una metodología alternativa en matemáticas

Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana

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Una metodología alternativa en matemáticasaplicada a la unidad didáctica Funciones

José Cano SánchezI.E.S. de Albatera. (Alicante)

Introducción En la practica docente, nos encontramos, con distintos tipos demetodologías, unas que se desprenden de los libros de texto, otras basadas enartículos y recortes de prensa, Irizo, G.. y Lopez. J. (1992) donde los alumnos/as,junto con el profesor, por medio de unidades de trabajo relacionadas con lasnoticias que aparecen en prensa y revistas van proponiendo preguntas yactividades a realizar. Hay otras que no voy a comentar y que podemos conoceren el trabajo de, Díaz, Godino, J. y otros (1991).

En esta comunicación se va a exponer una metodología distinta, donde elalumno trabaje con las herramientas más comunes en matemáticas, como regla,compás, transportador de ángulos, y otros materiales y que a través de lainteracción con esos materiales construya sus propios conocimientos, y obtengasus propias conclusiones, para que de esta manera, pueda desarrollar supotencial cognitivo y socio - cultural. L.O.G.S.E. (1990).

Esta metodología, se va a fundamentar en los modelos cognitivos, queexpongo a continuación. En una segunda parte de la comunicación, trataré delcontexto actual metodológico, después cómo secuenciar los contenidos y porúltimo un ejemplo practico de una U.D. Funciones.

Modelos de aprendizaje basados en la psicologíaLas variables que afectan al aprendizaje son múltiples y variadas, se

pueden destacar las relativas al contenido de enseñanza ( nivel de dificultad,estructuración, organización del contenido, etc.) el proceso de enseñanza(interacción entre profesor y alumno, alumno-alumno, etc.) al profesor

Cano, J. Una metodología alternativa aplicada a la unidad didáctica funciones

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(preparación, capacidad de comunicación, dedicación etc.) y las relaciones con elalumno, Jimenez, Gomez, E. ( 1999 )

La mayoría de las veces, cuando un alumno no aprende un determinadocontenido de enseñanza es porque dicho contenido no entra dentro de su campode afectividad, deseos o porque es de un nivel o dificultad o abstracción que estápor encima de sus capacidades, por ello el aprendizaje no es suficientementesignificativo, no teniendo otra posibilidad de aprendizaje que el de la iteración orepetición memorística. de aquellos conceptos que necesita aprehender.

Lo que se pretende con esta metodología, es que el niño piense por sucuenta y construya su propio aprendizaje.

Sin pretender realizar un estudio exhaustivo, de las teorías delaprendizaje, Pozo (1989) nos centraremos en los modelos que más han utilizadolos investigadores y educadores en el área de la Didáctica de las Ciencias, lasteorías de Piaget, Vygostky y Ausubel.

Modelo de PiagetPiaget distinguía entre aprendizaje en sentido estricto, por el que se

adquiere del medio información específica, y aprendizaje en sentido amplio, queconsistía en el progreso de las estructuras cognitivas por procesos deequilibración. A través de distintos procesos sucesivos de equilibración es como elniño adquiere su propio conocimiento, este proceso se produce cuando se dan asu vez otros dos procesos uno de asimilación y otro de acomodación, que daránlugar a otro proceso de equilibración y así sucesivamente, es de esta maneracomo el niño, no solo conoce el mundo que le rodea, en un momento dado, sinotambién como cambia su conocimiento respecto a dicho mundo.

Asimilación sería el proceso que permite al sujeto interpretar lainformación que proviene del medio en función de sus esquemas, que sonunidades psicológicas fundamentales que se han generado por abstracciónempírica a partir de la acción del sujeto con el medio.

Acomodación es cualquier modificación de un esquema asimilador o desu estructura conceptual causada por los nuevos elementos que se asimilan, deesta forma nuestras ideas se adaptan a las características del mundo que nosrodea.

Ambos procesos, la asimilación y la acomodación, se implicannecesariamente, no hay asimilación sin acomodación pero la acomodacióntampoco existe sin una asimilación simultánea.

Según Piaget el aprendizaje solo se produciría cuando tuviera lugar undesequilibrio o conflicto cognitivo. Solo de los desequilibrios entre estos dosprocesos surge el aprendizaje o cambio cognitivo.Piaget, Richmond, P. G. ( 1970 ),distinguía entre tres tipos de conocimiento:Físico, interacción con el medio, lógico - matemático y social (convencional)Para Piaget el conocimiento físico (fuente externa) es el conocimiento de larealidad exterior, peso, color, etc.El conocimiento lógico - matemático (fuente interna) se compone de relacionesconstruidas por cada individuo. El niño progresa en la construcción delconocimiento lógico - matemático mediante la coordinación de las relaciones


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simples que ha creado. Estas relaciones (abstracción reflexionante) no tienenexistencia en la realidad exterior

La teoría piagetiana afirma además, que existen distintas etapas en eldesarrollo intelectual y que cada una de ellas se caracteriza por una maneraespecífica de pensar, de adquirir y utilizar información sobre el mundo, Inhelder, B.y Piaget, J. (1996).: La sensomotriz; la preoperacional, que se subdivide en:preoperacional inicial (IA) y preoperacional avanzado (IB); la etapa deOperaciones concretas, que se subdivide en: concreto inicial (IIA) entre los 7 y 8años y concreto avanzado (IIB) entre los 8 y 9 años; la etapa de las Operacionesformales que se subdivide en: formal inicial (IIIA) entre los 10 y 11 años y formalavanzado (IIIB) entre los 12 y 13 años.

Se desarrollará de forma resumida, las dos últimas etapas evolutivas, porsu interés en la E.S.O.La etapa de las operaciones concretas. ( 7 – 9 años ).

El pensamiento concreto está ligado a la realidad empírica (cosas yhechos concretos) muchos de nosotros resolvemos ciertos asuntos utilizando unpensamiento concreto.Nivel IIa: Utilizan varios tipos de razonamiento, identidad, reversibilidad. No son capaces de controlarvariables. Sus habilidades en clasificación, seriación y correspondencias no son suficientes, puedenclasificar por algún factor, seriando o midiendo, pero no de forma abstracta . Pueden seguirinstrucciones orales y escritas. Responden a preguntas sencillas si son sobre observaciones directas.Describen observaciones Calculan las medidas de un objeto comparando el comienzo y el fin del objetopor medio de una regla de números enteros y sencillos. Carecen de la noción de probabilidadNivel IIb. Se admite la conservación de la cantidad de materia y del peso pero no la del volumen.Pueden controlar alguna variable pero si se realiza la operación visualmente. Pueden simplificar, perodisociando factores. Pueden operar con símbolos sencillos del lenguaje y de las matemáticas. Soncapaces de utilizar diagramas e histogramas, y la idea de media como centro de un histograma.Pueden emplear relaciones gráficas de ecuaciones de primer grado, interpretando gráficas en las queexista una correspondencia 1 / 1 , como por ejemplo altura / tiempo en el crecimiento de una planta.Establecen orden y correspondencia entre causa y efecto, pero es más fácil la correspondencia directaque la inversa.La etapa de las operaciones formales ( 10 – 13 años ).Las operaciones formales constituyen la fase más avanzada del desarrollo delrazonamiento logico -matemático, consideran lo real como una parte de lo posible.Si además, se tiene en cuenta que no necesita tener físicamente los objetos sobrelos que se actúa se entiende que el dominio sobre el que puede reflexionar elsujeto se amplia enormemente.Nivel IIIa: Pueden disociar el peso del volumen, para llegar al concepto de densidad. Pueden trasladarideas/técnicas de la situación original a otras situaciones posibles. Pueden hacer interpretaciones deuna gráfica lineal o cuadráticaNivel IIIb: Pueden realizar experimentos precisos para verificar sus hipótesis sobre la influencia quetiene cada variable, eliminando aquellas que no influyen. Pueden emitir hipótesis Podrán interpretarrelaciones en gráficas de orden superior. Conceptualización de relaciones entre variables. Encuentranrelaciones cuantitativas tanto entre variables de observación directa como en aquellas de nivelabstracto.

A partir de las etapas piagetianas se pueden deducir estrategiaseducativas basadas en adaptar las demandas cognitivas del trabajo escolar a lascapacidades cognitivas de los alumnosSe puede identificar la etapa piagetiana alcanzada por el razonamiento de unapersona por medio de un test de opción múltiple que permite clasificar los alumnosde una clase, Cano y otros (1988) y en cierta medida, poder realizar


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programaciones más realistas con el conjunto de la clase así como el llevar atérmino, adaptaciones curriculares,

Modelo de VigotskiiVigotskii, lo mismo que Piaget, mantiene una posición decidida contraria al

asociacionismo y al mecanicismo imperante en aquella época. Basado en unaconcepción dialéctica de las relaciones entre lo fisiológico y lo mental, mantieneque existen rasgos específicamente humanos no reducibles a asociaciones, comola conciencia y el lenguaje, integrando los procesos de asociación yreestructuración en una teoría unitaria del aprendizaje y proponiendo unapsicología basada en la actividad. La actividad es un proceso de transformacióndel medio a través del uso de instrumentos y su función no es adaptarsepasivamente a las condiciones ambientales sino modificarlas activamente a travésde la interacción del sujeto con el medio.

Vigotskii distingue dos clases de instrumentos transformadores, uno lacultura, que proporciona al individuo las herramientas necesarias para transformarsu entorno y un segundo tipo de instrumentos, los signos o mediadores simbólicos,los significados, que median en nuestras acciones.

A diferencia de la “herramienta”, la cultura, los símbolos no modificanmaterialmente el estímulo sino que modifica a la persona que actúa comomediador y en definitiva actúa sobre la interacción de esa persona con su entorno.Son los símbolos los que tienen mayor interés para la psicología cognitiva, ya queen tanto que recurren a unidades de significado realmente simbólico, estánconstituidos por conceptos y estructuras organizadas de conceptos.

Según Vigotskii, L. ( 1995 ) los instrumentos de mediación los proporcionala cultura y por una serie de transformaciones o procesos psicológicos soninteriorizados por cada sujeto, en esto coincide con Piaget, pero para aquél, elmedio está compuesto de objetos y de personas que median en la interacción delniño con los objetos, es decir, el vector de desarrollo y del aprendizaje iría desde elexterior del sujeto al interior, sería un proceso de internalización. La adquisición deconocimiento comienza siendo interpersonal para a continuación, internizarse yhacerse intrapersonal.

Para Vigotskii el proceso de aprendizaje, consiste en una internalizaciónprogresiva de instrumentos mediadores por ello debe iniciarse siempre en elexterior, aunque más adelante se transformen en procesos de desarrollo interno,por tanto, el aprendizaje precede temporalmente al desarrollo y la asociaciónprecede a la reestructuración.

Debido a esa precedencia temporal se distinguen dos tipos deconocimiento o dos niveles de desarrollo, un nivel de desarrollo efectivodeterminado por lo que el sujeto logra hacer de modo autónomo, como test,entrevistas, y que representaría los mediadores ya internalizados y un nivel dedesarrollo potencial, determinado por lo que el sujeto sería capaz de hacer con laayuda de otras personas o mediadores externos, y que aún no ha internalizado. Ladiferencia de estos dos niveles sería la zona de desarrollo potencial de ese sujetoen esa tarea concreta. De esta manera sitúa los procesos de aprendizaje en


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estrecha relación con la instrucción, puesto que ésta facilita la adquisición demediadores externos necesarios para obtener un mayor nivel de desarrollo.

Debido a la concepción de Vigotskii respecto a las relaciones entrepensamiento y lenguaje estableció que la unidad de análisis en la psicología debíabuscarse en el significado de la palabra, mínima unidad del pensamientogeneralizado, de esta manera los conceptos tendrán su origen en la palabra queuna vez internalizada se constituirá en signo mediador. Distingue entre dos tiposde conceptos, los conceptos espontáneos o pseudoconceptos y los conceptoscientíficos o verdaderos conceptos. Los conceptos espontáneos van de loconcreto a lo abstracto y parten de abstracciones realizadas sobre los propiosobjetos mientras que los conceptos científicos siguen el camino inverso y soloadquieren significado, por su relación jerárquica con otros conceptos. Así, losconceptos espontáneos se definen a partir de los objetos a que se refieren por sureferencia con ellos, mientras que los conceptos científicos se adquieren siemprepor su relación jerárquica con otros conceptos por su sentido.

En opinión de Vigotskii, los conceptos científicos adquiridos en lainstrucción son la vía a través de la cual se introduce en la mente la concienciareflexiva que posteriormente se transfiere a los conceptos espontáneos dándosetambién la relación inversa.

Los conceptos científicos pueden aprenderse solo cuando los conceptosespontáneos se encuentran suficientemente desarrollados, es decir, losverdaderos conceptos solo pueden adquirirse por reestructuración pero esareestructuración sólo es posible si se apoya en asociaciones previas.

Vygotsky, distingue dos niveles de desarrollo, uno determinado por lo queel sujeto logra hacer de modo autónomo y otro de desarrollo potencial,determinado por lo que el sujeto sería capaz de hacer con ayuda de otraspersonas Podemos deducir que los conceptos espontáneos se definen a través de losobjetos a que se refieren mientras que los conceptos científicos se adquieren porsu relación con otros conceptos

Modelo de AusubelAusubel, D. P. (1976) critica a Piaget por no dar suficiente importancia a

los contenidos. Establece entonces su modelo explícitamente educativocentrándose en los contenidos a enseñar y en su estructuración psicológica, paraAusubel, el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que sabe elalumno, averígüese y enséñese en consecuencia.

Los conocimientos de una persona están organizados en unaestructuración cognitiva formada por conceptos y sus relaciones. Un conceptotendrá significado para un individuo si forma parte de su propia estructuracognitiva. Tener significado consistiría pues en poder relacionar un contenido conparte de la estructura cognitiva. Un aprendizaje que cumple esta condición lodenomina significativo, mientras que en caso contrario sería memorístico . Aunquelos conocimientos memorísticos son necesarios porque cumplen unasdeterminadas funciones. Para que se produzca aprendizaje significativo debeocurrir que los contenidos que aprende el alumno estén relacionados con los


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conocimientos previos de los alumnos, que la estructura cognitiva del sujetoposea las ideas necesarias para que se puedan relacionar con los nuevosconocimientos y que el sujeto manifieste una actitud positiva y activa hacia elaprendizaje.

Conseguir un aprendizaje significativo, lleva consigo incluir un organizadorprevio, donde se sedimentan ideas de un nivel superior al material que se trata deaprender pero que puede enlazarse con la estructura cognoscitiva del alumno yservir por ello, de anclaje a los nuevos conceptos, dotándoles así de significación

Ausubel se centra en los contenidos a enseñar, se parte de lo que sabe elalumno y se enseña en consecuencia.

El aprendizaje he de ser significativo, es decir, los contenidos tienen queestar relacionados con la estructura cognitiva del sujeto.

Modelo didáctico que se deriva del desarrollo cognitivoDe los modelos cognitivos estudiados anteriormente, se puede deducir un modelodidáctico, Jimenez, Gomez, E. (1998), que tenga en cuenta que: a) El medio enque se desarrollan las actividades ha de ser rico en estímulos. b) Los alumnosdeben poder poner en juego sus posibilidades manipulativas, discursivas, etc.como necesidades que demanda la sociedad. c) Cualquier tipo de aprendizajedebe llevarse a cabo por el mayor número de vías sensoriales posibles, vista,

oído, tacto, etc. d) Las actividadesque se diseñen no deben de estarpor encima de las capacidades delos alumnos y deben estarsecuenciadas en orden de menor amayor dificultad. e) La enseñanzadebe estar basada en unaprendizaje cíclico: exploración,intervención –manipulación, descu-brimiento - conclusiones.

Contexto actual metodológicoLa actual metodología que se suele aplicar en la E.S.O. en la mayoría de

los casos, sigue teniendo un gran componente metodológico tradicional“semiconductista” lo que hace que tengamos serios problemas de aprendizaje y deconducta, debido entre otros factores a: - La gran variedad de niveles educativos- Conseguir la atención y participación de los alumnos/as. - La aplicación deconceptos que por su carácter formar solo los entiende en la E.S.O.el 25%de laclase Shayer y Addey (1984). - La obligatoriedad de la enseñanza hasta los 16años. - Excesivo número de alumnos en la mayoría de los casos. por aula. - Lacarencia de un aula específica de matemáticas, donde podamos tener los recursosdidácticos empleados por los alumnos, material manipulativo, ordenadores etc. -Repetición de conceptos en diferentes cursos.

Todo ello, a mi entender, lleva consigo un necesario cambio de lametodología, que tome como base los siguientes parámetros: Fomentar en los

EXPLORACIÓN

INVENCIÓNMANIPULACIÓN

DESCUBRIMIENTOCONCLUSIONES

VUELTAA

EMPEZAR


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alumnos una educación autónoma que consiga hacerles entender que “su”enseñanza depende de ellos, como superación del logro cognitivo heteronomía.Kamii, C.(1982). Introducir en la enseñanza de las matemáticas, procedimientosque permitan al alumno manipular materiales y tomar medidas, de tal manera quesu interés con la materia de estudio de lugar a un aprendizaje eficaz. Adecuar laenseñanza a los distintos niveles de la clase para que tanto los más como losmenos capaces puedan desarrollar sus potencialidades cognitivas y socio-culturales. Idear procedimientos para fomentar la capacidad de investigación delalumno. Fomentar el trabajo en equipo. Contribuir a la cohesión del grupo-clase.Fomentar el manejo de distintas fuentes bibliográficas, posibilitando la salida enpequeños grupos a la biblioteca, en la hora de clase. Posibilitar el uso dellaboratorio de ciencias , para el estudio de las matemáticas, hasta conseguir unaula específica de matemáticas. Tener posibilidad que los alumnos preparentrabajos en clase y los expongan, al conjunto de los alumnos del Instituto.

Secuenciación de contenidosLa secuenciación de contenidos es primordial en el proceso enseñanza - apren-dizaje Cualquier secuenciación de contenidos y procedimientos exigen unoscriterios que permitan elegir entre las posibilidades existentes. Los criterios para lasecuenciación elegidos han sido: 1) Ir de conceptos más sencillos a conceptosmás complejos. 2) Relacionar lo que se quiere enseñar con el mayor número dematerial cotidiano posible, para que en el aprendizaje entren en juego el mayornumero de sentidos, vista, tacto, etc. y el alumno interaccione con este materialpara construir su propio conocimiento, cognitivo y sociocultural. 3) Realizar unnúmero de procedimientos que pueda ser más o menos numeroso en función delas capacidades de los alumnos del aula, pero que en cualquier caso han de sersignificativos para lo que se quiere enseñar. 4) Hay que encontrar una faseadecuada , para ir introduciendo notación y expresión simbólica. 5) Hay quebuscar conclusiones y generalizaciones de las actividades realizadas.

Definiciones que he empleado para seleccionar conceptosAbstracción. Retener en el espacio mental y combinar en el tiempo variospensamientos que siguen una secuencia lógica y ordenada para llegar a obtenerdistintas conclusionesEspacio mental: Es el espacio bidimensional o tridimensional físico capaz de serrepresentado o concretado en la mente.Distintos grados de abstracción: n0: Es el espacio mental directamente relacionadocon los objetos o entes con los que interaccionamos. Es nuestra relación directacon el entorno, sin hacernos preguntas de ¿Cómo? ¿Cuándo? ¿Por qué? Ej. Pesouna cierta cantidad...... n1: Es la representación mental de un objeto, un conceptosimple, Ej. Lo que peso es la masa.....n2: En este grado se pueden realizaroperaciones sencillas de asociación dibujo - lenguaje lectura - lectura comprensivacon asociación simple., permite al niño distanciarse de la realidad para pensarla,sin embargo todavía durante un periodo de tiempo determinado lasrepresentaciones serán tratadas por el niño como independientes y la realidadserá tratada de forma estática.(verdades de hecho) Ej. ¿La medida que obtengo


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es masa o es peso de la materia que tengo?. n3: Aparecen grupos organizados derepresentaciones., las llamadas operaciones , que permiten manipulardeterminados aspectos del mundo, para resolver problemas. Ej. El alumno ha detener claro la diferencia entre peso y masa....Los otros distintos grados deabstracción se van alcanzando de forma sucesiva con el aprendizaje.Estas definiciones no están, actualmente contrastadas científicamente, solo tienenla pretensión de que ayudan a secuenciar contenidos por el grado de abstracción.

Diseño de la unidad didáctica funcionesLa U. D. la he diseñado, teniendo en cuenta los siguientes objetivos generalesL.O.G.S.E.(1990). TABLA I

OBJETIVOSGENERALES E.S.O.

OBJETIVOS GENERALESÁREA DE MATEMÁTICAS OBJETIVOS MÍNIMOS DE LA U.D.

1-Interpretar y producircon propiedad,autonomía y creatividad,mensajes que utilicencódigos artísticos,científicos y técnicos conel fin de enriquecer susposibilidades decomunicación yreflexionar sobre losprocesos implicados ensu uso2- Elaborar estrategiasde identificación yresolución de problemasen los diversos camposdel conocimiento y laexperiencia, medianteprocedimientos intuitivosy razonamiento lógico,contrastándolas yreflexionando sobre elprocedimiento seguido.3-Formarse una imagenajustada de si mismo, desus características yposibilidades, ydesarrollar actividadesde forma autónoma yequilibrada valorando elesfuerzo y la superaciónde las dificultades.4-Relacionarse conotras personas yparticipar en actividadesde grupo con actitudessolidarias y tolerantes.

1-Incorporar al leguaje ymodos de argumentaciónhabituales las distintasformas de expresiónmatemática ( numérica,gráfica geométrica, lógica,algebraica, probabilística)2-Utilizar las formas depensamiento lógico paraformular y comprobarconjeturas3.Cuantificar aspectos de larealidad, utilizando técnicasde recogida de datos.4-Elaborar estrategias,utilizando distintos recursos einstrumentos.5. Utilizar técnicas sencillasde recogida de datos paraobtener información sobrefenómenos que se dan en larealidad, y representar esainformación de forma gráficay numérica.6- Conocer y valorar laspropias habilidadesmatemáticas para afrontar lassituaciones que requieran suempleo o que permitandisfrutar con los aspectoscreativos, manipulativos,estéticos o utilitarios de lasmatemáticas.

1-Poder situar puntos en el plano encoordenadas polares y cartesianas.2-Saber interpretar y elaborar tablasnuméricas a partir de conjuntos de datos.3-Aprender a formular conjeturas sobre elcomportamiento de una gráfica teniendoen cuenta el fenómeno que representa osu expresión algebraica.4- Saber obtener representacionesgráficas de funciones sencillas así comolos diferentes conceptos necesarios parasu representación, como puntos de cortecon los ejes, simetrías.....

Unidad didáctica. Funciones. Según el diagrama 1, se puede descomponer entres temas: Tema 1º coordenadas polares y cartesianas. Tema 2º la función cuyagráfica es una recta. Tema 3º la función cuya gráfica es una parábola.


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Diagrama 1

Tema I: Coordenadas polares y coordenadas cartesianas. Objetivos del tema.Localizar ciudades y pueblos, en un mapa de España, Comunidad o Comarca,utilizando coordenadas polares. 1) Dadas ciertas coordenadas polares, deducircon estos datos a que ciudades y pueblos hacen alusión. 2) Realizar el objetivo 1)con coordenadas cartesianas. 3) Realizar el objetivo 2) con coordenadascartesianas. 4)Transformar coordenadas cartesianas en polares y viceversa, esdecir, dado un punto del mapa ( 5 , -3 ) ver a que ciudad le corresponde y quecoordenadas polares tiene. 5) Hallar coordenadas de puntos simétricos respectode los ejes de referencia y respecto del origen ( simetría ). 6) Cambiar el sistemade referencia y repetir los objetivos que creamos conveniente, según elaprendizaje de los alumnos

TABLA VICONTENIDOS

CONCEPTUALESCONTENIDOS

PROCEDIMENTALESCONTENIDOS

ACTITUDINALES1- Sistemas de referencia

. determinación de laposición

2- Coordenadas polares ycartesianas

3- Ángulo, distancia4- Espacio recorrido,

trayectoria ydesplazamiento.

5- Un par de puntos (números ) determinanun punto en el plano

6- Una longitud y unángulo, determinan unpunto en el plano

1- Diseño y/o realización deexperiencias

2- Emisión de hipótesis.3- Observación y recogida de

datos.4- Utilización de aparatos de

medida5- Expresión de ideas

expresando un lenguajematemático - científicoadecuado

6- Determinación de lamedia aritmética comomedida más exacta(errores)

1-Valorar la precisión de la medida2- Valorar la limpieza de los trabajos3. Valorar el tiempo de terminaciónde las tareas4- Interés de preguntar a loscompañeros o al profesor de lasdificultades que surjan en losprocedimientos de resolución.5- Perseverancia en la búsqueda desoluciones adecuadas.6.Asumir responsabilidades en lastareas de grupo.7-Fomentar una actitud positiva hacialas matemáticas y ciencias engeneral.8-Divertirse en el trabajo.

ACTIVIDAD 1.1 Como podemos localizar puntos en el plano, con coordenadas polares. OBJETIVOS:Describir matemáticamente como localizar ciudades o pueblos en un mapa . TIEMPO: Una sesión corta

x|y

EN FORMA DE TABLA

coord.. polares coord. cartesianas

dos dimensionesx , y

PLANO

tres dimensionesx , y, z,

ESPACIO

EN FORMA DE GRÁFICO

lineal cuadrática

Polinómica logarítmica irracional

seno coseno

trigonométrica

Conocer lenguaje matemáticoConjunto inicial.Dominio.Conjunto final.Recorrido

EN FORMA DE ECUACIÓNy=f(x)

FUNCIONES


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de 10 -20 minutos para dar la información teórica adecuada y explicar el procedimiento para realizar lastareas que se van a proponer. MATERIALES: Regla, compás, escuadra, cartabón, semicírculograduado, material fotocopiado, papel milimetrado y lápices de colores. VOCABULARIO: Distancia,ángulo, recta, segmento, sistema de referencia, unidad de medida, coordenadas, ejes cartesianos, ejede abscisas (eje X) eje de ordenadas (eje Y). PROCEDIMIENTO 1º. Se da un mapa de España conorigen en Madrid, y se pide al niño que obtenga las coordenadas polares de ciertas ciudades del mapa.Como todos los alumnos no obtendrán las mismas medidas, se van apuntando en la pizarra y seobtiene la media aritmética.(errores). PROCEDIMIENTO 2º. Las mismas actividades con un mapa de lacomunidad o comarca. PROCEDIMIENTO 3º. Actuar en sentido contrario, dando coordenadas polares,que los alumnos/as descubran a que ciudades o pueblos pertenecen. PROCEDIMIENTO 4º. Dandocoordenadas polares, unir dichos puntos y formar figuras geométricas. Realizar el proceso contrario,que los alumnos dibujen figuras y obtengan las coordenadas de los vértices, o de los puntos másnotables, de dichas figuras.ACTIVIDAD 1.2 Cómo podemos localizar puntos en el plano con Coordenadas Cartesianas.OBJETIVOS. Describir matemáticamente ciudades o pueblos en coordenadas cartesianas. Losprocedimientos para conseguir los objetivos de la Actividad 1.2 serán los siguientes:PROCEDIMIENTO 1º. Se da un mapa de España con origen en Madrid y se pide al niño que obtengalas coordenadas cartesianas de ciertas ciudades del mapa. PROCEDIMIENTO 2º. Las mismasactividades con un mapa de la comunidad o comarca. PROCEDIMIENTO 3º. Actuar en sentidocontrario, dando coordenadas cartesianas, que los alumnos/as descubran a que ciudades o pueblospertenecen. PROCEDIMIENTO 4º. Dando coordenadas cartesianas, unir dichos puntos y formar figurasgeométricas sencillas. Realizar el proceso contrario, que los alumnos dibujen figuras y obtengan lascoordenadas de los vértices o de los puntos más notables, de dichas figuras.

Al finalizar las Actividades 1.1 y 1.2 podremos evaluar si los procedimientosempleados han sido suficientes para obtener los objetivos previstos, o tenemosque realizar más procedimientos, para alcanzar dichos objetivos. Podremosevaluar conceptos, procedimientos y actitudes así como hacer referencia a temastransversales, errores y geografía. Un ejemplo practico de evaluación sería el de latabla II, procedimiento que tiene la ventaja de poder llevarlo a un programainformático y simplificar enormemente la tarea de evaluación de conceptos,procedimientos y actitudes que nos dice la L.O.G.S.E. (1990).Tabla II. Evaluación de conceptos, capacidades y actitudes. ¿Cómo evaluar?.

CONCEPTOS Recogida de datos en

PIZARRA (P)Nada 0 Poco 3 Regular 5Bien 7 Muy bien 10PREGUNTAS EN CLASENada 0 Poco 3 Regular 5Bien 7 Muy bien 10

PROCEDIMIENTOSReconocer problemas, variables,Hipótesis de trabajo, utilización defuentes de información de formareflexiva y no copia literal.RAZONAMIENTO

Nada 0 A veces 5 Siempre 10

ACTITUDESConstancia en el cuaderno de trabajo, expresión, desarrollo de actividades,

Presentación. APUNTES: No lo tiene 0. Le falta mucho 3. Le falta poco 5 Todo pero no trabajados 7. Todo y muy bien 10

Autoconfianza y respeto a los demás. Comportamiento.Mal comportamiento 0. Interrumpe a veces 3. Molesta a los compañeros 5Buen comp. a veces 7. Buen comportamiento 10

Honestidad y rigor. Actitud ante la asignatura.No atiende nunca 0. Atiende pocas veces 3. Atiende casi siempre 5Atiende solamente 7. Atiende y participa 10

Periodicidad en el trabajo. Trabajos y deberes.Nada 0. Fuera de tiempo 3. Mal pero en tiempo 5En tiempo le falta poco 7. En tiempo y bien 10


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Tema II. Funciones cuya gráfica es una recta. Objetivos.Incorporar al lenguaje habitual las distintas formas de expresión gráfica yfuncional. Identificar las variables que intervienen en un fenómeno y la relaciónfuncional entre ellas. Saber qué es y para qué sirve una función y sus posiblesrepresentaciones. Interpretar y criticar gráficas relativas a diversos fenómenos,analizando la relación que existe entre las magnitudes que intervienen yestablecer predicciones. Identificar las dependencias funcionales con sus gráficasy formulas. Aplicar significativamente los conceptos, términos y notacionesrelativos a la interpretación, representación y tratamiento de la información.

CONTENIDOSCONCEPTUALES

CONTENIDOSPROCEDIMENTALES

CONTENIDOSACTITUDINALES

1- Conceptos asociados auna función

1-Utilización del lenguajegráfico y de las expresionesalgebraicas.

1-Valorar la limpieza de las gráficas

2-Variables que intervienenen un experimento.

2-Construcción de gráficas apartir de datos de tablas.

2-Valorar el tiempo de terminaciónde las tares.

3-Variable independiente(eje X ) variabledependiente eje ( Y )

3-Diseño y realización deexperiencias

3-Interés de preguntar lo que no seentiende.

4-Funciones lineales 4-Emisión de hipótesis 4-Perseverancia en la terminaciónadecuada de la gráfica

5- Funciones afines 5-Observación y recogida dedatos

5-Asumir responsabilidades en lastareas de grupo

6- Funciones constantes 6-Utilización del lenguajeadecuado para lacomunicación entre el grupo.

6-Fomentar una actitud positivahacia las matemáticas y ciencias engeneral7-Divertirse en el trabajo8-Sensibilidad y gusto por laprecisión, el orden y la claridad enel tratamiento y en larepresentación de funciones.

ACTIVIDAD 1.1 Identificar las variables que intervienen en un experimento. OBJETIVOS. Practicarexperimentos, donde intervengan dos variables. TIEMPO. Una sesión corta para dar la informaciónteórica adecuada y explicar el procedimiento para realizar las tareas que se van a proponer..MATERIALES. Material de dibujo, papel milimetrado, lápices de colores. Dinamómetro, peso de cocinagraduado en gramos . vela de cumpleaños, distinto material de laboratorio, cronómetro, etc.VOCABULARIO. nombres de los distintos materiales usados en el laboratorio, termómetro, balanza,dinamómetro, etc. PROCEDIMIENTO 1º Una vela milimetrada previamente y encendida, ver lo que seconsume en un tiempo dado. PROCEDIMIENTO 2º. Ver el alargamiento que se produce de undinamómetro, al colocar distintos pesos. PROCEDIMIENTO 3º. Poner agua a calentar en unrecipiente, para relacionar la temperatura con el tiempo, ¿Comenta qué ocurre cuando el agua empiezaa hervir?. PROCEDIMIENTO 4º. Relacionar el número de caramelos con el número de gramos, segúnvamos añadiendo caramelos al peso. Objetivos. Con este tipo de procedimientos deben conseguir losobjetivos: Dependencia funcional. Representar una tabla. Representación de una función lineal.

ACTIVIDAD 1.2 Distinguir entre variable dependiente y variable independiente OBJETIVOS. Practicarlo que es una relación lineal y aplicarla a la función lineal. TIEMPO. Una sesión de 20 minutos para darla información teórica adecuada. MATERIALES. Papel milimetrado, regla, lápiz negro y lápices decolores. VOCABULARIO. Conjunto, función, variable independiente, variable dependiente, fórmula,tabla gráfica, origen de coordenadas, eje de abscisas, eje de ordenadas, magnitud, conjunto,subconjunto, etc. PROCEDIMIENTO 1. Con las funciones que aparecen en la calculadora, log...exponencial etc. Realizar diagramas como los anteriores, los valores de la variable independiente x losintroducimos nosotros, y la calculadora nos dará los valores de la variable dependiente y.


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PROCEDIMIENTO 2. Representar funciones en forma de tabla, de formula y de gráfica, por ejemplo.dada la formula de la longitud de la circunferencia realizar una tabla y una gráfica de cómo varia lalongitud en función del radio. ¿Qué variables intervienen en el experimento?. PROCEDIMIENTO 3. Darel enunciado de varios problemas donde los alumnos realicen gráficas de funciones continuas ydiscontinuas. PROCEDIMIENTO 4. Obtener en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas del lasfunciones y = 2x y = x y = ½ x. ¿En qué se diferencian unas de otras? (a partir de aquí el alumnodebe interpretar el concepto de pendiente, al que llamaremos m, que es el número que acompaña ax). PROCEDIMIENTO 5. Obtener en unos mismos ejes las gráficas de las funciones y = - 2x y = - xy = - ½ x. ¿En qué se diferencian unas de otras? ¿En qué se diferencias con las gráficas del anteriorejercicio? (a partir de aquí las alumnas/os podrán distinguir entre pendiente positiva y negativa).PROCEDIMIENTO 6. Dar una serie de gráficas de la forma y = mx para que los alumnos obtengan laecuación. PROCEDIMIENTO 7. Enunciar los ejemplos necesarios para que los alumnos adquieran elconcepto de función lineal, pendiente y que el punto de origen es el par ( 0 , 0 ), y que todas las rectasdel tipo y = mx pasan por el origen.

ACTIVIDAD 1. 3 ¿ Cómo podemos distinguir una función lineal de una función afín?. OBJETIVOS.Dibujar distintas funciones afines y obtener la pendiente. TIEMPO. Una sesión de 10 minutos para darla información teórica adecuada. MATERIALES. Los mismos de la actividad 1 . 2 (es importante elpapel milimetrado). VOCABULARIO. Los mismos de la actividad anterior y añadir: Pendiente,ordenada en el origen, función afín. PROCEDIMIENTO 1. Representar las rectas y = 2x + 1 y = x + 1y = 3x + 1 ¿ Qué tienen en común dichas rectas? Se pueden poner otros ejemplos de éste tipo parahasta que quede claro el concepto de ordenada en el origen. PROCEDIMIENTO 2. Representar lasrectas y = 2x + 1 y = 2x + 2 y = 2x + 3 ¿ Qué tienen en común dichas rectas? ¿ En qué sediferencian? ( se pueden poner otros ejemplos de éste tipo para que quede claro el concepto dependiente y el de paralelismo entre rectas). PROCEDIMIENTO 3. Dar una serie de funciones y degráficas para que relacionen cada gráfica con su función respectiva PROCEDIMIENTO 4. Obtener lapendiente m a partir de la relación m = y / x de las rectas del procedimiento 1 y 2 (concepto dado en laparte teórica). PROCEDIMIENTO 5. Dar una serie de gráficas para obtener su función. TIEMPO DELA ACTIVIDAD. El necesario para obtener los objetivos previstos. Este tipo de metodología permiteadaptaciones curriculares.

ACTIVIDAD 1. 4 Obtener la solución o punto de corte de dos rectas. OBJETIVOS. Si tenemos dosrectas en unos mismos ejes de coordenadas, tenemos también lo que vamos a llamar un sistema deecuaciones. TIEMPO. Una sesión teórica de 20 minutos. MATERIALES. Los mismos que en lasactividades anteriores. VOCABULARIO. Rectas secantes, punto de corte, y el empleado en lasactividades anteriores. INFORMACIÓN TEÓRICA. Dos rectas son secantes cuando se cortan en unpunto, Dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente. Dos rectas son coincidentes cuandotienen infinitas soluciones. Para obtener el punto de corte se trazan dos rectas que tengan distintapendiente. Para obtener las coordenadas del punto de corte, se trazan paralelas desde ese punto decorte a los ejes X e Y, el punto donde dicha paralela corte al eje X es la primera coordenada del par ( x, y ) donde dicha paralela corte al eje Y es la segunda coordenada del par . Existe un procedimientopara obtener la gráfica de una recta con x=0 y sustituyendo este valor en la ecuación de la rectaobtenemos y. Haciendo y=0 obtener el valor de x sustituyendo y=0 en la recta y obteniendo el valor dex. Como tenemos dos puntos, podremos determinar la recta. Un sistema de ecuaciones es laresolución de dos funciones a la vez, la solución será el punto de corte , ya que para dicho punto, secumplen las dos ecuaciones del sistema. Este método de buscar las soluciones ( raíces ) del sistemase llama método gráfico. PROCEDIMIENTO 1. Traza dos rectas una que pase por los puntos ( 0 , 7 ) y( - 7 , 0 ) y otra que pase por los puntos ( 7 , 0 ) y ( 0 ,– 7 ) .¿ Qué conclusiones podemos obtener?.PROCEDIMIENTO 2. Representar en unos mismos ejes de coordenadas las rectas 2x –3y + 6 = 0. ,x + y + 3 = 0 . Obtener el punto de corte. Sustituir la x y la y del punto de corte en las dos ecuaciones¿Qué ocurre?. PROCEDIMIENTO 3. Representar en unos mismos ejes de coordenadas las rectas 3x –y – 4 = 0 , 2x – y – 1 = 0. Obtener el punto de corte y sustituir dichos valores de x e y en las dosfunciones ¿ Qué ocurre?. PROCEDIMIENTO 4. Representar en unos mismos ejes de coordenadas.Las rectas 2x + 4y – 6 = 0 , 3x + 6y – 9 = 0. ¿Qué ocurre a dichas rectas? ¿ Cómo se llaman?.Con estos procedimientos deben obtener los conceptos: De solución de un sistema deecuaciones. El punto de corte de dos funciones . Que significa la solución de un sistema deecuaciones. Llamaremos a éste método, “ método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones “. Apartir de aquí podemos introducir los otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de una


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forma más lógica y comprensible para loa alumnos, de tal forma que podamos resolver sistemas deecuaciones por los cuatro métodos, gráfico, reducción , sustitución e igualación.

Evaluación de la unidad didácticaTendremos en cuenta, tanto la evolución de los conocimientos de los

alumnos como el desarrollo de la unidad didáctica en el aula, Sánchez Blanco G.Y otros ( 1997). Vamos a evaluar:

- Los conocimientos de los alumnos, conceptuales, procedimentales yactitudinales.

- El grado de consecución de los objetivos de la unidad- El desarrollo de la propuesta didáctica- La motivación lograda por las actividades desarrolladas- La rentabilidad de las mismas para el aprendizaje de los alumnos- La adecuación al tiempo previsto- La claridad y comprensión de los materiales escritos

Las puntuaciones de las actividades las vamos a obtener durante las sesiones declase, una forma de hacerlo sería por ejemplo, obtener datos de cinco alumnosen cada sesión, para contenidos procedimentales y actitudinales por ejerciciosescritos, para contenidos conceptuales , procedimentales y actitudinales, etc.Una propuesta de ¿Cómo evaluar numéricamente?, se ha tratado al final delprimer tema de la U.D.

Conclusiones y propuesta metodológicaCon esta metodología pretendemos conseguir que :- Las actividades se desarrollen en un medio más rico en estímulos- Los alumnos/as pongan en juego sus habilidades manipulativas

discursivas cognitivas y socioculturales- En las actividades intervengan el mayor número de vías sensoriales.- Secuenciar adecuadamente las actividades- Basar el aprendizaje en un proceso cíclico- Fomentar en los alumnos su propio aprendizaje- Fomentar la capacidad de investigación.

Y sería necesario:- Quitar el tema de funciones de 1º de E.S.O.- Reforzar el cálculo con números naturales en 1º de E.S.O.- Iniciar, en 1º de E.S.O. el tema de Números Racionales como áreas

de figuras y partes de un todo, sin cálculo numérico complejo.- Dar el primer tema que he propuesto en la U. D. en 2º de E.S.O.- Dar el segundo tema que he propuesto en la U. D. en 3º de E.S.O.- Dejar para 4º de E.S.O. el Tema de funciones cuadráticas

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