FUNCIONES

Una función es una correspondencia definida entre dos conjuntos. La correspondencia existente entre los dos conjuntos corresponde a una asignación directa entre UN elemento de un conjunto y un elemento de otro conjunto. Es decir si tenemos un conjunto A y un conjunto B entonces la correspondencia asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.

Las funciones se simbolizan por medio de letras minúsculas, las mas utilizadas son f, g, h, i.

La notación de función entre dos conjuntos se simboliza:

f: A B

NOTA: Es importante recordar que el concepto de función debe asociar que para cada elemento de salida (conjunto A) existe solo un elemento de llegada (conjunto B)

Existen diversas maneras de representar funciones, la primera de ellas es por medio del diagrama sagital. Este diagrama muestra el contenido de cada conjunto con su respectiva correspondencia. Otra forma de representar esta función es por medio de la expresión y = f(x) donde x representa cada uno de los elementos del conjunto de salida y por lo tanto y corresponde a cada uno de los elementos del conjunto de llegada.

DOMINIO, DOCOMINIO, RANGO Y GRAFO DE UNA FUNCION

Partiendo de una función ya establecida se puede identificar cada uno de los siguientes elementos:

Dominio: (Dom) es el mismo conjunto de salida

Codominio: es el mismo conjunto de llegada

Rango: (Ran) hace parte del codominio, y representa todas las imágenes de los elementos del dominio.

Grafo: es el conjunto de todas las parejas ordenadas que conforman la función.

Por ejemplo:

Partiendo de la función f mostrada en el siguiente diagrama sagital. Dominio de f :

Dom f = { a, b, c, d, e}

Codominio:

Codominio f = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Rango:

Ran f = {1, 3, 5, 7}

Grafo:

Grafo f = {(a, 5), (b, 3), (c, 7), (d, 0), (e, 5),}

CLASES DE FUNCIONES

INTECTIVA

Una función es inyectiva o uno a uno si a cualquier par de elementos del dominio les corresponden imágenes distintas del conjunto de llegada.

SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva o sobre si el rango de la función coincide con el codominio.

BIYECTIVA

Una función es biyectiva si es uno a uno y sobre.

FORMAS PARA REPRESENTAR UNA FUNCION

Para la representación de una función se puede contar con la representación por medio del diagrama cartesiano, una fórmula o una tabla de valores.

El diagrama cartesiano:

El diagrama cartesiano representa la funcion por medio de parejas ordenadas donde el eje horizontal corresponde al dominio y el eje vertical corresponde al codominio.

La Fórmula:

La formula es una expresión algebraica donde se pueden representar los elementos de la función por medio de variables.

La Tabla de valores:

La tabla de valores es una tabla la cual contiene los datos de la función ordenados en filas. En la fila superior se presentan los valores de la variable independiente, y en la fila inferior se presentan los valores de la variable dependiente.

y = 3x- 3

Es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir un razonamiento correcto del incorrecto.

FUNCIONES REALES

Una función se puede determinar como función real cuando su dominio y su rango corresponde a valores del conjunto de los números reales o un subconjunto de el.

Como no es posible representar todos los valores que conforman este tipo de funciones entonces la mejor forma de representarlos es por medio de una formula. Sin embargo la tabla de valores y los gráficos son igualmente aceptados.

Nota: si se presentan funciones reales de forma grafica, la mejor forma de identificar si esta grafica representa una función es trazando una línea paralela al eje y. si esta recta solo corta a la grafica en un punto, entonces la grafica es una función. Si por el contrario la recta corta la grafica en más de dos puntos, entonces la grafica no corresponde a una función.

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

X 1 2 3 4

Y 0 3 6 9

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos: Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Determinar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

Ejemplo

1. Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe: Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia.

La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera: Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.

FUNCION LINEAL

Una función lineal es una función real que se caracteriza por que se puede representar por medio de una línea recta.

Su representación por medio de una formula esta determinada por:

y = mx

Donde la variable “y” tomara valores que se encuentren en total relación con la constante m la cual debe ser diferente de cero.

FUNCION AFIN

Una función afín es toda aquella función que se caracteriza por tener la forma:

y = mx + b

Donde m, y b son constantes diferentes de cero.

Este tipo de graficas se caracterizan por que la recta que representan no pasa

por el punto (0,0). Este cruce por cero estará determinado por el valor de la

constante b.

FUNCIÓN AFÍN

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la

oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y

las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en

cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir

cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.

Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los

consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se

denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b,

donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.

Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento

de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de

Stenberg, sobre recuperación de información.

Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados

pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:

Si m = 0, entonces y = b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es

una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).

Si b = 0, entonces y = mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por

el origen de coordenadas (0,0).

FUNCIÓN CUADRÁTICA

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática

sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la

trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al

caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la

cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al

tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos

tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la

construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de

los cables amarrados a dos torres.

Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos

nutricionales de los organismos.

Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de

explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta

principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo

palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada

verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S

es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de

gravedad y t es el tiempo.

La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su

gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:

Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es

convexa y admite un máximo.

Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el

mínimo.

Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y.

Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de

segundo grado.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas

para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo.

La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala

de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de

un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal

naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley

exponencial y se dice que el elemento decrece o decae.

En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde

H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por

litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se

dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base.

Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al

efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de

azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento

del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae

exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la

masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en

días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años,

parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el

modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es

el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista

inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para

determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que

como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía

resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto

tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de

crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).

GRAFICACIÓN

Algunas funciones que se hallan frecuentemente en el Cálculo se enumeran

a continuación:

Función Constante: f(x) = b

Función lineal: f(x) = mx +b

Función cuadrática: f(x)=ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Función polinómica de grado n: f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a0 (n = entero no negativo; an≠0)

Función Racional: f(x) = g(x)/(x) donde g(x) y h(x) son polinomios y h(x) ≠ 0

Función Potencia: F(x) = axn (n= cualquier número real)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa

que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos

suficientemente cercanos a p.

La definición formal, hecha a finales del siglo XIX se muestra a continuación.

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE

Funciones en espacios métricos

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε

> 0 existe un δ > 0 tal que para todo número

real x en 0 < |x-p| < δ, tenemos que |f(x)-L| <

ε

El siguiente concepto de límite es el de la

definición formal, la cual no es muy

aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más

conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de

límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el

comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal

comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un

punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

Si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) <

δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a

es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda

x:

si 0 < | x - a | < δ , entonces | f (x) - L | < ε

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a, mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la

siguiente: y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras

que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y

agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no

esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio

épsilon.

Funciones de valor Real

La recta Real con métrica d(x,y): = | x − y | es un espacio métrico. También la línea

Real extendida con métrica d(x,y) = | arctan(x) − arctan(y) | es un espacio métrico.

Límite de una función en un punto

Sea f una función Real, entonces

donde

L es un número real

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |

x-p| < δ, tenemos que |f(x)-L| < ε

Con símbolos:

Refiriéndonos a los limites infinitos, hay que tener en cuenta lo siguiente: Ya sea

por la izquierda o derecha, los limites que tienden a 0,y no necesariamente al -

infinito o al +infinito, se toma en cuenta el signo de la izquierda(negativo) o en su

defecto derecha(positivo) para tomar en cuenta el resultado del infinito o la

tendencia a un número en especial. Todo depende del signo.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

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10.

CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES Límite de una función racional en el infinito

Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ±∞, son las mismas que

las empleadas para límites de sucesiones.

El límite de una función racional cuando x ±∞, es igual al límite del cociente de

los términos de mayor grado del numerador y denominador.

Si: P(x) = a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn

Q (x) = b0 + b1.x + b2.x ² + ... + bn.xn

P(x)/Q(x) = (a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn)/(b0 + b 1.x + b 2.x ² + ... + bm.xm) =

(an.xn)/(bn.xn)

El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:

- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el

límite es ± ∞, dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales

o distintos.

- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el

límite es el cociente an/ bm.

- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n< m), el

límite es 0.

Cálculo de límites de funciones racionales (x ∞)

Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 2.x - 5)/(x - 4), cuando x ∞

Solución:

En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador,

1, por tanto el límite es ∞.

(3.x ² - 2.x - 5)/(x - 4) = 3.x ²/x = 3.x/1 = +∞

Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x ² - 4), cuando x ® ∞

Solución:

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de

mayor grado tienen signos distintos, por tanto:

(x³ - 5)/(-x ² - 4) = x³/(-x ²) = = x/(-1) = -∞

Cálculo del límite de una función irracional en el infinito

Límites indeterminado de la forma ∞/∞

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞/

∞, ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones

racionales.

Calcular el límite de la función f(x) = (4.x³ - 2)/(√x - 3), cuando x ∞

Solución:

(4.x³ - 2)/(√x - 3) = ∞/∞, indeterminación.

- Haciendo uso de la regla mencionada, resulta:

Grado del numerador = 3

Grado del denominador = 1/2, (puesto que √x = x1/2)

Por lo tanto, (4.x³ - 2)/(√x - 3) = ∞

Calcular el límite de la función f(x) = , cuando x ∞

Solución:

- Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene:

= ∞/∞, indeterminación.

- Estudiando los grados:

Grado del numerador = 1

Grado del denominador = 1 (puesto que = x)

Por lo tanto, el límite es:

= 5/√4 = 5/2

Límites indeterminado de la forma ∞

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞ -

ésta se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por su

conjugada.

Cálculo de límites indeterminados de la forma

Calcular el límite de la función y = - x, cuando x ∞.

Solución:

- x = ∞ - ∞, indeterminación.

Se multiplica y se divide la función por su conjugada, + x

= = 3/(√1 - 1) = 3/2

Calcular el límite de la función y = √x - 3 - √x + 3, cuando x ® ∞.

Solución:

√x - 3 - √x + 3 = ∞ , indeterminación.

Se multiplica y se divide la función por su conjugada,

√x - 3 + √x + 3

(√x - 3 - √x + 3).(√x - 3 + √x + 3)/(√x - 3 + √x + 3) = (x - 3) - (x + 3)/(√x - 3 +

√x + 3) = -6/(√x - 3 + √x + 3) = 0

1

1 http://www.fisicanet.com.ar/matematica/limites/ap03_limites.php