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TrigonometraCompendio de Ciencias - VI - A

111SISTEMA HELICOIDAL

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Trigonometra Compendio de Ciencias - VI - A

112 PASCUAL SACO OLIVEROS

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I. Si:x + y + z = 180Kentonces se cumple:

i. tgx + tg y + tgz = tgxtg y tgz

ii. ctgxctg y + ctg y ctgz + ctgz ctgx = 1

II. Si: x + y + z = 90 (2K + 1)

i. ctgx + ctg y + ctgz = ctgxctg y ctgz

ii. tgxtg y + tg y tgz + tgz tgx = 1

Ejemplos:

1. a + b + c = 180

tg a + tg b + tg c = tg a tg b tg c 2. 20 + 60 + 100 = 180

tg 20 + tg 60 + tg 100 = tg 20 tg 60 tg

Deducirlaspropiedadesparatresngulos.

Aplicardichaspropiedadesensituacionesproblemticas.

Relacionarlaspropiedadesconlasdenguloscompuestos.

1. Si: A + B + C = 180, demustrese que:tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C

Resolucin:

A + B = 180 C

tg (A + B) = tg (180 C)

tg A + tg B = tg C + tg A tg B tg C

2. Problema

Si: A + B + C = 90

Demustrese que:

ctg A + ctg B + ctg C = ctg A ctg B ctg C

Resolucin:

100

3. Reducir:

Resolucin:

Se tiene que: 20 + 30 + 40 = 90

ctg 20 ctg 30+ctg 40=ctg 20 ctg 30 ctg

40

Reemplazando:

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1. En un ABC reducir:

Rpta.: ...........................................................

2. En un ABC si:

ctg A = 5 ; ctg B = 4, calcule ctg C.

Rpta.: ...........................................................

3. Calcule K de:

tg 30 + tg 70 + tg 80 = K tg 70 tg 80

Rpta.: ...........................................................

4. Calcule:

E=ctg 40 ctg 60+ctg 60 ctg 80+ctg 80 ctg

40

Rpta.: ...........................................................

5. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

6. En un tringulo ABC se cumple:

tg A + tg B = 3 tg C, calcule:

Rpta.: ...........................................................

7. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

8. Si ABCD es un cuadrado, calcule: ctg .

Rpta.: ...........................................................

9. En un ABC resolver:

Rpta.: ...........................................................


Rpta.: ...........................................................

11. Calcule: ctg (O: centro)

Rpta.: ...........................................................

12. Si: tg2

70 tg 40 tg 40 es idntica a: K tgx,

calcule:

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1. En un ABC reducir:E = tg A + tg B + tg C tg A tg B tg C

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. Calcular:tg 21 tg 23 + tg 23 tg 46 + tg 21 tg 46

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


A) 1 B) 1 C) 2 D) 2 E) 3

4. Si: Tg A 1 = tg B = tg C + 1siendo ABC un tringulo, calcular:

tg A + tg2B + tg

3C

A) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) 20

5. Si las tangentes de los ngulos de un tringuloson nmeros enteros consecutivos, calcule la

suma de dichas tangentes.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 15

Rpta.: ...........................................................

13. En un tringulo ABC se cumple:

calcule: E = tg B (tg C tg A)

Rpta.: ...........................................................

14. Si: x + y + z = 40 reducir:

Rpta.: ...........................................................

15. Si:calcule: E = tg 18 + ctg 30 + tg 102

Rpta.: ...........................................................

6. Calcule ctg .

A) B) C) D) E) 2


A) 1 B) C) D) 3 E) 2

8. Si: , reducir:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. En un tringulo ABC:estn en progresin aritmtica.

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Calcule:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Si: ABCD es un cuadrado calcule: tg .

A) B) C) D) E)

Notas cortas

Miguel de Cervantes Saavedra yWilliam

Shakespearemurieronel23deabrilde1616.

(Poresosecelebraenesafechaeldainterna -

cionaldellibro)

Enrealidad,eslamismafechaperonoelmismo

da.Cervantesmuereel23deabrilde1616delcalendariogregorianoyShakespearedel

calendarioantiguo,yaqueInglaterraaceptla

reformasoloen1752.

Elfarmacista JohnPembertoninvent una

posinquecontenavinoycocanaylavenda

comoFrenchWineCoca-TnicoEstimulante

NerviosoIdeal.Amediadosdelosaos1880

lequitelvinoyleagregcafenaynuezde

kolaparadarlesabor.Enesemomentonaci

laCoca-Cola. IsadoraDuncan,bailarinamundialmentefamo-

sade losaos20s,muriasfixiadamientras

viajabaensuautomvilconvertible:subufanda

fueatrapadaporlaruedatrasera.

Debussytuvoqueconseguirclasesparticulares

depianoparapagareldesayunoasunovia

cuandodecas.

Elprimerintentoportendereltelgrafoentre

Francia e Inglaterra en1851 fracasporque

unpescadordeBoulognepens quehaba

pescadounaanguilagigante

Otro:sehanmedidodescargasdeanguilasde600volts.

EvanWheeler,unaactriz veterana, estaba

actuandounaescenademuerteenunaproduc-

cinllamadaTheDrunkardennoviembrede

1986enBaltimore,EstadosUnidos,cuandoal

actuarsuparte,callalsuelomuerta,perode

verdad,bajountremendoaplauso.

ElhombrequeescribiHogarDulceHogar,

JohnHowardPayne,nuncatuvounaresidencia

permanente. En1853,JohnCoffeeconstruylacarcelen

Dundalk,Irlanda.Quedenbancarrotaenel

proyectoyseconvirtienelprimerpresode

supropiacrcel.

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Deducirlasidentidadesdelngulodoble.

Deducirlaspropiedadesdelngulodoble.

Aplicardichasidentidadesensituacionesproblemticas.

Sabemos por ngulos compuestos:sen (A + B) = sen A cos B + sen B cos A

cos (A + B) = Cos A cos B sen A sen B

Sea: A = B =x reemplazando:

sen (x + x)= senxcosx + senxcosx

cos (x + x) = cos xcosx senxsenx

En resumen:

sen 2x = 2 senxcosx

Ejemplos:

1. sen 40 = 2 sen 20 cos 20

2. cos 20 = cos2

10 sen2

10

3.

4.

5.

6.

7.

8.

PROPIEDADES1. Degradacin:

Ejemplos:

i. 2 sen210 = 1 cos 20

ii. 2 cos220 = 1 + cos 40

iii. 2 sen2

3 = 1 cos 6

iv.

2. Tringulo del ngulo doble:

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De donde:

3.

Ejemplos:

i. tg 20 + ctg 20 = 2 csc 40

ii. ctg 40 tg 40 = 2 ctg 80

iii.

PROPIEDADES ADICIONALES

sec 2x+ 1 = tg 2xctgx

sec 2x 1 = tg 2xtgx

1. Si: sec2 + sec

2=n

calcule:

Resolucin:

Por las propiedades del ngulo doble:

Reduciendo:

Pero: 1 + tg2x = sec

2x

por dato:

2. Problema

Calcule la extensin de la expresin:

K = senxcos5x sen

5xcosx

Resolucin:

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1. Calcule la extensin de la expresin:K = senxcosx

Rpta.: ...........................................................

2. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

3. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir: E = tg 2 tg 2 tg2

Rpta.: ...........................................................

5. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

6. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

7. Calcule sen .

Rpta.: ...........................................................

8. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

9. Calcule K si:cos

2(45+)sen

2(45+)=K sen cos

Rpta.: ...........................................................

10. Si: , calcule: tg 2.

Rpta.: ...........................................................

11. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

12. Si: 0

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1. Reducir:

A) sen 2 B) cos 2

C) sen 4 D) cos 4

E) sen 8

2. Si: cos420 sen

420 = n

calcule: sen 25 cos 25

A) n B) 2n C) D) 4n E)

3. Reducir:

A) sen 2x B) 2 sen 2x

C) 4 sen 2x D)

E)

4. Si: , calcule: cos 2x

A) B)

C) D)

E)

5. Reducir:A) sen 2 B) cos 2 C) tg 2

D) ctg 2 E) csc 2

6. Si: tg 40 + tg 50 = K sec 10, calcule K

A) B) C) 1 D) 2 E) 4

7. Si: , calcule: 2 csc 2A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) 51

A) B) C)

D) E)

10. Si: , reducir:

A) 4 sen B) 4 cos C) 4 sen 2

D) 2+4 cos E) 2

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Deducirlasidentidadesdelngulomitad.

Deducirlostringulosnotablesde2230'y6730'.

Aplicarlasidentidadesensituacionesproblemticas.

Por degradacin:

Despejando:

Adems:

donde el smbolo (+) o () va a depender del cua-

drante del ngulo .

Ejemplo 1Calcule: sen 2230'

Resolucin:

Ejemplo 2

Si: , calcule:

i. ii.

Resolucin:

i.

ii.

FRMULAS RACIONALIZADAS

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Ejemplos:

1. tg 20 = csc 40 ctg 40

2. ctg 10 = csc 20 + ctg 20

3.

4.

1. Si:

calcule:

Resolucin:

De las ecuaciones:

... (1)

... (2)

(1) + (2):

cscx + ctgx + csc y + ctg y = sec + tg

... (3)

(1) (2):

cscx ctgx+ csc y ctg y = sec tg

... (4)

(3) (4):

POR IDENTIDADES:

Reemplazando:

2. Problema Si: (m+n) cscx + (mn) ctgx= 2

demustrese que:

Resolucin:

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1. Si:

calcule: i. ii.

Rpta.: ...........................................................

2. Si:

calcule:

Rpta.: ...........................................................

3. Si:

calcule:

Rpta.: ...........................................................

4. Si:

calcule:

Rpta.: ...........................................................

5. Si: , calcule:

Rpta.: ...........................................................

6. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

7. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

8. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

9. Simplificar:

Rpta.: ...........................................................

10. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

11. Si: reducir:

Rpta.: ...........................................................

12. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

13. Si: , calcule:

Rpta.: ...........................................................

14. Si: (a + b) cscx + (ab) ctgx= K

calcular:

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Rpta.: ...........................................................

15. S i : , c a l c u l e :

Rpta.: ...........................................................

1. Si:

calcular:

A) B) C)

D) E)

2. Calcule:

A) B)

C) D)

E)

3. S i : r e d u c i r :

A) 1 B) 2 C)

D) E)

4. Reducir:

A) 1 B) 1 C) D) E) 2

5. Reducir:A) tg 40 B) ctg 40 C) tg 5

D) ctg 5 E) sen 5

6. Calcule: M = tg 15 + ctg 15

A) 1 B) 2 C)

D) E) 3

7. Si: , calcule:

A) B) C) D) E)

8. Si: (y + z) cos =x(z + x) cos = y

(x + y) cos =z

calcule:

A) 1 B) C) 2 D) E)

9. Simplificar:

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A) cscx B) cac 2x C) secx

D) sec 2x E) 0

10. Si: cscx+ csc y = actgx+ ctg y = b

calcule:

A) B)

C) D)

E)

Notas cortas

DonRoyC.Sullivan,deVirginia,EE.UU.ha

sidoalcanzadopor7rayos:

1942:perdilauadeldedogordodelpie.

1969:lascejas.

1970:quemadurasenelhombroizquierdo.

1972:sequemelpelo.

1973:peloypiernas.

1976:heridoeneltobillo.

1977:pechoyestmago

Vincent VanGogh vendisolo una pintura

mientrasvivia:RedVineyardatArles.

AmadeusMozartaloscatorceaosdeedad

transcribiMisereredeAllegri,completay

sinerrores,luegodeescucharlatan solounavez.

ElvisPresleynacienelsenodeunafamilia

pobredeMississippi.Cuandocumpli11aos,

suspadresnopudieroncomprarlelabicicleta

quedeseabayloconsolaronconunaguitarra

que,enltimainstancia,lostranquilizabapor-

queleimpedirameterseenlos.

SamuelMorseintentconseguircrditosentre

1832y1843.Losprestamistasleaseguraron

quesuinvento,eltelgrafosinhilos,notena

futuro.

Odn,fueobispodeBayeux,ymedio her-

manodeGuillermoelconquistador,combata

utilizandounamaza,porqueensucondicin

deeclesisticonopodaderramarsangre.

Antesde su carrera como actores, Sean

Connerypulaatades;WhoopiGoldbergera

cosmetlogadecadveres;SylvesterStallone

limpiabalasjaulasdelosleonesenunzoolgico

enelBronx;HarrisonForderacarpinteroy

RockHudsonerachoferdecamiones.Adolfo

Hitlerpintabatarjetasenacuarelaparavender-

lasalosturistas.

LaArmadasuecaconfundivisones(mamferos

carnicerossemejantesalanutria)consubma-

rinosenemigosen1994.

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Deducirlasidentidadesdelngulotriple.

Deducirlasidentidadesespeciales.

Aplicarlasidentidadesensituacionesproblemticas.

IDENTIDADES ESPECIALES

Ejemplos:

1.

2.

3.

PROPIEDADES

i.

ii.

iii.

Recordando:

sen(2x+x)=sen 2xcosx+ senxcos 2x

sen 3x = 2 sen xcosxcosx + senx(cos2x

sen2x)

sen 3x= 2 senxcos2x + senx(1 2 sen

2x)

sen 3x= 2 sen x (1 sen2x) + sen x (1 2

sen2x)

sen 3x= 2 senx 2 sen3x+ senx 2 sen

3x

Reduciendo:

En forma anloga se obtiene que:

Ejemplos:1. sen 6 = 3 sen 2 4 sen

32

2. cos 90 = 4 cos33 3 cos 3

3.

4. sen 9 = 3 sen 3 4 sen33

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1. Si:

calcule:

Resolucin:

De la condicin:

Ordenando:

Por ecuacin cuadrtica:

Adems:

2. Problema Demustrese que:

Resolucin:

1. Si: 3 sen 2 = 0, calcule: 27 sen 3

Rpta.: ...........................................................

2. Si: 4 cos + 1 = 0, calcule: 16 cos 3

Rpta.: ...........................................................

3. Si: , calcule: tg 3x

Rpta.: ...........................................................

4. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

5. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

6. Calcule: M = 6 sen 20 8 sen330

Rpta.: ...........................................................

7. Calcule: K = 16 Cos35 12 cos 5 csc 45

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Rpta.: ...........................................................

8. Calcular el valor de la expresin:

M = tg 20 tg 40 tg 80

Rpta.: ...........................................................

9. Reducir: E = 9 sen2x 24sen

4x+ 16 sen

6x

Rpta.: ...........................................................

10. Si:

calcule: m+n

Rpta.: ...........................................................

11. Reducir:

Rpta.: ...........................................................

12. En la siguiente identidad:

calcule: m+n

Rpta.: ...........................................................

13. Calcule x.

Rpta.: ...........................................................

14. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

15. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

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1. Si: , calcule:

A) B) C) D) E) 1

2. Calcule: E = 3 cos 40 4 cos340

A) B) C)

D) E) 1

3. Si: , calcule: tg 3x.

A) B) C)

D) E)

4. Si: , calcule K.A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

5. Halle el valor de: E = 4 cos 5 cos 55 cos65

A) B) C)

D) E)

6. Reducir: M = sen 3xsen3x+ cos 3xcos

3x

A) sen32x B) cos

32x C) sen

32x

D) cos32x E) 1

7. Calcule: P = 6 cos233 4 sen

324 cos 18

A) B) C) 1

D) 2 E) 3

8. Si: ,

calcule:

A) 3a 4a3

B) 6a 8a3

C) 3a 2a3

D) 2a3

3a

E) 3a a3

9. Halle el valor de la expresin:

A) 1 B) 2 C) 3 D) E)

10. Si:

calcule:

A) B) C)

D) E)

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Notas cortas

Dr.SeussescribiellibroGreenEggsandHam

despusdequesueditorlodesafiacrearun

libroconmenosde50palabrasdiferentes.

Otro:ErnesVincentWrightescribiounanobela

llamadaGadsbyquecontienemasde50.000

palabras,yningunadeellascontienenlaletra

e.

UnclientedelrestauranteMoonsLakeHouse,

enSaratogaSprings,sequejdequelaspapas

fritaseranmuygruesas,aguadasyquelesfal-

tabasal.GeorgeCrum,elchef,montenira

ycortlaspapastanfinascomopudo,lasfri,

salyentregalcliente,quienlasrecibicon

unasonrisa.Nacieronasloschipsquehoy

conocemos.

Edisonpromocionlasillaelctricaconobjeto

dedesacreditarasurival,Westinghouse,ensu

intentoporimponerlacorrientealterna.

CiertomsicoparaquienElvisaudicionensujuventud,ledijo:Sticktodrivingatruck,be-

causeyoullnevermakeitasasinger(Pgate

aconduciruncaminporquenuncalohars-

comocantante).(Elvisconducacamiones).

GeorgeW.Bushfuenominadoparaelpremio

nobeldelapaz,el5defebrerode2002.

GeorgeB.Dantzig,estudiantedelaUniversidad

deCalifornia,Berkeley,llegtardeaunaclase

deestadsticasyviodosproblemasescritosenel

pizarrn.Pensqueerauntareaylosresolvi,

sinsaberqueeranejemplosdeproblemasan

noresueltosenestadstica.

EnelsitiowebdeCNNsepublicaronporerror,

el16Abrilde2003,losobituariosyreportajesa

lamuerteacaecidadevariospersonajesvivos:

DickCheney,RonaldReagan,BobHope,Fidel

Castro,papaJuanPabloII,NelsonMandelay

GeraldFord.Tenanlosreportajeslistospara

unamuerterepentinayaccidentalmentecrea-

ronunlinkpblicoenlaweb.

AntonioMoreno,ungitanofrancs,obtuvoms

deUS6millonesenbeneficiosdeseguridad

social creando 197 familiares y 3mil hijos

ficticiosentre1960-68.

Hubo queamputar unapiernaal hijo de

HenriettaGreen(1835-1916)mientrasella

buscabaunaclnica gratuita, para nogastar

partedesusUS95millones.

JohnLeesobrevivia tres intentosdeahor-

camientoporqueelverdugonopudoabrirla

compuertaen1885,hastaquelefueconmu-

tadalapena.

LeBateau,deHenriMatisse,estuvoexpuesto

durante47das,en1961,enelMuseodeArte

ModernodeNuevaYork,antesdequealguien

notaraqueestababocaabajo.Habanpasado

frentealcuadroalrededorde116000personas

antesdequesedescubrieraelerror.

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