UNA HERRAMIENTA DE MATLAB PARA VISUALIZAR PATRONES 3D GENERADOS

POR AGRUPACIONES CONFORMADAS José A. García Naya, Julio C. Brégains, Adriana Dapena.

jagarcia@udc.es, julio.bregains@udc.es, adriana@udc.es Dpto. de Electrónica y Sistemas. Universidad de La Coruña. Facultad de Informática,

Campus de Elviña, CP. 15071, La Coruña.

Abstract- In this paper we present a tool, designed with MATLAB, capable of plotting the 3D polar radiation diagram generated by a conformal antenna array. This tool also is prepared for visualizing the geometrical arrangement (positions and orientations) of the elements, as well as the relative values of the amplitude and phase of their excitations.

En este artículo se presenta una herramienta, diseñada con MATLAB, capaz de obtener el diagrama de radiación polar tridimensional generado por una agrupación conformada de antenas. Dicha herramienta también cuenta con la posibilidad de visualizar tanto la disposición geométrica (posiciones y orientaciones) de los elementos, como los valores relativos de amplitud y de fase de sus excitaciones.

I. INTRODUCCIÓN N el campo técnico científico, y desde los aspectos didáctico y de investigación, siempre son de gran ayuda

las herramientas informáticas preparadas para manipular ecuaciones, algoritmos numéricos y/o representaciones gráficas en 2 o en 3 dimensiones. Para el caso particular de la didáctica, la representación gráfica de resultados siempre es un recurso que ayuda a estimular la curiosidad del alumno.

Actualmente existe un amplio conjunto de herramientas preparadas para tales fines, aunque, últimamente, la supremacía de MATLAB [1], [2] como programa más utilizado en cálculos matemáticos de ciencias exactas e ingeniería se ha vuelto indiscutible. Esto no resulta sorprendente, puesto que, con un mínimo de conocimientos del manejo de sus funciones, es posible no sólo manipular datos y realizar cálculos precisos con relativa sencillez, sino también crear gráficos muy instructivos en muy poco tiempo.

En un trabajo anterior [3], se presentó una herramienta, codificada en MATLAB, con la que es posible representar el diagrama de radiación de una agrupación de antenas planas. Dicha herramienta ha resultado ser muy útil no sólo para la enseñanza, sino también como herramienta de diagnóstico de diseños de agrupaciones de antenas. Con ella, sin embargo, no era posible representar diagramas generados por agrupaciones conformadas (antenas cuya geometría se adapta a una superficie preestablecida, no necesariamente plana [4]), ya que no tenía en cuenta disposiciones de elementos distribuidos en el espacio y con rotaciones asociadas a ellos.

En esta comunicación se subsana dicha limitación, presentándose una herramienta capaz de representar tanto el diagrama de radiación como la configuración geométrica y eléctrica de una agrupación conformada de antenas.

II. MÉTODO

A. Radiación emitida por una agrupación conformada

Supongamos que tenemos un conjunto de N antenas en un espacio acotado, ver Fig. 1. Por sencillez consideraremos que todas ellas tienen la misma configuración geométrica y eléctrica, de tal manera que, si una cualquiera estuviese situada en el centro del sistema de coordenadas global (x,y,z), radiaría, en el punto lejano P especificado por el vector de posición R, un campo fe( , ) C, siendo C el conjunto de los números complejos. En una agrupación conformada, sin embargo, cada elemento n no sólo es desplazado hasta situarse en una posición rn, sino que además se rota, quedando asociado a él un sistema de coordenadas cartesianas local xn,yn,zn. En este nuevo estado, el campo radiado por dicho elemento en el punto P es

( ) nje n nf , e k r (1)

siendo k = (2 / )aR el vector de onda [5], y en donde representa la longitud de onda a la frecuencia de trabajo de la agrupación [el significado de las otras variables involucradas en la ecuación (1) se puede deducir de la Fig. 1]. Se observa que, por considerarse el punto P situado en campo lejano [5], los vectores R y Rn (que apuntan, virtualmente, al infinito) pueden considerarse paralelos.

Fig. 1. Representación de un elemento n de la agrupación conformada, detallándose las coordenadas global (x,y,z, derecha) y local (xn,yn,zn, izquierda) requeridas para calcular el campo radiado en el punto lejano P.

El campo complejo radiado por la agrupación se obtiene aplicando el principio de superposición:

E

( ) ( )1

n

Nj

e n n nn

F , f , I e k r

=

=å (2)

ecuación en la que, por sencillez, se desprecia el acoplo electromagnético entre elementos. Los fasores In=|In|ej n C especifican los factores de amplitud In y desfase relativo n impuestos a la señal del elemento n ésimo para obtener la distribución espacial del módulo de F( , ) más adecuada (de acuerdo al criterio del diseñador de la agrupación), medida en dB: [F( , )]dB=20log|F|.

La mayor dificultad para calcular numéricamente la ecuación (2) estriba en la obtención de los valores n y n. El método tradicional consiste en establecer, para cada elemento, tres rotaciones consecutivas hasta obtener su posición adecuada. Estas rotaciones son especificadas con sendos ángulos, denominados de Euler [6], con los cuales es posible implementar las transformaciones de coordenadas mediante multiplicaciones matriciales. En muchos casos, sin embargo, no es fácil de obtener una imagen mental clara de dichas transformaciones con estas tres rotaciones. Además, cada multiplicación matricial presupone una carga computacional adicional que ralentiza el proceso de cálculo. Como alternativa intuitiva, hemos propuesto utilizar los ángulos directores de cada eje del sistema de coordenadas local de cada elemento. Por ejemplo, el eje xn tiene asociados tres ángulos xn, xn, xn respecto de los ejes x,y,z globales, respectivamente; mientras que el eje yn tiene asociados los ángulos yn, yn, yn. Con estos ángulos es posible calcular los cosenos directores, y, consecuentemente, los vectores unitarios correspondientes. Una vez establecidos los vectores unitarios de estos dos ejes, es posible obtener el vector unitario del eje zn mediante producto vectorial. En este caso, a costa de evitar ángulos de rotaciones consecutivas con sus multiplicaciones matriciales asociadas, se han de facilitar, para cada elemento, seis ángulos directores en lugar de tres ángulos de Euler. Una vez calculados los ejes xn,yn,zn, los ángulos n y n se deducen fácilmente de la Fig. 1:

acos ; acos

con

n R zn n n xn

R Zn nn

n

cossen

a a a a

a aa (3)

B. La herramienta en MATLAB

A continuación, se describe (brevemente, por razones de espacio) el funcionamiento de la herramienta propuesta.

El programa se inicia invocándolo en la línea de comandos de MATLAB. Al iniciarse, se leen dos ficheros de entrada. En el primero de ellos se especifican las componentes de los vectores rn = ( n, n, n) de las posiciones de cada uno de los elementos, medidas en unidades de longitud de onda seguidas por las excitaciones In, en forma de amplitud |In| y fase n (medida en grados, entre 0º y 360º). Consecuentemente, el fichero de entrada tendrá dichos valores organizados en 5 columnas (rn e In) y N filas (número de elementos). En el segundo fichero se especificarán los ángulos directores de los ejes locales xn e yn de cada uno de los elementos (conteniendo, por tanto, 6 columnas y N filas).

Luego de leer esos ficheros y de almacenar los datos en memoria, el programa calculará los vectores unitarios axn y ayn (ver Fig. 1) de acuerdo a los ángulos directores, para

luego obtener, mediante producto vectorial, los vectores unitarios azn.

Posteriormente, el programa preguntará al usuario si desea que se represente la distribución espacial de los elementos. En caso afirmativo, la agrupación conformada se dibujará como un conjunto de círculos, cada uno representando un elemento en un sistema tridimensional de ejes cartesianos, en unidades .

A continuación, el programa preguntará si se desea representar la distribución de amplitud de excitación de los elementos. Si se acepta la representación, se procederá a dibujar, por cada elemento, un cono cuyo eje principal coincidirá con el eje zn de dicho elemento, y cuya altura será proporcional a la amplitud normalizada de excitación correspondiente (es decir, el programa habrá recalculado previamente las In de modo que se cumpla 0 |In| 1). El factor constante de proporcionalidad aplicado Af será un valor a establecerse en el código; así, Af=1, por ejemplo, indicará que, al representarse la distribución de amplitud orientada, las posiciones estarán medidas en unidades , y las alturas de los conos podrán variar entre 0 (para |In|=0) y (para |In|=1). En este caso, para representar las superficies cónicas ha sido necesario codificar utilizando ecuaciones paramétricas.

Una vez representados los conos orientados de amplitudes, el programa pedirá que se especifique si se desea representar la distribución de fase, esta vez mediante conos no orientados (verticales). Ante una respuesta afirmativa por parte del usuario, se procederá de modo similar a como se hizo con las amplitudes, pero representando las fases relativas entre n=0º (altura del cono igual a 0) y n=360º (altura del cono igual a ), convenientemente dimensionadas con un factor de proporcionalidad Ff.

Finalmente, el programa preguntará si se desea representar el diagrama de radiación polar tridimensional, necesitando precisarse si se elige el hemisferio espacial superior (0 90º, 0 360º) o todo el espacio (0 180º, 0 360º) para dicha representación. El patrón de radiación normalizado se representará mediante una superficie polar parametrizada. El radio de esta superficie, que dependerá de las coordenadas paramétricas y , indicará el valor de potencia, en decibelios. El número de puntos de barrido de coordenadas angulares y serán valores constantes a establecerse en el código.

Como último comentario, es necesario aclarar que la representación del diagrama polar dependerá de la función factor elemento fe( , ), el cual será definido mediante las líneas adecuadas de código adicional.

III. EJEMPLOS En esta sección se presentan varios ejemplos para

exponer los alcances y las limitaciones del código.

A. Dipolo de longitud /2 sujeto a diversas rotaciones.

Como primer ejemplo se representa el diagrama de radiación de un único dipolo de longitud /2 alineado a lo largo del eje y, con un plano de tierra (infinito) ubicado en el plano z= 0,25 . Este primer ejemplo sólo se utilizará para verificar la correcta rotación del diagrama de radiación, en concordancia con la rotación aplicada a dicho dipolo. El factor elemento en campo lejano utilizado en este caso ha

sido el especificado en [7], convenientemente adaptado (radiación nula por debajo del plano de tierra). En la Fig.2 se observan cuatro patrones. El primero de ellos (superior izquierda) corresponde al diagrama de radiación obtenido cuando el dipolo se dispone a lo largo del eje y. En este caso los ejes locales del dipolo coinciden con los ejes globales: x1=x, y1=y, z1=z, o, lo que es lo mismo, x1=0º, x1=90º,

x1=90º, y1=90º, y1=0º, y1=90º. El segundo diagrama (superior derecha) representa el patrón al rotar el dipolo (y el plano de tierra) 45º respecto del eje z, es decir, x1 = 45º, x1 = 45º, x1 = 90º, y1 = 135º, y1 = 45º, y1 = 90º. La figura inferior izquierda se obtiene rotando el plano de tierra 45º respecto del eje y (el dipolo no sufre rotación): x1=45º,

x1=90º, x1=135º, y1=90º, y1=0º, y1=90º. En la figura inferior derecha el dipolo se ha rotado 30º respecto del eje x.

Fig. 2. Radiación de un dipolo /2 con plano de tierra ubicado a una distancia h= /4. Superior izquierda: dipolo alineado a lo largo del eje y. Superior derecha: rotación del dipolo 45º respecto del eje z. Inferior izquierda: rotación del plano de tierra 45º respecto del eje y. Inferior derecha: rotación del dipolo -30º respecto del eje x.

En todas ellas, el acrónimo DPN(dB) significa Densidad de Potencia Normalizada (en decibelios). Por razones de espacio no se representan los conos indicando las orientaciones relativas al eje z1 (perpendicular al plano de tierra).

B. Agrupación cónica de dipolos con plano de tierra.

Partimos del factor elemento fe( , ) de un dipolo de longitud /2 alineado a lo largo del eje z con un plano de tierra ubicado en el plano x= 0,25 . Estos dipolos se conforman sobre una superficie cónica con radio base igual a 4 y ángulo cónico igual a 45º, de manera que sus ejes zn son tangentes al cono, y apuntando a lo largo de una línea generatriz. El plano de tierra de cada dipolo también es tangente a la superficie cónica. Al conjunto se aplica una distribución de excitación uniforme (In=1ej0º). Sobre el círculo de la base del cono se ubican 16 elementos equiespaciados. En un círculo ubicado a una altura se ubican 12 dipolos más; finalmente, se ubican 8 y 4 dipolos a unas alturas 2 y 3 , respectivamente. En la Fig. 3 se observa la distribución espacial de los dipolos, representados por círculos. La Fig.4

muestra la distribución de amplitud uniforme (|In|=1) con los pequeños conos orientados a lo largo del eje de cada dipolo.

Fig. 3. Disposición de los dipolos sobre un cono con una base de radio igual a 4 , y altura 4 (ángulo cónico igual a 45º). Cada círculo representa un dipolo.

Como n=0º para todos los elementos, no es necesario presentar la distribución de fase. En la Fig. 5 se observa el diagrama de radiación generado por esta agrupación conformada.

Fig. 4. Distribución de amplitud de los dipolos dispuestos sobre el cono indicado en la Fig. 3. Las longitudes de los conos indican las amplitudes relativas de excitación, y sus alineaciones coinciden con los de los propios dipolos.

Fig. 5. Diagrama de radiación de la agrupación conformada de 40 dipolos con plano de tierra, dispuestos sobre un cono, ver Fig. 4.

C. Agrupación cónica de parches circulares.

En este último ejemplo consideramos un factor elemento fe( , )=cos2 correspondiente a un modelo teórico simple de parche circular (radiación hacia atrás nula). Sobre la misma superficie cónica utilizada en la sección anterior (sobre la que se ubicaron los dipolos) se conforman 40 parches, con la misma distribución espacial que la dada para los dipolos, pero orientados de manera que la normal a los parches son también normales a la superficie cónica. Las excitaciones se distribuyen de la siguiente manera: los 16 parches de la base (primera fila) excitados por In=ej270º, los 12 parches de la segunda fila excitados uniformemente con In=0,75ej180º; para los 8 parches de la tercera fila In=0,50ej90º, mientras que para los de la última fila, In=0,25ej0º. La distribución espacial es la misma que la que se indicó en la Fig. 3. En las Figs. 6 y 7 se observan las distribuciones de amplitud orientada y fase no orientada respectivamente. En la Fig. 6 se ve claramente la nueva orientación de los elementos (los conos indican normales a los parches). Finalmente, en la Fig. 8 se observa el diagrama de radiación obtenido para esta configuración.

Fig. 6. Distribución de amplitud de 40 parches dispuestos de acuerdo a la Fig. 3. Las alturas de los conos indican valores de amplitud, y sus alineaciones coinciden con las normales a los parches.

Fig. 7. Distribución de fase relativa (indicada por las longitudes de los conos) de los parches distribuidos de acuerdo a la Fig. 3.

Fig. 8. Diagrama de radiación de la agrupación conformada de 40 parches dispuestos sobre un cono, ver Figs. 6 y 7.

IV. CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES La herramienta presentada resulta útil para analizar tanto

las configuraciones geométrica y electromagnética de las agrupaciones conformadas, como sus diagramas de radiación en potencia. Esta puede resultar no sólo recomendable para la enseñanza de temas relacionados, sino como herramienta de diagnóstico de inestimable valor para los diseñadores de antenas.

Una de las mejoras que podrían plantearse a la versión del programa aquí presentada es la de agregar la representación (también en forma de conos) de los ejes xn e yn, aunque probablemente esto produzca confusión en la lectura de la gráfica de distribución espacial de los elementos de la agrupación.

El código puede solicitarse gratuitamente, vía email, a cualquiera de los autores de este trabajo.

AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido financiado parcialmente por Xunta de

Galicia, Ministerio de Ciencia e Innovación, y fondos FEDER de la Unión Europea (09TIC008105PR, TEC2007 68020 C04 01, CSD2008 00010).

REFERENCIAS [1]. The MATLAB Group, Inc., �“MATLAB Function Reference: Volumes

1-2-3, Documentos pdf disponibles a través de la Ayuda de MATLAB R2008a.

[2]. The MATLAB Group, Inc., �“MATLAB: 3-D Visualization�”, Documento

pdf disponible a través de la Ayuda de MATLAB R2008a. [3]. J. C. Brégains, F. Ares, E. Moreno, "Visualizing the 3D Polar Power

Patterns and Excitations of Planar Arrays with MATLAB", IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 46, No. 2, pp. 108-112, 2004.

[4]. L. Josefsson, P. Persson, �“Conformal Array Antenna Theory and

Design�”, IEEE Press, John Wiley & Sons, 2006. [5]. C. A. Balanis, �“Antenna Theory. Analysis and Design�”, Third Edition,

Wiley Interscience, 2005.

[6]. T. Milligan, �“More Applications of Euler Rotation Angles�”, IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 41, No.4, pp. 78-83, 1999.

[7]. R. S. Elliott, �“Antenna Theory and Design�”, Revised Edition, Wiley

Interscience, 2003.