asociada a ella, de modo natural, una transformación lineal

definida por

2.- Observemos que aquí el vector por lo que es igual al vector de coordenadas de X respecto a la base

canónica del espacio vectorial y de igual manera, el vector

es igual al vector de coordenadas de

respecto a la base canónica del espacio vectorial , por lo tanto la igualdad nos indica que la

matriz es la matriz asociada a respecto a las bases canónicas de los espacios y

.

Ejemplo

Sea la matriz 3 2

1 3

A 0 2

1 0

R

, entonces queda asociada a ella la transformación lineal

2 1 3 1:T R R definida por ( )T X AX , es decir

1 3 3

0 2 2

1 0

x yx x

T yy y

x

--°--°--°--°--

Álgebra ii (lsi – pi) - galeon.comgaleon.com/algebralineal/algii_inform/unidad5.pdf · facultad...

Documents