Unidad de Formacin No. 13

Matemtica(Educacin Regular)

De la presente edicin:

Coleccin: CUADERNOS DE FORMACIN COMPLEMENTARIA

Unidad de Formacin No. 13MatemticaDocumento de Trabajo - Segunda Edicin

Coordinacin:Viceministerio de Educacin Superior de Formacin ProfesionalViceministerio de Educacin RegularDireccin General de Formacin de MaestrosInstituto de Investigaciones Pedaggicas PlurinacionalUnidad de Polticas Intraculturales, Interculturales y Plurilingue

Redaccin y Direccin:Equipo PROFOCOM

Cmo citar este documento:Ministerio de Educacin (2015). Unidad de Formacin Nro. 13 Matemtica. Cuadernos de Formacin Continua. Equipo PROFOCOM. La Paz, Bolivia.

LA VENTA DE ESTE DOCUMENTO EST PROHIBIDADenuncie al vendedor a la Direccin General de Formacin de Maestros, Telf. 2912840 - 2912841

1Matemtica

n d i c e

Presentacin ......................................................................................................... 3Introduccin ........................................................................................................... 5Objetivo Holstico ................................................................................................... 6Criterios de evaluacin ........................................................................................... 7Uso de Lengunas Originarias. ................................................................................. 7

MOMENTO 1 .......................................................................................................... 7SESIN PRESENCIAL ............................................................................................... 7

Tema 1: Matemtica y Didctica en la Diversidad Cultural ................................... 7Preguntas problematizadoras ................................................................................. 8Lectura de trabajo 1 ............................................................................................... 9Lectura de trabajo 2 ............................................................................................. 13

Tema 2: Integracin de la Matemtica en la Realidad y su Concrecin ............... 15Preguntas problematizadoras ............................................................................... 15Lectura de trabajo 1 ............................................................................................. 17Lectura de trabajo 2 ............................................................................................. 22Lectura de trabajo 3 ............................................................................................. 25

Tema 3: Matemtica, Ciencia y Tecnologa .......................................................... 27Preguntas problematizadoras ............................................................................... 27Lectura de trabajo 1 ............................................................................................. 29Lectura de trabajo 2 ............................................................................................. 32Lectura de trabajo 3 ............................................................................................. 33Lectura de trabajo 4 ............................................................................................. 36

MOMENTO 2 ........................................................................................................ 40SESIONES DE CONSTRUCCIN CRTICA Y CONCRECIN EDUCATIVA .................... 40I. ACTIVIDADES DE AUTOFORMACIN ................................................................. 40II. ACTIVIDADES DE FORMACIN COMUNITARIA ................................................. 53III. ACTIVIDADES DE CONCRECION EDUCATIVA .................................................... 54

MOMENTO 3 ........................................................................................................ 57Sesin presencial de socializacin ........................................................................ 57Producto de la Unidad de Formacin ................................................................... 57

3Matemtica

Presentacin

El Programa de Formacin Complementaria para Maestras y Maestros en EjercicioPROFOCOM es un programa que responde a la necesidad de transformar el Sistema Educativo a partir de la formacin y el aporte de las y los maestros en el marco del Modelo Educativo Sociocomuni-tario Productivo y de la Ley de la Educacin N 070 Avelino Siani - Elizardo Prez que define como objetivos de la formacin de maestras y maestros:

1. Formar profesionales crticos, reflexivos, autocrticos, propositivos, innovadores, investigadores; comprometidos con la democracia, las transformaciones sociales, la inclusin plena de todas las bolivianas y los bolivianos.

2. Desarrollar la formacin integral de la maestra y el maestro con alto nivel acadmico, en el mbito de la especialidad y el mbito pedaggico, sobre la base del conocimiento de la reali-dad, la identidad cultural y el proceso sociohistrico del pas. (Art. 33)

As entendido, el PROFOCOM busca fortalecer la formacin integral y holstica, el compromiso so-cial y la vocacin de servicio de maestras y maestros en ejercicio mediante la implementacin de procesos formativos orientados a la aplicacin del Currculo del Sistema Educativo Plurinacional, que concretice el Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo aportando en la consolidacin del Estado Plurinacional.

Este programa es desarrollado en todo el Estado Plurinacional como un proceso sistemtico y acre-ditable de formacin continua. La obtencin del grado de Licenciatura ser equivalente al otorgado por las Escuelas Superiores de Formacin de Maestras y Maestros (ESFM), articulado a la apropiacin e implementacin del Currculo Base del Sistema Educativo Plurinacional.

Son las Escuelas Superiores de Formacin de Maestras y Maestros, Unidades Acadmicas y la Uni-versidad Pedaggica las instancias de la implementacin y acreditacin del PROFOCOM, en el marco del currculo de formacin de maestras y maestros del Sistema Educativo Plurinacional, orientando todos los procesos formativos hacia una:

Formacin Descolonizadora, que busca a travs del proceso formativo lidiar contra todo tipo de discriminacin tnica, racial, social, cultural, religiosa, lingstica, poltica y econmica, para garantizar el acceso y permanencia de las y los bolivianos en el sistema educativo, promovien-

4do igualdad de oportunidades y equiparacin de condiciones a travs del conocimiento de la historia de los pueblos, de los procesos liberadores de cambio y superacin de estructuras mentales coloniales, la revalorizacin y fortalecimiento de las identidades propias y comuni-tarias, para la construccin de una nueva sociedad.

Formacin Productiva, orientada a la comprensin de la produccin como recurso pedaggico para poner en prctica los saberes y conocimientos como un medio para desarrollar cualidades y capacidades articuladas a las necesidades educativas institucionales en complementariedad con polticas estatales. La educacin productiva territorial articula a las instituciones educativas con las actividades econmicas de la comunidad y el Plan Nacional de Desarrollo.

Formacin Comunitaria, como proceso de convivencia con pertinencia y pertenencia al contexto histrico, social y cultural en que tiene lugar el proceso educativo. Esta forma de educacin mantiene el vnculo con la vida desde las dimensiones material, afectiva y espiritual, generando prcticas educativas participativas e inclusivas que se internalizan en capacidades y habilidades de accin para el beneficio comunitario. Promueve y fortalece la constitucin de Comunidades de Produccin y Transformacin Educativa (CPTE), donde sus miembros asumen la responsabilidad y corresponsabilidad de los procesos y resultados formativos.

Formacin Intracultural, Intercultural y Plurilinge, que promueve la autoafirmacin, el reconocimiento, fortalecimiento, cohesin y desarrollo de la plurinacionalidad; asimismo, la produccin de saberes y conocimientos sin distinciones jerrquicas; y el reconocimiento y desarrollo de las lenguas originarias que aporta a la intraculturalidad como una forma de des-colonizacin y a la interculturalidad estableciendo relaciones dialgicas, en el marco del diseo curricular base del Sistema Educativo Plurinacional, el Currculo Regionalizado y el Currculo Diversificado.

Este proceso permitir la autoformacin de las y los participantes en Comunidades de Produccin y Transformacin Educativa (CPTE), priorizando la reflexin, el anlisis, la investigacin desde la escuela a la comunidad, entre la escuela y la comunidad, con la escuela y la comunidad, hacia el desarrollo armnico de todas las potencialidades y capacidades, valorando y respetando sus diferencias y se-mejanzas, as como garantizado el ejercicio pleno de los derechos fundamentales de las personas y colectividades, y los derechos de la Madre Tierra en todos los mbitos de la educacin.

Se espera que esta coleccin de Cuadernos, que ahora presentamos, se constituyan en un apoyo tanto para facilitadores como para participantes, y en ellos puedan encontrar:

Los objetivos orientadores del desarrollo y la evaluacin de cada Unidad de Formacin. Los contenidos curriculares mnimos. Lineamientos metodolgicos, concretados en sugerencias de actividades y orientaciones para

la incidencia en la realidad educativa en la que se ubica cada participante.

Si bien los Cuadernos sern referencia bsica para el desarrollo de las Unidades de Formacin, cada equipo de facilitadores debe enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las actividades propuestas de acuerdo a su experiencia y a las necesidades especficas de las maestras y maestros.

Roberto Aguilar GmezMINISTRO DE EDUCACIN

5Matemtica

Introduccin

Apartir de la Unidad de Formacin N 12 se trabajan aspectos ms concretos que orientan la aplicacin del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo, a travs del desarrollo de los elementos curriculares en las reas de Saberes y Conocimientos bajo la perspectiva del sentido de los Campos de Saberes y Conocimientos.

En la presente Unidad de Formacin N 13 se contina con el desarrollo de los elementos cu-rriculares del Modelo Educativo relacionados al enfoque de las reas. Con esta finalidad, el abordaje de los conocimientos se enmarca en la metodologa desarrollada en las anteriores Unidades de Formacin que parte de la problematizacin, en este caso, del rea de saberes y conocimientos y de la propia prctica y experiencia educativa de la maestra y maestro partici-pante; el momento de la problematizacin esta complementado con lecturas de trabajo pro-puestas en cada uno de los temas (estas lecturas tienen que ser abordadas de manera crtica y reflexiva pues son instrumentos que permiten a la maestra y maestro participante generar su propia reflexin, propuestas y conclusiones, a partir de su experiencia).

Con base en estas orientaciones, las Unidades de Formacin de las reas de Saberes y Conoci-mientos estn organizadas en tres temas; en cada tema se abordan determinados conocimien-tos o contenidos del rea que se desarrollan de acuerdo a las orientaciones realizadas en el prrafo anterior. Adems la presente Unidad de Formacin plantea las orientaciones de trabajo para los momentos de la Sesin Presencial (8 horas), Sesiones de Construccin Crtica y Con-crecin Educativa (138 horas) en sus actividades de Formacin Comunitaria, Autoformacin, Concrecin Educativa; Sesin Presencial de Socializacin (4 horas) y el Producto.

Si bien las Facilitadoras y Facilitadores poseen formacin en alguna especialidad y nivel (prima-ria, secundaria o inicial), deben abordar su trabajo de manera general; por ello, deben conocer el sentido y la estructura de la Unidad de Formacin N 13 de manera que guen y orienten ade-cuadamente la realizacin de las actividades de la presente Unidad de Formacin.

Al inicio de la Sesin Presencial de 8 horas, al presentar la UF N 13, la o el Facilitador debe ex-plicar con claridad lo siguiente:

1. La importancia de trabajar a travs de la problematizacin de las reas y nuestra prctica educativa.

62. El sentido crtico con que debe abordarse las lecturas de trabajo a partir de la problemati-zacin del texto de lectura en funcin de las preguntas propuestas.

3. Las reas de saberes y conocimientos tienen que trabajarse de modo articulado respon-diendo al sentido de los Campos y al enfoque del MESCP.

La problematizacin de las reas se trabajar a travs de preguntas problematizadoras y otras actividades relacionadas a la prctica educativa de la o el maestro; problematizacin de los con-tenidos del rea para su apropiacin crtica; problematizacin de los contenidos de las reas en funcin de su vnculo con la realidad. Esta forma de abordar los conocimientos o contenidos de las reas de saberes y conocimientos debe dar lugar al debate, reflexin y discusin sobre los te-mas planteados en el desarrollo de la Unidad de Formacin y plasmarse en la prctica educativa de maestras y maestros en el desarrollo de las clases con las y los estudiantes.

Es necesario profundizar y problematizar las reas y sus contenidos desde su articulacin con las otras reas de saberes y conocimientos; por ello se plantean actividades que se orientan a esta articulacin en el Momento 2 de Concrecin Educativa.

Las lecturas de trabajo propuestas deben ser abordadas de manera crtica y problemtica; no se trata de leer de manera pasiva, repetitiva o memorstica; stas deben apoyar en la profundi-zacin del debate y discusin. No tienen la funcin de dar respuestas a las preguntas realizadas, sino, son un insumo o dispositivo para que maestras y maestros aperturen el debate y profundi-cen el anlisis de los temas abordados.

Como se ha indicado en prrafos anteriores estas lecturas deben ser cotejadas con nuestras propias prcticas y experiencias para generar conclusiones, explicaciones e interpretaciones de los temas abordados.

Con base a estas explicaciones e indicaciones metodolgicas se iniciar con el desarrollo de la presente Unidad de Formacin.

En la Sesin Presencial de 8 horas las maestras y maestros participantes trabajarn organizados por reas de Saberes y Conocimientos; en las Sesiones de Construccin Crtica y Concrecin Educativa (138 horas), ser importante trabajar en las Comunidades de Produccin y Transfor-macin Educativa y en Sesin Presencial de Socializacin (4 horas), la actividad se organizar por reas de saberes y conocimientos o por las CPTEs, segn las necesidades para un adecuado desarrollo de la sesin.

Objetivo Holstico

Profundizamos la comprensin y el anlisis crtico de la cronologa del arte europeo impregna-dos en los contenidos o conocimientos de las Artes Plsticas y Visuales en nuestros pueblos y naciones, problematizando nuestras experiencias y prcticas educativas relacionando con lectu-ras de diferentes autores, a travs del desarrollo de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo, para generar nuestras propias conclusiones que contribuyan a la transformacin de la educacin.

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Criterios de evaluacin

SABER: Profundizamos la comprensin y el anlisis crtico de la cronologa del arte europeo impregnados en los contenidos o conocimientos de las Artes Plsticas y Visuales en nuestros pueblos y naciones:

Relacin de los contenidos con los diferentes aspectos de la realidad. Explicacin de los temas desarrollados desde diferentes puntos de vista.

Utilizacin de conceptos y categoras de los temas tratados en el anlisis y reflexin de los diferentes temas.

HACER: Problematizando nuestras experiencias y prcticas educativas relacionando con lecturas de diferentes autores:

Reflexin crtica sobre su prctica educativa. Anlisis comparativo de las formas de enseanza tradicionales, las formas de enseanza

emergentes del Modelo Sociocomunitario Productivo y las lecturas realizadas. Recuperacin crtica de su experiencia como maestra o maestro.

SER: A travs del desarrollo de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo:

Colaboracin entre participantes. Respeto a la opinin de las y los dems participantes.

DECIDIR: Para generar nuestras propias conclusiones o teoras que contribuyan a latransforma-cin de la educacin:

Generacin de conclusiones emergentes de la confrontacin de la experiencia propia y las lecturas realizadas.

Explicacin adecuada de las realidades educativas practicadas de forma tradicional.

Uso de lenguas originarias

El uso de la lengua originaria debe realizarse en los tres momentos del desarrollo de la Unidad de Formacin; de acuerdo al contexto lingstico se realizarn conversaciones, preguntas, inter-cambios de opiniones, discusiones y otras acciones lingsticas aplicando la lengua originaria.

MOMENTO 1Sesin presencial (8 horas)

TEMA 1: Matemtica y Didctica en la Diversidad Cultural

En esta sesin las y los maestros participantes trabajan organizados por reas de saberes y conocimientos y realizan las siguientes actividades (Sugerimos que el participante tenga su cuaderno de apuntes para el trabajo a desarrollar).

8Preguntas problematizadoras

La o el facilitador organiza los grupos de trabajo por reas y/o Campos de saberes y cono-cimientos, proporcionando las preguntas problematizadoras. En el grupo y desde su expe-riencia responden a las preguntas problematizadoras orientadas al anlisis y reflexin. Responder en los siguientes recuadros

Cmo se expresan los saberes y conocimientos matemticos en las diferentes culturas? Describe algunas manifestaciones concretas de acuerdo al contexto de la unidad educativa.

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Tiene la Matemtica un sentido nico Universal o pueden existir otras lgicas en la com-prensin de la Matemtica? Describe algunas de ellas.

De qu manera desarrollamos una Matemtica desde nuestra propia cosmovisin?

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En el recuadro titulado formas de ensear la matemtica en las diferentes culturas, des-cribimos tres a cuatro ejemplos sobre las formas de la enseanza de la matemtica, consi-derando un determinado contenido, el contexto y la cotidianidad.

FORMAS DE ENSEAR LA MATEMTICA EN LAS DIFERENTES CULTURAS

Lectura de Trabajo

Hacia una didctica intercultural de las matemticas. Por Joachim Schroeder Pg., 192 - 196.

Plurinacional y aprendizaje de la matemtica En Amrica Latina, Experiencias y desafos. Alfonzo E. Lizarzaburu-Gustavo Zapata Soto Ediciones Morata (2001). Impreso en Espaa.

1. Introduccin

La enseanza intercultural busca fomentar el anlisis de la Diversidad Cultural y de Cmo sta se manifiesta en las diferentes culturas. La educacin intercultural toma como punto de partida del trabajo pedaggico el hecho de que vivimos en una sociedad caracterizada por la diversidad cultural, social y lingstica, diversidad que debe servir precisamente al proceso de aprendizaje.

La teora del aprendizaje intercultural afirma que se puede lograr u proceso de aprendizaje productivo mediante el anlisis de las diferencias culturales. El problema que nos ocupa ahora es analizar en qu medida esto tambin es posible en las clases de matemtica.

Por consiguiente, aqu nos ocuparemos de la relacin entre la matemtica y la cultura, una relacin que no siempre es armoniosa. Discutimos algunos enfoques en el marco de la di-dctica y sus teoras implcitas sobre la cultura. Al final formulamos una propuesta para una didctica intercultural de las matemticas y presentamos algunos ejemplos prcticos.

2. El nio, las matemticas y la cultura

Normalmente guiamos las reflexiones sobre la didctica de la matemtica tomando en con-sideracin los fundamentos que ofrece la psicologa del desarrollo del pensamiento for-

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malabstracto de los nios. Se supone que el nio debe desarrollar, a partir de una siste-matizacin de su experiencia cotidiana, los conceptos que debe manejar en el terreno de la matemtica. No hay duda de que debemos considerar el desarrollo lgico de los nios teniendo en cuenta el contexto sociocultural en el cual se produce este desarrollo. Asimis-mo, sabemos muy poco sobre el desarrollo del pensamiento formal abstracto de los nios que crecen en un contexto denominado holstico y colectivo. Y tampoco sabemos sobre el desarrollo de los nios que se encuentran al mismo tiempo en diferentes contextos sociales y culturales (por ejemplo, nios inmigrantes o refugiados), o que viven en un contexto mar-cado por una pluralidad cotidiana, como es tpico en los centros urbanos metropolitanos de toda Amrica Latina. Sabemos, s, que estos nios son algo diferentes y que viven en otra cultural; pero hasta ahora no tenemos muy claro en qu consiste esas diferencias y qu consecuencias tienen para su desarrollo.

Esto significa que, a partir de los dicho, debemos deducir que cada alumno Posee casi una cultura individual basada en una estrecha relacin con los respectivos sociales en los cuales crece.

La cultura dirige el desarrollo mental de diversas maneras: aprendemos la lengua hablada por medio de quienes estn a nuestro alrededor, organizamos nuestras operaciones con nmeros en forma congruente con el sistema de numeracin usado en nuestra cultura, clasificamos objetos, personas y acontecimientos de acuerdo a las categoras de nuestra sociedad (Carraher y Cols., 1991, pg. 149). Esto quiere decir que la cultura propia del nio se desarrolla teniendo como marco los con-ceptos y estructuras que encontramos en un contexto especifico; por ejemplo, la manera de percibir e interpretar el mundo o sus experiencias personales.

As tambin se desarrolla una cultura numrica y matemtica propia del nio, que se cons-tituye sobre las teoras especficas de los nmeros, sobre la percepcin del espacio y el tiempo, sobre la manera de comunicar numricamente en la cultura en que vive. Los nios llevan en s mismo ese elemento cultural y lo llevan al colegio. Ello dispone de una cultura matemtica propia e individual que puede ser igual a la cultura matemtica escolar pero que muchas veces es algo deferente y a veces es totalmente distinta.

Una orientacin intercultural de la enseanza de la matemtica debe tener en cuenta este proceso cultural y no solamente individual o formal del desarrollo del pensamiento lgico-abstracto de los nios. El enfoque intercultural parte justamente de esas diferencias y de la diversidad de culturas matemticas existentes entre los mismos nios.

Podemos dar los primeros pasos hacia una verdadera enseanza intercultural de la mate-mtica observando cuidadosamente las concepciones que desarrollan los nios sobre los nmeros; trabajando sobre la diversidad de los algoritmos que han aprendido y que utilizan en su vida cotidiana; evaluando las diferentes situaciones a las cuales se enfrentan los nios diariamente; aprendiendo a contar en las distintas lenguas que existen en el pas; usando consciente y correctamente las diversidades mquinas matemticas para resolver proble-mas de clculo, ya sean de tipo popular (como el clculo mental o el uso de las manso), o

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tnico-cultural (como la yupana o la taptana), o de tipo electrnico (como la calculadora y la computadora).

3. Lo propio y lo ajeno en las matemticas

La matemtica es un instrumento para percibir, describir y analizar la realidad. En la matemtica se desarrollaron diferentes mtodos con estos propsitos. La historia cultural de la matemtica nos ensea que en todas las culturas se desarrollaron sistemas de numeracin y el clculo; m-todos para efectuar y representar operaciones matemticas; sistemas de clasificacin y medicin del tiempo, el espacio y la masa. Por tanto. La matemtica aparece como un fenmeno universal para ordenar el mundo y entenderlo. As pues, encontramos un gran nmero de posibilidades de ordenar e interpretar el mundo en las diferentes culturas. Es indiscutible que existe una di-ferenciacin de la matemtica segn los espacios culturales. Existen, indudablemente, distintas posiciones que describen e interpretan este proceso de diferenciacin de la matemtica. En este sentido, encontramos dos posiciones dominantes. Sostengo que son ingenuas y, en parte, falsas.

Una posicin describe el desarrollo histrico-cultural de la matemtica mediante un modelo li-neal. La diversidad universal del pensamiento matemtico a lo largo de la historia de la matem-tica se interpreta como un proceso de permanente diferenciacin, modernizacin, perfecciona-miento y cientifizacin del clculo. En esta perspectiva, la historia de la matemtica se contar ms o menos de la siguiente manera: con la invencin de los smbolos numricos y, sobre todo con el descubrimiento del cero en la india se logr dar un paso esencial para desarrollos poste-riores. Las cifras indias fueron a parar a las universidades rabes, en donde los conocimientos matemticos tomados en la antigedad griega y egipcia se unieron con el uso de las cifras in-dias. La matemtica rabe lleg a los monasterios y universidades europeas, empezando as el desarrollo de la matemtica cientfica occidental.

Esta presentacin de la historia de la matemtica muestra, por un lado, que la disciplina se desarroll a partir de las diferentes contribuciones de distintas culturas; es decir, que se form en un proceso de intercambio cultural, integrando los desarrollos posteriores del conocimien-to matemtico. Tambin podemos decir que la historia cultural de la matemtica es la historia intercultural de las ideas matemticas. Pero el problema de esta posicin est, sobre todo, en su linealidad. En muchos currculos y libros escolares encontramos un conjunto de lecciones que llevan ttulos como: del quipu a la computadora, de las monedas concha a la tarjeta de crdito, del trueque al supermercado, etc. En estos temas se sugiere que hay un proceso de desarrollo evolutivo lineal de la matemtica y de sus recursos. Esta posicin sirvi para funda-mentar un occidentalismo exagerado. Por el contrario, consideramos que el proceso histrico e intercultural se refiere a un devenir mucho ms complejo.

La segunda posicin describe la historia de la matemtica mediante un modelo jerrquico. Acep-ta la existencia de diferentes culturas matemticas, describe y ordena esta diversidad, pero se sirve de categoras duales como, por ejemplo: matemtica tradicional frente a la matemtica moderna; matemtica simple es decir primitiva, frente a la matemtica diferenciada, etc. En este Modelo, la historia de la cultura de la matemtica se contar ms o menos como sigue: en China, Japn y la India, en la cultura maya e incaica haba sistemas de numeracin y teoras

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matemticas muy desarrolladas; en los pueblos indgenas encontramos formas simples de cl-culo y comienzos de matemtica primitiva; la matemtica que se utiliza en situaciones de la vida cotidiana moderna tiene un carcter funcional para quien lo utiliza, pero no se plantea obtener generalizaciones cientficas.

En esta posicin encontramos un marcado cientificismo, pues slo reconoce como correctay completa a la matemtica cientfica moderna, todos los otros sistemas y teoras matemticos se consideran incompletos y de grado inferior. Esta posicin se refleja en muchas tesis y prejui-cios de la didctica de la matemtica. Por ejemplo, el prejuicio segn el cual ninguna operacin matemtica compleja se puede realizar con las matemticas vernculas. Esta posicin es err-nea, como lo muestran de manera evidente los diversos sistemas bien diferenciados de medi-cin del espacio. O este otro prejuicio, segn el cual los nios no deben utilizar los dedos para contar, porque la matemtica correcta es la que utiliza el lpiz y el papel. Algunas personas se sorprendieron cuando descubrieron que los analfabetos podran contar, pues ellos crean que el aprendizaje del clculo slo era posible cuando iba unido al aprendizaje de la lectoescritura.

De este modelo jerrquico se puede concluir que en las clases de matemtica existen al mismo tiempo dos o ms culturas matemticas, una al lado de la otra, siendo sta una clsica situa-cin intercultural. Se cree explcita o implcitamente que hay una cultura correcta, es decir, una cultura ofrecida en la escuela u otros medios con estos mismos antecedentes, y que las otras culturas, aunque muy diferentes, son deficientes.

Como afirmamos previamente, considerando que ambos modelos son inadecuados para servir de fundamento a una didctica de la matemtica. Para la descripcin de este desarrollo prefe-rimos intercultural dinmico. Asimismo, estamos de acuerdo en que existe una diversidad de culturas matemticas, pero consideramos que, desde hace muchos aos y de diferentes modos, se encuentran en un fructfero proceso de intercambio. Este modelo opera con la idea el multi-culturalismo. Interpretamos el desarrollo de la diversidad de los pensamientos matemticos en la historia mundial de la humanidad como un proceso de intercambio cultural permanente, un proceso de migracin de ideas, conocimientos y procedimientos matemticos.

Actualmente se habla mucho sobre la globalizacin y olvidamos que este proceso de contacto e intercambio universal ya existe desde hace miles de aos, no solamente en el plano econmico, sino tambin en el cultural. El desarrollo del pensamiento matemtico en un proceso de inter-cambio mundial se encuentra a veces por casualidad y otras veces no. Los elementos ajenos son integrados en el propio sistema cultural o son combinados unos con otros, sern perfec-cionados y algunas veces tan slo nuevamente olvidados. Un elemento propio, es tomando, importado y algunas veces tambin robado por culturas ajenas. Las culturas matemticas no son sistemas culturales encerrados en s mismos; son dinmicos y estn abiertos a principios nuevos y ajenos. El hecho de que el intercambio intercultural de la matemtica no haya ocurrido siempre de forma armnica, sino ms bien conflictiva, no contradice la tesis, sino que la apun-tala.

Una orientacin intercultural de la enseanza de la matemtica debe tener en cuenta este pro-ceso complejo, recproco y dinmico en el plano mundial. El enfoque intercultural parte, justa-mente, de esas diferencias y dela diversidad de las culturas matemticas.

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Daremos pasos importantes hacia la enseanza de una verdadera matemtica intercultural reconstruyendo cuidadosamente la historia intercultural de las matemticas; mostrando y trabajando con la variedad de perspectivas que nos da el estudio del mismo fenmeno; ponindonos en contacto con la diversidad de conocimientos matemticos a lo largo de la historia y el todo el mundo; reconociendo y demostrando que la cultura a la cual pertene-cemos es el producto de un intercambio cultural, con elementos lingsticos, estticos y matemticos importados (trtese o no de un proceso voluntario) o implantados (si es un proceso de colonizacin o dominacin); comprendiendo que vivimos no solamente en una, sino en varias culturas matemticas, y descubriendo el universo de los nmeros.

4. Cuatro formas didcticas para el aprendizaje intercultural

El enfoque intercultural de la educacin matemtica tiende a hacer que los estudiantes pien-sen, discutan y evalen las diferencias culturales y a comparar las diversas culturas matem-ticas. Es decir: lo matemtico se asume como un problema cultural, social, econmico y po-ltico; adems, se muestra que las diferentes formas del mundo cotidiano en el que vivimos son matematizables. La enseanza de la matemtica intercultural se mueve entonces entre dos polos: las operaciones de clculo (matemtica) y el contexto sociocultural (cultura). Antes de organizar las clases es importante tener claro cul es el objetivo que se persigue. Si los alumnos deben resolver un problema matemtico, se debe tener en cuenta la diversidad de los contextos culturales; si los estudiantes deben investigar algo sobre un determinado tema, ste puede ser abordado desde el punto de vista del clculo.

A modo de orientacin, presentaremos cuatro formas didcticas distintas que es posible aplicar a la enseanza de la matemtica. Aadiendo algunos ejemplos para mostrar cmo hemos trabajado la matemtica a partir del enfoque intercultural en la escuela primaria y en capacitacin con maestros de matemtica en diferentes pases latinoamericanos (Schroe-der 1993, 1997, 1998)

Actividad

Desde nuestra experiencia, en base a las preguntas problematizadoras y la lectura presenta-da, analizamos y reflexionamos nuestra prctica pedaggica, anotando tres criterios sobre las formas de expresin numrica en la realidad.

Forma y expresiones de nociones numricas locales Expresiones numricas occidentales -

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TEMA 2: Articulacin de la Matemtica en la Realidad y su Concrecin.

Preguntas problematizadoras

Desde la experiencia educativa y organizados en grupos de trabajo, reflexionamos sobre las si-guientes preguntas problematizadoras, registrando en el recuadro las respuestas consensuadas.

Cules son los mitos de la Matemtica, su enseanza y aprendizaje?

Cmo desmitificamos la Matemtica, su enseanza y e l aprendizaje en las actividades cotidianas?

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De qu manera la Aritmtica se articula con los dems componentes de la Matemtica, para responder a las necesidades educativas?

Desde la experiencia prctica Cmo desarrollamos la Aritmtica, para solucionar las nece-sidades, problemticas y situaciones de aprendizaje cotidianas?

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Actividad 1.

En el grupo de trabajo socializamos y registramos las respuestas ms pertinentes que se orien-tan a comprender el sentido de la Integracin de la Aritmtica en la Realidad.

RESPUESTACONSENSUADA 1

RESPUESTACONSENSUADA 2

RESPUESTACONSENSUADA 3

RESPUESTACONSENSUADA 4

Lectura de trabajo

Fundamentos de la enseanza y aprendizaje de las matemticas para maestros

Autores: Juan D. Godn, Carmen Batanero y Viceng FontEdicin febrero 2013

Editorial: REPRO DIGITAL Faculta de Ciencia Granada

1. Matemtica en la sociedad.

Cuando tenemos en cuenta el tipo de matemtica que queremos ensear y la forma de llevar a cabo esta enseanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseanza:

Que los estudiantes lleguen a comprender y apreciar el papel de la matemtica en la so-ciedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicacin y el modo en que las matemtica ha contribuido a su desarrollo cientfico y tecnolgico.

Que los estudiantes comprendan y valoren la metodologa matemtica en el aprendizaje ptimo y pertinente, a travs de preguntas inteligentes, cuyas respuestas sirvan para la pro-duccin del saber y conocimiento matemtico. La clase acadmica debe ser superada paula-tinamente

2. Cmo surgen las matemticas? Algunas notas histricas

La perspectiva histrica muestra claramente que las matemticas son un conjunto de conoci-mientos en evolucin continua y que en dicha evolucin desempea a menudo un papel de

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primer orden la necesidad de resolver determinados problemas prcticos (o internos a las propias matemticas) y su interrelacin con otros conocimientos.

Ejemplo:

Los orgenes de la estadstica son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recogida de datos sobre poblacin, bienes y produccin en las civilizaciones china (aproximadamente 1000 aos a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Nmeros aparecen referencias al recuento que hacan los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que precisamente fue un censo, segn el Evangelio, lo que motiv el viaje de Jos y Mara a Beln. Los censos propiamente dichos eran ya una institucin en el siglo IV a.C. en el imperio romano. Sin embargo, muy recientemente la estadstica ha adquirido la categora de ciencia. En el siglo XVII surge la aritmtica poltica, desde la escuela alemana de Conring. Posteriormente su discpulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y anlisis de datos numricos, con fines especficos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya los elementos bsicos del mtodo estadstico. La estadstica no es una excepcin y, al igual que ella, otras ramas de las matemticas se han desarrollado como respuesta a problemas de ndole diversa:

Muchos aspectos de la geometra responden en sus orgenes histricos, a la necesidad de resolver problemas de agricultura y de arquitectura. Los diferentes sistemas de numeracin evolucionan paralelamente a la necesidad de buscar notaciones que permitan agilizar los clculos aritmticos.

La teora de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas que plantean los juegos de azar.

La matemtica constituye la forma de conocimiento sobre el que se construyen los modelos cientficos, toman parte en el proceso de modelizacin de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validacin de estos modelos. Por ejemplo, han sido clculos matem-ticos los que permitieron, mucho antes de que pudiesen ser observados, el descubrimiento de la existencia de los ltimos planetas de nuestro sistema solar.

Sin embargo, la evolucin de la matemtica no slo se ha producido por acumulacin de cono cimientos o de campos de aplicacin. Los propios conceptos matemticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo, amplindolo, precisndolo o avisndolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a segundo plano.

Ejemplos:

El clculo de probabilidades se ha transformado notablemente, una vez que se incorporaron conceptos de la teora de conjuntos en la axiomtica propuesta por Kolmogorov. Este nuevo enfoque permiti aplicar el anlisis matemtico a la probabilidad, con el consiguiente avance de la teora y sus aplicaciones en el ltimo siglo.

El clculo manual de logaritmos y funciones circulares (senos, cosenos, etc.) fue objeto de ense-anza durante muchos aos y los escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje de algoritmos relacionados con su uso. Hoy las calculadoras y ordenadores producen directamente los valores

19Matemtica

de estas funciones y el clculo manual ha desaparecido. El mismo proceso parece seguir actual- mente el clculo de races cuadradas.

3. Papel de las matemticas en la ciencia y tecnologa

Las aplicaciones matemticas tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si queremos que el estudiante valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que mostramos en la clase hagan ver, de la forma ms completa posible, el amplio campo de fenmenos que las matemticas permiten organizar.

3.1. Nuestro mundo biolgico

Dentro del campo biolgico, puede hacerse notar al estudiante que muchas de las caracte-rsticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, nmero de pulsaciones por minuto, re-cuento de hemates, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La probabili-dad permite describir estas caractersticas.

En medicina se realizan estudios epidemiolgicos de tipo estadstico. Es necesario cuantificar el estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etc.) y seguir su evolucin, mediante tablas y grficos, comparndola con los valores promedios en un sujeto sano. El modo en que se determina el recuento de glbulos rojos a partir de una muestra de sangre es un ejemplo de situaciones basadas en el razonamiento proporcional, as como en la idea de muestreo.

Cuando se hacen predicciones sobre la evolucin de la poblacin mundial o sobre la posi-bilidad de extincin de las ballenas, se estn usando modelos matemticos del crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la propagacin de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo.

Las formas, fenmenos y procesos que se dan en la naturaleza y en el proceso cultural, en toda su diversidad nos ofrecen ejemplos de muchos conceptos geomtricos, abstrados con frecuencia de la observacin de los mismos. La matemtica es una forma de la cultura como obra humana, no hay modo cultural sin proceso cultural como tampoco hay proceso cultural sin proceso productivo.

El crecimiento de los estudiantes, como desarrollo anatmico y fisiolgico, permite plantear actividades de medida y ayudar a los estudiantes a diferenciar progresivamente las diferen-tes magnitudes y a estimar cantidades de las mismas: peso, longitud, estatura, etc.

3.2. El mundo fsico

Adems del contexto biolgico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio fsico. Una necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la temperatura, la velocidad, etc. Por otra parte, las construcciones que nos rodean (edificios, carreteras,

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plazas, puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas geomtricas; su desarrollo ha precisado de clculos geomtricos y estadsticos, uso de funciones y actividades de medicin y estimacin (longitudes, superficies, volmenes, tiempos de transporte, de cons-truccin, costes, etc.)

Qu mejor fuente de ejemplos sobre fenmenos aleatorios que los meteorolgicos? La du-racin, intensidad, extensin de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas mximas y mnimas, la intensidad y direccin del viento son variables aleatorias. Tambin lo son las posibles consecuencias de estos fenmenos: el volumen de agua en un pantano, la magnitud de daos de una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasin del estudio de la estadstica y probabilidad.

3.3. El mundo social

El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio estn llenos de situaciones matemticas. Podemos cuantificar el nmero de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varan de una familia a otra, todo ello puede dar lugar a estudios numricos o estadsticos. Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del transporte pblico. Podemos estimar el tiempo o la distancia o el nmero de viajeros que usarn el autobs.

En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loteras. Acu-dimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos que hacer cola para conseguir las entradas. Cuando hacemos una pliza de seguros no sabemos si la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variacin en las cotizaciones La estadstica y probabilidad se revela como herramienta esencial en estos contextos.

3.4. El mundo poltico

El Gobierno, tanto a nivel local como nacional o de organismos internacionales, necesita tomar mltiples decisiones y para ello necesita informacin. Por este motivo la administracin pre-cisa de la elaboracin de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de poblacin hay muchas estadsticas cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno.

Los ndices de precios al consumo, las tasas de poblacin activa, emigracin-inmigracin, esta- dsticas demogrficas, produccin de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplo de razones y proporciones.

3.5. El mundo econmico

La contabilidad nacional y de las empresas, el control y previsin de procesos de produccin de bienes y servicios de todo tipo no seran posibles sin el empleo de mtodos y modelos matemticos. En la compleja economa en la que vivimos son indispensables unos conoci-

21Matemtica

mientos mnimos de matemticas financieras. Abrir una cuenta corriente, suscribir un plan de pensiones, obtener un prstamo hipotecario, etc. son ejemplos de operaciones que ne-cesitan este tipo de matemticas.

4. Matemticas en la vida cotidiana. Cultura matemtica

Uno de los fines de la educacin es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante y se ampla cada vez ms en la sociedad moderna. Cada vez ms se recono-ce el papel cultural de las matemticas y la educacin matemtica tambin tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en matemticos aficionados, tampoco se trata de capacitarlos en clculos complejos, puesto que los ordenadores hoy da resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados:

a. C a p a c id a d para interpretar y evaluar crticamente la informacin m ate m tica y lo s a ar-gumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicacin, o en su trabajo profesional.

b. Capacidad para discutir o comunicar informacin matemtica, cuando sea relevante, y competencia para resolver los problemas matemticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional.

En base a la lectura anterior, cada participante del grupo menciona una experiencia prc-tica para mostrar que la Aritmtica es aplicable a la vida real y es de fcil comprensin.

Actividad 1

Planteamos tres ejemplos, en la prctica, referidos a la manera de concretizar la Aritmtica en situaciones econmicas, polticas y otras.

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Actividad 2

Describimos y planteamos estrategias metodolgicas que posibiliten la integracin de la Aritmtica con los otros conocimientos del rea, articulada a la realidad para facilitar el aprendizaje de las y los estudiantes.

Lectura de trabajo 2

Las venas abiertas de la matemtica financiera

Autor: Al Ramn Rojas Olaya Departamento de Matemtica y Fsica Instituto Pedaggico de CaracasUniversidad Pedaggica Experimental Libertador rojasolaya@yahoo.es ; olaya902@gmail.com

Si yo, por ejemplo, le sugiero a mis alumnos que hagan la siguiente actividad: us-tedes tienen10.000 dlares y los llevan al banco, donde obtendrn 3% por concepto de intere-ses, cunto tendrn dentro de seis meses? Algunos piensan que es solamente una actividad de clculo, pero realmente esa tarea tiene que ver algo con poltica e ideologa. Es una pregunta capitalista; en tal sentido, t les suministras a tus alumnos la representacin del valor capitalista.

Yo le pregunto a ustedes: dnde est la neutralidad de la Matemtica?

Freire, 1981

La matemtica financiera constituye un complejo universo de saberes matemticos, contables y econmicos que histricamente ha fortalecido las estructuras de dominacin imperantes en la mayora de los pases del mundo. Su didctica tradicional ha transitado realidades edu-

23Matemtica

cativas poco eficientes y distorsionantes. Partiendo de estas premisas, este artculo propone el aprendizaje de la matemtica financiera desde el paradigma socio-crtico, es decir, la di-dctica crtica de la matemtica financiera. Para ello, describimos un punto de vista sobre el papel protagnico que cumple y debera cumplir la matemtica financiera y su didctica en el desarrollo de profundos procesos de concienciacin social, lo cual significa que no se debe descuidar los aspectos formativo y poltico de la matemtica (Mellin-Olsen, 1987;

Skovsmose, 1999; Freire, 1997 y Valero, 2007) para constituir elementos bsicos de la di-dctica crtica (Rodrguez Rojo, 1997; Klafki, 1986 y Schaller, 1986).

El concepto dinero es utilizado en este artculo como idea generadora de aprendizaje. De su pedagoga y didctica se tocan aristas sociolgicas, polticas, qumicas, matemticas, financie- ras, histricas, literarias, geogrficas, estadsticas, geopolticas, tnicas e internacionalistas.

Qu es la matemtica financiera?

El capitalismo ha dejado de coincidir con el progreso. En el perodo de la libre concurrencia, el aporte de la ciencia hallaba enrgico estmulo en las necesidades de la economa capita-lista. El inventor, el creador cientfico, concurran al adelanto industrial y econmico, y la industria excitaba el proceso cientfico. El rgimen del monopolio tiene distinto efecto. La industria, las finanzas, comienzan a ver un peligro en los descubrimientos cientficos. El progreso de la ciencia se convierte en un factor de inestabilidad industrial. Para defenderse de este riesgo, un trust puede tener inters en sofocar o secuestrar un descubrimiento. (Jos Carlos Maritegui, 1976)

La Matemtica, como sistema de conocimientos organizados en continua expansin, es apli-cada en casi todas las disciplinas del saber y en particular en las Ciencias Fiscales (Mehl,1964). Permite modelar la realidad y utilizar el sentido lgico para arribar a generalizaciones, a travs de la simbolizacin. En consecuencia, la asignatura Matemtica Financiera est orientada a estimular el desarrollo de destrezas y habilidades cognoscitivas que, en una fase posterior, se traducen en capacidades analticas y crticas. Desde el punto de vista matem-tico, la base de la matemtica financiera es explorar el cambio que se genera en uno o varios capitales a travs del tiempo.

La matemtica financiera, como su nombre lo indica, es la aplicacin de la Matemtica a las finanzas, centrndola en el estudio del valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. La matemtica financiera se relaciona con la contabilidad, ya que se apoya en informacin razonada generada por los registros contables; es tambin una herramienta auxiliar de la ciencia poltica, ya que es utilizada en el estudio y resolucin de problemas econmicos que tienen que ver con la sociedad, lo que auxilia a esta disciplina en la toma de decisiones de inversin, presupuesto y ajustes econmicos. La matemtica financiera tiene una aplicacin eminentemente prctica, su estudio est n-timamente ligado a la solucin de problemas de la vida cotidiana en el rea de negocios.

La importancia de la matemtica financiera radica en la teora del valor trabajo, desarrolla-da por Ricardo (1959), quien afirmaba que los precios eran consecuencia de la cantidad de

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trabajo que se necesitaba para producir un bien. Marx (1976) se sirve esta teora y otras dos fuentes, la dialctica hegeliana y la exposicin de la revolucin industrial, para realizar una genial sntesis de la teora del valor, es decir, la transformacin de la mercanca en dinero. El trabajo es la fuente de creacin de valor, dicho por Ricardo (1959) y retomado por Marx (1976). Segn esta teora, el valor slo existe objetivamente en forma de dinero.

Como apuntamos antes, la matemtica financiera es una derivacin de la matemtica apli- cada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. Llamada tambin anlisis de inversiones, administracin de inversiones o ingeniera econmica, la matemtica financiera se relaciona multidisciplinaria- mente con varias disciplinas. Contabilidad, derecho, economa, ciencias polticas, informtica, finanzas, sociologa e ingeniera.

Por todo ello, esta disciplina es eminentemente prctica y su estudio est ntimamente ligado a la solucin de problemas.

Actividad 1

Con base en nuestra experiencia educativa, mencionamos actividades que podemos plantear para la concretizacin de la Matemtica Financiera en el aula.

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Lectura de trabajo 3

El hombre que calculabaMalba Tahan

Editorial Europa Ediciones/84-7514-120-X. Madrid. 1985

CAPTULO 3

Singular aventura acerca de 35 camellos que deban ser repartidos entre tres rabes. Bere-ms Samir efecta una divisin que pareca imposible, conformando plenamente a los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transaccin.

Haca pocas horas que viajbamos sin interrupcin, cuando nos ocurri una aventura digna de ser referida, en la cual mi compaero Berems puso en prctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutan acaloradamente al lado de un lote de camellos.

Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:

No puede ser! Esto es un robo! No acepto!

El inteligente Berems trat de informarse de que se trataba.

- Somos hermanos dijo el ms viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos.Segn la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermanoHamed Namir una tercera parte, y Harim, el ms joven, una novena parte. No sabe-mos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada divisin que unopropone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio Cmo hallar latercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

- Es muy simple respondi el Hombre que calculaba-. Me encargar de hacer con jus-ticia esa divisin si me permits que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aqu nos trajo en buena hora.

Trat en ese momento de intervenir en la conversacin:

- No puedo consentir semejante locura! Cmo podramos dar trmino a nuestro viaje si nos quedramos sin nuestro camello?

- No te preocupes del resultado bagdal replic en voz baja Berems. S muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y vers, al fin, a que conclusin quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habl, que no dud ms y le entregu mi hermoso

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jamal1

, que inmediatamente junt con los 35 camellos que all estaban para ser repartidos entre los tres herederos.

- Voy, amigos mos dijo dirigindose a los tres hermanos a hacer una divisin exacta de los camellos, que ahora son 36.

Y volvindose al ms viejo de los hermanos, as le habl:

- Debas recibir, amigo mo, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirs en cambio la mi-tad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta divisin.

Dirigindose al segundo heredero continu:

- T, Hamed Namir, debas recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrs protestar, porque tambin es evidente que ganas en el cambio.

Y dijo, por fin, al ms joven:

- A ti, joven Harim Namir, que segn voluntad de tu padre debas recibir una novena par-te de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te dar una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia ser tambin evidente, por lo cual slo te resta agradecerme el resultado.

Luego continu diciendo:

- Por esta ventajosa divisin que ha favorecido a todos vosotros, tocarn 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 ca-mellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el bagdal y el otro me toca a m, por derecho, y por haber resuelto a satisfac-cin de todos, el difcil problema de la herencia

2

.

- Sois inteligente, extranjero! exclam el ms viejo de los tres hermanos. - Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.

El astuto berems - el Hombre que calculaba- tom luego posesin de uno de los ms hermo-sos jamales del grupo y me dijo, entregndome por la rienda el animal que me perteneca:

- Podrs ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para m.

Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

1 Jamal una de las muchas denominaciones que los rabes dan a los camellos.

2 Este curioso resultado proviene de ser la suma

27Matemtica

Actividad 1

Reflexionando en ambiente comunitario, elaboramos situaciones o problemas de clculo que se pueden concretizar en el aula, integrando la aritmtica y el lgebra a las situaciones de la vida cotidiana.

TEMA 3: Matemtica, Ciencia y Tecnologa

Desde nuestra propia experiencia respondemos individualmente las siguientes preguntas problematizadoras, orientadas al anlisis y reflexin.

Preguntas Problematizadoras

Cmo relacionamos la matemtica con las necesidades, potencialidades, vocaciones cien-tficas y tecnolgicas de la sociedad en comunidad?

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Cmo planteamos y desarrollamos procesos de modelizacin matemtica relacionados a las diferentes actividades de produccin?

Qu se entiende por la siguiente frase? De la realidad a la matemtica y su aplicacin en la realidad para la transformacin.

Actividad 1

En el grupo de trabajo socializamos, consensuamos y registramos las respuestas ms perti-nentes que se orientan a comprender la matemtica y su incidencia en el desarrollo de la Ciencia, Tecnologa y Produccin con pertinencia.

RESPUESTA CONSENSUADA 1 RESPUESTA CONSENSUADA 2 RESPUESTA CONSENSUADA 3

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Lectura de trabajo 1

Esencia y papel multidisciplinar de la Matemtica

Juan Luis Velsquez. Departamento de Matemticas. Universidad Autnoma de Madrid

Los matemticos suelen decir que la esencia de la Matemtica est en la belleza de los n-meros, figuras y relaciones, y hay una gran verdad en eso. Pero la fuerza motriz de la inno-vacin matemtica en los siglos pasados ha sido el deseo de entender cmo funciona la Naturaleza. Este aspecto es pocas veces mencionado.

Las matemticas son, por una parte, una disciplina intelectual autnoma, uno de los ms claros exponentes de la capacidad creativa de la mente humana. Al tiempo, han jugado un papel fundamental en la ciencia moderna y han influido en ella y han sido influidas por ella en forma esencial. Las matemticas forman, junto con el mtodo experimental, el es-quema conceptual en que se basa la ciencia moderna y en el que se apoya la tecnologa, con ntimas interacciones entre s. Sobre estas bases se gest hace casi cuatro siglos la sociedad industrial y se construye en el presente la naciente sociedad de la informacin.

He aqu planteadas muy brevemente dos concepciones que simbolizan distintas maneras de ver el gran edificio que son hoy da las matemticas. Estas opciones se reflejan en las denominaciones de Matemtica Pura y Aplicada. Pero entonces, .es que existen dos Mate-mticas diferentes? De ser ello cierto, .pueden existir o existen de hecho una sin la otra? En el presente artculo veremos que hoy como ayer ambas son caras de la misma moneda, a veces tan distintas, a veces tan semejantes. Vayamos por partes pues la cuestin interesa a la ciudadana y el caos es notable.

Una primera dimensin de las matemticas es en efecto el aspecto puro, interno o ntimo. Es natural que los matemticos profesionales tiendan a ver el conjunto desde el punto de vista del edificio en s mismo, con sus postulados, conjeturas, lemas y teoremas, con sus intuicio-nes y sus mtodos de demostracin, con sus componentes seculares: aritmtica, algebra, geometra y anlisis, y los nuevos retoos como: la estadstica, clculo de probabilidades, lgica matemtica, computacin, ...Ms aun, la matemtica es un arte que aspira a hallar y manifestar la belleza que le incumbe en forma de axiomas, teoremas y relaciones lgicas o numricas; ella atrae al investigador por su perfeccin lgica, por ser una de las muestras ms claras de la capacidad analtica de la razn humana, por imponer orden y Armona en lo que se nos apareca como caos.

Esta es la dimensin ms prxima al investigador y tiene como todo arte puro una fascina-cin que hace que los profesionales le dediquen una parte enorme y exclusiva de sus vidas. Grandes sabios han visto incluso en las matemticas un mundo de orden ms perfecto que el mundo fsico de todos los das, desde Pitgoras y Platn a Gauss. En sus fabulosos 13 libros de Los Elementos, Euclides de Alejandra (325-265 a.C.) estableci a la vez la teora y las re-glas de un juego que sigue sus pautas hoy como hace 22 siglos.

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.Es este el cuadro completo de la Matemtica? Para muchos s. Para nosotros en absoluto, pues, gracias a Dios, la Matemtica es mucho ms, hay un modo totalmente distinto de verla y de hacerla que queremos presentar. Junto al mtodo experimental son la base sobre la que se ha edificado la ciencia moderna y, en consecuencia, el desarrollo tecnolgico. Empapan hoy da todos los aspectos de la sociedad contempornea, desde la ingeniera, las finanzas las tecnologas de informacin y otros, sin olvidar el movimiento de las disciplinas sociales hacia el estatus de ciencias, que en otras palabras y con las debidas salvedades quiere decir el uso en estas disciplinas del mtodo matemtico. La Importancia practica de la matemti-ca en la ciencia es indiscutible e indiscutida a un cierto nivel, pues los protagonistas de la aventura cientfica tienen pocas dudas del valor instrumental de algunas matemticas. Una parte cuantitativamente muy importante de las matemticas que se ensenan en nuestro pas en las universidades est destinada a la formacin de ingenieros, fsicos, qumicos, inform-ticos, economistas y profesionales de otras varias disciplinas. En realidad el papel aplicado de las matemticas va mucho ms all, es ms esencial. En efecto:

a) las matemticas han jugado desde el principio un papel fundamental en la formulacin de la ciencia moderna; una teora cientfica es una teora que dispone de un modelo mate-mtico adecuado.

b) las matemticas que se pueden aplicar hoy da abarcan todos los campos de la ciencia matemtica y no algunos especiales; se trata de matemticas de todos los niveles de difi-cultad y no solo de resultados y argumentos sencillos.

c) las ciencias exigen hoy como ayer nuevos resultados de la investigacin y plantean nuevas direcciones a esta, pero el ritmo de la sociedad contempornea hace los plazos sustancial-mente ms cortos y la exigencia ms urgente.

En este artculo nos ocuparemos de exponer este aspecto en el que la matemtica es el len-guaje que se escriben las pginas de la ciencia y gracias al desarrollo del combinado ciencia y la tecnologa que ha cambiado la vida de los ciudadanos de las. Pues detrs de la prctica diaria de las ciencias fsicas y las ingenieras hay enormes cantidades de matemticas no ele-mentales; ms an, los conceptos en que se basan las teoras correspondientes son esencial-mente conceptos matemticos. En los ltimos decenios hemos visto la mate matizacin lle-gar a otras disciplinas, como la economa, muy especialmente el mercado financiero, ramas de la qumica, la biologa y la medicina, y hasta las ciencias sociales. En manos del cientfico la matemtica ha de permitir comprender a los fenmenos naturales y sociales.

Esta visin es lo que a falta de un nombre mejor llamamos Matemtica Aplicada, como un enfoque que cubre a las reas productivas, clsicas y los mtodos, que tiene hoy da espacios ms amplios con el advenimiento de la computacin cientfica y la simulacin numrica y la recuperacin de los saberes y conocimientos de nuestros pueblos. Sealemos que hay aun otras visiones complementarias de las matemticas tanto en lo instrumental y filosfico, es decir en su aspecto cultural, su importancia en la enseanza del pensamiento lgico, su importancia para comprender la realidad (las matemticas desde la viada, en la vida para vivir bien.

La matemtica es la ciencia del pensamiento lgico concreto, abstracto y simblico. Es tambin hoy da sinnimo de vultuosidad computacional, de capacidad y efectividad para

31Matemtica

procesar informacin, tan importante en el mundo que se gesta. Es por un lado el cientfico que trabaja con un trozo de papel y por otro el mundo de la modelizacin, clculo y control de procesos de produccin.

Matemtica, ciencia y tecnologa

Tres siglos transcurrieron para llenar una parte de ese ocano de verdad, ciencia y mate-mticas. Con teoras, razonamientos y experimentos han avanzado con base a la Revolucin Industrial; la sociedad del siglo XX ha cambiado respecto al siglo XVII mas radicalmente de lo que haba sucedido en los ltimos miles de aos, desde el advenimiento de las grandes civilizaciones agrcolas: las comodidades de la casa, el transporte, las comunicaciones, la salud del hombre actual reposan sobre bases desconocidas para el hombre del siglo XXVII. Empezando por G.W. Leibniz, gran filsofo y rival de Newton en la clebre y un poco tris-te disputa del clculo, una serie de brillantes matemticos (Diramos fisicomatemticos, como la familia Bernoulli, Euler, D Alembert...) explotaran las potencialidades del nuevo clculo y formularan toda clase de problemas de la mecnica: problemas de tiro, de cada de cuerpos, de movimiento de fluidos, de vibraciones mecnicas, problemas de minimiza-cin y otros.

Actividad 1

En grupos comentamos y registramos en el recuadro la importancia de la Aritmtica en su carcter multidisciplinario.

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Lectura de trabajo 2

Para qu sirve la Matemtica en la vida cotidiana? Autoras y autores: Encinas Dueas, M Consolacin, Jimnez Budia, M del Rosario, More-

no Sandoval, Francisca, Quero Guerra,Eva M, Snchez Moreno, Mxima. Universidad de Crdoba. Psicopedagoga.

Es evidente que los nios consideran como dos campos distintos e inconexos: las matemticas escolares, entendidas de forma cientfica, y las matemticas de la vida cotidiana.

Algunos contenidos matemticos son reconocidos fcilmente aplicados a la prctica, mientras que otros se prestan menos al reconocimiento o toma de conciencia.

La motivacin es mayor si les encuentran funcionalidad a los contenidos matemticos en su contexto inmediato. Por lo tanto, sera recomendable crear en los nios la necesidad de acudir a la matemtica para encontrar solucin a los problemas cotidianos.

Sera necesario replantear la secuenciacin de los contenidos matemticos en funcin de la realidad y caractersticas contextuales. Evitando la parcelacin en cuanto a su trata-miento y apostando por su encadenamiento significativo (es decir, unos contenidos lleven a otros, se parta de lo asimilado por los nios antes de comenzar a trabajar un nuevo aspecto matemtico,...).Todas estas ideas van a repercutir en la prctica educativa.

Al respecto otros autores aportan Interesantes reflexiones sobre el tema que nos ocupa: Kamil, por ejemplo, exalta la necesidad de aportar conocimientos sobre la realidad a partir de la cual el nio construir su conocimiento, establecindose necesario modificar la plani-ficacin de un da tpico en el por qu y en el cmo, haciendo hincapi en las actividades de conocimiento fsico y en los juegos de grupo.

Vasco distingue que el fallo de la matemtica moderna se debe a la falta de similitud entre el sistema conceptual de los profesores y el de los autores de los libros de texto, y el sistema conceptual de los nios. Hecho que contradice lo que la LOGSE (1/1990 del 3 de Octubre) re-gula; promulgando que el rea de matemticas acoge un valor funcional como conjunto de procedimientos para resolver problemas en diversos campos, para poner de relieve aspectos y relaciones de la realidad y para anticipar y predecir hechos y situaciones o resultados antes de que se produzcan o se observen.

Podemos destacar la lnea comn de todas estas aportaciones: la necesidad de facilitar la relacin entre matemticas escolares y cotidianas.

Si existen, pero...

Cuando seamos capaces de construir un puente entre las matemticas y la vida diaria con-seguiremos ser conscientes de esta existencia.

33Matemtica

Algunas de las vas para llegar a esta construccin son, entre otras: tcnica role playa: dra-matizaciones en clase de situaciones de la vida cotidiana en las que sea necesaria la prctica matemtica.

Responsabilidades matemticas: administracin de materia, creacin de comisiones para reparto de tareas, gestin para viaje de fin de curso,...

Partir de las aportaciones que hacen los nios de como relacionan las matemticas de la vida cotidiana en la escuela.

Abogar por este puente es una necesidad de nuestros das donde los nios cada vez se sien-ten menos motivados por el rea de matemticas.

Lectura de trabajo 3

De lo real a lo formal en MatemticaDarwin Jess Silva Alayn Universidad Pedaggica Experimental Libertador Instituto Peda-

ggico de CaracasRepblica Bolivariana de Venezuela

Es impostergable el desarrollo de una educacin matemtica vinculada a las realidades de nuestra patria latinoamericana. Para ello, se hace necesario superar la enseanza basada exclusivamente en pasos y algoritmos completamente descontextualizados y, avanzar hacia la produccin de ideas matemticas basadas en el estudio de fenmenos naturales o sociales, donde la capacidad de abstraccin es necesaria pero sin perder jams de vista la tierra firme.

La matemtica, con sus conceptos, procedimientos, tcnicas y representaciones, aporta elemen-tos para la comprensin y la transformacin de la realidad, mientras que esta misma realidad, a su vez, ofrece fenmenos naturales y sociales que permiten la produccin de ideas matemticas.

El proceso de ensear y aprender matemtica debe fundarse en metodologas formativas con base en la realidad experimental de la vida escolar y comunitaria, donde se promueva el trabajo cooperativo y en equipo, se favorezca el desarrollo de capacidades para la resolucin de proble-mas, se impulse la concepcin interdisciplinar de las ciencias, se vincule el aprendizaje con los medios de produccin material y se potencie la integracin afectiva y social de los responsables. Apoyados en lo anterior y convencidos como estamos de que la educacin venezolana debe ser transformada, presentamos nuestro trabajo, el cual esperamos sea de utilidad para nuestras (os) compaeras(os) docentes de matemtica interesadas(os) en comprender y cambiar el estado actual de la educacin matemtica en nuestros pases latinoamericanos.

Educacin, matemtica y sociedad

Por qu y para qu debe educarse a los habitantes de una nacin?, ser acaso para

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domesticarlos y hacerlos cumplir, de manera irreflexiva, cada una de las ordenes de la clase dominante?, tiene sentido un proceso educativo apartado de la vida, centrado en la palabra sin sentido y preocupado, casi exclusivamente, por los procesos econmicos?, podemos construir una patria verdaderamente democrtica con una educacin no acostumbrada al dilogo, apartada de la investigacin y sin amor por el estudio?

Las preguntas anteriores no son de sencillo abordaje, ante todo porque las respuestas que se puede ofrecer son muchas. Por lo tanto, en las lneas siguientes presentaremos lo menciona-do en distintas fuentes sobre los puntos centrales de las interrogantes anteriores.

La educacin debe permitir que el hombre y la mujer participen en los procesos de transfor-macin social; dichas transformaciones deben siempre responder a los intereses de las mayo-ras y nunca a los de las clases econmicamente dominantes e histricamente opresoras, pero sin dejar de reconocer los derechos que los miembros de estas ostentan como seres huma-nos. Para ello, es necesario avanzar hacia la formacin de un ser crtico y apto para convivir en una sociedad democrtica; para Skovsmose (1999: 16) ser crtico significa prestarle atencin a una situacin crtica, identificarla, tratar de captarla, comprenderla y reaccionar frente a ella. Ser crtico se refiere en parte a ser analtico ante cualquier situacin, pero adems, la idea de crtica est enmarcada en la necesidad de producir cambios y esclarecer las contra-dicciones presentes en nuestras sociedades. Skovsmose (1999: 11) afirma que mientras cr-tica y educacin se mantengan separadas, la segunda fcilmente puede tomar la forma de una entrega de informacin, o la funcin de socializar a la juventud dentro de la cultura existente.

La educacin debe ser el proceso mediante el cual el individuo aprenda y comprenda los va-lores y tradiciones de su cultura, para comprender su sociedad y ser capaz de transformarla. De acuerdo con Barreiro (1975, citado en Freire, 1975: 14), la alfabetizacin, y por ende toda la tarea de educar, slo ser autnticamente humanista en la medida en que procure la integracin del individuo a su realidad nacional, en la medida en que le pierda miedo a la libertad, en la medida en que pueda crear en el educando un proceso de recreacin, de bsqueda, de independencia y, a la vez, de solidaridad.

La educacin debe contribuir a alcanzar una sociedad ms democrtica y participativa, donde cada persona encuentre las condiciones y oportunidades para su liberacin. La escuela tiene que ensear a los estudiantes a practicar, apreciar y defender valores bsicos como el amor patri, la equidad, la democracia, la fraternidad y la tolerancia.

Segn Freire (1975: 92), la democracia y la educacin democrtica se fundan en la creencia del hombre, en la creencia de que ellas no slo pueden sino que deben discutir sus proble-mas, el problema de su pas, de su continente, del mundo, los problemas de su trabajo, los problemas de la propia democracia.La escuela no puede continuar maravillada por la sonoridad de la palabra, por la memori-zacin de los fragmentos, por la desvinculacin de la realidad, por la tendencia a reducir los medios de aprendizaje a formas meramente nacionales (:57), lo cual sin duda no es ms que una posicin ingenua de nuestras sociedades latinoamericanas.

35Matemtica

El ciudadano comn debe ser capaz de comprender, analizar, utilizar y transformar el or-den econmico, cultural, social, poltico, ambiental, cientfico y tecnolgico imperante en su sociedad. Pero esto es imposible si la ciencia en general y la matemtica en particular, son vistas solamente como un conjunto de ejecuciones aisladas, donde en muchos casos no se ofrece ninguna imagen, ni siquiera parcial o limitada, del mundo.

Es necesario que nuestros estudiantes al, estudiar matemticas, sientan que estn estudian- do un mundo real, donde los fenmenos sociales, polticos, econmicos y culturales son considerados al momento de indagar, experimentar, errar, discutir, maravillar, dudar, crear, aplicar, generalizar, abstraer y formalizar.

Es importante que los(as) alumnos(as) y tambin los(as) profesores(as) reconozcan que el conocimiento matemtico se puede producir a partir de actos creativos e imaginativos, vin-culados con mtodos de bsqueda cientfica. Segn De Guzmn (1993: 6), la matemtica es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el mtodo claramente predomina sobre el contenido; esta afirmacin permite vincular la enseanza de la matemtica a la resolucin de problemas, los cuales deben tener como contexto el mundo poltico, econmico y social en el cual estn inmersos los y las estudiantes.

El proceso de aprender y ensear matemticas debe estar vinculado a la vida cotidiana de los actores del proceso, lo que significa que la matemtica debe estar al servicio del entorno cultural, social, poltico, econmico y natural. los problemas del mundo real sern usados para desarrollar conceptos matemticos, luego habr ocasin de abstraer, a diferentes ni-veles, de formalizar y generalizar y volver a aplicar lo aprendido, y reinventar la matem-tica (De Lange, 1986, citado en Alsina s/f: 8).

Una educacin matemtica vinculada a la realidad, es sin duda una tarea interesante y com-pleja. El mtodo de proyectos y la modelacin son dos importantes concepciones didcticas que hacen viable el binomio matemtica-realidad.

Actividad 1

Cada participante del grupo describe desde su experiencia de la concrecin aritmtica en la actividad comercial, social, poltica y otros.

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Lectura de trabajo 4

Modelizacin MatemticaRos Sixto

Un modelo matemtico se define como una descripcin desde el punto de vista de las ma-temticas de un hecho o fenmeno del mundo real, desde el tamao de la poblacin, hasta fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o densidad. El objetivo del modelo mate-mtico es entender ampliamente el fenmeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real.

2. Formular un modelo matemtico acerca del problema, identificando variables (de pen-dientes e independientes) y estableciendo hiptesis lo suficientemente simples para tra-tarse de manera matemtica.

3. Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para llegar a conclusiones matemticas.

4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son dife-rentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemtico no es completamente exacto con pro-blemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealizacin.

Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarn en los prrafos siguientes, tanto algebraicamente como grficamente.

Qu es un modelo matemtico?

Es una representacin de la realidad, una expresin simplificada y generalizada de las carac-tersticas de una situacin, fenmeno, objeto y sistema del mundo real. Es una abstraccin de la realidad la cual se expresa mediante palabras, nmeros, smbolos especiales, diagra-mas, conos, grficas y semejanzas en cuanto a apariencias o comportamiento entre modelo y la realidad modelada, y se emplea para obtener una imagen conceptual que reduzca la variedad y la complejidad del mundo real a un nivel que podamos entender y especificar.

Qu es modelizacin?

Concretamente la modelizacin es un proceso mental que conduce a convertir un problema opaco de la realidad en un problema clarificado matemtico, de modo que resolviendo ste se consiga una solucin o al menos un buen conocimiento del primero. La modelizacin es una nueva visin de la matemtica ligada a la vida cotidiana y con ms nfasis en el significa-do que en las tcnicas. La humanidad hace tiempo que busca, mejores maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar a

37Matemtica

la larga bsqueda de fuentes ms efectivas de alimentos al comienzo y luego de materia-les, energa y manejo del entorno fsico. Sin embargo relativamente tarde en la historia de la humanidad comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuan-titativa, primero en palabras y despus en notaciones simblicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales era la bsqueda de lo mejor o lo ptimo.

Modelacin matemticaD Ambrosio (1985)

Una forma de esquematizar el proceso de modelacin planteado por D Ambrosio (1985), se puede evidenciar en el grfico que presentamos a continuacin:

FUENTE: DAmbrosio (1985)

El esquema expuesto en este grfico est diseado de tal manera que se comience con un problema que provenga de la realidad. La experiencia educativa de un(a) alumno(a) estar in-completa mientras no tenga ocasin de resolver problemas que estn vinculados con su locali-dad, regin o pas y que, adems, sean de inters para la comunidad. En un primer momento, es normal que exista un enunciado vago de lo que se quiere, ser a partir del anlisis y de la investigacin de los elementos vinculados con la situacin real que se enunciar el problema con todo detalle.

Las situaciones realistas deben contener informaciones ricas en contenidos para las y los estudiantes, incluir diversas interrogantes, incorporar diferentes reas del conocimiento cientfico y permitir el tratamiento de amplios y variados contenidos matemticos.

Las situaciones problemticas prcticas tomadas de la realidad siempre deben ser mostradas en forma de tareas verbales.

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Los estudiantes deben construir el modelo matemtico de la tarea expresada de forma verbal. No es lo mismo contar desde el principio con el modelo, que elaborarlo. La misin de construc-cin no es sencilla. En este momento, lo que se realiza es la sustitucin de palabras por smbo-los propios de la especificidad matemtica (ecuaciones, inecuaciones, relaciones, funciones, etc.). Fortuny y Gmez (2002: 9) mencionan al respecto lo siguiente: De esta forma se consigue una formulacin matemtica del problema y, de una manera natural, se establece el problema en trminos matemticos.

Normalmente, los estudiantes tienen problemas para resolver modelos matemticos (Fortuny y Gmez, 2002; Orellana, 2004). Es preciso resolver el modelo usando las herramientas ade-cuadas. Por ello, es importante autoregular y controlar las decisiones globales referidas a la implementacin de recursos y estrategias.

Resulta importante que el estudiante se d cuenta de que, para llegar a resolver un problema usual de su mbito social, necesita del aprendizaje de conceptos, trminos, definiciones, proce-dimientos y algoritmos propios del saber matemtico que proporcionen respuestas al modelo establecido. De esta manera, el alumno alcanza un grado fuertemente elevado de inters por el aprendizaje de las matemticas, ya que visualiza su utilidad (Fortuny y Gmez, 2002:

9). Un estudiante motivado estar en condiciones de empezar a desarrollar su independencia cognitiva. Es importante acotar que, en este trabajo, el desarrollo de procesos mentales es entendido principal, aunque no exclusivamente, como un medio para la compresin y trans-formacin de las estructuras sociales en crisis.

Por ltimo, es necesario interpretar y reescribir los resultados numricos obtenidos en tr-minos del problema propuesto y, tambin, saber escoger, si hay diferentes soluciones, la ms adecuada al problema real inicial.

Modelizacin y resolucin de problemas

El dar un papel primordial a la resolucin de problemas y a la actividad de modelizacin tiene importantes repercusiones desde el punto de vista educativo. Sera cuanto menos contra-dictorio con la gnesis histrica de las matemticas, al igual que con sus aplicaciones actuales, presentar las matemticas a los alumnos como algo cerrado, completo y alejado de la realidad. Debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemticos en su origen proporciona la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemticos. J. D. Godino, C. Batanero y V. Font

1. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado ay se quiere hacer una caja sin tapa recor-tando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver fig.). Exprese el volumen de la caja en funcin del lado del cuadrado recortado.

39Matemtica

Solucin.Volumen de la caja = rea de la base x altura

V(x) = (a 2x)2. x

V(x) = 4x3 4ax2 + a2x;

Desde el punto de vista de la enseanza de las matemticas, las reflexiones anteriores deben concretarse a la edad y conocimientos de los alumnos. No podemos proponer los mismos problemas a un matemtico, a un adulto, a un adolescente o a un nio, porque sus necesidades son diferentes.

Hay que tener claro que la realidad de los alumnos incluye su propia percepcin del entorno fsico y social y componentes imaginadas y ldicas que despiertan su inters en mayor medi-da que pueden hacerlo las situaciones reales que interesan al adulto.

En consecuencia, la activacin del conocimiento matemtico mediante la resolucin de pro-blemas reales no se consigue trasvasando de forma mecnica situaciones reales, aunque sean muy pertinentes y significativas para el adulto, ya que stas pueden no interesar a los alumnos.

Actividad A

En base a la lectura anterior, cada participante del grupo menciona una experiencia prctica de modelizacin para mostrar que la matemtica es aplicable en la vida real.

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MOMENTO 2

SESIONES DE CONSTRUCCN CRTICA Y CONCRECIN EDUCATIVA (138 Horas)

En este momento de formacin es importante trabajar en las Comunidades de Produccin y Transformacin Educativa (CPTEs). A l corresponden las actividades de Formacin Comu-nitaria, de Autoformacin y las de Concrecin educativa.

I. ACTIVIDADES DE AUTOFORMACIN

En la autoformacin cada maestra o maestro desarrolla procesos de reflexin sobre su forma-cin. Se sugiere realizar acciones que vayan en favor de ese cometido; para ello, se toman las lecturas complementarias orientadas a los tres temas tratados en la presente, se sugiere una actividad (compilar material bibliogrfico para el rea), una lectura obligatoria y sobre ellos se proponen desarrollar varias actividades:

Lectura obligatoria del rea:

El hombre que calculabaMalba Tahan. Editorial Europa Ediciones/84-7514-120-X. Madrid. 1985

Lecturas complementarias al tema 1.

Los conocimientos matemticos en las culturas indgenas Comunidad, Escuela y Currculo

Autor: Lus Montaluisa Ch.Material de apoya para la formacin docente en educacin intercultural bilinge Santiago de Chile,

1988. UNESCO, 1993 la Paz, Bolivia

Las primeras ideas desarrolladas en el campo matemtico han sido la cantidad, la proporcin, la agrupacin, el aumento, la disminucin, la repeticin, la distribucin. A partir de ellas, se han tomado las medidas del tiempo, del espacio y de la masa.

Segn las circunstancias que le ha tocado vivir, cada cultura, hemos ha ido creando trminos para designar estos elementos de las matemticas. Como ejemplo de la manera especfica de organizar las cantidades, se analizar el sistema de numeracin o la forma de numerar de algunas culturas. Ello mostrar que algunos pueblos slo han requerido contar hasta veinte o menos, mientras que otros han llegado hasta millones.

41Matemtica

Despus, se presentarn algunos instrumentos utilizados por los indgenas para el clculo, la manera de calcular de los analfabetos y el reto que representa la enseanza de las matem-ticas en la educacin bilinge.

Sistemas de numeracin

Toda cultura ha desarrollado un sistema para cuantificar y medir los elementos importantes para ella.

En lo que respecta a los nmeros, los pueblos indgenas han elaborado sus sistemas de nu-meracin desde tiempos muy antiguos. Para ello, han creado palabras para cada nmero, o se han ayudado con las manos, con los pies y con el concepto de veces.

Hay culturas que han tenido un sistema numrico de base 10 (decimal) como la quechua; otras que han tenido un sistema de base 20 (vigesimal), como la maya; otras que han combi-nado varios sistemas tomando como referencia el cuerpo humano.

Es muy importante empezar a reflexionar cmo los nmeros se expresan en la lengua, para descubrir el sistema que los sustenta y as desarrollar un programa de enseanza de las ma-temticas ms adecuado.

Para ampliar la visin sobre las diferentes maneras de numeracin, se darn a continuacin varios ejemplos extrados de diferentes culturas.

Empezaremos con los nmeros de 1 a 10 en la lengua candoshi, pueblo indgena de la Ama-zonia peruana, en la lengua quechua del Ecuador y en castellano.

CANDOSHI QUECHUA (Ecuador) CASTELLANO

1 minamta

2 tsibono

3 tochpa

4 iponponaro

5 zamiatpata

6 minammatayaro

7 tsibonmatayaro

8 tochipmatayaro9 iponponaromatayaro

10 chunka o koviziptaro

shuc ishcaiquimsa chuscu pichcasucta canchis pusaciscun

chunca

uno dos trescuatro cincoSeis

siete

ocho

nueve

diez

Si analizamos los nmeros de 1 a 10 de cada lengua, podemos notar 10 siguiente: el que-chua y el castellano tienen una palabra diferente para cada nmero, mientras que el candoshi llega hasta 5, despus vuelve a repetir los nmeros 1 - 2 - 3 - 4 aadiendo la pala-bra matayaro.

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Tambin se observa que el candoshi utiliza para el nmero 10 un prstamo de la lengua que-chua, u otra expresin que significa con todos los dedos de las manos.

La numeracin maya es un sistema vigesima1, cuya base se refiere al mismo hom-bre. El nmero ve i nte re s u l ta del conteo de los 20 de dos que tiene el hombre; p o d e m o s decir entonces, que es la base cientfica de la numeracin maya, porque e n la mayora de los idiomas mayas, hombre se dice winaq y el nmero veinte se dice winaq tambin.

En maya se usan tres signos:

- El punto ( . ) significa la cabeza del hombre, cuyo valor numrico es: 1 - El cero significa el tronco, siendo el centro el ombligo. Su valor numrico es: cero - El guin ( - ) significa las extremidades del hombre. Su valor numrico es: 5 - En la numeracin maya se hace uso de la posicin para el valor relativo.

De all que tenemos unidades, veintenas, cuatro centenas, la escala de 8.000 etc. Las unida-des son:

Como podemos notar, la lengua aimara, presente en Bolivia, Per y Chile, presenta algunos trminos que son similares a los del quechua (tres, cinco, seis y diez).

AYMARA (Bolivia) QUECHUA (Bolivia) WAO (Ecuador) CHACHI (Ecuador)1 maya uj Aruke Main

2 paya iskay mea Pallu

3 kimsa kinsa Meagoaruke Pema

4 pusi tawa Meagomea taapallu

5 phisqa phishqa Emenpuke manda

6 suxta suqta Emenpukegoaruke manchismain

7 paqallqu qanchis Emenpukegomea manchispallu

8 kimsaqallqu pusaq emenpukemeagoaruke manchispema

9 11atanka jisqun Emenpukemeagomea manchistaapallu

10 tunka chunka Tipenpuke Paitya

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