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Carátula de Trabajo

Aplicación de las funciones racionalesTítulo del trabajo

Los villamichelanyelisPseudónimo de integrantes

MatemáticasÁrea

LocalCategoría

Investigación ExperimentalModalidad

8903468Folio de Inscripción

https://www.feriadelasciencias.unam.mx/inscripciones

1 de 1 08/03/2019 22:43

Título.

Aplicación de las funciones racionales.

Resumen.

Los aprendizajes relacionados con las funciones racionales, se contemplan en la

Unidad 2 del programa de estudios de Matemáticas IV, en donde se indica que se

tienen que abordar conceptos con el dominio, el rango, asíntotas verticales, puntos de

discontinuidad y ceros de la función, con la intención de construir la gráfica de una

función racional.

El mismo programa también se indica que se tienen que resolver algunos problemas

de aplicación, para lo cual, el profesor debe proponer a los alumnos, como tema de

investigación, la aplicación de estas funciones en diferentes campos del conocimiento.

Sin embargo, las funciones racionales que encontramos son modelos que se obtienen

de forma experimental, las cuales no estamos en condiciones de reproducirlas, por lo

que quedan como ejemplos adicionales a los que se ven de forma cotidiana en la clase.

Ante esta situación nuestro profesor de Matemáticas IV, nos propuso comprobar “el

comportamiento de una función racional”, mediante la implementación de un arreglo de

resistencias en serie paralelo, con dos resistencias de valor fijo y una de valor variable.

Al final se obtuvo una dispersión de puntos que graficamos en el plano cartesiano, los

cuales definen una curva que corresponde a una parte de una función racional, con lo

cual pudimos verificar que las funciones racionales sirven para representar fenómenos

reales, en este caso el circuito resistivo, y reafirmamos los aprendizajes contemplados

en el programa de estudios.

Introducción.

Marco teórico.

Funciones racionales.

Una función racional de forma simple se define como el cociente de dos funciones

polinomiales, por ejemplo:

(x)f = x−1x −5x+52

En este tipo de funciones debemos de determinar algunos elementos como:

1. Dominio; que son todos los valores que puede tomar la variable independiente.

2. Rango; que son todos los valores que toma la variable dependiente.

3. Asíntotas horizontal y vertical; recta auxiliar a la cual se acerca la gráfica de la

función cuando la variable independiente toma valores muy grandes o muy

pequeños.

4. Intersecciones con los ejes x e y; que corresponden a los puntos de la gráfica

en donde la ordenada y la abscisa valen cero, respectivamente.

5. Puntos de discontinuidad o “huecos”; que corresponden a los ceros de los

factores comunes de los polinomios del numerador y del denominador.

Resistencia eléctrica de valor fijo.

Resistencia eléctrica es toda oposición que encuentra la corriente a su paso por un

circuito eléctrico cerrado, atenuando o frenando el libre flujo de circulación de las

cargas eléctricas o electrones. Al elemento que presenta una oposición constante al

paso de corriente eléctrica ante la presencia de un voltaje, se conoce como resistencia,

su valor se indica en ohms.

Resistencia eléctrica de valor variable.

También es un elemento que se opone al paso de corriente eléctrica, pero en este caso

la oposición puede ser regulada, hay dos elementos estáticos que se pueden utilizar

como resistencia variable, en nuestro caso utilizaremos el potenciómetro, este

dispositivo tiene tres terminales y una perilla tal como se muestra en la figura.

Si se mide la resistencia entre las terminales de los extremos se obtiene un valor

constante, mientras que si se toma la resistencia entre una de las terminales de los

extremos y la terminal de enmedio, se obtiene una resistencia variable cuando se gira

la perilla.

Resistencia equivalente de dos resistencias en serie.

Dos resistencias están en serie cuando están conectadas de tal forma que la misma

corriente eléctrica fluye a través de cada una de ellas. La resistencia equivalente (Re),

es igual a la suma de las resistencias individuales, es decir:

Re = R 1 + R 2

que equivale a

Resistencia equivalente de dos resistencias conectadas en paralelo.

En una conexión en paralelo, todas las dos resistencias se conectan a los mismos

bornes de conexión, tal como se indica en la figura de abajo. La suma de las inversas

de cada resistencia es igual a la inversa de la resistencia equivalente Re, es decir:

de donde resulta que 1Re = 1

R1+ 1R2

Re = R R1 2R +R1 2

que equivale a

Objetivo(s).

1. Determinar la función racional que sirve para modelar el comportamiento del

circuito resistivo y observar que se trata de una función racional.

2. Construir el circuito resistivo, y realizar las mediciones de resistencia equivalente

para obtener una tabla de datos que muestre su comportamiento.

3. Obtener la gráfica de los datos obtenidos en forma experimental y contrastarlos

con la gráfica que se obtiene de forma teórica.

4. Observar que las funciones racionales tienen una aplicación tangible.

Problema.

Comprobar “el comportamiento de una función racional”, mediante la implementación

de una arreglo de resistencias en serie paralelo.

Hipótesis.

Cuando una resistencia variable se conecta en paralelo con una resistencia de valor

fijo, y después este arreglo se conecta en serie con otra resistencia de valor fijo, la

resistencia equivalente de todo el arreglo, tiene un comportamiento que corresponde a

una parte de la gráfica de una función racional.

Desarrollo.

Desarrollo teórico.

En la figura de abajo se presenta una resistencia de valor variable “x”, en paralelo con

una resistencia fija de 100k ohm, después este arreglo en paralelo se conecta en serie

con otra resistencia fija de 100k ohm (se omite el k para simplificar la figura).

La resistencia equivalente del arreglo en paralelo junto con la resistencia en serie es:

00Re = 100xx+100 + 1

Que se puede simplificar a:

R(x) = x+100200x+10000

La expresión anterior corresponde a una función racional, de la cual se puede decir

que:

1. Tiene asíntota vertical en x=-100.

2. Tiene asíntota horizontal en y=200.

3. Corta el eje de las abscisas en (-50,0).

4. Corta el eje de las ordenadas en (0,100).

5. Su dominio es Df=R - {-100}.

6. Su rango es Rf=R - {200}.

7. Y no tiene huecos.

Su gráfica es:

Desarrollo experimental.

Para mostrar la aplicación de las funciones racionales se ocuparon los siguientes

materiales: una placa fenólica perforada, un potenciómetro doble de 100k, resistencias

de 100k, dos multímetros, un cautín, soldadura, pasta para soldar, cables caimán

caimán, pinzas y alambre.

1.- El potenciómetro doble de 100k se soldó a la placa fenólica con ayuda de un cautín,

soldadura y pasta para soldar.

2.- Después cerca de un extremo de la placa fenólica se soldaron dos pedazos de cable

que corresponden a “x”, estos cables se soldaron sobre uno de los potenciómetros para

tener el valor de “x” de forma aislada del resto del circuito.

3.- A cada uno de los extremos de los cables se les agregó otro pedazo de cable para

poder unirlo hacia un extremo del potenciómetro.

4.- Después, a la placa fenólica se le introdujo y se le soldó una resistencia fija de 100k,

en paralelo con la resistencia variable “x” del segundo potenciómetro.

5.- Después el arreglo en paralelo se conectó en serie con otra resistencia fija de 100k,

en el extremo de esta última resistencia se agregó un pedazo de cable suficientemente

largo, y otro cable al inicio del arreglo en paralelo, esto con el fin de obtener la medición

de R(x) que es la resistencia equivalente del arreglo paralelo en serie.

6.- Posteriormente para cada par de alambres tanto de “x” como de f(x) se le colocó un

cable caimán caimán y el otro extremo se colocó hacia el multímetro para así poder

empezar a comprobar el comportamiento de una función racional, al variar el valor de

“x”, es decir, del potenciómetro.

7.- Ambos multímetros se pusieron en la escala de 200k para medir resistencia, en el

multímetro de la izquierda se observa el valor de “x” y en el multímetro de la derecha se

observa el valor de R(x). El potenciómetro se giró desde su valor más pequeño hasta

su valor más grande.

Resultados.

En la siguiente tabla se muestran los resultados que se obtuvieron de forma

experimental.

Y su gráfica, junto con la función racional es:

Análisis e interpretación de resultados.

Al sobreponer los datos que se obtienen de forma experimental con la gráfica que se

obtiene de forma teórica, se observa que los datos experimentales, tiene un

comportamiento que se “ajusta”, a una función racional.

En el caso experimental sólo se puede variar la “x” de 0 a 100 k ohm, por lo que

podemos decir que el dominio práctico es:

Dominio práctico: Df= [0,100].

Y el rango práctico es: Rf= [99, 149.3].

En el desarrollo experimental, no se observan características como la asíntota

horizontal o vertical, ni tampoco la intersección con el eje “x”, pero sí se observa la

intersección con el eje “y”.

Conclusiones.

1. En el desarrollo experimental se pudo constatar que los resultados obtenidos en

la tabla son equivalentes a los resultados que se obtienen de forma teórica con

la función racional.

2. Se determinó la función racional que sirve para modelar el comportamiento del

circuito resistivo.

3. Se construyó el circuito resistivo, y se tomaron las mediciones de resistencia

equivalente para obtener una tabla de datos de forma experimental.

4. Se obtuvo la gráfica de los datos obtenidos en forma experimental y se

contrastaron con la gráfica que se obtiene de forma teórica.

5. Observamos que las funciones racionales tienen una aplicación tangible.

Fuentes de información.

1. Fernández, J. Resistencias en serie, paralelo y mixtas. https://www.fisicalab.com/apartado/asociacion-de-resistencias#contenidos

2. Física Práctica. (2007). Resistencias en paralelo. https://www.fisicapractica.com/resistencias-paralelo.php

3. Morales, C. (2018). Funciones Racionales. Geogebra. https://www.geogebra.org/m/aT79jv6r

4. Padilla, P. (2019). Apuntes del curso de matemáticas IV.

5. Universidad Nacional Autónoma de México. (2013). Circuitos Eléctricos. http://www.objetos.unam.mx/fisica/circuitosElectricos/pdf/circuitos.pdf