transferencia de momentum 1740-2 -...

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Transferencia de Momentum

1740-2

2014-02-25 8ª

2014-02-25

Contenido

Sistemas coordenados convencionales…

• Ecuación de continuidad;

• Balance de momentum.

En coordenadas cartesianas: x, y, z

La ecuación de continuidad es escalar; es el balance de masa de un

sistema de un solo componente; por ello, en el EC no puede haber

transporte por difusión ni transformación, pero sí puede haber

acumulación y/o transporte por convección de masa.

Por lo tanto, la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas es:

Ecuación de continuidad, notación vectorial:

=0

z

y x

0vt

; x y zi j k v iv jv kvx y z

x y zv ( v ) ( v ) ( v )x y z

t

x(vx )

y(vy )

z(vz ) 0

cuando ; cuando i j i j 1 i j i j 0

Sistema coordenado cartesiano

x y zv v v 0t x y z

Ecuación de continuidad: 0vt

r z

1 1r v v v 0

t r r r z


Sistema coordenado cilíndrico

x r cos

y r sin

z z

Coordenadas esféricas

2

r2

1 1 1r v v sin v 0

t r r sin r sinr


x r sin cos

y r sin sin

z r cos

r z

1 1rv v v 0

t r t r z

x y z( v ) ( v ) ( v ) 0t x y z

2

r2

1 1 1r v v sin v 0

t t r sin r sinr

BSL Tabla 3.4-1

Ecuación de Continuidad en diferentes sistemas coordenados

(A) Coordenadas rectangulares (x,y,z)

(B) Coordenadas cilíndricas (r,,z)

(C) Coordenadas esféricas (r,,)

Acumulación

Flujo por Convección

Fuerzas de Campo (Gravitación)

Fuerzas Estáticas (Presión)

Fuerzas Dinámicas (Deformación)

¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?

Balance de Momentum

v vv g P 0t

Vector de esfuerzos ( t ) y Tensor de Esfuerzos ( T )

Se asume que ρ, v y t son funciones continuas tanto de las coordenadas

espaciales como del tiempo.

3. El tensor de esfuerzos T es simétrico, por lo tanto:

Además, t esta referida al vector normal n que sale de la superficie del

elemento de control.

El vector de esfuerzos t cumple con las siguientes condiciones:

1. Dos vectores de esfuerzos que: i) actúen sobre una misma superficie;

ii) tengan la misma magnitud; y iii) estén ubicados en lados opuestos de

dicha superficie, satisfacen la siguiente igualdad :

2. El vector de esfuerzos t(n) puede escribirse en términos del tensor de

esfuerzos T de la siguiente manera:

Posteriormente se utilizarán estas propiedades…

t (n) t (n)

( n )t T n

Tik Tki

Balance de Momentum

v vv g P 0t

Como :

tv

v

t v

t

Por la ecuacion de continuidad: v 0t

Por lo tanto: v

v vv v vt t

igualdad: ... (A.4-30) wv w v v w BSL

vv v v v v

v

v vv v v v v vt t t

v

v vv v vt

vt

vt

v vv g P 0t

cuando ; cuando ij ij

ii00

0 j j0 ii j j kk 1 i j 0 i j

00kk

ii00

P 0 j j0 P iiP j jP kkP

00kk

Por otro lado, a delta de Kronecker esta definida como:

Considerando coordenadas cartesianas rectangulares, el operador es:

i j kx y z

Por lo tanto: P i j k iiP j jP kkPx y z

como: P i j k iiP j jP kkPx y z

P P Pi iiP j j jP k kkP i j k P

x y z x y z

P P

P i j k Px y z

v vv g P 0t

como: i j kx y z

Por lo tanto: v

v v

Como no depende de la posición (ni del tiempo) :

v v

Se considera el caso de un fluido Newtoniano, lo cual implica que su

viscosidad es el factor de proporcionalidad entre su tensor de

esfuerzos y su tensor de rapidez de deformación entre sus tensores de

esfuerzos dinámicos y de deformación es la viscosidad del fluido : v

como: v v y: i j kx y z

v i j k i j k vx y z x y z

2 2 2

2

2 2 2v v v

x y z

Por lo tanto, para el fluido Newtoniano: 2 v

i j k i j kx y z x y z x x y y z z

2v vv g P v 0t

Balance de Momentum

Por lo tanto, el balance de momentum para un fluido que tenga un

comportamiento Newtoniano puede expresarse en términos “medibles”:

2 v

P P

v

v vv v vt t

¿Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?

v v

vx

t vx

vx

x vy

vx

y vz

vx

z

p

x xx

x yx

y zx

z

gx

(A) Componente-x

(B) Componente-y

vy

t vx

vy

x vy

vy

y vz

vy

z

p

y xy

x yy

y zy

z

gy

(C) Componente-z

vz

t vx

vz

x vy

vz

y vz

vz

z

p

z xz

x yz

y zz

z

gz

Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-2

Coordenadas Rectangulares (x,y,z). En términos de

vx

t vx

vx

x vy

vx

y vz

vx

z

p

x

2vx

x22vx

y22vx

z2

gx

(D) Componente-x

(E) Componente-y

vy

t vx

vy

x vy

vy

y vz

vy

z

p

y2vy

x22vy

y22vy

z2

gy

(F) Componente-z

vz

t vx

vz

x vy

vz

y vz

vz

z

p

z2vz

x22vz

y22vz

z2

gz


Coordenadas Rectangulares (x,y,z).

En términos de gradientes de velocidad.

Fluido de comportamiento Newtoniano.

Densidad y viscosidad constantes


Cilíndricas (r,,z). En términos de

2

r r r rr z

r rzrr r

v vv v v v pv v

t r r r z r

1 1r g

r r r r z

(A) Componente-r

(B) Componente-

rr z

2 zr2

v v v v v v v 1 pv v

t r r r z r

1 1r g

r r zr

(C) Componente-z

z z z zr z

z zzrz z

vv v v v pv v

t r r z z

1 1r g

r r r z

Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-3. Cilíndricas (r,,z).

Gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. y constantes

2

r r r rr z

2 2

r rr r2 2 2 2

v vv v v v pv v

t r r r z r

vv v1 1 2rv g

r r r r r z

(D) Componente-r

(E) Componente-y

rr z

2 2

r

2 2 2 2

v v v v v v v 1 pv v

t r r r z r

v vv1 1 2rv g

r r r r r z

(C) Componente-z

z z z zr z

2 2

z z zz2 2 2

vv v v v pv v

t r r z z

v v v1 1r g

r r r r z

2 2

r r r rr r

r2

rr r2

v v vvv v v v pv g

t r r r sin r r

1 1 1r sin

r r sin r sin rr

A) componente-r

Ecuación de Movimiento

BSL Tabla 3.4-4

. Esféricas (r,,z).

En términos de

Ecuación de Movimiento BSL Tabla 3.4-4

Esféricas (r,,z). En términos de

B) Componente-

2

rr

2 rr2

v v cotv v v v v v v 1 pv g

t r r r sin r r r

1 1 1 cotr sin

r r sin r sin r rr

C) Componente-

r

r

r2

r2

v v v v v v v v vv 1 pv cot

t r r r sin r r r sin z

1 1 1 2cotr g

r r r sin r rr

2 2

r r r rr r

2

r r2 2 2 2

v v vvv v v v pv g

t r r r sin r r

vv2 2 2 2v v v cot

r r r r sin

D) Componente-r

Ecuación de Movimiento. BSL Tabla 3.4-4. Esféricas (r,,).


22 2

2 2 2 2 2

1 1 1r sin

r rr r sin r sin



E) Componente-

2

rr

2 r

2 2 2 2 2

v v cotv v v v v v v 1 pv g

t r r r sin r r r

vvv2 2cosv

r r sin r sin

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1r sin

r rr r sin r sin

F) Componente-

r

r

2 r

2 2 2 2 2 2

v v v v v v v v vv 1 pv cot

t r r r sin r r r sin z

v vv2 2cosv g

r sin r sin r sin

2 1

r2

rr2

r

1

r2 sin

sin

1

r2 sin2

2

2



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Transferencia de Momentum

1740-2

Fin de 2014-02-25 8ª

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