unidad 1

UNIDAD 1

CONCEPTOS BÁSICOS

“Números naturales, Números enteros, Números racionales, números irracionales y números reales”

Dr. Daniel Tapia Sánchez

BIENVENIDOS A LA PRIMERA

UNIDAD!!!

También podrás poner en práctica tu habilidad en la solución de operaciones con números naturales, racionales, irracionales, enteros y reales.

A través del material que hemos elaborado para ti, al completar tu actividad deberás ser capaz de:

Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas, los cuales utilizarás en temas posteriores y a lo largo de tu desarrollo profesional.

Estos son los temas que estudiaremos en la primera unidad:

1.1 Números Naturales (N)1.1.1 Consecutividad numérica1.1.2 Paridad e imparidad1.1.3 Múltiplos y divisores 1.1.4 Números primos1.1.5 Mínimo Común Múltiplo

1.2 Números Enteros

1.2.2 Operaciones con números enteros1.2.3 Potenciación1.2.4 Prioridad de las operaciones

1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones1.3.3 Suma y resta

1.4 Números irracionales (Q*)

1.5 Números reales (R)

1.3 Números racionales (Q)

1.1.6 Máximo Común Divisor

1.3.4 Multiplicación y división

1.2.1 Valor absoluto

Para empezar …sabías que…

Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones:

la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista.

Por ello empezó a representar las cantidades mediante marcas de huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado. Así concibió la idea del número.

Y así comenzamos nuestro estudio del útil y maravilloso mundo de los números y las matemáticas:

Son un conjunto de números de la forma:

= {1, 2, 3, 4, 5,…}

1.1 Los Números Naturales ( )

Dicho de otra forma, cualquier número mayor que cero y sin decimales, es un número natural. Como por ejemplo:

A continuación aprenderemos algunas propiedades de los números naturales:

20137

293848

4738271920

1000000000

999999999

1.1.1 Consecutividad numérica

Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:

Sucesor:

Si n pertenece a , su sucesor será n + 1.

Por ejemplo:

Número naturaln

Sucesor (natural)n+1

35 36

1238 1239

237485 2374861000000000 1000000001

999999 1000000

Es decir, si n es un número natural.

n - 1 n + 1n

Naturales Consecutivos

Antecesor:

antecesor sucesor

0

Si n pertenece a , su antecesor será n – 1.

Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir:

Número naturaln

Sucesor (natural)n-1

35 341238 1237

237485 237484

1000000000 999999999

999999 999998

Por ejemplo:

En resumen, podemos visualizar los números naturales como todos los números sin decimales a la derecha del cero en la recta numérica:

1.1.2 Paridad e imparidad de los números naturales

Los Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, siendo n cualquier número natural.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es

2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.

2n - 2 2n + 22nAntecesor par Sucesor par

Este tema en realidad es muy fácil de comprender. Sin embargo, el hecho de incluirlo como tema de estudio en esta unidad es para mostrarte lo fácil que pueden ser las matemáticas si comienzas por el principio.

Son de la forma 2n-1, siendo n un número natural

Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n +1.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n2n -1Antecesor impar Sucesor impar

Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n -3.

Haz la prueba con cualquier número par o impar y comprobarás que las fórmulas son exactas. También puedes comprobar que la suma de dos números pares o dos números impares, da siempre como resultado un número par.

2n - 2 2n + 1

Divisores:

Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Nota: El 5, el 7 y todos los que faltan en la lista, no son divisores de 24, ya que, por ejemplo, al dividir 24 por 5 resulta 4.8 (La división no es exacta)

Múltiplos:

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4, respectivamente.

1.1.3 Múltiplos y DivisoresSe llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.

Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente.

(Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces)

Te gustaría resolver divisiones entre números

muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora????

En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8. Los números divisibles entre 2 se llaman pares.

Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos:

Divisibilidad entre 2.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es múltiplo de 3

486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es múltiplo de 3

Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.

Divisibilidad entre 3.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0

628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4

Un número entero es divisible entre 4 si sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4.

Divisibilidad entre 4

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0, respectivamente.

Un número entero es divisible entre 5 si su último dígito es 0 o 5.


Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre 6.

9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

Un número entero es divisible entre 6 si a su vez es divisible entre 2 y 3.


Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21 es múltiplo de 7.

147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.

Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito entre 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 7.


Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0

3160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3 dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.


Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es múltiplo de 9.

6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es múltiplo de 9

Un número entero es divisible entre 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.


Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0

2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es 0

Un número entero es divisible entre 10 si su último dígito es 0.


Son aquellos números que son divisibles única y exclusivamente por 1 y por sí mismos.

Entre ellos se encuentran: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…}

Nota: El 1 no es considerado número primo

144

144 / 2 = 72

72 / 2 = 36

36 / 2 = 18

18 / 2 = 2

9 / 3 = 3

3 / 3 = 1

72

36

18

9

3

1

2

2

2

2

3

3

Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144

Ejemplo: Expresar 144 como el producto de sus factores primos.

La descomposición de un número en sus factores primos se realiza expresándolo como el producto de sus factores primos.

Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así sucesivamente hasta que el último cociente sea 1.

1.1.4 Los Números Primos

Descomposición en Factores Primos

1.1.5 Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.

Ejemplo:

Algunos múltiplos de 3 son:

{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}


{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}


{15, 30, 45, 60, 75,…}

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.

(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)

1.1.6 Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

Ejemplo:

-Los divisores de 36 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}


{1, 2, 3, 6, 9, 18}


{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.

(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor)

Ejemplos sobre el cálculo del mcm y MCD

Determinar el mcm de 4 y 6

Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,…Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,…

Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,…

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por lo tanto, el mcm es 12

m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

3 6 15 3

4 2 5 2

1 5 5

1

Se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto de los factores primos corresponde al m.c.m.

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método:

Determinar el mcm de 28 y 42

28 42 2

14 21 2

7 21 3

7 7 7

1 1

28/2 = 14 42/2=21

14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja

7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7

7/7 = 1 7/7=1

2 * 2* 3* 7 = 84

El mcm de 28 y 42 es 84

Obtener el MCD de 18 y 24

Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24

Los divisores comunes son 1,2,3 y 6El mayor de los divisores es 6

Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:

36 18 24 2

18 9 12 3

6 3 4

Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obtener el MCD de 48,36 y 60

48 36 60 224 18 30 2

12 9 15 3

4 3 5

Se hace lo mismo que para el MCD. Recuerda que estos números deben ser siempre números primos.

En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores primos en común. Así que

2 * 2 * 3 = 12

Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

1.2. Números Enteros (Z)Son todos los números positivos y negativos sin decimales.

Es decir, un conjunto de la forma:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Se puede utilizar la recta numérica para representarlos:

Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3

1.2.1 Valor absoluto:

El valor absoluto de un número representa la distancia entre el punto sobre la recta numérica al que corresponde y el origen (cero de la recta numérica

-5 505 unidades 5 unidades

Luego,

|-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen.

La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5

1.2.2 Operaciones con números enteros (1/3)

Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos:

Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:

a) a + -b = a – b Ejemplo:

5 + - 9 = 5 – 9 = -4

Ejemplo: b) a – (-b) = a + b

12 – (-8) = 12 + 8 = 20


c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.

Ejemplo:

25 + 8 = +33

d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor de los números.

Ejemplo:

-10 + 7 = -3

75 + -9 = +66

-5 + - 9 = -14


-42 * -8 = +336

e) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces:

- El producto y el cociente entre ellos es positivo.

f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces:

- El producto y el cociente entre ellos es negativo.

Ejemplo:

Ejemplo:

-28 / -7 = +4

125 / -5 = -25

37 * -5 = -185

1.2.4.1 Definición

Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”.

1.2.4. Potenciación

an =

a ∙

a ∙

a ∙

a ∙ … a ∙

∙ a

n veces

Ejemplo:73 =

7∙

7∙

7 =

(-6)2 =

(-6)∙ (-6)= 36

343

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y

(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

= 23

3 23

3ya que:

y = 23

3= 2∙2∙2

3 83

23

3= = 8

27 23 23 23

∙ ∙

1.2.4.2 Propiedades

• Multiplicación de Potencias:

De igual base

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an+man ∙

am =

Ejemplo:

5x+3x5x ∙

53x = = 54x

De igual exponente:

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a ∙ b)nan ∙

bn =

Ejemplo:

85 ∙ 42 ∙ 22 =

85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙ 82 = 87

• División de Potencias:De igual base:Se conserva la base y se restan los exponentes.

an-man :

am =

Ejemplo:

923

96= = 917923-6

De igual exponente:

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan :

bn =

Ejemplo:

75 :

42

282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

• Potencia de Potencia:Se multiplican los exponentes.

(an )m = am ∙ n

Ejemplo:

(210)4 = 210 ∙ 4= 2 40

• Potencia de Exponente Negativo:Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.Potencia de exponente negativo y base entera:

1 a-n = a

n

(Con a, distinto de cero)

Ejemplo:

5-2 ∙ 15

3

2

= ∙ (5)2

5

2

1 = 25 1

∙ 25 = 1

33=4 3

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

a

b

-n

=b

a

n

(Con a, distinto de cero

y b distinto de cero)

Ejemplo:

3

4

-3

=

3

4

3 =64

27

• Potencias de exponente cero:

a0 = 1(para todo a, distinto de cero)

00 : indefinido

Ejemplo:

x

3- 4y

7 – (15-8)

= x

3- 4y

0

= 1

1.2.4.3 Potencias de base 10

• Con exponente positivo:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000…

Ejemplo:

54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000

= 54 ∙ 106

100 = 1

4 ∙ 10 -5

• Con exponente negativo:

Ejemplo:

10

= 1 0,1

100

= 1 0,01

10-3 = 1

1.000

= 0,001…

10-1 =

10-2 =

0,00004 = 4

100.000=

1.2.4.4 Signos de una potencia

• Potencias con exponente par:Las potencias con exponente par, son siempre positivas.

Ejemplo:

(-11) ∙ (-11) = 121

2) -3

5

4

= 81 625 5

(-3)

4

4=

1) (-11)2 =

• Potencias con exponente impar:

En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.

Ejemplo:

1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) =

-1.728

2) -2

3

-5

= 3

-2

5

=(3)

5

(-2)=

5243-32

= 243 32

-

1.2.4.5 Prioridad en las operaciones

Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como:

-5 + 15 : 3 - 3 = ?

¿Qué se resuelve primero?

El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:

1° Paréntesis

2° Potencias

4° Adiciones y sustracciones

3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)

1.3 Números Racionales (Q)

Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -1; 5

0.489; 2.18; -0.647-1; 8

14; 4

15 0

y cualquier número dividido por cero, NO son considerados números racionales

a: se llama numerador y b: se llama denominador

Si un número tiene una cantidad finita de decimales, también es un número racional.

1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones

Ejemplo:

2 ∙

3 ∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número.

6

6

Al amplificar la fracción por 6 resulta:2

3

=12

18

Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número.

3

3= 9

15

Al simplificar la fracción por 3 resulta:27

45

27 :

45 :

1.3.2 Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de es:2

9

9

2

Ejemplo:

1.3.2 Suma y resta:

Ejemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

4

15+

7

15=

11

15

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

2

15+

7

45=

2∙3 + 7∙1

45=

6 + 7

45=

13

45

4

15-

7

15=

-3

15y

3. Si los denominadores son primos entre sí:

5

12 +

7

18=

5∙3 + 7∙2

36

15 + 14

36= =

29

36

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

4

5 +

7

8=

4∙8 + 5∙7

40

32 + 35

40= =

67

40

-4

5 ∙ 8

7=

-32

35=

Multiplicación:Ejemplo:

-4

5

7

8= ∙

-28

40=

28

40-

División:

Ejemplo:-4

5 : 7

8=

32

35-

• Número Mixto:Ejemplo:

8 3 5 =

8∙5 + 3

5=

43

5

1.3.3 Multiplicación y División

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (tienen una cantidad infinita de decimales y se dice que son NO periódicos).

1.4 Números Irracionales (Q*)

Q

U

Q*=

,....,,2,3..... Q* =

Esto significa que ningún número racional puede ser al mismo tiempo un número irracional y viceversa.

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. Es decir, es el conjunto completo de números: naturales, enteros, racionales e irracionales.

R = Q U Q*

Ejemplos:

Diagrama representativo:

3, -89, -2; 7

2,18; ;2 23,491002

1.5 Números Reales (R)

unidad 1

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