PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.SECTOR DE FORMACIÓN MATEMÁTICAÁREA TEMÁTICA MATEMÁTICANIVEL SEGUNDO AÑO MEDIOPROFESOR MARCIA MEDINA TORRESUNIDAD DIDÁCTICA No 2 FRACCIONEMOS EL ALGEBRA TIEMPO 30 a 35 hrs

APRENDIZAJES ESPERADOS :Los alumnos :1. Generalizan la simplificación de fracciones aritmética a fracciones algebraicas.2. Deducen la importancia de la factorización al simplificar fracciones algebraicas.3. Relacionan la operatoria con fracciones y las operatorias con expresiones

fracccionarias.4. Amplian la resolución de ecuaciones enteras a ecuaciones fraccionarias.5. Resuelven problemas que involucren ecuaciones fraccionarias.6. Generalizan la división aritmética a división de polinomios cualesquiera.7. Aplican correctamente el teorema del resto.8. Diferencian la división sintética de polinomios con la división tradicional.

ACTIVIDADES SUGERIDAS :

Recuerdan la simplificación de fracciones aritmética. Comparan la operatoria aritmética con la algebraica. Desarrollan los ejercicios propuestos en el texto San Mateo. Aplican la división aritmética a la división de polinomios dados. Establecen similitudes entre la división aritmética y la división de polinomios. Reconocen el teorema del resto. Aplican correctamente el teorema del resto Identifican la división sintética entre polinomios Establecen diferencias entre la división sintética de polinomios con la división

tradicional Identifican las diferencias, ventajas y desventajas entre los métodos de división de

polinomios aprendidos. Aplican el método de división sintética en la división de polinomios Reflexionan sobre cómo se amplia el estudio de la matemática. Desarrollan un control formativo como autoevaluación de conocimientos. Consultan libros : - Álgebra de Baldor Capítulo V, pág 79 – 93 y Capítulo VII

pág112 – 121.- Matemática I . Edit. Santillana- Álgebra y Geometría I , Santillana , Capítulo V , pág 113 – 118- Álgebra, Pröschle Capítulos IV , pág 85 – 88 , 99 – 100

CONTENIDOS:

1. Fracciones algebraicas.2. Adición y sustracción de fracciones algebraicas.3. Multiplicación de fracciones algebraicas.4. Ecuaciones fraccionarias con denominadores algebraicos.5. Resolución de problemas como aplicación de las ecuaciones fraccionarias.6. Análisis de la pertinencia de las soluciones al resolver problemas.7. División de polinomios.8. Teorema del resto.9. División sintética entre polinomios.

EVALUACIÓN :Se realizará la siguiente forma de evaluación :1. del trabajo individual2. del trabajo en equipo3. de la aplicación de los contenidos y problemas propuestos en texto San Mateo y libros4. del desarrollo ordenado de la guía de trabajo en el cuaderno5. de las actitudes frente al proceso de enseñanza – aprendizaje

UNIDAD N° 1 : FRACCIONEMOS EL ÁLGEBRA

1

LAS FRACCIONES EN LENGUAJE ALGEBRAICO

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:

El matemático y filósofo francés René Descartes (1596 – 1650) fue el primero que aplicó los conocimientos algebraicos a la Geometría, creando la Geometría Analítica. Descartes ha sido considerado el primer filósofo de la Edad Moderna debido sobre todo a su sistematización del método científico.

Pone cuidado al cómo se puede ir generalizando cada operación aritmética y te darás cuenta que no es tan complicado realizar las cuatro operaciones básicas con fracciones en que los denominadores sean algebraicos.

ADICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

CON IGUAL DENOMINADOR :

2

Plantea varios casos de cómo se realiza la división aritmética.Recuerda los diferentes tipos de factorización.Repasa la operatoria aritmética de fracciones.

Antes de comenzar la unidad deseo proponerte lo siguiente...

Se ve interesante el tema... Ahora voy a investigar de que trata esto para luego aplicar lo que haya aprendido.

SE PROCEDE DE IGUAL MANERA QUE CON LAS FRACCIONES ARITMETICAS , ES DECIR CONSERVANDO EL DENOMINADOR Y SUMANDO LOS NUMERADORES

( CUIDADO CUANDO PRECEDE UN SIGNO NEGATIVO)

1. 2.

3. 4.

5.

CON DISTINTO DENOMINADOR :

EJEMPLO 1 :

6. 7.

8.

EJEMPLO 2 :

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15.

3

Ahora vamos a la acciOn

EJERCICIOS MIXTOS

16. 17.

18. 19.

20. 21.

22.

ECUACIONES

ECUACIONES FRACCIONARIAS :

INTRODUCCIÓN HISTÓRICAUna de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época aunque también destacó por otras disciplinas. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” , escrita en 1767.

Para resolver las ecuaciones fraccionarias es conveniente aplicar la siguiente propiedad :

x + y = z

Ejemplo 1 : Resolver

El mínimo común múltiplo es : 2x(x + 1) y éste es el denominador común que debemos formar , así :

así, resulta que : 4x2 = 4x(x + 1) – 5(x + 1)entonces 4x2 = 4x2 + 4x – 5x – 5es decir x = -5

Ejemplo 2 : se factoriza el 2ª denominador

/·2(2x-3)

2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) 6x - 2 - x - 9 = 4x - 6

x = 5

4

EJERCICIOS

23. 24.

25. 26.

27.28.

29. 30.

31. 32.

PROBLEMAS CON ENUNCIADO.

33. Si se beben tres tazas de leche (250cc) de una caja de 1,5 litros, y suponiendo que esta al máximo de su capacidad ¿cuánta leche queda en la caja?.

34. Ángela y Roberto tienen un cuaderno de 120 hojas. Ángela ha gastado dos terceras partes del suyo y Roberto, tres quintas partes. ¿Cuántas hojas ha gastado cada uno? ¿A quién le quedan más hojas en blanco?

35. En una bandeja de cubitos de hielo, Andrea ha preparado helados. Invita a sus amigos y se beben la mitad de la bandeja. En la cena ella se toma 1/3 de los que le quedaban y guarda en le refrigerador los 6 que han sobrado. ¿Cuántos helados preparó Andrea?

36. Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arroja 360 litros por minuto?

37. En una familia trabajan el padre , la madre, el hijo mayor, ganando

conjuntamente $720.000. La ganancia de la madre es igual a los del padre y

la del hijo es de la de su madre. ¿Cuánto gana cada uno?

38. José desea que el promedio de tres evaluaciones de en la asignatura de Matemática sea un 6,5. Si se ha sacado un 5,8 en la primera evaluación y un 6,7 en la segunda, ¿Qué nota deberá obtener en la tercera para alcanzar ese promedio?.

39. Plantea y resuelve el epitafio de Diofanto:

5

Es hora de Aplicar lo que haz aprendido

“Caminante, aquí fueron enterrados los restos de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió: Su juventud ocupó la sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió de vello.Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y su primogénito nació cinco años después.Al alcanzar éste la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada.Su padre tuvo que sobrevivirlo llorándolo durante cuatro años más.Con esta información deduce su edad”

40. El curso de Ignacio quiere juntar dinero para ayudar a su Colegio en la compra de computadores. Tienen la idea de hacer un periódico semanal. Averiguaron que si se hecen “n” periódicos, el costo por cada uno viene dado por la fórmula:

¿ Cuál es el costo de cada periódico si deciden imprimir 500 ejemplares ? ¿ Cuántos ejemplares debieran imprimir para que el costo fuera menor que $100 ? ¿ Cuánto ejemplares debieran imprimir para que el costo sea $ 84 ? Si deciden hacer un tiraje de 500 ejemplares durante 8 semanas , ¿ a cuánto debieran vender cada periódico para ganar $ 360.000 ?

41. Considerar a = ; ¿ qué variaciones en “p” y “q” permiten duplicar “a” ?

Indicar por lo menos tres.

42. En la expresión , los tres valores se duplican ¿qué variación experimenta

el valor de la fracción y en cuánto ?

43. Dada la solución de una ecuación es x = . ¿ Para qué valores de “m”

ó “b” esta solución no existe ?

44. La solución de una ecuación es x = . Señalar las condiciones para que

esta solución exista.

45. Observa en la recta siguiente las ubicaciones relativas de a , b , c , d , e

Determinar, en consecuencia, si las siguientes expresiones son mayores o

menores que cero: a – b , ab , , ,

46. Despeja la letra indicada en cada ejercicio

i) a, si ii) f, si

Aplicación a la Física:47. En el río Calle Calle arriendan botes a remo durante la temporada estival. Juan

recorre 18 kilómetros en 1,8 horas y puede remar 24km/h en aguas tranquilas (sin corriente). Calcula la velocidad de la corriente de Calle Calle. Recuerda que

.

Reflexiona acerca de la importancia de la matemática en chile:

6

a b c d e

-3 -2 -1 0 1 2 3

Forma un grupo de cuatro compañeros, lee y comenta las siguientes afirmaciones:

- Es necesario que Chile posea un buen nivel de las llamadas ciencias duras para que progrese en la tecnología y en lo social?.

- Como la tecnología se compra , el desarrollo de la ciencia pasa a segundo plano.

- No se justifica gastar mucho dinero en ciencia cuando en el mundo son millones los que se mueren de hambre y viven en la extrema pobreza.

¿Estás de acuerdo o en desacuerdocon estas afirmaciones? Fundamenta y compara con el resto de los grupos.

A partir de esta discusión en el curso, elaboren, en tu grupo, preguntas de entrevista para planteárselas a un :

a) Matemático, b) Físico que no sean profesores del Colegio San Mateo.c) Filósofod) Una “persona en la calle”

CONTROL FORMATIVO 1Calcula y simplifica la expresión resultante (elige 4) :

7

Estoy preperado para realizar mi primer Control Formativo

1. = 2.

3. m – 1 – 4.

5.

6.

Elige y resuelve 3 de las siguientes ecuaciones:

7.8.

9. 10.

11.

Problemas texto; elige y resuelve 3:12. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a los

del menor. ¿Cuáles son los números?.

13. Vendí mi computador en $400000 más la tercera parte de lo que pagué por él y en esta operación gané $100000. ¿Cuánto me había costado?

14. Si x es el precio de un kilo de peras. ¿Cuánto valdrá el kilógramo si el nuevo precio es su tercera parte más $ 125?

15. Juan demora 5 horas en hacer cierto trabajo mientras que su amigo René lo puede hacer en 3,5 horas. ¿En cuánto tiempo lo harían si trabajan juntos?.

16. Manuel salió de la ciudad en su auto. Una hora más tarde Pablo partió en la

misma dirección manteniendo una velocidad veces la de Manuel, a quien

alcanzó después de recorrer 210 km. Determina las velocidades.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA:

8

Los árabes contribuyeron poderosamente a la sistematiza del álgebra. El matemático Al-Hwarizmi, de la escuela de Bagdad, fue el autor del primer libro sobre esta disciplina en el siglo IX (d.C.). Esta obra, conservada solamente en lengua latina con el título de “Algorithmi de numero indorum”, fue fundamental para la adopción y popularización en la Europa cristiana de nuestro actual sistema numérico. Escribió otros libros, uno de los cuales dio nombre a esta ciencia. Al-Hwarizmi trabajó también la teoría de ecuaciones de segundo grado y fue autor de unas tablas astronómicas. Por su parte, el matemática sirio Al-Batani también aplicó el Álgebra a la resolución de problemas de Astronomía.

Al dividir polinomios se sigue la misma idea de una división aritmética común y corriente, es decir: 142 : 3 = 47 (-) 12 22 (-) 21 1Así 142 = 3 47 + 1

Ejemplo : 6x4 + 7x3 + 6x2 + 32x – 7 : 3x2 + 5x – 2 = 2x2 – x + 5 (-) 6x 4 + 10x 3 – 4x 2 0 - 3x3 + 10x2 + 32x – 7(-) - 3x 3 – 5x 2 + 2x 0 15x2 + 30x – 7(-) 15x 2 + 25x - 10 0 5x + 3

Así 6x4 + 7x3 + 6x2 + 32x – 7 = (3x2 + 5x – 2) (2x2 – x + 5) + 5x + 3

Dividendo = Divisor Cuociente + Resto

NOTA : Recuerda que cuando el resto es cero se dice que el polinomio Dividendo es divisible por el polinomio Divisor y que tanto el polinomio Divisor como el Cuociente son factores del Dividendo.

EJERCICIOS

Realiza la división entre la primera expresión y la segunda :

47. 2x2 – 7x + 6 , x – 2

48. 3y3 – y2 + 7y + 6 , y2 – y + 3

49. 6x4 – 7x3 – 15x2 + 2x + 2 , 3x + 1

50. 2x3 + 3x2 – 6x – 8 , x2 – 3

¿ Qué puedes concluir de la división de polinomios ? ¿ De qué manera puedes relacionar la división aritmética común de la algebraica ?

DIVISIÓN SINTÉTICA.

TEOREMA DEL RESTO Y DEL FACTOR.

TEOREMA 1 : Si el polinomio p(x) se divide por el binomio x – r , siendo “r” una constante independiente de “x” , el resto es igual a p(r).

9

Esto es parte del pasado pero muy útil en el presente y futuro,lo importante es saber aplicarlo

Busca tu camino

hace uso de tu experiencia

Ejemplo : Sin realizar la división, calcular el resto que se obtiene al dividir P(x) = x4 + 5x3 + 5x2 – 4x – 7 por x + 3

En efecto, según el teorema 1 , el resto es igual a p(-3) .

Así p(-3) = (-3)4 + 5(-3)3 + 5(-3)2 - 4(-3) – 7 = 81 – 135 + 45 + 12 – 7 = -4

Luego el resto de la división sería -4 .

TEOREMA 2 : Si en el polinomio p(x) ocurre que p( r ) = 0 , entonces x – r es un factor del polinomio p(x) .

Ejemplo : Demostrar que x – 5 es un factor del polinomio p(x) = x3 – 8x2 + 19x – 20

En efecto, como p(5) = 53 – 8 52 + 19 5 – 20 = 125 – 200 + 95 – 20 = 0

entonces x – 5 es un factor del polinomio x3 – 8x2 + 19x – 20

EJERCICIOS.

Usando el teorema del resto y del factor calcula el resto de la división e indica si el binomio dado es factor del polinomio dado :

51. x – 1 ; p(x) = x3 + 2x2 – 4x + 1

52. x + 2 ; p(x) = x4 – 3x3 – 2x2 + 5x – 9

53. x + 3 ; p(x) = x5 + 4x4 – 7x2 + 5x – 3

54. x – 2 ; p(x) = x6 – 5x5 + 3x3 – x2 + 7

DIVISIÓN SINTÉTICA .

Permite dividir un polinomio p(x) entre el binomio x - r de una forma más rápida.

Explicaremos el método mediante un ejemplo :

Dividir 3x3 – 4x2 – 2x – 7 entre x – 2

Se anota 3 -4 -2 -7 2 6 4 4

3 2 2 -3

La regla es la siguiente :

Para dividir un polinomio p(x) entre x – r , se procede como sigue :

- En la primera línea se escriben en orden los coeficientes del polinomio p(x) , y el número “r” separado y a la derecha.

- Si alguna potencia de “x” no aparece en p(x) su coeficiente se escribe como cero.

- Se escribe el primer coeficiente de p(x) como primer término de la tercera línea y se multiplica por “r”, escribiendo el producto en la segunda línea y debajo del segundo coeficiente de p(x), y se suman estos valores.

10

- Se multiplica esta suma por “r” y se coloca el producto debajo del tercer coeficiente de p(x), y se suman estos valores.

- Se continúa de esta manera hasta finalizar con todos los coeficientes.

- El último número de la tercera línea es el resto

- Los números anteriores son los coeficientes del cuociente correspondientes a potencias descendentes de “x”.

Ejemplo : Hallar el cuociente y el resto de la división de 2x4 + 3x3 – x – 3 por x + 2

Según la regla anterior, resulta :

2 3 0 -1 -3 -2 -4 2 -4 10 2 -1 2 -5 7

Por lo tanto, el cuociente es 2x3 – x2 + 2x – 5 y el resto es 7 , es decir ocurre 2x4 + 3x3 – x – 3 = (x + 2) (2x3 – x2 + 2x – 5) + 7

EJERCICIOS.

Usando la división sintética obtiene el cuociente y el resto en cada caso :

55. x3 + 4x2 + 7x – 2 : x + 2

56. x6 – x4 + x2 – 2 : x – 1

57. 2x5 – 14x3 + 8x2 + 7 : x + 3

58. 4x4 – 3x2 + 3x + 7 : x +

CONTROL FORMATIVO 2Realiza las siguientes divisiones y escribe en la forma

DIVIDENDO = DIVISOR · CUOCIENTE + RESTO

1. x2 + 7x + 12 : x + 3 = 2. y4 + 4y3 + 2y2 – 4y + 1 : y2 + 2y – 1 =

3. x6 – 1 : x – 1 = 4. 3x2 + 14xy + 25y2 : x – 3y =

5. 343y3 + x3 : x + 7y = 6. 10 – x2 + 6x3 – 27x : 3x – 5 =

11

Determina si x – 2 es un factor de algún polinomio del siguiente cuadro, en caso de que lo sea, encuentra, además, el otro factor:

polinomio Verdadero o falso factores

7. x2 – x – 6

8. x2 – 5x + 6

9. x3 – 4x2 + 6x – 4

10. x3 + 2x2 – 7x + 4

Encuentra el valor de k para que se cumplan las siguientes condiciones:

11. Para que x – 4 sea factor de x2 – 6x + k

12. Para que al dividir 2t3 + 3t2 – kt + 10 por t – 2 el residuo sea cero

Problema 13. Si se divide 718 entre cierto número, el cuociente es 59 y el residuo es 10

hallar el número

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