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Unidad No. 1: Funciones 1

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Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i

Página web: http://acgandolf i .w ix.com/matematica

Unidad No. 1

Funciones I

Nombre: ………………………….………………

5to. Año 2020

C a s a S a l e s i a n a

J u a n S e g u n d o F e r n á n d e z

Casa Salesiana León XIII 4to. Año Técnico


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CJSF 5to. Año 2020


Pág. 1

: / ( )f A B y f x

Nombre de la función

Relación entre las dos variables

Dominio

Codominio

Unidad 1: Funciones I

Repaso Funciones:

Una función “f” de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento del primer conjunto ( x A ) uno y solo un elemento del segundo conjunto ( y B ), llamado Imagen de x, y se escribe

Al decir uno y solo uno queremos decir que:

Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. (propiedad de existencia)

La imagen de cada elemento del primer conjunto debe ser única. ES decir ningún elemento del dominio debe tener más de una imagen. (propiedad de unicidad)

Dominio: Son todos los elementos del primer conjunto que tienen imagen . En el caso de una función es el primer conjunto.

Conjunto imagen: Es el formado por todos los elementos del segundo conjunto B que son imagen de algún elemento del dominio.

Análisis de funciones;

Raíces o ceros de una función 0C :

Los ceros o raíces de una función son aquellos

valores del dominio cuya imagen es cero.

Gráficamente: son todos los puntos donde la función corta al eje de abscisas

Analíticamente: los podemos calcular resolviendo la siguiente ecuación: 0f x .

Conjunto de positividad (negatividad) ;C C : Se denomina así al formado por

los puntos del dominio que tienen imagen mayor que cero (menor que cero).

Analíticamente los podemos calcular resolviendo las siguientes inecuaciones: 0f x

o 0f x

Intersección con el eje de ordenadas: Es el punto donde la función corta al eje de ordenadas.

Analíticamente se obtiene calculando la imagen de 0, es decir corresponde al par 0; 0f

Intervalos de crecimiento (decrecimiento) ;I I : Es un subconjunto del

dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores (menores) de la variable dependiente.

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1. Dados los siguientes gráficos de funciones, se pide su análisis: a.

Calcular analíticamente C0, C+ y C-

b.

Calcular analíticamente C0

c.


0

:

Im:

:

:

:

:

:

:

Dom

C

C

C

I

I

eje ord

0

:

Im:

:

:

:

:

:

:

Dom

C

C

C

I

I

eje ord

0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

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f

d.


Función lineal

Fórmula : /f f x mx b Forma Factorizada: : bf x m x

m

Pendiente: Gráficamente muestra la inclinación de la recta (si m es positiva, la recta crece; si m es negativa la recta decrece y si m es nula la recta se mantiene constante)

1 0

1 0

y y ym

x x x

Muestra el incremento de la variable dependiente ( y) , con respecto a un

incremento de la variable independiente ( x).

Ordenada al origen: b (indica la intersección con el eje de ordenadas)

Rectas paralelas: Si tienen igual pendiente.

Rectas perpendiculares: Si tiene sus pendientes opuestas e inversas. ( Forman un ángulo de 90º)

Intersección entre dos rectas: Sistema de ecuaciones

método de igualaciónmétodo de sumas y restasmétodo de sustituciónmétodo de determinantes

¿Cómo encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos?

Si nos presentan un gráfico, tendremos que encontrar la pendiente y la ordenada al origen.

Para calcular la pendiente, determinamos cual es el incremento de un punto a otro.

x y

-3 2

1 3

x y

0

: Im:: :: :

: :

DomC CC II eje ord

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Por ahora la formula está dada por: Para calcular la ordenada al origen, (la imagen de cero) podemos generar una ecuación, reemplazando en

la fórmula algún “punto seguro”, por ejemplo ;

2. Hallen analíticamente la ecuación que corresponde a cada recta: a.

b.

3. Representen en un sistema de ejes, sin tabla de valores las siguientes funciones. (teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada al origen) y completar analíticamente el conjunto de ceros y la forma factorizada:

a. : / ( ) 3 3g g x x

ImDom

0CCC

II

ejeod

Forma factorizada:

La ecuación de la recta buscada es:

f x

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b. : / ( ) 2 1h h x x

Función cuadrática

Eje de simetría:

21bx

2a 2x x

Vértice:

b bV ,f2a 2a

Raíces: 2

21b b 4acx ;x 2a

Intersección con el eje de ordenadas:

0,c

4. Indicar cuál de las siguientes fórmulas hay que usar la fórmula de Bhaskara y en cuáles no es necesario. Calcular las raíces y la concavidad:

a. 24 16f x x

b. 24 3f x x x

Forma Polinómica 2( )f x ax bx c

2( ) 2 3f x x x

Forma Factorizada 1 2( ) ( )f x a x x x x

( ) 1. 1 ( 3)f x x x

Forma Canónica

2( ) v vf x a x x y

2( ) 1 4f x x

ImDom

0CCC

II

ejeod

Forma factorizada:

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c. 3 2 4f x x x d. 22 1f x x

e. 22 53f x x x

f. 2 42f x x x

5. Grafica las siguientes funciones cuadráticas encontrando:

a. 2: / 2 53f f x x x

b. 2: / 42f f x x x

0:/ :

Im

CDom Eje deSVértice C

CI FFI FC

ejeod FP

0:/ :

Im

CDom Eje deSVértice C

CI FFI FC

ejeod FP

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Pág. 7

3 ‐15 24 ‐12

Función Polinómica

Podemos ampliar los conceptos que se vieron para la función cuadrática . Dada la función: 1 2

1 2 1 0... :n nn n nP x a x a x a x a x a n a

Si la función tienen n raíces simples, podemos escribirla como:

1 2n nP x a x x x x x x

Si la función tienen j raíces múltiples, podemos escribirla como:

1 2

1 2kjk k

n nP x a x x x x x x

Si una raíz es de multiplicidad ……………….. , la gráfica de la función llega allí, roza y sigue para el

mismo lado.

Si una raíz es de multiplicidad ……………….., la gráfica cruza allí al eje de abscisas.

Hallar la expresión factorizada de 3 2p x 3x 15x 24x 12

Para llegar a la expresión factorizada, utilizaremos la teorema de Gauss, la regla de Ruffini y la fórmula de Bhaskara para factorizar el polinomio.

Regla de Gauss: Sea P(x) un polinomio de grado n con todos sus coeficientes enteros.

Si el número racional p

q, escrito de manera irreducible, es raíz de P(x); siendo “p”

divisores del término independiente y q divisores del coeficiente principal.

p 12, 6, 4, 3, 2, 1

q 3, 1

Las posibles raíces racionales son: 4 2 1p 4, 12, 2, 6, , 4, 1, 3, ,3 3 3

Buscamos( utilizando el Teorema del Resto), las raíces del polinomio.

3 2p 3 15 24 12 3 15 241 1 1 12 54 x 1 no es una ra1 íz

3 2p 3 15 24 12 3 15 24 12 01 1 1 1 x 1 es una raíz

Aplicamos la regla de Ruffini:

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Aplicamos la fórmula resolvente o fórmula de Bhaskara, para encontrar las otras raíces.

Por lo tanto las raíces son: x y x= (raíz doble)

La expresión factorizada es:

6. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas indicando intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas y forma factorizada.

a. 22T u 2u u 3 u 2

b. 32M r 2r r 2 r 1

Función Racional

Se llama función racional a la formada por la división de dos polinomios

a x

p : A /p x con b x 0b x

P x 3. x x

0

Im

:

CDomC

ejeod CGrado

0

Im

:

CDomC

ejeod CGrado

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Pág. 9

ImDom

Dentro de esta familia de funciones se encuentra las Funciones Homográficas , que se las define como división de dos funciones lineales.

7. Indicar cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones homográficas y/o racionales:

a. 3f x x b.

2

1

x

f xx

c. 1xf x

x

d.

3 11

xf xx

e.

2

3( )2 3

xf xx x

f.

31

xf xx

g. 1

xf xe h.

21( ) 2 32

f x x x i.

12

f x

Función Homográfica

E l área de un rec tángu lo es de 1 m2 ¿Cuá les pueden ser las med idas de sus lados?

La s igu iente tab la muestra a lgunos va lores pos ib les para las med idas de la base y la a l tura :

A l tura (h) Base (B) Área

1/4

1/3

1/2

1

2

3

4

Llamaremos función de proporcionalidad inversa a la función cuya fórmula es kf xx

con k es constante y 0k .

La re lac ión entre la base y la a l tura es una relación de ……………………………… .………… ………………… . .

En este caso , la constante de proporc iona l idad es………… .

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Analicemos este tipo de funciones: 1h x

x

Dominio: Conjunto Imagen:

0C

C

C

El gráfico de este tipo se llama:

Asíntotas

Asíntota horizontal: Es la recta horizontal y k si a medida que aumenta x , f x se

acerca a k. Asíntota Vertical ; Es la recta vertical x k si fk Dom y a medida que x toma

valores cada vez más cercanos a k , f x toma valores cada vez mayores en valor absoluto.

¿Cómo será el gráfico de la función, cuya fórmula

sea 1g xx

?:

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Desplazamientos de la función cuya fórmula es 1h xx

8. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones homográficas de la forma:

1f x

x a, completar la tabla y sacar conclusiones.

9. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones homográficas, completar la tabla y sacar conclusiones.

Completar la siguiente tabla: Si tenemos una función de la forma,

Dominio

.AV

Conjunto Imagen

.AH

¿Crece o decrece?

1

2f x

x

1

3g x

x

12 1

i xx

15

i xx

1 3

2f x

x

2

3 52

xf xx

1 1

2 2h x

x

24

2 4xh xx

Dominio

.AV

Conjunto Imagen

.AH

Dominio .AV .AH Conjunto Imagen

ax bf xcx d

1g x p

cx d

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Pág. 12

Dada la siguiente función homográfica la función cuya fórmula es

3 12 1

xf xx

Calcular el dominio:

Calcular:

100000f 100000f

¿Cuál es su asíntota vertical?

¿Cuál es su AH?

Calcular analíticamente el conjunto de positividad:

Graficar la función con el y verificar la solución.

Analicemos este tipo de funciones

1: / 13

f A f xx

Dom

0C

Calcular analíticamente el conjunto de negatividad:

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 13

10. Indicar las asíntotas de las siguientes fórmulas de funciones Homográficas:

a.

1

4f x

x b.

3 4f xx

. :AV

. :AH

. :AV

. :AH

c. 4 3

2f x

x d.

2 3

2f t

t

. :AV

. :AH

. :AV

. :AH

e.

5

2 1uf u

u f.

3

3pf p

p

. :AV . :AH . :AV . :AH

11. Realicen los gráficos de las siguientes fórmulas de funciones homográficas. Hallar analíticamente intersecciones con los ejes y su dominio.

a. 4 3

2f x

x

b.

4 52 1xf xx

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 14

i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad:

c.

3 6

2xf x

x

i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad:

d. 41xf x

x

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 15

i. Calcular analíticamente el conjunto de negatividad

e.

2 3

4xf x

x

i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad

f.

1

1xf x

x

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 16

i. Calcular analíticamente el conjunto de negatividad

12. ¿Es posible encontrar la fórmula de una función homográfica que tenga más de una asíntota vertical?

13. ¿Es posible encontrar la fórmula de una función racional que tenga más de una asíntota vertical?

14. ¿Es posible dividir dos funciones lineales y que su grafico de cómo resultado otra función lineal?

15. ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2

23 10

6x xg xx x

?

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Pág. 17

16. ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2 6

3x xj x

x

?

17. Grafiquen las siguientes funciones y realicen su análisis.

a. 2 2 3: / ( )

1x xf A f x

x

b.

2

3: / ( )2 3

xf A f xx x

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

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Pág. 18

c. 3 24 6: / ( )

2x x xf A f x

x

d.

2

1: / ( )2

xf A f xx x

Función Módulo

El valor absoluto o módulo de un número real x, se simboliza por x , y se define de la siguiente manera:

0:

0x si x

x x x si x

x h(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

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Pág. 19

18. Escribe en el comando la siguiente fórmula f x a x b c :

a. Analiza en el gráfico que pasa cuando se varia los valores de A, B y C . ¿Qué representa en el gráfico?

19. Grafica las siguientes funciones con el Geogebra y completa:

Escribir las funciones del ejercicio anterior como funciones partidas:

f x

g x

h x

i x

j x

k x

Hallar analíticamente 0C de la función 3 2 1k x x

A B C

Vértice de la función

Imagen

¿En qué punto del dominio cambia el

crecimiento?

Escribir la ecuación de la rectas

2f x x

2 4i x x

2 3j x x

3 2 1k x x

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Pág. 20

Hallar analíticamente C de la función 3 2 1k x x

Hallar analíticamente C de la función 3 2 1k x x

20. Las siguientes funciones son desplazamientos de : /f f x x , se pide:

i. Grafíquenlas,

ii. Escribir como funciones partidas.

iii. Análisis: conjunto imagen, 0C (analíticamente), ,C C y ,I I

a. : / 2f f x x

f x

0CCCII

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Pág. 21

b. : / 2 1f f x x

c. : / 3. 2 1f f x x

f x

f x

Funciones Partidas o por tramos

Una función partida o por tramos es una función tal que para definirla se necesitan distintas fórmulas para distintos subconjuntos del dominio

Ejemplo: 2

3 2: / 4 2 1

1 2 12

x si xf A f x si x

x x si x

¿Cuál es el dominio de la función?

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Pág. 22

21. Dada la siguiente función

2

2 2 1

: / 4 1 4

6 4

x si x

h h x x x si x

si x

.

a. Calculen 5h b. Calculen 3 h c. Calculen 2 h

d. Calculen 1 h e. Calculen 6 h f. Calculen 4 h

22. Calculen el dominio y el conjunto imagen de : de las siguientes funciones partidas

a. b.

c.

d.

ImDom

ImDom

ImDom

ImDom

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Pág. 23

23. Graficar las siguientes funciones Hallar dominio, conjunto imagen

a.

3 5: / ( )

7 5

x xf A f x

x x

b.

1 0: / ( )

2 0x

f A f x x x

c.

2 1

: / ( ) 2 11

x xf A f x x x

x

d.

2

2: / ( )

2

x xf A f x

x x

e.

2 3 2: / ( ) 2 2 0

1 0

x xf A f x x

x xx

f.

2 3 1: / 1 2 1 2

1 22

x si xf A f x x si x

x si xx

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Pág. 24

Repaso para la evaluación

1. Dadas las siguientes funciones:

a.

2: / ( ) 31

f A f xx

b.

2 1: / ( )

3xf A f x

x

i. Calcular analíticamente C

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

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Pág. 25

c.

1 2: /

5 1xf A f x

x

i. Calcular analíticamente C

d.

2

2: /4

xf A f xx

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

CJSF 5to. Año 2020


Pág. 26

e.

2

1: /2 1

xf A f xx x

f. 2 2 3: / ( )

1x xf A f x

x

g.

3 22 5 4 3: / ( )1

x x xf A f xx

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 27

2. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen.

a. El dominio de la función cuya fórmula es

4 22 3

f xx

es 2dom

b. El gráfico de la función

2

3: / ( )5 6

xf A f xx x

es una recta con un punto abierto en

3; 1 .

c. El conjunto de ceros de la función cuya fórmula es

3 4

3 2f x

xes

porque su

: 0AH y

3. Dado el siguiente gráfico de la siguiente función : a. Indicar la fórmula de la función módulo

b. Indicar la fórmula como función partida

c. Calcular analíticamente las raíces de la función:

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Pág. 28

4. Graficar la siguiente función: : / 3 2 1g g x x y Calcular analíticamente las raíces de la

función:

5. Dado el siguiente gráfico, completar:

a. Escribir su fórmula, justificar:

: / ( )f A f x

b. Escribir su fórmula, justificar:

: / ( )f A f x

ImDom

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

ImDom

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Pág. 29

6. Dadas las siguientes funciones, se pide:

a.

2 11

: / 2 1 1 13 1

x si xx

f A f x x si xsi x

Graficar y completar:

b.

2

3 22

: / 2 3 2 12 1 1

x si xx

f A f x x x si xx si x

Graficar y completar:

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

2

1

0

fff

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

2

1

0

fff

CJSF 4to. Año Técnico

Unidad No. 1: Funciones 1 Pág. 30

c. 2

3 0: / 4 3 0 3

33

si xf A f x x x si x

x si xx

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

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