unidad 1. teorÍa de probabilidades

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Elaborado por: Ing. Juan M. Brett M.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LA FUERZA ARMADA

NÚCLEO FALCON - EXTENSIÓN PUNTO FIJO

ASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

3er SEMESTRE. (ING. DE PETRÓLEO). SECCIONES A Y B

UNIDAD I

TEORÍA DE PROBABILIDADES

1. Definición de términos básicos:

(a) Estadística: es una ciencia con base matemática referente a la recolección, análisis e

interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo

aleatorio.

(b) Variables: es una característica que puede ser medida, adoptando diferentes valores en

cada uno de los casos de un estudio.

(c) Variables cualitativas: son aquellas para las cuales no es posible hacer mediciones

numéricas. Expresan un atributo o característica, como por ejemplo, rubio, moreno…

(d) Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades

numéricas. Las variables cuantitativas pueden ser:

* Discretas: aquellas que entre dos valores próximos pueden tomar a lo sumo un número

finito de valores; como por ejemplo, el número N de hijos en una familia pueden ser los

valores 0, 1, 2, 3, 4,…

* Continuas: son las que pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo

especificado de valores. Por ejemplo el peso de un bebé recién nacido (3,3 kg; 3,4 kg;

3,5 kg,...) o la altura de un individuo (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), dependiendo de la exactitud

de la medida.

EJEMPLO Nº 1: Diga si la variable es continua o discreta en cada uno de los siguientes

casos.

- Número G de litros de agua en una máquina de lavar

0 litros hasta la capacidad de la máquina (continua)

- Número B de libros en un estante de librería

0, 1, 2… hasta la máxima capacidad del estante (discreta)

- Suma S de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados

2, 3, 4… hasta la máxima capacidad del estante (discreta)

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- Diámetro D de una esfera

El diámetro de la esfera puede ir desde 0 en adelante (continua)

- Países C de Europa

Inglaterra (1), Francia (2), España (3), etc. (discreta)

- Tiempo T de vuelo de un proyectil

El tiempo va de 0 en adelante (continua)

- Estado Civil E de un individuo

Casado (1), divorciado (2), soltero (3), viudo (4) (discreta)

- Número P de pétalos de una flor

(discreta)

(e) Población o universo: es el conjunto de elementos, individuos o entes sujetos a estudio y

de los cuales se desea obtener un resultado. Por ejemplo, del universo de pacientes de un

hospital, una población estaría dada por el conjunto de las edades de esas personas, sus tallas,

sus pesos, etc.

(f) Muestra: es una parte de la población (en algunos casos, una muestra puede incluir la

población entera), por lo general se trata de usar la información de muestra para hacer

inferencias acerca de una población.

(g) Toma o recolección de datos: es la obtención de una colección de los mismos que no han

sido ordenados numéricamente.

2. Experimentos aleatorios y no aleatorios: se llama experimento aleatorio a aquel que cada

vez que se realiza, hay un conjunto determinado de resultados posibles, pero en ningún caso es

posible predecir el resultado del experimento. Ejemplo: se arroja un dado y se anota el

resultado; en un grupo de 10 alumnos, se cuenta cuántos de ellos tienen ojos azules; se arroja

un dardo sobre una superficie plana y se observa la marca dejada.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama

espacio muestral.

En los experimentos no aleatorios, es posible predecir el resultado. Ejemplo: se invierte

un recipiente sin tapa, que contiene líquido, se deja caer un objeto desde cierta altura y se

calcula el tiempo que tarda en tocar el piso (esto puede calcularse con la fórmula

correspondiente y predecir el resultado).

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3. Definición de espacio muestral: es el conjunto formado por todos los resultados posibles

de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra E.

EJEMPLO Nº 2: Determine el espacio muestral en cada experimento.

- Al arrojar un dado.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (conjunto finito)

- Un grupo de diez alumnos.

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (conjunto finito)

- Lanzamiento de una moneda.

E = {cara, sello} ó E = {c, s}

- Una caja contiene tres tarjetas blancas y 5 rojas. Seleccione muestra de tamaño 2.

3 tarjetas blancas E = {(1B, 1B), (1B, 1R), (1R, 1B), (1R, 1R)}

5 tarjetas rojas

- Lanzamiento de dos dados.

E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5),

(3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}

En algunos experimentos será de utilidad anotar sistemáticamente los elementos del

espacio muestral por medio de un diagrama de árbol.

EJEMPLO Nº 3: Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire. Si en la

primera ocasión sale sello, entonces se arroja el dado una vez; si sale cara, se vuelve a lanzar

la moneda. Realice un diagrama de árbol para dicho experimento y determine el espacio

muestral.

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EJEMPLO Nº 4: Suponga que se seleccionan en forma aleatoria tres artículos de un

proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos como defectuoso (D) o no defectuoso

(N). Construya el diagrama de árbol para este experimento, enlistando los elementos del

espacio muestral de tal manera que se registre la mayor información.

4. Eventos: un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un

conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

EJEMPLO Nº 5: Considere el espacio muestral de lanzar un dado. Represente el

evento denotado con la letra A, suponiendo que el resultado sea un número divisible entre

tres.

Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; entonces el subcojunto es A = {3, 6} de dicho espacio muestral.

EJEMPLO Nº 6: En el EJEMPLO Nº 4, suponga que el número de artículos

defectuosos fuese mayor que 1. Represente el evento denotado con la letra B.

Sea E = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}; entonces el subconjunto

B = { DDD, DDN, DND, NDD}

Es posible que un evento sea un subconjunto que incluya el espacio muestral E en su

totalidad, o que un subconjunto de E, llamado conjunto nulo y representado por el símbolo ,

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no contenga elemento alguno. Por ejemplo, si A es el evento de detectar un organismo

microscópico a simple vista en un experimento biológico, entonces A = .

El complemento de un evento A con respecto a E es el conjunto de todos los elementos de E

que no están en A. Denotamos el complemento de A por el símbolo A’.

EJEMPLO Nº 7: Se tienen los siguientes espacios muestrales y sus respectivos

eventos. Determine el complemento de dichos eventos.

- E es un paquete de 52 cartas de juego y R el evento de que se seleccione una carta roja

R’ es entonces el evento de que la carta que se escoge sea negra y no roja.

- E es la clasificación de un individuo como: no fumador, ligeramente fumador, fumador

moderado o fumador empedernido y A es el subconjunto de fumadores.

A’ es entonces el evento de clasificar a un individuo como los no fumadores.

La intersección de dos eventos A y B, que se representa por el símbolo A ∩ B, es el evento

que contiene a todos los elementos comunes a A y a B.

EJEMPLO Nº 8: Sea P el evento de que una persona que se selecciona al azar entre

las que comen en un restaurante y cumplen con el pago de sus impuestos, y sea Q el evento de

que dicha persona sea mayor de 65 años. Determine el evento P ∩ Q.

El evento P ∩ Q es el conjunto de todas las personas que se encuentran en un

restaurante, que pagan sus impuestos y que son mayores de 65 años de edad.

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si A ∩ B = , esto es, si A y B no tienen

elementos en común

EJEMPLO Nº 9: Sea M = {a, e, i, o, u} y N = {r, s, t}. Determine el evento

M ∩ N.

M ∩ N = , ya que M y N no tienen elementos en común y, por lo tanto, no pueden

ocurrir simultáneamente.

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La unión de los dos eventos A y B, que se representa por el símbolo A B, es el evento que

contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

EJEMPLO Nº 10: Determine el evento A B en cada caso que se plantea:

- Sea A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}.

A B = {a, b, c, d, e}

- Sea A = {x | 3 < x < 9} y B = {y | 5 < y < 12}

A B = {z | 3 < z < 12}

Es posible extraer gráficamente la relación entre eventos y el espacio muestral

correspondiente por medio de diagramas de Venn. En éstos el espacio muestral se representa

como un rectángulo y los eventos con círculos que se dibujan dentro del mismo.

Figura Nº 1. Eventos representados por varias regiones

EJEMPLO Nº 11: Utilizando la Figura Nº 1, indique cuáles regiones pertenecen a los

siguientes eventos: (a) A B; (b) B C; (c) A C; (d) B’ A; (e) A B C;

(f) (A B) C’

(a) A B = regiones 1 y 2

(b) B C = regiones 1 y 3

(c) A C = regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 7

(d) B’ A = regiones 4 y 7

(e) A B C = región 1

(f) (A B) C’ = regiones 2, 6 y 7

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5. Probabilidad de un evento: la posibilidad de que se presente un evento resultante de un

experimento estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamados pesos

o probabilidades que caen en el rango de 0 a 1. A cada punto en el espacio muestral se le

asigna una probabilidad, tal que la suma de todas las probabilidades es 1. Si se tiene la razón

para creer que un cierto punto muestral tiene una gran posibilidad de ocurrir cuando el

experimento se lleva a cabo, la probabilidad que se le asigne deberá ser cercana a 1. Por el

contrario, se le asigna una probabilidad cercana a 0 a un punto muestral que es muy posible

que no ocurra. En muchos experimentos, tales como lanzar una moneda o un dado, todos los

puntos muestrales tienen la misma oportunidad de presentarse y se les asignan probabilidades

iguales. A los puntos fuera del espacio muestral, esto es, a los eventos simples que no es

posible que se den se les asigna una probabilidad de cero.

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales de A.

Por lo tanto,

EJEMPLO Nº 12: Una moneda se lanza dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad

de que caiga cuando menos una vez en cara?

EJEMPLO Nº 13: Se carga un dado de tal manera que un número par tiene el doble

de posibilidades de presentarse que un impar. Si E es el evento en el que se da un número

menor que 4 en un solo lanzamiento, encuentre P(E).

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EJEMPLO Nº 14: En el EJEMPLO Nº 13, sea A el evento de que el dado caiga en un

número par y B el evento de que resulte uno divisible entre 3. Encuentre P(A B) y P(A B)

Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes igualmente factibles, y si

exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad de éste

último es:

EJEMPLO Nº 15: Una mezcla de dulces contiene 6 mentas, 4 chiclosos y 3

chocolates. Si una persona realiza una selección al azar de uno de ellos, encuéntrese la

probabilidad de obtener: (a) una menta o (b) un chicloso o un chocolate.

6. Reglas aditivas: frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad de algún evento a

partir de las probabilidades de otros. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión puede

representarse como la unión de otros dos eventos o como el complemento de alguno.

Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

* Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A B) = P(A) + P(B)

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* Si A1, A2, A3,…, An son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

* Si A1, A2,…, An es una partición de un espacio muestral E, entonces:

P(A1 A2 … An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)

= P(E)

= 1

Para tres eventos A, B y C

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) – P(A C) – P(B C) + P(A B C)

EJEMPLO Nº 16: La probabilidad de que Paula apruebe Matemáticas es de 2/3 y la

de que apruebe inglés es de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de ¼,

¿cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos?

EJEMPLO Nº 17: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se

lanza un par de dados?

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EJEMPLO Nº 18: Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo

automóvil, seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son respectiivamente 0.09, 0.15, 0.21

y 0,23 ¿cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos

colores?

Si A y A’ son eventos complementarios, entonces:

P(A) + P(A’) = 1

EJEMPLO Nº 19: Si las probabilidades de que un mecánico automotriz repare 3, 4, 5,

6, 7, 8 o más vehículos en un día hábil cualquiera de la semana son, respectivamente, 0.12,

0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07, ¿cuál es la probabilidad de que le dé servicio al menos a 5

carros el siguiente día de trabajo?

7. Probabilidad condicional: a la probabilidad de que un evento B se dé cuando se sabe que

algún otro evento A se ha presentado se llama probabilidad condicional y se le escribe

P(B |A). Esta expresión, por lo común, se lee “la probabilidad de que B ocurra dado que

ocurrió A”, o simplemente “la probabilidad de B, dado A”.

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EJEMPLO Nº 20: Suponga que el espacio muestral S es la población de adultos en un

pequeño pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben

clasificar de acuerdo con su sexo y a si trabajan o no actualmente:

Empleado Desempleado Total

Hombre

Mujer

460

140

40

260

500

400

Total 600 300 900

Se seleccionará al azar a uno de estos individuos para que realicen un viaje a través

de todo el país, con la intención de promocionar las ventajas que se derivan del

establecimiento de nuevas industrias en los pequeños poblados. El interés se centra en los

siguientes eventos: M: se escoge a un hombre, E: el elegido tiene empleo

EJEMPLO Nº 21: La probabilidad de que un vuelo de programación regular

despegue a tiempo es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que

despegue y llegue a tiempo P(D A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión: (a)

llegue a tiempo dado que despegó a tiempo, y (b) despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.

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EJEMPLO Nº 22: En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y

el hábito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos:

No fumadores Fumadores

moderados

Fumadores

empedernidos

Hipertenso 21 36 30

No hipertenso 48 26 19

Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad

de que la persona: (a) experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido; (b)

sea un no fumador, dado que no ha presentado problemas de hipertensión.

8. Teorema de Bayes: se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la

probabilidad total.

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A

(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso

B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)

deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

Si los eventos B1, B2, …, Bk constituyen una división del espacio muestral S, donde P(Bi) 0

para i = 1, 2, …, k, entonces para cualquier evento A en S es tal que P(A) 0.

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EJEMPLO Nº 23: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin

de semana: que llueva (probabilidad del 50%), que nieve (probabilidad del 30%), que haya

niebla (probabilidad del 20%). Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de

que ocurra un accidente es la siguiente: si llueve (probabilidad de accidente del 20%), si

nieva (probabilidad de accidente del 10%), si hay niebla (probabilidad de accidente del 5%).

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EJEMPLO Nº 24: Tres máquinas A, B y C producen el 45%, 30% y 25%,

respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de

producción defectuosa de éstas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

(a) Si seleccionamos una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

(b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber

sido producida por la máquina B.

(c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?

unidad 1. teorÍa de probabilidades

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