unidad 2 cinemática
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Cinemática: Magnitudes cinemáticas
Unidad 2
I.E.S. Miguel Romero Esteo
Curso 2010/2011
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Contenidos (1)
1.- Introducción.
2.- Magnitudes escalares y vectoriales.
3.- Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.
4.- Operaciones con vectores.
5.- Trayectoria, posición y desplazamiento.
6.- Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada).
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Contenidos (2)
7.- Aceleración media e instantánea.
8.- Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal..
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Magnitudes escalares y vectoriales
• Escalares:Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad– Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.
• Vectoriales (vectores):Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:– Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud
del vector. Es la parte escalar.– Dirección: es la recta que contiene el vector.– Sentido: indicado por la punta de la flecha.– Punto de aplicación: origen de la flecha.– Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...
REPASO
REPASO
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Sistema de referencia y movimiento• Un objeto se encuentra en movimientomovimiento si cambia su
posición respecto al sistema de referencia.
• Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):
– i sobre el eje x– j sobre el eje y – k sobre el eje z
jx
y
z
ik
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Vectores
• Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud.
• Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas:
• a = ax · i + ay · j + az · k
• A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y diferente color para mayor comodidad:
• a = ax · i + ay · j + az · k
• en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.
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• Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · k b = bx · i + by · j + bz · k
• El vector suma vendrá dado por:a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k
• Ejemplo: Sean a = 3 i + 2 j
b = 2 i – 3 j
a + b = (3+2) i + (2 –3) j
= 5 i – j
y
x
5
Suma de vectores
a
b
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Cálculo del módulo de un vector.
• Sean un vector: a = ax · i + ay · j + az · k
• El módulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:
____________ |a| = ax
2 + ay2 + az
2
• Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j
____________ ____________ ___|c| = cx
2 + cy2 + cz
2 = 52 + (–1)2 + 02 = 26
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Vector Posición ( r = r) .
• Para un punto P de coordenadas (x,y,z)el vector posición viene dado por:
• r = x · i + y · j + z · k
r = 2 i + 2 j
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Ecuación del movimiento
• La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación del movimientoecuación del movimiento”:
r(t) = x(t) · i + y(t) · j +z(t) · k
• Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t · i + (1–t) · j + (3t2+4) · k] m
• En el S.I. la unidad será el m.
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10
y
x
5
5 10
Ejercicio: Sea el movimiento definido por la siguiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.
t (s) r (m)
0 8 j (0,8)
2 4 i + 8 j (4,8)
4 8 i + 8 j (8,8)
6 12 i + 8 j (12,8)
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Ecuaciones paramétricas.• Son las ecuaciones que relacionan cada
componente cartesiana con el tiempo.
x = f(t); y = g(t); z = h(t)
• Son ecuaciones escalares (no vectores).
• Ejemplo: Ejemplo: En el vector:
r(t) = [2t·i + (1–t) ·j + (3t2+4)·k] m
las ecuaciones paramétricas serían:
x = 2t ; y = 1 – t ; z = 3t2 + 4
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Trayectoria
• Es la línea que sigue el movimiento.
• Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a “t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).
x
y
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Ecuaciones de la trayectoria.• Se obtienen despejando el parámetro (tiempo) en una
ecuación y sustituyendo el valor en la otra.• Son ecuaciones escalares (no vectores).• Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [(2t+3)·i + t2·j ] m
x = 2t+3 ; y =t2
t = x-3 y = x-3 2
2 2• Expresión que corresponde a la ecuación de la trayectoria
de una parábola.
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Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m
Ecuaciones paramétricas:
x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3
Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2
Y sustituyendo en la segunda:
y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3
y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3
y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3
Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13
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Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.
Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.
t (s) r(t) (m) r(t) (m) ———
0 – 6 j (–6)2 = 6,00 ————
2 6 i + 2 j 62 + 22 = 6,32 ——————
4 12 i + 26 j 122 + 262 = 28,64 ——————
6 18 i + 66 j 182 + 662 = 68,41Despejando “t” de x = 3 t t = x/3, y sustituyendo en
y = 2 t2 – 6 queda:
y = 2(x/3)2 – 6; y = 2xy = 2x22/9 – 6/9 – 6
17Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).
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y
x
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5 10 15
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Vector desplazamiento (r = r) Vector desplazamiento (r = r) • Es el vector diferencia de dos vectores de posición en dos
momentos distintos.
• Sean r0 = x0 i + y0 j + z0 ky r1 = x1 i + y1 j + z1 kDos vectores posición.
r = r1 – r0 = (x1–x0) i + (y1–y0) j + (z1–z0) k= = x i + y j + z k
• En el S.I. la unidad será el m.
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Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.
Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.
r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) mr2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m
r = r2 – r1 = x i + y j + z k = = [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m
r = (6 i + 24 j) m ———– ———–
r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m 24,74 m
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Velocidad media (vm = vm)
Velocidad media (vm = vm)
• r x i + y j + z k vm = — = ————————
t t
• x y z vm = —— i + —— j + —— k
t t t
vm = vmx i + vmy j + vmz k
• El módulo del vector vm toma el valor:
——————— vm= vmx
2 + vmy2 + vmz
2
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Velocidad media (continuación)
• La dirección y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento r ya que t es un escalar.
• En el S.I. la unidad será el m/s.
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Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m
r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m
r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m
r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m
r (42 i – 12 j) m vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s
t 5 s – 2 s
————————— vm (2s5s)= (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s
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Velocidad instantánea (v = v)
Velocidad instantánea (v = v)
• Es el valor límite que toma la velocidad media cuando los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.
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Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v
Componentes cartesianas de la velocidad instantánea v
r x i + y j + z k v = lim — = lim ————————
t0 t t0 t
dr dx dy dz v = —— = —— i + —— j + —— k
dt dt dt dt
v = vx i + vy j + vz k
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Velocidad instantánea (cont.)• La dirección de v es tangente a la trayectoria en
el instante en el que calculemos la velocidad.
• El sentido es el del movimiento.
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Ejemplo: Calcular la expresión del vector velocidad del vector de posición r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j]m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
v = dr/dt = 3 i + 4t j• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j
t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) —
0 3 i 32 = 3 ———
2 3 i + 8 j 32 + 82 = 8’54 ———–
4 3 i + 16 j 32 + 162 = 16’28 ———–
6 3 i + 24 j 32 + 242 = 24’19
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Aceleración media (am = am)
• La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad con el tiempo.
v vx i + vy j + vz k am = — = —————————
t t
am = amx i + amy j + amz k
• En el S.I. la unidad será el m/s2.
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Aceleración instantánea (a = a).
v vx i + vy j + vz k a = lim — = lim —————————
t0 t t0 t
dv dvx dvy dvz a = —— = —— i + —— j + —— k dt dt dt dt
a = ax i + ay j + az k
• La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad v ya que t es un escalar.
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Ejemplo: Calcular la expresión del vector aceleración del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.
• Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j
• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j• Ecuación de la aceleración: a = dv/dt = 4 j
• Para todos los valores de tiempo a = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de “t”.
—a= 42 m/s2 = 4 m/s2
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Componentes intrínsecas de la aceleración
• Únicamente en los movimientos rectilíneos a tiene la misma dirección y sentido que v.
• En general, a tiene una dirección y sentido hacia dentro de lacurva, con lo que normalmente se descompone en dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.
31Componentes intrínsecas de la aceleración (at y an)
a = at + an = at ·ut + an·un siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleración.
dv v2 at=at= —— ; an=an= —— dt R
siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.
Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R
———Igualmente llamamos a = a= at
2 + an2
32Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a)a) la aceleración tangencial; b)b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s.
a)a) dv at = —— = 7 m/s2 dt aat t = 7 ut m/s2 b)b) v2 49 t2 m2·s-2
an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2
R 1000 m
an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; aan n = 1,76 un m/s2
———— —————a (t= 6) = at
2 + an2 = 72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2