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Captulo 3

Modelos de Funcion de

Transferencia

3.1. Introduccion

En muchos sistemas, medioambientales, economicos, . . . , los valores quetoma una variable, que llamaremos output, estan causados o influenciadospor los valores de otras variables, que llamaremos inputs, y que pueden seruna o varias. Por ejemplo, el caudal de un ro esta causado logicamente porlas precipitaciones acaecidas con anterioridad y tambien por las temperaturas.Para modelizar formalmente las relaciones dinamicas existentes entre una vari-able unidimensional outputy las variablesinputse puede utilizar un modelo defuncion de transferencia. Este tipo de modelos se puede formular como

output= componente dinamica + ruido,

donde la componente dinamica modeliza la forma en que cada serieinputafectaa la respuesta dinamica de la serie output, y el ruido recoge la perturbacionestocastica que no puede ser explicada por la componente dinamica. Puestoque el comportamiento del outputse explica en terminos de las variablesinput,tambien en algunos textos los modelos de funcion de trasferencia reciben elnombre de modelos dinamicos o modelos de regresion dinamicos.

En ciertas ocasiones puede que no sea obvio plantear cual es la variable quecausa a cual, de hecho puede ocurrir que esten influenciadas recprocamente,como en el caso del gasto en publicidad y las ventas de un determinado producto.Estos modelos de causalidad bidireccional o retroalimentacion quedan fuera de

los objetivos perseguidos en esta leccion y son analizados mediante modelosvectoriales multivariantes. Por ello, en una primera fase es conveniente estudiarla relacion de causalidad entre las variables. Esto lo vamos a realizar presentandoalgunas propiedades y estudiando la funcion de correlacion cruzada.

Una vez que se hayan identificado la/s variable/s que intervienen en la com-ponente dinamica se procedera a la construccion del modelo siguiendo las etapasde identificacion, estimacion y validacion. En la fase de identificacion se

1

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2 CAPITULO 3. MODELOS DE FUNCION DE TRANSFERENCIA

plantea una funcion de transferencia que describa la relacion dinamica en eltiempo existente entre cada input y la variable output, tambien se identificaun modelo ARIMA sobre la componente, en principio autocorrelada, del ruido.Una vez estimados los parametros, se estudia si el modelo es adecuado o nomediante procedimientos graficos o usando algunos contrastes disenados paratal efecto. Acabamos el desarrollo teorico de este tema con una seccion dedicadaa la prediccion usando este tipo de modelos.

Esta leccion se concluye con la aplicacion de las tecnicas descritas a unejemplo practico en el que se ilustran los distintos enfoques considerados.

3.2. Causalidad

El objetivo de esta seccion es presentar procedimientos estadsticos para

responder formalmente a las cuestiones sobre causalidad. En un primer lugarpresentamos la definicion de causalidad dada por Granger (1969) y, posterior-mente, se explica como un analisis de las correlaciones cruzadas de los residuos,obtenidas en el ajuste de modelos ARIMA a las series originales, puede em-plearse para detectar las relaciones de causalidad (Pierce y Haugh, 1977).

Vamos a comenzar presentando la notacion que hace referencia a la infor-macion contenida en el comportamiento pasado de la serie. As, consideramos

xt = (xt, xt1, . . . ) = (xti, i 0),

yt

= (yt, yt1, . . . ) = (yti, i 0),

(xt, yt) = (xti, i 0, yti, i 0).

Esta informacion puede ser usada para predecir valores futuros de las vari-

ables. En lo que sigue, asumiremos que las predicciones de las variables se ob-tienen mediante combinaciones lineales. Notaremos la mejor prediccion linealdel vector x basada en la informacion I como E(x|I). El correspondiente er-ror de prediccion es (x|I) = x E(x|I). Su error cuadratico medio puede sercalculado usando la matriz de covarianzas residual estimada

var((x|I)).

Granger (1969) sugirio la introduccion de la siguientes definiciones que in-volucran las predicciones condicionadas a su pasado.

Definicion 3.2.1

1. y causa ax en el tiempo t si y solo si

E

xt|xt1, yt1

=E(xt|xt1).

2. y causa ax instantaneamente en el tiempo t si y solo si

E

xt|xt1, yt

=E

xt|xt1, yt1

.

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3.2. CAUSALIDAD 3

Como un resultado de las propiedades de regresion lineal, la prediccion basadaen mas informacion es necesariamente mejor. As, siempre se verificara que

var((xt|xt1, yt1)) var((xt|xt1)).

Por ello, la condicion de causalidad se puede expresar en funcion del error deprediccion.

Teorema 3.2.1

1. y no causa a x en el tiempo t si y solo si

var((xt|xt1, yt1)) = var((xt|xt1)).

2. y no causa a x instantaneamente en el tiempo t si y solo si

var((xt|xt1, yt)) = var((xt|xt1, yt1)).

La demostracion del teorema es obvia, ya que la no causalidad se presentacuando las predicciones condicionadas coinciden. En consecuencia, las varian-zas de los errores de prediccion seran iguales. Si las varianzas son iguales,teniendo en cuenta que (xt|xt1, yt1) = ((xt|xt1)|yt1) se deduce que

E(xt|xt1, yt1) = E(xt|xt1).

Por lo tanto y causa a x en el tiempo t si el pasado de y proporcionainformacion adicional para la prediccion de xt con respecto a usar unicamenteel pasado de x. Una interpretacion en terminos de incorrelacion parcial puederealizarse usando las condiciones de no causalidad. Recordemos que dos vectores

xe y estan incorrelados parcialmente con respecto a un conjunto de informacionI (se suele denotar x y|I) si y solo si

cov(x E(x|I), y E(y|I)) = cov((x|I), (y|I)) = 0.

Teorema 3.2.2

1. y no causa a x en el tiempo t si y solo si xt e yt1 estan incorrelados

parcialmente con respecto axt1, es decir,

xt yt1|xt1.

2. y no causa instantaneamente ax en el tiempo t si y solo sixt eyt estanincorrelados parcialmente con respecto a(xt1, y

t

1

), es decir,

xt yt|(xt1, yt1).

Demostracion:

Vamos a demostrar unicamente la primera afirmacion, la segunda se demuestrade forma analoga.=

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En este caso suponemos que la variableyno causa axen el tiempot,por lo que E(x

t|xt

1, y

t1) =E(x

t|xt

1). Por lo tanto, parak 1,

cov(xt E(xt|xt1), ytk E(ytk|xt1)) =

cov(xt E(xt|xt1, yt1), ytk E(ytk|xt1)).

Como las predicciones son lineales, las covarianzas entre los errores ycualquiera de los regresores son nulas. El primer termino de la covar-ianza es el error de prediccion de xt sobre las variables (xt1, yt1),

y el segundo termino esta formado por variables en ese espacio, conlo que la covarianza anterior toma el valor cero. Al ser cierto paracualquierk 1, se prueba la condicion de ortogonalidad.

=

La condicion de ortogonalidad equivale a que la primera covari-anza sea nula. Si realizamos la prediccion de xt usando las vari-ables xt1, por ser una prediccion lineal y la covarianza anteriornula, obtenemos la misma prediccion si anadimos a este conjun-to de variables cualquier ytk con k 1. Por ello se verifica queE(xt|xt1, yt1) = E(xt|xt1).

A continuacion presentamos una caracterizacion de la causalidad dada porPierce y Haugh. En ella, esta propiedad se expresa en funcion de los errores deprediccion de las series sobre la informacion contenida en sus respectivos pasa-dos. Para ello definimos en primer lugar el concepto de causalidad en general.

Definicion 3.2.2

Se dice que y no causa a x (instantaneamente) si y solo si y no causa a x(instantaneamente) en el tiempo t para todos los valores posibles det.

Teorema 3.2.3

y no causa a x si y solo si, para cualquiert,

cov((xt|xt1), (ytj |ytj1)) = 0, j 1.

Demostracion:

=

Si no existe causalidad entonces se verifica que E(xt|xt1, yt1) =E(xt|xt1). Por lo que la covarianza entre (xt|xt1) y cualquiervariable ytj con j 1 vale cero. Por ello, y debido a que si j 1,(ytj |ytj1) corresponde a una combinacion lineal de valores ytkcon k 1, el valor de la covarianza que aparece en la tesis delteorema vale cero.

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3.2. CAUSALIDAD 5

=

Si el valor de la covarianza es nulo, debido a que los espacios (ytj , j 1) y ((ytj |ytj1), j 1) son equivalentes, se deduce que se veri-

fica quecov((xt|xt1), ytj) = 0, j 1,

y esto implica, ya que la covarianza de(xt|xt1) con cualquier vari-able xtk conk 1 vale cero, que

cov((xt|xt1), (ytj|xt1)) = 0, j 1.

Esta condicion es simplemente

xt yt1|xt1,

por lo que y no causa a x.

El teorema anterior pone de manifiesto que la correlacion entre los errores deprediccion puede ser usada para estudiar la causalidad. Para simplificar supong-amos que las variables x e y son unidimensionales, y que podemos expresar xteyt en funcion de su pasado como

xt =j=1

ajxtj + ut,

yt =

j=1 bjyt

j+ vt,

donde,

ut = (xt|xt1),

vt = (yt|yt1).

Estos valores u y v se calculan a partir de los residuos obtenidos mediante laexpresion AR() de las series. Tambien pueden calcularse ajustando un modeloARIMA y filtrando la serie para obtener los valores del ruido. Este hecho seconoce con el nombre de preblanqueo. Por ello, un estudio de la causalidad entredos series equivale a un estudio de correlaci on entre las series preblanqueadas.

As, la causalidad se detecta preblanqueando las series y calculando la fun-cion de autocorrelacion cruzada, que se define en el retardo k entre las series uyv como

uv(k) = E[utvt+k]

E[u2t ]E[v2t ]

.

La expresion anterior puede tomar valores comprendidos entre -1 y 1. A difer-encia de las funciones de autocorrelacion y autocorrelacion parcial, esta funcion

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no es par, es decir, uv(k) = uv(k), y por ello se suele calcular tanto paravalores positivos como para negativos. De acuerdo con los valores que presentaesta funcion, las relaciones de causalidad se pueden resumir en los resultadosque aparecen en la tabla 3.1. Por ejemplo, si comentamos la primera afirmacion,x causa a y si el pasado de x contiene informacion adicional no contenida en elpasado de la seriey ; por ello alguna variablextk es util para predecir mejor lavariable yt con k >0. La condicion anterior equivale a que la correlacion entreut y vt+k sea significativa, condicion que aparece en dicha tabla.

Tabla 3.1: Relaciones entre causalidad y correlaciones cruzadas.

Relaciones Restricciones sobre uv(k)

x causa a y uv(k) = 0, para algun k >0

y causa a x uv(k) = 0, para algun k 0y para algun k 0instantaneamente y uv(0) = 0

y no causa a x uv(k) = 0, para todo k 0,de x a y y uv(k) = 0, para

a) todo k

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3.3. EL MODELO 7

donde

cuv(k) =

n

1

nkt=1

utvt+k k 0

n1n

t=1k

utvt+k k

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Nos centramos en el caso en que la funcion f es una funcion lineal de lavariable X

ty de sus valores pasados. As la estructura vendra dada por

Yt = v0Xt+v1Xt1+v2Xt2+. . .

= (v0+v1B+v2B2 +. . . )Xt

= v(B)Xt

En este caso la funcion de transferencia es la funcionv(B) y los coeficientes vi seconocen como pesos de respuesta a impulsos o funcion de respuesta a impulsos.Si las series no estan centradas la representacion suele ser

Yt y =v(B)(Xt x),

aunque a partir de ahora las supondremos centradas. Debido a que el numero

de datos con los que se trabaja es finito, y que el numero de valores vi puedeser infinito, la funcion de transferencia v(B) se suele aproximar mediante elcociente de dos polinomios de ordenes finitos, de igual forma a como se realizala aproximacion ARMA de una serie unidimensional. As,

v(B) = 0B

b 1Bb+1 sB

b+s

1 1B rBr =

(B)

(B)Bb.

El termino Bd que aparece en la expresion anterior hace referencia a queel efecto que la variable X tiene sobre Yse puede manifestar transcurridos binstantes. Este efecto se conoce como decalaje.

El modelo de funcion de transferencia se dice estable si se verifica que

j |vj | < . Esta condicion equivale a que las races de la ecuacion caractersti-ca (B) = 0 sean en modulo mayores que 1. Esta propiedad hace referencia aque un incremento finito en la variable inputproduce un incremento finito enla variable output.

Una vez que los polinomios(B) y(B) y el valor de b estan determinados,los pesos de respuesta a impulsos vj pueden obtenerse igualando los coeficientesen B j de los dos miembros de la siguiente ecuacion:

(B)v(B) = (B)Bb.

As, se obtiene

vj = 0 j < b,vj =1vj1+2vj2+ +rvjr+0 j = b,

vj =1vj1+2vj2+ +rvjr+jb j = b+ 1, b+ 2, . . . , b+s,vj =1vj1+2vj2+ +rvjr j > b+s.

Es decir, los pesos de respuesta a impulsos consisten en lo siguiente:

1. b pesos nulos v0, v1, . . . , vb1.

2. s r+ 1 pesos que no siguen un patron determinadovb, vb+1, . . . , vb+sr.

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3.3. EL MODELO 9

3. El resto de los pesos siguen el comportamiento determinado por la ultimaecuacion.

En resumen, b se determina como el primer instante en que el peso es nonulo. El valor de r se determina de acuerdo al comportamiento de los pesos,de forma similar a la identificacion del orden p en los modelos autorregresivosa traves del comportamiento de la funcion de autocorrelacion. El valor de s sedetermina estudiando donde empieza el comportamiento regular de los pesos.

3.3.2. Algunos ejemplos de funciones de transferencia

En la practica, raramente los valores de r o s exceden del valor 2. Algunasfunciones de transferencia tpicas son las siguientes:

1: r = 0. En este caso la funcion de transferencia solo contiene un numerofinito de pesos de respuesta a impulsos comenzando con vb = 0 y aca-bando con vb+s= s, como se muestra en la tabla 3.2.

2: r = 1. En este caso la funcion de transferencia muestra un decaimientoexponencial comenzando en vb+s. Algunos ejemplos aparecen en la tabla3.3.

3: r= 2. En este caso la funcion de transferencia exhibe un decaimiento ex-ponencial o bien un decaimiento sinusoidal, dependiendo de si las races de(B) = 0 son reales o complejas. La tabla 3.4 ilustra este comportamiento.

3.3.3. El termino ruidoObviamente el sistema no podra ser modelizado usando unicamente la relacion

entre las variables X e Y. Por ello introducimos un termino de ruido. Este re-sponde a la relacion

output componente dinamica = ruido.

Ya que el termino de ruido,Nt, generalmente estara autocorrelado y no sera portanto ruido blanco, puede modelizarse mediante una estructura ARMA como

(B)Nt = (B)at,

o, equivalentemente,Nt=

(B)

(B)at,

donde (B) y (B) son los operadores AR y MA de ordenes p y q respecti-vamente, y at es una serie de valores normales incorrelados de media cero yvarianza 2a. Si el modelo no es estacionario, la aplicacion de una diferenciacionadecuada a cada serie, puede transformarlo en estacionario. Ademas, se supone

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Tabla 3.2: Funcion de transferencia para r = 0.

(b,r,s) Funcion de transferencia vj tpicos

(2, 0, 0) v(B)Xt = 0Xt2

(2, 0, 1) v(B)Xt = (0 1B)Xt2

(2, 0, 2) v(B)Xt= (0 1B 2B2)Xt2

que los valoresat estan incorrelados con la serie Xt, es decir, toda la dependen-

cia de esta esta eliminada de la serie Yt mediante la funcion de transferencia.Por lo tanto el modelo de funcion de transferencia responde a la expresion

Yt y = (B)Bb

(B) (Xt x) +

(B)

(B)at. (3.1)

3.4. Identificacion

En esta seccion nos vamos a centrar en determinar los ordenes de los poli-nomios de retardos que aparecen en el modelo (3.1). Este procedimiento lo vamosa enfocar desde diferentes perspectivas y as apareceran distintos planteamien-

tos.Los procedimientos consisten, a grandes rasgos, en dos fases. En una primera

fase se calculan estimaciones preliminares de los pesos de respuesta a impulsos,y con estos se formula una expresion tentativa del cociente de polinomios en elque se descompone la funcion de transferenciav(B). Posteriormente, se planteaun modelo para los residuos de la diferencia Yt v(B)Xt de acuerdo con unestudio ARMA de los mismos.

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3.4. IDENTIFICACION 11



(2, 1, 0) v(B)Xt= 011B

Xt2

(2, 1, 1) v(B)Xt= 01B11B

Xt2

(2, 1, 2) v(B)Xt= 01B2B

2

11B Xt2

3.4.1. Metodo de identificacion de Haugh y Box

Parece logico que un modelo similar a (3.1) que relacione a las series Yt y Xtpueda desarrollarse para conectar sus innovaciones respectivas y . Supong-amos que las series yt y xt son el resultado de diferenciar las series originaleshasta alcanzar la estacionariedad, y que tienen estructura ARMA dada por losmodelos

y(B)yt = y(B)t,

x(B)xt = x(B)t.

Se plantea un modelo de funcion de transferencia entre las series t y t de laforma

t = v(B)t+(B)t.

Se calcula la funcion de correlacion cruzada entre las series y . La serie tieneestructura de ruido blanco y esta incorrelada con la serie , por ello la funcionde autocorrelacion cruzada en el retardo k vale

(k) = E[tt+k]

=

E[t(v(B)t+k+(B)t+k)]

= vk

2

=vk

,

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(2, 2, 0) v(B)Xt= 0

11B2B2Xt2

(2, 2, 1) v(B)Xt= 01B11B2B2

Xt2

(2, 2, 2) v(B)Xt = 01B2B

2

11B2B2 Xt2

con lo que la funcion de autocorrelacion cruzada en el retardo k es proporcional

al pesovk. Con esta informacion, podemos proponer una forma estructural parala funcion de transferencia, de manera que su comportamiento teorico se adapteal patron presentado, es decir,

v(B) = (B)

(B).

Una vez presentado el modelo para la funcion de transferenciav(B), se real-iza una estimacion preliminar, igualando los coeficientes enBk de(B)v(B) =(B), aplicando que vk =

(k). Se calculan los residuos y se realiza unamodelizacion ARMA para los mismos. Es decir

N

t = t v

(B)t,

Nt = (B)

(B)t.

Si unimos todos estos modelos obtenemos

y(B)

y(B)yt =

(B)

(B)

x(B)

x(B)xt+

(B)

(B)t.

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3.4. IDENTIFICACION 13

Despejando de la ecuacion anterioryt obtenemos

yt = y(B)y(B)

(B)(B)

x(B)x(B)

xt+y(B)y(B)

(B)(B)

t.

As el modelo (3.1) corresponde a las siguientes igualdades:

(B)Bb

(B) =

y(B)

y(B)

(B)

(B)

x(B)

x(B),

(B)

(B) =

y(B)

y(B)

(B)

(B).

La ventaja que posee este metodo es que utiliza la funcion de correlacioncruzada considerada en el estudio de la causalidad. Sin embargo, el proced-

imiento tiende a proponer ordenes altos para los polinomios de las fraccionesanteriores, como resultado de los productos de los polinomios que aparecen.Tambien hay que hacer notar que en este caso los polinomios que aparecen en elnumerador y denomidador pueden poseer factores comunes, con lo que el modelosera mas complicado de lo necesario.

3.4.2. Metodo de identificacion de Box y Jenkins

Este metodo se basa en el preblanqueo de la seriext, y consta de los siguientespasos:

1. Se calcula el modelo ARMA para la serie xt y se preblanquea esta.

x(B)xt = x(B)t,

t = x(B)

x(B)xt,

donde t es una serie de ruido blanco con media cero y varianza 2 .

2. Se calcula la serieoutputfiltrada, es decir, se transforma la serieyt usandoel modelo de preblanqueo anterior para generar la serie

zt= x(B)

x(B)yt.

3. Se calcula la funcion de correlacion cruzada entre las series t y zt para

estimar los valores de vk. Razonando de forma similar al caso de Haugh yBox, la relacion existente entre estos coeficientes viene dada por

vk = z

z(k).

4. Con los valores vk se propone la estructura de v(B) al igual que en elmetodo anterior.

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5. Por ultimo se propone un modelo para la estructura del ruido que afectaal modelo siguiendo los mismos pasos que en el metodo de Haugh y Boxpara las diferencias siguientes, usando las series originales,

Nt = yt (B)Bb

(B) xt.

Hay que poner de manifiesto que en el paso 2 el filtro que se le aplica a la serieyt no la blanquea necesariamente. Lo que se hace en realidad es transformar elmodelo (3.1) aplicandole el filtro del preblanqueo

x(B)

x(B)yt =

x(B)

x(B)v(B)xt+

x(B)

x(B)

(B)

(B)at,

zt = v(B)t+x(B)

x(B)

(B)

(B)at.

Se identifica la estructura de la funcion de transferencia v(B) y posteriormentese trabaja sobre el modelo original para modelizar la estructura del ruido.

3.4.3. Metodo de la funcion de transferencia lineal

Este metodo se aplica partiendo de las series originales Yt y Xt sin difer-enciar. Consiste en estimar los pesos de respuesta a impulsos vk en base a unaexpresion lineal truncada para la funcion de transferencia, mas un modelo bur-damente representativo para la estructura del ruido Nt, ademas de incluir unaconstante en el modelo. En este procedimiento de identificacion, los estadsticosque nos van a proporcionar las pistas sobre la estructura del modelo van a ser

las estimaciones que obtengamos de los pesos de respuesta a impulsos y las fun-ciones de autocorrelacion y autocorrelacion parcial de la serie de ruido estimada.Posteriormente, presentaremos el modelo en base a cocientes de polinomios enel operador de retardos B .

En un primer paso, estimamos un modelo preliminar que incluya el valorpresente deXt y los pasados, hasta un cierto retardo M, es decir,

Yt = C+v0Xt+v1Xt1+v2Xt2+ +vMXtM+Nt. (3.2)

Este modelo se llama modelo de funcion de transferencia lineal, como claramentepone de manifiesto la estructura de la misma. La eleccion del valor deMes unode los puntos debiles de este metodo, ya que en principio no se conoce cuantospesos son significativos.

La correlacion entre los residuos Nt puede hacer que obtengamos unas es-timaciones ineficientes de los valores vk, por ello se propone un modelo burda-mente representativo para explicar la relacion de dependencia, generalmente unmodelo autorregresivo de orden bajo SAR(1)(1)so a lo sumo un SAR(2)(2)s.Hay que hacer notar que este modelo es una primera aproximacion y por lo tantopuede que no recoja la estructura de autocorrelacion de la serie Nt completa-mente. Se sugiere usar un modelo SAR por las siguientes razones: en el caso

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se necesita estimar los parametros= (1, . . . , r), = (1, . . . , s), = (1, . . . , p), = (

1, . . . ,

q) y 2

a. Para ello vamos a plantear una funcion de verosimilitud

condicional en base al modelo planteado, que sera maximizada para el calculode los estimadores. As, el modelo anterior se puede escribir como

(B)(B)yt= (B)(B)xtb+(B)(B)at, (3.5)

o, equivalentemente,

c(B)yt = d(B)xtb+e(B)at, (3.6)

donde

c(b) =(B)(B) = (1 1B rBr)(1 1B pB

p)

= (1 c1B c2B

2

cp+rB

p+r

),d(B) = (B)(B) = (1 1B pB

p)(1 1B sBs)

= (d0 d1B d2B2 dp+sB

p+s),

e(B) = (B)(B) = (1 1B rBr)(1 1B qB

q)

= (1 e1B e2B2 er+qB

r+q).

Por ello,

at = yt c1yt1 . . . cp+rytpr d0xtb

+d1xtb1+ +dp+sxtbps+e1at1+ +er+qatrq,

dondeci, dj yek son funciones de los parametrosi, j , k y l. Bajo la hipotesisde que la distribucion de at es normal de media cero y varianza 2a, se puedeplantear la siguiente funcion de verosimilitud condicional:

L(,,,,2a|x, y, x0, y0, a0) = (22a)n/2 exp

1

22a

nt=1

a2t

,

donde x0, y0, a0 son algunos valores iniciales para el calculo deat.

En general, los mismos metodos de estimacion utilizados para series uni-variantes se pueden aplicar para maximizar la funcion anterior. Por ejemplo,tomando como valores iniciales para x0, y0, las primeras observaciones y como

valores iniciales paraa0 los valores cero, los estimadores mnimo cuadraticos nolineales de estos parametros se obtienen minimizando

S(,,,) =n

t=t0

a2t ,

donde t0= max{p+r+ 1, b+p+s+ 1}.

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3.6. VALIDACION 17

3.6. Validacion

La ultima etapa en la construccion de un modelo es la validacion, es decir,decidir si el que se ha ajustado es el adecuado o no. En el caso en que no seconsidere adecuado, habra que modificar el modelo y repetir todos las etapasanteriormente presentadas.

Las dos hipotesis basicas que se consideran en la formulacion de un modelode funcion de transferencia son las siguientes: que la serie at tiene un compor-tamiento de ruido blanco gaussiano, y que el filtro v (B) es el que relaciona lasseriesinputy outputpor lo que no existe ninguna relacion entre la serie inputyel proceso de ruido at.

Para el estudio del comportamiento de la serie at aisladamente, es decir,sin contemplar las interacciones con las series inputy/u output, se puede usarcualquiera de los procedimientos de validacion que se aplican a series temporales

unidimensionales. Los procedimientos mas usados son aquellos destinados a es-tudiar la correlacion, aunque el estudio de la normalidad tambien es importante(la verosimilitud se plantea en base a la hipotesis de normalidad), hecho que sepuede realizar dibujando los residuos en papel probabilstico normal.

El calculo de la funcion de autocorrelacion y autocorrelacion parcial de losresiduos es muy util para el estudio de la incorrelacion de los mismos. Bajo lahipotesis de ruido blanco, se pueden dibujar bandas de confianza al 95 % dadaspor los valores 1.96n1/2. Un numero excesivo de valores que sobrepasenestas bandas, indicara que el modelo es inadecuado, teniendo un especial cuidadosi en los primeros retardos se presentan valores altos. Un estudio global de laautocorrelacion se efectua mediante los tests pormanteau. En ellos se contrastaque las primeras L correlaciones son nulas. Estadsticos de este tipo son lossiguientes:

El de Box y Pierce

Q= nLk=1

2aa(k),

El de Ljung y Box

Q =n(n+ 2)Lk=1

1

n k2aa(k),

El de McLeod

Q

=n

Lk=1

2aa(k) +L(L+ 1)

2n ,

El de McLeod y Li

Q =n(n+ 2)Lk=1

1

n k2a2a2(k).

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Estos estadsticos tienen distribucion Chi-cuadrado conLmgrados de libertad,siendo m el numero de parametros estimados en la modelizacion del ruido N

t.

Un valor alto de estos estadsticos nos sugerira la presencia de autocorrelacion.Para estudiar si existe relacion entre la serie inputy el proceso de ruido, se

suele calcular la funcion de correlacion cruzada entre las series temporales ty at, siendo t el proceso de innovacion de la modelizacion ARMA de la serieinput. Se usan las series de residuos, ya que la distribucion de las correlacionescruzadas (varianzas de las mismas y correlaciones entre ellas) es mas simple eneste caso, como se justifico en la seccion sobre causalidad. Al igual que en elcaso anterior, se pueden presentar bandas de confianza para las correlacionescruzadas, teniendo en cuenta que bajo la hipotesis de que todas son nulas, suvarianza vale n1. Un test sobre las primeras L correlaciones cruzadas de tipoLjung-Box se basa en el siguiente estadstico:

P =n2Lk=0

1n k

2a(k).

La distribucion de este estadstico es una Chi-cuadrado con L+ 1 m gradosde libertad, siendo m, en este caso, el numero de parametros estimados en lafuncion de transferencia v(B) (no se incluyen los parametros estimados en lamodelizacion ARMA del ruido Nt).

Estudiemos un poco mas detenidamente el efecto de una mala especificaciondel modelo en las correlaciones. Supongamos que el modelo verdadero es

yt= v(B)xt+(B)at,

y que nosotros hemos especificado el modelo

yt = v0(B)xt+0(B)a0t.

Claramente, la serie a0t obtenida responde a la expresion siguiente:

a0t = 10 (B){v(B) v0(B)}xt+

10 (B)(B)at.

Si la funcion de transferencia v(B) esta bien especificada, cabe esperar que laserie a0t este incorrelada con la serie xt, por lo que la funcion de correlacionescruzada no debe de poseer valores significativos. Por ello una mala especificaci ondel modelo en este caso,0(B) no es el adecuado, unicamente debera de producirefectos en la funcion de autocorrelacion de la serie a0t obtenida.Si la funcion de transferencia v(B) esta mal especificada, tanto la funcion de

correlaciones cruzadas, como la funcion de autocorrelaciones de la serie a0t,deberan de poseer valores significativos, aun cuando la especificacion de0(B)sea adecuada. Si planteamos el modelo que aparece en el metodo de identificacionde Box y Jenkins (es decir, el modelo filtrado mediante la estructura ARMA dela serie xt), se observa que las correlaciones son proporcionales a la diferenciaentre los pesos de respuesta a impulsos de los modelos real y especificado. Paraello unicamente hay que seguir los siguientes pasos:

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3.6. VALIDACION 19

El modelo filtrado lo denotamos por

zt = v(B)t+t,

el modelo mal especificado

zt= v0(B)t+0t,

con lo que

0t = t+ {v(B) v0(B)}t.

As, la correlacion cruzada entre y 0 viene dada por

0(k) = E[t0,t+k]

0

=E[t(t+k+ {v(B) v0(B)}t+k)]

0

= 2(vk v0k)

0=

0

(vk v0k).

La funcion de correlaciones cruzadas no es una herramienta para reformularel modelo, sino que mas bien pone de manifiesto algunas carencias del mismo. Sia partir de los valores de esta funcion se concluye que la funcion de transferenciadebe de reformularse, se debe de volver a la fase de identificacion, y con losvalores de los pesos de respuesta a impulsos proponer otra forma funcional parala funcion de transferencia. Si la forma de dichos pesos no sugiere otra expresionpara el cociente entre(B) y(B), se suele anadir terminos a alguno de los dospolinomios, generalmente al numerador.

Ademas de las consideraciones particulares estudiadas sobre los modelos defuncion de transferencia, la modelizacion debe, en general, presentar algunaspropiedades comunes a cualquier procedimiento de ajuste de modelos. Algunasde estas caractersticas son las siguientes:

El modelo debe de ser parsimonioso. Es decir, elegiremos aquel modelocon el menor numero de parametros de entre aquellos que expliquen deforma adecuada el fenomeno.

Los coeficientes deben de ser significativos. Es decir, en un contraste dondela hipotesis nula sea el coeficiente es nulo, debe de ser aceptada lahipotesis alternativa.

Los coeficientes no deben de estar altamente correlados. Una alta cor-relacion podra sugerir que las estimaciones son inestables (cambios en unparametro implicaran cambios en los correlados con este). Tambien puedesugerir que un modelo mas parsimonioso quizas fuera adecuado.

Se deben evitar coeficientes redundantes. En algunos casos, simplifica-ciones entre los polinomios que aparecen en los cocientes pueden realizarseo la cancelacion es casi clara (por ejemplo, (1-0.7B)/(1-0.72B)).

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El ajuste debe de ser bueno. Se debe de comparar el modelo con otros m assimples (en este caso, por ejemplo, modelos ARIMA). Para comparar losmodelos se pueden usar los residuos, los errores de prediccion, . . .

El modelo debe de predecir adecuadamente. Un seguimiento del modelodebe de realizarse, sobre todo si se disponen de nuevas observaciones. Unasmalas predicciones continuadas (peores que las que se esperara obtenerusando intervalos de confianza) pueden sugerir que el modelo no es ade-cuado.

El modelo debe de poseer propiedades de estabilidad, estacionariedad einvertibilidad. Esto se reduce al estudio de las races de los polinomios(B), (B) y (B).

3.7. Prediccion

Una vez que se concluye que el modelo de funcion de transferencia es ade-cuado, puede ser usado para realizar predicciones de la serie Yt, teniendo encuenta tanto su pasado como el pasado de la serie Xt.

En esta seccion vamos a presentar como se deben de realizar las prediccionessuponiendo que el modelo es el adecuado. Comprobaremos que las prediccionesson las mnimo-cuadraticas y presentaremos una formula de actualizacion cuan-do se dispone de una nueva observacion, tanto de Xcomo de Y.

3.7.1. Prediccion para series estacionarias

Supongamos que tanto la serie Xt como la serie Yt son estacionarias y queestan relacionadas mediante el siguiente modelo de funcion de transferencia

Yt=(B)

(B)BbXt+

(B)

(B)at, (3.7)

y

x(B)Xt = x(B)t, (3.8)

donde(B), (B), (B), (B), x(B),y x(B) son polinomios de orden finito enel operador de retardos B ; las races de (B) = 0, (B) = 0, (B) = 0, x(B) =0, yx(B) = 0 son todas en modulo mayor que uno; y atyt son series de ruido

blanco independientes con media cero y varianzas 2a y

2 , respectivamente.

Sean

u(B) =(B)Bbx(B)

(B)x(B) =u0+u1B+u2B

2 +. . .

y

(B) = (B)

(B) = 1 +1B+2B

2 +. . .

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3.7. PREDICCION 21

El modelo (3.7) se puede reescribir como

Yt= u(B)t+(B)at=j=0

ujtj+j=0

jatj , (3.9)

donde0= 1. Por lo tanto, si trasladamos el ndice temporal a t + lobtenemos

Yt+l =j=0

ujt+lj+j=0

jat+lj .

Sea Yt(l) =

j=0u

j+ltj +

j=0

j+latj la prediccion optima l instanteshacia adelante, de Yt+l, usando la informacion disponible hasta el instante t.Entonces el error de prediccion viene dado por

Yt+lYt(l) =l1j=0

[ujt+lj+jat+lj]j=0

[ul+jul+j ]tjj=0

[l+jl+j ]atj.

El error cuadratico medio sera por lo tanto

E

Yt+l Yt(l)2

=l1j=0

[u2j2 +

2j

2a]+

j=0

[ul+jul+j ]22 +

j=0

[l+jl+j ]22a.

La cantidad anterior es mnima si se seleccionan ul+j = ul+j y

l+j = l+j ,j = 0, 1, . . . Es decir, la prediccion mnimo-cuadratica se obtiene mediante laesperanza condicionada de Yt+l a la informacion disponible hasta el tiempo t.

En este caso, es claro que la varianza del error de prediccion viene dada por

V(l) = E

Yt+l Yt(l)2

=2

l1j=0

u2j +2a

l1j=0

2j . (3.10)

En la practica no se usa la expresion de la prediccion en funcion de losprocesos de innovacion y a, sino que, como veremos al final de la pr oximaseccion, se utilizan tambien los valores de las seriesX e Y.

3.7.2. Prediccion en modelos no estacionarios

En este caso suponemos que las series Yt y Xt no son estacionarias y que

necesitan ser diferenciadas d1 y d veces, respectivamente, para lograr la esta-cionariedad. Vamos a comprobar que la prediccion mnimo cuadratica de Yt+lviene de nuevo dada por la esperanza condicionada de Yt+l al tiempo t inclusocuando las variables no son estacionarias. Supongamos que el modelo de funcionde transferencia en este caso viene determinado por las ecuaciones

(1 B)d1Yt=(B)

(B)Bb(1 B)dXt+

(B)

(B)at, (3.11)

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y

x(B)(1B)

d

Xt= x(B)t, (3.12)donde (B), (B), (B), (B), x(B), x(B), at y t estan definidas como en(3.7) y (3.8). De (3.11) podemos deducir la siguiente relacion

Yt = (B)x(B)

(B)x(B)(1 B)d1Bbt+

(B)

(B)(1 B)d1at, (3.13)

que nos va a servir para el calculo de los pesos uj y j en el planteamiento deun modelo similar a (3.9).

Para el calculo de los pesos j , consideremos

et = (B)

(B)(1B)d1at,

y expresemos et mediante una representacion AR (existe ya que las races de(B) = 0 son en modulo mayores que 1). As,

(a)(B)et= at,

donde

(a)(B) = 1 i=0

(a)j B

j =(B)(1B)d1

(B) .

Por ello, la representacion AR adopta en el punto t la expresion

et =

j=1

(a)

j etj+ at. (3.14)

Si le aplicamos el operador

1 +1B+ +l1Bl1,

obtenemosj=0

l1k=0

(a)j ketjk+

l1k=0

katk = 0, (3.15)

donde (a)0 = 1 y 0= 1. Facilmente se comprueba la relacion

j=0

l1k=0

(a)j ketjk =(a)0 et+

l1m=1

mi=0

(a)miietm+j=0

l1i=0

(a)l1+jiietlj+1.

Si elegimos los pesos de forma que

mi=0

(a)mii = 0, param= 1, 2, . . . , l 1,

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3.7. PREDICCION 23

obtenemos

et =

j=1

j etlj+1+

l1i=0

iati,

donde

j =l1i=0

(a)l1+jii.

Los valoresj se pueden calcular recursivamente a partir de los (a)j usando

la siguiente relacion:

j =

j1i=0

(a)jii j = 1, . . . , l 1.

Este procedimiento nos permite expresaretcomo una combinacion de valoresde ruido at desde t a t l+ 1 y valores de su pasado empezando en t l, conlo que se consiguen, de cierta forma, los coeficientes para una representaci onMA. En el caso estacionario, la relacion anterior coincide con la representacionMA() de la serie.

De igual forma se calculan los coeficientes ui para el cociente de polinomios

(B)x(B)

(B)x(B)(1 B)d1Bb.

En este caso, la relacion en base a la representacion AR

v

(B)ct= t

para la serie

ct = x(B)

(B)x(B)(1B)d1Bbt

viene dada por la solucion iterativa de

uj =

j1i=0

vjiu

i , j = 1, . . . , l 1.

Los coeficiente uj se calculan aplicando el filtro (B) a los anteriormente cal-culados.

Razonando de forma similar a la seccion anterior, el predictor mnimo-cuadratico deYt+l tiene la expresion

Yt(l) =j=0

ul+jtj +j=0

l+jatj .

La varianza del error de prediccion viene dada de nuevo por la expresion (3.10).

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Para el calculo de las predicciones, transformamos el modelo (3.11) en formade ecuacion en diferencias,

f(B)Yt = g(B)Xtb+h(B)at, (3.16)

donde

f(B) = (B)(B)(1B)d1 = 1 f1B f2B2 fp+r+d1B

p+r+d1 ,

g(B) = (B)(B)(1 B)d =g0 g1B g2B2 gp+s+dB

p+s+d,

y

h(B) = (B)(B) = 1 h1B h2B2

hq+rBq+r

.

As, tomando esperanzas condicionadas a la informacion disponible en el in-stante t (igual que se realiza sobre el modelo (3.9)) obtenemos

Yt(l) = Et(Yt+l) =

= f1Yt(l 1) + +fp+r+d1 Yt(l p r d1) +g0Xt(l b) . . .

gp+s+d Xt(l b p s d) + at(l) h1at(l 1) hq+rat(l q r)

(3.17)

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3.7. PREDICCION 25

donde

Yt(j) =

Yt+j j 0Yt(j) j >0

Xt(j) =

Xt+j j 0

Xt(j) j >0

at(j) =

at+j j 00 j >0

son las esperanzas condicionadas de las variables Yt+j , Xt+j y at+j , respecti-vamente. Los valores de at, que aparecen en la ultima igualdad, se calculandespejando el valor del ruido de la ecuacion (3.16).

3.7.3. Prediccion mediante intervalos de confianza

Para la prediccion mediante intervalos, vamos a hacer uso de la expresi onde la variableoutputen funcion de los procesos de ruidot y at. Esta expresionviene determinada por la ecuacion (3.9). Debido a la hipotesis de normalidadsobre estos procesos, se deduce que Yt+lcondicionada a la informacion disponiblehasta el tiempottiene distribucion normal, de media su esperanza condicionada,Yt(l), y varianza la del error de prediccionV(l) dada por la expresion (3.10).

Estimando los valores de las varianzas de los procesos de ruido y sustituyendoen (3.10), los l mites de confianza para la prediccion deYt+l al nivel de confianza1 vienen dados por

Yt(l) z/2V(l)1/2,

dondez es el cuantil de orden 1 de una distribucion Normal tipificada.

3.7.4. Actualizacion de predicciones

En esta subseccion presentamos como modificar las predicciones cuando sedispone de una nueva observacion (tanto para X como para Y). Una primeramodificacion de las predicciones consistira en aplicar la formula de prediccion(3.17) considerando como conjunto de observaciones 1, . . . , t , t +1. Sin embargo,vamos a plantear una ecuacion que permite una actualizacion de las prediccionesde forma facil y automatica en funcion de los errores de prediccion.

Si usamos la expresion de la serie en funcion de los procesos de ruido t yatobtenemos la expresion (3.9) para el instantet+l,

Yt+l =

j=0 u

jt+lj+

j=0

jat+lj .

La ecuacion de prediccion, suponiendo que se dispone de informacion unica-mente hasta el instantet, viene dada por

Yt(l) =j=l

ujt+lj +j=l

jat+lj , (3.18)

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mientras que si la informacion disponible es hasta el instante t + 1, la ecuacionpara el mismo instante temporal t +l responde a la expresion

Yt+1(l 1) =

j=l1

ujt+lj +

j=l1

jat+lj . (3.19)

Por ello se deduce que

Yt+1(l 1) = Yt(l) +ul1t+1+l1at+1. (3.20)

Es decir, la actualizacion de la prediccion aparece en funcion de la prediccionanterior mas una combinacion lineal de los valores de ruido t+1 y at+1. Elprimer valor de ruido corresponde al error de prediccion en la modelizacionARIMA de la serie X, ya estudiado en la prediccion de series univariantes, porlo que

t+1= Xt+1 Xt(1).

El valor deat+1se deduce del error de prediccion de Y. Si escribimos la ecuacion(3.20) para el instante de tiempo t + 1 obtenemos

Yt+1(0) = Yt(1) +u0t+1+0at+1.

Haciendo uso de que Yt+1(0) =Yt+1, 0= 1 y despejando at+1 obtenemos

at+1= Yt+1 Yt(1) u0t+1= Yt+1 Yt(1) u0(Xt+1 Xt(1)).

Por ello, la formula de actualizacion de las predicciones viene dada por

Yt+1(l1) = Yt(l)+ul1(Xt+1 Xt(1))+ l1[Yt+1 Yt(1)u0(Xt+1 Xt(1))].

3.8. Analisis espectral y modelos de funcion de

transferencia

Creemos conveniente dar una vision global del tratamiento de los modelosde funcion de transferencia, por lo que pasamos a presentar el tratamiento en eldominio de frecuencias. Este apartado aparece, en el programa propuesto para laasignatura, al final del tema dedicado al analisis espectral de series bivariantes.Por ello se asume en este punto que el alumno posee conocimientos basicos deanalisis espectral tanto univariante como bivariante.

En este caso vamos a suponer un modelo de funcion de transferencia masgeneral que hasta ahora, permitiendo la dependencia de valores del futuro. As el

modelo responde a la expresion

Yt =

j=

vjXtj+ Nt= v(B)Xt+Nt, (3.21)

donde v(B) =

j=vjBj , verificando que

j= |vj | < . Las series Xty Nt se asume que son independientes y que conjuntamente son estacionarias

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Por tanto,

fn() = fy() |v()|2fx() = fy()

|fxy()|2

f2x() fx()

= fy() fxy()fxy()

fx() =fy() fyx()f

1x ()fxy(),

donde denota el complejo conjugado, y se ha aplicado la relaci on fxy() =fyx(). Por lo tanto, la funcion de autocovarianzas del ruidoNtpuede obtenersede la ecuacion

n(k) =

fn()eikd. (3.26)

Sustituyendo las funciones de densidad espectral por sus estimaciones, estu-diadas en los temas dedicados a analisis espectral, podemos obtener las estima-

ciones de los pesos de respuesta a impulsos vk y las correlaciones del procesode ruido Nt, n(k). Estas estimaciones pueden ser usadas para identificar laestructura del modelo de funcion de transferencia como se hizo en seccionesprevias.

3.8.1. Otras funciones espectrales

La funcion de ganancia entre la serie xt y la serie yt se define como

Gxy() = |fxy()|

fx() .

Esta funcion se puede interpretar como un coeficiente de regresion del proceso

Yt sobre el proceso Xt en la frecuencia . Si aplicamos la relacion dada por laexpresion (3.23), se deduce que

Gxy() = |v()|.

La funcion de fase, debido a quefx() es no negativa y real-valuada, adquierela expresion

xy() = arg[fxy()] = arg[v()].

As, la fase entre el input y el output unicamente depende de la forma de lafuncion de respuesta a frecuencias v ().

Para la funcion de coherencia, o para su cuadrado (es la funcion que vamosa calcular), usamos las relaciones (3.22) y (3.25), con lo que obtenemos

K2xy() = |fxy()|2

fx()fy()= |v()|

2fx()fy()

= fy() fn()

fy() = 1

fn()

fy().

Por tanto, el coeficiente anterior, que se puede interpretar como un coeficientede determinacion para una regresion del proceso Yt sobre Xt en la frecuencia

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3.9. EJEMPLO PRACTICO 29

, es una medida de la proporcion entre el espectro del ruido y el espectro deloutputen la frecuencia. La coherenciaK

xy() se aproxima a cero si el cociente

fn()/fy() se aproxima a uno. La ecuacion (3.25) se puede interpretar comoque la funcion de densidad espectral del outputes la de la senal mas el efectodel ruido, y podemos plantear la siguiente relaci on entre el ruido y la senal:

fn()

fs() =

1 K2xy()

K2xy() ,

dondefs() = |v()|2fx() representa la senal del sistema. Si la coherencia espequena la fraccion anterior es grande y viceversa. Equivalentemente, se puedeprobar que

K2xy() = fs()/fn()

1 +fs()/fn().

El cociente entre ruido y senal puede ser usado como criterio para la selecciondel modelo, de modo que un modelo con menor valor uniforme de este cocientees claramente preferible.

3.9. Ejemplo practico

En esta seccion vamos a presentar como se aplican las tecnicas estudiadas enesta leccion. Para ello utilizaremos de forma simultanea tres programas, Stat-graphics, BMDP e ITSM. El primero es bastante limitado y unicamente nospermite realizar la modelizacion unidimensional de cada serie y el estudio de lacorrelacion cruzada. El programa BMDP (modulo 2T) es el que mas amplia-

mente utilizaremos a lo largo de toda la aplicacion, siendo muy flexible y obte-niendo unos resultados claros y precisos, aunque complementaremos con algunosgraficos creados con una simple hoja de calculo (EXCEL). El ultimo, ITSM, esun programa que limita en cierta forma los grados de los polinomios de retardos,pero debido a que es utilizado en el desarrollo del curso para la modelizacionunidimensional, parece aconsejable ilustrar como se realiza la modelizacion defunciones de transferencia usando este software.

Los datos que vamos a utilizar son datos mensuales que corresponden alinicio de construccion de casas y ventas de las mismas en los Estados Unidos,en miles de unidades, desde Enero de 1965 a Diciembre de 1975. Esta seriebivariante ha sido estudiada por otros autores como, por ejemplo, Hillmer yTiao (1979), Abraham y Ledolter (1983) y Pankratz (1991).

3.9.1. Identificacion usando el metodo de Box-Jenkins

En este apartado vamos a sugerir modelos tentativos de funcion de transfer-encia para posteriormente estimarlos y decidir cual de ellos sera mas adecuado.

En primer lugar estudiamos si las series necesitan alguna transformacion detipo Box-Cox para estabilizar la varianza. Los graficos de las series que aparecenen las figuras 1 y 2 no sugieren la necesidad de tal transformaci on.

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Serie de construcciones.

Serie de ventas.

Posteriormente realizamos un estudio de la causalidad. En principio no sepuede descartar la retroalimentacion, ya que una venta elevada de casas puedeinfluir en una mayor construccion y, recprocamente, una mayor construccionpuede acarrear una mayor disponibilidad de casas con lo que el precio de lasmismas descendera y por ello se producira una mayor venta. Para el estudiode la causalidad, calculamos los residuos de una modelizacion univariante decada serie. En ambos casos, las series se modelizan mediante una estructuraSARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)12. Si llamamosYt(CONSTR en el programa BMDP)a la serie de construcciones y Xt(VENTA en el programa BMDP) a la de ventasobtenemos que el correlograma entre X

te Y

t para retardos oscilando entre -16

y 16 viene dado por la figura 3. Los p arrafos necesarios en el programa BMDPpara este estudio son los siguientes:

ARIMA

VAR=VENTA.

DFORDER=1,12.

MARORDER=(1),(12)./

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ESTIMATION

RESID=RVEN.

METHOD=BACKCASTING./

ERASE

MODEL./

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Se observa, al no presentarse valores significativos en retardos negativos, que noparece equivocado suponer una relacion de causalidad unidireccional, es decir,que la serie de ventas causa a la de construcciones pero no al contrario.

Una vez identificada la relacion de causalidad, pasamos a la identificacionpropiamente del modelo. Como indica el ttulo de esta subseccion, vamos autilizar el metodo de Box y Jenkins. Anteriormente se comento que las seriesse modelizan mediante una estructura SARIMA(0, 1, 1) (0, 1, 1)12. Por ello,trabajaremos con las series diferenciadas yt = (1B )(1 B12)Yt, y xt =(1 B)(1 B12)Xt. El modelo correspondiente a la serie xt viene dado por laexpresion

xt = (1 0.1648B)(1 0.8837B12)t.

Filtramos la serie yt usando este mismo modelo y calculamos la funci on decorrelacion cruzada entre los residuos t y la serie obtenida de la aplicacion delfiltro anterior. Esta funcion de correlacion va a ser de ayuda para plantear laestructura de la funcion de transferencia v(B), ya que los pesos de respuestaa impulsos son proporcionales a los valores que toma la misma. La figura 4presenta esta funcion. Las ordenes necesarias para su calculo usando BMDPson las siguientes:

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ARIMA

VAR=VENTA.

DFORDER=1,12.

MARORDER=(1),(12)./

ESTIMATION

RESID=RVEN.


FILTER

VARIABLE=CONSTR.

RESIDUAL=FCON./

CCF

VARIABLES=RVEN,FCON.

MAXLAG=16./

Correlaciones cruzadas entre t y la serie Yt filtrada.Los valores proporcionados son los siguientes

CORRELATION OF RVEN AND FCON IS 0.22

CROSS CORRELATIONS OF RVEN (I) AND FCON (I+K)

1- 12 .33 .18 .12 0.0 .11 -.02 -.01 -.04 .03 0.0 -.01 -.02

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10

13- 16 -.03 -.02 .04 .04

ST.E. .10 .10 .10 .10

CROSS CORRELATIONS OF FCON (I) AND RVEN (I+K)

1- 12 .11 .01 .06 .03 .01 -.14 .11 -.04 -.03 .13 -.06 -.02

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10

13- 16 .03 .05 -.16 .02

ST.E. .10 .10 .10 .10

Como es logico no aparecen valores negativos significativos. Los valores positivossignificativos son 0, 1 y 2, aunque se puede interpretar como un decaimiento apartir del retardo 1. Por ello podemos plantear los siguientes tipos de funcionesde transferencia:

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v(B) = 0+1B+2B2

v(B) = 0+1B

1 1B

v(B) = 01 B

,

donde el tercero se introduce como una simplificacion del segundo.Para el primer modelo planteamos el siguiente programa que almacena los

valores del ruido Nt en la variable RESN.

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

DFORDER=1,12./

INDEPENDENTVARIABLE=VENTA.

DFORDER=12,1.

TYPE=RANDOM.

UPORDER=(0,1,2)./

ESTIMATION

RESID=RESN.


Un estudio del comportamiento de esta variable sugiere una modelizacionSARIMA(0, 0, 1) (0, 0, 1)12, por lo que el parrafo ARIMA se modifica a

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

MAORDER=(1),(12).

DFORDER=1,12./

Para el segundo modelo, la serie de sentencias que debe de contener el pro-grama son

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

DFORDER=1,12./

INDEPENDENT

VARIABLE=VENTA.

DFORDER=12,1.

TYPE=RANDOM.

UPORDER=(0,1).SPORDER=(1)./

ESTIMATION

RESID=RESN.


El estudio de los residuos sugiere una estructura SARIMA(0, 0, 1) (0, 0, 1)12para los mismos, con lo que la modificacion es la misma que en el caso anterior.

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El tercer modelo, que en principio no parece muy logico ya que hay un crec-imiento del valor en el retardo nulo al retardo uno en la funcion de correlacioncruzada, se introduce debido a que al realizar la predicci on en el anterior modelono parece adecuado al no ser uno de los coeficientes significativamente distintode cero y, por ello, se realiza una pequena modificacion del mismo. En este casoel programa BMDP vendra dado por

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

DFORDER=1,12./

INDEPENDENT

VARIABLE=VENTA.

DFORDER=12,1.

TYPE=RANDOM.

UPORDER=(0).

SPORDER=(1)./

ESTIMATION

RESID=RESN.


El estudio de estos residuos propone de nuevo la misma modificaci on delprograma, es decir, indica que su estructura se puede modelizar mediante unmodelo SARIMA(0, 0, 1) (0, 0, 1)12.

3.9.2. Estimacion

Los resultados de la estimacion, que son realizados al incluir el parrafo ES-

TIMATION en el programa BMDP, vienen dados por como sigue:

Para el primer caso

OUTPUT VARIABLE -- CONSTR INPUT VARIABLES -- NOISE VENTA

VARIABLE VAR. TYPE MEAN TIME DIFFERENCES

1 12

CONSTR RANDOM 1- 132 (1-B ) (1-B )

12 1

VENTA RANDOM 1- 132 (1-B ) (1-B )

PARAMETER VARIABLE TYPE FACTOR ORDER ESTIMATE ST. ERR.

T-RATIO

1 CONSTR MA 1 1 0.6940 0.0709 9.79

2 CONSTR MA 2 12 0.7455 0.0716 10.41

3 VENTA UP 1 0 0.4571 0.1452 3.15

4 VENTA UP 1 1 0.6359 0.1523 4.18

5 VENTA UP 1 2 0.3468 0.1419 2.44

Para el segundo caso

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1 12


12 1

VENTA RANDOM 1- 132 (1-B ) (1-B )


T-RATIO

1 CONSTR MA 1 1 0.6560 0.0686 9.56

2 CONSTR MA 2 12 0.8620 0.0287 29.99

3 VENTA UP 1 0 0.4762 0.1416 3.36

4 VENTA UP 1 1 0.7535 0.1726 4.37

5 VENTA SP 1 1 0.09012 0.1021 0.88

Para el tercer caso


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1 12


12 1

VENTA RANDOM 1- 132 (1-B ) (1-B )


T-RATIO

1 CONSTR MA 1 1 0.5445 0.0727 7.49

2 CONSTR MA 2 12 0.8664 0.0268 32.28

3 VENTA UP 1 0 0.7299 0.1311 5.57

4 VENTA SP 1 1 0.2763 0.0734 3.77

Los resultados que obtenemos son las estimaciones de todos los parametros.El tipo MA hace referencia al polinomio (1 B)(1 B12) que modeliza al

ruido Nt, indicando la columna ORDER el parametro correspondiente. El tipoUP corresponde a la estructura del polinomio (B) en el que se descomponela funcion de transferencia; en caso de que aparezca decalaje sumaremos a laespecificacion dicho valor (por ejemplo, B2(0+ 1B) se representa medianteUPORDER=(2,3)). La columna ORDER de nuevo nos indica el subndice ide i. Por ultimo, el tipo SP esta asociado a la estructura del polinomio (B),que aparece al descomponer como cociente de polinomios en el denominador dev(B).

En la columna ESTIMATE aparecen las estimaciones de los coeficientes jun-to, con sus desviaciones tpicas en la columna ST. ERR. En la columna T-RATIOaparecen los valores de la t de Student en un test en el que la hip otesis nulacorresponde a el coeficiente vale cero, por lo que un valor grande (en generalsuperior a dos) indicara que el coeficiente es significativo, mientras que un val-or pequeno significara que podra ser considerado como cero, indicandonos quedeberamos modificar el modelo. Salvo en el segundo caso, donde el coeficiente1 aparece como no significativo, todos los coeficientes son significativamentedistintos de cero.

3.9.3. Validacion

El estudio de validacion se desarrolla fundamentalmente centrandose en elcomportamiento de los residuos at (que estan almacenados en RESN) y larelacion con la serie inputo en su caso con t.

Para el estudio de la serie de residuos at, estudiamos su funcion de autocor-relacion y autocorrelacion parcial, as como el test de Ljung-Box. Esto se realiza

mediante los siguientes parrafos

ACF

VARIABLE=RESN.

MAXLAG=24.

LBQ./

PACF

VARIABLE=RESN.

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MAXLAG=24./

Los resultados obtenidos para el primer modelo ajustado son los siguientes:

AUTOCORRELATIONS

1- 12 .03 .04 .03 -.10 -.04 -.03 -.14 -.06 .12 .01 .10 -.02

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10 .10

L.-B. Q .10 .20 .30 1.6 1.8 1.9 4.3 4.8 6.8 6.8 8.0

8.0

13- 24 .05 .11 .05 -.18 0.0 .01 .01 .10 -.13 -.22 -.01 -.11

ST.E. .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .11 .11

L.-B. Q 8.4 10. 10. 15. 15. 15. 15. 16. 19. 26. 26.

28.

PARTIAL AUTOCORRELATIONS

1- 12 .03 .04 .02 -.10 -.03 -.02 -.13 -.07 .13 .01 .06 -.05

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09

13- 24 .07 .10 .05 -.18 .03 .06 .04 .05 -.12 -.25 -.04 -.12

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09

Con ello se observa que, salvo en el retardo 22, los valores de autocorrelaci ony autocorrelacion parcial no son significativos. El contraste de Ljung-Box, porejemplo para las primeras 12 autocorrelaciones, toma el valor de 8.0 (ultimafila), mientras que el valor teorico de una Chi-cuadrado con 10 grados de libertad(12 2, ya que se estiman 2 parametros en la modelizacion SARIMA(0, 0, 1)(0, 0, 1)12de los residuos) vale 18.4 al 5 %, por lo que no se rechaza la hipotesisde incorrelacion de los residuos.

La funcion de correlacion cruzada entre las series t yat se construye anadi-endo un parrafo de la forma

CCF

VARIABLES=RVEN,RESN.

MAXLAG=16./

Los resultados obtenidos para el primer caso fueron

CORRELATION OF RVEN AND RESN IS 0.02

CROSS CORRELATIONS OF RVEN (I) AND RESN (I+K)

1- 12 -.01 -.06 .09 .01 .10 0.0 -.02 -.04 .12 .10 .06 .03

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10 .10 .10

13- 16 .01 -.01 .02 .02

ST.E. .10 .10 .10 .10

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CROSS CORRELATIONS OF RESN (I) AND RVEN (I+K)

1- 12 .14 .03 .07 -.01 .02 -.04 .20 .01 .03 .12 -.05 -.04

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10 .10 .10

13- 16 -.04 -.09 -.19 0.0

ST.E. .10 .10 .10 .10

Salvo la correlacion en el instante 7 los terminos de la funcion no son signi-ficativos, por lo que no hay evidencia de correlaci on entre los residuos at y laserieinputXt.

Para el segundo caso obtenemos resultados analogos. La funcion de auto-correlacion de los residuos es significativa en los retardos 21 y 22, al igual quela funcion de autocorrelacion parcial. La funcion de correlacion cruzada es sig-nificativa en los retardos 7 y 15, por lo que el modelo se puede considerarcomo valido.

Para el tercer modelo, obtenemos que la funcion de autocorrelacion cruzadatoma los valores

CORRELATION OF RVEN AND RESN IS -0.13

CROSS CORRELATIONS OF RVEN (I) AND RESN (I+K)

1- 12 .19 .18 .24 .04 .13 .01 .01 0.0 .09 .03 .03 .02ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10

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13- 16 0.0 -.05 0.0 .04

ST.E. .10 .10 .10 .10

CROSS CORRELATIONS OF RESN (I) AND RVEN (I+K)

1- 12 .12 .02 .09 -.03 -.02 -.10 .16 .02 .03 .09 -.04 0.0

ST.E. .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .09 .10 .10 .10 .10

13- 16 .02 -.07 -.22 -.01

ST.E. .10 .10 .10 .10

que resultan ser significativos para los valores -15, 1, 2 y 3. Por ello el modelose considera inadecuado.

Los dos modelos que obtenemos como validos tienen igual numero de paramet-ros, por lo que son igual de parsimoniosos. Sin embargo el segundo modelo tieneun coeficiente no significativo, de modo que optaremos por el primero.

La representacion en papel probabilstico normal de los residuos se puederealizar usando el modulo 5D de BMDP, usando un programa tan simple co-mo el siguiente (previamente hemos salvado los residuos RESN en un ficheroRESN.DAT):

/INPUT

TITLE IS DIBUJO EN PAPEL PROBABILISTICO NORMAL.

FILE = C:\PC90\RESN.DAT.

VARIABLES = 1.

FORMAT IS FREE.

/VARIABLE

NAMES=RESN.

/PLOT

TYPE=NORM.

VARIABLE=RESN.

/END

El resultado obtenido, que aparece en la figura ??, sugiere que se puede asumirnormalidad.

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Dibujo en pa

En cuanto a las propiedades de estabilidad, estacionariedad e invertibilidad,unicamente se estudia la propiedad de invertibilidad, ya que los polinomios(B) y (B) son iguales a 1. Como los estimadores de los coeficientes de laestructura de medias moviles son 0.694 y 0.7455 con desviaciones tpicas 0.0709y 0.0716, respectivamente, si construimos un intervalo de confianza para dichosparametros al 95 %, observamos que estos se encuentran comprendidos entre -1y 1. Por ello las races de (B) son en modulo mayores que 1, lo que asegura lainvertibilidad.

Otra tecnica de validacion es el sobreajuste. Si anadimos un nuevo coeficientea la estructura de la funcion de transferencia transformandola en v(B) =0+1B+2B

2 +3B3 y estimamos el modelo, obtenemos que los coeficientes 2

y 3 no son significativos. Por ello, el modelo anterior es preferible.

As el modelo que ajustamos a los datos disponibles responde a la estructuradeterminada por las siguientes ecuaciones:

12Yt = 0.457112Xt+ 0.6359

12Xt1+ 0.346812Xt2

+(1 0.6940B)(1 0.7455B12)at (3.27)

12Xt = (1 0.1648B)(1 0.8837B12)t (3.28)

El programa ITSM no se puede emplear en este caso, ya que limita losordenes de los polinomios de retardos a 11 (en nuestro caso el orden es 13 parala estructura MA por ejemplo); sin embargo, la funcion de correlacion cruzadaentre los residuos, que aparece en la figura ??, se realiza usando la primeraopcion del programa, en su modulo TRANS.

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Correlaciones cruzadas entre las series de resLa segunda opcion de este programa permite el ajuste de un modelo de la

forma

Yt =L

j=0vjXtj+ Nt,

donde no se supone ninguna estructura para el ruido Nt ni aparecen terminosconstantes. Una vez estimados los coeficientes vj , el tercer modulo nos permite

la obtencion de los residuos Nt para un tratamiento de los mismos. Los pasosanteriores nos sirven para proponer los ordenes de los polinomios de retardosque aparecen en el modelo de transferencia, as como para un estudio previoque sera necesario para la modelizacion unidimensional de la serie input. Estosdatos son necesarios en el ultimo modulo, donde se realiza la estimacion pormnimos cuadrados y la prediccion.

3.9.4. Modelizacion usando el metodo de la funcion de

transferencia lineal

En este caso trabajamos con las series originales. Ajustamos un modelo deltipo siguiente, con una estructura SAR(1) (1)12 para la componente Nt:

Yt = C+v0Xt+v1Xt1+ +v10Xt10+Nt.

Esto se realiza mediante las siguientes sentencias en BMDP:

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

CONSTANT.

ARORDER=(1),(12)./

INDEPENDENT

VARIABLE=VENTA.

TYPE=RANDOM.UPORDER=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)./

ESTIMATION


Una vez estimado el modelo, calculamos los valores del proceso Nt. Esto serealiza filtrando la serie Yt con el modelo estimado, eliminando la estructuraSAR. Las ordenes necesarias son

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ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

CONSTANT.

CVAL=-8.527./

INDEPENDENT

VARIABLE=VENTA.

TYPE=RANDOM.

UPORDER=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).

UPVALUES=0.6534, .7616, .329, .2717, -.1562, -.1002, -.1613

,0.3244E-01, -0.5303E-01, 0.1792, 0.1583./

FILTER

VARIABLE=CONSTR.

RESIDUAL=FCON./

donde los valores CVAL y UPVALUES son los estimados en el paso anterior.Posteriormente realizamos un estudio de la serie de residuos (FCON) que ponede manifiesto un decaimiento suave en los retardos 12, 24, 36,. . . , de la funcionde autocorrelacion. El grafico que muestra estas correlaciones viene dado por lafigura ??. Por ello, se diferencia la serie y se repite el mismo procedimiento.

Correlaciones de

El estudio de las autocorrelaciones de la serie de residuos para el modelo

12Yt= C+ v012Xt+v1

12Xt1+ +v1012Xt10+ nt,

aparece en la figura ??. En este caso es difcil decidir sobre la estacionariedad

en base a las correlaciones, ya que sus valores no son significativos para retardossuperiores a 4, salvo obviamente para el retardo 12. Sin embargo, un estudiomas detallado sugiere la necesidad de esta operacion. Por lo tanto, el modeloque ajustamos es del tipo

12Yt = C+v012Xt+v1

12Xt1+ +v1012Xt10+nt, (3.29)

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Correlaciones de la serie nt.

Correlaciones de la serie nt.

El grafico que recoge las autocorrelaciones de la serie nt aparece en la figura??. En este caso se puede asumir que es estacionaria, ya que los unicos retardossignificativos son el 1, 11 y 12. Los valores estimados de los parametros queaparecen en la ecuacion (3.29) figuran en la siguiente tabla (C = 0.015, conun valor de t asociado de -0.02)

k 0 1 2 3 4 5 6

vk 0.5160 0.6845 0.2020 0.2275 -0.1541 0.02914 0.04806|t| 3.05 3.92 1.15 1.33 0.90 0.02 0.28k 7 8 9 10 1 12

vk 0.00796 -0.07118 0.3498 0.06062 k -0.4972 -0.5882|t| 0.05 0.43 2.04 0.36 5.45 6.53

Unicamente los dos primeros valores parecen significativos, por ello parece con-veniente, despues de un estudio del comportamiento de los residuos, ajustar unmodelo de la forma

12Yt = v012Xt+v1

12Xt1+ (1 1B)(1 12B12)at (3.30)

Este modelo es una version simplificada del que hemos ajustado con el pro-cedimiento de identificacion de Box-Jenkins, ya que este no presenta el terminov2xt2. As, es de esperar que en la fase de validacion se proponga el modelocon este nuevo termino; de hecho, la funcion de correlacion cruzada entre lasseries de residuos at y t posee en este caso valores significativos para retardosbajos. Los resultados sobre estimacion aparecen en los apartados anteriores.

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3.9.5. Prediccion

La prediccion una vez que se han identificado los modelos (3.27) y (3.28) essimple. Hay que tener en cuenta que los valores de la serie inputtambien debende ser predichos si no se dispone de los valores reales. El programa en BMDPque realiza la prediccion para 12 instantes de tiempo futuros es el siguiente:

ARIMA

VARIABLE=VENTA.

DFORDER=1,12.

MAORDER=(1),(12)./

ESTIMATION


FORECASTING

CASES=12.

JOIN./ERASE

MODEL./

ARIMA

VARIABLE=CONSTR.

DFORDER=1,12.

MARORDER=(1),(12)./

INDEPENDENT

VARIABLE=VENTA.

DFORDER=1,12.

UPORDER=(0,1,2)./

ESTIMATE


FORECASTING

CASES=12./

END/

En el primer parrafo FORECASTING se introduce la sentencia JOIN para queanada los valores a la variable inputy los use para la prediccion de la variableoutput. Los valores obtenidos fueron

FORECAST ON VARIABLE CONSTR FROM TIME PERIOD 133

PERIOD FORECASTS ST. ERR. ACTUAL RESIDUAL

133 54.19576 6.21430

134 57.80467 6.55292

135 86.51464 6.87488

136 103.31430 7.18242137 106.12350 7.47732

138 103.76910 7.76103

139 99.90089 8.03472

140 96.96646 8.29939

141 88.99266 8.55588

142 91.05362 8.80490

143 76.28274 9.04707

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144 61.64089 9.28293

STANDARD ERROR = 6.21430 BY CONDITIONAL METHOD

Las columnas ACTUAL y RESIDUAL contendran los valores observados y losresiduos en el caso en que los valores sean observados (por ejemplo, si comen-zamos la prediccion a partir del instante 120).

tseries3

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