tranformada fraccional de fourier

$: Tranformada fraccional de Fourier$
Restauración de señales:Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de

Fourier consecutivos

Alejandra Fernández - José Manjarrés

Universidad del Norte

16 de Noviembre del 2010

Introducción

1 Introducción

2 Transformada de Fourier

3 Transformada fraccional de Fourier

4 Filtrado repetitivo en dominios consecutivosProblemaSolución

Alejandra Fernández - José Manjarrés (Universidad del Norte)Restauración de señales 16 de Noviembre del 2010 2 / 19

Introducción

Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier consecutivos:Filtrar en un dominio del tiempo o en un dominio de la frecuenciaha sido recientemente generalizado como un filtrado en eldominio fraccional de Fourier.El filtrado en la restauración de las señales busca el perfil de unfiltro óptimo donde resulte la mínima desviación cuadrática de laseñal original.Las implementaciones digitales y ópticas de la transformadafraccional de Fourier no implica un trabajo extra comparada con latransformada de Fourier ordinaria. Estas mejoras son alcanzadassin ningún costo adicional.


Introducción

Definición (Filtrado en el dominio del tiempo)Consiste en la multiplicación de una señal de entrada con un filtromultiplicador (respuesta al impulso) para obtener la señal de salida.Llamamos a esta operación: filtrado multiplicativo en el dominio deltiempo.


Introducción

Definición (Filtrado en el dominio de la frecuencia)Similar al anterior, éste consta de una transformación para la entradaquien se multiplica por un filtro multiplicativo, dando como resultadouna salida que debe ser transformada inversamente al dominio deltiempo. Este proceso recibe el nombre de Filtrado multiplicativo en eldominio de la frecuencia.


Introducción

Definición (Filtrado en dominios fraccionarios de Fourier)La señal de entrada esta vez es transformada a un dominiofraccionario de Fourier, cuyo orden es el real a. Una vez transformadaes multiplicada por una respuesta al impulso similar a las anteriores, yla salida es transformada en −a para volver al dominio del tiempo.Esto se define como: Filtrado multiplicativo de orden a en el dominiofraccionario de la transformada de Fourier.


Introducción

Definición (Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de Fourier)La búsqueda de una salida en condiciones óptimas nos lleva a aplicarel concepto de: Filtrado repetitivo en dominios fraccionarios de FourierConsecutivos. Donde el primer filtro es aplicado en el dominiofraccional 0, esto es el dominio del tiempo, el segundo filtro en eldominio a1, el tercero en el dominio fraccional (a1 + a2) y asísucesivamente.


Transformada de Fourier

1 Introducción






Transformada de Fourier: AplicacionesLa transformada de Fourier divide una imagen (una señal si es unadimensión) en un conjunto de componentes del seno y del coseno. Esimportante mantener estas componentes separadas, y así un vectorde la forma (coseno, seno) es utilizado en cada punto del dominio de lafrecuencia de la imagen, es decir, los valores de los píxeles en eldominio de la frecuencia de la imagen son vectores componentes.Una manera conveniente de representarlos es mediante númeroscomplejos.



La transformación de Fourier es un tratamiento localizado en lafrecuencia que nos ayuda a eliminar la distorsión de señales y lograruna recuperación dependiendo de las carácteristicas en frecuencia dela misma.


Transformada fraccional de Fourier

1 Introducción






DefiniciónLa transformación fraccional de Fourier es definida como unaoperación matemática que generaliza la transformada de Fourier. Estatransformación juega un papel en la interpretación de fenómenosópticos y en el procesamiento de señales.

Propiedades esenciales de la transformada1 Linealidad2 El primer orden de la transformación corresponde a la

transformación ordinaria de Fourier a = 13 Los índices son aditivos, es decir, F a1F a2 = F a1+a2

Definición (Matemática)

F a {f(x)} =eiπ4 e−i

a2√

| sin a|e−iπx

′2 cot a

∞∫−∞

e−iπx2 cot ae

2πxx′sin a f(x)dx (1)



La tranformación fraccional de Fourier es ideal en el proceso derecuperación de señales, siendo la calidad directamente proporcionalal orden del dominio fraccional.



Transformada fraccional de Fourier y distribución de Wigner

La distribución de Wigner es una herramienta importante, quepermite la representación de señales en el espaciotiempo-frecuencia, estableciendo una relación fundamental parala recuperación de señales.La transformada fraccional de Fourier está relacionada con ladistribución de Wigner ya que tomar la proyección de ladistribución de una señal distorsionada y hacerla rotar en ángulosdeterminados por la transformada fraccional(φ = aπ

2 ), logra unasupresión casi total del ruido.



Transformada de Fourier fraccional y la distribución de Wigner


Filtrado repetitivo en dominios consecutivos

1 Introducción





Filtrado repetitivo en dominios consecutivos

Introducción al filtrado en dominios consecutivosLa relación establecida entre la transformada fraccional de Fourier y ladistribución de Wigner nos da un gran acercamiento hacia la soluciónplanteada para la recuperación de señales: Filtrado repetitivo. La ideaprincipal que se maneja es tomar la señal distorsionada y filtrar endominios fraccionales diferentes, para alcanzar un filtrado diferente encada dominio. Esto ha sido planteado rompiendo con el uso tradicionalde estimadores óptimos lineales.


Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Problema

Problema

En principio, lo ideal es buscar un operador Gopt que cumpla con lacondición:

x = Gopty

donde x sea una función de entrada con un error cuadráticominimizado por el estimador óptimo aplicado a y. Hasta el momentose consideraría un filtro óptimo Wiener aplicable para sistemas LTI ysolo necesitaría de transformadas ordinarias de Fourier. Pero, si elruido y la distorsión son aleatorios, ¿Qué se puede hacer?


Filtrado repetitivo en dominios consecutivos Solución

SoluciónCon una gran variedad de aplicaciones y relativos bajos costos deimplementación, el filtrado consecutivo de la señal en dominiosfraccionales de Fourier, se presenta como la solución para esteproblema. Un numero moderado de estos filtros, toma menos tiempocomputacional en realizar la misma operación que Gopt y sólo constade un algoritmo iterativo que hace el filtrado una y otra vez de maneraque cada dominio fraccional converja hacia un punto mínimo relativode error.



Ejemplos de aplicación

(a) Señal original (b) Señal distorsionada



(c) Señal filtrada con Transformadaordinaria de Fourier

(d) Señal filtrada cuatro veces endominios fraccionales



Ejemplos de aplicación

Reduciendo el ruido en una señal sinusoidalLa siguiente figura muestra una señal sinusoidal distorsionada por unruido aleatorio, y al lado su resultante despues de haber sido filtradacuatro veces en dominios consecutivos fraccionales de Fourier.



ConclusiónEl filtrado repetitivo se ofrece como una técnica alternativa en larecuperación de señales, bajo el uso de la transformada fraccional deFourier. Tiene un mayor rendimiento que el filtrado simple en eldominio de la frecuencia con un pequeño incremento en costos, yconlleva a resultados de error cercanos al estimador óptimo lineal,siendo más barato que éste. Puede no ser el método ideal, pero arrojaexcelentes resultados optimizando tiempo y costos de maneraequilibrada.


tranformada fraccional de fourier

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