u1 s7 integrales dobles 1

INGENIERA CIVIL MATEMTICA II

Daniel Arteaga Blas

MATEMTICA II

INTEGRALES DOBLES


Logros de la sesin

Al terminar la sesin de aprendizaje debers ser capaz de:

1. Utilizar las integrales en el clculo de reas de regiones

planas y volmenes de solidos.


Recordar:

Tcnicas de integracin

Integral definida

Grafica de funciones

Integrales dobles


i i iA x y

V ( , )i i i if x y A

INTEGRAL DOBLE


1

Volumen ( , )n

i i i

i

f x y A

01

Volumen= lim ( , )n

i i i

i

f x y A

INTEGRAL DOBLE


INTEGRALES DOBLES

Si f est definida en una regin R del plano xy, la integral doble de f sobre R

se define como

Supuesto que exista ese lmite, en cuyo caso se dice que f es integrable

sobre R

01

( , ) lim ( , )n

i i i iiR

f x y dA f x y x y

DEFINICIN


NOTA: Si f es continua tal que f(x, y) 0 para todo (x, y) R . Entonces la

integral doble representa el volumen del slido bajo la superficie z = f(x,y) y

sobre la regin R del plano xy.

( , )

R

V f x y dA

Regin R

z = f(x,y)


Sean f y g continuas en una regin D del plano xy, cerrada y acotada, y sea c

una constante

si

PROPIEDADES

D D

c.f(x,y).dA = c f(x,y).d 1) A

D D D

[f(x,y) + g(x,y)].dA = f(x,y).dA+ g(x,y).dA 2)

D D

f(x,y).dA g(x,y).dA 3) f(x,y) g(x,y) (x,y) D

1 2D D D

f(x,y).dA= f(x,y).dA+ f(x,y).dA4) donde 1 2D D D


La integral doble de f sobre la regin R, est dada por el valor comn de las dos integrales iteradas.

Donde a, b, c y d son los lmites de integracin de la regin R.

Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.

CLCULO DE INTEGRALES DOBLES

( , ) ( , ) ( , )

d b b d

R c a a c

f x y dA f x y dxdy f x y dydx


LMITES DE INTEGRACIN

Secciones transversales verticales: La regin R est limitada por lasgrficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por

R: a x b , g1(x) y g2(x)

y = g1(x)

y = g2(x)

a b

R

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

g xb

R a g x

f x y dA f x y dydx


LMITES DE INTEGRACIN

Secciones transversales horizontales: La regin R est limitada por lasgrficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por

R: c y d , h1(y) x h2(y)

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

h yd

R c h y

f x y dA f x y dxdy

x = h1(x)

x = h2(x)

c

d

R


Ejemplo 1

Calcular 2 2(4 2 )

R

x y dA Siendo R la regin dada por 0 1, 0 1x y


Ejemplo 2

Hallar el volumen de la regin slida R que est limitada por la superficie2

( , ) xf x y e y los planos 0, y 1.y y x x


Ejemplo 3

Hallar el volumen de la regin slida R limitada superiormente por el

paraboloide2 21z x y e inferiormente por el plano 1z y


( x, y )

(u,v )

u

v

x

y

x X( u,v )T :

y Y( u,v )

D E

fT R

CAMBIO DE VARIABLE


CAMBIO DE VARIABLE

Sea y sea2 2( , ) ( , )

:x y z f x y

f E R R

2 2( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))

:u v T u v x u v y u v

T D R R

Si es integrable sobre , entonces la funcin

es integrable sobre , y:

( , )f x y E ( , )f T u v

D

( , ) [ ( , ), ( , )] ( , )E D

f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv

donde( , )

( , )( , )

x x

x y u vJ u v

y yu v

u v

Es llamado Jacobiano


Ejemplo 1

Utilizando un cambio de variable apropiado, calcular la integral:E

xdxdy

donde E es la regin limitada por las curvas 2 2, 2x y x y y 2

2 2x y y


Ejemplo 2

Usando la transformacin1 1

0 0

y

x yxe dydx

calcular,x y u y uv


COORDENADAS POLARES

Si2 2

:T D R R Es una transformacin definida por

cos

sin

x r

y r

con

0

2

r

Donde: ( , )J x y r es el valor absoluto del Jacobiano y ( , )f x y

es una funcin de clase C1 definida en la regin E, entonces

( , ) ( cos , sin )

E D

f x y dxdy f r y rdrd


0r

2

4

T( r , 4 )

r 0T( r , )

Y

X

COORDENADAS POLARES


Encontrando los lmites de integracinen coordenadas polares

ESTRUCTURA MS USADA

2

1

r ( )

D r ( )

f ( r , )dA f ( r , )r drd


EJEMPLO 1

Calcular arctan

E

ydxdy

x

Donde la regin es: 2 2( , ) / 1 9, 33

xE x y x y y x


EJEMPLO 2

Calcular2 2

16

R

x y dydx

Si R es la regin limitada por la grafica de la ecuacin 2 2 4 0x y y


EJEMPLO 3

Calcular2

2 22 4

0 0

x x ye dydx


Plantear la integral si la regin de integracin es la regin exterior a la

cardioide y el crculo

R

1r 1 cos

12

1 cos

2

f ( r , )r dr d

r 2

1

EJEMPLO 4

u1 s7 integrales dobles 1

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