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Unidad 1 números naturales, enteros y fraccionarios2º ESO

Conceptos1. Concepto de número entero: diferenciación entre número

entero, natural y fraccionario.2. Representación gráfica y ordenación.3. Valor absoluto de un número entero.4. Suma de números enteros.5. Resta de números enteros.6. Suma y resta combinadas.7. Multiplicación y división de número números enteros.8. Operaciones combinadas.9. Fracciones y porcentajes.10. Fracciones equivalentes.11. Sumas y restas de fracciones.12. Multiplicaciones de fracciones.13. Divisiones de fracciones.14. Operaciones combinadas con fracciones.

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Números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Se dividen en tres partes: enteros positivos o

números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

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Representación gráfica de números enteros

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Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el

número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a |a| = a

Se utiliza para poder medir distancias:

Ejemplo: Si me encuentro en el piso -5 y voy al piso 4, cuál es la distancia que los separa?|-5| = 5|4| = 44+5 = 9

La distancia que los separa es de 9 pisos.

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Ejercicio Halla el valor absoluto de:a) -4 =

b) +5 =

c) -13 =

d) +27 =

e) -1 =

f) +18 =

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Criterios para ordenar los números enteros Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0 Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0 De dos enteros negativos es mayor el que tiene

menor valor absoluto.−7 >− 10             |−7| < |−10|

De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7             |10| > |7|

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Ejercicio Compara estos números enteros:

a) +7 y +3

b) -2 y -5

c) +5 y -3

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Suma y resta de números enteros Si los sumandos son del mismo signo, se suman los

valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8(−3) + (−5) = − 8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 23 + (−5) = − 2

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ejercicios Resuelve:a) (+7)+(+6)= mismo signo: |+6| + |+7| = 6+7= 13

b) (+6)+(-7)= distinto signo: |+6| - |-7| = 6 - 7= -1

c) (+6)-(+7)=

d) (+6)-(-7)=

e) (+12)+(+25)=

f) (-7)-(-11)=

10

g) (+10)+(-9)=

h) (-21)+(-17)=

i) (+24)+(-7)=

j) (+31)+(-16)=

k) (-9)+(+9)=

l) (+31)+(+11)=

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Operaciones combinadas de suma y resta Para sumar y restar varios números sumamos

y restamos los números en el orden en que aparecen.

(-3)+(8-4)-(-4+3) = se puede solucionar de dos formas: a) quitamos paréntesis:= -3+8-4+4-3 = 2b) Solucionamos paréntesis: = -3+(4)-(-1)= -3+4+1= 2

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Ejerciciosa) -11+8-6-7+9=

b) 3-8+12-15-1+10-4=

c) -(4-9+3)+(11-8-7)+(-15)=

d) (+3)-(4+7-9)-(-19+3-10)+(-2)=

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e) (-3) +(+11)+(+8)+(-5)+(-4)=

f) (+4)+(-4)+(-12)+(+2)+(-5)=

g) (-4)-(-4)-(+12)+(-2)+(+5)=

h) (-5)+(-14)+(+10)+(-15)+(+23)+(-11)=

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Multiplicación y división de números enteros La multiplicación de varios números enteros

es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

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Regla de los signos16

Ejemplosa) (+3)·(+5)= +15

b) (+3)·(-5)= -15

c) (-3)·(+5)= -15

d) (-3)·(-5)= +15

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Ejerciciosa) (-3)·(+2)= e) (+12)·(-6)=

b) (+5)·(-4)= f) (-21):(+7)=

c) (-5)·(-7)= g) (-49):(-7)=

d) (-1)·(+5)· (-2)= h) (-36):(-6)=

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Operaciones combinadasCuando hablamos de operaciones combinadas estamos hablando de un ejercicio que incluya varias de las operaciones que hemos visto hasta ahora, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para ello, debemos recordar el orden de preferencia de dichas operaciones:1º.- Multiplicación y división2º.- Sumas y restas

Además, siempre que haya paréntesis y corchetes debemos resolverlos primero, teniendo en cuenta que dentro de ellos debemos seguir respetando ese mismo orden de preferencia.

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Ejemplo:(-12) : 3 + (14 - 3 · 7) ·2 - 6 : (-3) = Primero resolvemos el paréntesis, = (-12) : 3 + (14 - 21) ·2 - 6 : (-3) =dentro del paréntesis efectuamos primero la multiplicación, = (-12) : 3 + (-7) ·2 -6 : (-3) = ahora resolvemos la multiplicación y las dos divisiones, = -4 + (-14) - (-2) = por último, eliminamos paréntesis, = -4 - 14 + 2 = y resolvemos. = -18 + 2 = -16

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Ejerciciosa) –5 · (-2) · 8 - 4 + 6 · (-2) =b) 6 – 9 + 8 · 5 – 2 · 4 – 9 =c) 4 – 5 · 3 + 6 ·(-4) : 8 – 9 =d) e) -15 + (4 - 6 · 2) + [9 · 2 - 6 : (-3)] - 7= f) -[12 + 6 ·(-3) : (-9)] + 3 · (-4) =g) (-8 · 5 + 3 · 7) - 13 + 4 · (-2) : (-8) + 9 =h) 21 - 5 · 3 + (-2) · [(+16) : (-4) - 6 + 9] =

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 i) (-5)*(16:4)= j) (-24 : 3) * (-9)=  k) (-28)*4 = (-7)*(-4) l) (32 : (-4)) * (-6) = 8*(-12 : -4) m) -(-6) + (-12)*(-15 : (-5)) = (-20:4)*(-3) -5 

Descomposición en factores primos Un número entero se puede expresar

de forma única como producto de distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le llama descomposición en factores primos del número.

Ejemplo: descompón 12 en factores primos:

12 = 2·2·3 = 22·3

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Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Es el menor de todos múltiplos comunes

a varios números, excluido el cero.

1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.Ejemplo: Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y 60.72 = 23 · 32

108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080

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Máximo común divisor (m.c.d.) El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor

número que divide a todos exactamente.

1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo: Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60. 72 = 23 · 32

108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5

m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

m. c. d. (12, 36) = 12

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Ejercicios Calcula el mcm y el mcd de:

a) 8, 20 y 42

b) 18,45 y 96

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Problema1.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

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Respuesta12 = 22 · 3 18 = 2· 32

60 = 22 · 3 · 5m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h.

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Problema En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas

capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

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Respuesta

m. c. d. (250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

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Problema Luís viaja a Barcelona cada 15 días y su

hermana Marta lo hace cada 20 días. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en Barcelona si la última vez que coincidieron en esta ciudad fue el 2 de octubre?

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Respuesta

15= 3·520 = 22·5mcm (15,20)= 60

Coinciden cada 60 días, es decir, el 1 de diciembre.

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Fracciones y porcentajes

FraccionesUna fracción es una expresión de la forma a/b , donde a y b son dos números enteros, llamados respectivamente numerador (a) y denominador (b), con la condición de que el denominador no puede ser igual a cero.

Una fracción expresa un valor respecto a un total al que llamamos unidad. En ese caso, el denominador b expresa las partes en las que se divide dicha unidad y el numerador a, el número de partes que se toman.Ejemplo: si tenemos la fracción 3/5, dividimos la unidad en 5 partes y tomamos 3 numerador es menor que el denominador se le llama fracción propia.

Si tenemos una fracción, por ejemplo 7/6, cuyo numerador es mayor que el denominador se llama fracción impropia.

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Representación gráfica de fracciones

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Fracción como operadorUna fracción a/b puede actuar como operador de un número.Para calcular su valor se multiplica el numerador por el número, y el resultado se divide entre el denominador.

Ejemplo: ¿Cuánto son los 3/5 de 7500 €? 

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Ejercicios Calcula como el ejemplo:

a) 4/7 de 504 kg

b) 15/24 de 360€

c) 2/13 de 650 km

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También podemos encontrar el contrario, de una parte encontrar el total:

Ejemplo: Los 3/8 de una tarta pesan 420 g. ¿Cuánto pesa la tarta? 3/8 del total = 420 gNos puede ayudar un dibujo a resolverlo:

En este caso procedemos a la inversa; multiplicamos por el denominador y dividimos por el numerador:

420· 8 / 3 = 3360 /3 = 1120 g

Ejercicio:Si los 2/7 de un depósito de agua son 240 litros, ¿cuál será la capacidad total del depósito?

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420 g.

Porcentajes: Un porcentaje es usar como operador

una fracción con denominador 100.

Ejemplo: Calcula el 25% de 7500 sandías

Ejemplo: Si el 20% de un grupo de personas son 240. ¿Cuántas había en total?

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25% de 7500 sandías = sandías 1875100

187500100

750025 sandías 7500 de 10025

20% del total = personas 240 total del 10020

EjerciciosCalcula: 10 % de 2500 = 10 % de 250 =24 % de 4000 = 32 % de 5000 =20 % de 750 = 40 % de 500 =16 % de 1000 = 70 % de 370 =46% de 2000 = 180 % de 20 =

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2.- Calcula :25 % de 456 = 65 % de 48 =48 % de 42,8 = 73 % de 1850 =5,5 % de 5,5 = 160 % de 150 =

3.- En el aparcamiento de unos grandes almacenes hay 420 coches, de los que el 35 % son blancos.¿Cuántos coches hay no blancos?

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5.- En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántosciudadanos son?

6.- Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el 12% de los 50 € que ha cobrado.¿Cuánto dinero recibiré?

7.- Pedro posee el 51% de las acciones de un negocio. ¿Qué cantidad le corresponde si losbeneficios han sido de 74 500 €?

8.- Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 9.¿Qué porcentaje del total me he comido?

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9.- De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen saber planchar?

10.- El 24% de los habitantes de un pueblo tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes menores de 30 años?

11.- ¿Cuánto me costará un abrigo de 360 euros si me hacen una rebaja del 20%?

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Fracciones equivalentes Es el caso de expresar una misma

porción de unidad con dos fracciones diferentes, por ejemplo 3/4 y 6/8

¿Cómo lo comprobamos?

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ba y

dc son equivalentes si a · d = b · c

Ejercicio

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3624 y

96

8975 y

6145

2512 y

300144

Amplificación y simplificación de fracciones Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de

extremos es igual al producto de medios.a/b = c/da y d son los extremos; b y c, los medios.

Ejemplo: Calcula si son equivalentes las fracciones:4/6 y 8/12

4 · 12 = 6 · 8               48 = 48          Sí

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.Al segundo caso le llamamos simplificar.

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Jerarquía de las operacionesPrimero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

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Ejemplo:48

Ejercicios para repasar1. Saca factor común y resuelve:a) 6. 5 + 42 + 6 . 3 – 6 . 4 =b) 72 – 24 + 48 – 12 =

2. Calcula el valor de las expresiones:a) 24 – 6 . 2 + 8 : 4 =b) 5 . (6 + 9 . 7) – 3 . (7 . 8 – 4 . 3) =c) (21 – 4 . 3) . 5 + 6 . (9 – 4) =d) (18 – 4) . 2 + 12 – 5 . 6 =e) 36 : (9 – 5) + 4 =

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a) 3/5 + 1/7 + 3/10 ½ - 2/5 b) [7/9 * 2/3] : [1/4 –1/3] [ ¼ + 1/6] –1/5   c) 1 + [(2/3 +1/6) : ¾] 4/3 – 2 d) (2/3*5/6* 7/8) -1 4/3 +5/6 

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EJERCICIOS OPTATIVAS.docx51