trigonometría
TRANSCRIPT
La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas relaciones se aplican para resolver muchas situaciones de la vida cotidiana.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍAHISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es “la medición de los triángulos”.
Se deriva del vocablo griego:
τριγωνο <trigōno> “triángulo” + μετρον <metron> “medida”.
0º
90º =π /2 rad
180º =π rad
270º = 3π/2 rad
360º =2π rad
La longitud de una circunferencia es de 2πR. Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia mide 2π radios. Por tanto:
• 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81''• N grados = Nπ/ 180 radianes• n radianes = 180n / π grados
GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANESGRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”.
• Se simboliza sen B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
• El seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.
SENO DE UN ÁNGULO AGUDOSENO DE UN ÁNGULO AGUDO
sen B b bsen B1 c c
= ⇒ =
• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”.
• Se simboliza cos B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
• El coseno de un ángulo B es igual al cateto contiguo dividido por la hipotenusa.
c
acosB:.
c
a
1
cosB=Luego=
COSENO DE UN ÁNGULO AGUDOCOSENO DE UN ÁNGULO AGUDO
• Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento ST, se llama “tangente de B”.
• Se simboliza tan B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
tan B b btan B1 a a
= ⇒ =
• La tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto dividido por el cateto contiguo.
Como ABC y SBT son semejantes:TS sen B sen BTS1 cos B cos B
= ⇒ =
TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDOTANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO
Sentido negativo
Origen de medida de
ángulos
405º
–105º
Sentido positivo
Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo
menor que 360º definido por su misma posición
El ángulo reducido de 405º es el de 45º
AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULOAMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULO
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
(sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1
Dividiendo en la relación anterior por cos2 α
2 2
2 2 2
cos sen 1
cos cos cos
α α+ =α α α
212
1tancos
α+ =α
αcos
1
αcos
αcos α22
2
=+sen2
αcos
1
αcos
αcos
αcos
α22
2
2=
sen2 +
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
α
α=α
cos
sen tg
Dividiendo por tenemos:2sen α
2 2cos 1sen α α+ =2 2
2
cos1
sen
sen
α αα
+ =
2
2 2
cos 11sen sen
αα α
+ =
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
2
2 2
cos 11sen sen
αα α
+ =
α y y
y y
x
x x
r
r
r
α
αα
r
x
ry
rx
xy
=sen α
= cos α
= tg α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERARAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
r = 1 u.
r = 1 u.
r = 1 u.
α
αα
α
r = 1
u.
Cos
Sen
Cos α
Cos α
Sen α
Cos α
Sen α
Sen
0º
90º = π/2 rad
180º = π rad
270º =3π /2 rad
360º = 2π rad
Signos del (coseno, seno)en cada cuadrante
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS DISTINTOS CUADRANTESEN LOS DISTINTOS CUADRANTES
(+,+)(- ,+)
(-,-) (+,-)
III
III IV
Si un ángulo mide α su suplementario mide 180º – α.
α
x
y
–x
180º – α
y1
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
sen (180º – α) =
cos (180º – α) =
tan (180º – α) =
sen α
– cos α
– tan α
sen (180º + α) =
cos (180º + α) =
tan (180º + α) =
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α.
α
x–x
180º + α
y
–y
1
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
– sen α
– cos α
tan α
Sen (– α) = sen(360º – α) =
Cos (– α) = cos (360º – α) = χοσ α
Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α
–y
yα
x–α
1
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
tan (– α) = tan (360º – α) =
– sen α
– tan α
Si un ángulo mide α su complementario mide 90º – α
sen (90º – α) = AC / AB =
cos (90º – α) = BC / AB =
A
B
C
tan (90º – α) =
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
α
90º - α
cos α
sen α
1 / tan α
0º = 0 rad
r=1
cos 0º=1
sen 0º = 0
sen 0º= 0cos 0º=1
tg 0º=01
=0
cos c 0º=10
=No existe
sec 0º=11
=1
cot g 0º=10
=No existe
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 radRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 rad
90º = radπ2
r=1
cos 90º = 0
sen 90º = 1
sen 90 º= 1cos 90 º=0
tg 90 º=10
=No existe
cos c 90 º=11
=1
sec 90 º=10
=No existe
cot g 90 º=01
=0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 90ºRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 90º
180º = radπ
cos 180º=-1
sen 180º = 0
r=1
sen 180 º=0cos 180 º=−1
tg 180 º=0−1
=0
cos c 180 º=10
=No existe
sec 180º=1−1
=−1
cot g 180 º=10
=No existe
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 180ºRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 180º
270º = 3π2rad
r=1
sen 270º =-1
cos 270º =0
sen 270 º=−1cos 270 º=0
tg 270 º=−10
=No existe
cos c 270 º=1−1
=-1
sec 270º=10
=No existe
cot g 270 º=0−1
=0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 270ºRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 270º
BCa
b c
A
90º
Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo
• A + B + C = 180º ; B + C = 90º• Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos.
ba
senB
ca
cosB
bc
tanB
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
• Vamos a calcular el lado b.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLORESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLO
• Vamos a calcular el lado c. Podemos hacerlo por el teorema de Pitágoras o por razones trigonométricas. Hagámoslo de las dos formas para comprobar que da el mismo resultado.
PRIMERA FORMA: Teorema de Pitágoras.
SEGUNDA FORMA: Razones trigonométricas.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLORESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLO
Pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas. Veamos un ejemplo. Se trata de calcular la altura h del triángulo de color rosa.
Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones por igualación.
Consideramos el triángulo rectángulo grande. Entonces:
Si consideramos el triángulo rectángulo pequeño, entonces:
Por tanto:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO
La función seno (sen x) asocia a cada valor de x el valor de sen x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función sen x. Se han puesto los valores de x en radianes.
A cada ángulo podemos asociarle el valor de cada una de sus razones trigonométricas. Se definen así las funciones trigonométricas.
Haz clic en el enlace y construye la función seno de forma interactiva.
FUNCIÓN SENO
La función coseno (cos x) asocia a cada valor de x el valor de cos x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función cos x. Se han puesto los valores de x en radianes.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENOFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENO
Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.
FUNCIÓN COSENO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTEFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente (tg x) asocia a cada valor de x el valor de tg x. La imagen siguiente muestra inicialmente la función tg x. Se han puesto los valores de x en radianes.
Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.
FUNCIÓN TANGENTE