UN BREVE REPASO DE FÍSICA CLÁSICA1 Partícula clásica: su estado1. Partícula clásica: su estado

queda determinado a partir de su posición y su cantidad de movimientocantidad de movimiento.

2. Ambas variables tienen valores precisos, bien d f d d

mdefinidos en cada instante de tiempo.

3. Siempre es posible, al r v3. Siempre es posible, al

menos en principio, medir ambos valores sin perturbar apreciablemente

F

perturbar apreciablemente el sistema.

4. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la partícula la vmdF )( actúan sobre la partícula, la aplicación de la 2ª ley de Newton permite determinar su estado en cualquier

dtF )(

11

su estado en cualquier instante de tiempo, a partir de las condiciones iniciales.

La Mecánica CuánticaLa Mecánica Cuántica La Representación matemática de la La Representación matemática de la

Mecánica Cuántica se desarrolla en Mecánica Cuántica se desarrolla en espacios vectoriales lineales complejos espacios vectoriales lineales complejos p p jp p jdenominados espacios de denominados espacios de HilbertHilbert. . Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOSLos escalares son NÚMEROS COMPLEJOS Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.Los escalares son NÚMEROS COMPLEJOS.

Los elementos (vectores) de este espacio Los elementos (vectores) de este espacio ( ) p( ) pse representan mediante los “se representan mediante los “ketskets”:”:

22

I LOS POSTULADOS DE LAI LOS POSTULADOS DE LAI. LOS POSTULADOS DE LA I. LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICAMECÁNICA CUÁNTICAC C CU CC C CU C Postulado 1: La descripción del estado

á ticuántico Postulado 2: La descripción de las magnitudes

fí ifísicas Postulado 3: Resultados de las medidas. Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 5: La medida. El colapso del vector

de estado. Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.

33

Postulado 1: La descripciónPostulado 1: La descripción del estado cuántico

Cada sistema cuántico tiene asociado un espacio de Hilbert Hasociado un espacio de Hilbert H.

El estado del sistema se representa ppor un vector de H.

Sistema S Espacio de Hilbert H

44H Estado de S

Postulado 2: La descripción pde las magnitudes físicas

Cada magnitud física del sistemaCada magnitud física del sistema está representada por un operador

autoadjunto (observable)autoadjunto (observable).

Un operador autoadjunto está representado por una matriz hermítica (aquella que es igual a su traspuesta conjugada). Sus propiedades son:

1)Sus valores propios son reales.

2) En el caso no degenerado, los vectores propios forman una base del espacio de Hilbert.

55

espacio de Hilbert.

Postulado 3: Los resultados d l d dde las medidas

Cuando se mide una magnitudCuando se mide una magnitud física de un sistema cuántico, los

únicos valores que se pueden obtener son los valores propios deobtener son los valores propios de la matriz correspondiente a dicha

magnitud.

ˆ ;i i i iA a a R 66

naaa ...,..........,, 21Resultados posibles al medir:

Postulado 4:ProbabilidadesPostulado 4:Probabilidades de los resultados

La probabilidad de obtener el valor propio aid l it d A i l l d d d lde la magnitud A es igual al cuadrado del módulo del producto escalar de la función propia correspondiente a dicho autovalor, por la función de onda que representa alpor la función de onda que representa al

estado del sistema.

2( ) | | |i iP a 77

Postulado 5: La medida. ElPostulado 5: La medida. El colapso del vector de estado.

El vector de estado inmediatamenteEl vector de estado inmediatamente después de la medida es el vector

i di t l lpropio correspondiente al valor obtenido de dicha magnitud.

Se produce lo que se denomina “colapso del vector de estado”del vector de estado .

88

Supongamos n=2 (espacio de Hilbert bidimensional) Estado Estado Magnitud Observable:

V l i

A

Aaya Valores propios

Vectores propios Probabilidades:

21 aya1 2y

1 1 2 2c c 2( ) | |P a c

21 1( ) | |P a c

2 2( ) | |P a c

)(

EJEMPLO GRÁFICO (no riguroso) DEL COLAPSO:

)( t2

MEDIDA

991 1a1)( t

Vector propio 2

Aestado

De la magnitud A

Vector propio 1

De la magnitud A

Se mide la magnitud A

g

SISTEMA

Estado después de la

a

Estado después de la medida=vector propio 1

a1

Se obtiene uno de los1010

Se obtiene uno de los autovalores

Postulado 6: La ecuación de SchrödingerLa evolución temporal del vector de estado del sistema,

cuando no se producen medidas, está gobernada por la ecuación de Schrödingerla ecuación de Schrödinger

)(|ˆ)(| tHtdi )(|)(| tHtdt

i

es el observable asociado a la energía del sistema yH

Jhh 106266 34

es el observable asociado a la energía del sistema, y se denomina Hamiltoniano

cte de Planck

H

sJh .10626.6;2

34

cte de Planck.

La evolución temporal del vector de estado está caracterizada por una f ió i i ( l d d l ió i i )transformación unitaria (el operador de evolución es unitario):

0 0ˆ| ( ) ( , ) | ( )t U t t t

11110

ˆ1

0 0 0ˆ ˆ ˆ( , ) , ( , ) ( , )

t

t

i HdtU t t e U t t U t t

HSistema S Espacio de Hilbert H

E t d d S HEstado de S

Magnitud física “M” de Matriz hermíticaMagnitud física M de S

Matriz hermítica

M¿Q é d bt l di¿Qué podemos obtener al medir “M”?

Uno de los autovalores

¿Qué nos proporciona el vector de estado?

Las probabilidades de los autovaloresde estado? los autovalores

¿Cómo cambia el estado del l d d ?

Colapsa al autovector sistema en la medida? correspondiente al valor

obtenido¿Cómo evoluciona el estado ó d

1212cuando no se mide? Ecuación de

Schrödinger

Valores medios• Supongamos que realizamos un gran número de experimentos, donde se mide, siempre en el mismo estado

cuántico un observable Por ejemplo sobre un número muy grande de sistemas idénticos preparados en elcuántico, un observable. Por ejemplo, sobre un número muy grande de sistemas idénticos preparados en el mismo estado, se mide la misma magnitud.

AA ˆM medidas de la magnitud

i MN,,

22

11

vecesNavecesNa

i

PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS

,..........

vecesNa ii • PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS

1 1

( ) ; ( )n n

i ii i i i

i i

N Np a A a p a aM M

Experimental1 1i iM M

Predicciones de la Mecánica Cuántica2 2n

Postulado 42

( )i ip a 1

i ii

A a

n 2

n

13131

n

i ii

Si c

2

1i i

i

A a c

DispersiónMide cuánto se desvían del valor medio los resultados de las medidas.

22222 2)( AAAAAAAAA

Supongamos que el estado de un sistema cuántico es uno de los vectores propios correspondientes a ciertauno de los vectores propios correspondientes a cierta magnitud A. Entonces, se puede predecir con certeza que el resultado de la medida de A sobre dicho estado es el valor propio correspondiente a dicho vector propio. En esta situación, la dispersión vale cero.

j AA ˆ ˆi i iA a

2 2( ) 1j j j jp a 0)|( jiap i

14141414A los vectores propios de un observable se les denomina también autoestados

0A

ESTADOS ESTACIONARIOSÁ

El Hamiltoniano no depende SISTEMA CUÁNTICO CONSERVATIVO explícitamente del tiempo

ˆ ˆLos vectores propios y los valores propios de la energía no dependen del

HE nEnH n

)(|ˆ)(| Hdi

propios de la energía no dependen del tiempo. En este caso, los vectores propios del hamiltoniano se denominan estados estacionarios.

)()(

)(|)(| tHtdt

i nn

n cEdt

dci

ntctn

n )()( dt

tiE

nn

n

ectc

)0()(necttiE

n

n

)0()(n

)0(|)0(|)0()0()0()( 2

2

tEtEtiEtiEtiE nnn

)0,(|)0(|)0()0()0(),( 2 tEpcececectEp nnnnnn

• En un sistema cuántico conservativo, las probabilidades asociadas a los valores que se pueden obtener al medir la energía no dependen del tiempo.

• Por tanto, ni el valor medio ni la dispersión de la energía tampoco dependen del tiempo.

• Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de la energía (estado• Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de la energía (estado estacionario), sus propiedades físicas no cambiarán con el tiempo. Esto es debido a que el estado en un instante cualquiera está relacionado con el estado inicial a través de un factor de fase que no tiene relevancia física En este caso las probabilidades dede un factor de fase, que no tiene relevancia física. En este caso, las probabilidades de los autovalores de cualquier observable, son independientes del tiempo.

j)0(tiE j

)(j)0( jet )(

ˆ ;A a a R ;i i i iA a a R

2 2 2jiE t

2 2 2( , ) | ( ) | | | | | ( , 0)k k k k kp a t t e j j p a t

El Principio de incertidumbre de Heisenbergp g

El conmutador de dos operadores se define como:

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

Ó

|]ˆˆ[| BA

RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Magnitudes A y B

2|],[| BA

BA Observables ABB

Estado del sistema El producto de las desviaciones estándar asociadas a la medidas de dos observables en un estado cuántico, es mayor o igual que el módulo del valor medio del

1717

y g qconmutador de ambos observables en dicho estado, dividido por 2.

Magnitudes compatibles e incompatiblesMagnitudes A y B Operadores A

BMagnitudes Compatibles

B

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B é ádespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con

el de la tercera medida.

Magnitudes Incompatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después y en tercer lugar A el resultado de la primera medida no coincidirádespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida no coincidirá, en general, con el de la tercera medida.

Teorema de compatibilidadTeorema de compatibilidad

Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A y B son compatibles.2. Los observables asociados a dichas magnitudes

tconmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes

poseen una base común de vectores propios.poseen una base común de vectores propios.

Para Magnitudes Incompatibles:1. A y B son incompatibles2. Los observables asociados a dichas magnitudes

no conmutanno conmutan. 3. Los observables asociados a dichas magnitudes

no poseen una base común de vectores propios.

MAGNITUDES COMPATIBLES

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ Magnitudes A y B

Observables A 1) Se mide A: hay probabilidad no nula de

Bobtener a1 y de obtener a2. Supongamos que se obtiene a2

2) Inmediatamente después se mide B: se obtiene con certeza el

111

ˆ

ˆ

aA

aA

22 mide B: se obtiene con certeza el

valor b2

3) Inmediatamente después se mide de nuevo A: se obtiene con|

| antes

222 aA

111ˆ bB

mide de nuevo A: se obtiene con certeza el valor a2

. 2 2| desp

Si l l d l it d A d d i t t bié d

222

111

ˆ

bB 11

Si el valor de la magnitud A se puede predecir con certeza, también se puede predecir con certeza el valor de la magnitud B.

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, BSi se miden de forma consecutiva, y simultáneamente , primero A, B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con el de la tercera.

MAGNITUDES INCOMPATIBLES

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ 2) Se mide B

3) Se mide A

Se hacen tres medidas consecutivas y “simultáneas”:

1) Se mide A

22 22

3) Se mide A

'||

1) Se mide A

1|

1

11 11

Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces no se puede predecir con certeza el valor de la otra magnitud.

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y en tercer lugar A el resultado de la primera medida en general no coincidirá

p p g

en tercer lugar A, el resultado de la primera medida, en general, no coincidirá con el de la tercera medida.