Carpeta de campo

Tema: La Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales

Comencé con la pregunta ¿cómo simplificar las ecuaciones diferenciales con la

transformada de laplace? El motivo que me llevo a preguntarme esto fue que desde 3 año

del profesorado cuando vimos ecuaciones diferenciales el cual me costó mucho entender,

por eso aprovecho mi tesina para poder nutrirme mas de este tema y ver si puedo entender

como simplificar aprovechando la transformada de laplace

1- Primero que es un ecuación deferencial, según wikipedia

(Link: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial)

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con

sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan

cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación

define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones

diferenciales juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería,

la física, la economía, y la biología.

En link: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Curso-Ecuaciones-

Diferenciales/Que-es-una-ecuacion-diferencial-parte-1

Encontré un video que define las ecuaciones diferenciales (desde minuto 0:00 hasta

1:00)

“Una ecuación diferencial es una ecuación que tiene las derivadas de una o más

variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Si

tenemos una ecuación de la siguiente forma: dy/dx+10y=e x̂, decimos que tenemos

una ecuación diferencial”

2- Para que se usa las ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Imaginemos un grifo pero que tiene la peculiaridad de que se abrirá tanto más cuanto más

cantidad haya en el depósito. Este flujo lo modelizamos de la siguiente forma:

Carpeta de campo

Tema: La Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales

donde k es un tasa fija , L los litros que se almacenan en la jarra, de manera que “a más litros

acumulados, más grande es el flujo”. Podríamos haber procedido a la inversa: “a más litros

acumulados, menos flujo”.

Esta es una ecuación diferencial ordinaria(EDO). Se aplica, en su principio, con algunas

modificaciones según el modelo estudiado, a muchos problemas de crecimiento (biología,

medicina, economía, gestión de flujos de materiales, psicología…). Por ejemplo para los que

hayan leído el famoso libro “la meta” de Eliyahu Goldratt, que sepan que el principio de la

resolución de los cuellos de botella en los flujos de producción, aunque no lo dice, se basa en

la dinámica de sistemas que tienen en su base la resolución de ecuaciones diferenciales

ordinarias.

Voy a intentar visualizar una ecuación diferencial y su solución a través de un tema de

crecimiento de litros en un recipiente y posteriormente a un tema de aprendizaje.

Seguimos con la visualización del grifo y el recipiente. La apertura del grifo será cada vez más

grande si el depósito siguiera llenándose; la curva de la derivada será una exponencial.

En la medida que el flujo depende de la cantidad de litros acumulados, la solución l(t) que

vamos a resolver no consiste en encontrar una solución numérica. Se trata de realizar una

integración no solo de las variables independientes (t) sino también de las variables

dependientes (L) para encontrar una función que sea solución.

Es decir cuando se busca resolver una ecuación de la forma 2x2-1 = 0, se busca una solución

numérica. En esta ecuación las soluciones son 0,5 y -0,5. Sin embargo cuando se busca resolver

una ecuación diferencial como en nuestro ejemplo, no se busca una solución numérica sino

que se busca encontrar como solución una función.

Carpeta de campo

Tema: La Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales

La solución, en función de la definición de las condiciones particulares, puede designar una

curva, o una familia de curvas cuando se definen condiciones particulares o incluso un número

infinito de curvas debido a los valores que pueden ir tomando sus constantes de integración.

Las diferentes imágenes de la figura 9 muestran diferentes tipos de soluciones de las

ecuaciones diferenciales: desde una curva en la que se conocen las condiciones iniciales hasta

un espacio vectorial con infinidad de curvas solución.

Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecuación diferencial se

resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer y que

son condiciones iniciales o condiciones de frontera

https://www.incress.com/valores-participacion/2013/04/05/%C2%BFque-son-y-para-que-

sirven-las-integrales-y-las-ecuaciones-diferenciales-e-d/

CONCLUSIÓN

Carpeta de campo

Tema: La Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales utilizan en su núcleo de cálculo la relación que existe entre una derivada y su primitiva.

La solución encontrada no es una solución numérica sino una solución en forma de ecuación que describe diferentes curvas según los parámetros iníciales utilizados.

Las ecuaciones diferenciales se aplican en una gran cantidad de áreas y campos: mecánica, electricidad, electrónica, economía, arquitectura, biología, teoría de sistemas, investigación de operaciones, psicología…

Establecer modelos matemáticos y en particular el uso de las ecuaciones diferenciales podría ser un arte sencillo si a esta tarea nos hubiesen entrenado y hubiésemos comprendido su sentido y sus elementos básicos.

Espero que esto haya ayudado a comprender mejor el mundo de las integrales y de las ecuaciones diferenciales.

También espero que este artículo sirva para demostrar que, pedagógicamente, es imprescindible visualizar e imaginar para que los conceptos se entiendan y permanezcan

en nuestra memoria y que muchos de aquellos que arrastran el complejo de ser “malos” en matemáticas sepan que no son ellos los malos sino el método con el que les han enseñado: Un metodo centrado en el aprendizaje abstracto y muy poco en el aprendizaje a

partir de la experiencia, de la imaginación, de la visualización y de la emoción.

Que es la trasformada de la place – se el libro calculo de leithold en capitulo 8

Carpeta de campo

Tema: La Transformada de Laplace Ecuaciones Diferenciales

Link : https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform

La transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial

Ahora ya sabes calcular transformadas de Laplace y conoces propiedades útiles de la

transformada. Te mueres por aplicar estas habilidades en una ecuación diferencial de verdad.

¡No esperes más!