· u. · z y n::f- o }: conjunto de los números racionales. 1 = { a . e . r: a no es racional ca ~...

MATEMÁTICAS BÁSICAS

División: Para a, bE R, a * O, b -;- a , -b

o b/a. (que se lee "b dividido a" o "b sobre a") a

denota al número b.(a - 1).

Nota: b -;- a no está definido cuando a = O.

ORDEN ENR

Existe un subconjunto de R, denotado R + Y cuyos elementos son llamados números reales positivos, que satisface los siguientes axiomas:

• Si a,bER+,entonces a+bER+ y abER+

• Si a E R Y a * O, entonces a E R + o - a E R + pero no ambas cosas. (Si - a E R + se dice que a es negativo).

A partir de los axiomas anteriores, damos significado a los símbolos> (mayor que) y < (menor que), así: Para a, bE R,

a > b (o b < a) significa que a - b es positivo, es decir, que a - bE R +

Nótese que a > O significa que a es positivo, y que a < O significa que a es negativo.

Los símbolos ~ (mayor o igual que) y ~ (menor o igual que) tienen el siguiente significado:

a ~ b (o b ~ a ) SI a > b o a = b

Hechos importantes

• Si a E R Y a * O, entonces a 2 > O.

• Para todo a E R, se tiene que a 2 ~ O.

• Como 1* O,entonces 1=12 > O, esto es 1> O.

• Para a, b, c E R , se tienen las siguientes propiedades:

o Si a b Y b > e, entonces a > c .

• Si a, b E R, se satisface una y sólo una

·_u.__

a> b.

• Para a, b, c E R, se tienen las sigu " .....

o Si a >

o Si a <

o Si ab ~ a

o Si > b

o Si a ~ b

o Si a<

a+ a <

2

estarían

) bja. (que se lee "b dividido a" o " b sobre a")

i

1

o Si a ~ b Y b ~ c, entonces a ~ c. o Si a ~ b Y b < c, entonces a < c. o Si a > b Y b > c , entonces a > c .

• Si a, b E R , se satisface una y sólo una de las siguientes afirmaciones: a = b , a b.

• Para a, b, CE R, se tienen las siguientes propiedades:

o Si a < b, entonces a + c < b + C . El recíproco también es cierto, es decir, SI

a +c < b+c, entonces a O , entonces ac < bc. o Si a ~ b Y c > O , entonces ac ~ bc. o Si a bc.

Por ejemplo, 2<5 pero 2(-3»5(-3), porque -6>-15.

o Si a ~ b Y c < O, entonces ac ~ bc . o Si a > O, entonces - a < O . o Si a < O, entonces - a > O.

1 o Si a > O, entonces > O.

a 1

o Si a < O, entonces < O . a

o Si ab > O, entonces a > O Y b > O , o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto, esto es, si a > O Y b > O , o, a < O Y b < O, entonces ab> O.

o Si ab < O, entonces a > O Y b < O, o, a < O Y b > O. El recíproco también es cierto. o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto. o Si ab ~ O, entonces a ~ O Y b ~ O, o, a ~ O Y b ~ O. El recíproco también es cierto.

o Si a > O, entonces a > O Y b > O, o, a < O Y b < O. El recíproco también es cierto. b

o Si a ~ O, entonces a ~ O Y b > O, o, a ~ O Y b < O. El recíproco también es cierto. b

o Si a < b, siempre existe c E R tal que a < c < b. Por ejemplo, c = a + b es tal que 2

a+b a < < b . Por tanto existen infinidad de números entre a y b, pues también

2 , a+ e c+b

estanan . , etc. 2 2

Aún más, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales que hay entre a y b Y todo el conjunto de los números reales R. Esta correspondencia está sugerida en el siguiente dibujo:

3

.

l

l


-f(--------4)---+1 Segmento abierto de extremos a y b a b

• R

(Se curva el segmento haciendo coincidir a con b. Se trazan segmentos desde donde coinciden hasta la recta real R. Siempre habrá dos puntos de corte: uno del segmento curvado y otro de la recta real. De ahí se infiere la correspondencia biunívoca. Así por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 hay tantos números reales como los que hay en la recta real R)

Axioma de completitud o de continuidad de los Números Reales

Existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales R y el conjunto de puntos sobre una recta:

J2 e 1T I I I I I I I I I 11 I IR

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 -/32 3 4 5 6 7

.J2=1.414... ; .[j=1.732... ; e = 2.718 ... ; 1t = 3.141. ..

y se satisface el siguiente axioma: Sean A y B subconjuntos no vaCÍos de R tales que a ~ b para cada a E A y cada bE B. Entonces existe CE R tal que a ~ c y c ~ b , cualesquiera sean a E A Y b E B.

También se tienen las siguientes propiedades:

• Si a O tal que a + h = b.

• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el conjunto de los números reales R no es acotado superiormente.

• No existe número real a tal que x ~ a para todo número real x. Esto significa que el conjunto de los números reales R no es acotado inferiormente.

• Si x E R satisface O~ x < E para todo E > O , debe ser x = o. (En efecto, como x ~ O , si fuese x > O, como x < E para todo E> O , sería en particular x < x , lo que contradice que x = x).

4

Lo anterior significa que el único número quiera es el 0, es decir, el único infinit propiedad se utiliza cuando es dificil prob R son iguales, probando que, por ejemplo concluyendo entonces que b - a =O , es de

Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevi Si a ~ b y b < c , se abrevi

Algunos subconjuntos especiales de R

N = {1, 2, 3, ... }: ~,-. A .. Jnl:: númer

z = { ... , - 3,

Q={m/ n:

I={aER: ti

Se tiene que

Ejemplo: ~,3

Operaciones primeros axi

a b a1. - +-=

c c

Ejemplo:

2. ~+.:. = a b d

Ejemplo:

Segmento abierto de extremos a y b

,: ... .. .... -~--

"\ ------ __ . .... ---".J"

R


Lo anterior significa que el único número real no negativo que es tan pequeño como uno quiera es el O, es decir, el único infinitesimal no negativo en R es el cero. Esta propiedad se utiliza cuando es dificil probar directamente que dos expresiones a y b en R son iguales, probando que, por ejemplo, se satisface O~ b - a < e para todo e > O Y concluyendo entonces que b - a =O , es decir, a = b.

Abreviaciones: Si a < b y b < c, se abrevia a < b < c. Sí a ~ b y b < c , se abrevia a ~ b < c .

Algunos subconjuntos especiales de R

N ={1, 2,3, ... }: Conjunto de los números naturales.

z = { ••. , - 3, - 2, - 1, O, 1,2,3, ... }: Conjunto de los números enteros.

Q = { m/n: m, n E Z y n::F- O }: Conjunto de los números racionales.

1 = { a E R: a no es racional Ca ~ Q) }: Conjunto de los números irracionales .

Se tiene que N e Z e Q e R y que Q u 1 = R .

Ejemplo: ±, -~EQ; 12,13, e, 7t E I

Operaciones con fraccionarios o quebrados (propiedades que se desprenden de los primeros axiomas)

1. ~+~ = a+b c c c

. 1 3 1+3 4Ejemplo: - + - = -- = - = 1

444 4

3/4

2. ~ + ~ = ad + bc b d bd

5

MA TEMÁTlCAS BÁSICAS

1l2L,.,.,-,---L._--l1 ~I .a-..I..l.-l-'---J...--'---l

1I3 = 216

3. ~~=~ b d bd

. I I (IXI) IEjemplo: -- = --=

43 (4X3) 12

I 1I (1I4XIl3) =1I12

cuarta parte de UJt tercio = UJt doceavo

. 1 2 I (2X3)Ejemplo: 2+- =-+ - =-- = 6

3 I 3 (IXI)

1/2 = 3/6

Otra manera de comprobarlo es:

INTERVALOS

Sean a, b E R

se llama intervalo

se llama intervalo

También se

Comprobemos, a manera de ejemplo, que (a b

2/(1I3) = 6 dos wridades divididas en tercios da seis

5. - (- a) = a ; (a -1 t = a siempre que a *- ü .

6. (- a)b=-(ab)=a(-b); -a =_a = a siempre que b*-ü . b b - b

7. - (a+b)=-a-b ; (abt l =a - 1b- 1 siempre que a *- ü y b*-ü.

ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES

(a ± b l = a 2 ± 2ab + b2

(a±b)3 =a3 ± 3a 2b + 3ab 2 ±b3

b2(a + bXa - b) =a 2

(a + b Xa 2 - ab + 1/ )= a 3 +·h3

6

Ejemplo: [- 3,

los números:

[- 3, 4) , por ej

· u. · z y n::f- o }: conjunto de los números racionales. 1 = { a . e . r: a no es racional ca ~...

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