unidad 1. elementos bÁsicos introducciÓn … · los puntos de un plano no son todos colineales...
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UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS
INTRODUCCIÓN
Geometría es la ciencia que tiene por objeto el
estudio de la extensión, considerada bajo sus
tres formas: línea, superficie y volumen.
Para su estudio se admite la existencia de
algunos objetos primitivos, dotados de ciertas
propiedades, y se aceptan unas reglas de
trabajo para manipularlos y obtener nuevas
propiedades de ellos.
Las propiedades admitidas como válidas son
los axiomas y las que deben justificarse son
los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser
universales y se utilizan las de la lógica
matemática.
AXIOMAS Y DEFINICIONES
AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO:
Existe un conjunto llamado el espacio que
tiene subconjuntos propios llamados planos, quienes a su vez tienen subconjuntos propios
llamados rectas. Cada uno de estos conjuntos
está formado por infinitos elementos llamados
puntos.
Realmente el axioma de existencia no define ni
el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un
punto. El conjunto de todos los axiomas
permitirá que estos objetos alcancen las
propiedades que intuimos de ellos.
FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier
subconjunto propio del espacio.
PUNTO INTERIOR (EXTERIOR): Si un
punto pertenece a una figura entonces es
interior a ella, (está sobre la figura, o la
figura pasa por el punto). En caso contrario
es exterior a la figura.
PUNTOS COLINEALES (ALINEADOS): Dos
o más puntos son colineales (alineados) si
están en la misma recta. En caso contrario
son no colineales o no alineados.
PUNTOS COPLANARES: Dos o más puntos
son coplanares si están en el mismo plano. En
caso contrario son no coplanares.
AXIOMA DE ENLACE DE LA RECTA: Sean
A y B dos puntos distintos, entonces existe
una y sólo una recta a la cual ambos
pertenecen, llamada “la recta AB”, ( AB ).
AXIOMA DE ENLACE DEL PLANO: Sean
A, B y C, puntos no colineales, entonces existe
uno y sólo un plano al cual ellos pertenecen,
llamado “el plano ABC”, (ABC).
AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA
EN EL PLANO: Si una recta L y un plano
tienen dos puntos distintos en común,
entonces la recta L está contenida en el plano
.
AXIOMA DE INTERSECCIÓN DE PLANOS:
Si dos planos distintos tienen algún punto en
común entonces su intersección es una recta.
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ORDEN EN LA RECTA
Para establecer el axioma de ordenación de la
recta es necesario definir primero que es un
conjunto linealmente ordenado y la relación
“estar entre”:
CONJUNTO LINEALMENTE ORDENADO:
Es un conjunto entre cuyos elementos se
puede establecer la relación “preceder a”, con
las siguientes propiedades:
1. Dados dos elementos P y Q se cumple que
“P precede a Q” ó “Q precede a P”.
2. Si “P precede a Q” y “Q precede a R”
entonces “P precede a R”.
NOTA: La relación “preceder a” se puede
cambiar por “seguir de”, “estar delante de” ,
“estar detrás de”, “estar antes de” “estar
después de”.
RELACIÓN “ESTAR ENTRE”: Si P, Q y R
son puntos alineados tales que “P precede a Q”
y “Q precede a R”, entonces se dice que “Q está entre P y R” y se denota por “PQR”
o “RQP”.
AXIOMA DE ORDENACIÓN DE LA RECTA:
Una recta es un conjunto linealmente
ordenado, que no tiene ni primero ni último
punto y no tiene puntos consecutivos.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DE LA RECTA:
Todo punto de una recta separa a los demás
puntos de la recta en dos conjuntos: el
conjunto de los que le preceden y el conjunto
de los que le siguen y tales que:
1. Todo punto de la recta, distinto de él,
pertenece a uno y sólo a uno de dichos
conjuntos.
2. El punto dado está entre dos puntos de
conjuntos distintos y no está entre dos
puntos del mismo conjunto.
SEMIRRECTA: Si O es un punto de una
recta L entonces se llama semirrecta de
origen O al conjunto formado por el punto O y
cada una de los conjuntos en que él divide a la
recta, es decir:
1. O y todos los puntos de L que le preceden.
2. O y todos los puntos de L que le siguen.
Si O está entre A y B entonces las
semirrectas obtenidas OA y OB se llaman
semirrectas opuestas.
SEGMENTO DE RECTA: El conjunto
formado por los puntos A, B y todos los puntos
P entre A y B se llama segmento de recta AB y
se denota por AB .
Los puntos A y B se llaman extremos. Las
semirrectas determinadas por los extremos
de un segmento y que no tienen más puntos
comunes con el segmento, son las
prolongaciones del segmento.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL PLANO:
Toda recta de un plano separa a los demás
puntos del plano en dos regiones tales que:
1. Todo punto del plano, exterior a la recta,
pertenece a una y sólo a una de las
regiones.
2. El segmento que une dos puntos de
regiones distintas corta a la recta y de la
misma región no la corta.
SEMIPLANO: Dado un plano y una recta en
él, un semiplano es el conjunto formado por la
recta y cada una de las regiones en que ella
divide al plano. La recta es el borde de cada
semiplano y los semiplanos son semiplanos opuestos.
AXIOMA DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO:
Todo plano separa a los demás puntos del
espacio, en dos regiones tales que:
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1. Todo punto del espacio, exterior al plano,
pertenece a una y sólo a una de las
regiones.
2. El segmento que une dos puntos de
distintas regiones corta al plano y de la
misma región no lo corta.
SEMIESPACIO: Es el conjunto formado por
un plano dado y cada uno de los dos conjuntos
en que él divide a los demás puntos del
espacio. El plano se llama borde o cara de
cada semiespacio y ellos son semiespacios opuestos.
AXIOMA DE DISTANCIA: Dados dos
puntos P y Q existe un único número real
llamado “La distancia entre P y Q”, denotado por “d(P,Q)” o “PQ”, el cual cumple
las siguientes propiedades:
1. d(P,Q) 0
2. d(P,Q) = 0 sii P coincide con Q
3. d(P,Q) = d(Q,P)
4. Si P, Q y R son puntos del espacio,
entonces d(P,R) d(P,Q) + d(Q,R)
5. Si Q está entre P y R entonces
d(P,R) = d(P,Q) + d(Q,R)
OBSERVACIONES:
Podemos citar como ejemplos de figuras
geométricas: un plano, una recta, un semiplano,
una semirrecta, un semiespacio, un conjunto
formado por un punto.
Por el axioma de existencia cada recta es un
subconjunto propio del espacio y entonces
existen puntos exteriores a ella, es decir en el
espacio existen puntos no colineales.
Según el axioma de existencia los puntos del
espacio no son todos coplanares.
El axioma de enlace de la recta garantiza que
dos puntos siempre son colineales.
Los puntos de un plano no son todos colineales
porque dos puntos de él determinan una recta
y si ella es un subconjunto propio del plano
entonces existen puntos del plano exteriores a
ella.
Los puntos de una recta son coplanares.
Tres puntos siempre son coplanares, pero
cuatro no necesariamente lo son.
Por un punto pasa más de una recta.
Entre dos puntos distintos existen infinitos
puntos.
COINCIDENCIA DE RECTAS
TEOREMA: Si dos rectas tienen dos puntos
distintos en común, entonces ellas coinciden .
Dm: Supongamos que dos rectas tienen dos
puntos distintos en común. Por el axioma de
enlace de la recta por dos puntos distintos
pasa sólo una recta, entonces las dos rectas
son la misma recta.
** En consecuencia, para probar que dos
rectas coinciden, será suficiente probar que
tienen dos puntos distintos en común.
COINCIDENCIA DE PLANOS:
TEOREMA: Si dos planos tienen tres puntos
no colineales en común, entonces los planos
coinciden.
Dm: Ejercicio
** Para probar que dos planos coinciden,
será suficiente probar que tienen tres puntos
no colineales en común.
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NOTA: La no colinealidad de los tres puntos
es fundamental porque por tres colineales
pasa más de un plano porque una recta está
contenida en más de un plano.
En efecto, si se toman D exterior a la recta
AB y E exterior al plano ABD entonces la
recta AB está contenida en los planos ABD y
ABE que son distintos. En definitiva por tres
puntos colineales pasa más de un plano.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
RECTAS
Por el axioma de enlace dos rectas distintas
máximo pueden tener un punto en común, es
decir tienen solamente un punto en común o
ninguno.
RECTAS SECANTES: Son las que tienen
solamente un punto en común. Se dice que
ellas concurren en dicho punto.
RECTAS PARALELAS: Son rectas coplanares
que no tienen puntos en común.
RECTAS CRUZADAS: Son rectas no
coplanares.
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
TEOREMA: (PLANO RECTA Y PUNTO
EXTERIOR) Por una recta y un punto
exterior a ella pasa uno y sólo un plano que les
contiene.
Dm: Ejercicio.
TEOREMA: (PLANO RECTAS SECANTES)
Dos rectas secantes determinan uno y sólo un
plano que les contiene.
Dm: El punto en común y otros dos puntos,
uno en cada una de las rectas, son tres puntos
no colineales, que determinan un único plano en
el cual estarán contenidas ambas rectas.
COROLARIO: Dos rectas cruzadas no
tienen ningún punto en común.
Dm: En efecto, si tuviesen sólo un punto en
común serían secantes y por lo tanto
coplanares; si tuviesen dos o más puntos en
común serían la misma recta y también
resultarían coplanares.
TEOREMA: (PLANO RECTAS PARALELAS)
Dos rectas paralelas determinan uno y sólo un
plano que les contiene.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA
Y UN PLANO
Un plano y una recta no contenida en él,
máximo tienen un punto en común, es decir
tienen sólo uno o ningún punto en común.
RECTA Y PLANO SECANTES: Una recta y
un plano son secantes si tienen sólo un punto
en común. Se dice que la recta y el plano son
secantes en dicho punto.
RECTA Y PLANO PARALELOS: Una recta y
un plano son paralelos si no tienen ningún punto
en común.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
PLANOS
PLANOS SECANTES: Son planos distintos
con algún punto común.
TEOREMA: La intersección entre dos planos
secantes es una recta.
PLANOS PARALELOS:
Son planos que no tienen ningún punto en
común
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UNIDAD 1
ELEMENTOS BASICOS DE GEOMETRIA
En esta primera parte del módulo, correspondiente a los elementos básicos de geometría, segmentos y
planos debes tener presente los postulados sobre punto, recta y plano; así como los teoremas y
corolarios relacionados con la adición y resta de segmentos y ángulos adyacentes.
Elementos para recordar:
1. axioma de existencia del espacio
2. segmento de recta
3. medida de segmentos
4. segmentos congruentes
5. punto medio de un segmento
6. segmentos adyacentes
7. suma de segmentos
8. axioma de medida de ángulos
9. clasificación según su medida
10. bisectriz de un ángulo
11. ángulos adyacentes
12. suma de ángulos
13. ángulos complementarios
14. ángulos suplementarios
15. par lineal
16. ángulos opuestos por el vértice
17. mediatriz de un segmento
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1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?
GRAFICA 1
Puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a
un plano asumiendo la existencia del espacio o de la
existencia de otro plano paralelo al primero.
2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.
GRAFICA 2
Podemos garantizar la existencia de mínimo cuatro
puntos no coplanares, al garantizar la existencia de
otro plano en el espacio.
3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.
GRAFICA 3
Dos puntos A, B siempre serán colineales porque
podemos garantizar la existencia de una línea que los
une.
4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 4
No podemos garantizar que tres puntos en el
plano siempre sean colineales, en este caso a y
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5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.
GRAFICA 5
Por un punto pasan infinitas rectas, una recta está
contenida en infinitos planos; por lo tanto podemos
asegurar que por un punto pasan infinitos planos.
6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.
GRAFICA 6
Por dos puntos pasa una sola línea recta; pero dicha
recta está contenida en infinitos.
7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.
GRAFICA 7
Dos planos , serán coincidentes si tienen tres
puntos comunes. En este caso los puntos A, B, C
pertenecen a los dos planos.
8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto que no
pertenezca al plano? ¿Por qué?
GRAFICA 8
Observemos la gráfica la recta L y el plano tienen
dos puntos comunes A , B por lo tanto todos los
puntos de la recta son comunes al plano
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9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 9
Dos rectas coplanares no necesariamente tienen que
ser paralelas, pueden tener un punto común y estar en
el mismo plano
10. ¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada una
contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 10
Si tenemos cuatro puntos A , B, C, D no colineales y no
necesariamente coplanares entonces tendremos como
caso extremo tres puntos coplanares A , B, C y D
externo al plano , desde D podemos trazar tres
líneas dirigidas hacia A, B, C y en el plano podemos
construir otras tres líneas entre A, B, C en total 6
rectas
11. ¿Dados cuatro puntos no coplanares, alguna tripleta de ellos serán colineales?. Explique.
Como podemos observar en la gráfica 10 A, B, C, D no son coplanares y las combinaciones ( )( ) ( ) ( ) están contenidas en diferentes planos y ninguna de las cuatro
posibilidades tiene que ser tres puntos colineales
12. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con ninguna cuarteta coplanares, cuántos planos pueden
trazarse tales que cada uno contenga tres de ellos?
Si tomamos con n = 4 con el caso de la gráfica 10 observamos cuatro planos, si tomamos otro punto E
por fuera de los cuatro planos se forma otra serie de planos tomando el punto E con dos puntos de los
anteriores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en total 36, si continuamos podemos
formar n +1 planos con cuartetas no coplanares.
13. Dados dos planos paralelos 1 y 2, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, tales que L1 1 y L2
2.
GRAFICA 11
En la gráfica podemos observar , planos
paralelos , donde además =
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14. Dados dos planos 1 y 2 secantes en la recta L, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, distintas
de L, tales que L1 1 y L2 2 .
GRAFICA 12
en la gráfica 12 podemos observar que
donde y donde
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EJERCICIOS UNIDAD 1
1. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo tres puntos no colineales?. Explique.
Grafica 1
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
2. ¿Cuántas rectas pasan por un punto dado?.
Grafica 2
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
3. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos rectas coincidan.
Grafica 3
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
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4. ¿Dados tres puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada
una contenga dos de ellos? Ilustre.
Grafica 4
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
5. ¿Cuántos planos pasan por dos puntos dados?. Ilustre.
Grafica 5
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
6. ¿Cuatro puntos no colineales siempre son coplanares? Ilustre las posibles
alternativas.
Grafica 6
Observa las dos gráficas y
argumenta tu respuesta
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7. ¿Dos planos distintos sólo pueden tener un punto común?. ¿Por qué?.
Grafica 7
Observa la gráfica y argumenta
tu respuesta
8. ¿Dos rectas no secantes tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.
Grafica 8-A
Grafica 8-B
Observa las dos gráficas y
argumenta tu respuesta
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EJERCICIOS DE GEOMETRIA C.A.V.A.
EJERCICIOS UNIDAD 1 ELEMENTOS BÁSICOS
1. ¿Por qué puede afirmarse la
existencia de puntos exteriores a un
plano?.
2. ¿Qué garantiza la existencia de
mínimo tres puntos no colineales?.
Explique.
3. ¿Qué garantiza la existencia de
mínimo cuatro puntos puntos no
coplanares?. Explique.
4. ¿Cuántas rectas pasan por un punto
dado?.
5. ¿Por qué dos puntos siempre son
colineales?.
6. Diga una condición necesaria y
suficiente para que dos rectas
coincidan.
7. ¿Tres puntos siempre son
colineales?. Ilustre las posibles
alternativas.
8. ¿Dados tres puntos no colineales,
cuántas rectas pueden trazarse
tales que cada una contenga dos de
ellos?. Ilustre.
9. ¿Cuántos planos pasan por un punto
dado?. Ilustre.
10. ¿Cuántos planos pasan por dos
puntos dados?. Ilustre.
11. ¿Cuántos planos pasan por tres
puntos colineales dados?. Ilustre.
12. ¿Por qué tres puntos no colineales
siempre son coplanares?.
13. Diga una condición necesaria y
suficiente para que dos planos
coincidan.
14. ¿Cuatro puntos no colineales siempre
son coplanares?. Ilustre las posibles
alternativas.
15. ¿Si una recta y un plano tienen dos
puntos comunes, la recta puede
tener algún punto que no pertenezca
al plano?. ¿Por qué?.
16. ¿Dos planos distintos sólo pueden
tener un punto común?. ¿Por qué?.
17. ¿Dos rectas coplanares tienen que
ser paralelas?. Ilustre las posibles
alternativas.
18. ¿Dos rectas no secantes tienen que
ser paralelas?. Ilustre las posibles
alternativas.
19. ¿Dados cuatro puntos no colineales,
cuántas rectas pueden trazarse
tales que cada una contenga mínimo
dos de ellos?. Ilustre las posibles
alternativas.
20. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 3), con
ninguna tripleta colineales, cuántas
rectas pueden trazarse tales que
cada una contenga dos de ellos?.
21. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,
alguna tripleta de ellos serán
colineales?. Explique.
22. ¿Dados cuatro puntos no coplanares,
cuántos planos pueden trazarse
tales que cada uno contenga tres de
ellos?. Ilustre.
23. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con
ninguna cuarteta coplanares, cuántos
planos pueden trazarse tales que
cada uno contenga tres de ellos?.
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GEOMETRIA C.A.V.A.
24. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con
una cuarteta coplanares y ninguna
tripleta colineales, cuántos planos
pueden trazarse tales que cada uno
contenga tres de ellos?.
25. Dados dos planos paralelos 1 y 2,
ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2,
tales que L1 1 y L2 2.
26. Dados dos planos 1 y 2 secantes
en la recta L, ilustre dos rectas
paralelas L1 y L2 , distintas de L,
tales que L1 1 y L2 2 .
27. Dados dos planos 1 y 2 secantes
en la recta L, ilustre dos rectas
cruzadas L1 y L2, distintas de L,
tales que L1 1 y L2 2 .
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