Prof. Domingo de la Cerda

CAPÍTULO 1. LA NATURALEZA DE LA LUZ Y LAS LEYES DE LA OPTICA GEOMETRICA

Introducción.

Nada es tan familiar para el ser humano como la luz, es parte de su vida, es esencial para todo ser viviente sobre la tierra. La luz solar es aprovechada por las plantas para convertirla en energía química mediante la fotosíntesis y sirve de medio principal por el cual se puede transmitir y recibir información a través del universo.

Estudiar la naturaleza y propiedades ha sido un verdadero rato para el hombre desde tiempos antiguos. Los griegos aseguraban que la luz se componía de pequeñas partículas que eran emitidas por fuentes luminosas, y estos diminutos cuerpos producían la visión cuando incidían sobre el ojo del observador.

La historia nos cuenta que Newton uso esta teoría corpuscular para explicar los fenómenos de reflexión y refracción de la luz, y que un científico contemporáneo de Newton, Christian Huygenz (1678), pudo explicar otras propiedades de la luz al considerar a la luz como una onda. En 1801 Tomas Young demostró que los haces de luz se infieren unos con otros, lo que vino a afirmar la teoría ondulatoria de la luz.

En 1865, James Clark Maxwell, considerado el más grande físico teórico, desarrolló su brillante teoría en la que demostró que las ondas electromagnéticas viajan a la rapidez de la luz y a principios del siglo XX, Max Planck retoma la teoría corpuscular de la luz para explicar la radiación emitida por objetos calientes. Tiempo después Albert Einstein usa esta misma teoría para explicar como un material emite electrones cuando se expone a la luz(Efecto fotoeléctrico). Como resultado de toda esta investigación, hoy todo estudiante de ingeniería sabe que la luz tiene una naturaleza dual, es decir, la luz presenta características de onda y en otras situaciones se comporta como partícula.

Cada teoría trataba de explicar las características de la luz observadas entonces. Las tres propiedades de la luz son:

Propagación rectilínea: La luz viaja en línea recta.

Reflexión:Cuando la luz incide sobre una superficie lisa, regresa al medio original.

Refracción: La luz cambia de trayectoria cuando entra en un medio transparente.

Einstein propuso una explicación del efecto fotoeléctrico basada en una teoría que empleaba el concepto de cuantización desarrollado por Max Planck en 1900. Este modelo de cuantización supone que la energía de una onda luminosa se encuentra presente en paquetes llamados fotones, por lo que se dice que la energía esta cuantizada. De acuerdo con Einstein la energía de un fotón es proporcional a la frecuencia de la onda electromagnética:

De la constante de proporcionalidad conocida como constantede Planck y es la frecuencia en Hertz.

Nota. Es de resaltar que esta teoría tiene características tanto de la teoría ondulatoria como de la teoría corpuscular.

De acuerdo a los hechos antes referidos podemos concluir que la luz tiene una naturaleza dual: En algunos casos actúa como Onda y en otros como una partícula.

Para responder a la pregunta ¿Qué es la luz?, fue necesario que se unificaran las teoría de la electricidad y el magnetismo en una sola disciplina conocida como Electromagnetismo. Fue Maxwell quien a través de sus ecuaciones muestra que un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo magnético. Estos campos E y B pueden sostenerse entre sí formando una onda electromagnética que se propaga por el espacio a la velocidad de la luz, por tanto la naturaleza de la luz es de naturaleza electromagnética, La luz visible conocida por los filamentos de una lámpara incandescente es un ejemplo de onda electromagnética. Los diferentes tipos de ondas electromagnéticas, luz visible, radio, rayos X y otros, solamente difieren entre si por su frecuencia y su longitud de onda.

1.1 La Naturaleza Ondulatoria y Medición de la Velocidad de la Luz.

A finales del siglo XVIII la luz era considerada como una corrienre de partículas que eran emitidas por el objeto observado o bien que se emitían de los ojos del observador. La teoría corpuscular de la luz tuvo en Issac Newton su principal defensor, quien explicó que las partículas eran emitidas por una fuente luminosa y que estas estimulaban el sentido de la vista al entrar al ojo. Con esta base explicó los fenómenos de reflexión y refracción de la luz.

La teoría corpuscular fue aceptada por la mayoría de los científicos, pero en esos tiempos salió otra propuesta que argumentaba que la luz podría ser cierto tipo de movimiento ondulatorio. Fue el físico holandés Christian Huygenz quien demostró en 1678 que la teoría ondulatoria de la luz podría explicar también la reflexión y refracción. Esta teoría ondulatoria no fue aceptada de inmediato por los físicos quienes argumentaban que si la luz era una onda, debería rodear los obstáculos; por lo que podríamos ver los objetos alrededor de las esquinas. Ahora se conoce que efectivamente la luz rodea los bordes de los objetos, fenómeno conocido como Difracción, difícil de observar por lo corto de las longitudes de onda de la luz. De esta forma la teoría ondulatoria fue rechazada y la teoría corpuscular permaneció durante más de un siglo.

Fue hasta 1801 que Thomas Young demostró que en condiciones apropiadas, los rayos luminosos interfieren entre si, situación que en aquel etntonces no podia explicarse mediante la teoria corpuscular ya que no hay forma concebible por medio de la cual dos o más partículas puedan juntarse y cancelarse una a la otra. Años más tarde el físico francés Agustín Fresnal aportó varios experimentos relacionados con la interferencia y la difracción. Jean Foucault en 1850 proporcionó pruebas de lo inadecuado de la teoría corpuscular al demostrar que la rápidez de la luz en líquidos es menor que en el aire, que de acuerdo a la teoría corpuscular, sería más alta en líquidos que en el aire. Algunos experimentos más realizados en el siglo XIX llevaron a la aceptación general de la teoría ondulatoria de la luz.

El trabajo más importante fue el de James Clark Maxwell, quien en 1873 afirmó que la luz era una forma de onda electromagnética de alta frecuencia. Correspondió al físico alemán Heinrich Rudolf Hertz confirmar en 1887 la teoría de Maxwell al producir y detectar ondas electromagnéticas y demostrar que tales ondas experimentaban reflexión y refracción y exhibían otras propiedades características de las ondas.

El modelo ondulatorio de la luz y la teoría clásica de la electricidad y el magnetismo permitían explicar la mayor parte de las propiedades de la luz, pero no ocurría lo mismo con algunos otros fenómenos. Uno de estos fenómenos que no podian explicar

fue el conocido como efecto fotoelectrico, descubierto por Hertz: cuando la luz incide sobre la superficie de un metal, algunas veces los electrones son arrancados de la superficie. El experimento mostraba que la energía cinética de un electrón arrancado es independiente de la intensidad luminosa. Esto contradecía la teoría ondulatoria, la que sostenía que un haz más intenso de luz debe agregar más energía al electrón.

1.1.1 Mediciones de la rapidez de la luz.

Deacuerdo con nuestro mundo físico real, la luz viaja a una velocidad extremadamente

alta ( que los primeros intentos para medir su rapidez fracasaron. Galileo intento medir la rapidez de la luz colocando dos linternas separadas 10 km. Una linterna se encendería primero y la otra se encendería cuando viera la luz de la primera linterna y de esta forma registraría el tiempod e tránsito de los haces luminosos entre las linternas. Sus resultados no fueron nada convincentes y concuyóus experimento afirmando que de esta forma era imposible medir la velocidad de la luz debido a que el tiempo de tránsito era muy pequeño comparado con el tiempo de reacción de los observadores.

La figura 1.1.2 muestra un diagrama simplificado de su aparato. El proceso básico consiste en medir el tiempo que tarda la luz en viajar de un punto específico a un espejo distante y regresar. Considerando que “d” es la distancia entre la fuente de la luz (asumiendo que esta en la posición de la rueda) y el espejo y si “t” es el tiempo de tránsito para un recorrido completo, entonces la rapidez de la luz es:

Figura 1.1.2 Diagrama del aparato de Fizeau

Fizeau utilizó una rueda dentada rotatoria para medir el tiempo de tránsito, la cual convierte el haz continuo en una serie de pulsos luminosos. La rotación de la rueda controla lo que un observador verá en la fuente luminosa, Por ejemplo, si el pulso luminoso viaja hacia el espejo y pasa por la abertura del punto A, deberá regresar a la rueda en el instante en que el diente B ha girado a una posición para cubrir la trayectoria de regreso, entonces el pulso no alcanzará al observador. Para una mayor rapidez de rotación, la abertura en el punto C podía moverse a una posición que permitiera al pulso reflejado llegar al observador. Si conocemos la distancia “d”, el número de dientes en la rueda y la rapidez angular de la misma, Fizeau calculó la

rapidez de la luz Mediciones similares posteriores hechas por investigadores produjeron valores más precisos de c, aproximadamente de

Ejemplo 1.1

Si una rueda de Fizeau tiene 360 dientes y esta gitrando a 27.5 rev/s cuando un pulso deluz pasa por la abertura A de la figura 1.1.2 es bloqueado por el diente B al regresar. Si la distancia al espejo es de 7 500 m, ¿Cuál es la rapidez de la luz?

Solución: Si la rueda tiene 360 dientes, por tanto, debe tener 360 aberturas, entomnces la luz pasa por la abertura A y ésta es bloqueada por diente adyacente

inmediato B. La rueda debe girar un ángulo ( ) de ½(1/360) = 1/720 rev en el tiempo que pasa mientras la luz efectúa su recorrido completo. Utilizando la definición de rapidez angular determinamos el tiempo:

de donde , sustituyendo valores:

Y la rapidez de la luz es:

1.2. Aproximación de Rayos.

La óptica Geométrica se encuarga del estudio de la propagación de la luz, bajo la suposiciónm de que la luz viaja en una dirección fija en línea recta conforme atraviesa un medio uniforme y cambia su dirección cuando encuentra la superficie de un medio diferenmte o si las propiedades ópticas del medio no son uniformes, ya sea en el espacio o en el tiempo. Para el estudio de la óptica geométrica aquí y en temas subsecuentes utulizaremos lo que se conoce como aproximación de rayos. Para su entendimiento advierta que los rayos de una onda determinada son líneas rectas perpendiculares a los frentes de onda como se ilustra en la figura 1.2.1 para una onda plana. Suponemos que una onda que se mueve en un medio, viaja en línea recta en la dirección de sus rayos.

Figura 1.2.1 Onda Plana

Si la onda al viajar llega a una barrera en la cual hay una abertura circular cuyo diámetro es mucho mayor que la longitud de su onda, como se muestra en la figura 1.2.2ª, la onda que emerge de la barrera circular continúa moviéndose en línea recta (aparted e algunos efectos de borde); en consecuencia la aproximación de rayos continúa siendo válida. Pero si el diámetro de la abertura es del orden de la longitud de su onda, como se ilustra en la figura 1.2.2b, la onda se dispersa desde la abertura en todas direcciones y si la abertura es mucho más pequeña que la longitud de su onda, como se ilustra en la figura 1.2.2c, la abertura puede aproximarse a una fuente puntual que emite ondas. Tal aproximación es muy útil en el estudio de espejos, lentes, prismas e instrumentos ópticos como telescopios, cámaras y anteojos.

Figura 1.2.2 Ondas a través de aberturas

Método de Roemer.

El primer cálculo exitosod e la rapidez de la luz fue hecho en 1675 por el astrónomo danés Ole Roemer. Se baso en observaciones astronómicas de una de las lunas de Júpiter (Io), la cual tarda aproximadamente 42.5 h en recorrer su órbita alrededor de Júpiter. El tiempo que le lleva a Júpite dar una vuelta alrededor del Sol es de 12 años, de modo que el tiempo que tarda la Tierra en recorrer 90° alrededro del sol (3 meses), Júpiter recorre solo 7.5° (1/12)90° Fig 1.1.1

Figura 1.1.1 Método de Roemer

Si un observador emplea el movimiento orbital de la luna de Júpiter Io como un rejor esperaría que su órbita tuviera un periodo constantem sin embargo Roemer registró variaciones sistemáticas en el periodo orbital de Io durante un año. Registró periodos mas grandes cuando la tierra se alejaba de Júpiter y periodos mmas pequeños cuando la tierra se acercaba a Júpiter. Roemer atribuyó estas variaciones en el periodo al hecho de que la distancia entre la Tierra y Júpiter cambiaba de una observación a la siguiente. En tres meses (un cuerto de periodo orbital de la Tierra alrededor del Sol), la luz de Júpiter viaja una distancia igual al radio de la órbita terrestre.

Empleando estos datos Huygens calculó el límite inferior para la rapidez de la luz

aproximadamente igual a Este experimento resulta importante desde el punto de vista histórico porque demostró que la luz tiene una rapidez finita y nos dio una estimación de esta rapidez.

Técnica de Fizeau.

Aproximadamente dos siglos después Armand H.L. Fizeau, desarrolló el primer método utilizando técnicas puramente terrestres para medir la rapidez de la luz.

1.3. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

1.3.1 Reflexión.

Cuando una onda luminosa viaja en un medio y encuentra una frontera que conduce a otro medio, parte de la luz incidente se refleja. Si los rayos de luz incidente se reflejan en una superficie reflectora lisa similar a un espejo, los rayos reflejados son paralelos entre si y se dice que se trata de una reflexión especular como se muestra en la figura 1.3.1 a. Si la superficie reflejante es rugosa, los rayos reflejados no son paralelos entre si, sino que son reflejados en varias direcciones. A este tipo de reflexión se le conoce como reflexión difusa como se muestra en la figura 1.3.1 b. Una superficie se comporta como superficie lisa si sus variaciones son más pequeñas que la longitud de onda de la luz incidente. La superficie lisa del agua refleja de manera especular. En este sentido utilizaremos el término reflexión para referirnos a la reflexión especular.

Figura 1.3.1. Reflexión de Onda

Consideremos un rayo de luz que viaja en el aire y que incide a cierto aongulo sobre una superficie lisa y plana, como se muestra en la figura 1.3.2 Los rayos incidente y reflejado forman ángulos y medidos desde la normal a los rayos respectivamente. La normal es una línea dibujada perpendicular ala superficie en el punto donde los rayos incidentes golpean. La teoría y los experimentos demuestran que el ángulo de reflexión es igual al ángulo incidente:

(1.2)

A esta relación se le llama ley de reflexión.

Figura 1.3.2 Ley de la Relexión

Los astronautas del Apolo 11 colocaron un panel de pequeños retrorreflectores en la Luna, de tal manera que un rayo láser enviado desde la tierra se puede reflejarse directamente hacia atrás de él mismo y se mide el tiempo de tránsito, Ésta información sirve para determinar la distancia a la Luna con una incertidumbre de 15 cm.

1.3.2 Refracción.

Cuando un rayo de luz viaja a través de un medio transparente y encuntra una frontera que lleva a otro medio transparente, parte del rayo incidente se reflemja y parte entra al segundo medio. La parte que entra al segundo mmedio se dobla en la forntera y se dice que se refracta.

La figura 1.3.4. muestra que el rayo incidente, el rayo reflejado y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano.

El ángulo de refracción depende de las propiedades de los medios y del ángulo de incidencia deacuerdo a la relación:

(1.3)

Donde v1es la rapidez de la luz en el medio 1 y v2es la rapidez de la luz en el medio 2.

Figura 1.3.4 Rayo Refractado

La trayectoria de un ratyo luminoso a través de una superficie refractante es reversible, es decir, el rayo mostrado en la figura anterior que viaja del punto A al punto B; si éste se hubiera originado en el punto B, viajaría de B al punto A.

Figura 1.3.6 Comportamiento de la luz en el vidrio.

1.3.3 Índice de refracción

La luz viaja a su máxima rápidez en el vacío, por lo que en general, la rapidez de la luz en cualquier material es menor que su rapidez en el vacío. Utilizando estas afirmaciones definimos el índice de refracción de cualquier medio n como la relación:

De la definición anterior vemos que el índice de refracción e un numero adimensional, que siempre es mayor que la unidad y que para el vacío n=1.

Cuando la luz viaja de un medio a otro, su frecuencia no cambia, pero su longitud de onda si cambia. Conmsidere la figura 1.3.7 Un observador en el punto A del medio 1 ve pasar frentes de onda con una cierta frecuencia y al pasar este frente de onda al medio 2, un observador en el punto B ve pasar el frente de onda a la misma frecuencia que paso en el medio 1, la frecuencia debe ser una constante cuando un rayo luminoso pase de un emdio a otro.

Matemáticamente se demuestra: Un rayo tiene una velocidad en un medio igual a:

Como es diferente de se concluye que es diferente de

Figura 1.3.7 Constancia de la Frecuencia de la luz.

Ejemplo 1.3

En la figura, el material a es agua y el material b es vidrio cuyo índice de refracción es de 1.52. Si el rayo incidente forma un ángulo de 60° con la normal, encuentre la dirección de los rayos reflejado y refractado.

Solución: De acuerdo a la ley de reflexión por tanto el ángulo reflejado es de 60° con respecto a la normal.

Para encontrar la dirección de rayo refractado utilizamos la ley de Snell

de donde sustituyendo valores:

Ejemplo 1.4

Un haz de luz de 589 nm de longitud de onda que viaja en el aire incide sobre una placa de material transparente con un ángulo de 40° con la normal. El haz refractado forma un ángulo de 26.0 con la normal. Determine el índice de refracción del material.

Solución: Usando la ecuación de la ley de Snell, los datos proporcionados y tomando

para el aire se obtiene:

Si observamos en la tabla de índices vemos que corresponde al vidrio de cuarzo.

En la figura 1.4, 1ª, se muestra una onda plana que se mueve a través del espacio libre.

En t=0, el frente de onda se indice por el plano AA´. Cada punto de este frente de onda se considera una fuente puntual, solo se muestran tres puntos sobre AA´. Con estos tres puntos como fuentes de ondas secundarias esféricas se dibujan círculos de radio donde c es la rapidez de la luz en el espacio libre y es el tiempo de propagación de un frente de onda al siguiente. El nuevo frente de onda esta representado por la tangente a estas ondas esféricas secundarias dibujado en el plano BB´, que resulata paralelo al plano AA´.

La figura 1.4.1 b muestra de manera similar la construcción de Huygens para una onda esférica.

Figura 1.4.1. Construcción de Huygens de onda esférica.

1.4.1 Demostracion de las leyes de la reflexión y refracción.

Utilizzando el principio de Huygens. Para la reflexión consideremos la figura 1.4.2a en la cual la línea AA´ representa un frente de onda de luz incidente. Cuando el rayo 3 viaja de A´ a C, el rayo 1 se refleja desde produciendo una onda esférica secundaria de radio AD, como las dos ondas tienen el mismo radio están en el mismo medio y tienen la misma rapidez c, entonces A´C=AD. Por otro lado la onda secundaria centrada en B se ha extendido solo la mitad de la que esta centrada en A, debido a que el rayo 2 pega en la superficie después de que pega el rayo 1.

Note que en el intervalo de tiempo el rayo 1 se mueve de A a B y el rayo 2 se mueve de A´a C. El radio de la onda secundaria esférica saliente que se encuentra

centrada en A es igual a . La distancia A´C es igual a Por geometría se muestra que el ángulo A’AC es igual a y el ángulo ACB es igual a . Deacuerdo con los triángulos encontramos que:

Si dividimos: , como sabemos que y que (Ecuación 1.6);

sustituyendo en la ecuación tenemos:

Por tanto;

1.4.2 Dispersión.

La luz blanca es una combinación de todas las longitudes de onda visibles, es decir; es una superposición de ondas cuyas longitudes de onda se extienden a través detodo el espectro visible. La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas

las longitudes de onda, pero la rapidez de la luz en una sustancia es diferente para cada longitud de onda. Como consecuencia el índice de refracción de un material depende de la longitud de onda. Esta dependencia de la rapidez de onda y del índice de refracción de la longitud de onda se conoce como Dispersión. Considerada como una importante propiedad del índice de refracción. Dicho comportamiento se observa en la figura 1.4.4. El índice de refracción disminuye para longitudes de onda crecientes, lo que signifuca que la luz azul se desvía más que la luz roja cuando pasa por un material refractante.

Figura 1.4.4. Comportamiento de n contra la longitud de onda.

Ejemplo 1.6

El ángulo de desviación mínimo para un prisma ocurre cuando el ángulo de incidencia es tal que el rayo rtefractado dentro del prisma forma el mismo ángulo con la normal a las dos caras del prisma, como lo muestra la figura. Partiendo de esta información obtenga una expresión para el índice de refracción del material del prisma.

Solución: Deacuerdo a la figura, por geometría encontramos que y

Usando la ley de la refracción de Snell y tomando n=1, como el medio 1 es el aire. Tenemos:

De donde:

Deacuerdo a la ecuación anterior podemos afirmar que la reflexión totalm interna solamente ocurre cuando la luz se mueve de un medio de un índice de refracción determinado a un medio de un índice de refracción menor.

Si fuera menor que , nuestra ecuación 1.10 nos daría sen y este resultado carece de sentido, puesto que el seno de un ándulo nunca puede ser mayor que 1.

1.4 El principio de Huygenz y Dispersión.

Como se mencionó anteriormente Huygenz supuso que la luz era cierta forma de movimiento ondulatorio mas que una corriente de partículas, su modelo ondulatorio simplificado es adecuado para desarrollar las leyes de la reflexión y la refracción.

El principio de Huygens nos permite determinar la posición de un nuevo frente de onda en algún instante a partir del conocimiento de un frente de onda superior.

El principio establece:

“Todos los puntos de un frente de onda determinado se toman como fuentes puntuales de la producción de ondas secundarias esféricas, llamadas ondulaciones, las cuales se propagan hacia fuera del medio con rapidez características de las ondas en ese medio. Después de que ha transcurrido cierto tiempo, la nueva posición del frente de onda es la superficie tangente a las ondulaciones.”

Tabla 1.1 Indices de Refracción.

Podemos obtener una relación entre los índices de refracción y la longitud de onda usando las ecuaciones 1.5 y 1.4.

De la ecuación 1.5:

De donde:

Si consideramos que el medio 1 es el vacío o el aitre en donde el índice de refracción

ycualquier otro medio de índice de refracción , la expresión anterior puede expresarse como:

Donde es la longitud de onda de la luz en el vacío y es la longitud de onda de la

luz en cualquier otro medio. Observe de la ecuación 1.7 que y que

Si reemplazamos el término con en la ecuación 1.6 obtenemos:

Expresión conocida como LEY DE REFRACCIÓN DE SNELL.

Podemos decucir de la ecuación 1.3 que cuando la luz se mueve de un medio donde su rapidez es mayor, a un medio donde su rapidez sea menor, el ángulo de refracción

es menor que el ángulo de incidencia y el haz refractado se dobla hacia la normal. Pero si la luz se mueve de un medio donde su velocidad es menor, a otro

medio donde su velocidad sea mayor, el ángulo de inicdencia es menor que el ángulo de refracción y el rayo refractado se dobla contra la normal. Las figuras 1.3.5ª y 1.3.5b ilustran lo anterior.

Figura 1.3.5 Rapidez de la luz en un medio.

Es freceunte que los estudiantes se confundan cuando analizan el comportamiento de la luz cuando viaja en el aire y luego pasa a otro medio diferente para posteriomente regresar de nuevo al aire. Cuando la luz viaja en el aire se mueve a una rapidez de

, al pasar a otro medio, por ejemplo un bloque de vidrio, su velocidad se

reduce a y cuando emerge de nuevo al aire adquiere en forma instantánea

una rapidez de , muy diferente a lo que estamos acostumbrados a ver. Por

ejemplo si una bala se dispara contra un bloque de madera, su velocidad se reduce al entrar el bloque de mmadera y sale del bloque exactamente a la velocidad que tenía cuando estaba en la madera.

El comportamiento inusual de la luz se explica en términos de la mecánica cuántica que estudiamremos en capítulos posteriores. Por ahora daremos la siguiemte explivcación: consideremos la figura 1.3.6 que repesenta un haz de luz que entra a un pedazo de vidrio desde la izquierda. Dentro del vidrio la luz encuentra en electrón ligado a un átomo A del vidrio, el átomo absorbe la energía del haz y hace que el electrón oscile y radie el haz de luz hacia el átomo B del vidrio donde sucede el mismo proceso, en donde la luz pasa de un átomo a otro a través del vidrio, la absorción y

radiación del haz de luz hace que su rapidez disminuya a y una vez que el haz de luz emerge del vidrio, la absorción y radiación cesan y el haz de luz regresa a su rapidez original.

Ejemplo 1.2.

Dos espejos forman entre sí un ángulo de 105° como se ve en la figura. Un rayo incide

sobre el espejo a un ángulo de 50° con la normal. Encuentre la la dirección del rayo después de que éste se refleje desde el espejo

Solución: En base a la ley de la reflexión, conocemos que el primer rayo incide forma

un ángulo de 50° con la normal por tanto este rayo forma un ángulo de:

con la horizontal.

A partir del triángulo formado por el primer rayo reflejado y los dos espejos,

observamos que el primer rayo reflejado forma un ángulo con de:

Por tanto este rayo forma un ángulo de con la normal de y deacuerdo a la ley de la reflexión el segundo rayo refrejado forma un

ángulo de con la normal a

Si el ángulo entre los dos espejos fuera de , el haz reflejado regresaría a la fuente paralelo a su trayectoria original, fenómeno conocido como retrorreflexión que tiene muchas aplicaciones prácticas. Una aplicación se encuentra en los faros posteriores de los autos que tienen una capa cubierta de esferas diminutas que aseguran que los haces del faro delantero son reflejados hacia atrás del auto que los envía. Como se muestra en la figura 1.3.3.

Figura 1.3.3 Retrorreflexión.

1.5 Reflexión Total Interna.

Cuando la luz se mueve de un medio que tiene un determinado índice de refracción hacia otro medio con un índice de refracción menor, ocurre un efecto llamado refleción total interna. Consideremos un haz de luz que viaja de un medio 1 y llega a

la frontera de un medio 2, figura 1.5.1 El índice de refracción es mayor que el índice de refracción En la figura se indican 5 posibles direcciones del rayo. Los rayos

refractados se doblan desde la normal debido a que es mayor que

Para un ángulo de incidencia en particular llamado ángulo crítico, el rayo

refractado se mueve paralelo a la frontera , por tanto correspondiente al rayo 4.

Figura 1.5.1 Reflexión total interna.

Para ángulos de incidencia mayores que el haz es completamente reflejado en la frontera como lo muestra en rayo 5 de la figura. Dicho rayo y todos los que tengan ángulos de incidencia mayores que obedecen la ley de la reflexión, es decir para estos rayos el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

1.5.1 Ángulo crítico para reflexión total interna.

Para encontrar el ángulo crítico se utiliza la ley de refracción de Snell. Considerando

, sustituyendo en la ecuación 1.8, resulta:

Por tanto:

Para entender los efectos de dispersión de la luz, consideremos que ocurre cuando la luz incide en un prisma. La figura 1.4.5, muestra un rayo de luz incidente de una sola longitud de onda sobre el prisma, el rayo emerge refractado de su dirección original de recorrido en un ángulo denominado ángulo de desviación.

Figura 1.4.5 Rayo Incidente sobre prisma.

Si suponemos ahora que el rayo que incide es de luz blanca, los rayos que emergen se dispersan en una serie de colores conocida como el espectro visible. Estos colores en orden de longitud d eonda creciente son rojo, naranja, amarillo, verde, azul,

índigo y violeta. El ángulo de desviación para cada color dependerá de su longitud d eonda, la luz violeta se desvís más y la roja menos. Newton demostró que cada color tiene un ángulo particular de desviación y que los colores pueden recombinarse para formar luz blanca original.

Para medir y estudiar las longitudes de onda emitidas por una fuente luminosa se emplea un instrumento llamado espectrómetro de prisma.

El efecto de la dispersión se observa de manera natural en la formación de un arcoiris, que frecuentemente es visto por un observador colocado entre el Sol y la lluvia, para entender la formación del arcoirir refiérase a la figura 1.4.6 Un rayo de luz del sol (que es luz blanca) en el cielo choca con una gota de agua y se refracta y refleja. El rayo refractado en la superficie frontal de la gota se refleja en la superficie posterior de la gota y nuevamente se refracta en la superficie frontal de la gota emergiendo de la gota de manera que el ángulo entre la luz blanca incidente y el rayo que retorna será en función del valor de su longitud de onda. Para el rayo de luz violeta es de 40° y el ángulo entre la luz blanca y el rayo de luz rojo es de 42° como se ilustra en la figura.

Figura 1.4.6 Formación del arcoiris.

Aplicando el principio de Huygenz encontramos que el frente de onda reflejado es CD generado por una línea tangente a todas las ondas secundarias esféricas salientes. Ahora por geometría, figura 1.4.2b. Los triángulos rectángulos ADC y AA´C son congruentes (Tienen la misma hipotenusa AC y AD=A´C), se tienme que:

Por tanto:

Que corresponde a la Ley de Reflexión.

Figura 1.4.2 Diagrama de Huygenz para demostar la ley de Reflexión.

Utilizamos de nuevo el principio de Huygenz para demostrar ahora la ley de refracción de Snell. Consideremos la figura 1.4.3.

Figura 1.4.3 Diagrama de Huygenz para demostrar la ley de Refracción.

Ejemplo 1.5

La longitud de onda de la luz roja de un láser de Helio-Neón es de 633nm en el aire y de 474nm en el humor vítreo del ojo humano. Calcule el índice de refracción del humor vítreo, la rapidez y la frecuencia de la luz en dicha sustancia.

Solución: Tomando el índice de refracción del aire igual a la unidad y utilizando la eccuación 1.7 determinamos la longitud de onda del material:

La velocidad en el humor vítreo será:

Por último la frecuencia del haz:

Observe que aunque la longitud de onda es diferente en el aire y el humor vítreo, la frecuencia no sufre cambios al pasar a un diferente medio.

1.5.2 Reflexión total en prismas.

La reflexión total interna en un prisma altera la dirección del viaje de un haz de luz.

Esto se ilustra en las figuras 1.5.2. Una aplicación común de la reflexión total interna es en el periscopio de los submarinos. Este instrumento lleva dos prismas arreglados como lo muestra la figura 1.5.2c, de tal manera que el haz incidente de luz msigue la trayectoria mostrada y como resultado se puede ver alrededor de las esquinas cuando se mira a través de un periscopio.

Figura 1.5.2 Reflexión total en Prismas

Ejemplo 1.7

Determine el ángulo crítico para una frontera agua.aire, si el índice de refracción del agua es de 1.33.

Solución: Suponiemndo que el aire esta arriba del depósito de agua y tiene un índice

de refracción y el agua tiene un índice de refracción . Aplicando la ecuación 1.10 se encuentra que:

Por tanto:

De donde:

De acuerdo con la figura:

Sustituyendo en la eccuación 1.11 tendremos que:

Que es la ley de Refraccion de Snell