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136 Cad.Cat.Ens.Fís., v. 15, n. 2: p. 136-163, ago. 1998.

UN PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL PARA UBICAR IMÁ-GENES

Alberto Pascual MaizteguiGuillermo ChamorroJosé TiseraFacultad de Matemática, Astronomía y FísicaUniversidad Nacional de CórdobaArgentina

Resumen

La forma en que se ensenã el tema imágenes producidas por espejoso lentes es excesivamente geométrico y muy poco físico: se recurreprincipalmente a dibujos. Casi todo el esfuerzo se orienta a ubicargeométricamente la posición de la imagen, y casi nada a mirar unaimagen y a reflexionar sobre el hecho físico de cómo se forma.Lo que presentamos en esta nota no es nuevo pues son procedimientosbasados en cómo los ópticos han observado imágenes (particularmentelas imágenes reales) desde hace un par de siglos; y lo que se proponees reflexionar sobre el provecho didáctico de hacer a un lado el abusoque hemos hecho de la Geometría al enseñar Optica Geométrica, yaprovechar el valor educativo de un enfoque más físico para ense-ñarla.

I. El fenómeno de paralaje

Cuando uno observa a la distancia dos cuerpos que prácticamente están so-bre la misma recta visual, y tiene interés en determinar cuál está más cercano, o si estána una misma distancia de quien los observa, lo que se hace instintivamente es mover lacabeza de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, y comprobar si cambia o no laposición relativa de uno de los cuerpos con respecto al otro. Si cambia, no están a lamisma distancia del observador; si no cambia, ambos están prácticamente en un mismolugar a la misma distancia del observador (Fig. 1).

Tomemos como referencia el círculo blanco: si cuando el observador semueve a su izquierda ve que el círculo negro se mueve hacia la izquierda, y cuando elobservador se mueve hacia su derecha el círculo negro se mueve hacia su derecha,entonces el círculo negro está más alejado del observador que el círculo blanco.

Maiztegui, A.P. et al 137

Fig. 1

Estos movimientos para ubicar la posición de dos cuerpos, los realizamosinstintivamente, sin advertirlo, casi diariamente. Enseguida los haremos, pero reflexi-vamente (Fig. 2).

II. Cómo vemos un cuerpo pontual

Para simplificar las explicaciones, imaginemos que se trata de un cuerpopequeño que podemos representar por un punto O (inicial de objeto).

Para poder verlo es necesario que esté iluminado; es decir que una fuentede luz (una lámpara, el sol, una pared iluminada) envíe rayos de luz hacia el objeto.

También es necesario que la superficie de O desparrame, o disperse, laluz en todas direcciones (a veces no vemos una pared de espejo, o una puerta de vidrio,pues no dispersan la luz que les llega).


Fig. 2

Con esas dos condiciones, si dirigimos nuestros ojos hacia O hay rayos deluz dispersados por O, que llegan a nuestros ojos y así nos permiten ver el objeto: for-man un haz de luz cónico, con vértice en O y base en la pupila (Fig. 3).

III. Cómo vemos una imagen puntual

Cuando colocamos un espejo plano frente a un objeto puntual, y dirigimosla mirada hacia el espejo podemos ver la imagen I de O: de todos los rayos desparrama-dos por O, una parte forma un haz cónico quebrado en el espejo, que después entrapor la pupila (Fig. 4).

Para el ojo, los rayos vienen del lugar donde ve una imagen I del objeto O.Pero desde el espejo hasta I no existen rayos de luz: son prolongaciones de los rayosreflejados en el espejo y que penetran al ojo.

Como en el lugar donde se ve la imagen no existen rayos de luz, a esta ima-gen se la llama imagen virtual.


Fig. 3

IV. Qué es una imagen puntual

Observando el dibujo anterior encontraremos razonable decir que la imagenI de un punto objeto O es el punto de donde parecen provenir los rayos de luz que al ojole permiten verla.

Problema: Dado un espejo, la posición del ojo del observador y la posiciónde una imagen puntual I, (Fig. 5), dibujar uno de los rayos de luz que le permiten alobservador ver la imagen.

La solución es inmediata, porque si el ojo ve la imagen I es porque uno delos rayos reflejados en el espejo entró al ojo; y la recta de este rayo, prolongada pordetrás del espejo, llega a I (Fig. 6).

La parte del rayo reflejado desde el espejo hasta el ojo puede ser dibujada.Pero sin saber dónde está el objeto, o cuales son las leyes de la reflexión, no podemosdecir dónde está el rayo incidente.

V. Imágenes producidas por un espejo plano

Trabajaremos con un espejo plano de aproximadamente 15 cm x 20 cm,con una base adecuada para mantenerlo verticalmente, apoyado sobre una mesa hori-zontal (Fig. 7).

Una varilla (coronada por una pelotita de ping-pong y con una base que lamantiene también vertical) nos servirá como objeto; y una segunda varilla análogaayudará para ubicar la imagen de la primera, producida por el espejo.


Fig. 4

Colocamos el objeto frente al espejo, y después de observar la imagen de laprimera pelotita, colocamos la auxiliar detrás del espejo.

Ubicamos nuestros ojos de manera que el borde superior del espejo dejever sólo la mitad inferior de la imagen (Fig. 8).

Colocamos la pelotita auxiliar en un lugar tal que sólo se vea su mitad su-perior, y que esa mitad complete en la mitad inferior de la imagen, una esferita(aproximadamente).

¿Estará la pelotita auxiliar en la posición que ocupa la imagen? (Fig. 9)Desplacémonos hacia nuestra izquierda, y observemos qué ocurre con la

imagen y con la pelotita auxiliar: las dos semiesferas ya no forman una esfera. La pelo-tita auxiliar se desplazó hacia la derecha de la imagen (Fig. 10).

Desplacémonos hacia la derecha de la posición inicial: la pelotita auxiliarse desplazó hacia la izquierda de la imagen.


Fig. 5

Fig. 6

Las observaciones indican (por el fenómeno de paralaje) que la pelotitaauxiliar ha sido ubicada adelante de la posición de la imagen (o sea, más cercana alespejo) (Fig. 11).

Puesto que la pelotita auxiliar estaba más cercana al espejo que la imagen,alejamos la pelotita auxiliar intentando ponerla en la misma ubicación que la imagen.


Fig. 7

Fig. 8

Repetimos el procedimiento, moviéndonos a izquierda y derecha, y consta-tamos que al desplazarnos hacia la izquierda, la pelotita auxiliar queda a la izquierdade la imagen (Fig. 12). Si nos movemos hacia la derecha, la pelotita auxiliar se ve a laderecha de la imagen (Fig. 13). Luego, no hemos logrado colocar la pelotita auxiliar enla posición ocupada por la imagen: la hemos colocado más lejos que la imagen.

Seguimos ensayando el procedimiento, acercando y alejando la pelotitaauxiliar hasta que: moviéndonos hacia la izquierda, sin embargo las dos semiesferas (lade la imagen y la de la pelotita auxiliar) no se mueven una con respecto a la otra (Fig.14).


Fig. 9

Fig. 10 Fig. 11

Nos movemos ahora hacia la derecha pero las semiesferas no se muevenuna con respecto a la otra, hemos colocado la esferita auxiliar en la misma posición dela imagen (Fig. 15).

Mirando la mesa de trabajo desde arriba y con los ojos en el plano del espe-jo, la situación se ve como en la Fig. 16.

En la hoja de papel que está en el plano de la mesa marcamos la posicióndel objeto, la traza del espejo, y la posición de la imagen (Fig. 17).

Con una escuadra y una regla comprobamos que la imagen es simétrica delobjeto con respecto al plano del espejo (Fig. 18).


Fig. 12 Fig. 13

Fig. 14 Fig. 15

Esta hermosa fotografía, girada 90o, muestra espectacularmente la simetríade la imagen y el objeto con respecto al plano del espejo (Fig. 19).

Una ley de la reflexiónSi vemos la imagen es porque en nuestro ojo entró un rayo de luz prove-

niente del espejo, en cuya dirección está la imagen, peco detrás del espejo. La luz pare-ce venir de la imagen (Fig. 20): es el rayo reflejado.

La intersección P del espejo con la recta (ojo-imagen) es el punto de inci-dencia del rayo que partió del objeto, se reflejó en el espejo y entró al ojo: éste es elrayo incidente (Fig. 21).

Si trazamos la recta n normal al espejo en el punto de incidencia P, podre-mos comprobar la segunda ley de la reflexión:


el ángulo i del rayo incidente con la normales igual

al ángulo r del rayo reflejado con la normal

Fig. 16 Fig. 17

Fig. 18


Fig. 19

Conviene advertir que:el punto objeto O está en uno de los dos semiespacios determinados por el plano del

espejo, y el punto imagen I está en el semiespacio opuesto;la distancia desde el punto objeto al espejo es igual a la distancia desde el punto ima-

gen al espejo;la recta OI es perpendicular al plano del espejo, (Fig. 22).


Por cumplir esas tres condiciones podemos decir que el objeto y la imagemson simétricos con respecto al plano del espejo.

Esta propiedad permite ubicar rápidamente un punto imagen cuando se co-nocen el punto objeto y el espejo.

Fig. 20

Fig. 21

La imagen de un objeto extenso

De la propiedad que acabamos de establecer resulta que la imagen de uncuerpo extenso es simétrica del objeto con respecto al espejo. NO ES IGUAL: es sólosimétrica (Fig. 19). La cara que vemos cuando nos miramos en un espejo NO ESNUESTRA CARA.


Fig. 22

VI. Imágenes producidas por un espejo convexo

Para experimentar con un espejo convexo conviene elegirlo con un radio de curvatura largo (o sea poco curvado) de modo que las imágenes no estén excesivamentedistorsionadas.

La fotografía muestra a un joven de espaldas. Con su mano izquierda sos-tiene un espejo plano, y con su derecha uno convexo. Se advierte que éste produce unaimagen de menor tamaño (Fig. 23).

El procedimiento que seguiremos para explorar las propiedades de un espe-jo convexo y sus imágenes es análogo al que ya empleamos con un espejo plano. Con-viene experimentar con un riel rectilíneo o banco óptico para reconocer las posicionescon facilidad.

Colocamos un espejo cóncavo con su eje paralelo al riel, y frente a él, apo-yado sobre el riel, un objeto (una varilla o una barra vertical). Con un espejo convexoresulta más práctico trabajar con una barra objeto sin la pelotita de ping-pong (Fig.24).

Mirando hacia el espejo desde una posición apropiada, veremos la imagen.Si movemos el objeto alejándolo del espejo O, y acercándolo a él, veremos que la ima-gen también se aleja y acerca (casi como si se tratara de un espejo plano); pero ensegui-da advertiremos que cuando se aleja, lo hace más lentamente que el objeto.

La Fig. 25 describe (en forma análoga al uso de espejos planos) cómo unobservador ve una imagen puntual producida por la reflexión en un espejo convexo.


Fig. 23

Fig. 24

Disponemos los elementos de modo que la barra objeto, su imagen y la ba-rra auxiliar se vean alineados (Fig. 26).

Nos desplazamos hacia la izquierda, y la barra auxiliar se desplaza hacia laizquierda de la imagen (Fig. 27).

Nos desplazamos hacia la derecha, y la barra auxiliar se desplaza hacia laderecha de la imagen (Fig. 28).


Fig. 25

Fig. 26 Fig. 27 Fig. 28

De ahí se deduce que la barra auxiliar está más lejos del espejo que la ima-gen.

Movemos la barra auxiliar acercándola y alejándola del espejo (mientrasnos movemos oscilando a izquierda y derecha) hasta lograr que la barra objeto, la ima-gen y la barra auxiliar estén alineadas y, a pesar de las oscilaciones, la barra auxiliar yla imagen no se desplacen una con respecto a la otra: la barra auxiliar está en la ubica-ción de la imagen (Fig. 29, 30 y 31).


Fig. 29 Fig. 30 Fig. 31

Una vez señalada la posición x del objeto y la x de la imagen, elegimoscomo eje de coordenadas Ox la recta objeto/imagen; como origen, el vértice V del espe-jo; y como sentido positivo, la semirecta Vx. Así resulta que siempre x > 0 y x < 0(Fig. 32).

Si el objeto se aleja cada vez más del espejo (x crece), también la imagen se aleja (x crece); pero cuando x es muy grande (x ), la imagen se mantiene práctica-mente sin moverse en un punto especial: el foco del espejo (x = f) (Fig. 33).

Si se coloca el objeto en diversas posiciones x1, x2, x3, ..., la imagen se ubi-ca correspondientemente en las posiciones x1 , x2 , x3 , ..., y al medirlas se encuentra laley:

fxx1

'11

Ejercicio 1. Espejo convexo, de distancia focal f = -25cm. Frente al espejose coloca un objeto a x = 50cm

a) Calcular la posición x de la imagen (Fig. 34).De la fórmula y observando el dibujo para atribuir signos resulta:

501

)25(1

'1x

x = -17cm


Ejercicio 2. Un observador coloca su ojo como está indicado en la Fig. 35.Dibujar el rayo incidente y el rayo reflejado que le permiten observar la imagen.

Como el observador ve la imagen, en su ojo penetra un rayo de luz queparece provenir de la imagen. Entonces la recta que une la imagen O con el ojo,

contiene el rayo reflejado r desde el espejo hasta el ojo. Desde el espejo hasta la ima-gen, esa misma recta contiene la prolongación r del rayo reflejado (segmento a rayas).El segmento OI representa el rayo incidente.

Fig. 32

Fig. 33

VII. Los rayos principales

Del procedimiento para determinar la ubicación del foco resultan los si-guientes corolarios:


Corolario 1. Los raros paralelos al eje principal se reflejan en el espejo ydivergen; pero sus prolongaciones pasan todas por el foco (Fig. 37).

Si el objeto está en el infinito, pero fuera del eje principal (imagine una es-trella O y otra O algo más abajo), el eje secundario CO (perpendicular a la

Fig. 34superficie de la esfera por pasar por el centro C) corta al plano focal en F , foco secun-dario correspondiente a esa dirección (Fig. 38).

Fig. 35

Si, por ejemplo, miramos la imagen de la Cruz del Sur con un espejo con-vexo, la veremos más cercana, más pequeña, y los ángulos desde el ojo a las diferentesimágenes de las estrellas serán menores que cuando las miramos directamente o con unespejo plano.


Corolario 2. La reversibilidad de los caminos ópticos (si, a luz sigue uncamino por ir de un punto a otro, para volver sigue el mismo camino, pero en sentidoinverso) permite concluir que si la prolongación de un rayo incidente sobre el espejopasa por el foco, el rayo reflejado es paralelo al eje principal (Fig. 39).

Además, por definición de centro de curvatura del espejo resulta:

Corolario 3. Los rayos incidentes cuyas prolongaciones pasan por el centrode curvatura C son perpendiculares al espejo; y por eso se reflejan sobre sí mismos(Fig. 40).

Fig. 36

Fig. 37

La importancia práctica de los rayos principales es la ayuda que prestan pa-ra ubicar la posición de una imagen cuando se conoce la distancia focal de un espejo, y


la posición del objeto. O bien ubicar la posición donde se debe colocar el objeto cuando se desea obtener una imagen en una posición determinada.

Fig. 38

Fig. 39

Fig. 40


Ejercicio 3. A 8cm de un espejo convexo de distancia focal f = -10cm se coloca unobjeto. Ubicar la imagen (Fig. 41).

Fig. 41

Nota: Si el objeto está en el eje principal, está claro que los tres rayos prin-cipales se superponen y no se puede ubicar la imagen. Pero podemos dibujar un seg-mento OO y hallar la imagen O' de O: la imagen de O es el pie de la perpendicular aleje trazada por O' .

El rayo incidente 1 es paralelo al eje principal: por eso la prolongación delrayo reflejado l debe pasar por el foco F.

La prolongación del rayo incidente 2 pasa por el foco: por eso el rayo refle-jado 2 es paralelo al eje principal.

Si un observador coloca su ojo para que en él entre el rayo reflejado 1 , ve-rá venir la luz desde su prolongación. Si coloca su ojo para que entre 2 , verá venir laluz desde su prolongación. Luego, cualquiera sea su posición, la verá venir desde laintersección de l con 2 , en O , imagen de O. La imagen de O es O .

Si el observador coloca su ojo para ver O con un raro 3 cualquiera, verávenir la luz de O .

Nota. Obsérvese que (para simplificar) en el dibujo hacemos reflejar los ra-yos en el plano tangente al espejo en su vértice V: esto significa admitir que la curvatu-ra del espejo es pequeña (o que su radio es grande).

Ejercicio 4. Frente a un espejo convexo de distancia focal f = -10cm sequiere colocar un objeto O para que su imagen O se forme a 4cm detrás del espejo.¿Dónde se ha de colocar el objeto? (Fig. 42)

Otra vez recurrimos al auxilio de O , a 4 cm del espejo pero fuera del ejeprincipal. ¿Dónde estará el punto de incidencia en el espejo, del rayo que se refleja


paralelamente al eje principal? Si es un rayo reflejado de los que forman la imagen, suprolongación debe pasar por la imagen O . Entonces aquel punto de incidencia es laintersección con el espejo, de la paralela al eje que pasa por O : es el punto 1.

Fig. 42

El rayo reflejado 2 cuya prolongación pasa por la imagen O y por el focoincide en el espejo en el punto 2 de intersección con el espejo de la recta FO . El co-rrespondiente rayo incidente 2 es paralelo al eje principal.

La intersección de los rayos incidentes 1 y 2 determina la posición del obje-to O; y su proyección sobre el eje es el objeto O.

Si un observador desde una posición cualquiera mira la imagen O , la vemediante el rayo reflejado 3 , correspondiente al rayo incidente 3. La escala del dibujomuestra que x 7cm.

El cálculo indica que:

)4(1

)10(1

'111xfx

; x 7cm

VIII. Imágenes con un espejo cóncavo

Para estudiar la formación de imágenes com un espejo cóncavo resultapráctico trabajar com un fiel óptico y elegir como objeto puntual um foquito de lin-terna (Fig. 43).

Comenzamos com el objeto cerca del espejo (como es usual cuando uno semira la cara com un espejo de aumento ). Verificamos que: 1) La imagen está detrásdel espejo: por eso es virtual (como un espejo plano o uno convexo); 2) El tamaño de la imagen es mayor que el del objeto, y está derecha. (Fig. 44).

Dejamos a un lado la ubicación de este tipo de imágenes, porque el proce-dimiento de paralaje es análogo al usado com espejos planos y convexos, y lo reserva-remos para aplicarlo com imágenes reales.


Fig. 43

Fig. 44

Al alejar O del espejo se observa que O se aleja también, pero aumentandode tamaño. Pero com un espejo cóncavo ocurre algo particular que no sucede con unoplano o convexo: se llega a un lugar especial tal que cuando O está ahí, la imagenO llena todo el espejo (Fig. 45): el objeto está en el foco (Fig. 46).

Si seguimos alejando O del espejo, reaparece la imagen; pero ya no está de-trás, sino delante del espejo. Y ahora se la puede formar sobre una pantalla (esto antesno era posible) lo que significa que está formada com los rayos de luz reflejados, ellosmismos y no sus prolongaciones. Por eso se llama real a esta clase de imágenes. Ade-


más, la imagen está invertida, lejos del espejo y su tamaño es mayor que el del objeto(Fig. 47).

Fig. 45

Fig. 46

Si alejamos más el objeto del espejo veremos que hay que acercar la panta-lla para que en ella se forme la imagen; y su tamaño disminuye. (Fig. 48 y 49).

Alejando aún más O del espejo, se llega a una situación curiosa e interesan-te: para recoger la imagen en la pantalla se la debe colocar junto al objeto,


Fig. 47

Fig. 48

Fig. 49


ambos (objeto e imagen) a una misma distancia del espejo y sus tamaños son iguales(Fig. 50).

Si se aleja más aún el objeto del espejo, la imagen se acerca al espejo e esde menor tamaño que el objeto.

IX. Como ver la imagen sin usar una pantalla

Es fácil ver la imagen real cuando se forma una pantalla. Si después dehaberla visto sobre la pantalla, retiramos ésta, sabemos que la imagen está ahí, en elmismo sitio, pero no es fácil verla: pero verla es curioso e interesante.

Fig. 50

La primera condición necesaria es colocar los ojos de tal manera que enellos entrem raros reflejados después que han formado la imagen. De est manera loselementos quedan en el siguiente orden: ojos del observador/imagen u objeto/espejo(Fig. 51).


Fig. 51

La segunda condición es enfocar los ojos en la imagen; pero esto requie-re ejercitación porque lo instintivo es enfocar los ojos en el espejo, quedando asídesenfocada la imagen, y no se la ve claramente.

Para resolver este problema sugerimos: 1) Formar la imagen sobre la panta-lla; 2) Deslizar la pantalla lateralmente hasta que en su borde se forme sólo la mitad dela imagen; la otra mitad queda en el aire; 3) Colocar los ojos en el trayecto de los rayosreflejados y mirar la pantalla (Fig. 52); 4) Conservando este enfoque, retirar totalmentela pantalla. Entonces se verá la imagen como flotando en el aire . El espejo y el objetoquedan fuera de foco. (Fig. 53).

Otro procedimiento (sin pantalla) es usar paralaje: 1) Sobre el riel se colocauna barra vertical; 2) Colocando los ojos en la línea de visión ojos/barra objeto/espejo,se mueve la barra auxiliar hacia adelante y atrás, buscando la posición de su imagen(mientras se cabecea a izquierda y derecha) hasta lograr que la barra auxiliar y la ima-gen no se muevan una com respecto a la outra a pesar de las oscilaciones de la cabeza.Cuando se logra esa posición de la barra auxiliar, en esa misma posición está ubicada la imagen. Es una experiencia hermosa.


Fig. 52

Fig. 53

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