UNA METODOLOGIA PARA OPTIMIZACION TOPOLOGICA

ESTRUCTURAL CON MULTIPLES MATERIALES

Augusto A. Romeroa, Sebastian M. Giustib

a Departamento de Ingeniera Mecnica - GIDMA. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad

Regional Crdoba. Maestro M. Lpez esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria. C.P.A.

X5016ZAA. Crdoba Capital. Crdoba. Argentina. augusto.romero@gmail.com

b Departamento de Ingeniera Civil - GIDMA. Universidad Tecnolgica Nacional - Facultad

Regional Crdoba. CONICET Maestro M. Lpez esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria.

C.P.A. X5016ZAA. Crdoba Capital. Crdoba. Argentina. sgiusti@civil.frc.utn.edu.ar

Palabras Clave: Vector Level-Set, dominios multi-materiales, Optimizacin Estructural,

Derivada Topolgica.

Resumen: En este trabajo se propone un mtodo para la resolucin de problemas de optimizacin topolgica estructural considerando diferentes materiales. El mtodo se fundamenta en la

representacin geomtrica del dominio con el uso de funciones de level-set. Para la nucleacin y

evolucin de las curvas de level-set, se utilizar un procedimiento basado en el concepto de derivada

topolgica. En particular, el mtodo consta de la definicin de diferentes funciones level-set, donde

cada una de ellas se corresponde con uno de los materiales considerados en el proceso de

optimizacin. Con el conjunto de todas las funciones level-set se construye un vector level-set, que

representa la distribucin de todos los materiales considerados en el dominio de anlisis. Este vector es

actualizado mediante un algoritmo de optimizacin basado en los conceptos de anlisis de sensibilidad

topolgica. El algoritmo de optimizacin fue escrito en Matlab. Se presentan los conceptos

fundamentales del mtodo, el desarrollo del algoritmo y diversos ejemplos numricos de aplicacin a

problemas de optimizacin estructural topolgica.

1. INTRODUCCIN

Las exigencias en el desarrollo y diseo de nuevos productos y componentes mecnicos, se

han acrecentado en las ltimas dcadas. Con ello se han desarrollado, tcnicas, mtodos y

herramientas para poder hacer frente a los nuevos desafos de diseo y construccin.

La optimizacin topolgica es un rea que ha brindado grandes aportes a la optimizacin

estructural. Muchos trabajos, mtodos y tcnicas abordan la problemtica de la distribucin

ptima de material dentro de un espacio determinado con el fin de obtener estructuras con

distintos tipos de requerimientos. Clsicamente este problema es abordado considerando la

distribucin de un nico material y considerando al restante espacio de diseo como vaco.

No obstante, una de las grandes limitaciones que enfrentaban estos mtodos es su incapacidad

de obtener estructuras utilizando diferentes materiales. Diversos casos de la ingeniera

requieren la utilizacin de varios materiales en la construccin de un componente o estructura

y tambin en el diseo de materiales compuestos. Esta problemtica es la motivacin de este

trabajo.

En los ltimos aos se han desarrollado algunos mtodos de optimizacin topolgica

estructural considerando mltiples materiales. Algunos resultados obtenidos en optimizacin

estructural multimaterial de mecanismos flexibles se muestran en las publicaciones (Wang,

Wang, & Yulin, 2005) y (Yin & Ananthasuresh, 2001), mientras que el problema de

obtencin de estructuras con mxima rigidez utilizando mltiples materiales se trata en (Wang

& Wang, 2004). Cabe destacar que todos estos trabajos utilizan el mtodo SIMP (Solid

Isotropic Material with Penalization) para obtener la distribucin ptima de material que

garantice ser el mnimo de un funcional de costo. En este trabajo se presenta un mtodo de

optimizacin estructural topolgica multimaterial basado en conceptos de anlisis de

sensibilidad topolgica (derivada topolgica), para obtener estructuras de mxima rigidez y

mnimo peso.

Este trabajo est ordenado de la siguiente manera. En la Seccin 2 se presenta la

formulacin del problema, donde se establece el funcional de costo a minimizar, se muestra

como sern modeladas las diferentes fases de los materiales y se presenta el concepto de

derivada topolgica. La descripcin de la metodologa de optimizacin propuesta en este

trabajo y un diagrama de flujo del algoritmo utilizado es exhibida en la Seccin 3. En la

Seccin 4 se muestran dos ejemplos de aplicacin, donde se discuten los resultados, la

eficiencia y robustez del algoritmo propuesto. El trabajo finaliza en la Seccin 5, donde se

colocan los comentarios y apreciaciones finales.

2. FORMULACIN DEL PROBLEMA

2.1 Elasticidad

En esta seccin se describe el modelo asociado a un problema elstico en dominios

caracterizados por contener mltiples fases materiales.

2.1.1 Dominios con un nico material

Considrese un dominio abierto y limitado 2 representando un slido elstico sujeto a un proceso de deformacin lineal. Asumiendo pequeas deformaciones, la funcin que

representa la energa potencial total del sistema mecnico, en ausencia de fuerzas de cuerpo,

se escribe como:

() =1

2 ()

N

, ( 1)

donde representa el campo de desplazamientos y es una fuerza de traccin externa actuando en la frontera N. El campo de desplazamientos en la frontera D satisface la condicin |D = , siendo un desplazamiento prescripto. Adems ntese que N D =

y N D = . El tensor de tensin de Cauchy en ( 1) se define como:

() = , ( 2)

donde es usado para denotar la parte simtrica del gradiente del campo de desplazamientos, entonces

=1

2( + ()). ( 3)

Adems, denota el tensor elstico de cuarto orden que, para el caso de un cuerpo elstico isotrpico, est dado por:

= 2 + (), ( 4)

con y siendo los coeficientes de Lame. Se puede escribir la anterior ecuacin en trminos de las constantes ingenieriles (mdulo de Young) y (coeficiente de Poisson) como:

=

12[(1 ) + (). ( 5)

El campo es la solucin del siguiente problema variacional: encuntrese , tal que

()

= N

. ( 6)

En el problema variacional ( 6), el conjunto y el espacio se definen como

= {1(:2): = D} y = {1(:2): = 0 D} . ( 7)

2.1.2 Dominio incluyendo mltiples fases de material

En esta seccin se mostrar la ecuacin de estado que resuelve el problema de elasticidad

lineal isotrpica cuando hay dos fases materiales. Los resultados obtenidos, son extensibles a

mltiples fases materiales. Considerando ahora que en el dominio se introdujo una inclusin de una fase material diferente denotada como = (), con radio y centrada en el punto en , la energa potencial total ahora puede escribirse como:

() =1

2 ()

s

N

, ( 8)

aqu y se refieren al campo de desplazamientos y al tensor de tensiones, respectivamente, asociados al dominio con la nueva configuracin de fases. El tensor de

tensin se escribe:

() =

s, ( 9)

siendo el parmetro de contraste en las propiedades constitutivas de las fases, definido como

= {1 \

, ( 10)

con , el valor del contraste. En esta configuracin, el campo de desplazamientos satisface un problema variacional anlogo al descripto en la ecuacin ( 6) como ser: encuntrese tal que

()

= N

. ( 11)

El conjunto y el espacio se definen como

= { : = 0 } y = { : = 0 }, ( 12)

donde el operador es introducido para denotar el salto () por sobre la frontera de la perturbacin.

2.3 Modelizacin de las fases materiales

Para representar el dominio de proyecto, se lo particiona en m fases materiales , tal que:

=

i=1

( 13)

Sobre cada fase material puede existir slo un material, ya que la superposicin o

solapamiento de materiales no tiene sentido fsico, por ende:

= . ( 14)

Para poder representar las fases materiales intervinientes en el dominio de proyecto es

necesario la utilizacin de funciones caractersticas. A cada fase se le atribuye una funcin

indicatriz . Cada funcin caracterstica es definida como

() = { 1 0

( 15)

Para un problema de 2 fases materiales y una fase vaco se entiende:

Figura 1 Tres fases materiales representadas por las funciones caractersticas.

2.4 Derivada topolgica

Los mtodos de homogeneizacin son posiblemente los ms utilizados para la

optimizacin topolgica. Estos consisten en caracterizar la topologa a travs de su densidad,

es decir, los huecos se identifican con regiones de densidad nula. De esta forma la solucin

del programa resulta en una distribucin ficticia de material, siendo necesario utilizar mtodos

de penalizacin y filtrado para obtener un resultado de utilidad ingenieril.

Un mtodo alternativo de optimizacin topolgica son los basados en Anlisis de

Sensibilidad Topolgica. Esta familia de mtodos apunta a resolver las limitaciones de los

mtodos basados en tcnicas de homogeneizacin, y su idea principal es la evaluacin de la

sensibilidad de una dada funcin de costo ante la creacin de una cavidad o hueco. La

derivada topolgica representa el trmino de primer orden de la expansin asinttica de una

dada funcin con respecto a una perturbacin singular. Ha sido aplicada en problemas de

optimizacin (Amstutz, Novotny, & de Souza Neto, 2012), problemas inversos (Hintermller,

Laurain, & Novotny, 2012), procesamiento de imgenes (Hintermller & Laurain, 2009),

modelado multiescala de propiedades constitutivas (Giusti, Novotny, de Souza Neto, &

Feijo, 2009). En esta seccin se presentan los conceptos bsicos del anlisis de sensibilidad

topolgica y de la derivad topolgica.

Consideremos un dominio limitado 2, sujeto a una perturbacin no suave confinada en una pequea regin () = + , de tamao , como se ve en la Figura 2.

Figura 2 Concepto de derivada topolgica.

Aqu, es un punto arbitrario de y un dominio fijo y limitado en 2. Asociado al dominio , introducimos una funcin caracterstica (), 2, con = . Tambin para el dominio topolgicamente perturbado podemos definir una funcin caracterstica de la

forma (; ). Si la perturbacin es dada por una perforacin, la funcin caracterstica puede ser escrita en forma () = () y el dominio perforado es obtenido como

= \. Ahora asumiendo la siguiente expansin topolgica asinttica de una funcin de costo (()), asociada al dominio topolgicamente perturbado,

(()) = () + ()() + (()), ( 16)

la funcin () es llamada derivada topolgica de en . En ( 16), () es la funcin de costo asociado al dominio original no perturbado y () es una funcin positiva tal que () 0 cuando 0. Operando en ( 16) tenemos

(()) ()

()= () +

(())

(). ( 17)

En el lmite cuando 0en la anterior expresin anterior lleva a la definicin de la derivada topolgica

() = lim0

(()) ()

(). ( 18)

Teorema 1. La derivada topolgica del funcional de energa potencial total mostrado en

(1) es dada por:

() =1

21

(1 )

1 + (3

1+) .

4(2 + 2

2 + 2)

+1

21

(1 )

1 + (3

1+) .

( ((3

1+) 2

(1+)

(1)) 1)

(1 +(1+)

(1))

( + )2

( 19)

donde

representa el factor de contraste entre las propiedades constitutivas de las fases j y k, 1 es

el mdulo de Young del material correspondiente a la fase 1, y (, , ) representan las

componentes del tensor de tensin asociado al punto donde se est midiendo la sensibilidad.

Prueba. El lector interesado en la prueba detallada de este teorema, refirase a (Novotny &

Sokolowski, 2013).

Es importante mencionar que la derivada topolgica ( 19) mide la sensibilidad del

funcional de costo cuando el material con mdulo de elasticidad 1 es intercambiado por un material con modulo 1. Esto quiere decir que siempre esta derivada mide la sensibilidad a

un cambio entre dos materiales.

3. PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACION

Para realizar la optimizacin topolgica estructural considerando la introduccin de

mltiples materiales, se realizar una adaptacin del algoritmo propuesto por Amstutz &

Andr (Amstutz & H., 2006). Este algoritmo utiliza la informacin generada por la derivada

topolgica para crear una direccin factible de descenso. El tamao del paso en cada etapa del

algoritmo es determinada mediante una bsqueda lineal. La representacin geomtrica de las

fases constituyentes se realiza a travs de curvas de level-set. Siguiendo los lineamientos antes

mencionados se procedi a codificar el algoritmo de la siguiente manera:

3.1 Evolucin de las fases

Definicin del problema:

En un archivo de entrada de datos se procede a definir la geometra inicial, el sistema de

cargas, las condiciones de apoyos y los materiales de proyecto, clasificados como:

a. Material 1 M1 (duro), es el material que posee el valor del mdulo de Young ms elevado.

b. Material 2 M2 (blando), es el material con menor valor en el mdulo de Young.

c. Material 3 M3 (vaco), es un material ficticio utilizado para mimetizar la ausencia de material en una determinada regin del dominio de proyecto.

Sern utilizadas 3 funciones level-set diferentes para modelar la evolucin de las distintas

fases materiales a lo largo del proceso de optimizacin. Estas funciones son inicializadas con

los siguientes valores:

{1 = 1 2 = 3 =

( 20)

Figura 3 Condiciones iniciales en un dominio de material M1.

1ra Etapa de Optimizacin:

Durante la primera etapa de optimizacin, se permite la evolucin de la fase material M1

frente a la fase material M3 (vaco) hasta obtener una topologa ptima. Durante este proceso

la funcin level-set adquiere los siguientes valores:

1 {< 0 1 0

( 21)

Figura 4Funciones level-set en una topologa obtenida en la primera etapa de optimizacin.

2da Etapa de Optimizacin:

Se restringe el dominio de proyecto a la topologa obtenida en la etapa anterior. Se define

una nueva funcin level-set sobre este dominio de proyecto. En esta etapa se permite la

evolucin de la fase material M2 con respecto a la fase material M1. Durante este proceso la

funcin level-set adquiere los siguientes valores:

2 {< 0 1 0 2 3

( 22)

Figura 5 - Funciones level-set en una topologa obtenida en la segunda etapa de optimizacin.

3ra Etapa de Optimizacin

Por ltimo, se toma como dominio de proyecto, los sectores donde estn presentes las fases

materiales M2 y M3 (vaco). Se define sobre estas regiones una tercer y ltima funcin level-

set y se la hace evolucionar hasta encontrar una topologa ptima. Durante este proceso la

funcin level-set adquiere los siguientes valores:

3 {< 0 2 0 3 1

( 23)

Figura 6 - Funciones level-set en una topologa obtenida en la tercera etapa de optimizacin.

Es importante destacar que en cada una de las etapas citadas anteriormente, solo son

considerados dos materiales para la definicin de la topologa ptima. Esta estrategia

computacional adoptada le confiere mayor estabilidad al algoritmo de optimizacin.

3.2 Construccin de funciones caractersticas

En todas las etapas de optimizacin descriptas anteriormente, las funciones level-set son

utilizadas para configurar correctamente las funciones indicatrices de las fases materiales.

Este procedimiento se muestra en lo que sigue.

Primera etapa:

,

{

1() < 0 {

1 = 12 = 03 = 0

1() 0 {1 = 02 = 03 = 1

( 24)

Segunda etapa:

1() < 0,

{

2() < 0 {

1 = 12 = 03 = 0

2() 0 {1 = 02 = 13 = 0

( 25)

Tercera etapa:

1() 0 1() < 0 2() 0 ,

{

3() < 0 {

1 = 02 = 13 = 0

3() 0 {1 = 02 = 03 = 1

( 26)

3.3 Codificacin

Para modelar computacionalmente el problema de optimizacin se utiliz un software de

elementos finitos. La malla de elementos finitos proporciona una discretizacin del dominio

de proyecto sobre la cual es posible la definicin de las funciones level-set y las funciones

caractersticas. Adems la solucin del campo de desplazamientos dado por el MEF (mtodo

de elementos finitos) es necesaria para la evaluacin de la funcin de costo y la derivada

topolgica asociada.

El problema de optimizacin se escribe como

. . = > 0 = 1,2, ,

( 27)

La construccin de la funcin de costo a minimizar se realiza sobre un esquema de

penalizacin lineal de la siguiente manera

min () = () + =1 , ( 28)

donde () es la funcin de costo a minimizar, () la energa potencial total del sistema, es el factor de penalizacin asociado a la norma del volumen del material "". Los valores de los factores de penalizacin definirn la fraccin de volumen final de cada fase material al final del proceso de optimizacin global. De hecho, para obtener una fraccin de

volumen especfica para una fase material "" el valor del coeficiente de penalizacin asociado a esa fase debe ser ajustado de forma manual al inicio del proceso de optimizacin. Es

importante mencionar que la variable de diseo en ( 28) es la propia topologa del problema,

entendiendo como tal, a la distribucin de material de cada fase considerada. Donde el campo

de desplazamiento , solucin de (11), es utilizado para calcular el funcional (), asociado a la configuracin topolgica actual, en cada iteracin del algoritmo.

Aprovechando la propiedad de linealidad del operador derivada topolgica, la derivada

topolgica de ( 28) se escribe como:

(()) = (())+(

=1

) ( 29)

donde

() = ( 1) ( 30)

Para resolver el problema de optimizacin ( 28), se utiliz el algoritmo desarrollado en

(Amstutz & H., 2006), que se presenta esquemticamente en el siguiente diagrama de flujo:

si

si

si

no

no

no

si

no

Visualizacin

de las funciones

caractersticas

Actualizo funcin caracterstica mediante bsqueda lineal

+1 = (, )

+ (, )

Calculo Campo de Energa de Deformacin, Volumen de Material Solido

= (1/2).

Calculo Campo de Desplazamientos U = K1F

Ensamblado Matriz de Rigidez

K

Calculo Funcin de Costo = + =1

+1 = /2

FIN

Ensamblado Matriz de Rigidez K

Inicio

Calculo Campo de Desplazamientos U = K1F

Calculo de Energa Potencial Total y Volumen de Material Solido = (1/2).

Calculo Derivada Topolgica Dti

Calculo Criterio de Optimalidad""

Dominio de Proyecto, Malla de Elementos

Finitos, Apoyos, Cargas, Funciones Level-Set,

Materiales, ,

Calculo Funcin de Costo = + =1

Refinado de Malla

+1

Actualizacin y

definicin del

dominio de

proyecto

Finaliz 3

etapa

optim.

4. EJEMPLOS NUMRICOS

En esta seccin se mostrarn 2 ejemplos numricos de aplicacin del procedimiento de

optimizacin multimaterial descripto anteriormente, con el objetivo de obtener estructuras con

mxima rigidez y menor volumen posible. En este tipo de problemas la funcin de costo a

minimizar es la energa potencial total del slido, ec. ( 28).

Siendo que para estos ejemplos numricos solamente se considerarn las tres fases

materiales descriptas en la Seccin 3.1, la funcin costo a minimizar es dada de la siguiente

manera:

= + 11 + 22 ( 31)

En todos los casos desarrollados la estructura est sometida a estados de tensin plana.

Se discretiza el dominio mediante una malla de elementos finitos. La malla est compuesta

por elementos triangulares de deformacin constante (CST). En la Figura 7 se muestra la

malla inicial utilizada.

Figura 7 Malla de elementos finitos sobre un dominio ejemplo.

En los dos ejemplos las propiedades constitutivas de los materiales son: mdulos elsticos

E1 = 200GPa, E2 = 100GPa y E3 = 0.001 E1; y el coeficiente de Poisson para todos los materiales est definido en = 0.3. La carga utilizada en los ejemplos tiene el valor de 100 N.

4.1 Problema de las dos barras

El primer ejemplo consta de un dominio rectangular de relacin de aspecto 2x1 (alto y

ancho en [m]) discretizado inicialmente con 64 elementos triangulares CST. Sometido a la

carga sobre el punto medio del lado derecho de la estructura rectangular, la cual se encuentra

empotrada en su lado izquierdo. Los parmetros de penalizacin para cada una de las fases

materiales M1 y M2 son: 1 = 5 y 2 = 3. La evolucin de las fases materiales durante el proceso de optimizacin es el mostrado en las siguientes figuras.

F

Figura 8 Ejemplo 1: geometra y condiciones iniciales.

Figura 9 Evolucin de las fases materiales en la segunda etapa de optimizacin.

Figura 10 Evolucin de las fases materiales en la 3ra etapa de optimizacin.

En las imgenes anteriores se observa la distribucin de material M1 en color negro,

material M2 en rojo y el vaco en color blanco.

Figura 11 Funcin de costo normalizada con su valor inicial vs iteraciones.

Figura 12 Energa de deformacin normalizada a su valor inicial vs iteraciones.

Figura 13 Fracciones de volmenes de cada fase material y fraccin de volumen.

Durante la primera etapa de optimizacin (iteracin 1 a 7), la funcin de costo baja como

era de esperarse y se estabiliza en la iteracin n 2, la fraccin de volumen total y de material

1 o duro siguen el mismo comportamiento. La energa potencial sube ya que la estructura se flexibiliza. Cuando se cumple con el criterio de optimalidad en esta etapa, se procede a la

etapa de optimizacin siguiente.

En la segunda etapa, la fase material M2 emerge. La fraccin de volumen de este crece

durante las siguientes 14 iteraciones, aumentando tambin la fraccin de volumen total. A lo

largo de esta fase de optimizacin la funcin de costo mantiene un comportamiento

decreciente, mientras que la energa potencial oscila en valores comprendidos entre 1.83 y 1.6

veces la energa de deformacin inicial.

Es importante destacar como el algoritmo ubica la fase material M2 frente a la fase

material M1. En esta etapa el dominio de proyecto se encuentra restringido a la topologa final

obtenida en la etapa anterior, por lo que la evolucin del material blando no puede escapar a estas fronteras establecidas. Es de observar que el algoritmo intenta orientar el flujo de fuerzas

internas de manera de reducir su intensidad y evitando, en lo posible, cambios bruscos en su

direccin desde las fuerzas activas hacia las reactivas, como se ve en la Figura 9. Es por ello

que crea un canal o ncleo de material M1, por donde la mayor cantidad de flujo de fuerzas pase por l, ya que este es ms rgido y es el que absorber la mayor cantidad de esfuerzos, y

deja por exclusin el resto del dominio compuesto por material de menor mdulo de

elasticidad.

En el transcurso de la tercera fase de optimizacin, a partir de la iteracin 22, se visualizan

los cambios topolgicos ms drsticos. Aqu se controla la evolucin de material M2 frente al

vaco (material M3) y el dominio de proyecto queda restringido a los puntos donde solo se

encuentra material M2 y vaco. En las imgenes mostradas en la Figura 10 se puede ver como

el proceso de optimizacin avanza eliminando zonas de material poco aprovechado (poco

tensionado), haciendo migrar estos esfuerzos internos hacia el ncleo de la estructura slida.

Esto conduce con un descenso acusado en la funcin de costo, ya que las fracciones de

volmenes de material M2 y totales se han reducido notablemente, y con un aumento

sustancial de la energa de deformacin, dado que la estructura ha perdido rigidez. Aun as

este incremento energtico no compite con el decremento que genera la reduccin de la

fraccin de volumen de material M2 en la funcin de costo. Las zonas donde el material M2

permanece, representan topologas que mantienen la rigidez de la estructura. En efecto, la

topologa del material M2 se encuentra levemente curvada a lo que sera una barra totalmente

recta. El algoritmo trata de corregir esta curvatura introduciendo material M2 en estas zonas

con el objeto de que el flujo de fuerzas no se vea desviado.

Durante este ltimo proceso la energa de deformacin fue bajando paulatinamente al igual

que la funcin de costo. La fraccin de volumen de M1, M2 y volumen total que se

obtuvieron al final del proceso de optimizacin fueron 1 = 0.27, 2 = 0.05 y =0.32.

4.3 Viga en Voladizo

El siguiente ejemplo consta de un dominio rectangular de relacin de aspecto 1x2 (alto y

ancho en [m]) discretizado inicialmente utilizando 256 elementos triangulares CST y

sometido a una carga vertical sobre el punto medio del lado derecho de la estructura

rectangular, la cual se encuentra empotrada en su lado izquierdo. Los factores de penalizacin

son 1 = 4.5 y 2 = 3. La evolucin de las fases materiales durante el proceso de optimizacin es el mostrado en las siguientes figuras.

F

Figura 14 Ejemplo 2: geometra y condiciones iniciales.

Figura 15 Evolucin de topologa durante la 1ra etapa de optimizacin

Figura 16 Evolucin de material M2 frente a material M1 durante la 2da etapa de optimizacin.

Figura 17 - Evolucin de material M2 frente a vaco durante la 3da etapa de optimizacin.

De la misma manera que en el ejemplo anterior, se presenta en negro el material M1, en

rojo el material M2 y en blanco el vaco en Figura 15 a Figura 17. Las grficas siguientes

muestran el progreso de la funcin de costo, energa potencial y fracciones volumtricas a lo

largo del proceso de optimizacin.

Figura 18 Funcin de costo normalizada a la funcin de costo inicial vs iteraciones (2do ejemplo).

Figura 19 Energa potencial normalizada a la energa inicial vs iteraciones (2do ejemplo).

Figura 20 Fracciones volumtricas de cada material y total (2do ejemplo).

Luego de iniciado el procedimiento de optimizacin, la primera etapa consume 40

iteraciones antes de entrar en convergencia y proseguir con la siguiente. Durante esta etapa

fue necesario refinar la malla 3 veces antes de encontrar una topologa ptima, a diferencia

del ejemplo anterior, el cual consumio pocas iteraciones y con una malla mas gruesa. La

energa de potencial total se vio incrementada hasta estabilizarse alrrededor de la iteracion n

20, conforme la funcin de costo sufra un comportamiento similiar mientras se vea

minimizada.

Al entrar en la segunda etapa de optimizacin, el material M2 surge en zonas de alta

concentracin de tensiones, tales como angulos vivos y nudos donde convergen muchas

barras. Esto flexibiliza la estructura por lo que la energa potencial se ve aumentada. El

intercambio entre material M2 por material M1 hace decrecer la funcin de costo.

Esta etapa solo dura 2 iteraciones y entra rapidamente en convergencia. Durante la tercera

fase de optimizacin, no se observan cambios topolgicos de importancia, sino refinamientos

pequeos de la interfaz material M2 y vaco, y eliminacin de material cerca de los

empotramientos.

La fraccin de volumen de material M1, material M2 y volumen total que se obtuvieron al

final del proceso de optimizacin fueron 1 = 0.35, 2 = 0.1 y = 0.45.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se adapt la metodologa clsica de optimizacin topolgica estructural,

que utiliza a la derivada topolgica como una direccin factible de descenso, para considerar

ms de una fase material. En particular, como funcin costo a minimizar fue considerada la

energa potencial total con una restriccin de volumen. Esto permite obtener estructuras de

mxima rigidez para un valor de volumen establecido. Los resultados obtenidos

computacionalmente indican que la distribucin ptima de materiales tiende a reducir la

concentracin de tensiones, colocando material en las regiones susceptibles a este fenmeno,

evitando cambios bruscos de direccin en el flujo de esfuerzos internos.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo recibi el apoyo del programa de proyectos de investigacin y desarrollo de la

Universidad Tecnolgica Nacional (PID/UTN-1420) y del CONICET. Los autores agradecen

el apoyo econmico brindado por estas instituciones.

REFERENCIAS

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