pws fractals

5/28/2018 PWS Fractals

1/40

1

Fractals

Een profielwerkstuk door:Boris Weesing

En

Pim Bongers


2/40

2

Inhoudsopgave

paginaInleiding

Wat is een fractal? 3Waarom hebben we het onderwerp gekozen? 4Geschiedenis 4

FractalsPeano Eiland 5Koch Kromme 7Sierspinski-vierkant 91/10-Cantor verzameling 12

Dimensiebegrip 15

Oneindigheid en verzamelingen 18

Julia en MandelbrotRecurente betrekkingen 22Chaos 27Complexe getallen 29Julia 32Mandelbrot 35

Slot 39Bronvermelding 39Logboek 40


3/40

3

InleidingWat is een fractal?

Als je met een compleet nieuw onderwerp in aanraking komt, en je wil graag weten wat het is, is hetwoordenboek altijd een goede leidraad. Dit profielwerkstuk gaat over fractals. We zullen dus eerstkijken wat het woordenboek (Groot woordenboek der Nederlandse taal druk 14) zegt over fractals:

Fractal (de (m.); -s) grillige meetkundige figuur, ontstaan door het uitzetten van punten die deuitkomsten weergeven van een formule, die vele malen op zijn eigen uitkomst wordt toegepast * Na1950 Eng., gevormd door B. Mandelbrot

Een fractal is een wiskundige figuur, een grillige meetkundige figuur. Grilligheid is een eigenschapdie alle fractals hebben. Soms is het een lijn die grillig is, soms een oppervlakte, soms een kubus.Soms is niet eens goed te zeggen of het nou een lijn, oppervlakte of kubus is. In een fractal die uiteen lijn bestaat zal deze lijn nooit recht lopen. Hoe sterk je ook op deze lijn inzoomt, de lijn is altijdgrillig en gekronkeld. Dit heet structuur op schaal. Iedere fractal, hoe sterk je ook inzoomt, heeft dezestructuur op schaal. Dit is goed te zijn bij de figuur die links-midden op het voorblad staat. Deze lijnkronkelt altijd, op welke schaal je hem ook bekijkt. Dit principe van eindeloze kronkeling zit zelfs in denaam fractal verscholen. Fractal is namelijk afgeleid van fractum, dat gebroken in het Latijnbetekent.Sommige fractals hebben nog bijzondere eigenschappen. Deze zijn namelijk zelfgelijkend. Dit is goedte zien op de fractal die rechts-midden op het voorblad staat. Als je (met een bepaaldevermenigvuldigingsfactor) op deze figuur inzoomt, zie je precies dezelfde figuur weer terug.

In dit werkstuk zullen wij twee types fractals bekijken. Het eerste gedeelte van ons werkstuk zalgewijd zijn aan meetkundige fractals. Deze ontstaan door een meetkundige bewerking toe te passenop een wiskundig object (bijvoorbeeld een lijnstuk, driehoek, kubus, vierkant enzovoorts). Dezebewerking, die ook wel een bouwregel word genoemd, pas je vervolgens weer toe op de uitkomst

van de vorige bewerking. Door dit oneindig lang te herhalen ontstaat er een fractal.

Het tweede type sluit direct aan op het hierboven geciteerde stuk uit het woordenboek: ontstaandoor het uitzetten van punten die de uitkomsten weergeven van een formule, die vele malen op zijneigen uitkomst wordt toegepast. Deze formule wordt ook wel een recurente betrekking genoemd.Het idee van een recurente betrekking is dat je een bepaalde formule neemt (bijvoorbeeld f(x)) endat je de uitkomst van deze formule (y) weer opnieuw invult in de formule (als x). De uitkomsten vandeze recurente betrekkingen kunnen soms ook een fractal vormen. De belangrijkste fractal die enkeldoor middel van een recurente betrekking kan worden gevormd is de Mandelbrot-fractal.Mandelbrot (hij staat ook in het woordenboek genoemd) is een belangrijk persoon geweest voor defractals en heeft ook het woord fractal bedacht.De fractal van Mandelbrot zal centraal staan in hettweede gedeelte van ons werkstuk.Het zal blijken dat ook de meetkundige fractals (die op het eerste gezicht niets met algebra te makenhebben) ook door recurente betrekkingen beschreven kunnen worden. Hierdoor is debovengenoemde definitie niet alleen van toepassing op de recurente fractals, maar dekt hij ook de

meetkundige fractals.


4/40

4

We zullen ook zien dat fractals veel ingewikkelder zijn dat ze op het eerste gezicht lijken. Je kuntfractals zien als sleutel die heel veel wiskunde bij elkaar weet te brengen: meetkunde, algebra,oneindigheid, irrationele getallen, verzamelingen en chaos. Je kunt het allemaal terugvinden infractals.

Maar fractals zijn meer dan alleen plaatjes. Het is ook kunst. Fractals zijn vaak een plezier voor hetoog. Sommige mensen kopen echt schilderijen van fractals. Er zijn op internet talloze sites te vindendie fractals verkopen op T-shirts of mokken. Er zijn zelfs componisten die fractals als basis gebruikenvoor hun muziek.

Waarom dit onderwerp?

Toen wij voor dit onderwerp kozen wisten wij nog niet veel van het onderwerp af. Boris had vorigjaar het onderwerp voor zijn Praktische Opdracht gebruikt, maar deze stof was redelijk beperkt. Deheer Niekus spoorde ons toen al aan om dit als onderwerp voor ons profielwerkstuk te kiezen. Wijbegonnen ons een beetje te orinteren op het onderwerp en uiteindelijk besloten wij om het

onderwerp inderdaad te kiezen. Het bleek een goede keuze.

Geschiedenis

Fractals hebben al een lange geschiedenis, al hebben ze niet altijd zo geheten. De oorsprong ligt al in1879 toen Cayley (zijn voornaam is niet bekend) begon met simpele fractals. Pas in 1904 kregenfractals een nieuwe impuls. Von Koch creerde toen namelijk zijn Kochkromme (ook wel de

sneeuwvlok genoemd). Dit was de eerste fractal die lijkt op de fractals die we nu kennen. In 1918

beschreef Felix Hausdorff het concept van de fractale dimensie. (fractals hebben een gebrokendimensie, anders dan alle andere figuren). Gaston Julia publiceerde zijn fractal, die vollediggebaseerd was op recurente betrekkingen, rond 1920. Benot Mandelbrot, die een leerling was van

Julia, zette de fractals in 1975 definitief op de kaart met zijn inmiddels over beroemde Mandelbrot-fractal.


5/40

5

FractalsHet Peano Eiland

Een voorbeeld van een meetkundige fractal is het Peano-eiland. Het Peano-eiland lijkt erg op heteerste gezicht erg op de Kochkromme (die later zal worden behandeld). Het Peano-eiland begint alsvierkant, met cordinaten de punten (0,0) (0,1) (1,0) en (1,1). Bij iedere iteratie word een lijnvervangen acht andere lijnen, die steeds onder een hoek van 90 graden op elkaar staan. Voor dehorizontale eerst een rechte, dan een omhoog, dan een rechte, dan twee omlaag, een rechte, eenomhoog en nog een rechte. Voor de verticale eerst een omlaag, een naar rechts, een omlaag, tweenaar links, een omlaag, een naar rechts, en nog een omlaag. Dat ziet er als volgt uit.Voor de horizontale lijnen zo: en de verticale lijnen zo:

De ontstane lijnen dienen in de volgende stap als basislijnen voor de volgende generatie. Dievolgende lijnen zijn dan weer een vierde zo groot als de vorige. Dit gaat zo door totdat dezebouwregel oneindig vaak is toegepast. Aangezien de bouwregel op ieder nieuw stukje wordttoegepast, vindt men dezelfde kronkeling terug in iedere generatie n op iedere schaal. Het valt zelfste zeggen dat deze fractal geen lijnstukken bevat, aangezien ieder gevormd lijnstuk weer wordt

gekronkeld.

Dit is een Figuur van het Peano-eiland na een aantal iteraties.

Deze fractal heeft verschillende eigenschappen. Tot deze eigenschappen behoren de oppervlakte ende omtrek. Voor de oppervlakte is het erg simpel. De basisvorm is een vierkant met oppervlakte n,en dat blijft zo. Dit komt omdat er een deel bijkomt, maar een even groot deel afgehaald wordt bijiedere stap. Hierdoor is de oppervlakte na oneindig veel iteraties n. De formule hiervoor isoppervlakte = 1*1k. Voor de omtrek geldt: iedere stap wordt die twee keer zo groot. De totaleomtrek is dus 4*2k, waarin k de stap is. Het is duidelijk dat de limiet van deze functie is. Het Peanoeiland is dus een fractal die uit een oneindig lange kronkel bestaat.


6/40

6

We kunnen ook nog kijken naar de omvang van het Peano eiland. Iedere uitstulping blijkt -de deelvan het oorspronkelijke lijnstuk naar buiten te steken. Met iedere stap komt de buitensteuitstulping verder van de oorspronkelijke lijn te liggen (van de nulde generatie). Maar dit betekent

niet dat die lengte oneindig zal toenemen. Er valt hier een recurente betrekking voor te geven (zielater in dit werkstuk). Deze formule geeft de extra uitstulping weer die per generatie wordt

gecreerd. We geven dit weer met een letter u. in formule: uk+1=1/4*uk.

Dit betekent dat als je de u weet van de k de generatie, je deze met moet vermenigvuldigen om deu te krijgen van de k+1-de stap.

De uiteindelijke uitwijking t.o.v. de nulde generatie is de som van alle us tussen de nulde en -de

stap. Deze wordt weergegeven door de formule: . =

. In deze formule vullen wij

a=1/4 in en voor n . De noemer wordt 1 aangezien naar nul convergeert. Je krijgt dus:

= 1

. Aangezien deze formule begint bij n = 0 en niet bij n = 1 (wat het juiste antwoord oplevert),

moet er 1 van het getal worden afgetrokken (omdat 0 = 1). Het uiteindelijke antwoord is dus 1/3.


7/40

7

Fractalsde Koch-kromme

Een ander voorbeeld van een meetkundige fractal is de Kochkromme. De Kochkromme lijkt erg ophet Peano-eiland. De Kochkromme begint als gelijkzijdige driehoek. Bij iedere iteratie word een lijnvervangen vier even lange andere lijnen die een lengte van 1/3 van de oorspronkelijke lijn hebben.Dit gebeurt zo dat er een gelijkzijdige driehoek gevormd wordt op de oude lijn. Die nieuwe driehoekheeft een ribbe die lengte 1/3 heeft ten opzichte van de basislijn. Dit ziet er zo uit:

De nieuwe lijnstukken vormen de basis voor de volgende iteratie, waar weer driehoekjes opgeplaatst worden. Die volgende lijnen zijn dan weer een vierde zo groot als de vorige. Dit herhaaltzich tot de oneindigheid. Omdat de bouwregel op ieder nieuw stukje wordt toegepast, vindt men

dezelfde driehoekvormen terug in iedere generatie en op iedere schaal. Evenals bij het Peano-eilandvalt het te zeggen dat deze fractal geen lijnstukken bevat, omdat ieder gevormd lijnstuk weer wordtveranderd.

Dit is de Kochkromme na enkele iteraties

Deze fractal heeft verschillende eigenschappen. Tot deze eigenschappen behoren de oppervlakte ende lengte van de omtrek als er oneindig stappen zijn gezet. Voor de oppervlakte geldt het volgende:de grondvorm heeft zijde n, en de oppervlakte van een driehoek is O = 0.5*b*h, waarin b de basis

is en h de hoogte. De basis is hier n, en de hoogte is dus , want het is een gelijkzijdigedriehoek (met Pythagoras berekend). De oppervlakte is dus O = = 0.5. Bij de

eerste iteratie komen hier drie driehoeken bij met een oppervlakte van 1/9 van de basisfiguur. Detotale oppervlakte is dus 0.5+3/9*0.5. Er is dus 1/6bijgekomen. We kunnen ook


8/40

8

zeggen dat de grootte van de nieuwe figuurtjes

is, waarin k het nummer van de iteratie

is. Zo geldt er dat bij de 3eiteratie er

=

aan oppervlak bij gekomen is. De totaleoppervlakte is de som van al deze oppervlaktes. Dit geef je weer met het symbool sigma. Je gebruikt

dit symbool om een som aan te geven. De notatie voor deze formule is:

. Dit

wil zeggen dat de functie bij n=0 begint (1/2 * . Vervolgens telt men deze uitkomst op bij deuitkomst van k=1. Dit proces herhaalt men tot in de -de generatie (k). De uitkomst hiervan is0.75. Dit komt omdat

gelijk is aan 0.75.

Voor de omtrek geldt dat die iedere iteratie 1keer zo groot wordt, dus

L = 3*1

k. Het is niet moeilijk te zien dat het limiet hiervan oneindig is.

Tot de eigenschappen behoort ook de omvang van het figuur. Hieronder verstaan we de maximaleafstand tot het middelpunt. Dat maximum is echter al bereikt bij iteratie nul, omdat deze figuur zichniet verder uitstrekt naar buiten toe, hij neemt alleen toe binnen de omgeschreven cirkel.


9/40

9

FractalsHet Sierspinski vierkant

Op het eerste gezicht lijkt het Sierspinski vierkant (die ook wel de zeef van sierspinski wordtgenoemd) wel wat op een vierkante versie van de 1/3-Cantor-verzameling. Ook bij deze fractal wordtsteeds een stuk weggesneden, in dit geval van een vierkant. De bouwregel is als volgt: de 0estapbestaat uit een vierkant (laten we zeggen tussen de cordinaten (0,1), (0,0), (1,1) en (1,0)).Vervolgens delen wij dit vierkant op in negen gelijke kleinere vierkantjes. Het middelste vierkantjewordt weggesneden. Dit is de eerste generatie. Vervolgens pas je dezelfde stap toe op de vierkantjesdie zijn overgebleven. Deze bouwregel pas je toe tot in het oneindige. (in de figuur hieronder staathet Sierspinski vierkant t/m de vierde stap.)

Wat zijn de eigenschappen van deze fractal? Om te beginnen kijken we naar de oppervlakte van hetvierkant in de k-de stap. Na iedere stap wordt 1/9 van het vierkant weggesneden. We kunnend duszeggen dat de oppervlakte van het Sierspinski vierkant na de k-de stap wordt weergegeven door Opp= (8/9)k. Het is duidelijk dat de limiet van deze functie (k naar oneindig) nul is.

Je kunt dit laatste ook op een andere manier berekenen. We gaan niet kijken naar de oppervlakte dieoverblijft in de k-de generatie, maar de oppervlakte dat wordt weggesneden. De lengte van een zijdevan een vierkant dat wordt weggesneden in de k-de generatie is altijd 3 keer zo klein als in de (k-1)-de generatie. De oppervlakte van dit vierkant is dus 9 keer zo klein. In formulevorm: oppervlakte =

(

)k.

Het aantal vierkantjes dat wordt weggesneden in de k-de stap is steeds 8 keer zo groot als bij de (k-1)-de stap. De formule hiervoor is 8k-1. De totale oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van n

vierkantje, vermenigvuldigt met het totaal aantal vierkantjes. Dit is dus

. Dit is de oppervlakte

dat wordt weggesneden in de k-de stap. Maar we willen weten hoeveel oppervlakte er in totaal isweggesneden. Hiervoor moeten wij dus alle oppervlaktes van de vorige stappen optellen. Hier

kunnen wij weer het sigma-teken voor gebruiken.

. Aangezien de totale oppervlakte

van het vierkant 0 is, moet de uitkomst van deze som wel 1 zijn (dit is ook het geval). Er zit wel eenverschil tussen de som die hierboven staat en die van bijvoorbeeld op pagina 8. Die functieconvergeerde heel snel naar 0 en dus liep de som al heel snel naar het uiteindelijke getal. Dezefunctie heeft zowel in de teller als de noemer een exponentiele functie en dus lopen die tweefuncties niet zo snel van elkaar weg. Op de volgende pagina staat een tabel met de hierbovenbeschreven gegevens. Oppervlakte 1 vierkant -2betekent dat alle getallen hieronder nog tot de -1moeten (-2omdat oppervlakte in m2is). Dus 9 wordt 1/9.


10/40

10

stap Oppervlakte 1

vierkant-2

Aantal vierkantjes Totaal in n

stap

Som 1 t/m k-

de stap

Oppervlakte

overgebleven1 9 1 1/9 1/9 8/9

2 81 8 8/81 17/81 64/81

3 729 64 64/729 217/729 512/729

4 6561 512 512/6561 2465/6561 4096/6561

5 59049 4096 0.06937 0.445071 0.554929

6 531441 32768 0.06166 0.506729 0.493271

7 4782969 262144 0.05481 0.561537 0.438463

8 43046721 2097152 0.04872 0.610256 0.389744

9 387420489 16777216 0.04330 0.653561 0.346439

10 3486784401 134217728 0.03849 0.692053 0.307947

15 4.39804651 * 1012 2.0589113 * 1014 0.02136 0.829111 0.17088920 1.44115188 * 1017 1.2157665 * 1019 0.01185 0.905169 0.094831

30 1.54742505 * 1026 4.2391158 * 1028 0.00365 0.970797 0.029203

0 1 0

Als je kijkt naar de getallen onder Som 1 t/m k-de stap, dan valt daar iets bijzonders op te merken.De noemer is altijd gelijk aan de oppervlakte van n vierkant. De teller is, na wat schuiven metgetalletjes, uit te schrijven als (80* 81) + (81* 91) + (82* 92) + (83* 93) (8k* 9k). Ook valt duidelijkte zien dat na 20 stappen er nog bijna 10 procent van het oorspronkelijke figuur over is. En pas na 30stappen komt hij echt in de buurt van de 1. Het gaat dus nog best langzaam .

De oppervlakte van het uiteindelijke Sierspinski vierkant is dus nul. Het is een geraamte met overalgaten. Het is een brij van oneindig veel lijnstukken.Deze fractal is slecht te tekenen. Met een potlood kom je al niet veel verder dan de eerste paargeneraties, doordat je potlood te dik is geworden.Ook valt wat te zeggen over het aantal vierkantjes dat er is weggesneden. Bij iedere stapvermenigvuldigt dit met acht. In formulevorm: aantal=8k. Aangezien ieder vierkantje bestaat uit vier

lijnen, kunnen we zeggen dat het aantal lijnen gelijk is aan 4 * 8^k = 8^(8log 4 * 8^k) = 8^(k+3

2). Het is

duidelijk dat 3

2 . Er zijn dus, in de -de stap, oneindig veel lijnen. Deze lijnen

omvatten echter geen oppervlakte meer.

Varianten op het Sierspinski vierkant

Op het Sierspinski vierkant zijn een aantal varianten. Ten eerste heb je de driedimensionale vorm.Deze fractal wordt ook wel de spons van Menger genoemd (een benadering staat hieronder. Ziebronvermelding, afbeeldingen 2). De bouwregel voor deze fractal is precies hetzelfde, alleen wordtniet een vlakdeel weggesneden, maar een deel van een kubus. Ook wordt de bouwregel aan alle driede zijden van de kubus toegepast. De eigenschappen van deze fractal zijn steeds n dimensie hogerdan die van het Sierspinski vierkant. Deze fractal bestaat uit alleen maar vlakken (met een oneindigeoppervlakte) en heeft geen inhoud meer.


11/40

11

Je hebt ook een driehoekige vorm van het Sierspinski vierkant. Deze ontstaat door een driehoek invier gelijke driehoeken te delen en het middelste deel weg te snijden. Hieronder staan de eerstestappen:

Van deze fractal is ook weer een driedimensionale vorm. Deze twee fractals hebben vergelijkbareeigenschappen als het vierkant van Sierspinski (de afbeeldingen staan hieronder).


12/40

12

Fractalsde 1/10 Cantor verzameling

De 1/10-Cantor-verzameling is op het eerste gezicht een redelijk simpele fractal. Als je de fractalechter nader bestudeert heeft hij bijzondere eigenschappen.

Net als in de meeste fractal vindt de constructie van de 1/10-Cantor-verzameling plaats inverschillende stappen. Als je bij iedere stap een bepaalde bouwregel volgt, krijg je na oneindig veelstappen de uiteindelijke fractal.De 1/10-Cantor-verzameling begint met een lijn, een interval. (we gaan hier uit van het interval [0,1],maar in principe kan men ieder interval nemen) Vervolgens snij je van dit interval bij iedere stap allesweg behalve 1/10edeel aan beide uiteinden van het interval. Na de eerste stap (dit heet ook weleerste generatie) heb je dus twee intervallen over (namelijk [0,0.1] en [0.9,1]). Dit proces herhaal jebij iedere stap.Hieronder staat een benadering van de 0et/m 2egeneratie. Daaronder staat een tabel met de

intervalen die nog over zijn in de 0et/m de 3egeneratie.

Generatie 0 1 2 3

Intervallen [0,1] [0,0.1] [0,0.01] [0,0.001]

[0.9,1] [0.09,0.1] [0.009,0.01][0.9,0.91] [0.09,0.091]

[0.99,1] [0.099,0.1]

[0.9,0.901]

[0.909,0.91]

[0.99,0.991]

[0.999,1]

Aantal intervallen 1 2 4 8

Lengte interval 1 0.1 0.01 0.001

Totale lengteintervallen

1 0.2 0.04 0.008

Maar wat is hier nou zo interessant aan? Ten eerste zie je dat het aantal intervallen bij iedere stapwordt verdubbeld. Met andere woorden: na de k-de stap heb je nog 2kintervallen over.Als je kijkt naar de lengte van n interval, dan wordt deze steeds kleiner. Hij wordt, om precies tezijn, bij iedere stap een factor 10 kleiner. Je kunt de lengte van n interval dus berekenen met deformule 10(-k).De totale lente van de intervallen die na de k-de stap nog over zijn, kan je berekenen door de lengtevan n interval te vermenigvuldigen met het aantal intervallen. Je krijgt dus 2k* 10(-k). Even op eenrijtje:Aantal intervallen: 2kLengte n interval: 10(-k)


13/40

13

Totale lengte intervallen: 2k* 10(-k)= (2 * 10-1)k = 0.2k

Na deze analyse kan je de volgende vraag stellen: hoe ziet de uiteindelijke 1/10-Cantor-verzamelinger uit? Met andere woorden: hoe ziet de -de stap er uit? ( betekentoneindig)

Uit de gegeven formule blijkt dat het aantal intervallen oneindig groot wordt. Exacter:

.Het limiet van de tweede formule is juist 1/ = 0. Dit komt door de k in de macht. . De limiet van de totale lengte van de intervallen is makkelijk af te leiden. Iedereexponentiele functie, waarvan g 2 . Vanzelfsprekend snij je dan niet

2/10 ( = 4/5) van het interval weg, maar 1-2*(1/a). Deze formule is makkelijk te beredeneren: per


14/40

14

stap snij houd je twee lijnstukken over (uitgaande van n beginlijnstuk). Deze hebben een lengtevan 1/a (uitgaande van beginlengte 1).Uit deze formule is ook af te leiden waarom a groter moet zijn dan 2. Immers 1-2*(1/1.5)= -1/3. Ditkan natuurlijk niet.Ook de formule voor de lengte van een interval verandert, deze wordt: a (-k).

De formule voor het aantal intervallen blijft wel hetzelfde (2k

).

Nu is het de vraag of de punten van de 1/a-Cantor-verzameling net zo te definiren zijn als die van de1/10-Cantor-verzameling. Dit is tot op zekere hoogte niet het geval. Kijk maar naar de 1/3-Cantor-verzameling. Al bij de eerste stappen kom je veel decimalen tegen. Er valt geen regel aan te koppelenals: alleen getallen met drien of vieren als decimalen zijn onderdeel van de verzameling.Dit lukt echter wel als je niet in het tientallig stelsel rekent, maar in het a-tallig-stelsel. Je vindt al snelde volgende regel: een punt is onderdeel van de 1/a-Cantor-verzameling als het in het a-tallig stelselalleen maar nullen en (a-1) decimalen bevat. Hierbij kan een n weer worden geschreven als eenoneindige rij van (a-1)-de decimalen.

Deze regel gaat echter niet op voor de getallen die boven de 10 komen, aangezien we voor het 11-tallig stelsel te weinig getallen hebben. De regel voor deze verzamelingen zijn echter wel te vindenals je de intervallen als breuken opschrijft. Dus bijvoorbeeld een interval [0,1/20] voor de eerste stapvan de 1/20-Cantor verzameling. We zullen hier echter niet dieper op in gaan.

Nog even iets opmerkelijks. De totale lengte van de intervallen van de 1/3-Cantor-verzameling kanworden gegeven door de formule 2k* 3(-k).Deze formule loopt duidelijk boven die van de 1/10-Cantor-verzameling (voor iedere k >0 is de som van de intervallen van de 1/3-Cantor-verzamelinggroter dan die van de 1/10-Cantor-verzameling). Toch is het aantal punten in de uiteindelijkeverzameling gelijk (namelijk ) .


15/40

15

Dimensiebegrip

Om een wiskundig figuur te bevatten maken wij vaak gebruik van het begrip dimensie, waarbijverschillende figuren verschillende dimensies hebben. Een punt heeft geen diepte breedte of lengte,en heeft daarom dimensie nul. Een lijn heeft n dimensie, een vlak twee en een ruimtelijk figuurdrie. Dit getal geeft weer in welke ruimte een figuur zich bevindt. Een lijn bevindt zich slechts in nrichting, namelijk de lengte van de lijn. Hij heeft geen breedte en geen diepte. Een vlak bestaat in debreedte en de lengte, en heeft daarom twee dimensies. Een vlak heeft geen diepte. Een ruimtelijkfiguur bestaat in de lengte, breedte en diepte, en heeft daarom drie dimensies. Bij al dezeverschillende dimensies horen verschillende maten om te meten. Als je een lijn met lengte vierneemt en probeert uit te rekenen hoeveel m2dat is, zul je op nul uit komen. Als je een kubus metribbe n probeert op te vullen met vlakken van zijde n, passen er daar oneindig van in. Bij dezetwee voorbeelden is te zien dat dimensie en maat nauw samenhangen, en de dimensies n, tweeen drie een eigen maat hebben, en we met de verkeerde dimensie of maat op oneindig of nul

komen. Een fractal heefteen eigen dimensie, omdat hij niet te meten is met de maten van deeerste,tweede of derde dimensie. Er moet dus een dimensie gevonden worden, waarbij de maat nietoneindig of nul is. Hierbij is kun je je afvragen wat een dimensie precies is. Als je bij een fractal opdimensie van anderhalf uitkomt is het lastig voor te stellen wat dat is. Die vraag is ook deels eenfilosofisch dan een wiskundige. Een dimensie met een getal achter de komma kun je zien als de matewaarin een figuur naar twee dimensies neigt. Een fractal met dimensie 0.3 neigt naar een lijn, enmeer nog naar een punt. Laten we de dimensie van een fractal proberen te berekenen, bijvoorbeeldvan het Peano-eiland. Dat eiland bestaat uit een vierkant met zijde n, waarbij met iedere iteratiede zijdes vervangen worden door acht lijnen met lengte . Als het aantal iteraties groter wordt gaatde lengte van die lijn naar oneindig toe. De fractal laat zich dus niet meten in bijvoorbeeld meters,omdat daar oneindig uit zal komen. Er moet dus een dimensie zijn die zich tussen n en twee

bevindt, omdat het begint als oppervlak en steeds sterker neigt naar een lijn.

Om de fractale ofwel Hausdorff dimensie te meten kun je gebruik maken van een erg simpelemethode, namelijk de figuur overdekken met kubusjes. Hierbij hoort de volgende formule:n = c*kd

n = hoeveelheid kubusjesc = lengte/oppervlakte/inhoudk = verkleiningsfactord = dimensie

Deze formule geldt voor de gewone dimensies. Je kunt dan de hoeveelheid benodigde kubusjes voor

overdekking uitrekenen door de maat van de figuur voor c in te vullen. Als je een lijnstuk hebt metlengte drie, is die maat bijvoorbeeld drie. Dat vermenigvuldig je met de verkleiningsfactor, met nals basis, tot de macht dimensie. Laten we dat eens proberen. We hebben een oppervlak met lengtetwee en breedte vijf. We willen weten hoeveel kubusjes met ribbe 0.25 daar op passen. De c is in ditgeval een oppervlak, dus moeten we 2*5 = 10 uitrekenen. De c is dus tien. De ribbe van de kubusjesis vier keer zo klein als n, dus de k is vier. De dimensie van een vlak is zoals we weten twee, wanthij heeft een breedte en een lengte, maar geen diepte. De volgende formule wordt dus opgesteld: n= 10*42= 160. Er passen dus 160 kubussen met ribbe 0.25 op een vlak van twee bij vijf. Nu gaan wede formule omschrijven zodat de dimensie vrijgemaakt wordt.


16/40

16

n = c*kd

Eerst zetten we logaritmen in de formule.

log(n) = log(c*kd)

Volgens de rekenregels voor logaritmen kun je log(ab) ook schrijven als log(a)+log(b).

log(n) = log(c)+log(kd)Volgens de rekenregels voor logaritmen is log(ab) hetzelfde als b*log(a).

log(n) = log(c)+d*log(k)Eerst trekken we van beide kanten log(c) af.

log(n)-log(c) = d*log(k)Daarna delen we aan beide kanten door log(k).

= d

We schrijven de formule met twee breuken.

d =

-

Als het aantal kubusjes steeds groter wordt, zal ook de verkleiningsfactor groter worden.

Log(k) wordt dan ook groter, waardoor

zeer klein zal worden. Hierdoor wordt deze

verwaarloosbaar. De functie gaat dus over in:

d =

Het logaritme van het aantal kubusjes dat nodig is voor de overdekking moet worden gedeeld doorde factor waarmee de kubusjes verkleind zijn. Als je van een lijn met lengte n de dimensie wilmeten, moet je eerst de lijn overdekken met kubusjes met ribbe n. Daar is n kubus voor nodig,de verkleiningsfactor is ook n. Als je de ribbe met factor twee verkleind, zijn er ook twee kubussen

nodig voor de overdekking. De dimensie is

=1. Bij een vlak met zijde n heb je n kubus nodig

van ribbe n, maar vier kubussen als je de verkleiningsfactor twee neemt. De dimensie is dus

=2. Bij een kubus heb je er n kubus nodig met ribbe n, maar 27 als de kubusjes verkleind worden

met factor drie, dus

=3. Hier zien we dat deze berekening klopt voor de dimensies n, twee

en drie. Maar voor fractals gelden deze dimensies niet. Met de berekening kan de dimensie voor eenfractal berekend worden met behulp van overdekking.

De dimensies van de verschillende fractals

Peano-eiland.

Het peano-eiland begint als een vierkant, waar dezelijn 1/4 van is. Hier zijn enkele groottes van de figuurafgebeeld. Zoals te zien is de verkleiningsfactor vier,en de hoeveelheid kubusjes acht. Hieruit volgt dat de

dimensie=1,5 is. Dit kun je ook logisch

beredeneren omdat bij iedere iteratie de figuur met


17/40

17

een factor vier kleiner wordt, en er acht kleinere lijnstukken in een grotere passen. Ook zien we datonze eerdere voorspelling van een dimensie tussen n en twee juist is.

Koch-kromme.De koch-kromme begint als driehoek, waar deze

figuur 1/3 van is. In de figuur staan enkele vande iteraties afgebeeld. Zwart is nul, rood is n,groen is twee en blauw is drie. Als men hier kijktnaar de dimensie zien we dat de kleineredriehoeken een factor drie kleiner zijn, terwijl ervier lijnstukken in de grotere passen. Dedimensie is dus:

1,26.

Sierspinski driehoekDe Sierspinski driehoek begint als gelijkzijdige driehoek, waaruit iedere keer een gelijkzijdigedriehoek uitgesneden wordt, zodat er drie kleinere overblijven. Die kleinere driehoeken reageren inde volgende iteratie weer als basisvorm. Hierboven zijn de nulde tot de vierde generatieweergegeven. Als we deze figuur overdekken met kubussen van ribbe n, hebben we er daar maarn van nodig. Als we ribbe 0.5 gebruiken voor de kubussen, hebben we er daar drie van nodig.

Gebruiken we kubussen met ribbe 0.25, passen er negen over de figuur heen. Dit is hiernaast te in defiguren te zien. De dimensie is

1,58.

Ribbe n Ribbe 0.5Ribbe 0.25n kubus Drie kubussen Negen kubussen

De 1/10 cantorverzameling.De 1/10 Cantorverzameling begint als lijn met lengte tien, waar iedere keer een stuk met grootte 4/5uit het midden uitgesneden wordt. De ontstane lijnstukken reageren in de volgende iteratie alsnieuwe grondvormen. Omdat de verkleiningsfactor van de ontstane lijnstukjes tien is, en er twee

lijnstukjes in n grondvorm komen, is de dimensie van deze verzameling

0.30.


18/40

18

Oneindigheid en verzamelingen

Wat is oneindigheid?

Oneindigheid wordt weergegeven door het symbool . Het is een getal zonder plafond.Iets is oneindig als het niet eindig is. Dit is lastig voor te stellen. Een zeer groot getal (bv 10100) isimmers toch eindig, 100100+1 is immers groter.Over oneindigheid valt veel te schrijven. Het heeft ook zelfs een filosofisch aspect.

Een korte geschiedenis van oneindigheid

Toen in de oudheid de basisprincipes van de wiskunde werden vastgesteld, stelde Aristoteles dat hetdeel altijd kleiner is dan het geheel. Dit is in strijd met het principe van oneindigheid (we komen hierlater op terug). In 1639 vind het concept van oneindigheid voor het eerst zijn weg in de meetkunde.

Een paar jaar later wordt het symbool voor het eerst gebruikt. In 1874 beschrijft Georg Cantor, devader van de 1/10-Cantor-verzameling, verschillende graden van oneindigheid. Oneindigheid blijftaltijd een ingewikkeld onderwerp. Dit komt omdat het alleen op papier bestaat. Oneindigheid is ietsdat op het eerste gezicht niet terug te vinden in de gewone wereld, maar wat toch vaak voorkomt.Een paar voorbeelden: Hoeveel punten bevat een lijn? Hoeveel symmetrieassen heeft een cirkel?Hoeveel voetpunten heeft het middelpunt van een cirkel op zijn eigen cirkel? Wat is de tan(0.5)?

Wat is de uitkomst van?

Wat is een verzameling?

Een wiskundige verzameling is een reeks getallen. {5,6,7,1,12,4,9} is een voorbeeld van eenverzameling.Er zijn een paar standaard verzamelingen. Deze verzamelingen worden aangeduid met een letter. Deschrijfwijze van deze letters zijn anders dan bij gewone letters. Het is echter lastig om deze in tevoegen in Word. Hierom zullen wij deze letters aangeven met een streep onder de letter.

De standaard verzamelingen:LetterN de natuurlijke getallen {0,1,2,3,...}Z de gehele getallen ,-3,-2,-1,0,1,2,3,-

Q rationele getallen alle getallen die als een breuk kunnen wordengeschrevenR rele getallen alle gewone getallen inclusief irrationele getallen

(, e, 2 , log 3 enz.)C complexe getallen alle getallen die kunnen worden geschreven als

a + b * i. (Met i= 1 )


19/40

19

Als je met verzamelingen rekent, moet je speciale symbolen gebruiken. Als A een verzameling is metde volgende elementen {0,5,7,8,9,22}, Schrijf je 5 A omdat 5 een element is van A. Je schrijft 1 Aomdat 1 geen element is van A.Als je dan een verzameling B neemt {1,5,7,11,12,13}, kan je nog meer rekenen. Je kunt de verenigingvan de twee elementen nemen. Dit schijf je als A B. Deze verenigde verzameling bevat alle

elementen van de beide verzamelingen. In dit geval dus {0,1,5,7,8,9,11,12,13,22}. Je hebt ook nogA B. Dit wordt de doorsnede van de verzamelingen genoemd. Dit zijn alle getallen die de tweeverzamelingen gemeen hebben, A B = {5,7}. Je kunt dus schrijven: Z = N -N.

Oneindigheid en verzamelingen

Verzamelingen en oneindigheid hebben veel met elkaar te maken. Sommige verzamelingen bevattennamelijk oneindig veel elementen. Neem nou bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen0,2,4,6,-. De vraag is of deze verzameling meer elementen bevat dan N. Een logisch antwoord isnatuurlijk nee. Er zijn immers dubbel zo veel natuurlijke getallen als dat er even getallen zijn.

Dit blijkt echter niet zo te zijn. Aangezien je de elementen uit de verzamelingen niet zo makkelijk kantellen, moet je op een andere manier te werk gaan.Stel, je hebt een docent die niet kan tellen (wat natuurlijk nooit voor zal komen, maar het gaat omhet voorbeeld). Hij heeft dertig leerlingen en voor iedere leerling is er een stoel. De docent wilnatuurlijk weten of alle leerlingen aanwezig zijn, maar hij kan niet tellen. Hij kan echter wel zien ofalle stoelen bezet zijn. Doordat hij n op n koppeling kan maken tussen een stoel en een leerling,kan hij zien dat er evenveel stoelen als leerlingen zijn en dus dat iedereen aanwezig is.Op deze manier kan je ook naar verzamelingen kijken. Aan ieder element van de verzameling van deeven getallen valt een element van N te koppelen. (0-0,2-1,4-2,6-3 enz.) Andersom geldt het ook: aanieder element van N valt een even element te koppelen van de even getallen. Die koppeling tussentwee verzamelingen heet met een wiskundig woord een afbeelding. Een afbeelding is een rekenregel

waarmee je de elementen van de verschillende verzamelingen aan elkaar kunt koppelen. In dit gevalis de afbeelding een vermenigvuldiging met twee (de ene kant op) of een deling door twee (deandere kant op) De conclusie moet dus wel zijn dat er evenveel even getallen zijn als natuurlijkegetallen. Dit is erg vreemd. De even getallen zijn een deelverzameling van N, maar bevat tochevenveel elementen. Het deel is dus even groot als het geheel. Hetzelfde trucje kan natuurlijkworden toegepast op de oneven getallen. We hebben nu de volgende regel gevonden:

- Twee verzamelingen bevatten evenveel elementen als de ene verzameling in een n op nrelatie op de andere verzameling kan worden afgebeeld en omgekeerd.

Aftelbaar oneindig

Men onderscheidt, over het algemeen, twee verschillende soorten oneindigheid: aftelbaar enoveraftelbaar oneindig. Simpel gezegd bevat een verzameling aftelbaar veel elementen als je ze afkunt tellen, als je ze op een rij kunt zetten. N is hier een voorbeeld van. Je kunt de elementen keurigop een rij zetten (in theorie, als je heel veel tijd hebt). Als een verzameling evenveel elementen bevatals N en N bevat aftelbaar oneindig veel elementen, is het logisch dat de andere verzameling ookaftelbaar oneindig veel elementen bevat. Dit gecombineerd met de regel die we hierboven gaven,geeft:

- Een verzameling bevat aftelbaar veel elementen als er een afbeelding bestaat die deverzameling 1 op 1 afbeeld op N en omgekeerd.


20/40

20

Overaftelbaar oneindig

Een verzameling heeft overaftelbaar oneindig veel elementen als de getallen niet netjes op een rijgezet kunnen worden, als er dus geen afbeelding is die N op de verzameling afbeeldt en omgekeerd.Een voorbeeld hiervan is R. De elementen van deze verzameling zijn niet netjes op een rij te zetten.

Cantor gaf hiervoor het bewijs, dit wordt Cantors diagonaal bewijs genoemd. Stel, je zet alle getallentussen 0 en 1 op een rijtje, dan zegt Cantor dat er altijd een getal is wat niet in de lijst voorkomt. Hijdeed dat op de volgende manier: stel je maakt een tabel met daarin alle getallen tussen 0 en 1. En jegaat diagonaal door al deze getallen heen. Bij ieder decimaal dat je tegenkomt tel je er 1 op (een 9wordt een 0). Als je dan al deze decimalen samenvoegt tot een getal, kan dat getal niet voorkomen inde tabel. Ik zal het met behulp van een tabel proberen te verduidelijken. Stel dat alle mogelijkedecimale getallen hierin voorkomen.

0. 0 6 4 8 6 3

0. 1 5 2 7 3 4

0. 2 7 8 6 6 8

0. 3 3 7 3 7 2 0. 4 3 1 1 1 0

0. 5 9 3 2 8 1

Als we van boven in de tabel schuin naar beneden gaan, komen wij de volgende getallen tegen:0,5,8,3,1,1 (enzovoorts. Immers, de rij is oneindig). Als we bij deze getallen n optellen en hier eendecimaal getal van maken, krijgen we het getal 0.169422 Doordat dit getal met ieder getal in detabel minstens n getal verschilt, komt deze dus niet in de tabel voor. Conclusie: de getallen in Rkunnen niet op een rijtje gezet worden en R is dus overaftelbaar.

Het ligt wat lastiger met Q. Op het eerste gezicht lijkt Q overaftelbaar. De getallen zijn namelijk nietmakkelijk op een rijtje te zetten. Laten we dit toch eens proberen: 0, 1/1000,1/100,1/10,1/5,-. Hoe

we de getallen ook opschrijven, er zijn altijd weer breuken die tussen de elementen passen. Wekunnen de verzameling nooit helemaal opvullen.Toch is Q aftelbaar. De truc zit hem erin dat je tweedimensionaal moet denken. We gaan proberenom alle breuken in een tabel te zetten. Hierbij zetten we de elementen van Z in de bovenste rij. In derijen hieronder schrijven wij alle breuken die kunnen worden gevormd door Z / N. Op het momentdat een breuk al ergens anders in de tabel staat (bijvoorbeeld 2/4, die staat er al als 1/2), vervangenwij deze door de volgende breuk in de rij.

1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 ..........

1/2 -1/2 2/3 -2/3 3/2 -3/2 4/3 -4/3 5/2 ..........

1/3 -1/3 2/5 -2/5 3/4 -3/4 4/5 -4/5 5/3 ..........

1/4 -1/4 2/7 -2/7 3/5 -3/5 4/7 -4/7 5/4 ..........

1/5 -1/5 2/9 -2/9 3/7 -3/7 4/9 -4/9 5/6 ..........

1/6 -1/6 2/11 -2/11 3/8 -3/8 4/11 -4/11 5/7 ..........

1/7 -1/7 2/13 -2/13 3/10 -3/10 4/13 -4/13 5/8 ..........

1/8 -1/8 2/15 -2/15 3/11 -3/11 4/15 -4/15 5/9 ..........

1/9 -1/9 2/17 -2/17 3/13 -3/13 4/17 -4/17 5/11 .................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........


21/40

21

Als je deze tabel tot in het oneindige in zowel horizontale als verticale richting zou uitbreiden, bevatdeze tabel iedere rationele breuk. Ze staan echter nog niet in een rijtje. Maar als je een zigzagmotiefdoor de tabel maakt, en je schrijft alle breuken op die je tegenkomt, heb je uiteindelijk alle mogelijkebreuken opgeschreven. De conclusie is: Q bevat aftelbaar oneindig veel elementen omdat de getallen

op een rijtje te zetten zijn, zij het niet in chronologische volgorde.

Oneindigheid en fractals

Wij hebben hierboven geprobeerd uit te leggen wat oneindigheid is, wat verzamelingen zijn en watde link tussen verzamelingen en oneindigheid is. Dit brengt ons echter tot de vraag: wat heeft dit noumet fractals te maken? Ten eerste worden meetkundige fractals gevormd door een bouwregeloneindig vaak te herhalen. Wij (als in: de mensen) zijn niet in staat om een fractal echt weer tegeven. Alle afbeeldingen van fractals zijn benaderingen.Hiernaast bevat een fractal vaak structuur op elke schaal. Dus ook op oneindig grote of oneindigkleine schaal. Ook hebben fractals vaak eigenschappen die met oneindigheid te maken hebben. Zo

bestaat het Peano-eiland uit een oneindig lange lijn (terwijl het wel een begrensde oppervlakteheeft) en de 1/10-Cantor-verzameling bevat oneindig veel elementen. Het is dus redelijk essentieelom te weten wat oneindigheid inhoud als je naar fractals kijkt.

Bevat de 1/10-Cantor-verzameling aftelbaar of overaftelbaar oneindig veel

elementen?

Het is mogelijk om aan te tonen dat de 1/10-Cantor-verzameling overaftelbaar oneindig veelelementen bevat. Met Cantors diagonaal bewijs valt dit te bewijzen. Je maakt hierbij gebruik van deeigenschap dat een getal uit de 1/10-Cantor-verzameling alleen maar bestaat uit nullen en negens endat een getal (tussen de 0 en de 1) wat bestaat uit nullen en negens, voorkomt in de 1/10-Cantor-verzameling. Stel: alle getallen in de 1/10-Cantor-verzameling zijn netjes op een rij te zetten, in eentabel die er net zo uitziet als die op de vorige pagina, maar dan met alleen nullen en negens.Vervolgens ga je weer diagonaal door de tabel heen en schrijf je alle getallen op die je tegen komt.Hierna maak je van iedere nul een negen en van iedere negen en nul. Het getal dat wordt gevormddoor al deze getallen als decimalen achter elkaar te schrijven, kan nooit in de lijst voorkomen omdathet ten minste n getal verschilt met ieder getal uit de tabel. De getallen uit de 1/10-Cantor-verzameling zijn dus niet netjes op een rijtje te zetten zijn dus overaftelbaar oneindig.


22/40

22

Recurente betrekkingen

In dit hoofdstuk zullen we een drietal begrippen behandelen: recurente betrekkingen, chaos encomplexe getallen. Op het eerste gezicht lijken dit geen belangrijke begrippen, aangezien ze niet in

iedere fractal terugkomen. Ze zijn echter wel cruciaal om de Julia-fractal en Mandelbrot verzamelinguit te kunnen leggen. Deze fractals vormen de essentie van dit hoofdstuk. Deze twee fractalsverschillen sterk van de hiervoor genoemde fractals. Ze zijn beide zeer ingewikkeld (wij zullen hierniet al te diep op de stof ingaan, over beide fractals is veel meer te vertellen dan dat wij in dithoofdstuk doen) De Mandelbrot fractal staat zelfs in het Guinness Book of Records als ingewikkeldstewiskundige figuur.

Een recurente betrekking is een wiskundige bewerking die steeds herhaald wordt. Het herhalen vanzon wiskundige bewerking wordt ook wel iteratie genoemd. Laten we gewoon een voorbeeld nemen

y = 2x -10.Bij iedere herhaling (iteratie) vul je de uitkomst (in dit geval y) weer in de functie in (in dit geval als x)

De officile schrijfwijze is: xm+1=2*xm-10.Als we een beginwaarde nemen van 2, krijg je na iteratie de volgende getallenreeks: 2; -6; -22; -54enzovoorts. Een ander voorbeeld: y = 0.5*x+1 (xm+1= 0.5 * xm+1). We beginnen met -10. Vervolgenskrijgen wij de reeks: -10; -4; -1; 0.5; 1.25; 1.625; 1.8125; 1.90625.Uit het eerste voorbeeld wordt meteen duidelijk dat deze recurente betrekking naar oneindigdivergeert. Immers: hij wordt steeds kleiner en de stappen worden ook steeds groter. Bij het tweedevoorbeeld is dit niet duidelijk. Hij wordt immers wel steeds groter, maar hij lijkt te convergeren. Hetpunt waarnaar een recurente betrekking convergeert heet een aantrekker.Recurente betrekkingen zijn eenvoudig grafisch weer te geven. Je tekent namelijk een assenstelselmet twee lijnen: de recurente betrekking en de lijn f(x)=x. Vervolgens ga je vanaf de startwaarde opde x-as naar de te onderzoeken lijn. Vervolgens trekken we een horizontale lijn naar f(x)=x. Vanaf het

snijpunt ga je weer verder. Hieronder zijn de figuren weergegeven voor beide voorbeelden.

Hier is duidelijk te zien dat de eerste functie divergeert. De zwarte lijn loopt van het snijpuntvandaan. Dit is niet het geval bij de tweede grafiek. Deze functie convergeert. En wel naar hetsnijpunt van de twee grafieken. In dit geval (2,2).


23/40

23

Je kunt een mogelijke aantrekker vinden door de functie de recurente betrekking beschrijft gelijk testellen aan f(x)=x. In het eerste voorbeeld is dit dus de vergelijking 2x-10=x dit heeft als oplossingx=10. In het tweede voorbeeld geldt de vergelijking 0.5x+1=x. De oplossing hiervan is 2, dit getal zien

wij ook terug in de gevonden aantrekker. Maar waarom divergeert de eerste functie en convergeertde tweede? Dit blijkt te liggen aan het hellingsgetal:- Als de absolute waarde van de richtingsquotint in de eventuele aantrekker kleiner is dan 1

dan is dit punt inderdaad een aantrekker.

Nu hebben we, om het begrip recurente betrekking duidelijk te maken, twee lineaire vergelijkingengenomen. Maar je kunt natuurlijk ook andere vergelijkingen gebruiken. In principe kan iedere functiegebruikt worden als recurente betrekking. Bij niet-lineaire functies valt wel op te merken dat, als deafgeleide binnen het hierboven beschreven gebied ligt, de functie niet altijd convergeert. Dit ligt aande beginwaarde. Wel valt te zeggen dat in ieder geval een (klein) gebiedje rond de mogelijkeaantrekker als begingetal convergeert. Dit komt omdat je iedere functie in een klein gebiedje als een

rechte lijn kunt beschouwen.

Nu zullen we een belangrijke recurente betrekking behandelen: xm+1 =(xm)2+c, later zullen wij de

fractal beschrijven die bij deze recurente betrekking hoort. Eerst zullen we naar wat eigenschappenvan deze functie gaan kijken. Eerst nemen we c=0. Dus xm+1=x

2. Als we een beginwaarde nemen van

0.8 komen we na iteratie uit op de volgende reeks: 0.8; 0.64; 0.4096; 0.1677; 0.0281. Deze functieconvergeert duidelijk naar nul (dit voorbeeld is grafisch weergegeven in de rechterafbeeldinghieronder). Dit gebeurt voor alle startwaarden kleiner dan 1 en groter dan -1. Het punt 0.0 is eenaantrekker. Als je een startwaarde neemt die groter is dan 1 (of kleiner dan -1), loopt de functie naaroneindig.

We kunnen echter ook de c variren. Laten we nu voor c -1 nemen. Dan krijgen we dus y = x

2

-1. Webeginnen bij -1,2. Bij itereren blijkt er iets vreemds te gebeuren. Er lijkt geen aantrekker te zijn. Derecurente betrekking gaat heen en weer springen tussen 0 en -1. Dit is op zich wel logisch. Want 02 -1=-1 en -12 -1=0. Dit wordt een dubbele aantrekker genoemd. Er blijken ook waarden van c tebestaan waarvan er meer aantrekkers zijn. Sommige waarden hebben zelfs oneindig veelaantrekkers. Met andere woorden ze schieten chaotisch heen en weer tussen verschillende punten.


24/40

24

Na verloop van tijd stopt deze chaos weer. Als we bijvoorbeeld een c nemen van -3 blijkt er geenaantrekker meer te zijn. Welk waarde we ook invullen (behalve die van de snijpunten tussen de tweegrafieken), de functie gaat altijd naar of -. Zie de figuur hieronder.

We kunnen kijken voor welke waarden van c er aantrekkers zijn. En als er aantrekkers zijn, hoeveeldit er zijn. Het blijkt dat hier een regelmaat in zit.

c > 0.25 geen aantrekker. De iteratie gaat altijd naar 0.25< c


25/40

25

In de figuur is, naarmate je meer naar onderen gaat, duidelijk te zien dat er chaos optreedt; hetwordt helemaal zwart. Tussen de chaos zijn echter ook plekken waarin weer orde optreedt. Op devolgende pagina staan twee van deze punten ingezoomd (deze punten zijn in de grote figuur metrode cirkels aangegeven). Het blijkt dat deze figuur zelf al een fractal is: hij is zelfgelijkend! Je ziet deoorspronkelijke figuur weer terug.

Hierboven hebben we de gewone recurente betrekkingen beschreven. Er was n functie die derecurente betrekking beschreef. Deze recurente betrekkingen zie je echter niet vaak terug bij

fractals. De recurente betrekkingen die veel fractals beschrijven bevinden zich in hettweedimensionale vlak.

Het is gebleken dat veel fractals zelfgelijkend zijn. Dit betekent dat het geheel, weliswaar vervormd,verkleind of gedraaid, weer terugkomt als je op de fractal inzoomt. Deze vervormingen zijn echter tebeschrijven met recurente betrekkingen. Een voorbeeld:Men wil een object roteren t.o.v. de oorsprong met 10 graden. Allereerst moet dit object beschouwdworden als een (oneindige) verzameling van punten (met een x- en y-cordinaat). Om de nieuwe x-en y-cordinaten te vinden past men de volgende recurente betrekking toe:Xm+1=xmcos(10)ymsin(10)Ym+1=xmsin(10) + ymcos(10)

De figuur die nu ontstaat uit de punten is een rotatie t.o.v. de oorsprong. Er zijn ook dergelijkerecurente betrekkingen voor andere transformaties (denk aan spiegeling, draaiing, vergroting enz.)

De fractals die we tot nu toe hebben beschreven zijn te construeren door een bouwregel steedsmaar weer te herhalen. Als men deze bouwregel echter in getallen kan vatten, is de fractal ook tevormen door een eindeloze serie van transformaties in de vorm van een recurente betrekking in hettweedimensionale vlak. Zo kan de fractal van Koch gevormd worden door krimpspiegeling toe tepassen op een aantal lijnstukken.

De 1/10-Cantor-verzameling (waarvan de eigenschappen eerder uitvoerig zijn behandeld) valt ook tebeschrijven door een relatief eenvoudige recurente betrekking. Je begint met een lijnstuk met het

interval [b,c](met b


26/40

26

Op dit interval zijn twee transformaties (recurente betrekkingen) toe te passen. Hiernaast staat ookde algemene vorm voor de 1-a-Cantor-verzameling

In het geval van de 1/10-Cantor verzameling In het geval van de 1/a-Cantor-verzameling

A bm+1= bm bm+1= bmCm+1= (cmbm ) / 10 cm+1= (cmbm ) / (a-1)

B bm+1= 9/10 * (cmbm) bm+1= (a-1)/a * (cmbm)Cm+1= cm cm+1 = cm

Op ieder lijnstuk past men zowel transformatie A als B toe. Hierbij ontstaan dus uit n lijnstuk tweenieuwe lijnstukken, precies zoals de bouwregel van de 1/10-Cantor-verzameling beschrijft.Men kan dus een punt uit de 1/10-Cantor-verzameling vinden door de recurente betrekkingen

eindelooste herhalen. Hierbij kunnen transformatie A en transformatie B door elkaar gebruiktworden. Aangezien de lijnstukken die bij de laatste ()stap worden gevormd punten zijn, vindt menop deze manier punten en geen lijnen. Een punt uit de 1/10-Cantor-verzameling kan dus bijvoorbeeldgevonden worden door op het interval [0,1] de volgende transformaties toe te passen:ABBAAABABABBBABABBAABABABB enzovoorts.

Bovenstaande recurente betrekkingen zijn nog relatief eenvoudig. Dat komt doordat de 1/10-Cantorverzameling ook een getallenverzameling is een geen puntenverzameling. Dit maakt het opstellenvan een recurente betrekking ook relatief eenvoudig. Andere, meer meetkundige, fractals hebbenveel complexere bouwregels. De recurente betrekking die bij de driehoek van Koch hoort isbijvoorbeeld:

A xm+1= 0.5xm+ bymym+1= bxm0.5ym

B xm+1= 0.5xmbym+0.5ym+1= -bxm-0.5ym+b

Waarbij b = 1/(2 3 ).

In de volgende hoofdstukjes zullen wij de fractals van Julia en Mandelbrot behandelen. Deze fractalshebben geen echte bouwregel . Ze kunnen echter wel worden gevormd door een toepassing van eenrecurente betrekking. Het blijkt dat de Julia-fractal kan worden geproduceerd door de onderstaande

recurente betrekking te gebruiken. Wij zullen hier nu echter niet verder op in gaan aangezien dat inhet volgende hoofdstuk terugkomt.

Xm+1= (xm)2(ym)

2+ aYm+1= 2 * xm* ym+ b

a en b zijn willekeurige constanten.


27/40

27

Chaos

Chaos is een begrip wat niet direct met fractals te maken heeft. Het is echter zo verbonden aanrecurente betrekkingen dat we het hier toch wilden vermelden.

Een ander voorbeeld van een recurente betrekking is pm+1 =a*pm*(1-pm), waarbij a een constanteis en p een variabele. Stel we nemen een a van 2 en een p1(de beginwaarde) van 0.1. Als we ditinvullen in de formule, komt hier 0.18 uit. Nu nemen we 0.18 als p. Hier komt 0.2952 uit. Ditdoen we een aantal keren. Het blijkt al snel dat de antwoorden snel naar 0.5 convergeren. (zie detabel hiernaast). Als we echter een a nemen van 2.9 en we beginnen met een p1van 0.6, krijgenwe iets anders. De functie convergeert wel, maar veel langzamer. Als je een a boven de drieneemt convergeert de grafiek niet meer, a = 3 is dus het omslagpunt. De grafiek gaat op en neer.Hieronder staan de grafiekjes voor a = 2, a = 2.9 en a = 3.1.

Als we echter een nog grotere a nemen, gebeurt er iets vreemds: hetregelmatige patroon verdwijnt. Met andere woorden: er ontstaatchaos. Dit proces blijkt op te treden bij een a groter dan 3.56. In degrafiek hiernaast hebben we een a genomen van 3.7 en een p1van 0.5.Dit verschijnsel treedt echter niet op bij iedere waarde van a groterdan 3.56. Als je een a neemt van 3.85 en een p1van 0.5 ontstaat weer

een regelmatige beweging (zie het linker plaatje hieronder). Dezeperiodieke beweging blijft zich ook herhalen als je meer iteratiesuitvoert. Als je de p1echter verandert krijg je ook een interessant verschijnsel. Op het eerste gezichtlijken de uitkomsten chaotisch (de middelste grafiek hieronder), maar als je meer iteraties uitvoertkomt er toch weer patroon in. (Hetzelfde patroon als bij een p1van 0.5)

De grafiek van een a van 3.9 en een p1van 0.29 blijkt erg verschillendals je de p1een klein beetje verandert (bv. Naar 0.30) . (de bovenstegrafiek) Dit verschijnsel zie je ook als je de p1waarden constant laat,maar de a iets laat verschillen (de onderste grafiek). Je moet echterwel meer berekeningen uitvoeren om het verschil te zien, in hetbegin lopen de grafieken bijna gelijk. Pas bij de 13ebewerking gaatde grafiek opeens anders lopen.

Dit is een belangrijke eigenschap van chaotische prosessen. Eenkleine verandering in de startwaarden heeft grote gevolgen voor heteindproduct. In dit geval zorgt een honderdste verschil voor een heel


28/40

28

ander patroon. Vaak wordt gezegd, als het over de chaostheorie gaat, dat een vlinderslag in Ruslandvoor een orkaan kan zorgen in China. Natuurlijk is dit niet waar, maar de theorie klopt wel.

De chaostheorie heeft veel praktische toepassingen. De belangrijkste is het weer. Onzeweerberichten zijn gebaseerd op uitkomsten van recurente betrekkingen. Men voert eerst de

beginwaarden in (huidige luchtdruk, temperatuur, regenval enzovoorts). Vervolgens laat men eencomputer via vele ingewikkelde modellen het weer bepalen. Bij een aantal modellen verandert mende beginwaarden iets (zo neem je meetfouten ook mee). Van alle uitkomsten wordt het gemiddeldebepaald. In de grafiek hieronder staat een voorbeeld van een grafiek met de uitkomsten van allemodellen. Het is goed te zien dat de uitkomsten sterk uiteen lopen, al zijn de beginwaarden vrijwelhetzelfde. Metrologie begint dus met het goed meten van het huidige weer.

De chaostheorie dankt haar bestaan ook aan de metrologie. Edward Lorenz, een metroloog, had een

aantal weerkaarten gemaakt. Toen hij later deze kaarten opnieuw wilde bekijken, kreeg hij heleandere resultaten. Het bleek dat hij de beginwaarden de eerste keer op zes decimalen achter dekomma had ingevoerd, terwijl hij de tweede keer genoegen nam met drie decimalen. Deze zeerkleine verandering van beginwaarden was genoeg om een heel ander resultaat te krijgen. Lorenz waszo gentrigeerd door dit verschijnsel dat hij zich in de wiskunde ging verdiepen in plaats van demeteorologie.


29/40

29

Complexe getallen

In sommige fractals, zoals in Julia en Mandelbrot, wordt gebruik gemaakt van complexe getallen. Indit hoofdstuk leggen we uit wat complexe getallen zijn en hoe je ermee rekent.

Om te beginnen zijn er de natuurlijke getallen N. Dit zijn alle positieve gehele getallen, zoals 1, 2, 3enzovoorts. Met die getallen kun je vermenigvuldigen en optellen. 3+2=5, 3*4=12 enzovoorts. Bijsommige minsommen is er echter geen antwoord, bijvoorbeeld 3-5. Daarom breiden we dit uit tot deverzameling Z. Dit zijn alle gehele getallen, dus ook de negatieve. N is een onderdeel van Z. Met dezegetallen kun je vrijuit optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, zonder dat je verdere uitbreidingennodig hebt. Maar bij sommige breuken is er weer geen antwoord uit deze verzameling. Daarom kandeze verzameling verder uitgebreid worden tot de rationele getallen Q, die bestaat uit een getal uit Zgedeeld door een ander getal uit Z. Hier horen alle breuken bij. Hiermee kan dus opgeteld,afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld worden. Maar dan kun je nog steeds niet alle wortelsuitrekenen. Daarvoor zijn er de rele getallen, R. Dit zijn alle wortels uit Q, maar ook bijvoorbeeld het

getal een .

In de verzameling R zij er ook bewerkingen die niet oplosbaar zijn. Zo kan de wortel uit een negatief

getal niet berekend worden. Hierom breiden we R uit zodat wel een oplossing heeft. Wedefinieren =i, dus i2=-1. Dan kan ook bijvoorbeeld , want dat is te schrijven als .Gezien de definitie van i, =i, volgt hieruit dat =i. Het getal inoemen wij het imaginaire getal, en een getal dat een imaginair deel

bevat complex. Deze getallen geven we aan met de verzameling C. In het algemeen bestaat eencomplex getal uit een reel deel a en een imaginair deel b, wat te schrijven is als:a+bi.

Er zijn tot nu toe de volgende getallenverzamelingen behandeld:

N, natuurlijke getallen: 1,2,3,4,5 enz. Z, gehele getallen: -2,-1,0,1,2,3 enz. Q, rationele getallen: 1/2, 1/4, 4/2 enz. R, rele getallen: , e, enz. C, complexe getallen: 1+1i, 2+3ienz.

Als we een complex getal de naam Zgeven, dan is Z=a+bi. als we dan twee getallen Z, Z1=a1+b1ienZ2=a2+b2iwillen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen gebruiken we de gebruikelijkemanier:

Z1+Z2 = (a1+a2) + (b1+b2)iZ1-Z2 = (a1-a2) + (b1-b2)iZ1*Z2 = (a1+b1i) * (a2+b2i) = a1a2+a1b2i+a2b1i+i

2b1b2= a1a2 - b1b2+a1b2i+a2b1i=(a1a2- b1b2)+( a1b2+a2b1)i

Z1/Z2 =

=

*

=

=

Er zit wel een belangrijk verschil in deze verzameling ten opzichte van de vorige. Het verschil is dat deverzamelingen N tot en met R corresponderen met een punt van een lijn, en de complexe getallencorresponderen met een punt op een vlak. Zoals eerder beschreven bestaat een complex getal uiteen reel en een imaginair deel, a en b. Op de x-as staan de rele getallen, met afkorting re, en op dey-as staan de imaginaire getallen, ofwel im. Als voorbeeld nemen we het complex getal 3+4i. Dit getal


30/40

30

heeft als reel deel of re 3, en als imaginair deel of im 4. Dit getal komt dus op het punt (3,4) teliggen.

Het punt ligt vast in

de afstand tot de oorsprong, en de hoek ten opzichte van de re-as. Deze kun je uitrekenen als je de

cordinaten van het punt weet. Dat gaat met de stelling van Pythagoras voor de afstand tot deoorsprong, en met de sinus, cosinus of tangens voor de hoek. Die hoek ligt altijd van -tot radialen.

In dit geval heeft de lijn lengte =5. Voor de hoek nemen we de tangens, dat geeft tan = ,

waaruit volgt dat 0.927radialen. Hiervoor kunnen we dus ook gebruik maken van

poolcordinaten, met variabelen *r,+ hierin is r de afstand tot de oorsprong en is de hoek op de

re-as. De notatie is: Z=r(cos()isin()). In het geval van het punt 34igeeft dat dus 5(cos(0.927

)+isin(0.927)). = 5(0.6+i0.8) = 3+i4. In Z=r(cos()isin()) komt rcos() overeen meta en rsin()

overeen met b.

We zien dus dat we twee notaties kunnen gebruiken:

De Carthesische notatie Z=a+ib De poolnotatie Z=r(cos()isin())

De Poolcoordinaten zijn voor vermenigvuldigen een stuk handiger dan de Carthesische notatie.Neem Z1=r1(cos1sin1) en Z2=r2(cos2sin2) dan isZ1*Z2= r1(cos1sin1)*r2(cos2sin2)(r1(cos1sin1))*(r2(cos2sin2)) = r1r2(cos1sin1- cos2sin2)+i(sin1cos2 sin2cos1)(sin1cos2 sin2cos1)=sin(1 +2), dus r1r2(cos1sin1- cos2sin2)+isin(1 + 2)met behulp van de bekende goniometrische regels zien we dat dit betekent dat r1met r2vermenigvuldigd wordt, en de 1bij de 2opgeteld wordt, want Cos(1)sin(1)- cos(2)sin(2) =cos(12).

Op de zelfde manier kun je laten zien dat de onderstaande beweringen gelden.

Delen: deel de lengte en trek de hoeken van elkaar af.

Worteltrekken: trek de wortel uit de lengte en halveer de hoek.

Kwadrateren: kwadrateer de lengte en verdubbel de hoek.

Dus als we getal Z=2(sin(0.25)+icos(0.25)) vermenigvuldigen met getal Z=4.5(sin(0.17)+icos(0.17

)) moeten we de lengte r vermenigvuldigen en de hoeken optellen. Dat geeft 24.5(sin(0.25

0.17 )+icos(0.250.17 )) = 9(sin(0.42)+icos(0.42)). Het getal Z=2(sin(0.25)+icos(0.25)) isin Carthesische notatie Z=+i. Het getal Z=4.5(sin(0.17)+icos(0.17)) is in Carthesische notatie


31/40

31

Z=2.25+i3.90. Als we volgens de eerste regels deze getallen vermenigvuldigen met elkaar krijgen we -

2.33+8.70i. Z=9(sin(0.42)+icos(0.42)) is in Carthetische notatie 2.33+8.70i. We zien dus dat dit

klopt.

We hebben nu verteld wat complexe getallen zijn, en hoe je ermee rekent. In sommige fractals wordtgerekend met complexe getallen in plaats van gewone getallen. Een voorbeeld hiervan is de

Juliaverzameling. Die verzameling wordt gegeven door f(Z)=Z2+C. We hebben eerder gezien dat Julia

gedefinieerd wordt voor een getal uit het platte vlak (x,y):

xn+1=xn2-yn

2+a

yn+1= 2xnyn+b

Dit is zonder complexe getallen. Met complexe getallen is dit veel makkelijker te doen, namelijk met

f(Z)=Z2+C. Neem C=a+ib. invullen geeft het volgende: f(Z)=(x+iy)2+a+ib. Uitgewerkt komt hieruit

x2+2ixy-y2+a+ib. Dit laat zich beter opschrijven in de vorm x2-y2+a+i(2xy+b). Het rele deel hierin is x2-

y2+a, en het imaginaire deel is i(2xy+b) We zien dat dit overeenkomt met de eerder gegeven formule.

Deze is dus veel makkelijker te schrijven als complex getal.

In dit stuk zullen we de Juliafractal voor C=0 bekijken,

dus f(Z)=Z2. In Julia wordt gebruik gemaakt van recurente

betrekkingen. Alles wat naar nul convergeert hoort bij

deze fractal, samen met alles dat gelijk blijft. Alles wat

naar oneindig convergeert komt niet in deze fractal voor.

In het geval van f(Z)=Z2moet er gekeken worden hoe

lang de afstand tot de oorsprong is. Omdat de r bij

poolcordinaten met zichzelf vermenigvuldigd wordt.

Getallen waarvoor de r groter is dan 1 gaan van de

oorsprong vandaan. Getallen waarvoor r gelijk is aan 1

blijven r=1 hebben, want 1*1=1. Getallen waarvoor r kleiner is dan 1 komen steeds dichter bij de

oorsprong te liggen. Omdat bij poolcordinaten de hoeken opgeteld worden, gaat alles circulerend,

dus een getal cirkelt of naar de oorsprong toe, cirkelt eromheen of cirkelt er vandaan. De Juliafractal

voor C=0 is dus een cirkel met straal 1 en als middelpunt de oorsprong.


32/40

32

Julia

In de afgelopen hoofdstukken heeft de lezer kennis gemaakt met recurente betrekkingen en metcomplexe getallen. Ik dit hoofdstuk brengen wij deze twee zaken bij elkaar in de Julia-fractal. In hethoofdstuk over recurente betrekkingen hebben we de volgende recurente betrekking gevonden voorde Julia-fractal:Xm+1= (xm)

2(ym)2+ a

Ym+1= 2 * xm* ym+ bHet bleek later dat deze formules, als de x werd beschouwd als een reeel component van een getalen y als een complex deel van een getal, deze formule te schrijven is als Zm+1= (Zm)

2+ C. In dezeformule is de beginwaarde (Zm) en C een complex getal.

Bij de Julia fractals wordt gebruik gemaakt van de hierboven genoemde formule. Bij deze formule isde C constant. Een Julia-fractal (voor iedere C ziet de Julia-fractal er anders uit) bestaat uit allepunten in het complexe vlak die, als zij als Z0in de hierboven genoemde recurente betrekkingworden ingevuld, na een oneindig aantal iteraties niet oneindig zijn geworden. Met andere woorden:Z .

We zullen deze definitie uitleggen naar aanleiding van een aantal voorbeelden.Laten we een constante C nemen van -0.6(+0i). Dan krijgen we de recurente betrekking Zm+1= (Zm)

2-0.6. Als we hier een beginwaarde nemen van 0(+0i) dan krijgen wij een Z1van -0.6 gevolgd door -0.24; -0.54;-0.31;-0.50;-0.85. Deze waarden schommelen heen en weer en convergeren uiteindelijknaar -0.42. Dit is dus de aantrekker. Niet alle beginwaarden convergeren echter. Als wij eenbeginwaarde nemen van bijvoorbeeld 8, dan schiet deze naar oneindig. In de Julia-fractal met een Cvan -0.6 is het punt 0(+0i) wel zwart gekleurd en het punt 8(+0i) niet.

In het vorige hoofdstuk hadden wij al geconstateerd dat alle complexe getallen die een absolutewaarde hebben naar 0 convergeren in de recurente betrekking Zm+1= (Zm)2(C=0). Het is dus ook logisch dat al deze punten in de bijbehorende Julia-fractalzwart zijn gekleurd. Dit is ook duidelijk zichtbaar in de bovenste afbeeldinghiernaast. Deze is gemaakt door een wiskundig programma dat van allecomplexe punten in het tweedimensionale vlak heeft gecontroleerd of deze naiteratie naar oneindig convergeren. Alle punten waarvoor dit niet geldt, zijnzwart gekleurd. Een getal wat heel dicht bij de rand van deze Julia-fractal zitconvergeert slechts heel langzaam (bijvoorbeeld 1,0000001). Bij de Julia fractalswordt ook gekeken naar de snelheid waarmee de getallen die geen deeluitmaken van de echte fractal naar oneindig convergeren. Hoe langzamer dit gaat, hoe lichter dezepunten gekleurd zijn. Dit is ook duidelijk te zien in de figuur hiernaast. Het lijkt wel eenzonsverduistering met een blauwe gloed eromheen.


33/40

33

Als wij naar de Julia-fractal kijken van C=1 (zie hiernaast en op de vorige pagina),dan zien wij duidelijk fractale eigenschappen. Deze fractal bestaat uit drie grotebollen, met hier rondom heen weer andere bolletjes. Het blijkt dat deze structuur

terug blijft komen als wij verder inzoomen op de fractal. We zien overal weerkleinere bolletjes. Op de afbeelding op de vorige pagina is steeds de rode cirkel

uitgezoomd in de volgende afbeelding (van links naar rechts). Je ziet steedsdezelfde structuur weer terugkomen. De fractal is echter niet zelfgelijkend.

Julia-fractals komen in veel vormen voor. Persoonlijk vind ik het een van de mooiste fractals die erzijn. Sommige fractals bestaan, net als de fractal hierboven, uit een terugkerende vorm die steedsaaneengeschakeld is met zijn broertjes. Andere fractals zijn veel complexer. Op de volgende paginaen op pagina 38 staan een aantal verschillende soorten Julia-fractals ( op pagina 38 in de tweerechter rijen. De fractals hieronder laten duidelijk zien hoe divers de Julia-fractals zijn. En er zijn nogveel meer verschillende vormen. Het is nauwelijks te voorspellen hoe de fractal die bij een bepaaldeC hoort, eruitziet. Wel is het zo dat alle Julia fractals n geheel vormen. Dit wil zeggen dat allezwarte punten aaneengeschakeld zijn. Als de fractal een eiland was dan zou je overal kunnen komen

zonder over water te moeten varen. Iedere Julia-fractal bevind zich ook rond het punt 0 +0i. Dit eenfeitje dat ook een rol zal spelen in de definitie van de Mandelbrot-fractal, die in het hoofdstuk hiernaeen hoofdrol speelt. Aan deze fractal is het volgende hoofdstuk geweid. Tevens valt het op dat allewitte gedeelten ook fractale eigenschappen vertonen. Er zijn duidelijk kolken te herkennen. Dezekolken hebben ook structuur op elke schaal.

Als een recurente betrekking een enkele aantrekker heeft, dan is deze op dezelfde manier te vindenals een normale recurente betrekking: namelijk door deze gelijk te stellen aan f(x)=x.x2+C = x (ik heb de notatie versimpeld)x2x + C = 0Hier kan je gewoon de ABC-formule toepassen

B

2

(4ac) = DX1=

X2=

Er geldt hier dat a=1, b=-1 en c=e+fi (e is de rele component van het getal en f het complexegedeelte).Als je deze invult in de ABC-formule krijg je D=(-1)2(4 * 1 * (e+fi)) = 1-(4e + 4fi) = 14e4fi

X1 =

X2=

Merk wel op dat deze formule hier altijd een uitkomst heeft. D kan namelijk ook negatieve ofcomplexe waarden aannemen. Ook de regel om te controleren of de gevonden aantrekker ookdaadwerkelijk een aantrekker is, geldt bij complexe getallen. De regel was: als de absolute waardevan de richtingsquotint in de aantrekker kleiner of gelijk aan 1 is, wordt in ieder geval een kleingebiedje rond de aantrekker aangetrokken.Om de richtingsquotint te berekenen neemt men de afgeleide van f(x) = x2+C. De afgeleide is altijdgelijk aan 2x, aangezien C constant is. De gevonden X1en X2zijn beide weer te schrijven als a + bi (hetis algebrasch lastig om een algemene formule te geven in de vorm a+bi. Het is makkelijker om deuitkomst gewoon te berekenen met je rekenmachine). Deze vermenigvuldig je met 2 (de afgeleide).Vervolgens kijk je of de absolute waarde van dit geval (de afstand tot het punt 0 + 0i in het complexevlak) kleiner of gelijk is aan 1. Is dit het geval, dan is dit inderdaad een aantrekker (voor een klein

gebiedje).


34/40

34

Dit zegt echter niets over meervoudige aantrekkers (het heen en weer springen tussen verschillendewaarden), het gaat alleen over enkelvoudige aantrekkers. Mocht de afgeleide groter zijn als 1, danwil dit niet zeggen dat er geen aantrekkers zijn.

In dit Hebben wij, voor de eenvoud, alleen rele waarden van C gebruikt. Uiteraard bestaan er ook

Julia-fractals voor complexe waarden van C.

Hieronder staan nog enkele Julia-fractals. Er zijn duidelijk families te herkennen.


35/40

35

Mandelbrot

In het vorige hoofdstukje hebben we de Julia-fractals beschreven. De essentie van dezeverzamelingen is een relatief simpele recurente betrekking (Zm+1= (Zm)

2+ C). Toch vloeit uit deze

recurente betrekking niet alleen de Julia-fractals maar ook de Mandelbrot-fractal. Deze fractal staatin het Guinees Book of Records als de meest complexe wiskundige figuur (iets wat je niet zou zeggenals je kijkt naar de simpele recurente betrekking).De essentie van de Julia-fractal is een constante C (die wel per fractal verschilt, maar in n fractalblijft hij gelijk) en een Zm=0die varieert. Bij de Mandelbrot-fractal is ditprecies omgekeerd.

Laten we kijken naar de Julia-fractal met een C van 0.30 (de Julia fractal diehierbij hoort staat hiernaast). We hadden eerder al gezegd dat met deze c,er geen enkele beginwaarde convergeert. Hij bestaat dan ook alleen maaruit blauwwitte punten. Je zou zelfs kunnen zeggen dat deze fractal eigenlijk

helemaal niet tot de familie van de Julia-fractals behoort omdat hij geenenkel punt heeft dat convergeert. Er is dus geen enkel getal (ook niet in hetcomplexe vlak) dat convergeert. Deze fractal heeft wel eigenschappen diebij veel fractals voorkomen. Zo komen bijvoorbeeld de kolken op elke schaalterug.

De Mandelbrot-fractal is gedefinieerd als de verzameling van alle (complexe) waarden van C die, alsmen het getal 0+0i als Z0in de recurente betrekking invult, na oneindig veel iteraties ongelijk zijn aanoneindig. Met andere woorden Z.Het blijkt dat deze definitie gelijk is aan een andere, simpelere, definitie: De Mandelbrot-fractalbestaat uit alle (complexe) waarden voor C waarvan er bij de bijbehorende Julia-fractal er minstens

drie punten convergeren naar n of meerdere aantrekkers.

Dit is ook de reden waarom het punt 0+0i altijd deel uitmaakt van een Julia-fractal (als die berhauptbestaat). Er bestaat een bewijs die beide definities aan elkaar gelijk stelt, maar deze is te ingewikkeldom hier te vermelden.

Ook rond de Mandelbrot-fractal zijn witte gebieden te zien (defractal staat hiernaast). Dit zijn de punten waarvoor eenbeginwaarde van 0 + 0i langzaam naar oneindig convergeert. Ookhier geldt weer dat, hoe dichter het punt op de Mandelbrot-verzameling zit, hoe langzamer hij convergeert. De witte stukken

die ontstaan vertonen, net als bij Julia, fractale eigenschappen.Ook is de Mandelbrot verzameling n geheel: als de fractal eeneiland zou zijn dan zou je het hele eiland kunnen bereiken zonderwater tegen te komen. Op bepaalde punten is de fractal wel heeldun (dan is hij een lijn).De Julia-fractals en de Mandelbrot-fractal hebben dus veelgemeenschappelijk. Dit is op zich ook niet zo verwonderlijk aangezien ze beide dezelfde recurentebetrekking betreffen. Alleen wordt deze recurente betrekking op een andere manier gebruikt. Opzich is het ook niet verwonderlijk dat de fractals van Mandelbrot op die van Julia lijken: hij was eenleerling van Gaston Julia.


36/40

36

De rand van de Mandelbrot-fractal is erg bijzonder, nog afgezien van de prachtige structuren. Als jebinnen de Mandelbrot verzameling zit dan zijn er zwarte punten in de bijbehorende Julia-fractal. Zit

je er echter net naast dan zijn deze er niet. Dit gaat erg plotseling. Als je sterk op de Mandelbrot-verzameling inzoomt en je neemt twee dicht bij elkaar liggende punten, dan zijn de bijbehorende

Julia-fractals vrijwel gelijk. Bij de overgang tussen zwart en wit verdwijnen dus ook niet eerstlangzaam alle zwarte punten om vervolgens wit te worden: in een klap worden alle zwarte puntenwit. Op de afbeelding op pagina 38 is dit duidelijk te zien. Van links naar rechts in iedere rij: deMandelbrot fractal met een rode cirkel; de (vaak sterke) zoom van het in de vorige afbeeldingomcirkelde gebied, op deze afbeelding staan twee rode stippen; de Julia-fractal behorend bij de rodestip die binnen de Mandelbrot-verzameling valt; de Julia-fractal behorend bij de rode stip die buitende Mandelbrot-verzameling valt.

De Mandelbrot-verzameling heeft bijzondere eigenschappen. Ten eerste is hij zelfgelijkend. Op deafbeelding hieronder staat een zoom van de Mandelbrot-fractal. Het blijkt dat dezelfde structuurweer terugkomt op iedere schaal (soms is hij wel gedraaid). De computer berekent maar 2000

iteraties. Dit is de reden waarom de laatste afbeelding zo onscherp is. Hij is zo sterk ingezoomd datde computer het niet meer aankon. In theorie ziet deze er echter net zo uit als de afbeeldingenhiernaast.

In het hoofdstuk over recurente betrekkingen heb ik gekeken hoeveel aantrekkers er waren voorbepaalde (toen nog rele) waarden van C in de recurente betrekking Zm+1= (Zm)

2+ C. Wij zullen dezenog even terughalen:

c > 0.25 geen aantrekker. De iteratie gaat altijd naar 0.25< c


37/40

37

een rode lijn die het dichtst bij -2 loopt. Een zoom van deze miniatuur is te vinden op pagina 32 ophet eerste plaatje van boven. Voor dit kleine Mandelbrotje geldt weer: In de grote bol is er naantrekker, in de bol hiernaast 2, enzovoorts. Er zijn oneindig veel van dit soort miniatuur-Mandelbrotjes te vinden op de lijn tussen -1+0i en -2+0i. Deze bollen zijn vaak enkel door een lijn aanelkaar geschakeld.

Het gaat zelfs nog verder. Als je het aantal aantrekkers onderzoekt op de verschillende plaatsen opde Mandelbrot-verzameling dan zie je dat er steeds een enkele aantrekker is op een grote bol op deMandelbrot-verzameling en steeds een dubbele aantrekker bij de bol ernaast, hoe sterk je ookinzoomt. Dit geldt niet alleen voor de Mandelbrotjes die op de rele as staan, maar op iedereMandelbrot die terugkomt in de hele fractal.

Er blijkt, dit hebben wij bij puur toeval ontdekt, een plek op de Mandelbrot-verzameling te bestaanwaarvan dit gedeelte van de Mandelbrot verzameling gelijk is aan de bijbehorende Julia-Fractal. Dezebevind zich ongeveer bij C=-1,5+0i (hij staat op de afbeelding hieronder. Van links naar rechts: deMandelbrot-fractal, de zoom van de Mandelbrot-fractal, de bijbehorende Julia-fractal)Over de Mandelbrot verzameling zijn nog veel meer feiten bekend. Het is een ongelooflijk bijzondere

figuur. Het is dan ook meer dan terecht dat dit verreweg de beroemdste fractal is. Hij is zijn positie inhet Guinness Book of Records dan ook meer dan waard!

3


38/40

38


39/40

39

Slot

Het schrijven van dit profielwerkstuk was voor ons beiden een erg leerzame ervaring. De stof die wehebben behandeld zul je niet snel tegenkomen op school en is dus niet alleen leerzaam, maar het isook een onderdompeling in volkomen nieuwe wiskunde.

In het begin leek ons onderwerp mooi afgebakend. Fractals leken mooie figuurtjes die er niet al teingewikkeld uit zagen. De praktijk bleek echter anders. Achter de fractals bleek zeer complexewiskunde schuil te gaan. Dit profielwerkstuk is nog een redelijk oppervlakkige beschrijving vanfractals. Over ieder genoemd onderwerp zijn op zichzelf vele profielwerkstukken te schrijven. Toenwij ons werk aan onze klasgenoten moesten beschrijven, kwam de bewoording een profielwerkstuk

van de wiskunde nog het dichtst in de buurt van de werkelijkheid (al is dit natuurlijk een zwareoverdrijving).

Wij hebben, met dit werkstuk, de lezer kennis laten maken met fractals en de wiskunde diehierachter zit. Wij hopen dat deze een goed beeld heeft gekregen van wat fractals zijn en dewiskundige analyse die er achter deze afbeeldingen schuilgaat.

Ten slotte willen wij graag onze profielwerkstuk begeleider bedanken. De heer Niekus heeft ons hethele jaar door goed begeleid en gestimuleerd. Wij hadden dit resultaat nooit bereikt zonder hem.

Bronvermelding

Bij het schrijven van dit profielwerkstuk hebben we relatief weinig bronnen gebruikt. Het grootstegedeelte van het werkstuk is ontstaan door eigen analyses.

Gelezen literatuur:

Fractals door Igor Hovijn en Jan ScholtmeijerEpsilon uitgaven, jaar van uitgave: 2009, oorspronkelijk jaar van uitgave: 2001, ISBN: 978-90-5041-068-7

Fractals, meetkundige figuren in eindeloze herhaling door Hans LaurierAramith Uitgevers, jaar van uitgave: 1992, oorspronkelijk jaar van uitgave: 1987, ISBN: 90-6834-115-4

Geraadpleegde websites:

http://www.stuif.com/fractals/fractal4.htmlen gekoppelde webpaginas aan deze site

Op deze site stond een programma waarmee alle afbeeldingen met betrekking tot Julia en Mandelbrot zijnvervaardigd.
http://www.stuif.com/fractals/fractal4.htmlhttp://www.stuif.com/fractals/fractal4.htmlhttp://www.stuif.com/fractals/fractal4.html


40/40

40

Logboek

pws fractals

Documents