trigonometría en acción
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Esta es una presentación de Trigonometría elaborado para grado décimo en la IE Rafael Nuñez de Sincelejo, Sucre- Colombia.TRANSCRIPT
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INSTITUCION EDUCATIVA RAFAEL NÚÑEZ
SANDRA SALTARIN GOMEZSINCELEJO- SUCRE
2010
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Matemática: trigonometría
Que es la trigonometría? trigonometría, rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonometricas de ángulos. las dos ramas fundamentales son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
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Que es un Angulo?
el Angulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas del mismo origen
Los ángulos se identifican por 3 letras donde :
La letra central corresponde al vértice Las otras 2 letras son puntos cualquiera
de las semirrectas que lo forman
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Angulos: se clasifican en
Angulo recto : mide 90 grados Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90
Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180 Angulo llano: mide 180 grados
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Clases de angulos
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Ángulos : complementarios y suplementarios
son complementarios cuando la suma de sus valores es un ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es igual a la de dos rectos, es decir(180º).
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como saber si un ángulo es complementario o suplementario.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90°. Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90o.
Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o? Solución: 90° - 43° = 47°
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o. Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o.
Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o? Solución: 180° - 143° = 37°
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ÁNGULOS
Angulo coterminales- dos o mas ángulos que terminen en el mismo lugar.
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ANGULOS CUADRANTALES
EJEMPLOS:
A) sen 90o. Solución: Como sen q = y, sen 90o = 1 (la coordenada en y).
B) cot 180o. Solución: Como cot q = x/y, cot 180o = –1/0 = indefinida
C) sec 360o. Solución: Como sec q = 1/x, sec 360o = 1/1 = 1
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno = Opuesto/Hipotenusa Cosecante = Hipotenusa/Opuesto Coseno = Adyacente/Hipotenusa Secante = Hipotenusa/Adyacente Tangente = Opuesto/Adyacente Cotangente = Opuesto/Adyacente
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Trucos para memorizar fácilmente las 6 funciones trigonometricas:
SOHCAHTOA: Seno = opuesto/Hipotenusa
Coseno = Adyacente/Hipotenusa Tangente = Opuesto/Adyacente
CHOSHACAO:
Cosecante = Hipotenusa/Opuesto Secante = Hipotenusa/Adyacente Cotangente = Adyacente/Opuesto
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IDENTIDADES:
En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
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IDENTIDADES
Sec A = 1/Cos A ;Cos A Sec A = 1 Csc = 1/SenA ; Sen A Csc A = 1 Tan A = Sen A/Cos A Tan A Cot A = 1
Cot A = Cos A/Sen A
Sen²A+Cos²A = 1 Sen²A=1-Cos²A Cos²A=1-Sen²A
Tan²A+1=Sec²A Tan²A=Sec²A-1 1=Sec²A-Tan²A
Cot²A+1=Csc²A Cot²A=Csc²A-1 1=Csc²A-Cot²A
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ANGULOS
Ángulos Dobles sen2A=2senA cos A cos2A=cos²A-Sen²A tan2A=2TanA/1-Tan²A=Sen2A/Cos2A Csc2A=1/Sen2A Sec2A=1/CoS2A Cot2A=Cos2A/Sen2A
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IDENTIDADES
Ángulos Medios sen1/2 A=√1-cosA/2
Csc1/2 A= √1+cosA/2
Tan1/2 A = √1-cosA/1+cosA=Sen 2A/cos 2ª
Csc1/2 A = √1/sen2 A
Sec ½ A = √ 1 /cos2 A
Cot ½ A = √cos2 A/sen2 A
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IDENTIDADES
Suma y/o Resta De Ángulos sen(A±B) =sen A cos B ± Sen B Cos A Csc(A ±B) = 1/sen (A+B) Cos(A+B) = cosA cosB ±senA senB Sec(A ±B) = 1/cos (A ±B) Tan(A ±B) = TanA ±TanB/1 ±TanA TanB Cot(A ±B) = Cos(A ±B)/Sen(A ±B)
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IDENTIDADES
Ángulos Dobles
Sen2∞= 2Sen∞Cos∞ Csc2 ∞== 1 Cos2 ∞=cos² ∞ -Sen² ∞ sen2∞ Tan2 ∞ =2tan∞ = Sen2∞ Sec2 ∞= 1 1-tan²∞ cos2∞ Cos2 ∞
Cot 2 ∞=Cos2 ∞ = 1 Sen2 ∞ Tan2
∞
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IDENTIDADES
Ángulos medios
Sen1/2 ∞=√ 1-Cos∞ Csc1/2= 1
2 Sen1/2 ∞
Cos1/2∞= √ 1+Cos ∞ Sec1/2∞= 1
Tan1/2 = √ 1-Cos∞= Sen1/2∞ Cos1/2 ∞ 1+Cos∞ Cos1/2∞ Cot1/2∞= Cos1/2∞ Sen1/2∞
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IDENTIDADES
Ejemplos : Cot 120° (usando ángulos dobles y ángulos especiales). Cot2(60°) =Cos 2(60)= Cos²60-sen²60 Sen 2(60) 2Sen60Cos60 =(1/2) ² - (3/2) 2(3/2) (1/2) = 1/4 – 3/4 2√3/4 = -2/4 = 2 * √3 *√3 2 3√4 2√3 √3 √3
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Ley del Seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a, b y c
a/sin A = b/Sin B = c/Sin C
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Ley del Coseno
En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»
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TRIANGULOS ESPECIALES
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TRIANGULOS ESPECIALES
Se usa esta ecuación para graficar. y = ±C ±A sen o cos B(∞±D) C= desplazamiento A= amplitud B=numero de ciclos D=desplazamiento horizontal
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos: Función Seno
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos: Función Coseno
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos: Función Tangente
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos : Función Secante
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos : Función cosecante
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TRIANGULOS ESPECIALES
Ejemplos : Función Cotangente
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TRIANGULOS
Que es un triángulos ? Porción de plano limitada por 3 líneas que
se cortan de dos en dos, en un punto común llamado vértice, tiene 3 vértices y 3 lados.
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TRIANGULOS
Según sus lados como se define un triangulo ?
* Equilátero: tres lados iguales* Isósceles: dos lados iguales.
* Escaleno: tres lados desiguales.
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TRIANGULOS
Según sus ángulos los triángulos se clasifican
* Acutángulo: tres ángulos agudos* Rectángulo: un ángulo recto
* Obtusángulo: un ángulo obtuso
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TRIANGULOS
El área de un triangulo siempre se coloca en unidades cuadradas
El Área de un triangulo es = Base * altura sobre 2 Subperimetro: el perímetro dividido entre 2 El perímetro se saca sumando todos los lados del triangulo. Cateto al cuadrado+cateto al cuadrado=hipotenusa al
cuadrado Otra forma de sacar el Área de un triangulo es
A=√S(s-L1 )(S-L2 )(S-L 3 )
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TRIANGULOS
Ortocentro : Se denomina
ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas del triangulo.
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TRIANGULOS
Incentro : es el punto de corte de las bisectrices
interiores de un triangulo
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GEOMETRIA: ANALITICA
Que es la geometría Analítica y para que nos sirve ?
se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del Análisis matemático y del Algebra.
lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante formulas del tipo f(x,y)=0 donde f representa una función
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CIRCULO
Centro (0 ,0) X² + Y² =r² Centro (h , k) (x-h) ² +(y-k) ²= r²
Diámetro = 2 veces el radio
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CIRCULO
Distancia entre 2 puntos :
D=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
Distancia de un punto a
una línea :
D=/Ax+By+C/
√A²+B²
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CIRCULO
Punto Medio : Pm: (xm= x1+x2 /2) (ym= x1+x2 /2) Área del Circulo :
πr²
Formula General : X²+y²+Bx+Cy+D=0
Circunferencia o perímetro : 2πr
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CIRCULO
Cuando: El radio al cuadrado es mayor que 0,es
Circulo real. El radio al cuadrado es igual que 0, es
Punto. El radio al cuadrado es menor que 0 , es
Circulo Imaginario.
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CIRCULO
Área sector : πr²n / 360 Área Segmento : A Sector - AΔ
Longitud del sector 2πrn/360 Área Corona Circular πr² = πR² Β = π(R² - r²)
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ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Líneas tangentes trazadas desde un punto exterior con iguales, tienen la misma medida
∞= arco mayor – arco menor
2 L1=L2
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ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Líneas secantes : Trazados desde un punto exterior
Secante* Seg.Ext = Secante* Seg.Ext
B = arco - arco 2
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ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Línea tangente y secante :Trazados desde un punto exterior
Tan² = Secante* Seg.Ext
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ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO
Cuerdas que se cortan dentro de un circulo
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ANGULOS
∞= Angulo centra β= Angulo inscrito Angulo central = Arco Angulo inscrito=1/2 Arco
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ANGULOS
Punto a una razón dada = (xr = x1+r(x2-x1) (yr = y1+r(y2-y1) Area del triangulo: AΔ= B*h /2
A =√S(s-a)(s-b)(s-c) S=a+b+c / 2 AΔ equilatero = l²√3 / 4
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ANGULOS
Dados 2 puntos. Se busca la pendiente 1) M = y 2–y1
x2 - x1 2) y – y1 =m(x – x1 ) 3) (x1,y1)(x2,y2 )
Dado un punto y la pendiente 1) Encuentras M 2) P(x1,y1) 3) y – y1 =m(x – x1 )
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ANGULOS
Dada la pendiente (m) y el intercepto con el eje y (b) y=mx+b
Dado los 2 intercepto (a,b) x/a+y/b=1Forma general: Ax+By+C = 0 Para dar la inclinación de la línea Pendiente = tan β
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ANGULOS
Ecuación de la mediatriz: Mediatriz: es la linea que sale del punto
medio de un segmento en forma perpendicular.
Hallo punto medio del segmento Hallo pendiente de ese segmento y la
paso a perpendicular Hago la ecuación: y-y1 = m(x-x1)
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ANGULOS
Ecuación de la Altura : Hallo pendiente del segmento donde
llega y la paso a perpendicular Hago la ecuación con M y el punto
donde sale la altura : y-y1=m(x-x1)
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ANGULOS
Ecuación de la mediana : Mediana: es el segmento que tiene por
extremos, un vértice y el punto medio del lado opuesto.
1) Hallo punto medio del segmento donde 2) Busco pendiente del punto medio, y
punto de donde sale 3) Escribo la ecuación (y-y1)=m(x-x1)
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ANGULOS
Líneas paralelas tienen pendientes iguales
Líneas perpendiculares: inversas y signo contrario
m= -1/m Línea paralela al eje x tiene m = 0 Línea paralela al eje y tiene m = 1/0
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CONICAS
Elipse a=punto final eje mayor
sus coordenadas se llaman vértice
b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B
c= foco c² = a² – b²
Lr= lado recto lr=2b² /a E=exentridad e= c/a
e <1 e = c/aHorizontal Vertical x ² + y ² = 1 x ² + y ² =1 a ² b ² a ² b ²
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CONICAS
a=punto final eje mayor , sus coordenadas se llaman vertical
b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B
c= foco c ² = a ² - b ² Lr= lado recto lr= 2b ² /a
Excentridad e=c/a debe ser menor que 1
a= punto final eje real o transversal, sus coordenadas se llaman vértice
b= punto final eje conjugado o imaginario, sus coordenadas se llaman B
C= foco c ² =a ² + b ² Lr= lado recto lr= 2b ² /a E=c/a debe ser mayor
que 1
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CONICAS
Elipse E Hipérbola Elipse E Hipérbola
Horizontal Vertical C (0,0) C (0,0) v (±a,0) v (0, ±a) (0,±b) β (±b,0) f (±c,0) f (0, ±c) Pf (±c, ±1/2L) pf (±1/2Lr ±c)
Siempre c < a Siempre c > a
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CONICAS
Eje mayor o eje real o transversal= 2a Eje menor o eje conjugado o imaginario = 2b
Elipse hipérbola
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CONICAS
Distancia focal 2c El centro es el punto medio entre los dos
vértices (v), los dos puntos finales del eje menor o conjugado (B) o los dos focos (F).el foco es el punto medio entre los dos puntos finales.
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CONICAS
ELIPSE C (h,k) HIPERBOLA Horizontal Horizontal (x – h) ² + (y – k)² = 1 (x – h) ² - (y – k) = 1 a ² b ² a ² b ² Vertical Vertical (x – h) ² + (y – k) ² = 1 (y – k) ² - (x – h) ²
b ² a ² a ² b ²
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CONICAS
Elipse - Hipérbola Elipse – Hipérbola C (h,k) Horizontal C (h,k) Vertical v (h±a,k) v (h,k±a) (h,k±b) β (h±b,k) f (h±c,k) f (h,k±c) pf (h±c,k1/2L r) pf (h±1/2Lr,k±c)
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CONICAS
Parabola e = 1
v (0,0) v (h,k) y²= 4ax (y – k ) ² =4ª(x – h) Lr = 4ª Lr= 4a f (a,0) f ( h +a, k) D: x= -a D: x= h – a pf ( a, ±2ª) pf (h+a,k ±2a)
vf = vd
Distancia del vertice al foco = Distancia de vertice a directriz
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CONICAS
Vértice es el punto medio entre foco y directriz. Foco es el punto medio entre los 2 puntos finales.
y² = -4ac (y – k)²= -4ac (x – h) f (- a,0) f (h-a, k) D: x =a D: x= h +a pf (-a,±2ª) pf (h-a,k±2ª)
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CONICAS
x²=4ay (x-h)²= (y-k)
f (0,a) f(h,k+a) D: y=-a D: y= k -a pf=(±2a,a) pf(h±2a,k+a)
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CONICAS
x²= -4ay (x-h)²= -4 a (y-k)
f (0,-a) f(h,k-a) D: y=a D: y= k +a pf=(±2a,-a) pf(h±2a,k-a)
![Page 65: Trigonometría en Acción](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55994cc11a28ab591c8b4817/html5/thumbnails/65.jpg)
CONICAS
Curva Conica Sección Conica
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CONICAS
Elipse Hipérbola
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ECUACION DE LA LINEA
cuando te dan dos puntos. Se usa esta formula: M = y2 - y1/ x2 - x1
cuando te dan la ecuación Ax + By + C = 0. se usa esta formula :
M = -a/ b
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ECUACION DE LA LINEA
Aplicamos esta ecuación cuando tenemos
Y= mx+b Y-Y1 = m(x – x1 )
M = pendiente este lo uso cuando me un y= intercepto punto y la pendiente o me dan los puntos.
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ECUACION DE LA LINEA
Cuando nos dan los intercepto y la formula general.
Ax + By + C = 0 x + y = 1 Formula general de a b de una linea
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GENERALIDADES
Para hallar el intercepto en y: Igualo x = 0 y busco y para hallar el intercepto en x : igualo y = 0 y busco x
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GENERALIDADES
Para hallar la pendiente y la inclinación aplicamos la siguiente ecuación :
m = y2-y1 / x2-x1
y con la respuesta pongo en la calculadora shift tan de la respuesta:
Tan B =m
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GENERALIDADES
Para hallar la simetría: X = -x misma ecuación simétrica eje y Y = -y misma ecuación simétrica eje x Para hallar simetría en el origen: X=-x, y=-y misma ecuación simétrica origen
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GENERALIDADES
Cuando me dan la ecuación de una línea Ax+By+C = 0 m = -A / B
![Page 74: Trigonometría en Acción](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55994cc11a28ab591c8b4817/html5/thumbnails/74.jpg)
GENERALIDADES
Punto a una razon dada : Xr = X1 + r (x1 – x ) Yr = Y1 + r (y1 – y )
![Page 75: Trigonometría en Acción](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55994cc11a28ab591c8b4817/html5/thumbnails/75.jpg)
GENERALIDADES
Para hallar el punto medio : Xm = x1 + x2 / 2 Ym = y1 + y2 / 2
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GENERALIDADES
Dominio : también llamado -Codominio -Recorrido -Conjunto de llegada -Imagen
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GENERALIDADES
Rango : también nombrado -PRE imagen -conjunto de partida
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GENERALIDADES
Dominio : se despeja Y para hallar X En la respuesta se coloca D: XER/X≠ de la respuesta
![Page 79: Trigonometría en Acción](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012400/55994cc11a28ab591c8b4817/html5/thumbnails/79.jpg)
GENERALIDADES
Rango : se despeja x para hallar Y En la respuesta se colocaD: YER/Y≠ de la respuesta
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PARABOLA
Una parábola es el conjunto de puntos del plano cuya distancia a una recta fija es igual a la distancia hasta un punto fijo.
La recta fija se llama directriz de la parábola y el punto fijo se llama foco