Índice

Introducción página 5

1.1Componentes físicos pagina 6

Estructuras pagina 6

Postes pagina 7

Torres pagina9

Clasificación de los soportes pagina 10

Sistemas de fases escalonadas pagina 11

Sistemas de fases horizontales pagina 11

Herrajes en líneas de transmisión aéreas pagina 12

Herrajes que forman arreglos o conjuntos pagina 12

Grillete pagina 13

Herrajes para unir entre si los elementos de la cadena de aisladores y conductores pagina 13

Aisladores pagina 16

Materiales para aisladores pagina 16

Tipos de aisladores según su diseño pagina 20

Aisladores de soporte pagina 20

Aisladores de suspensión pagina 21

Aisladores tipo espiga pagina 22

1

Tipos de aisladores según condiciones pagina 22ambientales

Conductores pagina 22

Tipos de conductores según los materiales pagina 23empleados

Características físicas y mecánicasde los conductores pagina26

Hilo de guarda pagina 27

Herraje para el cable de guarda pagina 28

Amarre del cable de guarda pagina 28

Suspensión de l cable de guarda pagina 29

1.2 resistencias pagina 30

Resistencia eléctrica pagina 31

Longitud pagina 33

Resistividad pagina 34

Circuito c.d. Pagina 35

Sección pagina 35

1.3 inductancia y reactancia inductiva pagina 41

Inductancia de un conductor debida pagina 43al flujo interno

Enlaces de flujo entre dos puntos externos pagina 47conectados a un conductor aislado

Inductancia de una línea monofásica de dos página 49 conductores

Enlaces de flujo de un conductor dentro de un grupo pagina 52

Inductancia de líneas de conductores compuestos pagina 55

2

Uso de tablas pagina 60

Inductancia de líneas trifásicas con pagina 62espaciamiento equilátero

Inductancia de líneas trifásicas con pagina 63espaciamiento asimétrico

Calculo de inductancia para conductores página 65agrupados

1.4 capacitancia y reactancia capacitiva pagina 67

Campo eléctrico de un conductor largo y recto pagina 70

Diferencia de potencial entre dos puntos debido pagina 72a una carga

Capacitancia de una línea de dos conductores pagina 76

Capacitancia de una línea trifásica con pagina 79espaciamiento equilátero

Capacitancia de una línea trifásica con pagina 81espaciamiento asimétrico

Efecto de suelo sobre la capacitancia de pagina 87la línea de transmisión

Calculo de voltaje inducido en un punto página 89debido a una línea trifásica

Líneas trifásicas con circuitos paralelos pagina 92

Reactancia capacitiva pagina 94

Conclusión pagina 95

Mapa conceptual pagina 96

Bloque de preguntas pagina 97

Referencia bibliográfica pagina 99

Glosario pagina 100

3

Anexos- formulas pagina 102

Problemas pagina 110

Tablas pagina 116

Informaron extra página 125

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Introducción

Las líneas de transmisión son conjunto de dispositivos para transportar o guiar la energía eléctrica desde una fuente de generación a los centros de consumo.

Todos los elementos constructivos de una línea aérea deben ser elegidos, conformados, y construidos de manera que tengan un comportamiento seguro en condiciones de servicio, bajo las condiciones climáticas que normalmente es dado esperar, bajo tensiones de régimen, bajo corriente de régimen, y bajo las solicitaciones de cortocircuito esperables.

Las líneas de transmisión producen tres efectos, que por sus efectos que por su orden de importancia las podemos mencionar como:

Campo magnéticos producido por corriente eléctrica, provoca caídas de tención en la línea.El efecto capacitivo, resultaste de los campos eléctricos entre conductores y conductores de tierra.La resistencia óhmica de los conductores, considerando el material del cable de la energía.

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1.1 Componentes físicos

ConductoresConductores de faseCable de guarda

AisladoresApoyos

Estructura soporte (fuste + crucetas + cúpula)CimentaciónPuesta a tierra

Auxiliares Herrajes de fijación conductor-aisladorHerrajes de fijación aislador-apoyoAmortiguadoresAnillos de guardaSeparadoresElementos de empalme

Estructuras

La función de las estructuras es mantener los conductores alejados entre sí y con el suelo, para evitar arcos entre conductores o problemas debajo y al lado de los mismos. La naturaleza de las estructuras es muy variada, en los sistemas de transmisión suelen ser metálicos, concreto o madera, y su selección depende de un análisis económico. Las estructuras deben ser resistentes a los agentes externos, tales como vientos, nieve, lluvia, etc., y además deben de brindar una facilidad de instalación.

Las estructuras son destinadas para mantener en las líneas de transmisión aéreas, los conductores separados entre si y de tierra. Las estructuras pueden ser básicamente de dos tipos:

Postes Torres

La escogencia del tipo de estructura a utilizar en el diseño de una línea de transmisión y una configuración específica dependen de una multitud de factores relacionados entre los que se pueden mencionar:

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Figura 1.1.1 ejemplo de

Factores económicos. Derecho de paso del recorrido de la línea, esto se refiere a los derechos de

propiedad del terreno por donde pasa la línea de transmisión. Políticas y prácticas de la Compañía Eléctrica. Materiales a utilizar. Facilidad de acceso y montajes, topografía. Condiciones climáticas. Estéticas.

Postes

Se designan con este nombre las estructuras de poca altura, de cuerpo vertical único; tales como los postes de madera y hormigón, y algunas veces también a los postes metálicos de gruesos perfiles no ensamblados, destinados a las líneas de media tensión.Los postes metálicos se usan en redes y líneas de sub-transmisión, principalmente porque su fabricación está ubicada económicamente con limitaciones de altura. Un poste que excede de 45 pies ya resulta muy pesado además de elástico. Además estos postes no son auto-soportantes, o sea que siempre van a requerir el complemento de cientos.

Los postes de madera resultan de aplicación prácticamente nula, por su difícil consecución; estos postes resultan además poco uniformes y son relativamente pesados. A falta de preservación previa pueden deteriorarse muy rápidamente.

La madera como tal tiene el inconveniente de que el grado de humedad le puede afectar su resistencia y por supuesto el proceso de producción requiere de grandes cuidados y técnicas avanzadas que van desde la época apropiada para hacer el corte hasta los procesos de secado e impregnación antes de salir al mercado.

El poste de concreto centrifugado es tronco cónico hueco en su interior, y la pared la forman una armazón de cabillas longitudinales sostenidas en esa posición por anillos intermedios. Para soportar los esfuerzos de torsión es una técnica colocar dos alambres o cabillas helicoidalmente a todo lo largo del poste. En cada caso, la

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Figura 1.1.2 Poste Simple de Hormigón

armazón se coloca dentro de un molde al cual se le vacía la cantidad de concreto requerida y de inmediato se somete a rotación, a una velocidad y durante un tiempo determinado; para que la cabilla colocada verticalmente se mantenga siempre a una distancia del borde se le colocan separadores de concreto antes de su vaciado.

Una vez que el poste ya se ha centrifugado se pasa a una curación a fin de lograr del concreto una debida resistencia, que por lo general es del orden de los 400Kg/cm2. El poste centrifugado resulta además de pesado un poco desperdiciado al material porque los esfuerzos en las líneas son diferentes transversal o longitudinalmente, y como el calculo debe satisfacerse en su mayor requerimiento, en un sentido quedan desaprovechados. A pesar que puede hacerse postes de bastante altura, sobre los 20 metros, y de lograr esfuerzos grandes, más de una tonelada por conductor, y de que para los esfuerzos que se requieren en los amarres y en los ángulos se hacen estructuras que por lo general llevan dos postes pero pueden aumentarse, no se pueden indefinidamente aumentar su tamaño ni los esfuerzos que se les impone: si constructivamente ello es posible, en la práctica eso se traduce en que cada unidad tiene un peso demasiado grande y se crean problemas de transporte al sitio, erección y fijación de una magnitud tal como se entra al campo de los requerimientos de recursos muy costosos siendo preferible buscar otras soluciones.

Los postes vibrados, también utilizan moldes y el sistema varía en que no hay rotación de las piezas sino que se elaboran como una viga cualquiera de concreto. También se debe hacer primero una armazón de hierro, pero dado que su sección es rectangular, la utilización desde el punto de vista de flexión permite con menos material lograr momentos resistentes elevados. Sin embargo, esto implica que el poste solo puede colocarse en una sola dirección en la línea. Su sección impide que se pueda colocar un alambre helicoidalmente y los esfuerzos de torsión que soporta pueden ser apreciables como una pieza, pero nunca se pueden calcular y menos garantizar.

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Figura 1.1.3 Ejemplo de

Las limitaciones son similares a los postes de concreto centrifugado, o sea que a partir de los 15 metros las ventajas que tiene vienen a tener como contrapartida el gran peso y su fragilidad. La sección rectangular los hace fáciles de transportar y la colocación de elementos es más fácil también especialmente para combinarlos con las crucetas tradicionales de madera o de hierro y fijación mediante tornillo pasante solamente, para los cuales al poste se le provee en su parte superior una serie de huecos que no le afectan su resistencia. A fin de hacerlo más liviano, no se ha rellenado completamente la sección y el aspecto es el de una escalera, salvo que no es transparente sino que entre armadura hay una capa de concreto menor. Esto a la vez que disminuye el peso tiene el inconveniente de que permite el escalamiento fácil por parte de personas ajenas a las líneas. Este inconveniente se obvio rellenando los espacios vacíos con un concreto pobre una vez de instalados.

Torres

Con el nombre de torres, se denominan a los soportes metálicos de elementos ensamblados, destinados a la mayoría de las líneas de transmisión de energía en alta tensión. Quizá el más difundido de los materiales usados para líneas de transmisión es el acero especialmente en forma de perfiles o ángulos. Existen en países industrializados empresas destinadas exclusivamente a producir una gama muy amplia de perfiles inclusive a producir con resistencias mayores de las normales, con lo cual se logra bajar el peso final de las estructuras. Esto unido a un mercado mundial pone en situación ventajosa a dichas fábricas en los que a costos refiere.

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Figura 1.1.4 Poste de

Figura 1.1.5 Ejemplo de una Torre

El acero debe galvanizarse para evitar su deterioro, y este es un proceso que se lleva a cabo en baños en caliente. La capa de zinc que se adhiere íntimamente al acero, lo protege casi indefinidamente. Los diferentes miembros se unen con tornillos también galvanizados, y en los puntos de concurrencia de varios perfiles se utilizan piezas planas o que forman ángulos llamadas cartelas. Los perfiles van perforados al baño galvanizado, para que su protección sea total, y debe evitarse cortes o limaduras a los perfiles terminados pues eso introduce puntos débiles en la estructura.

Clasificación de los Soportes

Los soportes pueden ser clasificados según:

Su habilitación. El tipo de fundación utilizada. Su amplitud para resistir los esfuerzo longitudinales.

En los soportes según la habilitación utilizada se distinguen dos grandes clases:

Sistema de fases Escalonadas. Sistema de fases Horizontales.

Sistema de Fases Escalonadas

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Figura 1.1.6 Tipos de

En este tipo de torres los conductores se disponen a niveles de altura diferentes. Distinguiéndose las torres de triángulo, de bandera, de doble bandera y de doble triángulo; siendo estas las torres de mayor uso.

El sistema de fases escalonadas comprende esencialmente las torres de cuerpo único vertical, que permiten la utilización de un solo cable de guarda, dispuesto en la parte superior de la estructura. El cable de guarda cuando existe, permite una buena protección de las fases de la torre contra descargas atmosféricas (rayos). Este tipo de soportes presenta la ventaja de facilitar el empleo de estructuras isostáticas, o asimiladas (torres de celosía simples o múltiples) permitiendo obtener generalmente cargas iguales, es el tipo de estructura más económica. Este tipo de torre posee el inconveniente, que al ser utilizadas en grandes tramos, se deben ejecutar estructuras de gran altura, más sensibles a las descargas atmosféricas (rayos) que aquellas con conductores dispuestos de manera horizontal, necesariamente mucho menos elevados; además la estrechez de la estructura en la parte superior no proporciona buena resistencia mecánica a las solicitaciones de torsión. La segunda clase de soportes es aquella en que los conductores se disponen a un mismo nivel de altura, o en niveles poco diferentes. Entre este tipo de soporte se incluyen: las torres o pórticos de capa horizontal, postes con habilitación de capa abovedada y torres de tipo gato. Estas torres de cuerpo único, están provistas de una viga, en la parte superior, que reposa directamente o por intermedio de patines en los extremos de una horquilla; las dos ramas de esta horquilla están ensambladas en su base, en el cuerpo al mismo nivel, formando lo que se conoce como corsé. Este tipo de torre se dice que es un sistema hiperestático.

Sistema de Fases Horizontales

La disposición de las fases en capa horizontal, implica la utilización de dos cables de guarda, los cuales se disponen a ambos lados del eje de la viga, y generalmente desviados hacia las fases exteriores.

Este tipo de soporte conduce a estructura de menor altura, que la disposición de las fases en varios niveles, reduciendo el riesgo de excitación por descarga atmosférica (rayo). El riesgo de acercamiento de las fases por efecto del viento son menores en la disposición horizontal.

Por la forma de diseño, las estructuras de este modo, deben resistir una fuerte concentración de esfuerzos horizontales al nivel de la viga. La construcción,

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Figura 1.1.7 Torres de

fabricación y levantamiento de las torres de capa horizontal es menos fácil que las de las torres de fases escalonadas y requiere la utilización de mano de obra más especializada., peso a estos inconvenientes, este tipo de estructura se prefiere frecuentemente para las líneas de 225 y 400 KV, con la posibilidad de cambiar de habilitación en la proximidad de los centros urbanos.

Herrajes en Línea de Transmisión Aéreas

Los Herrajes son estructuras metálicas que acompañan la estructura de soporte de las líneas de transmisión aéreas, y que poseen muy variadas funciones. Una de las clasificaciones más común empleada es aquella que los incluye en dos grandes grupos:

Herrajes que forman arreglos o conjuntos Herrajes independientes

Herrajes que Forman Arreglos o Conjuntos

Los herrajes que forman arreglos son conjuntos de piezas metálicas que se agrupan para llevar a cabo una función muy particular. La selección de cada uno de los herrajes que conforman el arreglo no puede ser realzada sin tomar en cuenta el conjunto y los elementos a los cuales acopla. Los herrajes en arreglos pueden ser:

Herrajes de Fijación de cadena de aisladores a torre. Herrajes para unir entre sí los extremos de la cadena de aisladores y los

conductores. Herrajes para proteger los aisladores. Mordazas de amarre y suspensión Herrajes para el cable de guarda.

Grillete

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Figura 1.1.8 ejemplo de varios tipos de herrajes

El grillete es un herraje que tiene como función fijar mecánicamente la cadena de aisladores a la ménsula de la torre de transmisión. El grillete consta de dos (02) partes: el cuerpo, formado por una barrera de acero cilíndrica doblada en forma de “U” con dos agujeros en sus extremos, en donde se introduce un pasador que lo sujeta a la torre. El pasador puede trancarse con distintos grados de seguridad de tras maneras: con cupilla, con tornillo y tuerca y con cupilla, tornillo y tuerca al mismo tiempo.

Herrajes para Unir entre sí los elementos de la cadena de aisladores y los conductores

Además de los elementos que se utilizan para fijar directamente la cadena de aisladores a la torre, en las cadenas de aisladores se emplea una serie de herrajes que permiten unir entre sí mecánicamente los diversos elementos que conforman la cadena.En estos herrajes del ensamble de las cadenas de aisladores y los conductores se incluyen:

Ojo Bola y Anilla Bola

El ojo bola y anilla bola están constituidos, como su nombre lo indica, por un ojo o una anilla unida a una bola, lo cual se inserta en la cavidad del aislador. La diferencia entre ambos radica en que en un caso se emplean un ojo (aro) y en el otro caso un anillo elíptico. El ojo bola, por permitir solo uso de un pasador permite un ajuste más completo. La anilla bola permite el paso de cualquier pieza y por ello el ajuste es mucho más holgado. El anillo bola se emplea en las cadenas simples para articular el grillete con los aisladores. El ojo bola se emplea en las cadenas de aisladores, para articular el yugo con los aisladores. Estos herrajes se fabrican en acero forjado y galvanizado.

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Figura 1.1.9 Grillete

Yugo

El yugo tiene como función proporcionar un elemento de fijación común ara las cadenas de aisladores y para el o los conductores de cada fase. El yugo puede tener muchas formas (triangular, trapezoide o recto), para líneas con 1,2 o más conductores por fase, y están construidos en acero forjado o galvanizado.El yugo puede ser constituido de varias maneras:

1. Yugo formado por láminas en forma triangular, trapezoidal o recta, colocadas paralelamente, una sobre la otra, separadas entre sí por medio de un juego de pernos fijos, que aseguran la unidad y rigidez de la estructura (yugo tipo hembra).

2. Una segunda modalidad es construirlo en una pieza única en forma triangular, trapezoidal o rectangular, que presenta agujeros donde se articulan los demás herrajes (yugo tipo macho)

3. Otra modalidad menos frecuente a las anteriores es la de una lámina en forma de cuadrado o rectángulo, que se dobla en forma de “U”, tomando lugar a una estructura donde se pueden fijar los herrajes, a través de agujeros, por medio de pasadores o grilletes u horquillas (yugo tipo hembra).

Rótula Ojo, Rótula Anillo y Rótula Horquilla

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Figura 1.1.10 Ojo Bola con

Figura 1.1.11 Yugo de Forma de Pirámide

Son herrajes que permiten acoplar el último aislador de la cadena con el yugo o con la mordaza de amarre o suspensión.

Estos herrajes están constituidos por una rótula o cavidad y un ojo, una anilla o una horquilla, dependiendo del caso, que se articula con el herraje que se une la cadena de aisladores con la mordaza. Estos elementos deben construirse, dependiendo del tipo de cadena y de los conductores, de tal manera que la tensión de ruptura del conjunto (ya sean cadenas simples o dobles) sea superior a la tensión de ruptura del conductor.

Horquilla Ojo, Horquilla Bola y Horquilla Anillo

Este tipo de herraje constituye una posibilidad para enlazar entre sí los yugos tipo macho con los herrajes de la cadena que sustentan o amarran a los conductores con los aisladores. Estos herrajes por un extremo presentan una horquilla y por el otro lado un ojo, que se puede articular a otros herrajes. Se suelen construir de hierro forjado y galvanizado.

Riostras o separaciones con Amortiguamiento

Dada la tendencia de utilización de varios conductores por fase, el requerimiento de amortiguar las vibraciones en los conductores, han aparecido separadores de diferente tipo pero con la misma idea de utilizar un material flexible que se encargue de este problema actualmente hay dos tipos, uno basado en la torsión de este material elástico, y otro en su compresión: según resultados de pruebas en laboratorios de ensayos, el último ha dado mejores resultados de comportamiento, naturalmente se construyen para un diverso numero de conductores por fase

Figura 1.1.12 Riostra espaciadora y Amortiguada

Aisladores

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Los aisladores en las líneas de transmisión de alta tensión sirven fundamentalmente para sujetar a los conductores, de manera que estos no se muevan en sentido longitudinal o transversal. Como su nombre lo indica, deben evitar la derivación de la corriente de la línea hacia tierra, ya que un aislamiento defectuoso acarrea pérdidas de energía y en consecuencia un aumento del gasto de explotación comercial del sistema.

Los aislantes cumplen la función de sujetar mecánicamente los conductores a las estructuras que los soportan, asegurando el aislamiento eléctrico entre estos dos elementos. Así pues, por algunas décadas, las cualidades eléctricas y mecánicas de los aisladores no deberán ser destruidas, por ninguno de los esfuerzos de todo tipo que estarán sometidos. Además, deberán facilitar todo trabajo que pudiera efectuarse en la línea, aun mantenida en tensión eléctrica, sin perjudicar la recepción de las señales electromagnéticas, radio, televisión y otros, ni la estética si fuera posible. Los aisladores se pueden clasificar desde diferentes puntos de vista, según el material elegido para su manufactura: aisladores de vidrio, porcelana o de plástico. Según su uso de tiene aisladores de intemperie y aisladores de recintos cubiertos, aislador de suspensión o aisladores de amarre, así como también aisladores de apoyo. También se diferencia entre aisladores de corriente continua y de corriente alterna.

Figura 1.1.13 ejemplo de diferentes aisladores

Materiales para Aisladores

Las pioneras líneas de transmisión aéreas de distribución de electricidad de alta tensión de corriente continua en 1882 y luego de alterna en 1885, fueron construidas con aisladores de vidrio recocido rígidamente ligados al soporte, a los cuales estaban sujetos los conductores por medio de una ligadura.

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La porcelana se probó sin gran éxito entre 1890 y 1893, para cuando se desarrollo el procedimiento de fabricación por vía húmeda, que permitió obtener un material no poroso, de características mecánicas superiores a las del vidrio recocido. La cerámica por su parte se desarrollo y en 1903 se realizaron los primeros aisladores con este material. A partir de 1935, se utilizó el templado para los dieléctricos de vidrio, obteniéndose piezas con gran resistencia mecánica. Esencialmente los imperativos mecánicos son los que han presidido la evolución de los aislantes utilizados, para las líneas de transporte de energía.

Hasta ahora, solo los vidrios y las cerámicas, productos minerales frágiles, han recibido la sanción favorable de la experiencia. A medida que los niveles de tensión eléctrica han aumentado en los sistemas de transmisión las formas y los materiales de construcción de los aislantes ha sido especialmente estudiado, debido a los grandes esfuerzos eléctricos a que se ven sometido, siendo necesario conocer los niveles de aislamiento eléctrico.

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Figura 1.1.15 Fotografía de la Vista Superior de un Aislador de Porcelana tipo “Plato” o Disco de Suspensión

Figura 1.1.14 Diferentes tipos de Aisladores empleados a lo largo de la historia

El material que hasta el presente parece haber dado mejores resultados para uso a la intemperie es la porcelana. Con tal finalidad se usa exclusivamente la porcelana dura vidriada, la cual consiste de mezcla de feldespato, cuarzo y caolín, pues es la mejor que satisface las condiciones requeridas por un buen aislante. Aunque la porcelana, es hoy por hoy uno de los materiales de mayor uso; posee algunas desventajas. Es importante que el vidrio de la capa vitrificada que recubre la porcelana posee el mismo coeficiente de expansión térmica que la porcelana, pues de lo contrario surgen tensiones internas, que transcurrido cierto tiempo, se manifiestan en forma de pequeñas grietas; acortando la vida del aislador.

Por otra parte, un inconveniente se presenta en la en la elaboración de la porcelana, debido a la contracción que experimenta el material durante la segunda cocción (secado y sinterización), lo que arroja una inevitable inseguridad en las dimensiones finales. Otro inconveniente de la porcelana en servicio, es la fragilidad ante descargas por arco. El cual, al denotar cierta potencia en la proximidad de la superficie de la misma, la destruye por fusión y requerimiento. Basta para ello que el arco persista por fracciones de segundo. En la práctica se trata de alejar el arco de la superficie de la porcelana con la ayuda de cuernos protectores o cuernos de descarga.

Por su parte los aislantes de vidrio fueron desarrollados principalmente en Francia, han logrado después de algunos fracasos iniciales, imponiéndose como aisladores de soporte de sistemas de hasta 20 kV primero y hasta 380 kV. El aislador de vidrio se obtiene fundiendo diferentes materiales de granulometría; tales como arena, carbonato de sodio, dolomita carbonato de bario, carbonato de potasio, sulfato de bario, y piedra caliza, en un horno de fundición continua. Al igual que la porcelana, la proporción de los elementos que constituyen al material acabado permiten modificar o variar las características eléctricas, térmicas y mecánicas.Una vez moldeado el aislador, se le somete a enfriamiento rápido mediante un chorro de aire. Con esto se logra que la parte externa se contraiga, permaneciendo la parte interior con calor y se contrae, mientras que la exterior se

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Figura 1.1.16 Corte

expande. Mediante este proceso el vidrio queda sometido permanentemente a una tensión interna uniforme, lo que lo confiere una gran resistencia mecánica.

El aislador de vidrio en consecuencia, soporta los cambios bruscos de temperatura. Denota, además una elevada resistencia a los impactos, así sean provocados por proyectiles. La aparición de cualquier fisura provoca la inmediata destrucción de la falda, quedando, sin embargo, las piezas metálicas unidas entre sí, en vista de lo cual no hay caída del conductor. Para proteger a los aisladores de vidrio contra disparos accidentales o voluntarios algunos fabricantes han diseñados aisladores de vidrio, lisos en su interior y con superficies curvas para desviar fácilmente los proyectiles.

Los aisladores de plástico se han venido encontrando una aplicación cada vez mayor de las instalaciones de alta tensión bajo techo, debido fundamentalmente a las ventajas que presentan frente a los aisladores de cerámica y vidrio, entre las cuales resaltan:

Mayor libertad y facilidad en el acabado final del aislador, permitiendo además el vaciado simultáneo de piezas metálicas.Mejor comportamiento elástico y mayor resistencia contra impactos mecánicosPeso reducido y elevada resistencia dieléctrica.

En las instalaciones a la intemperie se aprecia también una fuerte tendencia en la aplicación creciente de aisladores de plástico, si bien los estudios e investigaciones no pueden contemplarse como finalizados.El material más indicado para la fabricación de los aisladores plásticos parece ser la resina sintética. Los experimentos de tensión mecánica a muy baja temperatura (-20ºC) han demostrado, sin embargo que no todas las resinas sintéticas hasta ahora aplicadas en la electrotecnia pueden soportar los severos desafíos de la práctica, quedando así descartadas las resinas del tipo ciclo alifático, mientras que los elastómeros de silicón parecen arrojar mejores resultados en un margen de temperatura comprendido entre 60º y +180ºC.

Con la finalidad de mejorar el comportamiento eléctrico y mecánico de los aisladores plásticos se están empleando actualmente una gran cantidad de

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Figura 1.1.17 Vista de la sección Transversal de un Aislador de Materiales Compuestos.

aditivos, cuya discusión excedería apreciablemente el margen del presente escrito. Cabe señalar, únicamente, que los aisladores de plásticos están encontrado una creciente aplicación en los sistemas de transmisión de energía, encontrándose desde hace algunos años en operación aisladores diseñados con tensiones de 110 kV.

Tipos de Aisladores según su Diseño

Los aisladores pueden ser clasificados según el diseño que se coloque, distinguiéndose dos grandes grupos:

Aisladores rígidos o de soporte (Post Type) Aisladores de suspensión Aisladores de tipo Espiga, Palillo o Pin (Pin-Type)

Aisladores de Soporte

Constan o bien de una sola pieza de porcelana, o de varias piezas cementadas entre sí. La superficie del núcleo, sigue, en lo posible, la dirección de las líneas de fuerza y las campanas viene a ser perpendiculares a las mismas, con lo cual se evitan, por un parte, los espacios huecos con intenso flujo de campo electrostático, y por otra, se consigue que la distribución del campo sea aproximadamente la misma en estado seco que en estado húmedo.

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Vidrio

Se hace fácil la detección de defectos internos

(el vidrio es transparente)

Sufren un recalentamiento menor debido a los rayos solares, ya que la mayoría pasan a

través del aislador y no son absorbidos.

Son más vistosos por lo que son presa fácil para cazadores y actos vandálicos.

Fácil inspección desde el suelo o helicóptero, se observa su estado sin ningún

error.

No se perforan a los cambios de tensión.

Porcelana

No se pueden detectar defectos internos

Se calientan fácilmente por la acción de los rayosSolares

No son vistosos

Su inspección debe ser detallada

Se perforan más fácilmente

Los aisladores de tipo soporte también son conocidos como aisladores de cuerpo macizo, ya que están constituido por un cilindro macizo de cerámica provisto de aletas, que tienen en cada extremo una pieza metálica de conexión. Esta pieza puede ser; envolvente en forma de casquete sellado alrededor de los extremos troncocónicos, provistos en el cilindro, o en forma de varilla sellada en una cavidad precisa con este objeto.

En este tipo de aislador la conexión con el conductor es rígida y directamente con pinzas o mordazas.Estos aisladores pueden utilizarse en posición vertical, horizontal u oblicua. Sin embargo, en cada caso particular conviene asegurarse con el fabricante que cada aislador seleccionado, sea instalado en la posición elegida, y que responde a las características deseadas. Este tipo de aislador, puede ser sometido en explotación a tensiones mecánicas de flexión, tracción y compresión, aún de tensiones de torsión algunas veces cercana a la de ruptura del conductor.

Aisladores de Suspensión

Este tipo de aislador también es denominado plato, en este el material aislante (porcelana, vidrio, etc.) tiene adherido con cemento a lado y lado, elementos metálicos que se pueden encajar uno dentro de otro, permitiendo la formación de cadenas flexibles, también se encajan los accesorios de conductor o herrajes, además de las estructuras, con lo cual completan su fijación.

Los aisladores suspendidos consisten de una cadena de aisladores de revolución, ensamblados los unos a los otros, a las torres y a los cables, por sistemas metálicos de rotula o de horquilla que solo permiten la transmisión, excepto el rozamiento, de esfuerzos mecánicos paralelos a su eje. De estas cadenas

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Figura 1.1.19 Aislante de

Figura 1.1.18 Ejemplo de

verticales se suspenden los conductores a las torres de alineación; de otras cadenas horizontales o más bien inclinadas respecto a la alineación de los cables, se tensan los conductores en las torres de anclaje o amarre. Estas cadenas pueden ser dobles o múltiples para aumentar la resistencia mecánica, su longitud dependerá del nivel de aislamiento requerido.

Aisladores Tipo Espiga, Palillo o Pin

Este tipo de aislantes se caracteriza porque la fijación que hacen del conductor es rígida. Hay variedades en cuanto al tamaño y forma de sujetar al conductor; en su gran mayoría requieren de ligaduras, o sea de hilos del mismo material del conductor que amarren este del aislador, gracias a sus formas exteriores; también los hay que tiene una pinza o mordaza en el tope estos aisladores tiene una rosca interna que aloja la espiga y a ella se ajusta gracias a una caperuza de plomo que se deforma para asentarse a la cruceta, y sobresale a partir de ella roscada, en una longitud que varia si se trata de cruceta de hierro o madera. No se recomienda ponerlos en ángulos verticales mayores de 4º, ni por supuesto como terminales, amarres o anclajes.

Tipos de Aisladores según las Condiciones Ambientales

Standard o Normal Anti-fog o Antiniebla

Standard o Normal: Se utiliza en zonas de clima templado y razonablemente limpias sin contaminación o polución. En este tipo de aisladores las corrugaciones no sobresalen del borde inferior.

Conductores

Consiste de un cuerpo o un medio adecuado, utilizado como portador de corriente eléctrica. El material que forma un conductor eléctrico es cualquier sustancia que puede conducir una corriente eléctrica cuando este conductor se ve sujeto a una diferencia de potencial entre sus extremos. Esta propiedad se llama conductividad, y las sustancias con mayor conductividad son los metales. Los materiales comúnmente utilizados para conducir corriente eléctrica son en orden de importancia: cobre, aluminio, aleaciones de cobre, hierro, acero.

La selección de un material conductor determinado es, esencialmente, un problema económico, el cual no solo considera las propiedades eléctricas del conductor, sino también otras como: propiedades mecánicas, facilidad de hacer conexiones, su mantenimiento, la cantidad de soportes necesarios, las limitaciones de espacio, resistencia a la corrosión del material y otros. Los metales más comúnmente utilizados como conductores eléctricos son:

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Cobre: Material maleable, de color rojizo, la mayoría de los conductores eléctricos están hechos de cobre. Sus principales ventajas son:

Es el metal que tiene conductividad eléctrica más alta después del platino. Tiene gran facilidad para ser estañado, plateado o galvanizado y puede ser

soldado usando equipo especial de soldadura de cobre. Es muy dúctil por lo que fácilmente puede ser convertido en cable, tubo o

rolado en forma de solera u otra forma. Tiene buena resistencia mecánica, aumenta cuando se usa en combinación

con otros metales para formar aleaciones. No se oxida fácilmente, por lo que soporta la corrosión ordinaria. Tiene buena conductividad térmica.

Aluminio: Los conductores de aluminio son muy usados para exteriores en líneas de transmisión y distribución y para servicios pesados en subestaciones.

Es muy ligero: tiene la mitad del peso que el cobre para la misma capacidad de corriente.

Es altamente resistente a la corrosión atmosférica. Puede ser soldado con equipo especial. Se reduce al efecto superficial y el efecto corona debido a que para la

misma capacidad de corriente, se usan diámetros mayores.

Tipos de conductores según los materiales empleados

Cables de aluminio (AAC - All Aluminium conductor)

Cables de aleación de aluminio (AAAC - All Aluminium Alloy Conductor)• Mayor resistencia mecánica que el cable de aluminio• Menor conductividad eléctrica

Cables a base de hilos de acero recubierto de aluminio (Alumoweld)• Resistente a la corrosión

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• Mayor resistencia mecánica

Cables de aluminio con refuerzo de acero (ACSR – Aluminium Conductor Steel Reinforced (Norma ASTM); tipo LA (Norma UNE))

• Los más usados (media y alta tensión)• Rango entre 100 y 1500 A• Gran variedad para adaptarse a las necesidades de carga y

resistencia Mecánica

ACAR: Conductor de Aluminio con Refuerzo de Aleación (Aluminum Conductor Alloy Reinforced).

El AAAC tiene mayor resistencia a la tensión que los conductores de aluminio de tipo ordinario. Los ACSR consisten de un núcleo central de alambre de acero rodeado por capas de alambre de aluminio. ACAR tiene un núcleo de aluminio de alta resistencia rodeado por capas de conductores eléctricos de aluminio tipo especial.

Los conductores en general suelen ser clasificados en, según el tipo de recubrimiento:

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Cable Multipolar de

Cable Multipolar,

Aislado: Conductor rodeado por aislamiento para evitar la fuga de corriente o que el conductor energizado entre en contacto con tierra ocasionando un cortocircuito.

Anular: Consiste en varios hilos cableados en tres capas concéntricas invertidas alrededor de un núcleo de cáñamo saturado.

Apantallado: Conductor aislado cubierto con un blindaje metálico, generalmente constituido por una funda de cobre trenzado.

Axial: Conductor de alambre que emerge del extremo del eje de una resistencia, condensador u otro componente.

Los conductores son los encargados de transportar la corriente y su sección transversal depende de la energía que se transporte. Si la tensión de operación de la línea de transmisión es elevada se hacen presente una serie de fenómenos que se deben considerar para la selección del tipo y calibre del conductor, o la posibilidad de utilizar varios conductores por fase. El conductor por su peso y a su longitud, se ve afectado por esfuerzos mecánicos, interviniendo estos factores en la selección el tipo de conductor a utilizar, destacándose que esto se puede solventar utilizando conductores equivalente con mayor carga de ruptura.El factor preponderante para el esfuerzo mecánico de una línea de transmisión es la denominada "flecha", no afectando el área de la sección del conductor.

Cables: Se define cable como el conjunto formado de uno o varios conductores trenzados, debidamente aislados, provistos de uno o más recubrimientos protectores requeridos para que el conductor sea afectado por la corrosión, deterioro mecánico, etc. Existen una cantidad de conductores que son agrupados básicamente dos clases:

Monopolar: Cuando posee un solo conductor o un solo cableado. Multipolar: Cuando posee dos o más conductores o cableados.

Los cables, son materia de estudio muy profundo y en especial, cuando se trabaja en alta tensión, pero esto es dominio de Líneas de transmisión Subterráneas o Subacuáticas.

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Figura 1.1.20 Muestra de

Cable Monopolar TrenzadoCable Monopolar Trenzado

Características Físicas y Mecánicas de los Conductores

Todo conductor debe poseer suficiente resistencia mecánica para soportar, sin romperse o deformarse permanentemente los esfuerzos aplicados al mismo, en la explotación (servicio) normal, y aun en las condiciones anormales, pero previsibles en el diseño.

En el caso de las líneas de transmisión aéreas, los esfuerzos mecánicos normales son: el peso del conductor y el hielo escarcha o nieve, que pudiese depositarse en zonas frías, el efecto del viento a una velocidad límite, etc. Por otra parte, los esfuerzos anormales comprenden: la presión de escaleras apoyadas contra las líneas, la suspensión de personal en la misma, el esfuerzo por huracanes, la presión de árboles o ramaje, la tensión debida a movilidad de los apoyos, con motivo a la ruptura de dos o más cables o la caída de una torre, la falla de una retenida, etc

El alambre de acero recubierto de cobre o aluminio es un gran avance, que interesa a las compañías eléctricas, por ser el acero barato, fuerte y accesible, pero presentando como desventajas, su poco duración y conductividad. Para dar al alambre de acero la conductividad y duración necesaria, se recubre con una capa de cobre bien adherida. La conductividad puede aumentarse haciendo más gruesa la capa de cobre o aluminio.

Este tipo de alambre de acero encobrado o aluminizado, es conocido como CopperWeld, o AlumoWeld, se utiliza para vientos y como conductor en líneas rurales, donde los tramos son largos y las intensidades de corriente pequeñas.

Hilo de guarda

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Figura 1.1.21 Vista de la Sección Transversal de un Conductor Cooperweld

En la parte más alta de las torres se ubica un cable que se llama hilo de guarda el cual a su vez tiene en su interior varias fibras de vidrio llamadas en su conjunto fibra óptica y a través de ellas viajan señales luminosas que se transforman en voz, datos e imágenes. Este hilo de guarda protege a las líneas de Transmisión de descargas atmosféricas.

Los hilos de guardia de Estaciones y líneas desempeñan dos funciones importantes:

Proteger las líneas aéreas contra descargas atmosféricas siendo su objeto primordial:

Reducir la tensión inducida en la línea aérea por los rayos que caen en las cercanías

Proteger los conductores de fase, absorbiendo las descargas atmosféricas

Reducir la acción devastadora del rayo descargado directamente en la línea aérea

Para todo lo cual tiene mera importancia la disposición con respecto a los conductores.

Reducir el efecto de la corriente de cortocircuito y participando por lo tanto en la disminución de la resistencia de tierra y disminuyendo las tensiones de paso que puedan poner en peligro a las personas o animales.

Al disminuir la resistencia de tierra se tiene una disminución en la influencia sobre los circuitos de telecomunicación situados cerca de la línea, en caso de producirse cortocircuito a tierra.

La acción protectora del hilo de guardia se determina por “zonas de protección” o también como conocidos como “ángulos de protección”. Dichas zonas son fundamentales en la configuración de líneas eléctricas aéreas y Estaciones de transformación, dado que la misma influye considerablemente sobre su diseño.

Inicialmente se había considerado la acción protectora del hilo de guardia teniendo en cuenta que la carga del conductor de fase debido a la influencia atmosférica estaba limitada por la vencidad y la capacidad que existía con dicho conductor. En base a esto, se habían ubicado los hilos de guardia al lado de los conductores de fase. Investigaciones realizadas considerando características y desarrollo

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Herraje para el Cable de Guarda

El sistema de protección de cable de guarda es común en todas las líneas de transmisión. La única diferencia entre los apantallamientos por cable de guarda, es que en casos se utilizan uno o dos cables de guarda. Los herrajes utilizados para el cable de guarda son muy semejantes al de los conductores de fase con diferencia particular en su tamaño y materiales.

Figura 1.1.23 Balancín del Cable de Guarda

Amarre del Cable de Guarda

Para el amarre del cable de guarda se emplean mordazas. Estas pueden ser del tipo de compresión, en las que se corta el cable de guarda, y las mordazas en las que no se requiere cortar el cable de guarda.

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Figura 1.1.22 ejemplo de

Figura 1.1.24 Mordaza de Amarre del cable de Guarda

Suspensión del Cable de Guarda

Para la suspensión del cable de guarda existen dos modalidades básicas:

− El cable de guarda va sujetado en una mordaza, suspendida por debajo de la ménsula mediante un grillete.− El cable de guarda va montado sobre la mordaza la cual se apoya en un caballete sobre la ménsula de la torre.

El caballete es un dispositivo hecho de acero galvanizado en caliente instalado sobre la torre, sobre la cual se instala la mordaza propiamente dicha.

Figura 1.1.25 Mordaza de Suspensión de Guarda

29

1.2 RESISTENCIA

La resistencia es la oposición que cualquier material ofrece al paso de la corriente eléctrica.

Aunque su estudio se remonta a los primeros descubrimientos eléctricos, no se interrelacionó con las otras magnitudes eléctricas hasta que George Simon Ohm formuló su ley fundamental, base de toda la electricidad, que ligaba esta oposición con la tensión o diferencia de potencial y la intensidad que circulaba por un circuito.

La resistencia de un conductor tiene la característica de ser distribuida

Uniformemente en la sección transversal del conductor, pero se debe de tomar en

Cuenta una temperatura específica;

En un circuito eléctrico es la oposición que presenta un cuerpo al paso de una corriente eléctrica y es igual al voltaje aplicado al circuito dividido entre la corriente que circula por el mismo:

R= V/I. n.1.2.1

Resultado de la corriente que circula por la resistencia de los conductores, se produce una caída de tensión equivalente al producto entre la resistencia del circuito y la corriente que circula por el circuito:

E= RI. n.1.2.2

La resistencia está constituida por la propia resistencia del conductor y la resistencia de la carga o elemento al cual se alimenta.

La resistencia de un conductor es causa principal de la perdida de energía en las líneas de transporte por lo general sus perdidas se manifiestan en calor se da en proporción directa ala resistencia del conductor y al cuadrado del valor eficaz de la intensidad de corriente que circula por el conductor de tal manera que las perdidas de energía por segundo se manifiesta en la siguiente formula:

ρ=ℜ(Ӏ e2) n.1.2.3

30

La resistencia efectiva es igual a la resistencia del conductor.

La formula anterior es la expresión matemática de la ley de joule en esta da una observación en la conveniencia de utilizar voltajes de transmisión mas elevados y así disminuir las perdidas por efecto joule (calor).

“LA RESISTENCIA DE UN CONDUCTOR, ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL ALA RESISTIVIDAD DEL MATERIAL DE QUE ESTA HECHO Y A LA LONGITUD DEL CALOR E INVERSAMENTE PROPORCIONAL ASU SECCION O AREA.”

La resistencia es también función de la temperatura y de la frecuencia.

RESISTENCIA ELECTRICA

los cables de las líneas de transmisión dependen de sus características en Dc la resistencia que presente es.

DONDE:

P=resistividad del conductor. L=longitud del conductor. A=sección del conductor.

R=resistencia óhmica.

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RDc=P(L/A) n.1.2.4

En el sistema ingles las unidades que se utilizan son Las siguientes.

L=en pies

A=circularmils.

P=ohmios-circularmils/pie

Los conductores de las líneas aéreas normalmente son cableadas con alma de acero para tener mayor carga de ruptura. Los cables pueden ser de aluminio o cobre aunque el mas utilizado es el aluminio por su menor peso.

La sección de los conductores se da frecuentemente usando términos de circularmils.

Un circularmils =es el área de un circulo que tiene como diámetro una milésima de pulgada (0,001pulg). Un MCM = a 1000 circularmils.

L ⇒ longitud (m)

Donde: ( R ⇒ Ω ) S ⇒ sección (mm2)

ρ ⇒ resistividad (Ω∗mm2/m)

32

Longitud

La longitud de un conductor es directamente proporcional a la resistencia del mismo, ya que los electrones que por él circulan deberán recorrer un trayecto mayor y por tanto necesitarán más energía.

En los sistemas de potencia, con grandes tensiones e intensidades, hacen falta conductores de tamaños considerables para ser capaces de transportar tales energías. Entre los materiales más empleados se halla el cobre, que como cualquier otro metal presenta unas características de maleabilidad. Pero esta

adaptabilidad, con conductores de 20mm o 30mm de diámetro, es prácticamente inexistente comportándose los mismos no como conductores flexibles y adaptables cuando un conductor excede de un determinado radio o diámetro, ya no se construye macizo, sino con la unión de múltiples hilos formando un cable, que no es más que un conductor compuesto por hilos enrollados en haz para mantener su consistencia mecánica y al mismo tiempo permitir, aun con diámetros considerables, flexibilidades y torsiones adecuadas a su uso.

LTEÓRICA < LREA L Aproximadamente un 2%

Un cable con una longitud de 1m (LTEÓRICA) estará formado por hilos entrelazados o trenzados con una longitud de 1.02m (L REAL). En consecuencia, el valor de la resistencia real tendría que estar influenciada por este aumento de valor. En realidad, los fabricantes de cables al realizar sus tablas de valores ya tienen en cuenta esta variación, considerando para el cálculo de la resistencia los valores reales de la longitud.

33

Resistividad

La resistividad es la última magnitud a tener presente en el cálculo de la resistencia de un material. Se define como la resistencia específica, es decir, la oposición que ofrece un material al paso de la corriente eléctrica por unidad de longitud y superficie (normalmente para su cálculo se utiliza varillas del material que se debe calcular con unas dimensiones específicas de 1m de longitud y 1cm2 de sección). La resistividad es la parte más importante de la resistencia, ya que es la que realmente nos identifica si un material es buen conductor o por el contrario es un aislante. Hasta el momento, y considerando solamente la longitud y la sección, tendría la misma resistencia una varilla de madera que una de

cobre, suponiendo igualdad en las dimensiones físicas. Era, pues, necesario otro parámetro que dependiera del material, la resistividad.

El problema se solucionó, en parte, dando una única tabla; esta tabla corresponde a una temperatura estándar de unos 20ºC, y en ella están representados los valores de la resistividad de la mayor parte de materiales interesantes desde el punto de vista eléctrico. Cuando la temperatura no coincida con los 20ºC, aplicando la siguiente fórmula, se obtiene el valor de la resistividad a cualquier otra temperatura.

ρ = ρ20° C + ρ20° α( T –20°)

Dónde:

α = Coeficiente de temperatura a 20ºC ⇒ es un valor tabulado en las tablas.

ρo = Resistividad a la temperatura deseada.

ρ20ºC = Resistividad a 20ºC (la de las tablas).

T = Temperatura a la que se desea determinar la resistividad.

El signo del coeficiente de temperatura, previamente realizaremos un repaso a los tipos de enlace químico más importantes, ya que de su comprensión se obtendrán las respuestas buscadas.

34

Circuito eléctrico conectado en corriente continúa

Si conectamos un circuito a una fuente de corriente continua según la ley de Ohm se producirá una intensidad, que será también continua.

Sección

A mayor sección menor resistencia, ya que los electrones disponen de más espacio para circular por el conductor.

Aparte, algo parecido a la longitud ocurre con la sección; así, si consideramos la sección del cable en su conjunto (STEÓRICA), estaremos añadiendo los espacios entre hilos (aire, pequeños residuos, aceites, etc.) que no están ocupados por cobre.

Se tendría que considerar realmente sólo la superficie real (SREAL), es decir, la verdaderamente ocupada por el material conductor, el cobre.

35

EJEMPLO .1

Si la resistencia de un alambre de cobre es de 50 ohm a 20°c.

¿Cuál sera la resistencia cuamdo se encuemtre a 100°c (punto de ebullicion del agua)?.

Solucion :

1.-observe que la temperatura inferida del cobre es de -234.5°c .

2.- sustituyendo el valor en la ecuacion

Formula para encontrar la resistencia del material según la temperatura.

(T+t1)/R1=(T+t2)R2 1.2.5

Donde T indica que la temperatura absoluta inferida del material utilvizado (conductor) se toamara como un valor positivo en dicha ecuacion.

(234.5+20)/50=(234.5+100)/R2

Despejando a R2.

R2=50(334.5/254.5)

36

Da como resultado:

R2=65.72 ohms

37

38

Ejemplo 2

La resistencia de un alambre de cobre al congelarse 0°c es de 30°.

¿Cuál es su Resistencia a -40°c.?

Realizando los mismos pasos del ejercicio anterior.

Se sustituyen datos en formulas.

(T+t1)/R1=(T+t2)R2

(234.5+0)/50=(234.5-40)/R2

R2=30(194.5)=234.5.

R2=24.88 ohms

EJEMPLO:3

La resistencia por fase es de 200km. De una línea de transmisión de 636 MCM ACSR, es:

R/50°C=r×L=(0.101)Ὠ/km×200km=20.2Ὠ.

r =Resistencia por unidad de longitud y por face (Ὠ/km>>>>por fase)

L=longitud de la línea en km.

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Sección

A mayor sección menor resistencia, ya que los electrones disponen de más espacio para circular por el conductor.

Aparte, algo parecido a la longitud ocurre con la sección; así, si consideramos la sección del cable en su conjunto (STEÓRICA), estaremos añadiendo los espacios entre hilos (aire, pequeños residuos, aceites, etc.) que no están ocupados por cobre.

Se tendría que considerar realmente sólo la superficie real (SREAL), es decir, la verdaderamente ocupada por el material conductor, el cobre.

40

1.3 Inductancia y Reactancia inductiva.

Un conductor eléctrico en presencia de una corriente de magnitud variable con el tiempo, crea un flujo magnético variable, el cual se conecta con los demás conductores que forman el circuito

Lα=ϕM / tϕI / t

Ecuación 1.3.1

ϕM / t=Variación del flujo magnético en el tiempo.ϕI /t= Variación de la corriente en el tiempo.En donde L está dado en Henrys /unidad de longitud.

La inductancia de un cable, está dada por la suma de la inductancia propia o interna (ya que parte del flujo generado, corta al conductor mismo) más la externa o mutua.

El valor de la inductancia propia (Lo) de un conductor es constante e independiente al arreglo geométrico de los conductores.

Para un conductor redondo sólido de material no magnético vale 0.05 mH/km; para conductores formados por varios hilos el valor variará de acuerdo con el número de los mismos como sigue:

7 hilos 0.058 mH/km19 hilos 0.051 mH/km37 hilos 0.046 mH/Km

La inductancia mutua depende del arreglo geométrico de los cables, interviniendo el concepto del “Diámetro Medio Geométrico” DMG, el cual está definido por la siguiente expresión:

DMG=D=¿m√(d¿¿12d13¿…d¿)¿¿¿¿¿ Ecuación 1.3.2

Para el caso particular de tres conductores se tiene lo siguiente:

DMG=D=¿3 √d12d23d13 ¿

Si se trata de tres cables con espaciamiento en delta o formación trébol:

D=S (distancia−interaxial )

41

Para cables en formación plana paralela:

D=1.26 S

S= distancia interaxial entre conductores próximos.

Para cables unipolares la inductancia esta dada por:

L=0.46 log2 Ddc

+Lo Ecuación 1.3.3

En caso de los cables tripolares sin armadura, la formula anterior se transforma en:

L=0.46 log2dadc

+Lo Ecuación 1.3.4

La armadura en cables tripolares altera el valor de la formula anterior, cuando esta es de material magnético, aumentando su valor como sigue:

L=0.46 log2dadc

+0.32¿ Ecuación 1.3.5

En donde:

Lo=valor de la inductancia interna.

da=diámetro sobre aislamiento.

dc= diámetro del conductor.

dma= diámetro medio de la armadura.

42

Inductancia de un conductor debida al flujo interno.

La inductancia de una línea de transmisión se calcula como enlaces de flujo por aparte. Si la permeabilidad µ es constante, la corriente sinusoidal produce flujos que varían sinusoidalmente en fase con la corriente. Entonces los enlaces de flujo resultantes se pueden expresar como el fasor λ, y.

L= λI

Ecuación 1.3.6

Si el valor instantáneo de la corriente, i, se sustituye por el fasor I en la ecuación 1.3.6, λ debe ser el valor de los enlaces de flujo instantáneo producido por i. los enlaces de flujo se miden en Webers- vueltas, Wbv.

Las líneas de flujo cambiantes dentro de los conductores también constituyen al voltaje inducido del circuito y por lo tanto, a la inductancia. Se puede calcular el valor correcto de la inductancia debido al flujo interno, como la relación de los enlaces de flujo a la corriente, si se tiene en cuenta el hecho de que cada línea de flujo interno enlaza solo una fracción de la corriente total.

Para obtener un valor aproximado de la inductancia de una línea de transmisión, es necesario considerar el flujo dentro y fuera de cada conductor. Considérese el conductor cilíndrico largo cuya sección transversal se muestra en la figura 1.3.6.supongase que el retorno de la corriente para este conductor esta tan lejos que no afecta de manera apreciable el campo magnético del conductor mostrado. Entonces las líneas de flujo son concéntricas al conductor.

Por la ley de Ampere, la fuerza magneto motriz (fmm) en amperes-vuelta alrededor de cualquier trayectoria cerrada, es igual, a la corriente total en amperes cerradas por esa trayectoria. La fmm es igual a la integral de línea alrededor de la trayectoria cerrada de la componente de la intensidad de campo magnético que es tangente a la trayectoria, esta dada por la ecuación 1.3.7.

fmm=∮H .ds=I Av Ecuación 1.3.7

43

Donde H = intensidad del campo magnético, Av/m

S = distancia a lo largo de la trayectoria, m

I = corriente encerrada, A

Obsérvese que H e I se muestran como fasores para representar cantidades alternas sinusoidales puesto que todo el trabajo aquí se aplica igualmente a corriente alterna y directa. Por simplicidad, I se puede interpretar como corriente directa y H como numero real.

Se recuerda que el punto entre H y ds indica que el valor de H es la componente de la intensidad de campo que es tangente a ds.

Sea Hᵪ la intensidad de campo de una distancia de x metros desde. el centro del conductor debido a que el campo es simétrico. Si se realiza la integración que se indica en la ecuación 1.3.7 alrededor de una trayectoria circular concéntrica, con el conductor a x metros desde el centro, Hᵪ es una constante sobre la trayectoria y tangente de ella.

La ecuación 1.3.7 da:

∮Hᵪ ds=I ᵪ Ecuación 1.3.8

Y

44

2πxHᵪ=Iᵪ Ecuación 1.3.9

Donde Iᵪ es la corriente encerrada. Entonces si se supone una densidad de corriente uniforme,

Iᵪ= π x2

πr2 Ecuación 1.3.10

Donde I es la corriente total en el conductor. Entonces al sustituir la ecuación 1.3.10 en la 1.3.9 y resolver para Hᵪ, se obtiene:

Hᵪ=X

2 π r2I Av /m Ecuación 1.3.11

La densidad de flujo a x metros desde el centro del conductor es

Bᵪ=µHᵪ= µxI

2πr2Wb /m2

Ecuación 1.3.12

Donde µ es la permeabilidad del conductor.

En el elemento tubular de espesor dx, el flujo dɸ es Bᵪ por el área de la sección transversal del elemento normal a la línea de flujo, y el área es igual a dx por la longitud axial.

El flujo por metro de longitud es:

dϕ=μxI

2πr 2dxWb /m Ecuación 1.3.13

Los enlaces de flujo dλ por metro de longitud (que son originados por el flujo en el elemento tubular) son el producto del flujo por metro de longitud y la fracción de la corriente enlazada. Así:

dλ=πx2

πx2 dϕ= Iμx3

2 πr4 dxWbv /m Ecuación 1.3.14

Al integrar desde el centro del conductor hasta el borde exterior para encontrar λint, esto es, los enlaces de flujo totales dentro del conductor se obtiene

λint=∫0

rμIx

2πr 4

3

dx= μI8 π

Wbv /m Ecuación 1.3.15

Para una permeabilidad relativa de 1,µ=4πᵡ10¯⁷Hm, y

45

λ∫¿=1

2x10−7Wbv /m¿ Ecuación 1.3.16

L∫¿=1

2x 10−7H /m¿ Ecuación 1.3.17

Se ha calculado por unidad de longitud (henrys por metro) de un conductor cilíndrico, debida solamente al flujo dentro del conductor. Por conveniencia, de aquí en adelante se nombrara la inductancia por unidad de longitud simplemente como inductancia, pero se deberá usar las unidades dimensionales correctas.se puede demostrar su validez de calcular la inductancia interna de un conductor cilíndrico solido por el método de los enlaces de flujo parciales, para obtener la inductancia interna en una forma totalmente diferente.

46

Enlaces de flujo entre dos puntos externos a un conductor aislado.

Como una etapa previa en el calculo de la inductancia de vida al flujo externo a un conductor, se obtendrá una expresión para los enlaces de flujo de un conductor debido solamente a la fracción de flujo externo que cae entre los puntos que se encuentran a D1 y D2 metros del centro del conductor. En la figura 1.3.2 estos puntos son P1 y p2. El conductor lleva una corriente de I A. como las trayectorias de flujo son círculos concéntricos alrededor del conductor, todo el flujo entre P1 y P2 cae dentro de la superficies cilíndricas concéntricas (indicadas por las líneas circulares continuas) que pasan por P1 y p2. En el elemento tubular que esta a x metros del centro del conductor, la intensidad del campo es Hx. la fmm alrededor del elemento es

2π x H x =I Ecuación 1.3.18

47

Se resuelve para Hx y al multiplicar por µ se obtiene la densidad de flujo Bx en el elemento, así que

B x =µI

2π xWb /m2

Ecuación 1.3.19

El flujo dφ en el elemento tubular de espesor dx es

d∅= µI2π x

dxWb /m Ecuación 1.3.20

Los enlaces de flujo dλ por metro son numéricamente iguales al flujo dφ debido a que el flujo externo al conductor enlaza toda la corriente en el conductor solo una vez. Así, los enlaces de flujo entre P1 y P2 son

λ 12 =∫D 1

D 2

µ I2 π x

dx=µ I2π

lnD2

D1

Wbv /m Ecuación 1.3.21

O para una permeabilidad relativa de 1

λ 12 =2 x 10 -7 I ln D2

D1

Wbv /m Ecuación 1.3.22

la inductancia debida solo al flujo entre P1 y P2 es

L 12=2x10-7 lnD2

D1

H /m Ecuación 1.3.23

48

Inductancia de una línea monofásica de dos conductores.

Se puede ahora determinar la inductancia de una línea simple de dos conductores, compuesta de conductores cilíndricos solidos. En la figura 1.3.3, se muestra esta línea que tiene dos conductores de radios r1 y r2. Un conductor es el circuito de retorno del otro. Primero, se consideran solamente a los enlaces de flujo del circuito originados por la corriente en el conductor 1. Una línea de flujo producida por la corriente en el conductor 1 a una distancia igual o mayora D+r2 desde el

centro del conductor 1, no enlaza el circuito. A una distancia menor a D−r2, la fracción de la corriente total enlazada por una línea de flujo es 1.0. Por lo tanto, es lógico suponer que se puede usar D en lugar de D−r2 o D+r2, cuando D es mucho mayor que r1 y r2. En efecto, se puede demostrar que los cálculos realizados con esta suposición son correctos aun cuando D sea pequeña.

Se sumaran la inductancia debida a los enlaces del flujo interno determinada por la ecuación 1.3.17, con la debida a los enlaces del flujo externo determinada por la ecuación 1.3.23 y al sustituir a r1 en lugar de D1 y D en lugar de D2 para obtener

L1=(12+2 ln

Dr1

)x 10−7 H /m Ecuación 1.3.24

Que es la inductancia del circuito debida solo a la corriente en el conductor 1.

La expresión para la inductancia se puede poner en una forma más concisa al

factorizar la ecuación 1.3.24 y observar que ln ε14=1

4 , de donde

L1=2 x10−7(ln ε14 ε+ln

Dr1

) Ecuación 1.3.25

Se combinan términos y se obtiene

49

L1=2 x10−7 lnD

r1 ε−1

4Ecuación 1.3.26

Si se sustituye r ΄1por r1 ε−14 ,

L1=2 x10−7 lnDr ΄1

H /m Ecuación 1.3.27

El radio r΄ es el de un conductor ficticio que se supone sin flujo interno pero con la

misma inductancia que tiene el conductor real de radio r1. La cantidad ε−14 es igual

a 0.7788. En la ecuación 1.3.27 se omite el término que toma en cuenta el flujo interno pero lo compensa mediante un valor ajustado para el radio del conductor. el factor de multiplicación 0.7788 (que ajusta el radio con el fin de tomar en cuenta el flujo interno) se aplica solamente a los conductores cilíndricos solidos. Después se consideraran otros tipos de conductores.

Como la corriente en el conductor 2 fluye en dirección opuesta a la del conductor 1 (o esta 180° fuera de fase con ella), los enlaces de flujo que produce la corriente en el conductor 2 están en la misma dirección que tienen los enlaces producidos por la corriente del conductor 1 en el circuito. El flujo resultante de los dos conductores se determina por la suma de las fmm de ambos conductores. Sin embargo, para una permeabilidad constante, se pueden sumar los enlaces de flujo (y de la misma forma las inductancias) de los conductores considerados por separado.

50

Al comparar con la ecuación 1.3.27, la inductancia debida a la corriente en el conductor 2 es

L2=2 x10−7 lnDr ΄2

H /m Ecuación 1.3.28

Y para el circuito completo

L=L1+L2=4 x10−7 lnD

√r ΄1r ΄2

H /m Ecuación 1.3.29

Algunas veces, a este valor de inductancia se le conoce como inductancia por metro de malla o por milla de malla para distinguirla de la componente de inductancia del circuito que se atribuye a la corriente en un solo conductor. Esta ultima, obtenida de la ecuación 1.3.3.4, es la mitad de la inductancia total de una línea monofásica y se le conoce como inductancia por conductor

51

Enlaces de flujo de un conductor dentro de un grupo.

Un problema más general que el de una línea de dos conductores es el de un conductor en un grupo de ellos, en el que la suma de las corrientes de los conductores es cero. En la figura 1.3.4.1 se muestra un grupo de conductores como este. Los conductores 1, 2, 3,…, n llevan las corrientes fasoriales I1, I2, I3,…, In. Las distancias de estos conductores desde un punto remoto P se indican en la figura como D1P1, D2P, D3P3,...,DnP. Se determinaran los enlaces de flujo λ1P1 del conductor 1 debidos a I1 incluso los enlaces de flujo interno, pero se excluye todo el flujo mas allá de P. por las 1.3.16 y 1.3.22

λ1P1=( I 1

2+2 I 1ln

D1P

r1)1 0−7 Ecuación 1.3.30

λ1P1=2 x10−7 I 1 lnD1P

r΄1Wbv /m Ecuación 1.3.31

Los enlaces de flujo λ1P2 con el conductor 1 debidos a I2, pero que excluyen el flujo mas allá del punto P, son iguales al punto producido por I2 entre el punto p y el conductor 1 (esto es, dentro de las distancias limite D2P y D12 desde el conductor 2), y así

λ1P2=2 x10−7 I 2 lnD2P

D12

Ecuación 1.3.32

Los enlaces de flujo λ1Pcon el conductor 1 debidos a todos los demás conductores en el grupo, pero excluyendo el flujo mas allá del punto P, son

52

λ1P=2 x10−7(I 1 lnD1P

r ΄1+ I2 ln

D2P

D12

+ I 3 lnD 3P

D13

+…I n lnDnP

D1n)Ecuación 1.3.33

Que, al expandir los términos logarítmicos y reagrupar, da

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

+ I 1 lnD1 P+ I2 ln D2P+ I 3 ln DnP) Ecuación 1.3.34

Como la suma de todas las corrientes del grupo es cero,

I 1+ I 2+ I 3+…+ I n=0

Y el resolver para In se obtiene

I n=−( I 1+ I2+ I 3+…+ I n−1 ) Ecuación 1.3.35

Se sustituye la ecuación 1.3.4.5 en el segundo término de la ecuación 1.3.4.4 que contiene a In y al reagrupar algunos términos logarítmicos, se tiene

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

+¿ I 1lnD1P

D nP

+ I2 lnD 2P

DnP

+ I 3 lnD 3P

DnP

+…+ I n−1lnD(n−1)P

DnP)

Ecuación 1.3.36

53

Ahora, al dejar que el punto P se mueva hacia el infinito de forma que el conjunto de términos que contengan logaritmos de relaciones de distancias desde P se vuelva infinitesimal, por que las relaciones de las distancias se aproxima a 1, se obtiene

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

)Wbv /m

Ecuación 1.3.37

Al dejar que el punto P se mueva infinitamente lejos, se incluyen todos los enlaces de flujo del conductor 1. Por lo tanto, la ecuación 1.3.37 expresa todos los enlaces de flujo del conductor 1 en un grupo de conductores, siempre que la suma de corrientes sea cero. Si las corrientes son alternas, se deben expresar como corrientes instantáneas para obtener enlaces de flujo instantáneos, o como valores rms complejos para obtener el valor rms de los enlaces de flujo como un numero complejo.

54

Inductancia de líneas de conductores compuestos.

Los conductores trenzados caen dentro de la clasificación general de conductores compuestos, lo que significa que se componen de dos o más elementos o hilos que están eléctricamente en paralelo. Se limitara el estudio al caso en el que todos los hilos son idénticos y comparten la corriente por igual. Por lo general, los valores de la inductancia interna de conductores específicos son publicados por los fabricantes y se encuentran en los manuales. El método por desarrollar indica una aproximación a problemas mas complicados de conductores no homogéneos y a una repartición desigual de la corriente entre hilos. Este método se aplica a la determinación de la inductancia de líneas que consisten en circuitos eléctricos en paralelo, puesto que dos conductores en paralelo pueden ser tratados como hilos de un solo conductor compuesto.

En la figura 1.3.5 se muestra una línea monofásica compuesta de dos conductores. Con el fin de hacer más general el estudio, cada conductor que forma un lado de la línea se muestra en un arreglo arbitrario de un número indefinido de conductores. Las únicas restricciones son que los hilos paralelos son cilíndricos y comparten la corriente por igual. El conductor X esta compuesto de n hilos idénticos en paralelos, y cada uno lleva una corriente I/n. El conductor Y, que es el círculo de retorno para la corriente en el conductor X, se compone de m hilos idénticos paralelos, y cada uno lleva la corriente –I/m. las distancias entre los elementos serán señaladas por la letra D por los subíndices apropiados. Al aplicar la ecuación 1.3.37 al hilo “a” del conductor X, se obtienen los enlaces de flujo del hilo “a”.

λₐ=2×10−7 In (¿ 1

r ´ ₐ+¿

1Dab

+¿1Dac

+…+¿1Dan

)−2×10−7 I

m (¿ 1Daa ´

+¿1

Dab ´

+¿1

Dac´

+…+¿1Dam

) Ecuación 1.3.38

55

De la que

λg=2×10−7 /¿∈

m√Daa ´D ba´ Dca´ …Dam ´

n√r ´a DabD ac…Dan

Wbv /m¿ Ecuación 1.3.39

Se divide la ecuación 1.3.39 entre la corriente I/n, y se encuentra que la inductancia del hilo “a” es

L=λaI /n

=2n×10−7∈m√Daa ´D ba´ Dca´…Dam´

n√r ´ aD abDac…D an

H /m Ecuación 1.3.40

De igual forma, la inductancia del hilo b es

Lb=¿

λbI /n

=2n×10−7∈m√Dba ´ D

bb ´ Dbc´

…... Dbm ´

n√Dr´b Dbb Dbc…Dbn

H /m¿ Ecuación 1.3.41

La inductancia promedio de los hilos del conductor X es

Lpromedio=La+Lb+¿ Lc+…+Ln

n¿ ecuacion 1.3.42

El conductor X se compone de n hilos que están eléctricamente en paralelos. Si todos los hilos tuvieran la misma inductancia, la del conductor seria el producto de la inductancia de un hilo por l/n. en este análisis, todos los hilos tienen inductancia diferentes, pero la de todos en paralelos es l/n por la inductancia promedio. Así, la inductancia del conductor X es

LX=Lpromedio

n=La+

Lb+¿ Lc+…+Ln

n2 ¿ Ecuación 1.3.43

56

Al sustituir la expresión logarítmica para la inductancia de cada hilo en la ecuación 1.3.43, y después de agrupar términos, se obtiene

x∈mn√ (Daa ´Dba ´D ca´…Dma´ ) (Dba ´Dbb ´ Dbc´…Dba ´)… (Dna´ Dna ´Dna ´…Dnm´ )

n2

√(DanDabDac…Dan ) (DbaDbbDbc…Dbn )… (Dna DnbDnc…Dnn)H /m

Ecuación 1.3.44

Donde, para darle a la ecuación una forma simétrica, r´a,r´b y r´n se han remplazado por Daa,Dbb, Dnn respectivamente.

Obsérvese que el numerador del argumento del logaritmo e la ecuación 1.3.44 es la raíz mn-esima de mn términos, que son los producto de las distancias desde todos los n hilos del conductor X a todos los m hilos del conductor Y. para cada hilo en el conductor X, hay m distancias a los hilos del conductor Y y ay n hilos en el conductor X. el producto de la m distancias para cada uno de los n hilos da como resultado mn términos. La raíz mn-enesima del producto de las mn distancias se llama distancia media geométrica entre el conductor X y el Y. se abrevia Dm o DMG, y también es conocida como la DMG mutua entre los dos conductores.

El denominador del argumento del logaritmo en la ecuación 1.3.44 es la raíz n2

términos. Hay n hilos y para cada uno hay n términos que consisten en la r´ del hilo por las distancias desde ese hilo a cada uno de los que están en el conductor X. así es como se tienen los n2 términos. Algunas veces, la r´a se conoce como la distancia del hilo a así mismo, especialmente cuando se le designa como Daa.con esto en mente los términos en el radical del denominador se puede describir como el producto de las distancias desde cada hilo del conductor así mismo y a cada uno de los otros hilos. A la raíz n2- exima deseos términos se le llama la DMG propia del conductor X, y a la r´ del hilo separado se le llama DMG propia también s ele conoce como radical medio geométrico o RMG con el fin de cumplir con esta practica y se identificara por DS.

La ecuación 1.3.44 en términos de Dm y da

Lx=2×10−7∈Dm

Ds

H /m Ecuación 1.3.45

La inductancia del conductor y se determina de manera similar, y la inductancia de la línea es

L=LX+LY

57

Ejemplo: el circuito de una línea de transmisión monofásica se compone de tres conductores solidos de radio 0.25cm. El circuito de retorno se compone se dos conductores de radio 0.5cm. El arreglo de conductores se muestra en la figura 1.3.6 entre la inductancia debida ala corriente en cada lado de la línea completa en Henry por metro (y en milihenrys por milla).

Solución. Se encuentra la DMG entre los lados X y Y:

Dm=6√D adD aeD bdD beD cbDce

Dad=Dbc=9m

Dac=Dbd=Dce=√62+92=√117

Dcd=√92+122=15m

Dm=6√92 x 15x 117

32=10.743m

Entonces, se encuentra la RMG para el lado x

Ds=9√D aaDab DacDbd Dbb DbcDcdDcbD cc

¿ 9√¿¿

Y para el lado y

Ds=4√¿¿

Lx=2x 10−7 ln10.7430.481

=6.212 x10−7H /m

58

Ly=2 x1 0−7 ln10.7430.153

−8.503 x10−7H /m

L=Lx+L y=14.715 x10−7 H /m

(L=14.715 x 10−7 x1609 x103=2.37mH /milla )

En el ejemplo anterior los conductores en paralelo de un lado de la línea están separados 6m y a distancia entre los dos lados de la línea es de 9m. aquí resulta importante el calculo de la DMG. Para conductores trenzados, la distancia entre lados de una línea compuesta de un conductor por lado, es generalmente tan grande que la DMG mutua se puede tomar como igual a la distancia centro a centro con un error insignificante.Se obtiene un mayor grado de exactitud si se desprecia el efecto del alma de acero del ACSR en los cálculos de la inductancia, siempre que los hilos de aluminio estén en un número par de capas. Se hace mas evidente el efecto del alma de acero cuando se tiene un numero impar de capas de hilo de aluminio, pero la exactitud es buena si los cálculos se basan solamente sobre los hilos de aluminio.

59

El uso de tablas

Generalmente, las tablas que enlistan los valores de RMG para los conductores estándar están disponibles y dan información para el cálculo de la reactancia inductiva, así como de la capacitancia en paralelo y de la resistencia. Como en estados unidos la industria sigue usando unidades como pulgadas, pies y millas, las tablas también lo hacen. Por lo tanto, en algunos de los ejemplos se usaran los pies y millas pero en otros, los metros y kilómetros.

En general, es más deseable la reactancia inductiva que la reactancia. La reactancia inductiva de un conductor de una línea monofásica de dos conductores es

X l=2πfl=2πfx 2 x1 0−7 lnDm

D s

=4 πfx 10−7 lnDm

Ds

Ω /m Ecuación 1.3.46

X L=2.022x 10−3 f lnDm

D s

Ω /milla Ecuación 1.3.47

Donde Dm es la distancia entre conductores. Dm y Ds deben estar en las mismas unidades, por lo general, metros o pies. El RMG encontrado en tablas es un D, equivalente que toma en cuenta un efecto piel lo suficientemente apreciable como para afectar el valor de inductancia. Por supuesto, el efecto piel es mayor a altas frecuencias para un conductor de un diámetro dado. Algunas tablas dan los valores de reactancia inductiva además del RMG. Un método es expandir el término logarítmico de la ecuación 1.3.47 de la siguiente forma:

X L=2.022x 10−3 f ln1Ds

+2.022x 10−3 fln DmΩ /milla Ecuación 1.3.48

Xa Xd

60

Si Ds y Dm están en pies, el primer término de la ecuación 1.3.48 es la reactancia inductiva para un conductor de una línea de dos conductores, que tiene una distancia de 1 pie entre ellos, como se puede observar al comparar la ecuación 1.3.48 con la 1.3.47. Por esta razón, al primer termino de la ecuación 1.3.48. Se le conoce como reactancia inductiva a 1 pie de espaciamiento Xa, el cual depende de la RMG del conductor y de la frecuencia. Al segundo termino de la ecuación 1.3.48, se le conoce como factor de espaciamiento de la reactancia inductiva Xd, este segundo término es independiente del tipo del conductor y es función solamente de la frecuencia y del espaciamiento.

Ejemplo 1.3.1

Encuentre la reactancia inductiva por milla de una línea monofásica que opera a 60 Hz. El conductor es el patridge y el espaciamiento es de 20 pies entre centros.

Solución:-por tablas, este conductor tiene un valor de Ds=0.0217 pies de la ecuación 1.3.47 para un conductor

X L=2.022x 10−3 x60 ln20

0.0217¿0.828Ω /milla

Tabla 1.3.1 características eléctricas de conductores de aluminio con alma de acero

61

Inductancia de líneas trifásicas con espaciamiento equilátero.

Hasta ahora se ha considerado solamente el caso de líneas monofásicas. Sin embargo, las ecuaciones que se han desarrollado se puede adaptar fácilmente para el cálculo de la inductancia de líneas trifásicas. En la figura 1.3.7 se muestran los conductores de una línea trifásica localizada en las esquinas de un triangulo equilátero. Si se supone que no hay conductor neutro, si se suponen corrientes fasoriales trifásicas equilibradas, entonces Ia + Ib + Ic =0. Con la ecuación 1.3.37 se determina los enlaces de flujo del conductor a:

62

λ a=2 x 10 -7=(I a ln1D s

+ I b ln1D

+ I c ln1D )Wbv /m Ecuacion 1.3.49

como I a =−( I b+ I c ), la ecuacion 1.3.49 da

λ a=2 x 10 -7=(I a ln1D s

−I a ln1D )=2 x10 -7 I a ln

1D s

Wbv /m Ecuación 1.3.50

y

L a=2 x 10 -7 lnDD s

H/m Ecuación 1.3.51

La ecuación 1.3.51 tiene la misma forma que la ecuación 1.3.27 para una línea monofásica, con la excepción de que Ds remplaza a r΄. Debido ala simetría del arreglo, las inductancias de los conductores b y c son iguales a la de a. como cada fase consiste en un solo conductor, la ecuación 1.3.51 da la inductancia por fase de la línea trifásica.

Inductancia de líneas trifásicas con espaciamiento asimétrico.

Cuando los conductores de una línea trifásica no están espaciados de manera equilátera, el problema de encontrar la inductancia se hace más difícil. Los enlaces de flujo y las inductancias de cada fase no son iguales. En un circuito

63

desbalanceado se obtiene una inductancia diferente en cada fase. Se puede restablecer el balance en las tres fases intercambiando las posiciones de los conductores en intervalos regulares a lo largo de la línea, de forma que cada conductor ocupe la posición que tenían originalmente los otros a igual distancia. A este intercambio de posiciones de los conductores se le conoce como transposición. En la figura 1.3.8 se muestra un ciclo completo de transposición.

Se designa a los conductores de fase como a, b, c y las posiciones que ocupan se numeran como 1, 2 y 3, respectivamente. La transposición da como resultado que cada conductor tenga la misma inductancia promedio en todo el ciclo.

Por lo general, las líneas de los sistemas de potencias modernos no se transponen en intervalos regulares, aunque se puede hacer un intercambio de las posiciones de los conductores en las subestaciones de interconexión, con el fin de balancear las inductancias de las fases en forma más aproximada. Afortunadamente, la asimetría de las fases de una línea que no esta transpuesta es pequeña y se desprecia en la mayoría de los cálculos de inductancia. Si la asimetría es despreciable, la inductancia de la línea no transpuesta se toma como igual al valor promedio de la reactancia inductiva de una fase de la misma línea transpuesta correctamente. Los desarrollos que siguen se hacen para líneas transpuestas.

Para encontrar la inductancia promedio de un conductor en una línea transpuesta, primero se determinan los enlaces de flujo de un conductor para cada posición en el ciclo de transposición y entonces se determinan los enlaces de flujo promedio. Al aplicar la ecuación 1.3.45 al conductor a de la figura 1.3.8 para encontrar la expresión fasorial de los enlaces de flujo de a en la posición 1, cuando b y c están en las posiciones 2 y 3, respectivamente, se obtiene

λa1=2x 10−7(I a ln1Ds

+ I b ln1D12

+ I c ln1D31

)Wbv /m Ecuación 1.3.52

Con a en la posición 2, b en la 3 y c en la 1,

64

λa2=2x 10−7(I a ln1Ds

+ I b ln1D23

+ I c ln1D12

)Wbv /m Ecuación 1.3.53

Y con a en la posición 3, b en la 1 y c en la 2,

λa3=2 x10−7(I a ln1Ds

+ Ib ln1D31

+ I c ln1D23

)Wbv /m Ecuación 1.3.54

El valor promedio de los enlaces de flujo de a es

λa=λa1+λa2+ λa3

3

¿ 2x 10−7

3 (3 I a ln1Ds

+ Ib ln1

D12D23D 31

+ I c ln1

D 12D23D31 ) Ecuación 1.3.55

Y la inductancia promedio por fase es

La=2 x10−7 lnDeq

Ds

H /m Ecuación 1.3.56

Donde

Deq=3√D12D23D31 Ecuación 1.3.57

Y Ds es el RMG del conductor. Como puede observarse, al comparar las ecuaciones 1.3.56 y 1.3.51, la media geométrica de las tres distancias de la línea asimétrica, Deq, es el espaciamiento equilátero equivalente. Debe observarse la similitud de todas las ecuaciones para el cálculo de la inductancia de un conductor. Si la inductancia esta en henrys por metro, aparece el factor 2x10 -7 en todas las ecuaciones, y el denominador del termino logarítmico siempre es el RMG del conductor. El numerador es la distancia entre conductores de una línea de dos conductores, ola DMG mutua entre los lados de una línea monofásica de conductores compuestos, o bien, la distancia entre conductores de una línea con espacio equilátero o e espaciamiento equilátero equivalente de una línea asimétrica.

Calculo de inductancia para conductores agrupados.

65

En voltaje extra alto (EAV), esto es, voltajes por arriba de 230 kV, la corona y sus consecuentes perdidas de potencia e interferencia en las comunicaciones puede ser excesiva si el circuito solo tiene un conductor por fase. Ene le rango de EAV, el gradiente de alto voltaje en la superficie del conductor se reduce considerablemente si se tienen dos o mas conductores por fase que estén a una distancia que, comparada con la distancia que hay entre fases, sea relativamente pequeña.se dice que una línea así esta compuesta de conductores agrupados. El agrupamiento consiste ene dos, tres o cuatro conductores. En la figura 1.3.9 se muestran estos arreglos. La corriente no se repartirá exactamente entre los conductores del agrupamiento a menos que exista una transposición de conductores dentro del grupo. Sin embargo, la diferencia no es de importancia práctica y el método de la DMG es exacto para los cálculos.

La reactancia reducida es la otra ventaja igualmente importante del agrupamiento de conductores. Al incrementar el número de conductores en el agrupamiento, se reduce el efecto de la corona y la resistencia. La reducción de la reactancia es el resultado del incremento del RMG del agrupamiento de conductores. Por supuesto, el cálculo del RMG es exactamente igual al de los conductores trenzados. Por ejemplo, cada conductor de un agrupamiento de dos conductores

se considera como un hilo de un conductor de dos hilos. Si se denomina como Dsb

el RMG de los conductores agrupados y Ds el RMG de los conductores que individualmente componen el agrupamiento, se encuentra (con referencia a la figura 1.3.9)

Para un agrupamiento de dos conductores

Dsb=4√¿¿¿ Ecuación 1.3.58

Para un agrupamiento de tres conductores

Dsb=9√¿¿¿ Ecuación 1.3.59

Para un agrupamiento de cuatro conductores

Dsb=16√¿¿¿ Ecuación 1.3.60

Al calcular la inductancia mediante la ecuación 1.3.56, la Ds de cada conductor se

remplaza por la Dsb del agrupamiento. Para calcular Deq, la distancia desde el

66

centro de un agrupamiento de conductores al centro de otro, es lo suficientemente exacta para la determinación de Dab, Dbc, y Dca. Obtener la DMG real entre conductores de un agrupamiento y los de otro es prácticamente igual al cálculo mediante las distancias centro a centro del espaciamiento común.

1.4 CAPACITANCIA Y REACTANCIA CAPACITIVA

Introducción:

El termino capacitancia lo definimos como una propiedad de un circuito la cual se

67

opone a cualquier cambio en el voltaje del circuito, que tiene como0m habilidad para acumular y entregar carga.

Las características de los circuitos eléctricos básicos construidos con dispositivos de resistencia eléctrica pura, ahora se conocerá la propiedad de otro componente llamado capacitor, cuya propiedad es conocida como capacitancia, La Capacitancia, como la Resistencia, aparece en toda clase de circuitos eléctricos y electrónicos. Sin ella, la radio y la televisión, tal como las conocemos hoy no existirían.

Definición

La Capacitancia es la propiedad de un capacitor de oponerse a toda variación de la tensión en el circuito eléctrico. Usted recordará que la resistencia es la oposición al flujo de la corriente eléctrica. También se define, a la Capacitancia como una propiedad de almacenar carga eléctrica entre dos conductores, aislados el uno del otro, cuando existe una diferencia de potencial entre ellos, como se observa en la figura siguiente, las dos placas actúan como conductores, mientras que el aire actúa como un aislante:

Así como un Resistor está diseñado para tener Resistencia, el Capacitor está diseñado para tener Capacitancia; mientras que los resistores se oponen al flujo de la corriente, los capacitores se oponen a cualquier cambio en el Tensión eléctrica; el Capacitor más pequeño capaz de acumular carga eléctrica se construye de dos placas y un aislante de aire llamado dieléctrico.

Los factores que determinan la Capacitancia de un Capacitor simple son: a) el área de la placas, b) la separación entre las placas y c) el material del dieléctrico; La Capacitancia es directamente proporcional al área de las placas y a la constante dieléctrica del material dieléctrico utilizado e inversamente proporcional a la distancia de separación de las placas,

La capacitancia en las líneas de transmisión son el resultado de la diferencia de potencial entre conductores lo que origina que se carguen de igual manera que lo hace un capacitor de placas paralelas. La capacitancia entre los conductores es la carga por unidad de potencial y esta depende del tipo de conductor y la distancia que exista entre ellos. Para las líneas cortas (menores de 80 km) este efecto se puede despreciar, pero para líneas largas, este efecto crece en forma significativa.

Una red formada por un solo conductor tiene las características de un condensador donde una placa es un cilindro metálico y la otra placa es la superficie del terreno (Ver Figura 1.4)

68

FIGURA 1.4 Configuración cilindro plano de una red.

Cuando la red tiene una distancia considerable, el efecto capacitivo trae como consecuencia un nivel de voltaje en vacío, en el extremo de carga, superior al nivel de voltaje de la fuente. La capacitancia de la red normalmente no se considera para distancias cortas (d<80 Km). Pero para distancias mayores hay que considerar su efecto, ya que la inyección de reactivos por parte de la red al sistema, empieza a ser considerable, hasta el punto que las redes de mayor nivel de voltaje, deben ser compensadas mediante reactores.

Para llegar a un modelo capacitivo de una red trifásica se van a seguir los siguientes pasos:

1. Como una red trifásica está formada por una serie de conductores, cada uno de éstos se considera como portador de una carga lineal uniformemente distribuida. Se plantea una expresión general para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio debido a una distribución lineal de carga.

2. Aplicando la metodología de las cargas imágenes, una red trifásica sobre un suelo conductor se considera equivalente, a un sistema compuesto de las cargas reales de los conductores de fase y sus respectivas imágenes de carga. Se plantea para una red trifásica de un conductor por fase la relación entre voltajes inducidos y las cargas de los mismos. Las capacitancias asociadas a una red aparecen expresadas desde el punto de vista matricial.

3. Se plantea una interpretación física de la matriz de capacitancias de una red.

4. Se calculan las capacitancias de secuencia para una red sin considerar el efecto de los cables de guarda y suponiendo que hay transposición completa

Al aplicar una diferencia de potencial entre los extremos de dos conductores

separados por un dieléctrico, estos conductores adquieren una carga q, que es

69

proporcional al voltaje aplicado v y a una constante de proporcionalidad C llamada

capacitancia, que depende de la naturaleza del dieléctrico, de las dimensiones del

conductor y de su separación.

q=C . v (1.4.1)

Si el voltaje aplicado v es una función armónica del tiempo, la carga eléctrica

será también una función armónica del tiempo produciéndose una corriente de

carga y descarga de la misma frecuencia que el voltaje aplicado y adelantada 90°

con respecto a éste.

La base para el análisis de la capacitancia es la Ley de Gauss para campos

eléctricos. Esta ley establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier

superficie Gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de

ella, dividida por la permeabilidad relativa del material que rodea a la superficie

∮s E∗ds=qq∈0

(1.4.2)

Donde Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector

campo E por el vector superficie ds. El vector superficie es un vector que tiene por

módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la

contiene, ε0 es la permeabilidad del material que rodea a la superficie y q es la

carga interna por unidad de longitud.

70

Campo eléctrico de un conductor largo y recto

Para obtener el campo de una línea de transmisión, se representa a ésta como un

conductor recto, cilindro y largo, el cual tiene una carga uniforme en toda su

longitud y ésta aislado de otras cargas, de forma que la carga esté repartida

uniformemente en su superficie, el flujo que produce será radial. Se puede calcular

la densidad de flujo eléctrico a x metro del conductor imaginando una superficie

cilíndrica concéntrica a x m de radio. Deducimos el campo eléctrico aplicando la

ley de gauss, ecuación 1.4.2

Figura 1.4.1 Líneas de flujo eléctrico creada por una carga uniformemente repartida sobre la superficie de un conductor cilíndrico

El flujo de campo eléctrico, tiene dos componentes: Flujo a través de las bases

del cilindro en donde el campo E y el vector superficie ds1 o ds2 forman 90º por lo

que el flujo es cero y el Flujo a través de la superficie lateral del cilindro donde el

campo E es paralelo al vector superficie ds. El campo eléctrico E es constante en

71

todos los puntos de la superficie lateral. La carga que hay en el interior de la

superficie cerrada vale q =λ.L, donde λ es la carga por unidad de longitud

∮s E∗ds∗cos0= qε0

(1.4.3)

E∗∮sds=qε0

(1.4.4)

Despejando E, la intensidad de campo eléctrico es:

E= q2 πx ε0

(V /m2) (1.4.5)

Usando la ecuación de Maxwell en vació

c= 1

√ μ0 ε0

(1.4.6)

Donde c es la velocidad de la luz en el vació aproximadamente igual a 3X109.

Despejando 1/ε0,

1ε0

=c2μ0 (1.4.7)

Sustituyendo el valor 1/ε0 en la ecuación 1.4.5, tenemos

E=q∗9×1016∗4 π ×10−7

2π x=18×109∗q

x

(1.4.8)

72

Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga.

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo, representa

el trabajo en Joule por Coulomb requerido para mover un coulomb carga, desde

un punto al otro contra la dirección del campo. La intensidad de campo eléctrico es

la fuerza en newton por Coulomb, que actúa sobre un coulomb situado en un

punto determinado.

La integral de línea entre dos puntos, de la fuerza en newton que actúa sobre

un Coulomb de carga positiva, es el trabajo hecho para mover la carga desde el

punto de más bajo al de más alto potencial y es numéricamente igual a la

diferencia de potencial entre dos puntos.

Consideraremos un conductor recto, largo con una carga positiva de q Coulomb

/metro, tal como lo muestra la figura 1.4.2 a las distancias D1 y D2 metros,

respectivamente, del centro del conductor, están situados dos puntos P1 y P2.

Figura 1.4.2 Camino de integración entre dos puntos exteriores a un conductor cilíndrico con carga positiva uniformemente repartida

73

La carga positiva que hay sobre el conductor ejerce una fuerza que repele las

cargas positivas situadas en el campo. Debido a esto y teniendo en cuenta que D2

es mayor a D1, hay que realizar un trabajo para llevar la carga positiva desde el

punto P1 a P2, estando P1 a mayor potencial que P2. La diferencia de potencial

es la cantidad de trabajo realizado por Coulomb que se transporta. Por el

contrario, al mover el Coulomb de P1 a P2 absorbe una energía, la cual en newton

metro, es la caída de tensión entre P1 y P2. La diferencia de tensión en dos

puntos en independiente del camino recorrido de un punto al otro .La forma más

sencilla de calcular la caída de tensión entre los dos puntos, es calcular la tensión

que existe entre las superficies equipotenciales que pasan por P1 y P2, integrando

la intensidad de campo a lo largo de un camino radial entre las superficies

equipotenciales. De esta forma la caída instantánea de tensión entre P1 y P2, es

v12=∫D1

D2

Edx (V )(1.4 .9)

Sustituyendo la ecuación 1.4.8 en la 1.4.9,

v12=∫D1

D218×109

xq=18×109q∈(X|D 1

D 2 )=18×109q∈ D1D2

(V ) (1.4.10)

Donde q es la carga instantánea sobre el conductor, en Coulomb por metro de

longitud. La caída de tensión puede ser positiva o negativa de pendiendo de que

D2 sea mayor o menor que D1.

La diferencia de potencial entre dos puntos en Volts es numéricamente igual al trabajo en Joules por Coulomb necesarios para mover un Coulomb de carga entre los dos puntos.

Si consideramos un conductor cilíndrico largo y recto que conduce una carga positiva como se muestra en la Figura 1.4.3 podemos ver que los punto s P 1 y P 2

están a las distancias de D 1 y D 2 desde el centro del conductor. Entonces la diferencia de potencial está dada por:

74

Figura 1.4.3 Conductor cilíndrico sólido de conducción perfecta y con distribución uniforme de carga ([J. Duncan Glover, 2004]).

v12=q

2πε∈D 2D 1

volts (1.4.11)

Dónde:V 12 es la tensión en P 1 respecto a P 2 .

Considerando un tramo de conductor (Figura 1.4.4) de longitud.

FIGURA 1.4.4, Superficie gaussiana rodeando un conductor cargado

La superficie gaussiana alrededor de un tramo de conductor tiene las siguientes características:

1. El flujo eléctrico en las caras circulares es cero porque no hay líneas de campo en esta dirección.

2. En la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico (Dx) es constante. Esto permite evaluar con facilidad la ecuación de la Ley de Gauss.

Ψ E= ∫superficie

D .dA=qencerrada=Q=q .1 (1.4.12)

75

Donde, Ψ E = Flujo eléctricoD = Densidad de flujo eléctrico, C/m²q = Carga lineal por unidad de longitud, Q/m

Sobre la superficie cilíndrica la densidad de flujo eléctrico es constante y será igual a:

D x=q

2 πX (1.4.13)

El campo eléctrico en la superficie gaussiana depende de la permitividad eléctrica del medio (aire), Esta permitividad o constante dieléctrica se puede asumir aproximadamente como la del vacío:

(E≈ϵ 0=q1

36 πX10−9 F

m ) .E x=q

2πϵXV /m

(1.4.14)

La diferencia de potencial en el aire debido a una distribución lineal de carga se puede evaluar a partir de la ecuación 1.4.14 y recordando que el campo eléctrico se calcula como el gradiente del potencial multiplicado por (-1).

En la Figura 1.4.5 se observa la trayectoria seguida en la integración del campo eléctrico para evaluar la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2.

FIGURA 1.4.5 Trayectoria de integración para el campo eléctrico

V 12=∫D1

D2

E .dx=∫D1

D2q

2 πϵxdx (1.4.15)

76

V 12= q2πϵ

∈ D2D1

(1.4.16)

Capacitancia de una línea de dos conductores

La capacitancia que existe entre dos conductores es la carga de los dos

conductores por la unidad de diferencia de potencial entre ellos, en forma de

ecuación, la capacitancia por unidad de longitud es

C=qvFm

(1.4.17)

Donde q es la carga de la línea, en Coulomb por metro, y v es la diferencia de

potencial entre conductores en voltios.

La capacitancia entre conductores puede encontrarse sustituyendo en la

ecuación (1.4.17), el valor de v, en función de q. La tensión vab de una línea de dos

conductores de la figura 1.4.6 se halla determinando la diferencia de potencial,

entre ellos. Calculando, en primer lugar, la caída de tensión debida a la carga qa

del conductor a y, a continuación, la debida a la carga qb del conductor b.

Figura 1.4.6 Sección transversal de una línea de dos conductores

Por principio de superposición, la caída de tensión del conductor a al b, debida a

la carga de ambos conductores es la suma de las caída de tensión producidas por

cada una de las cargas independientemente.

77

Figura 1.4.7 Superficies equipotenciales en una parte del campo eléctrico producido por un conductor cargado.

La carga qa sobre el conductor a de la figura 1.4.6 origina superficies

equipotenciales en la vecindad del conductor b como se muestra en la figura 1.4.7.

Para determina vab debida a qa se sigue la trayectoria y se observa que la

distancia D1 es el radio ra del conductor a y la distancia D2 es la distancia de

centro a centro de los conductores a y b, de igual forma para determina vab debida

a qb, se observa que las distancias D1 y D2 son rb y D respectivamente. Pasando

a la notación vectorial (qa y qb son números complejos), tenemos:

V ab=18×109qa∈Dra

+18×109qb∈rbD

(V ) (1.4.18)

Y como qa = -qb para una línea de dos conductores,

78

V ab=18×109qa(¿ Dr a

−¿rbD )(V ) (1.4.19)

Agrupando los términos logarítmicos.

V ab=18×109qa(¿ D2

ra rb )(V )

(1.4.20)

La capacitancia entre conductores es,

Cab=

qaV ab

= 1

18×109(¿ D 2

r ar b )(Fm

)

(1.4.21)

Si ra = rb y aplicamos las propiedades de los logaritmo,

Cab=12×

1

18×109(¿ Dr )

Fm (1.4.22)

La ecuación 1.165, da la capacitancia entre los conductores de una línea

monofásica. Si la línea se alimenta por un transformador que tiene un punto

puesto a tierra, la diferencia de potencial entre cada uno de los conductores y la

tierra es la mitad de la existente entre ambos conductores, la capacitancia

respecto a la tierra, es la carga de un conductor por unidad de diferencia de

potencial entre el conductor y la tierra.

Cn=Can=Cbn= 1

18×109(¿ Dr ) (1.4.23) La ecuación de

la capacitancia corresponde con la ecuación de la inductancia. Observando estas

ecuaciones se ve una diferencia, el radio que figura en al ecuación de la

79

capacitancia, es el radio exterior del conductor, mientras que el de la inductancia

es el RMG.

Capacitancia de una línea trifásica con espaciamiento equilátero

La figura 1.4.8 representa los tres conductores idénticos de radio r de una línea

trifásica con disposición equilátera. Para encontrar la capacitancia respecto al

neutro empezamos por calcular la tensión de la carga respecto a la tierra.

Figura 1.4.8 Sección transversal de una línea trifásica con disposición

equilátera

Va=18×109 [qa∈1

r+qb∈ 1

D+qc∈ 1

D ] (1.4.24)

Va=18×109 [qa∈1

r+(qb+qc )∈ 1

D ] (1.4.25)

Si suponemos que no existen otras cargas próximas a los conductores, la

suma de las cargas de las tres conductores es cero, pudiendo sustituirse –qa en la

ecuación por qb+qc con lo que tenemos:

80

Va=18×109 [qa∈D

r ] (1.4.26)

Como la capacitancia respecto al neutro es la relación entre la carga en un

conductor y la tensión entre éste y neutro,

Cn= 1

18×109 [qa∈D

r ] (1.4.27)

Comparando las ecuaciones 1.4.27 y 1.4.23 vemos que son las mismas. Estas

ecuaciones dan la capacitancia respecto al neutro, de las líneas trifásicas con

disposición equilátera y monofásica, respectivamente

81

Capacitancia de una línea trifásica con espaciamiento asimétrico.

Cuando los conductores de una línea trifásica no están espaciados de

manera simétrica, se debe conocer el valor de las cargas de cada conductor, para

así determinar el valor del potencial. Generalmente se conoce las tensiones de

cada conductor, por lo que se determina es el valor de las cargas

Figura 1.4.9 Línea trifásica con espaciamiento asimétrico

Si se tiene un sistema trifásico balanceado y los voltajes RMS de los

conductores A, B, C, están representados por los vectores OP, OQ y OR. Si el

voltaje del conductor A es

V A=OP=V (1.4.28)

82

Los voltajes de B y C son

V B=OQ=V (−0.5− j 0.866 )

V C=¿=V (−0.5− j 0.866 ) (1.4.29)

Usando la ecuación 1.4.70

V A=18×109 [qa∈1

r+qb∈1

c+qc∈1

b ] (1.4.30)

V A=18×109 [qa∈1

c+qb∈1

r+qc∈1

a ] (1.4.31)

V A=18×109 [qa∈1

c+qb∈1

r+qc∈1

r ] (1.4.32)

Donde qa, qb, qc son valores r.m.s de las cargas por metro de conductor:

V A−V B=18×109 [qa∈c

r+qb∈ r

c+qc∈a

b ] (1.4.33)

Como qa+qb+qc = 0, qc puede remplazarse por –(qa+qb) y combinando términos logarítmicos tenemos:

V A−V B=18×109[qa∈ bcar

+qb∈brca ] (1.4.34)

De manera análoga

K A=18×109(¿ bcar )V B−V C=18×109[qb∈ cabr

+qc∈ crab ] (1.4.35)

V C−V A=18×109[qc∈ abcr

+qa∈ arbc ] (1.4.36)

Si llamamos

K A=18×109∈[ bcar ]

83

K B=18×109∈[ cabr ]KC=18×109∈[ abcr ]

Tenemos:

V A−V B=K Aqa−KBqb (1.4.37)V B−V C=K Bqb−K cqc (1.4.38)V C−V A=KC qc−K A qa (1.4.39)

Sustituyendo –(qa+ac) por qb en la ecuación y resolviendo simultáneamente con

la ecuación

qa=K C (V A−V B )−K B (V C−V A )K AK B+KBKC+KC K A

(1.4.40)

De igual manera para qb y qc

qb=K A (V B−V C )−K C (V A−V B )K AK B+KBKC+KC K A

(1.4.41)

qc=KB (V C−V A )−K A (V B−V C )K AKB+K BK C+KCK A

(1.4.42)

Ingresando los valores de VA, VB y VC, en la ecuación tenemos

qa=V [KC (1.5−J 0.866 )−K B (−1.5+J 0.866 ) ]

K AKB+K BK C+KCK A

(1.4.43)

Sustituyendo los valores de KA, KB, KC

84

qa=18×109V [1.5∈ ab

cr+ j0.866∈ ab

cr+1.5∈ ca

br− j 0.866

cabr ]

(18×109 )2[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

I nabcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

(1.4.44)

Simplificando la ecuación

qa=V [3∈ a

r+ j 1.732

bc ]

18×109[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

∈abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

(1.4.45)

Como la capacitancia del conductor A es

C A=qaV A

(1.4.46)

C A=3∈ a

r+ j1.732

bc

18×109 [¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

(1.4.47)

De forma análoga se pueden escribir las ecuaciones de CB y CC

CB=3∈ b

r+ j1.732

ca

18×109[¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

(1.4.48)

85

CC=3∈ c

r+ j 1.732

ab

18×109[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

(1.4.49)

El término imaginario de la capacitancia, representa la energía transferida

entre las fases

Cuando el espaciamiento entre las líneas es irregular se transponen los

conductores. . El efecto de transposición es balancear eléctricamente las fases y

así la carga rms total sobre cada conductor es el mismo.

La capacitancia de cada fase respecto al neutro es diferente en cada

posición que ocupe el conductor en el ciclo de transposición. Sin embargo, la

capacitancia media respecto al neutro, de una de las fases, en todo el ciclo de

transposición, es igual a la de cualquier otra, puestos que todos los hilos de fase

ocupan la misma posición durante el recorrido a lo largo del ciclo de transposición.

Figura 2.4.10 Ciclo de transposición

La capacitancia media del conductor A es la capacitancia media de la fase

de una línea sin transposición De las ecuaciones. (1.4.46), (1.4.47), (y 1.4.48) el

valor medio de la capacitancia del conductor A es.

86

C A=

13 (3∈a

r+ j1.732

bc+3∈ b

r+ j 1.732

ca+3∈ c

r+ j1.732

ab )

18×109[¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

(1.4.50)

Simplificando

C A=¿ abc

r3

18×109 [¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

(1.4.51)

Que es también el valor de la capacitancia de los conductores B y C.

Un método simple y sencillo, para determinar la capacitancia con líneas con

transposición, es suponer que la densidad de carga de cada conductor esta

uniformemente repartida en la línea. El potencial de cada fase con el neutro

cambia en cada posición del ciclo de transposición y la capacitancia se basa en el

valor medio del potencial.

En la figura 1.4.9 se representa el espaciamiento inicial de los conductores,

la transposición se esta llevando a cabo como la muestra la figura 1.4.10. Usando

valores instantáneos, las cargas que se suponen están a lo largo de la línea qa,

qb y qc cumplen con que qa +qb + qc=0.

En la primera sección de la línea, el potencial del conductor A es:

V 1=18×109(qa∈ 1r+qb 1

c+qc 1

b ) (1.4.52)

87

En la segunda sección: V 2=18×109(qa∈ 1r+qb 1

a+qc 1

c ) (1.4.53)

En la tercera sección: V 3=18×109(qa∈ 1r+qb 1

b+qc 1

a ) (1.4.54)

El potencial medio es: V A=v1+v2+v3

3

(1.4.55)

V A=18×109

3 (qa∈ 1r 3 +(qb+qc )∈ 1

abc ) (1.4.56)

Sustituyendo qa por – (qb+qc) y combinando términos

V A=18×109(qa∈ 3√abcr ) (1.4.57)

Por lo tanto, la capacitancia del conductor A

C A=qav A

= 1

18×109(qa∈ 3√ abcr ) (1.4.58)

Los conductores B y C tienen el mismo valor.

La capacitancia por este método es similar la capacitancia de conductores

con espaciamiento simétrico con la distancia entre conductores , como el caso

correspondiente a l inductancia

88

Efecto del suelo sobre la capacitancia de la línea de transmisión trifásica

El suelo influye en la capacitancia de una línea de transmisión, debido a que

su presencia modifica el campo eléctrico de la línea. Si suponemos que la tierra es

un conductor perfecto de forma plana, horizontal, y prolongado en el infinito,

comprobaremos que el campo eléctrico de los conductores cargados, por encima

del suelo, no es el mismo que el que habría si no existiera la superficie

equipotencial de la tierra.

Consideraremos un circuito formado por un solo conductor aéreo y retorno por

tierra. Al cargarse al conductor, las cargas vienen desde la tierra a colocarse sobre

el conductor, estableciendo una diferencia de potencial entre el conductor y la

tierra. Ésta tiene una carga igual a la del conductor en valor absoluto, pero del

signo contrario. El flujo eléctrico entre las cargas del conductor y las de tierra, es

perpendicular a la superficie equipotencial del suelo, puesto que suponemos que

esta superficie es un conductor perfecto. Consideraremos un conductor imaginario

del mismo tamaño y de igual forma que el real, situado exactamente debajo de

éste y a una distancia de él igual a dos veces su distancia a la superficie del suelo.

El conductor imaginario estaría debajo de tierra a una distancia de ella igual a la

del conductor real. Si suponemos que el conductor ficticio tiene igual carga pero

opuesto sentido que el real y que la tierra no existe, el plano equidistante de

ambos conductores seria una superficie equipotencial y ocuparía la misma

posición que la superficie equipotencial del suelo. El flujo eléctrico entre el

conductor aéreo y aquella superficie equipotencial seria el mismo que el que existe

entre él y tierra.

Para los cálculos de la capacitancia, puede remplazarse el suelo por un

conductor ficticio cargado situado debajo de la tierra y a una distancia de ella igual

89

a la del conductor aéreo sobre la superficie del suelo. El conductor así definido

tiene una carga de igual valor y opuesto sentido que la del conductor real,

llamándose imagen del conductor.

Para calcular la capacitancia remplazando la tierra por la imagen del

conductor aéreo, se puede extender a más de un conductor. Si colocamos un

conductor imagen por cada aéreo, el flujo entre estos y sus correspondientes

imágenes es perpendicular al plano que sustituye al suelo, siendo éste una

superficie equipotencial.

90

Calculo del voltaje inducido en un punto debido a una línea

trifásica.

Para el cálculo de la tensión en un punto cualquiera del espacio debido a una

línea trifásica, se aplicara el método de las imágenes. Si tenemos una línea

trifásica como se muestra en la figura 1.4.11 Compuesta por los conductores a, b

y c, los cuales llevan las cargas qa, qb, y qc, se muestra el plano de tierra y

debajo de él están los conductores con las cargas imágenes –qa,-qb y –qc.

Figura 1.4.11 Línea trifásica y su imagen

La tensión en el punto x, debida a cada una de las cargas es igual,

91

V x=18×109[qa∈ 1dxa

+qb∈ 1dxb

+qc∈ 1dxc ] (1.4.59)

De la expresión anterior no se conoce el valor de las cargas, pero si

sabemos la tensión de cada uno de los conductores que forma la línea.

Figura 1.4.12 Diagrama fasorial de las tensiones de una línea trifásica

Tomando en cuenta las cargas imagen de cada conductor tenemos:

V a=18×109[qa∈ 1ra

+qb∈ 1dab

+qc∈ 1dac

−(qa∈ 1daa´

+qb∈ 1dab´

+qc∈ 1dac ´ )] (1.4.60)

V a=V <00=18×109[qa∈ daa ´ra

+qb∈ daa´dab

+qc∈ daa ´dac ]

(1.4.61)

De forma análoga se encuentra la tensión de los demás conductores.

V b=V <1200=18×109[qa∈ dba´dba

+qb∈dbb ´rb

+qc∈ dbc ´dbc ] (1.4.62)

V c=V <−1200=18×109[qa∈dca ´dca

+qb∈dcb´dcb

+qc∈ dcc´rc ] (1.4.63)

92

La relación entre las tensiones de las líneas y las cargas es:

|V|=18 x109( lndaa´ra

lndab ´dab

lndac ´dac

lndba´dba

lndbb ´rb

lndbc ´dbc

lndca´dca

lndcb ´dcb

lndcc´rc

)∗(qaqbqc) (1.4.64)

[V ]=[ P ]∗[q ]

(1.4.65)

Donde P es la matriz de potencial.

Para determinar las cargas de cada uno de los conductores se resuelve el

sistema de ecuaciones. Como las tensiones son sinusoidales y representan

vectores, las cargas serán, igualmente, cantidades sinusoidales y vectoriales

[q ]=[P ]−1∗[V ]

(1.4.66)

Una vez calculadas las cargas se sustituyen en la ecuación 1.4.59 y se

obtiene el voltaje del punto x.

93

Líneas trifásicas con circuitos paralelos

Sea un grupo de conductores cilíndricos A, B, C,….., iguales de radio r. Cada

conductor tiene cargas qa, qb, qc,… coulomb por metro de longitud

respectivamente, la suma de las cargas es igual a cero y X es un punto remoto de

distancias u, v, w entre los conductores A, B, C… respectivamente en metros.

Si r es pequeño comparado con las distancias entre conductores, puede

suponerse, cometiendo un error despreciable, que la carga eléctrica de cada

conductor está uniformemente distribuida sobre la superficie del conductor.

Si la carga está uniformemente distribuida, las líneas de fuerza del campo

eléctrico emana radial y uniformemente de los conductores.

94

Figura 1.4.13 Conjunto de conductores cargados paralelo

La diferencia de potencial entre el conductor A y el punto x es:

V AX=18×109 [qa∈ur+qb∈ v

d1+qc∈ w

d 2+…]

(1.4.67)

Desglosando la expresión anterior

V AX=18×109 [qa∈1r+qb∈ 1

d1+qc∈ 1

d 2+…]+18×109(qa∈u+qb∈v+qc∈w+…)

(1.4.68)

Recordando que qa=-(qb+qc+…..), el segundo termino de la ecuación

(2.4.19) puede escribirse

18×109[qa∈vu+qb∈w

u+… ]+18×109(qa∈ v

u+qc∈w

u+…) (1.4.69)

Si movemos a X lo suficientemente lejos y lo conectamos a tierra, la

expresión anterior es cero, por lo tanto la ecuación del potencial en un punto de al

superficie del conductor A y aquel punto del campo eléctrico donde el potencial es

cero, ósea, el neutro real o ficticio es:

V A 0=18×109[qa∈ 1r+qb∈ 1

d 1+qc∈ 1

d 2+… ] (1.4.70)

95

Reactancia Capacitiva.

Al introducir un condensador eléctrico o capacitor en un circuito de corriente alterna, las placas se cargan y la corriente eléctrica disminuye a cero. Por lo tanto, el capacitor se comporta como una resistencia aparente. Pero en virtud de que está conectado a una fem alterna se observa que a medida que la frecuencia de la corriente aumenta, el efecto de resistencia del capacitor disminuye.

Como un capacitor se diferencia de una resistencia pura por su capacidad para almacenar cargas, el efecto que produce de reducir la corriente se le da el nombre de reactancia capacitiva (XC).

El valor de ésta en un capacitor varía de manera inversamente proporcional a la frecuencia de la corriente alterna. Su expresión matemática es:

XC = 1_________

2 π f C (1.4.71)

Donde:

XC = reactancia capacitiva en ohms (Ω).

f = frecuencia de la corriente alterna medida en ciclos/seg = hertz (Hz).

C = capacitancia calculada en farads (F).

96

Por definición:

La reactancia capacitiva (XC) es la propiedad que tiene un capacitor para reducir la corriente en un circuito de corriente alterna. Como la corriente en un circuito capacitivo aumenta según se incrementa la frecuencia de la corriente alterna, se observa que la reactancia capacitiva (XC) actúa en forma inversa a la inductiva.

reactancia inductiva (Xacuerdo con el aumento de la

frecuencia.

A la diferencia entre XL- XC se le da simplemente el nombre de reactancia (X) y se expresa como:

X = XL- XC (1.4.72)

Conclusión

Mediante el anterior informe pudimos dejar en claro que el funcionamiento de una línea de transmisión aérea depende de muchos factores, no solo constructivos (aislamiento de los conductores, tipos de torre) sino también socioeconómicos. Por lo cual se deben efectuar diversos estudios para poder realizar un correcto proyecto de una línea determinada.

También es de suma importancia estudiar todo el territorio por donde pasará la línea, ya que si en el transcurso de esta se encuentra una zona urbana muy concurrida, se deberá adoptar una línea subterránea por ser en estos casos la más conveniente por razones de seguridad.

Otro factor importante que se debe destacar es el de proteger la línea contra factores externos e internos, ya que estos determinan en gran medida el rendimiento continuo y adecuado de la misma.

Con esta parte se da una observación que en los campos magnéticos y eléctricos que rodean al línea de transmisión producen serias caídas de voltaje y corriente con trayectoria derivada.

Es aislamiento de la línea es básicamente determinado al considerar los niveles de voltaje de 60 Hz sobre tenciones inducidas por descargar y sobretensiones inducidas por interconexiones.

97

Parámetros de líneas

La transmisión es práctica y razonable cuando se tratan de grandes distancias

98

Componentes físicos

Resistencia Inductancia y reactancia

Capacitancia y reactancia

Estructuras

Aislamiento

Conductores

Hilo de guarda

Postes

Torres

Resistividad

Resistencia Eléctrica

Resistencia efectiva

Longitud Inductancia reactiva

Reactancia

Inductancia de líneas

Inductancia para conductores

Reactancia capacitiva

Capacitancia capacitiva

Capacitancia de una

Capacitancia de line a Trifásica con espaciamien

Bloque de Preguntas.

¿Que función tienen las estructuras de las líneas aéreas?

Es mantener los conductores alejados entre sí y con el suelo, para evitar arcos entre conductores o problemas debajo y al lado de los mismos.

¿Cuántos tipos de estructuras existen en las líneas aéreas?

Poste y torre

¿Describa las estructuras tipo poste?

Son estructuras de poca altura, de cuerpo vertical único; existe de madera, hormigo y de metal.

¿Cómo se pueden clasificar los soportes o estructuras?

Su habilitación. El tipo de fundación utilizada. Su amplitud para resistir los esfuerzo longitudinales.

Los soportes según la habilitación utilizada se distinguen dos grandes clases:

Sistema de fases Escalonadas. Sistema de fases Horizontales.

99

Herrajes

¿Para que sirven los aisladores en las líneas de transmisión de alta tensión?

Sirven fundamentalmente para sujetar a los conductores, de manera que estos no se muevan en sentido longitudinal o transversal. Como su nombre lo indica, deben evitar la derivación de la corriente de la línea hacia tierra.

¿Tipos de Aisladores según las Condiciones Ambientales?

Standard o Normal Anti-fog o Antiniebla

¿Tipos de Aisladores según su Diseño?

Aisladores rígidos o de soporte (Post Type) Aisladores de suspensión Aisladores de tipo Espiga, Palillo o Pin (Pin-Type)

¿Que es un conductor?

Es un cuerpo o un medio adecuado, utilizado como portador de corriente eléctrica.

¿Principales ventajas de un conductor de cobre?

Es el metal que tiene conductividad eléctrica más alta después del platino. Tiene gran facilidad para ser estañado, plateado o galvanizado y puede ser

soldado usando equipo especial de soldadura de cobre. Es muy dúctil por lo que fácilmente puede ser convertido en cable, tubo o

rolado en forma de solera u otra forma. Tiene buena resistencia mecánica, aumenta cuando se usa en combinación

con otros metales para formar aleaciones. No se oxida fácilmente, por lo que soporta la corrosión ordinaria. Tiene buena conductividad térmica.

100

Bibliografía

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WADDICOR h (1964). The Principles of Electric Power Transmisión. London

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101

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http://itzamna.bnct.ipn.mx:8080/dspace/bitstream/123456789/7430/1/SIMULACION.pdf

http://www.ing.uc.edu.ve/~viper/CAPACITANCIA.html

Glosario

Cabilla: Barra de acero de sección circular, con superficie estriada, que se obtiene por laminación en caliente de palanquillas. Se utiliza fundamentalmente como refuerzo en las construcciones de concreto armado

El galvanizado o galvanización: es el proceso electroquímico por el cual se puede cubrir un metal con otro.

Celosía: es una estructura reticular de barras rectas interconectadas en nudos formando triángulos planos o pirámides tridimensionales.

Vidriado: es el compuesto de óxidos o minerales que se aplica sobre un soporte cerámico y luego se calienta a temperatura de fusión. Con el posterior enfriado se logra formar sobre la cerámica una cubierta vítrea estable.

El feldespato: es un componente esencial de muchas rocas ígneas, sedimentarias y metamórficas de tal modo que muchas de estas rocas se clasifican según su contenido de feldespato.

Vitrificado: Hacer que una cosa adquiera la apariencia o el aspecto del vidrio.

Resistor: Se denomina resistor al componente electrónico diseñado para introducir una resistencia eléctrica determinada entre dos puntos de un circuito. en el propio argot eléctrico y electrónico, son conocidos simplemente como resistencias.

102

Dieléctrico: Se denomina dieléctrico al material mal conductor de electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante eléctrico, y además si es sometido a un campo eléctrico externo.

Condensador: Es un dispositivo capaz de almacenar energía en forma de campo eléctrico.

Permeabilidad: Es la capacidad que tiene un material de permitirle a un líquido que lo atraviese sin alterar su estructura interna. Se afirma que un material es permeable si deja pasar a través de él una cantidad apreciable de fluido en un tiempo dado, e impermeable si la cantidad de fluido es despreciable.

Sinusoidales: En matemáticas, se llama sinusoide la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí.

Campo eléctrico: Es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica

Gradiente del potencial: se define como, El cociente resultante de dividir la variación de potencial eléctrico de un punto A menos el potencial de un punto B entre la variación de la distancia de los puntos hacia la carga, y se puede representar matemáticamente por.

Permitividad: es una constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. La permitividad del vacío es 8,8541878176x10-12 F/m.

Superficie equipotenciales: es el lugar geométrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numérico de la función que representa el campo, es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuación de Poisson.

Capacitancia: es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. La capacitancia también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para un potencial eléctrico dado.

103

Anexos

Formulario.

1.2 resistencia

R= V/I. Ecuación 1.2.1

E= RI. Ecuación 1.2.2

ρ=ℜ(Ӏ e2) Ecuación 1.2.3

R Dc=P(L/A) ecuación 1.2.4

(T+t1)/R1=(T+t2)R2 Ecuacion 1.2.5

1.3 inductancia y reactancia inductiva

Lα=ϕM / tϕI / t

Ecuacion 1.3.1

DMG=D=¿m√(d¿¿12d13¿…d¿)¿¿¿¿¿ Ecuacion 1.3.2

L=0.46 log2 Ddc

+Lo Ecuacion 1.3.3

104

L=0.46 log2dadc

+Lo Ecuacion 1.3.4

L=0.46 log2dadc

+0.32¿ Ecuación 1.3.5

L= λI

Ecuación 1.3.6

fmm=∮H .ds=I Av Ecuación 1.3.7

∮Hᵪ ds=I ᵪ Ecuación 1.3.8

2πxHᵪ=Iᵪ Ecuación 1.3.9

Iᵪ= π x2

πr2 Ecuación 1.3.10

Hᵪ= X

2 π r2I Av /m Ecuación 1.3.11

Bᵪ=µHᵪ= µxI

2πr2Wb /m2

Ecuación 1.3.12

dϕ= μxI

2πr 2dxWb /m Ecuación 1.3.13

dλ=πx2

πx2 dϕ= Iμx3

2 πr4 dxWbv /m Ecuación 1.3.14

λint=∫0

rμIx

2πr 4

3

dx= μI8 π

Wbv /m Ecuación 1.3.15

λ∫¿=1

2x10−7Wbv /m¿ Ecuación 1.3.16

L∫¿=1

2x 10−7H /m¿ Ecuación 1.3.17

2π x H x =I Ecuación 1.3.18

B x =µI

2π xWb /m2

Ecuación 1.3.19

d∅= µI2π x

dxWb /m Ecuación 1.3.20

105

λ 12 =∫D 1

D 2

µ I2 π x

dx=µ I2π

lnD2

D1

Wbv /m Ecuación 1.3.21

λ 12 =2 x 10 -7 I ln D2

D1

Wbv /m Ecuación

1.3.22

L 12=2x10-7 lnD2

D1

H /m Ecuación 1.3.23

L1=(12+2 ln

Dr1

)x 10−7 H /m Ecuación 1.3.24

L1=2 x10−7(ln ε14 ε+ln

Dr1

) Ecuación 1.3.25

L1=2 x10−7 lnD

r1 ε−1

4Ecuación 1.3.26

L1=2 x10−7 lnDr ΄1

H /m Ecuación 1.3.27

L2=2 x10−7 lnDr ΄2

H /m Ecuación 1.3.28

L=L1+L2=4 x10−7 lnD

√r ΄1r ΄2

H /m Ecuación 1.3.29

λ1P1=( I 1

2+2 I 1ln

D1P

r1)1 0−7 Ecuación 1.3.30

λ1P1=2 x10−7 I 1 lnD1P

r΄1Wbv /m Ecuación 1.3.31

λ1P2=2 x10−7 I 2 lnD2P

D12

Ecuación 1.3.32

λ1P=2 x10−7(I 1 lnD1P

r ΄1+ I2 ln

D2P

D12

+ I 3 lnD 3P

D13

+…I n lnDnP

D1n) Ecuación 1.3.33

106

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

+ I 1 lnD1 P+ I2 ln D2P+ I 3 ln DnP) Ecuación 1.3.34

I n=−( I 1+ I2+ I 3+…+ I n−1 ) Ecuación 1.3.35

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

+¿ I 1lnD1P

D nP

+ I2 lnD 2P

DnP

+ I 3 lnD 3P

DnP

+…+ I n−1lnD(n−1)P

DnP)

Ecuación 1.3.36

λ1P=2 x10−7(I 1 ln1r ΄1

+ I 2 ln1D12

+ I 3 ln1D13

+…I n ln1D1n

)Wbv /m Ecuación 1.3.37

λₐ=2×10−7 In (¿ 1

r ´ ₐ+¿

1Dab

+¿1Dac

+…+¿1Dan

)Ecuación 1.3.38

−2×10−7 Im (¿ 1

Daa ´

+¿1

Dab ´

+¿1

Dac´

+…+¿1Dam

)λg=2×10

−7 /¿∈m√Daa ´D ba´ Dca´ …Dam ´

n√r ´a DabD ac…Dan

Wbv /m¿ Ecuación 1.3.39

L=λaI /n

=2n×10−7∈m√Daa ´D ba´ Dca´…Dam´

n√r ´ aD abDac…D an

H /m Ecuación 1.3.40

Lb=¿

λbI /n

=2n×10−7∈m√Dba ´ D

bb ´ Dbc´

…... Dbm ´

n√Dr ´b Dbb Dbc…Dbn

H /m¿ Ecuación 1.3.41

Lpromedio=La+Lb+¿ Lc+…+Ln

n¿ Ecuación 1.3.42

LX=Lpromedio

n=La+

Lb+¿ Lc+…+Ln

n2 ¿ Ecuación 1.3.43

x∈mn√ (Daa ´Dba ´D ca´…Dma´ ) (Dba ´Dbb ´ Dbc´…Dba ´)… (D na´ Dna ´Dna ´…Dnm´ )

n2

√(D anDabD ac…Dan ) (DbaD bbDbc…Dbn )… (Dna DnbDnc…Dnn)H /m

Ecuación 1.3.44

Lx=2×10−7∈Dm

Ds

H /m Ecuación 1.3.45

107

X l=2πfl=2πfx 2 x1 0−7 lnDm

D s

=4 πfx 10−7 lnDm

Ds

Ω /m Ecuación 1.3.46

X L=2.022x 10−3 f lnDm

D s

Ω /milla Ecuación 1.3.47

X L=2.022x 10−3 f ln1Ds

+2.022x 10−3 fln DmΩ /milla Ecuación 1.3.48

λ a=2 x 10 -7=(I a ln1D s

+ I b ln1D

+ I c ln1D )Wbv /m Ecuación 1.3.49

λ a=2 x 10 -7=(I a ln1D s

−I a ln1D )=2 x10 -7 I a ln

1D s

Wbv /m Ecuación 1.3.50

L a=2 x 10 -7 lnDD s

H/m Ecuación 1.3.51

λa1=2x 10−7(I a ln1Ds

+ I b ln1D12

+ I c ln1D31

)Wbv /m Ecuación 1.3.52

λa2=2x 10−7(I a ln1Ds

+ I b ln1D23

+ I c ln1D12

)Wbv /m Ecuación 1.3.53

λa3=2 x10−7(I a ln1Ds

+ Ib ln1D31

+ I c ln1D23

)Wbv /m Ecuación 1.3.54

λa=λa1+λa2+ λa3

3¿ 2x 10−7

3 (3 I a ln1Ds

+ Ib ln1

D12D23D 31

+ I c ln1

D 12D23D31 )Ecuación 1.3.55

La=2 x10−7 lnDeq

Ds

H /m Ecuación 1.3.56

Deq=3√D12D23D31 Ecuación 1.3.57

Dsb=4√¿¿¿ Ecuación 1.3.58

Dsb=9√¿¿¿ Ecuación 1.3.59

Dsb=16√¿¿¿ Ecuación 1.3.60

108

1.4 capacitancia y reactancia capacitiva.

q=C . v Ecuación 1.4.1

∮s E∗ds=qq∈0

Ecuación 1.4.2

∮s E∗ds∗cos0= qε0

Ecuación 1.4.3

E∗∮sds=qε0

Ecuación 1.4.4

E= q2 πx ε0

(V /m2) Ecuación 1.4.5

c= 1

√ μ0 ε0

Ecuación 1.4.6

1ε0

=c2μ0 Ecuación 1.4.7

E=q∗9×1016∗4 π ×10−7

2π x=18×109∗q

xEcuación

1.4.8

v12=∫D1

D2

Edx (V ) Ecuación 1.4.9

v12=∫D1

D218×109

xq=18×109q∈(X|D 1

D 2 )=18×109q∈ D1D2

(V ) Ecuación 1.4.10

v12=q

2πε∈D 2D 1

volts Ecuación 1.4.11

Ψ E= ∫superficie

D .dA=qencerrada=Q=q .1 Ecuación 1.4.12

D x=q

2 πXEcuación 1.4.13

109

E x=q

2πϵXV /m Ecuación 1.4.14

V 12=∫D1

D2

E .dx=∫D1

D2q

2 πϵxdx Ecuación 1.4.15

V 12= q2πϵ

∈ D2D1

Ecuación 1.4.16

C=qvFm

Ecuación 1.4.17

V ab=18×109qa∈Dra

+18×109qb∈rbD

(V ) Ecuación 1.4.18

V ab=18×109qa(¿ Dr a

−¿rbD )(V ) Ecuación 1.4.19

V ab=18×109qa(¿ D2

ra rb )(V ) Ecuación 1.4.20

Cab=qaV ab

= 1

18×109(¿ D 2

r ar b )(Fm

)Ecuación 1.4.21

Cab=12×

1

18×109(¿ Dr )

Fm Ecuación 1.4.22

Cn=Can=Cbn= 1

18×109(¿ Dr ) Ecuación 1.4.23

Va=18×109 [qa∈1

r+qb∈ 1

D+qc∈ 1

D ] Ecuación 1.4.24

Va=18×109 [qa∈1

r+(qb+qc )∈ 1

D ] Ecuación 1.4.25

Va=18×109 [qa∈ D

r ] Ecuación 1.4.26

Cn= 1

18×109 [qa∈D

r ] Ecuación 1.4.27

110

V A=OP=V Ecuación 1.4.28

V C=¿=V (−0.5− j 0.866 ) Ecuación 1.4.29

V A=18×109 [qa∈1

r+qb∈1

c+qc I n 1

b ] Ecuación 1.4.30

V A=18×109 [qa∈1

c+qb∈1

r+qc∈1

a ] Ecuación 1.4.31

V A=18×109 [qa∈1

c+qb∈1

r+qc∈1

r ] Ecuación 1.4.32

V A−V B=18×109 [qa∈c

r+qb∈ r

c+qc∈a

b ] Ecuación 1.4.33

V A−V B=18×109[qa∈ bcar

+qb∈brca ] Ecuación 1.4.34

K A=18×109(¿ bcar )V B−V C=18×109[qb∈ cabr

+qc∈ crab ] Ecuación 1.4.35

V C−V A=18×109[qc∈ abcr

+qa∈ arbc ] Ecuación 1.4.36

V A−V B=K Aqa−KBqb Ecuación 1.4.37

V B−V C=K Bqb−K cqc Ecuación 1.4.38

V C−V A=KC qc−K A qa Ecuación 1.4.39

qa=K C (V A−V B )−K B (V C−V A )K AK B+KBKC+KC K A

Ecuación

1.4.40

qb=K A (V B−V C )−K C (V A−V B )K AK B+KBKC+KC K A

Ecuación

1.4.41

qc=KB (V C−V A )−K A (V B−V C )K AKB+K BK C+KCK A

Ecuación

1.4.42

111

qa=V [KC (1.5−J 0.866 )−K B (−1.5+J 0.866 ) ]

K AKB+K BK C+KCK A

Ecuación 1.4.43

qa=18×109V [1.5∈ ab

cr+ j0.866∈ ab

cr+1.5∈ ca

br− j 0.866

cabr ]

(18×109 )2[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

Ecuación 1.4.44

qa=V [3∈ a

r+ j 1.732

bc ]

18×109[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

∈abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

Ecuación

1.4.45

C A=qaV A

Ecuación 1.4.46

C A=3∈ a

r+ j1.732

bc

18×109 [¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

Ecuación

1.4.47

CB=3∈ b

r+ j1.732

ca

18×109[¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

Ecuación

1.4.48

CC=3∈c

r+ j 1.732

ab

18×109[¿ bcar ∈cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

Ecuación

1.4.49

C A=

13 (3∈a

r+ j1.732

bc+3∈ b

r+ j 1.732

ca+3∈ c

r+ j1.732

ab )

18×109[¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈ bcar ]

Ecuación 1.4.50

112

C A=¿ abc

r3

18×109 [¿ bcar ∈ cabr

+¿ cabr

∈ abcr

+¿ abcr

∈bcar ]

Ecuación

1.4.51

V 1=18×109(qa∈ 1r+qb 1

c+qc 1

b ) Ecuación 1.4.52

V 2=18×109(qa∈ 1r+qb 1

a+qc 1

c ) Ecuación 1.4.53

V 3=18×109(qa∈ 1r+qb 1

b+qc 1

a ) Ecuación 1.4.54

V A=v1+v2+v3

3Ecuación

1.4.55

V A=18×109

3 (qa∈ 1r 3 +(qb+qc )∈ 1

abc ) Ecuación 1.4.56

V A=18×109(qa∈ 3√abcr ) Ecuación 1.4.57

C A=qav A

= 1

18×109(qa∈ 3√ abcr ) Ecuación 1.458

V x=18×109[qa∈ 1dxa

+qb∈ 1dxb

+qc∈ 1dxc ] Ecuación 1.4.59

V a=18×109[qa∈ 1ra

+qb∈ 1dab

+qc∈ 1dac

−(qa∈ 1daa´

+qb∈ 1dab´

+qc∈ 1dac´ )]

Ecuación 1.4.60

V a=V <00=18×109[qa∈ daa ´ra

+qb∈ daa´dab

+qc∈ daa ´dac ] Ecuación 1.4.61

V b=V <1200=18×109[qa∈ dba´dba

+qb∈dbb ´rb

+qc∈ dbc ´dbc ] Ecuación 1.4.62

113

V c=V <−1200=18×109[qa∈dca ´dca

+qb∈dcb´dcb

+qc∈ dcc´rc ] Ecuación

1.4.63

|V|=18 x109( lndaa´ra

lndab ´dab

lndac ´dac

lndba´dba

lndbb ´rb

lndbc ´dbc

lndca´dca

lndcb ´dcb

lndcc´rc

)∗(qaqbqc) Ecuación 1.4.64

[V ]=[ P ]∗[q ] Ecuación 1.4.65

[q ]=[P ]−1∗[V ] Ecuación 1.4.66

V AX=18×109 [qa∈ur+qb∈ v

d1+qc∈ w

d 2+…] Ecuación 1.4.67

V AX=18×109 [qa∈1r+qb∈ 1

d1+qc∈ 1

d 2+…]+18×109(qa∈u+qb∈v+qc∈w+…)

Ecuación 1.4.68

18×109[qa∈vu+qb∈w

u+… ]+18×109(qa∈ v

u+qc∈w

u+…)

Ecuación 1.4.69

V A 0=18×109[qa∈ 1r+qb∈ 1

d 1+qc∈ 1

d 2+… ] Ecuación 1.4.70

xc=1

2πfc Ecuación 1.4.71

X = XL- XC Ecuación 1.4.72

problemas

1.- Una fuente de voltaje de CA de 110 V se conecta a través de un inductor puro de 0.5 Henrys. Calcular:

114

a) ¿Cuál es el valor de la reactancia inductiva?

b) ¿Cuál es el valor de la corriente que circula a través del inductor, si la frecuencia se la fuente es de 60 Hertz?

Datos Fórmulas Sustitución

V = 110 V a) XL = 2 π f L a) XL = 2 x 3.14 x 60 Hz x 0.5 H = 188 Ω.

L = 0.5 H b) I = V

a) XL = ¿ XL b) I = 110 V = 0.58 A.

b) I = ¿ 188 Ω

f = 60 Hz

2.- Una fuente de voltaje de CA de 110 V se conecta a través de un capacitor de 6 μF Calcular:

a) ¿Cuál es el valor de la reactancia capacitiva?

b) ¿Cuál es el valor de la corriente en el capacitor, si la frecuencia de la fuente es de 60 Hertz?

Datos Fórmulas Sustitución

V = 110 V a) XC= 1/2 π f C a) XC = 2 x 3.14 x 60 Hz x 6x10-6 F = 442 Ω.

C =6 x 10-6 F b) I = V

a) XC = ¿ XC b) I = 110 V = 0.25 A.

b) I = ¿ 442 Ω

F=60Hz

3. Un generador de CA que produce una fem de 110 V, se conecta en serie a una resistencia de 80 Ω, y a una intensidad de corriente de 0.82 Amperes. Si la reactancia es de 106.8 Ω, a) calcular la impedancia del circuito. b) el ángulo de fase del circuito

115

Datos Fórmulas Sustitución

V = 110 V a) Z = √(R)2 + (X)2 a) Z= √(80 Ω)2 + (106.8 Ω)2. Z= 133.44 Ω

X = 106.8 Ω b) Tan θ= X

a) Z = ¿ R b) Tan θ= 160 Ω = tan-1 1.335 = 53.16º.

b) Θ = ¿ 80 Ω

F=60Hz

I = 0.82 A

θ

R = 80 Ω

4. En un circuito RLC en serie formado por un generador de CA que produce una fem de 110 V, con una resistencia de 90 Ω, con una intensidad de corriente de 1.19 Amperes, con una reactancia de 22.4 Ω. Calcular a) el ángulo de fase de la corriente b) la impedancia del circuito.

Datos

V = 110 V formulas

R = 90 Ω a) Tan θ=X

I = 1.19 A R

X = 22.4 Ω _______________

a) θ= ¿ b) Z = √(R)2 + (X)2

b) Z = ¿

Solución:

a) Tan θ = 22.4 Ω = 0.2488

90 Ω

θ= tan-1 0.2488 = 14º.

__________________

116

Z= √(90 Ω)2 + (22.4 Ω)2

Z = 92.7 Ω

5.- ¿Cuál es la reactancia capacitiva de un circuito que tiene una capacidad de 0.001 uF y se le esta aplicando un voltaje alterno con una frecuencia de 60 cps?

Solución:

C = 0.01 uF = 0.01x 10-6 F = 0.00000001 F

f = 60 Hz.

Sustituyendo en la formula:

XC= 12πf C

Xc=1/2(3.1416)(60)(0.00000001)

Xc=1/0.000003768

Xc=265392.78 Ω

Reactancia inductiva.

6. ¿Cuál es la reactancia inductiva de un circuito que tiene una inductancia de 600 mH y se le esta aplicando una señal alterna de una frecuencia de 60 KHz?

117

ZXL

XC R

XL -XC

Solución:

L = 600 mH = 0.6 H.

f = 60 Hz

Sustituyendo en la formula:

XL = 2 Π f L

XL = 2 (3.14)(60)(0.6)

XL = 226.194 Ω

Problemas Corriente Alterna

7.- Un circuito serie de corriente alterna consta de una resistencia R de 200 una autoinducción de 0’3 H y un condensador de 10 F. Si el generador suministra una fuerza electromotriz V = 2 0’5 sen( 1000 t), calcular : a) La impedancia del circuitob) La intensidad instantánea

a)

Z=√R2+(Lω−1Cω )

2

=√3002+(0 ´ 3⋅100−110⋅10−6⋅1000 )

2

=

¿√3002+(300−100 )2=360Ω

b)

I=

V 0

Z= √2

360=3 ´ 93⋅10−3 A

118

cos α= RZ

=300360

=0 ´ 833; α=0 ,586 rad

circuito inductivo Tensión adelantada respecto de Intensidad retrasada respecto V)

I (t )=3 ´ 93⋅10−3⋅sen (1000 t−0 ,586 )

8.- Mediante la red eléctrica ordinaria de 220 V (eficaces) a 50 Hz, se alimenta un circuito R-L-C con una R=20 , L=0’02 H y C= 20F

Calcular:a) La potencia media disipada por el circuitob) Deducir si se encuentra o no en resonancia.

a) X L=Lω=2π fL=2πΩ

; XC= 1

Cω=103

2πΩ

Z=√R2+(X L−XC )2=√202+(2 π−103

2π )2

=154 ´ 2Ω

b)P=V eLecos ϕ=V e⋅

V e

Z⋅RZ

=(V e

Z )2

⋅R=(220154 ´ 2 )

2

⋅20=40 ´ 7W

Si X L=XC está en resonancia. Podemos ver que no son iguales, por lo tanto

no está en resonancia

9.- Un circuito serie R-L-C está formado por una bobina de coeficiente de autoinducción L= 1 H y resistencia óhmica interna de 10 , un condensador de capacidad C= 5 F, y una resistencia de 90 . La frecuencia de la corriente es de 100 Hz. Si el circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 220 V de tensión máxima, calcular:a)La potencia disipada por el circuito

119

ZXL

XC R

XL -XC

b)La expresión de la intensidad instantánea

a)

X L=Lω=1⋅2 π⋅100=628´ 3Ω XC= 1

Cω= 1

5⋅10−6⋅2 π⋅100=318 ´ 3Ω

Z=√R2+(X L−XC )2=√902+(628 ´ 3−318 ´ 3 )2=225 ´ 7Ω

V e=

220

√2=155´ 6

V;P=V eLecos ϕ=V e⋅

V e

Z⋅RZ

=(V e

Z )2

⋅R=(155´ 6225´ 7 )

2

⋅90=22 ´ 8W

b)

tg ϕ=

XL−XC

R=3 ´ 1

; ϕ=arctg 3 ´ 1=72∘12´=1 ´ 26 rad

V ( t )=220⋅sen 200π⋅t ¿¿

o V ( t )=220⋅(200⋅π⋅t+1 ´ 26 )¿ ¿

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Tablas

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daciones de tierra:

Los anclajes de acero colocados con revestimientos de protección son económicos y se han usados con éxito para torres de sustentación o alineación. El tipo más satisfactorio de anclaje de acero es el piramidal, bien sea triangular, bien sea cuadrado, construido con hierro ángulo y con una reja abulonada en la cara interior. Los anclajes de acero galvanizado enterrados en el suelo durarán casi tanto como la estructura en suelos de condiciones ordinarias, pero no son satisfactorios, sin protección especial, en terrenos con algún contenido de azufre, tales que los rellenos de escoria o carbonilla. Fundaciones de hormigón:

Estas fundaciones se usan generalmente en torres de ángulo y de amarre o final de línea y para las estructuras especiales que requieren gran resistencia, como son las de cruce de ríos, y torres en los extremos de vanos extraordinariamente largos.

Anclajes en roca:

Estos anclajes pueden sustituir a los de acero con rejas o bases de hormigón, en terrenos de rocas firmes. Se practican en la roca taladros de diámetro algo superior al de los pernos y se colocan los pernos, rellenando seguidamente. Los pernos de anclaje deberían abrirse en su extremo y ser colocados con cuñas.

Estructuras especiales:

Cuando no es factible realizar la transposición de conductores en torres normales mediante crucetas adecuadas, son necesarias torres especiales. Los tramos largos sobre ríos y bahías y los cruces de carreteras principales y líneas principales y líneas más importantes de ferrocarril, requieren torres mucho más altas que las normales o torres con un factor de seguridad mayor.

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