treball fractals simplificat 2
TRANSCRIPT
![Page 1: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/1.jpg)
FRACTALS
![Page 2: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/2.jpg)
Quant mesura la costa de Mallorca?
![Page 4: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/4.jpg)
Podem conèixer el sistema nerviós?
![Page 5: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/5.jpg)
ORIGEN DELS FRACTALSFinals segle XIX, principis segle XX
- Problemes de mesures de conjunts ( a 1919 Hausdorff – Besicovitch)
- Aparició de conjunts amb propietats desconegudes, se’ls va qualificar de monstres (conjunt de Cantor).
- Inici dels sistemes dinàmics caòtics ( any 1920 Julia i Fatou)
- Problemes metereològics: Efecte papallona (Lorenz)
![Page 6: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/6.jpg)
Mandelbrot va definir
Fractal : “que té forma irregular, extremadament
interrompuda i fragmentada sigui quina sigui l’escala d’observació i d’examen”
Dimensió fractal: “Nombre que serveix per quantificar la
irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”
![Page 7: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/7.jpg)
Madelbrot va observar que els fractal estan presents a la natura
brocoliesponja falguera
illapulmó
Sistema circulatori
![Page 8: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/8.jpg)
nuvol
Closca caragol
llampGran ona
Romancescu (tipus de brocoli)
![Page 9: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/9.jpg)
Les 3 propietats més importants dels fractals:
• Dimensió fractal: “Nombre que serveix per quantificar la irregularitat i fragmentació d’un conjunt geomètric”
• Autosemblança: Quan a una figura la podem descompondre en altres més petites, cada una de les quals és semblant a l’original és diu que és autosemblant.
• Caos: El caos designa tot allò que és o pareix desorganitzat, desordenat i a vegades incoherent.
![Page 10: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/10.jpg)
Calculem la dimensió fractal: Què significa tenir dimensió fraccionària?
Un punt té dimensió zero, un segment té dimensió1, un quadrat té dimensió 2,un cub té dimensió 3, …
![Page 11: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/11.jpg)
PARTIM D’UN CONJUNT AL QUAL SE LI APLICA UNA TRANSFORMACIÓ DE SEMBLANÇA
Sigui n = nombre de parts que queden després del primer pas, ....
m= longitud del costat resultant respecte a l’inicial
![Page 12: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/12.jpg)
Fractals autosemblants Càlcul de la seva dimensió
Conjunt de Cantor:
n=2 , m=1/3
Dim= log2/log 3 = 0’63
![Page 13: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/13.jpg)
Corba de Peano:
n=9 m=1/3
Dim = log9/log3= 2
![Page 14: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/14.jpg)
Corba de Koch
n=4 m=1/3
Dim=log4/log3= 1,262
![Page 15: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/15.jpg)
Triangle de Sierpinski
n=3 m= 1/2
Dim= log3/log2= 1,585
![Page 16: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/16.jpg)
La dimensió fractal d’una costa és un indicador de lo abrupta que és.
Encara que no estigui ben definida, Richardson en 1961, va fer les següents estimacions:
![Page 17: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/17.jpg)
Costa de Gran Bretanya Df = 1.25
Frontera de Portugal Df = 1.14
Costa de Noruega Df = 1.52
Costa Australiana Df = 1.13
Costa Sudafrica Df = 1.02
![Page 18: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/18.jpg)
Fractals aleatoris
L’atzar juga un paper fonamental en la seva construcció
Els mateixos fractals autosemblants: Conjunt de Cantor aleatori, Conjunt de Koch aleatori, …
Difusió
Cel·lular
Moviment brownià
plasma
![Page 19: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/19.jpg)
Lorenz
![Page 20: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/20.jpg)
Fractals generats per sistemes dinàmics caòtics:
Conjunt de Julia:
L’any 1918 Julia i fatou es van plantejar que li succeeix a un punt z quan se li aplica iteradament
la transformació zn+1 = zn2 + c
Segell israelià 1997
![Page 21: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/21.jpg)
zn+1 = zn2 + c
![Page 22: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/22.jpg)
Conjunt de Mandelbrot“Un dels més impactants que apareixen a la Geometria fractal”
![Page 23: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/23.jpg)
“Conjunt de punts c pels quals l’òrbita de z=0 es manté afitada”
zn = zn-12 + c
Estudia que li succeeix a un punt c quan se li aplica iteradament la transformació
![Page 24: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/25.jpg)
Fractal de Newton
Aproximació de les arrels de f(x)=0 X n= xn-1- f(xn-1)/ f’(xn-1)
X5-1
![Page 26: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/26.jpg)
Aplicacions dels fractals:
Medicina: Osteoporosi- Ossos de la mateixa densitat tenen diferent comportament davant la possibilitat de trencar-se. - Es considera que la dimensió fractal d’un os està entre 1,7 i 1,8. -Dimensions fractals més baixes són símptomes d’osteoporosi.
Emfisemes pulmonars:-La dimensió fractal d’una secció de pulmó és aproximadament 1,26. -Dimensions fractals més altes es poden considerar com a indicis del començament d’aquesta malaltia.
![Page 27: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/27.jpg)
Tractament de tumors sòlids; - Antonio Bru va comprovar que la frontera d’una secció de tumor sòlid és un fractal que té dimensió compresa entre 1 i 2. - Bru va extreure una equació matemàtica que permet explicar i, per tant, permet predir l’evolució del tumor,“tant en el temps com en l’espai”.
Fòbia a volar: -Les persones sense por a volar sembla tenen un sistema cardíac més caòtic, més flexible, que facilita una major adaptabilitat als canvis del medi, en comparació amb les persones amb por de volar.
La freqüència cardíaca:- La dimensió fractal de la corba que representa el ritme cardíac d’una personasana és major que en una persona que té problemes cardíacs.
![Page 28: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/28.jpg)
Psicologia:Mitjançant registres electroencefàlics s’han pogut detectar que els pacients amb trastorns esquizofrènics i obsessius compulsius presenten una dimensió fractal menor a la observada en controls sans.
Meteorologia: -Els fenòmens meteorològics tenen un comportament fractal. És impossible preveure el temps que farà a llarg termini, un canvi molt petit pot provocar grans canvis dins un termini relativament curt.
![Page 29: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/29.jpg)
La topografia:-A l'hora de fer mapes, s'ha de conèixer la propietat fractal de la costa i la seva possible dimensió fractal.
Enginyeria: - El grup d'enginyeria Electromagnètica i Fotònica de la UPC ha desenvolupat antenes fractals duals per a telefonia mòbil.
Cinema: - Actualment, alguns decorats d'algunes pel·lícules, com ara Start Treck, es fan mitjançant fractals.
Art: - Vegem-ho en el disseny amb programes d’ordinador de les següents imatges:
![Page 30: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/30.jpg)
Dissenyades amb ultrafractal
![Page 31: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/31.jpg)
Dissenyades amb fractint
![Page 32: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/33.jpg)
Dissenyades amb Sterlin
![Page 34: Treball Fractals Simplificat 2](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051520/58818e761a28ab0d358b4f19/html5/thumbnails/34.jpg)
Conclusió:
Podem afirmar que l’aparició dels fractals,
es sens dubte, una de les grans revolucions
del segle XX juntament amb la teoria de la
relativitat i de la teoria quàntica.