ACADEMIA MATEMÁTICA “PELU – JEAN” TRIGONOMETRÍA 5º

Profesor: Antonio Ayala Ramos

En ocasiones se nos presentan ejercicios en las que

se nos pide reducir o simplificar como por ejemplo:

E = (Sen20° + Sen20°) Sec10°

Observando quizás la necesidad de pasar

FuncionesdeSuma

)20Sen40(Sen a un producto de funciones

debe decir:

Esto puede lograrse mediante el uso correcto de

las siguientes identidades:

I. )2

B–A(Cos)

2

BA(Sen2SenBSenA

II. )2

BA(Cos)

2

B–A(Sen2SenB–SenA

III. )2

B–A(Cos)

2

BA(Cos2CosBCosA

IV. )2

B–A(Sen)2

BA(Sen2–CosB–CosA

Para demostrar la primera identidad recordemos:

miembroamiembro

Sumando

SenCos–CosSen)–(Sen

SenCosCosSen)(Sen

Se obtiene:

Sen( + ) + Sen( – ) = 2Sen Cos ………… (*)

Hacemos un cambio de variable:

+ = A

– = B

Obtenemos:

2

B–A

2

BA

Reemplazamos en (*) se tiene:

SenA + SenB = 2Sen )2

BA( Cos )

2

B–A(

Los demás se demuestran en forma análoga

quedando como ejercicio para el alumno.

Entonces en nuestro ejemplo:

(Sen40° + Sen20°) Sec10°

10Sec)2

20–40(Cos)

2

2040(Sen2

2 Sen30° Cos10°Sec10°

E = 1

Suma de

Funciones

Transformación

(Fórmula)

Producto de

Funciones

Usamos la identidad (I)

Por identidad recíproca = 1

1.)2

1(2

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Profesor: Antonio Ayala Ramos

1. Simplificar:

E = (Sen40° + Sen80°) Csc24° Sec16°

a) 1 b) 2 c) 3

d) Sen24° e) Cos16°

2. Simplificar:

E = (Sen32° + Sen16°) Csc24° Sec8°

a) 1 b) 2 c) 3

d) Sen24° e) Cos8°

3. Reducir:

x2Cos

Senxx5SenE

a) 2Sen3xCos2x b) 2Sen3x + 1 c) 2Sen3x

d) 2 e) 2Cos3x

4. Reducir:

x2xCos5Sen

x3Senx7SenE

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 3 e) Sen5x

5. Simplificar:

Cosxx5Cos

Senx–x5SenE

a) Tg b) Tg2x c) Tg3x

d) Ctg3x e) Ctg2x

6. Simplificar:

Cosxx3Cos

Senx–x3SenE

a) Tgx b) Ctgx c) Tg2x

d) Ctg2x e) 2

7. Simplificar:

x7Cos–x3Cos

x3Senx7SenE

a) Tg2x b) Ctg2x c) Tg4x

d) Ctg4x e) 1

8. Reducir:

80Cos–20Cos

20Sen80SenE

a) 1 b) 2 c) Tg50°

d) 3 e) 50Ctg3

3

9. Reducir:

80Sen

50Cos20SenE

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) 3

10. Reducir:

E = (Sen70° + Cos70°) Sec25°

a) 1 b) 2 c) 2/2

d) 1/2 e) 2

11. Pase a producto:

E = Senx + Cos2x

a) )2x3º–45(Cos)

2x–45(Cos

b) )2x3º–45(Cos)

2x–45(Cos2

c) 2

x3Cos)

2

x–45(Cos

d) 2

x3Cos)

2

x–45(Cos2

e) )2

x–45(Cos

2

xCos

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12. Pase a producto:

E = Sen3x + Cosx

a) Cos(45° - x) Cos(45° - 2x)

b) Cos(45° - x) Cos(45° + 2x)

c) 2Cos(45° - x) Cos(45° – 2x)

d) 2Cos(45° - x) Cos(45° + 2x)

e) 2Cos(45° - x) Cos2x

13. Pase a producto:

E = Sen4x + Sen2x + 2Sen3x Cos5x

a) Sen6x Cos2x b) 2Sen6x Cos2x

c) 4Sen6x Cos2x d) Sen3x Cos2x

e) 4Sen3x Cos2x Cosx

14. Pase a producto:

E = Cos3 + Cos7 + Cos3 + Cos

a) Cos Cos3 Cos5

b) 2Cos Cos3 Cos5

c) 4Cos Cos3 Cos5

d) Cos2 Cos3 Cos5

e) 4Cos2 Cos3 Cos5

15. Pase a producto de Cosenos:

21E

a) 4Cos52°30’ Cos7°30’

b) Cos52°30’ Cos7°30’

c) 2Cos52°30’ Cos7°30’

d) 3Cos52°30’ Cos7°30’

e) 5Cos52°30’ Cos7°30’

1. Reducir:

xCosx3Sen

x2Senx4SenE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Reducir:

10Cos

20Sen40Sen

a) 1 b) 1/2 c) 1

d) 2Sen10° e) Cos10°

3. Reducir:

Cosxx4Cos2

x3Sen–x5SenE

a) 1 b) 2 c) Senx

d) Tgx e) Ctgx

4. Reducir:

10Sen7Sen2

3Sen–17SenE

a) 1 b) 2 c) Tg10°

d) Ctg10° e) Tg3°

5. Reducir:

Cosxx2Cos

Cosxx3CosE

a) 1 b) 2 c) Sen3x

d) Sen2x e) Cosx

6. Reducir:

xSenx3Sen

x2Cos–x4CosE

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) Senx

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7. Reducir:

2Cos8Sen2–

6Cos–10CosE

a) 1 b) 2 c) Tg2°

d) Ctg2° e) Sen2°

8. Simplificar:

x2Sen

x3Cos–CosxE

a) Senx b) –Senx c) 2Senx

d) –2Senx e) Cos2x

9. Simplificar:

Cosxx3Cosx5Cos

Senxx3Senx5SenE

a) Tgx b) Tg2x c) Tg3x

d) Tg4x e) Tg5x

10. Transformar a producto:

E = Sen8x + Sen6x + Sen4x + Sen2x

a) Sen5x Cos2x Cosx

b) 4Sen5x Cos2x Cosx

c) 4 Cos5x Cos2x Cosx

d) Cos5x Cos2x Cosx

e) 4 Sen2x Cos3x Cosx

11. Reducir:

Senx–x5Sen

Cosxx5CosE

a) Tgx b) Tg2x c) Ctg2x

d) Ctgx e) Ctg3x

12. Reducir:

10Cos70Cos

10Sen–70SenE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3

3 e)

3

32

13. Pase a producto:

E = Sen11 + Sen7 + Sen5 + Sen

a) Sen6 Cos3 Cos2

b) 2Sen6 Cos3 Cos

c) 4Sen6 Cos3 Cos2

d) 2Sen4 Cos3 Cos2

e) 4Sen4 Cos3 Cos2

14. Hallar “x” si:

)x2Cosx4Cos(3x2Senx4Sen

a) 10° b) 20° c) 15°

d) 18° e) 25°

15. Pase a producto de Cosenos:

20Sen23E

a) Cos55° Cos20°

b) 2Cos55° Cos20°

c) 4Cos50° Cos20°

d) 2Cos70° Cos20°

e) 4Cos40° Cos20°