UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO

MAESTRIA EN ADMINISTRACION DE NEGOCIOS

MÉTODOS CUANTITATIVOS EN LA GESTIÓN DE UNA EMPRESA

Trabajo Grupal Nº 4

Programación lineal: métodos de transporte y asignación

Profesor:

Nelson Camarillo

Realizado por:

Jane Magdalena Mathison Jiménez

Luis Eduardo Márquez Brazón

Marielis José Martínez Barreto

Zaida Carolina Rassi Escorche.

Octubre, 2015

INTRODUCCIÓN

Las redes de transporte de bienes (mercancía) nacen de la necesidad de trasladar los

bienes de consumo desde su punto de producción (empresa) hasta el mercado (clientes). En

la distribución, la mercancía puede ser transportada con varios tipos de transporte y puede

realizar varias paradas en almacenes hasta llegar a su destino final. La construcción de la

red de transporte condiciona los costes de distribución de la mercancía así como la

planificación y organización temporal de la cadena de suministro de los productos al

mercado.

Un hecho que ha reorientado el transporte de mercancías ha sido las empresas

dedicadas exclusivamente a los servicios de transporte. En las redes de distribución

tradicionales, la empresa de producción organiza y gestiona sus propias redes de transporte,

de forma que realiza los envíos de transporte desde un número limitado de sus plantas de

producción hasta cada cliente o mercado. Sin embargo, las ineficiencias de estas redes por

las asimetrías de los envíos, su variación temporal o los altos costes de inversión necesarios

para vehículos o recursos han producido la externalización de la distribución de sus

productos a empresas tercerizadas, las cuales, prestan servicios de transporte y distribución

a varias empresas de producción, por lo que una misma ruta de transporte podrá ser

compartido por varios clientes. El efecto directo de este modo de operación y servicio es la

posibilidad de consolidar una mayor cantidad de carga en cada trayecto de la red, por lo que

es factible utilizar vehículos de gran capacidad y con costes unitarios menores.

El problema de transporte surge con frecuencia en la planeación de la distribución

de productos y servicios desde varios sitios de suministro hacia varios sitios de demanda la

cantidad de productos disponibles en cada locación de suministro, por lo general, es

limitada, y la cantidad de productos necesarios en cada una de varios sitios de demanda es

un dato conocido. El objetivo usual en un problema de transporte es minimizar el costo de

enviar mercancía desde el origen a sus destinos, el cual plasmaremos mediante el

planteamiento del problema y su resolución. La presente investigación tiene como finalidad

resolver un caso de estudio y obtener la solución optima mediante la aplicación de

algoritmos de asignación y transporte.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La corporación de microprocesadores portátiles para América Latina y el Caribe

posee tres plantas de ensamblaje en su mercado meta. La primera, se encuentra localizada

en Ciudad de México, con una producción mensual de 1700 unidades; la segunda, ubicada

en Brasilia, con una capacidad de producción mensual de 2000 unidades y la tercera, en

Santiago de Chile, que posee una capacidad de producción mensual de 1700 unidades. Los

microprocesadores portátiles son vendidos a través de tiendas al mayor, distribuidas desde

México hasta la Patagonia. Para los próximos 90 días, la tienda que está en Guadalajara ha

colocado un pedido de 1700 unidades; la de Caracas, pide 1000 unidades; la de Rio de

Janeiro 1500 unidades y la situada en Bogotá, 1200 unidades. El costo de envío portátil

desde las plantas de ensamblado a cada una de las tiendas señaladas se presenta en la

siguiente tabla:

PLANTAS TIENDAS (COSTOS DE ENVÍO) MENSUAL

GUADALAJAR

A

CARACAS RIO DE

JANEIRO

BOGOTÁ

CIUDAD DE

MÉXICO

5 3 2 6

BRASILIA 4 7 8 10

SANTIAGO DE

CHILE

6 5 3 8

PEDIDO 1700 1000 1500 1200

PLANTAS CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN

MENSUAL

CIUDAD DE

MÉXICO

1700

BRASILIA 2000

SANTIAGO DE

CHILE

1700

TOTAL 5400

Tabla 1. Costos de envío y capacidad de producción mensual

Representación en red del problema de Transporte de La corporación de

microprocesadores portátiles para América Latina y el Caribe.

Figura 1. Representación de Plantas, Rutas de Distribución y Centros de Distribución

El problema de transporte surge con frecuencia en la distribución de los productos

su control y planificación, desde varias plantas a varias tiendas. La cantidad de productos

en las plantas (origen), por lo general es limitada, y la cantidad demandada (destino) en las

diversas tiendas es conocida. El objetivo primordial es minimizar los costos de transporte

para que la mercancía llegue del origen al destino.

En este diagrama de distribución tenemos 3 plantas (origen) y 4 tiendas (destinos),

el pronóstico de la demanda mensual es el siguiente:

A la gerencia le gustaría determinar cuánto de su producción debe enviarse desde

cada planta a cada centro de distribución. La figura 1 muestra las 12 rutas de distribución

que la corporación de microprocesadores portátiles para América Latina y el Caribe puede

utilizar. Una gráfica como esta se llama red; los círculos se conocen como nodos y las

líneas que conectan los nodos son los arcos. Cada origen y destino se representan por medio

de un nodo y cada ruta de envío posible se identifica mediante un arco. La cantidad de

suministro está escrita al lado de cada nodo de origen y la cantidad demandada por cada

tienda está descrita al lado de cada nodo de destino. Los productos embarcados los orígenes

a los destinos representan el flujo en la red. Obsérvese que la dirección del flujo se indica

mediante flechas.

Para este problema el objetivo es determinar las rutas y la cantidad que se enviará

por cada una de ellas para lograr el mínimo costo de transporte. El costo para cada unidad

embarcada en cada ruta se proporciona en la tabla 1 y se muestra en cada arco de la figura

1.

1. Formule el modelo matemático correspondiente, identificando la

función objetivo, las restricciones de capacidad, de demanda y las lógicas.

Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de

programación lineal. Utilizamos variables de decisión de doble subíndice, en los cuales x11

indica la cantidad de unidades enviadas desde el origen 1 (Ciudad de México) al destino 1

(Guadalajara), x12 denota la cantidad de unidades enviadas desde el origen 1 (Guadalajara)

al destino 2 (Caracas), etc. En general las variables de decisión para un problema de

transporte que tiene m orígenes y n destinos se escriben como sigue:

Xij= cantidad de unidades enviadas desde el origen i al destino j donde i = 1,2,…,m

y j = 1,2,…, n

Como el objetivo del problema de transporte es minimizar los costos de transporte

total, podemos utilizar los datos de costos de la tabla 1 o los arcos de la figura 1 para

desarrollar las siguientes expresiones de costo:

Minimizar Z = 5X11 + 3X12+2X13+6X14+4X21+7X22+8X23+10X24+6X31+5X32+3X33+8X34

Sujeto a: X11 + X12+X13+X14 = 1700 (Oferta Capacidad Ciudad de México)

X21 + X22+X23+X24 = 2000 (Oferta Capacidad Brasilia)

X31 + X32+X33+X34 = 1700 (Oferta Capacidad Santiago de Chile)

Xij>=0

i= 1,2,3 equivale cada una de las plantas.

j= 1,2,3,4 equivale a cada una de las tiendas.

La suma de estas expresiones proporciona la función objetivo que muestra el costo

de transporte total para la corporación de microprocesadores portátiles para América Latina

y el Caribe. Los problemas de transporte necesitan restricciones debido a que cada origen

tiene un suministro limitado y cada destino tiene un requerimiento de demanda.

Consideramos primero las restricciones de la oferta. La capacidad de la planta de Ciudad de

México es 1700 unidades.

Con la cantidad total de unidades enviadas desde la planta de Ciudad de México

expresada como x11 _ x12 _ x13 _ x14, la restricción del suministro para la planta de

Ciudad de México es x11.

Todas las restricciones son ecuaciones porque la oferta total desde los tres orígenes

es igual a la demanda total en los cuatro (4) destinos.

Oferta: 1700 + 2000+ 1700 = 5400

Demanda: 1700 + 1000 + 1500 + 1200 =5400

El modelo de transporte viene dado por:

Guadalajara Caracas Rio de Janeiro Bogotá Oferta

C.de México 5

X11

3

X12

2

X13

6

X14

1700

Brasilia 4

X21

7

X22

8

X23

10

X24

2000

Santiago 6

X31

5

X32

3

X33

8

X34

1700

Demanda 1700 1000 1500 1200

Tabla 2. Modelo de transporte

2. Encuentre la solución óptima mediante uno de los algoritmos de

transporte.

Se utilizó el método de aproximación de Vogel (MAV), es un método que estudia y

analiza los costos de transporte tanto de materia prima como de productos terminados,

siendo este un método heurístico, que se basa en encontrar una solución de calidad

aceptable mediante la exploración de una parte del universo de todas soluciones posibles,

permitiendo la resolución de problemas de transporte, capaz de alcanzar una solución

básica no artificial de inicio y produce mejores resultados iniciales que otros métodos con

el mismo fin. Se realizó la aplicación de este método obteniendo el resultado optimo en una

(1) iteración.

Iteración

1

Obj Val = 23100 Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta

Nombre: Guadalajara Caracas Rio de

Janeiro

Bogotá

V1=0.0 V2=3.0 V3=1.0 V=6.0

Origen 1 Ciudad de México

U1= 0.0

5.0 3.0 2.0 6.0

17001000 700

-5.0 0.0 -1.0 0.0

Origen 2 Brasilia U2= 4.0

4.0 7.0 8.0 10.0

20001700 300

0.0 0.0 -3.0 0.0

Origen 3 Santiago U3= 2.0

6.0 5.0 3.0 8.0

17001500 200

-4.0 0.0 0.0 0.0

Demanda 1700 1000 1500 1200

Tabla 3. Solución Óptima aplicando el método de Vogel

El coste mínimo asociado se calcula como:

Guadalajara Caracas Rio de Janeiro Bogotá Oferta

Cdad. de México 5

0

3

1000

2

0

6

700

1700

Brasilia 4

1700

7

0

8

0

10

300

2000

Santiago 6

0

5

0

3

1500

8

200

1700

Demanda 1700 1000 1500 1200

Tabla 4. Calculo de costo mínimo

Origen Destino Demanda Costo Unitario Costo Total

Ciudad de México Caracas 1000 3 3000

Ciudad de México Bogotá 700 6 4200

Brasilia Guadalajara 1700 4 6800

Brasilia Bogotá 300 10 3000

Santiago Rio de Janeiro 1500 3 4500

Santiago Bogotá 200 8 1600

Costo Mínimo Obtenido 23100Tabla 5. Resumen Solución Óptima

La comparación de esta formulación de programación lineal con la red de la figura 1

conduce a varias observaciones. Toda la información necesaria para la formulación de

programación lineal está en la red. Cada nodo tiene una restricción y cada arco tiene una

variable. La suma de las variables que corresponden a los arcos desde un nodo de origen

debe ser menor o igual que el suministro del origen y la suma de las variables

correspondientes a los arcos en un nodo de destino debe ser igual a la demanda del destino.

Resolvimos el problema de la corporación y la solución muestra que el costo de

transporte total mínimo es de 23100. Los valores para las variables de decisión muestran las

cantidades a enviar por cada ruta. Por ejemplo, con x11 _ 1000, deben enviarse 1000

unidades de Ciudad de México a Caracas, y con x11 _ 700, deben enviarse 700 unidades de

Ciudad de México a Bogotá. Otros valores de las variables de decisión indican las

cantidades de envío y las rutas restantes. La tabla 4 muestra el programa de transporte de

costo mínimo y la tabla 5 resume la solución óptima en la red. Así mismo podemos

observar el diagrama de distribución en la figura 2.

3. Construya el diagrama de distribución para la corporación

microprocesadores portátiles para América Latina y el Caribe, identificando las

variables implicadas, que indiquen cuantas computadoras serán enviadas desde cada

planta a cada tienda al mayoreo.

Figura 2. Construya el diagrama de distribución para la corporación microprocesadores portátiles

para América Latina y el Caribe

Luego de aplicar el método de Vogel y obtenida la solución óptima podemos

representar la cantidad de computadoras a enviarse a cada planta mediante un diagrama de

distribución. En este podemos observar las variables necesarias como las ofertas por

plantas, las demandas de las tiendas y el envío de las computadoras y la cantidad así como

también los costos asociados a estos envíos. Cabe destacar que todos estos datos fueron

obtenidos de la aplicación de métodos y pasos de las dos preguntas anteriores.

CiudadDe México

Brasilia

Santiago de Chile

CARACAS

BOGOTÁ

GUADALAJARA

RIO DE JANEIRO

1000

7001700

2000

1700

300

1700

200

1500

1000

1200

1700

1500

Oferta DemandaTienda Costo

3000

8800

6800

4500

4. Emita una opinión razonada sobre la importancia de esta unidad en el proceso de

toma de decisiones y el aprendizaje derivado en el contexto gerencial.

Los problemas de transporte encontrados tanto en la realidad como en la práctica

por lo general conducen a programas lineales que debemos aprender a manipular, no son

imposibles aquellos problemas de transporte con 100 orígenes y 100 destinos. Un problema

de este tipo involucraría 10.000 variables. Sin embargo, existen otras variables dentro de

estos problemas como son los costos de distribución y asignaciones de mercancía a los

diversos destinos, de relevancia para la empresa, que siguiendo los modelamientos

necesarios, a partir de la solución e interpretación del problema de transporte, ya sea de

materia prima o de productos terminados, nacional o internacionalmente, permite observar

y manejar las diversas variables para optimizar la toma de decisiones en un momento

determinado minimizando costos y abultando las ganancias obtenidas por medio de una

optimización de resultados, obtenidos de un estudio riguroso y preciso de los movimientos

a realizar dentro de la empresa en cuanto a movilización, distribución y asignación de

mercancía ya sea materia prima o producto terminado.

Cabe destacar que los problemas de asignación y transporte muchas veces no tienen

una solución única sino que pueden tener soluciones alternativas (en la cantidad de envíos

de los productos o materia prima), pero manteniendo el mismo costo mínimo. Esto permite

a los gerentes poder planificar una mejor distribución dependiendo de la ubicación de sus

diferentes tiendas y plantas.

REFLEXIONES FINALES

La demanda de servicio en un territorio influye directamente en las estrategias a

seguir para cubrir los puntos de demanda mediante la distribución de transporte por medio

de una red y en consecuencia, la topología de la red de almacenes, centros de consolidación

y delegaciones de la empresa logística, aunado a ello se encuentra el crecimiento de los

intercambios internacionales y la distribución geográfica de los mercados, donde los

transportes desempeñan un papel fundamental dentro de las operaciones de una empresa.

La estrategia óptima a aplicar en un sistema de distribución debe responder a un

balance de los distintos costes logísticos que actúan: los costes de transporte, costes de

inventario (fijos o en tránsito) y costes de manipulación y de amortización asociados a los

almacenes y centros de consolidación, a su vez se deberá tomar en cuenta las cantidades de

producción y las cantidades demandadas de mercancías.

Los costos de envío y capacidad de producción se analizan bajo diversas estrategias

que varían de acuerdo al tipo de empresa o mercancía ofertada, con distintas estrategias que

permitan minimizar los costos de transporte y optimizar las entregas demandadas

obteniendo la resolución del problema deseado mediante los modelos de transporte

aplicados para tal fin.

El modelo de transporte, estudiado es el más utilizado en casos de problemas de

transporte, generando una solución óptima, por medio de un algoritmo matemático y

dinámico siendo objetivo en la realidad proyectada dentro del marco de toma de decisiones

gerenciales orientado al dinamismo del día a día en los procesos operativos de una empresa.

El cálculo del costo mínimo, es mucho más sencillo que otros métodos utilizados,

porque se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles

(sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz

hasta finalizar el método.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Carro R. (2009). Investigación de Operaciones en Administración.

Durán D (1999). Análisis de los métodos de transporte en la localización de empresas y su

aplicación en la incertidumbre. Universidad de Barcelona (España).

Eppen G. D, Gould F.J, Schmidt. C.P, Moore Jeffrey H y Weatherford Larry H.

Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa.5ª Edición.

Sweeney A, Camm W. Métodos Cuantitativos para los Negocios. Editores, S.A. de C.V

una compañía de Cengage Learning, Inc. 11va Edición