Control Estadstico de ProcesosConceptos Estadsticos Fundamentales

Conceptos FundamentalesHasta ahora hemos visto el caso de fenmenos o experimentos cuyo espacio muestral asociado tiene un nmero pequeo de elementos.Esto nos sirvi para introducir la nocin de probabilidad.

Conceptos FundamentalesPero en muchos casos es necesario trabajar con experiencias o procesos que generan un nmero muy grande de datos o resultados numricos, es decir, espacios muestrales con un nmero infinito o muy grande de elementos.

Conceptos FundamentalesCuando tenemos un conjunto muy grande de datos numricos para analizar decimos que tenemos un Universo o Poblacin de observaciones.

Conceptos Fundamentales292626313230272825293230292728303031313030312731282932333334312930Poblacin o Universo

Conceptos FundamentalesCada dato numrico es un elemento de la poblacin o universo.Una Muestra es un subconjunto pequeo de observaciones extradas de un universo o poblacin.

Conceptos Fundamentales29262631323027282529323029272830303131303031273128293233333431293030Poblacin o UniversoExtraemos un dato de la Poblacin

Conceptos Fundamentales2926263132302728252932302927283030313130303127312829323333343129302829313034Poblacin o UniversoMuestra de 5 datos

Conceptos FundamentalesLa Estadstica trabaja con poblaciones de datos y con muestras extradas de las mismas.

Conceptos FundamentalesLos conceptos de poblacin y muestra a veces resultan ambiguos en su aplicacin prctica.

Conceptos FundamentalesPor ejemplo, supongamos que en una ciudad de 5000 habitantes se realiza un censo mdico en el cual se mide el peso, la altura y se relevan otros datos de todos los habitantes de la ciudad.

Conceptos FundamentalesAlguien podra referirse al universo o poblacin censada teniendo in mente el conjunto de los habitantes de la ciudad. Pero cuando hablamos en trminos estadsticos, nos referimos a poblaciones o universos de datos.

Conceptos FundamentalesPor ejemplo, el conjunto de todas las mediciones de altura (De los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o poblacin de datos desde el punto de vista estadstico.

Conceptos FundamentalesOtro universo o poblacin de datos son los pesos medidos (De los habitantes de la ciudad). Pero la poblacin de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la poblacin a la que nos estamos refiriendo desde el punto de vista estadstico.

Conceptos FundamentalesSupongamos que en una empresa se fabrica un lote muy grande, digamos 10 toneladas de un producto qumico, y un tcnico debe controlar la calidad del mismo.

Conceptos FundamentalesEl tcnico toma una pequea porcin, por ejemplo, 100 gramos y dir que tom una muestra del producto para analizar en el laboratorio.

Conceptos FundamentalesHasta el momento, la muestra no fue analizada y por lo tanto no tenemos ningn dato numrico.

Conceptos FundamentalesCuando el laboratorio efecta algn ensayo en la muestra y obtiene un resultado numrico, recin ah tenemos un dato que puede ser analizado desde el punto de vista estadstico.

Conceptos FundamentalesVamos a suponer hipotticamente que el tcnico contina sacando otras muestras del producto, hasta agotar el lote y cada una es ensayada en el laboratorio, el cual nos da los resultados.

Conceptos FundamentalesComo tenamos 10 ton. de producto y las muestras son aproximadamente de 100 gr., el tcnico seguramente extraer alrededor de 100000 muestras y el laboratorio nos entregar alrededor de 100000 resultados. Este conjunto de datos numricos es nuestro universo o poblacin de datos.

Conceptos FundamentalesSi nosotros tomamos al azar 10 de esos resultados, podemos decir que tenemos una muestra de 10 elementos de ese universo o poblacin.

Conceptos FundamentalesNo debemos confundir esta muestra (Desde el punto de vista estadstico) con la muestra de material que extrajo el tcnico para ser analizada en laboratorio.

Conceptos FundamentalesAhora bien, nuestro universo o poblacin de datos a veces no existe en la realidad, sino que es un concepto o abstraccin que utilizamos para referirnos al universo o poblacin que hipotticamente podra existir.

Conceptos FundamentalesVeamos el ejemplo anterior. Supongamos que el tcnico toma solamente 5 muestras y las enva para analizar al laboratorio.

Conceptos FundamentalesEl laboratorio nos enviar slo 5 resultados, y nosotros diremos que tenemos una muestra de datos extrada del universo o poblacin de datos total.

Conceptos FundamentalesY estamos pensando en el universo o poblacin que tendramos si se hubieran extrado y analizado las 100000 muestras de material.

Conceptos FundamentalesMuchas veces resulta difcil imaginarse cual es el universo del cual extrajimos los datos.

Conceptos FundamentalesSupongamos que tenemos una mquina que produce piezas de plstico en serie y un tcnico toma 5 piezas sucesivas y les mide la altura con un calibre. Tenemos, entonces, 5 resultados, es decir una muestra de 5 elementos.

Conceptos FundamentalesCul es el universo al cual pertenece esa muestra de datos?.

Conceptos FundamentalesDebemos imaginar lo siguiente: Si la mquina continuara trabajando en las mismas condiciones (Es decir, a la misma velocidad, con las mismas materias primas, a la misma temperatura, manejada por el mismo operario, etc.) ...

Conceptos Fundamentales... y a cada pieza que produce se le mide la altura tendramos un conjunto muy grande de resultados numricos.

Conceptos FundamentalesEse conjunto muy grande de resultados numricos que no existe, pero que podra obtenerse en esas condiciones es el universo o poblacin del cual extrajimos la muestra de 5 observaciones.

Conceptos FundamentalesVeamos otro ejemplo. Supongamos que el sindicato de la industria textil desea saber cual es el sueldo promedio que gana un operario en esa industria.

Conceptos FundamentalesEntonces, encarga una encuesta a una empresa especializada, que entrevista a 20 operarios de la industria textil y averigua sus salarios.

Conceptos FundamentalesEstos datos son una muestra de 20 observaciones del universo o poblacin formado por los salarios de todos los operarios de la industria textil del pas.

Conceptos FundamentalesAunque el encuestador no disponga de esos datos, sabemos que existen miles de operarios que ganan un salario determinado y por lo tanto podemos hablar de un universo o poblacin cuyos elementos son los salarios de los operarios de la industria textil en el pas.

Conceptos FundamentalesAdems, esa poblacin de datos es seguramente diferente de la poblacin de salarios de los operarios de la industria textil chilena o brasilea (Usando una misma moneda de referencia).

Conceptos FundamentalesQu representa una Poblacin de datos?

Conceptos FundamentalesEl anlisis estadstico de una poblacin o universo de datos tiene como objetivo final descubrir las caractersticas y propiedades de aquello que gener los datos.

Conceptos FundamentalesPor ejemplo, se tiene una poblacin de escolares (Poblacin fsica, poblacin humana) y se les mide la altura.

Conceptos FundamentalesEl conjunto de datos de altura constituye una poblacin o universo estadstico. El anlisis de estos datos de altura (Universo estadstico) sirve para caracterizar y estudiar a la poblacin de estudiantes (Que no es una Poblacin estadstica).

Conceptos FundamentalesSupongamos que un instituto dedicado a estudios econmicos ha realizado una encuesta de ingresos en el pas. El universo de datos generados por la encuesta sirve a los fines de caracterizar a la poblacin fsica, a la poblacin real del pas, desde un punto de vista econmico.

Conceptos FundamentalesPoblacin realSalarios800 $1250 $950 $2150 $1780 $1340 $1500 $2100 $...

Poblacin estadstica

Conceptos FundamentalesUn ingeniero controla un proceso industrial, que genera a diario muchos lotes de un producto (Poblacin de lotes). Para cada lote se mide una caracterstica de calidad, obtenindose una gran cantidad de resultados numricos (Poblacin de datos).

Conceptos FundamentalesResultados NumricosMuestraMedicinProcesoProducto

Conceptos FundamentalesEl ingeniero realiza esta tarea no porque est interesado en jugar con nmeros, sino porque a travs de los datos numricos obtenidos se puede evaluar el comportamiento del proceso, que es lo que realmente le interesa.

Conceptos FundamentalesEntonces, es importante destacar que detrs de un universo o poblacin de datos se encuentra una poblacin fsica subyacente, formada por elementos de la realidad que nos rodea, de la cual, a travs de algn tipo de medicin, se obtuvieron los datos numricos.

Conceptos FundamentalesEs esa poblacin fsica subyacente (Elementos de la realidad, seres humanos, lotes de material, etc.) la que deseamos estudiar y caracterizar por medio del anlisis estadstico de los datos obtenidos.

Conceptos FundamentalesLa poblacin estadstica est representando, entonces, una poblacin fsica o natural formada por elementos de la realidad, con respecto a una caracterstica o propiedad de esa poblacin fsica.

Conceptos FundamentalesEs muy importante, al utilizar mtodos estadsticos, no confundir la poblacin fsica, formada por elementos de la realidad que estamos estudiando, con la poblacin o universo de datos generados a partir de la primera.

Conceptos FundamentalesDe aqu en adelante, cuando utilicemos los trminos poblacin o universo sin otro aditamento nos estaremos refiriendo a poblacin o universo de datos numricos (Tambin llamados observaciones o mediciones o valores).

Conceptos FundamentalesLa Distribucin de Frecuencias

Conceptos FundamentalesVimos que una Poblacin o Universo de datos es un conjunto muy grande de nmeros. Estos nmeros pueden estar en un gran listado o puede ser un conjunto hipottico, es decir, podemos imaginar los nmeros pero no los tenemos realmente.

Conceptos FundamentalesUna gran tabla de nmeros ordenados al azar prcticamente no nos muestra informacin acerca de la poblacin de datos.

Conceptos FundamentalesSuponiendo que disponemos de los datos del universo Cmo podemos clasificar y ordenar los nmeros para obtener ms informacin acerca de ese universo de datos?

Conceptos FundamentalesUna forma sera escribir los nmeros desde el menor hasta el mayor y colocar encima de cada uno tantas cruces como veces que figure repetido en la poblacin:

Conceptos Fundamentales29262631323027282529323029272830303131303031273128293233333431293024 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Poblacin o Universo

Conceptos Fundamentales... o utilizar cuadraditos en vez de cruces:

Conceptos Fundamentales29262631323027282529323029272830303131303031273128293233333431293024 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35Poblacin o Universo

Conceptos FundamentalesEl nmero de veces que aparece repetido cada dato es la frecuencia de dicho valor.La representacin grfica que hemos visto se denomina Distribucin de Frecuencias de la poblacin.

Conceptos FundamentalesLa representacin grfica nos permite ver informacin que antes no apareca tan evidente. Por ejemplo, sin hacer ningn clculo nos damos cuenta donde est aproximadamente el promedio de la poblacin:

Conceptos Fundamentales29262631323027282529323029272830303131303031273128293233333431293024 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35Poblacin o UniversoPromedio

Conceptos FundamentalesTambin nos muestra cuales son los valores mximo y mnimo de la poblacin, es decir, el rango:

Conceptos Fundamentales292626313230272825293230292728303031313030312731282932333334312930Rango

Conceptos FundamentalesEn el caso anterior, los datos de la poblacin son nmeros enteros.

Conceptos FundamentalesCuando los nmeros no son enteros o cuando tenemos un nmero muy grande de datos, se divide el rango total en subintervalos y se cuenta el nmero de valores que cae dentro de cada subintervalo.

Conceptos FundamentalesVamos a suponer, ahora, que tenemos una cierta poblacin de N = 500 datos, por ejemplo el peso de varones adultos de 40 aos.

Conceptos FundamentalesUna manera de caracterizar esta poblacin es construir una distribucin de frecuencias o grfico de frecuencias. Para ello seguimos los pasos siguientes:

Conceptos Fundamentales1) Tomamos nota del valor mximo y el valor mnimo de la serie de datos que estamos considerando.

Conceptos Fundamentales2) Subdividimos el intervalo entre el mximo y el mnimo en algn nmero de intervalos (15 20) mas pequeos iguales entre s.

Conceptos Fundamentales3) Contamos el nmero de datos que encontramos dentro de cada intervalo (Frecuencia). Por ejemplo, supongamos que en el intervalo i hay ni observaciones (S ni = N).

Conceptos Fundamentales4) Para construir el grfico, colocamos en el eje de abcisas (Horizontal) los intervalos y levantamos en cada intervalo un rectngulo de altura proporcional al nmero ni de datos dentro del mismo.

Conceptos FundamentalesSi hacemos el rea del rectngulo levantado sobre el intervalo i-simo igual a la frecuencia relativa ni/N, el rea total bajo el histograma ser igual a la unidad:

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Conceptos FundamentalesObtenemos as una representacin grfica (Llamada tambin histograma) que nos muestra la distribucin de frecuencias de la poblacin.

Conceptos FundamentalesEsta distribucin de frecuencias nos muestra las caractersticas de una poblacin, por ejemplo, si hay resultados que son mas frecuentes que otros.

Conceptos FundamentalesNos muestra si los valores estn ubicados alrededor de un valor central, si estn muy dispersos o poco dispersos. Podemos observar que fraccin de todas las mediciones cae por ejemplo, entre 70 y 80 Kg. (Zona rayada en el grfico):

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Conceptos FundamentalesSi elegimos una persona del grupo y la pesamos, el resultado es un dato que pertenece a la poblacin de datos representada en el grfico. Decimos, entonces, que estamos extrayendo un dato de la poblacin de datos.

Conceptos FundamentalesPero hay distintas maneras de elegir la persona, es decir, distintas maneras de realizar la extraccin del dato.

Conceptos FundamentalesSi nos paramos frente al grupo y elegimos una persona, estaremos seleccionando al ms gordo, al ms flaco o al ms alto (y por lo tanto pesa ms que otros), de acuerdo a criterios subjetivos que no podemos evitar.

Conceptos FundamentalesEn cambio, si escribimos los nombres de todas las personas en una etiqueta, metemos todas las etiquetas en una caja y luego le pedimos a alguien que retire una etiqueta, la seleccin no estar influda por nuestra subjetividad. En este caso, decimos que la extraccin es aleatoria.

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Conceptos FundamentalesUna extraccin aleatoria es aquella en que cada miembro de la poblacin tiene la misma posibilidad de ser elegido. Supongamos que realizamos una extraccin aleatoria de la poblacin antedicha y obtenemos el valor y.

Conceptos FundamentalesEntonces:1) La probabilidad P(y

2) La probabilidad P(y>70) de que y sea mayor que 70 Kg. es igual al rea del histograma a la derecha de 70 Kg.Conceptos Fundamentales

3) La probabilidad P(y>70, y