aplicaciÓn de la transformaciÓn fraccional de …

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER PARA

EL ANÁLISIS DE SEÑALES PRODUCIDAS POR DESCARGAS PARCIALES EN

UN TRANSFORMADOR DE DISTRIBUCIÓN

PRESENTADO POR:

Maria Angélica Cruz Bernal Código 20091007069

Brian Andrés Gómez Mendoza Código 20091007019

TRABAJO DE GRADO FINAL

DIRECTOR

I.E. MSc. PhD (c). Herbert Enrique Rojas Cubides

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

GRUPO DE INVESTIGACION EN COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA

ELECTROMAGNETICA (GCEM-UD)

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

2017

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER PARA

EL ANÁLISIS DE SEÑALES PRODUCIDAS POR DESCARGAS PARCIALES EN

UN TRANSFORMADOR DE DISTRIBUCIÓN

PRESENTADO POR:

Maria Angélica Cruz Bernal Código 20091007069

Brian Andrés Gómez Mendoza Código 20091007019

TRABAJO DE GRADO FINAL

INGENIERIA ELECTRICA

DIRECTOR


UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

GRUPO DE INVESTIGACION EN COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA

ELECTROMAGNETICA (GCEM-UD)

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

2017

Nota de aceptación

____________________________________

____________________________________

____________________________________

Director


Proyecto Curricular Ingeniería Eléctrica

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

____________________________________

Jurado

Ing.

____________________________________

Jurado

Ing.

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a nuestras familias por ser el pilar fundamental en todo lo que

hemos logrado y por su apoyo incondicional durante todo el proceso de este trabajo de

grado. A compañeros y docentes, por habernos orientado y apoyado para cumplir nuestros

objetivos como persona y estudiante.

María Angélica Cruz Bernal

Dedico este trabajo de grado a Dios por haberme dado la perseverancia de continuar con

esta investigación a pesar de todas las dificultades que se presentaron en el camino.

Igualmente dedico este trabajo a mi familia, amigos y compañeros que estuvieron directa o

indirectamente involucrados y a toda aquella persona que desde la barrera exterior a esta

tesis brindaron sus más sinceras voces de ánimo y aprecio por un buen trabajo realizado.

Brian Andrés Gómez Mendoza

AGRADECIMIENTOS

Agradecemos a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por habernos acogido en sus

aulas, brindarnos una educación de calidad y forjarnos como profesionales.

A nuestro director de proyecto de grado, el Ing. Herbert Enrique Rojas por orientarnos y apoyarnos

en todas las etapas de este trabajo y por su motivación para la culminación de nuestros estudios

profesionales.

Al profesor Diego Julián Rodríguez por brindarnos su apoyo incondicional en todo el desarrollo de

este trabajo de grado.

A la empresa de transformadores ‟AWA‟, por habernos guiado y ayudado en el diseño y

construcción del módulo experimental para descargas parciales.

Al profesor Francisco Román y al Ing. Carlos Rivera del grupo de investigación en compatibilidad e

interferencia electromagnética (EMC-UNC) por facilitarnos y asesorarnos en la instrumentación

usada en el trabajo experimental.

Al laboratorio de alta tensión de la universidad distrital Francisco José de Caldas sede tecnológica y

al Ing. Alexander Rodríguez por acompañarnos y orientarnos durante la etapa experimental del

proyecto.

Al grupo de investigación GCEM (Grupo de Compatibilidad e Interferencia electromagnética) de la

Universidad Distrital por sus valiosos aportes durante el desarrollo de este proyecto.

A los ingenieros Angie Ramos, Carlos Bernal, Carolina Forero, Jeyson Sanabria y demás

compañeros de estudio que brindaron grandes aportes tanto en la implementación física del

montaje, como en sus consejos en el procesamiento de señales.

TABLA DE CONTENIDO

1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 1

1.1 Planteamiento del problema y justificación ........................................................................ 1

1.2 Objetivos ............................................................................................................................. 4

1.2.1 Objetivo General ......................................................................................................... 4

1.2.2 Objetivos Específicos .................................................................................................. 4

1.3 Estructura de la tesis ............................................................................................................ 4

2 MARCO DE REFERENCIA ...................................................................................................... 5

2.1 DESCARGAS PARCIALES .............................................................................................. 5

2.1.1 Definición .................................................................................................................... 5

2.1.2 Métodos de detección de descargas parciales (DP) ..................................................... 5

2.2 PROCESAMIENTO DE SEÑALES................................................................................... 8

3 TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER ........................................................... 11

3.1 PRELIMINARES .............................................................................................................. 11

3.2 GENERALIDADES.......................................................................................................... 11

3.3 LA TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER CONTINUA (FRFT) .......... 12

3.3.1 El operador Transformada de Fourier ....................................................................... 12

3.3.2 Polinomios de Hermite .............................................................................................. 13

3.3.3 Transformación Fraccional de Fourier Continua ...................................................... 14

3.4 TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER DISCRETA (DFRFT) .............. 16

3.4.1 Descomposición espectral de la DFT ........................................................................ 17

3.4.2 Definiendo la DFRT .................................................................................................. 19

3.4.3 Ecuación diferencial de las funciones de Hermite-Gauss ......................................... 19

3.4.4 Representación matricial de la DFRFT ..................................................................... 20

3.5 CORRESPONDENCIA ENTRE LA FRFT Y LA DFRFT .............................................. 22

4 CODIGOS Y VALIDACIÓN ................................................................................................... 25

4.1. ALGORITMOS ................................................................................................................. 25

4.1.1 Generación de las matrices „S‟ y „P‟ ......................................................................... 26

4.1.2 Calcular las matrices „Even‟ y „Odd‟ ........................................................................ 26

4.1.3 Calcular las matrices „ ‟ ......................................................................................... 27

4.1.4 Calcular el ángulo de rotación „ ‟ ............................................................................. 27

4.1.5 Calcular la matriz ......................................................................................... 28

4.1.6 Calcular la DFRFT de orden „b‟................................................................................ 28

4.2. REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL ....................................................... 29

4.2.1. Tiempo computacional de los algoritmos ................................................................. 31

4.3. VALIDACIÓN DE ALGORITMOS ................................................................................ 32

4.3.1. Señal Gaussiana ......................................................................................................... 32

4.3.2. Pulso rectangular ....................................................................................................... 33

4.3.3. Señal Seno con componentes armónicas ................................................................... 34

4.3.4. Señal diente de sierra ................................................................................................. 36

5. APLICATIVO COMPUTACIONAL ....................................................................................... 37

5.1. PRELIMINARES .............................................................................................................. 37

5.2. APLICATIVO ................................................................................................................... 37

5.2.1. Menú superior del Software ...................................................................................... 41

5.2.2. Módulo 1: Cargar Archivo ........................................................................................ 41

5.2.3. Módulo 2: Ajustar Señal ........................................................................................... 43

5.2.4. Módulo 3: Implementación DFRFT .......................................................................... 45

5.2.5. Módulo 4: Dominio Tiempo ..................................................................................... 48

5.2.6. Módulo 5: Dominio Fraccional ................................................................................. 49

6. TRABAJO EXPERIMENTAL PARA LA GENERACION Y MEDIDA DE DESCARGAS

PARCIALES EN TRANSFORMADORES ..................................................................................... 53

6.1. REVISIÓN DE MONTAJES EN LA LITERATURA ..................................................... 53

6.1.1. Montaje 1................................................................................................................... 53

6.1.2. Montaje 2................................................................................................................... 54

6.1.3. Montaje 3................................................................................................................... 54

6.1.4. Montaje 4................................................................................................................... 55

6.2. GENERADOR DE DESCARGAS PARCIALES USADO EN ESTE TRABAJO .......... 56

6.2.1. Etapa de generación y medición de altas tensiones ................................................... 56

6.2.2. Etapa de generación de DP ........................................................................................ 57

6.2.3. Etapa para la adquisición de señales ......................................................................... 62

6.3. METODOLOGÍA IMPLEMENTADA PARA LA MEDICIÓN DE DP EN

LABORATORIO .......................................................................................................................... 66

7. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES ................................................... 72

7.1. CARACTERÍSTICAS DE LOS DATOS ANALIZADOS Y METODOLOGÍA ............ 72

7.2. SEÑALES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO .................................................................. 72

7.2.1. Valor máximo de la corriente [Imax] ........................................................................ 73

7.2.2. Valor mínimo de la corriente [Imin] ......................................................................... 74

7.2.3. Tiempo de Corriente máxima [t_Imax] ..................................................................... 74

7.2.4. Duración .................................................................................................................... 75

7.2.5. Número de Cruces por cero ....................................................................................... 75

7.3. DOMINIO FRACCIONAL ............................................................................................... 76

7.3.1. Máximo de la Transformada [Max(DFRFT)] ........................................................... 78

7.3.2. Separación de Picos Principales [Sep. Picos PRINC.] .............................................. 78

7.3.3. Valor del Pico Interno más prominente [Max. Pico INT.] ........................................ 79

7.3.4. Posición en el eje de la Abscisa del máximo pico interno [(u) Pico INT.] ............... 79

7.3.5. Relación Valores (Pico interno/Máximo) de la transformada ................................... 80

7.3.6. Número de Picos Laterales ........................................................................................ 80

7.3.7. Máximo Valor Primer Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 1] ................................. 81

7.3.8. Posición en el eje de la Abscisa del Primer Pico Lateral [(u) Pico LAT. 1] ............. 82

7.3.9. Relación Valores (Pico Lat. 1/Máximo) de la transformada ..................................... 82

7.3.10. Máximo Valor Segundo Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 2] .............................. 83

7.3.11. Posición en el eje de la Abscisa del Segundo Pico Lateral [(u) Pico LAT. 2] .......... 83


7.3.13. Máximo Valor Tercer Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 3] ................................. 84

7.3.14. Posición en el eje de la Abscisa del Tercer Pico Lateral [(u) Pico LAT. 3] .............. 85


7.3.16. Máximo Valor Cuarto Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 4] ................................. 86

7.3.17. Posición en el eje de la Abscisa del Cuarto Pico Lateral [(u) Pico LAT. 4] ............. 86


8. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS ........................................................................ 90

REFERENCIAS ................................................................................................................................ 93

ANEXO A: PROTOTIPO DEL TANQUE (CUBA) DEL TRANSFORMADOR DE

DISTRIBUCIÓN PARA LAS PRUEBAS EXPERIMENTALES ................................................... 99

ANEXO B: FICHA TÉCNICA CT CURRENT TRANSFORMER E 0.5B................................... 103

ANEXO C: FICHA TÉCNICA OSCILOSCOPIO TEKTRONIX DPO7054C .............................. 105

INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1.Sistema de medición de DP usando el método eléctrico ................................................... 6 Figura 3.1. Plano tiempo frecuencia y un conjunto de coordenadas (u,v) rotada por un ángulo α. .. 12 Figura 3.2. Tres casos diferentes de concepto de rotación para la DFRFT en el plano tiempo-

frecuencia .......................................................................................................................................... 22 Figura 4.1. Algoritmo de la DFRFT de orden „a‟ ............................................................................. 25 Figura 4.2. Algoritmo 1 de la DFRFT de orden 'b' ........................................................................... 26 Figura 4.3. Algoritmo 2: pre-calculando la matriz 'uk' ...................................................................... 29 Figura 4.4. Algoritmo 3: pre-calculando la matriz Fb ....................................................................... 30 Figura 4.5. Tiempos de cómputo para los algoritmos propuestos de la DFRFT ............................... 31 Figura 4.6. FFT y DFRFT para la señal Gaussiana .......................................................................... 33 Figura 4.7. FFT y DFRFT para la señal rectangular ......................................................................... 33 Figura 4.8. DFRFT con diferentes órdenes fraccionales para la señal rectangular ........................... 34 Figura 4.9. FFT y DFRFT para la señal seno con contenido armónico ........................................... 35 Figura 4.10. DFRFT con diferentes órdenes fraccionales para la señal Seno con contenido armónico

........................................................................................................................................................... 35 Figura 4.11. FFT y DFRFT para la señal diente de sierra ................................................................. 36 Figura 5.1. Interfaz gráfica de la herramienta DFRFT ...................................................................... 40 Figura 5.2. Visualización del Menú del software .............................................................................. 41 Figura 5.3. Visualización del tipo de señal ....................................................................................... 42 Figura 5.4. Algoritmo Módulo 1 ....................................................................................................... 43 Figura 5.5 Visualización Módulo 2 ................................................................................................... 44 Figura 5.6. Visualización de alternativas de recortar señal ............................................................... 44 Figura 5.7. Algoritmo Módulo 2 ....................................................................................................... 45 Figura 5.8. Visualización de la Módulo 3 ......................................................................................... 46 Figura 5.9.Algoritmo Módulo 3 ........................................................................................................ 47 Figura 5.10. Visualización parámetros en el dominio del tiempo ..................................................... 48 Figura 5.11. Visualización Módulo 4 ................................................................................................ 49 Figura 5.12. Algoritmo Módulo 4 ..................................................................................................... 49 Figura 5.13. Visualización parámetros en el dominio fraccional ...................................................... 50 Figura 5.14 Visualización Módulo 5 ................................................................................................. 50 Figura 5.15. Algoritmo Módulo 5 ..................................................................................................... 51 Figura 6.1. Montaje Experimental ..................................................................................................... 53 Figura 6.2. Montaje Experimental ..................................................................................................... 54 Figura 6.3. Montaje experimental ..................................................................................................... 54 Figura 6.4. Configuración del sistema de electrodo .......................................................................... 55 Figura 6.5. Montaje Experimental ..................................................................................................... 55 Figura 6.6. Montaje implementado en el LAT .................................................................................. 56 Figura 6.7. Elementos del LAT utilizados para la generación y medición de altas tensiones .......... 57 Figura 6.8. Diseño de un tanque de transformador ........................................................................... 58 Figura 6.9. Dimensiones transformador monofásico ........................................................................ 58 Figura 6.10. Modulo para la generación de DP ................................................................................. 59 Figura 6.11. Diseño de la varilla ....................................................................................................... 61 Figura 6.12. Sistema de electrodos utilizado en el montaje experimental ........................................ 61 Figura 6.13. Sistema de fijación del electrodo inferior ..................................................................... 62 Figura 6.14. Sistemas de detección eléctricos de DP‟s. .................................................................... 63 Figura 7.1. Parámetros en el dominio del tiempo .............................................................................. 73

Figura 7.2. Valor máximo de la corriente de las señales de DP ........................................................ 73 Figura 7.3. Valor mínimo de la corriente de las señales de DP......................................................... 74 Figura 7.4. Tiempo de corriente máxima .......................................................................................... 74 Figura 7.5. Duración de las señales de DP ........................................................................................ 75 Figura 7.6. Número de Cruces por cero ............................................................................................ 75 Figura 7.7. Visualización parámetros en el dominio fraccional ........................................................ 76 Figura 7.8. Gráfica Max (DFRFT) vs Separación Picos Principales ................................................ 77 Figura 7.9. Valor máximo de la transformada................................................................................... 78 Figura 7.10. Separación de picos principales .................................................................................... 79 Figura 7.11. Valor máximo del pico interno ..................................................................................... 79 Figura 7.12. Posición en el eje de la Abscisa del máximo pico interno ............................................ 80 Figura 7.13. Valor máximo pico interno/ Máximo de la transformada ............................................. 80 Figura 7.14. Número de picos laterales ............................................................................................. 81 Figura 7.15. Valor máximo primer pico lateral ................................................................................. 81 Figura 7.16. Posición en el eje de la Abscisa del primer pico lateral ................................................ 82 Figura 7.17. Valor máximo pico lateral 1/ Máximo de la transformada ........................................... 82 Figura 7.18. Valor máximo segundo pico lateral .............................................................................. 83 Figura 7.19. Posición en el eje de la Abscisa del segundo pico lateral ............................................. 84 Figura 7.20. Valor máximo pico lateral 2/ Máximo de la transformada ........................................... 84 Figura 7.21. Valor máximo tercer pico lateral .................................................................................. 85 Figura 7.22. Posición en el eje de la Abscisa del tercer pico lateral ................................................. 85 Figura 7.23. Valor máximo pico lateral 3/ Máximo de la transformada ........................................... 86 Figura 7.24. Valor máximo cuarto pico lateral ................................................................................. 86 Figura 7.25. Posición en el eje de la Abscisa del cuarto pico lateral ................................................ 87 Figura 7.26. Valor máximo pico lateral 4/ Máximo de la transformada ........................................... 87 Figura A.1. Transformador monofásico ............................................................................................ 99 Figura A.2 .Diseño de un tanque de transformador ........................................................................ 100 Figura A.3.Construcción del tanque de transformador ................................................................... 101 Figura A.4. Llenado del tanque con Aceite Dieléctrico .................................................................. 102

INDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Cuadro comparativo de métodos para la detección de DP ................................................ 7 Tabla 3.1. Comparación entre los principales métodos para definir la DFRFT ................................ 17 Tabla 4.1. Valores de σ, β y „b‟ de acuerdo a valores definidos de „a‟ y Ts ..................................... 31 Tabla 5.1. Funciones operativas para la creación de ventanas de la interfaz .................................... 38 Tabla 5.2. Funciones operativas para el cálculo de la DFRFT y graficar ......................................... 38 Tabla 6.1. Ficha técnica del aceite dieléctrico utilizado .................................................................... 60 Tabla 6.2. Especificaciones técnicas Pearson Ref. 2877 ................................................................... 64 Tabla 6.3. Especificaciones técnicas CT E-0.5-B ............................................................................. 64 Tabla 6.4. Especificaciones técnicas osciloscopio Tektronix DPO7054C ........................................ 65 Tabla 6.5. Tiempos de muestro requeridos para diferentes órdenes fraccionales ............................. 70 Tabla 7.1. Resumen Parámetros en el dominio del tiempo ............................................................... 76 Tabla 7.2. Resumen Parámetros en el dominio fraccional ................................................................ 88

Capítulo 1- INTRODUCCIÓN

1

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Planteamiento del problema y justificación

El transformador es un equipo eléctrico que permite modificar los valores de tensión y corriente

para el transporte y la distribución de la energía desde su generación hasta los usuarios finales

disminuyendo las pérdidas [1]. Siendo uno de los equipos más importantes del sistema eléctrico, un

transformador de potencia o de distribución requiere mayor inversión en su adquisición y puesta en

servicio, por lo que se debe realizar un constante monitoreo y mantenimiento del mismo para

garantizar su funcionamiento, durabilidad, disponibilidad y confiabilidad. En este contexto, una

falla en un transformador no sólo podría provocar daños en los equipos conectados a la red eléctrica

sino también causar interrupción en el suministro de energía [2].

Los aislamientos más convencionales para los transformadores son el papel prensado, papel

celulosa y el aceite (mineral, sintético o natural) [3]. Este último desempeña un rol importante

porque además de ser un material aislante, contribuye a la refrigeración del equipo. Sin embargo, el

aceite está sometido continuamente a esfuerzos dieléctricos que dependen de diferentes factores

tales como temperatura, humedad, presión, duración del esfuerzo y presencia de impurezas [4]. A su

vez, estos esfuerzos dieléctricos contribuyen a la degradación de las propiedades del aceite y

conducen a la generación de las descargas parciales (DP), las cuales son descargas eléctricas

localizadas de baja energía que se presentan en puntos del aislamiento donde la intensidad de

campo eléctrico supera la rigidez dieléctrica de un espacio microscópico [5].

Las DP pueden aparecer por sobretensiones que se presentan en el sistema o por la degradación del

material aislante, esto último, causado por la contaminación existente dentro del aceite. Esta

contaminación generalmente se representa por pequeñas partículas inmersas en el aislamiento que

concentran las líneas de campo eléctrico, generando un camino de baja impedancia que produce la

ruptura del material dieléctrico [6],[7]. Además, un factor importante a tener en cuenta es la

constante exposición del aceite a altas temperaturas, factor que altera las características propias de

cualquier material.

En un transformador, las DP causan un deterioro químico y mecánico de forma progresiva en el

aislamiento haciendo que disminuya la capacidad de resistir altas tensiones. Tras efectos

acumulativos las DP provocan la formación de numerosos canales de descarga que deterioran el

material aislante, lo que conduce a la reducción de la vida útil del transformador y al aumento de su

probabilidad de falla [8],[9],[10]. Por esta razón, es necesario verificar la integridad del aislamiento

mediante procesos de monitoreo y detección de señales producidas por las DP a lo largo de la vida

útil del transformador con el propósito de asegurar su confiabilidad y sostenibilidad operativa a

largo plazo [8].

Dentro de los mecanismos de verificación y monitoreo se encuentran métodos eléctricos y otros de

carácter no eléctrico, los cuales facilitan la adquisición e identificación de las señales eléctricas y

mecánicas que son producidas por las DP. El método eléctrico consiste en capturar pulsos de

corriente de corta duración los cuales son el resultado de la disipación en forma de carga eléctrica

de cierta parte de la energía almacenada en la cavidad del dieléctrico (modelada como un

condensador) por medio de una resistencia shunt, una bobina Rogowski o un CT (Current

Transform) [6].


2

El método eléctrico posee ciertas desventajas como la necesidad de aislar el equipo bajo prueba, de

manera que requiere de instalaciones y procedimientos más especializados y se registra fácilmente

el ruido eléctrico generado por otros equipos. Por lo que se han desarrollado métodos in situ de

carácter no eléctrico para la detección de DP. El método acústico, consiste en detectar ondas de

presión ultrasónicas producidas por la DP y que se propagan a través del volumen del aceite, la

carcasa y otras partes metálicas en el equipo. En este método las señales acústicas producidas por

las DP son detectadas mediante sensores piezoeléctricos instalados en el exterior del tanque del

transformador [11].

Con el fin de abordar el estudio, las causas y efectos de las DP en equipos eléctricos, en la

Universidad Distrital ya se han desarrollado algunos trabajos apoyados por el grupo de

investigación de Compatibilidad e Interferencia Electromagnética (GCEM-UD). Uno de los trabajos

de grado desarrollados en esta área fue enfocado en la detección y ubicación de DP en

transformadores [12].

Aunque se avanzó en la detección de DP usando el método acústico, el trabajo en mención tuvo

algunas limitaciones, en especial con el trabajo experimental. Para el desarrollo de las pruebas en

laboratorio se tenía a disposición un montaje previamente establecido y con pocas posibilidades de

modificación. Sumado a esto, el montaje se encontraba en el laboratorio de ensayos eléctricos

industriales LABE de la Universidad Nacional de Colombia donde tuvieron que hacerse las

pruebas. Finalmente, la poca disponibilidad de espacios para realizar las pruebas experimentales

trajo consigo una poca cantidad de señales adquiridas y analizadas y las etapas de filtrado y análisis

de las señales registradas fueron realizadas directamente por una herramienta ya programada de

LabView®.

Con el fin de mejorar los inconvenientes expuestos anteriormente y continuar con el trabajo ya

desarrollado por el grupo de investigación GCEM-UD, el trabajo de grado propuesto en este

documento pretende diseñar e implementar un espacio de pruebas en el laboratorio de alta tensión

(LAT) de la universidad Distrital Francisco José de Caldas, mediante el cual se puedan obtener una

amplia cantidad de señales producidas por DP para su posterior análisis.

A partir de las señales obtenidas, es posible analizar y/o caracterizar las señales producidas por las

DP con el fin de establecer parámetros que ayuden a estudiar su comportamiento. Para esto, se han

desarrollado diversas técnicas y herramientas las cuales pueden analizar la señal en el dominio del

tiempo, el dominio de la frecuencia o dominios híbridos tiempo-frecuencia usando diversas

transformaciones matemáticas.

Dentro de las transformaciones más comunes para el procesamiento de señales, se pueden

mencionar de manera general la transformación de Fourier convencional (FT), la transformación

discreta de Fourier (DFT) y algunas derivaciones de ésta como el algoritmo de la transformación

rápida de Fourier (FFT) [13]. Por otro lado, existen representaciones tiempo-frecuencia como la

transformación de Fourier de corto tiempo (STFT) [14], la transformación de Wavelet continua

(WT) [15],[16] y su versión discreta (WDT) [17], así como transformaciones no tan conocidas pero

usadas en el estudio de sistemas mecánicos y de transmisión de información como lo es la

transformación Hilbert-Huang [18],[19].

Al ser transformaciones ampliamente difundidas en la literatura y usadas con frecuencia en el

análisis de perturbaciones producidas por fenómenos electromagnéticos (como el estudio de las

DP), son pocos los casos en los que se dirigen esfuerzos a iniciar actividades de investigación

encaminadas a experimentar con otras clases de transformaciones. Este tipo de investigaciones en

muchos casos permiten establecer métodos alternativos para el análisis de fenómenos transitorios,


3

con el propósito de extraer información de las señales de interés de manera confiable y en algunos

casos mejorar los resultados obtenidos de las técnicas tradicionales.

Dentro de estas técnicas alternativas, existe un grupo de transformaciones matemáticas

denominadas transformaciones rotadas que permiten mejorar la concentración de energía de

señales (como lo son las producidas por DP) cuyas componentes no están alineadas ni con el eje del

tiempo, ni con el de la frecuencia [20]. Dentro de este grupo de transformaciones, se puede resaltar

la transformación fraccional de Fourier (FRFT) la cual es una generalización de la FT, que presenta

una buena concentración de energía al permitir la rotación de la señal en el plano tiempo-frecuencia

creando un dominio híbrido conocido como dominio fraccional [21],[22]. Asimismo, permite el

desarrollo de códigos más flexibles con un costo de implementación bajo y reducción de presencia

de ruido [23].

La FRFT ha sido usada en diferentes campos de la ciencia y la ingeniería tales como: filtrado,

marcas de agua, óptica, comunicaciones, detección de señales, recuperación, reconstrucción y

síntesis de señales, recuperación de imágenes, estimación de patrones, radar, criptografía, solución

de ecuaciones diferenciales, análisis de transitorios de corriente en motores, mecánica cuántica

[21],[23],[24]. Sin embargo, ha sido poco explorada en el estudio de perturbaciones

electromagnéticas, llegando a presentar resultados en el análisis de descargas eléctricas atmosféricas

(rayos) [25],[26] y hundimientos de tensión (sags) [27]. Estos resultados, permiten establecer que la

FRFT posee el potencial para el análisis y caracterización de señales producidas por DP.

A partir de lo anterior, y teniendo en cuenta la experiencia adquirida por el grupo de investigación

GCEM-UD, resulta interesante continuar la exploración de otros campos de la ingeniería eléctrica,

como lo es el estudio de DP, en los cuales se pueden aprovechar las propiedades de la FRFT,

permitiendo la expansión y el fortalecimiento de las líneas de investigación desarrolladas por el

grupo.

A partir del desarrollo teórico de la FRFT y su versatilidad para trabajar con toda clase de señales se

plantea el siguiente interrogante: ¿De qué manera se puede analizar y caracterizar el fenómeno de

descargas parciales en transformadores de distribución usando la transformación fraccional de

Fourier?

Procurando abordar de manera objetiva las posibles alternativas para dar respuesta a este

interrogante, se plantearán de manera general una serie de actividades teórico-prácticas orientadas a

la solución del problema expuesto:

Revisión y análisis de la estructura matemática de la FRFT resaltando sus propiedades, ventajas

y desventajas

Implementación y validación computacional de la FRFT para el análisis de señales producidas

por DP

Diseño y construcción de un módulo experimental para la obtención de las señales de DP

Caracterización y clasificación de las DP por medio de un aplicativo computacional basado en

la FRFT

Presentación de conclusiones y recomendaciones para las actividades realizadas.


4

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo General

Analizar y caracterizar señales producidas por descargas parciales (DP) en un transformador de

distribución de 15 KVA usando la transformación fraccional de Fourier (FRFT)

1.2.2 Objetivos Específicos

Desarrollar y validar códigos (a nivel de software) de la versión discreta de la FRFT (DFRFT) a

partir del uso de señales de referencia disponibles en la literatura y su comparación con

resultados obtenidos por la transformación clásica de Fourier (FT).

Diseñar y construir un módulo experimental que permita la captura de señales producidas por

DP en transformadores de distribución.

Implementar un aplicativo computacional en MATLAB basado en los códigos desarrollados de

la DFRFT y su integración con una interfaz gráfica que facilite el análisis de señales producidas

por DP.

Identificar y caracterizar señales producidas por DP usando el aplicativo computacional

desarrollado, evaluando las características más importantes de las señales registradas (amplitud,

formas y componentes de energía) en el dominio fraccional.

1.3 Estructura de la tesis

La tesis está estructurada en 8 capítulos. En el primer capítulo: Introducción, se plantea la

descripción del problema junto con la importancia de llevar a cabo el proyecto de grado y se

establecen los objetivos de este trabajo. En el segundo capítulo: Marco Referencial, se presenta

una revisión bibliográfica de las descargas parciales (DP) y las herramientas matemáticas más

utilizadas en el procesamiento de señales de DP. En el tercer capítulo: Transformada Fraccional

de Fourier, se presenta la definición matemática de la transformada, sus propiedades y

aplicaciones en su versión continua y discreta. En el cuarto capítulo: Códigos y Validación, se

plantea el algoritmo desarrollado y su etapa de validación. En el quinto capítulo: Aplicativo

Computacional, se describe como está estructurada la interfaz gráfica, además de proporcionar

un manual en donde se explica el funcionamiento del aplicativo computacional. En el sexto

capítulo: Trabajo Experimental para la generación y medida de DP en transformadores, se

encuentra lo relacionado con el diseño y construcción de cada una de las etapas experimentales,

a la vez de la metodología para la adquisición de las señales de DP. En el séptimo capítulo:

Análisis de los resultados experimentales, se presenta un análisis y caracterización de las

señales registradas. Por último, se encuentran el capítulo: Conclusiones y trabajos futuros, en

donde se presentan los aportes del trabajo de grado y los trabajos futuros.

Capítulo 2 – MARCO DE REFERENCIA

5

2 MARCO DE REFERENCIA

En este capítulo, se presenta una revisión de las definiciones y conceptos básicos relacionados con

el fenómeno de las descargas parciales (DP), abarcando principalmente su definición y métodos de

detección (con sus ventajas y desventajas). Por otro lado, se presenta una breve descripción de las

transformaciones matemáticas empleadas como técnicas para la caracterización de señales,

haciendo énfasis en las más utilizadas para el procesamiento de señales de DP.

2.1 DESCARGAS PARCIALES

2.1.1 Definición

Una descarga parcial (DP), es una descarga eléctrica de baja energía que se presenta en ciertos

puntos del aislamiento donde la intensidad de campo eléctrico supera la rigidez dieléctrica de un

espacio microscópico [5],[6]. Las DP son en general una consecuencia de concentraciones de

campo eléctrico local en el aislamiento o en la superficie del aislamiento [7].

Durante el proceso de generación de DP, el aumento del campo puede ser debido a cambios bruscos

en la naturaleza del aislante que pueden ser provocados por vacíos o huecos en un medio sólido o

por espacios de gas entre las superficies de un aislante con un conductor o con otro aislante [7]. El

proceso de aparición de las DP es pulsante y se manifiesta como impulsos de corriente en un

circuito externo, este proceso es considerado como estocástico porque sus propiedades son descritas

en función de variables aleatorias en el tiempo [7].

Las DP incluyen un extenso grupo de fenómenos de descarga entre las cuales están: descargas

internas que pueden ocurrir en vacíos o cavidades de aislamientos sólidos o líquidos; descargas

superficiales que pueden aparecer en los límites de diferentes materiales aislantes; descargas corona

que son relacionadas a descargas en aislamientos gaseosos y si está presente un campo no

homogéneo muy fuerte; y finalmente descargas de impacto continuo en aislamientos sólidos en la

forma de canales o arborescencias (treeing) [7].

En aislamientos líquidos como el aceite la presencia de una pequeña cantidad de impurezas

(contaminación) como burbujas de gas, materiales sólidos o humedad, influye en el comportamiento

del medio aislante debido a que su rigidez dieléctrica cambia drásticamente. Al existir partículas en

el líquido aislante, estas se comportan como pistas conductoras que van generando un puente a lo

largo del espacio y en presencia del campo eléctrico produce campos entre las partículas el cual, al

ser mayor, puede producir una descarga [7].

2.1.2 Métodos de detección de descargas parciales (DP)

Método Eléctrico

Los métodos de detección eléctrica de las señales producidas por las DP, están basados en la

aparición de un impulso (de corriente) en las terminales del objeto bajo prueba [6].

Al producirse una DP en una cavidad del dieléctrico una cierta parte de la energía que había en la

cavidad se disipa en forma de carga eléctrica (q). Por lo tanto, al realizarse la carga y descarga del


6

condensador de manera reiterada se pueden detectar pequeñas deformaciones sobre la señal

sinusoidal. Este fenómeno refleja presencia de DP [6].

Según la norma IEC 60270, el sistema para la medición de DP por el método eléctrico se muestra

en la Figura 2.1. Este circuito está conformado en su parte inicial por una fuente de alta tensión (U)

y una impedancia o filtro pasabajos (Z) conectado en serie con el fin de eliminar cualquier señal de

interferencia de alta frecuencia. Adicionalmente, el espacio donde se produce la DP está compuesto

por un condensador de acople (Ck) y el objeto bajo prueba (Ca). El sistema de medición de la carga

aparente está conformado por una impedancia de entrada del sistema de medición (Zmi), un

dispositivo de acople (CD), el sistema de transmisión o cable de conexión (CC) necesario para

conducir la señal y un instrumento de medición y registro (MI) [6].

Figura 2.1.Sistema de medición de DP usando el método eléctrico

Fuente: Adaptado de [6]

Método Acústico

Las DP producen pulsos eléctricos y ondas de presión ultrasónicas. Estas últimas pueden propagarse

a través del volumen del aceite dentro del transformador y eventualmente alcanzar la pared del

tanque. Por esta razón, el método acústico se basa en la teoría que dicha perturbación de presión

puede ser detectada por un sensor piezoeléctrico externo [11].

El tiempo de propagación y las formas de onda de las señales detectadas con este método pueden

verse afectadas por factores tales como: el tipo y la posición del sensor y las barreras internas dentro

de la configuración del aislamiento líquido y elementos sólidos. De esta manera, la diferencia en los

tiempos de propagación de las señales registradas por el sensor dispuesto en diferentes posiciones

pueden ser usadas para determinar la ubicación de la DP [11].

Método Óptico

Consiste en la detección de luz producida como resultado de varios procesos de ionización y

recombinación que se producen durante la DP. La cantidad de luz emitida depende del medio de

propagación y la intensidad de la descarga. Dependiendo del rango de longitud de onda que genera

la DP se puede elegir un sensor capaz de detectar el espectro de luz alterado. Dentro de estos

dispositivos se encuentran sensores de luz ultravioleta, sensores de visión nocturna, potenciadores

de luz tenue, fotodiodos y fotomultiplicadores [28].


7

Método Químico

Las DP producidas a causa de la degradación del aceite pueden ser detectadas por el monitoreo de

los cambios en la composición química del aislamiento. En la detección química se utiliza un

análisis de gases disueltos en el aceite (DGA) y la cromatografía de líquidos (HPLC) [29]. El

primero consiste en la descomposición de productos disueltos en el aceite, los cuales al acumularse

durante una operación prolongada permiten realizar un análisis químico, estimando la degradación

que ha sido causada por la DP y determinando la causa de la anormalidad para prevenir posibles

fallas en un futuro [29]. El propósito de la segunda prueba es conocer exactamente las diferentes

sustancias que componen los gases disueltos extraídos del aceite del transformador [30].

A manera de resumen la Tabla 2.1, presenta de forma resumida las ventajas y desventajas que

ofrece cada método de detección de carácter eléctrico y no eléctrico.

Tabla 2.1. Cuadro comparativo de métodos para la detección de DP

Fuente: Adaptado de [6], [11], [28], [29], [30]

Tipo de método Ventajas Desventajas

Eléctrico

•La prueba se debe realizar con el

equipo apantallado y fuera de

operación para evitar

interferencias.

•Al ser método directo la

medición es más precisa.

•Requiere de instalaciones y procedimientos

más especializados.

•Se registra fácilmente el ruido eléctrico

generado por otros equipos

MÉ

TO

DO

S N

O E

LÉ

CT

RIC

OS

Acústico

•Es un método no destructivo y no

invasivo.

•Es inmune a interferencias

electromagnéticas (EMI).

•Es utilizado para encontrar el

lugar de la falla y la ubicación de

la descarga.

•Surgen complicaciones debido a los efectos

de las atenuaciones de la señal, reflexiones,

refracciones o ruido mecánico

Óptico •Permite la detección por medio

de un espectro de luz

•El espectro de luz difiere entre descargas

•Depende del espectro de luz se debe

seleccionar un sensor específico

Químico •Estiman la degradación del

aislamiento causada por la DP

•No proporcionan ningún indicio de la

naturaleza, intensidad y localización de la

DP.

•El monitoreo de la DP del equipo en servicio

requiere una instrumentación compleja y un

proceso de análisis.

•Las pruebas no pueden realizarse en sitio, es

necesario poner fuera de servicio el

transformador.


8

2.2 PROCESAMIENTO DE SEÑALES

El procesamiento de señales es una técnica que consiste en la extracción de características que no se

perciben a simple vista de una señal por medio de una transformación matemática. Se usa

principalmente para proporcionar información fundamental acerca de un problema relacionado a la

señal estudiada y de esta manera tomar una decisión al respecto [20]. Las técnicas utilizadas en el

procesamiento de señales se pueden clasificar en el dominio del tiempo, dominio de la frecuencia y

dominio hibrido (tiempo-frecuencia).

El análisis en el dominio en el tiempo, consiste en una representación de la amplitud de la señal

bajo estudio en función del tiempo, mostrando la forma y la magnitud instantánea de la señal. Sin

embargo, al no indicar el valor de la o las frecuencias que componen la señal se encuentra muy

limitada para el análisis [31].

Las transformaciones en el dominio de la frecuencia solucionan la limitante del análisis en el

dominio del tiempo permitiendo observar las frecuencias de las cuales se compone la señal. La más

común dentro de este dominio es la transformación de Fourier convencional (FT), la cual expresa la

señal como la suma de formas de onda seno o coseno de un número infinito (o finito, en el caso de

la transformada discreta de Fourier DFT) de frecuencias. Sin embargo, la FT es considerada como

una transformación que no presenta información en el tiempo, es decir, no es posible determinar el

tiempo en el cual la componente de frecuencia (ondas descompuestas) ocurren en la señal [31].

Debido a que existen señales cuyo espectro cambia con el tiempo (como es el caso de las DP) es

necesario analizar sus componentes de manera simultánea en el dominio del tiempo y la frecuencia.

Por esta razón, se han desarrollado representaciones en el dominio hibrido tiempo-frecuencia como

una herramienta versátil para el análisis de señales no estacionarias. El principal objetivo de las

transformaciones tiempo-frecuencia (TFA), es determinar la concentración de energía a lo largo de

un eje de frecuencia en un instante de tiempo dado. Dentro de las TFA, existe un grupo de

trasformaciones basadas en la descomposición de la señal, que son usadas para describir la

concentración de la energía [20].

Dentro de este grupo, se puede mencionar la transformación de Fourier de corto tiempo (STFT), la

cual divide el dominio del tiempo de la señal de entrada en varias secuencias solapadas que

multiplican la señal con una ventana que se mueve con el tiempo (ventana deslizante) y luego se

emplea la transformación de Fourier discreta (DFT) a cada secuencia [28]. Sin embargo, la STFT

utiliza una ventana constante para todas las componentes de frecuencia, lo cual no permite

determinar los lugares específicos en los que cada frecuencia están presentes (limita la resolución

tiempo-frecuencia) [31].

Para superar este inconveniente, a mediados de los años 80 surge una herramienta matemática

conocida como la transformación de Ondoletas o Wavelets (WT), la cual está conformada por una

serie de funciones que son usadas para descomponer señales, computando los productos internos de

las señales analizadas y una familia de wavelets. La resolución adaptativa tiempo-frecuencia del

procesamiento de señales con wavelets permite llevar a cabo el análisis multi-resolución en señales

no estacionarias, solucionando el problema presentado por la STFT [32].

La WT ha sido ampliamente utilizada en el análisis de transitorios incluyendo: síntesis de señales,

reducción de ruido, reconocimiento de patrones y procesamiento de señales e imágenes. Además, es

una de las técnicas más implementadas para el procesamiento de señales producidas por fenómenos

electromagnéticos como las DP [32],[33],[34],[35],[36],[37].


9

En el año 1996, el científico Chino-Americano llamado N. E Huang propuso una herramienta para

el análisis de señales no-lineales y no estacionarias conocida como la transformación de Hilber-

Huang transform (HHT) [18]. La HHT utiliza dos pasos para analizar los datos:

Paso 1: descomponer los datos de acuerdo a su escala de características intrínsecas en un

número de funciones de modo intrínseco (IMF) usando un método de descomposición de modo

empírico (EMD). De esta forma los datos son expandidos en una base derivada de los mismos

datos [19].

Paso 2: aplicar la transformación de Hilbert a los componentes IMF y construir la distribución

de energía-frecuencia-tiempo designada como el espectro de Hilbert [19].

La HHT ha sido utilizada para el tratamiento de señales producidas por fenómenos

electromagnéticos como las DP, no solo controla el ruido aleatorio sino también retiene la forma de

onda de la DP [18],[19],[38],[39].

Dentro de las TFA, existe un grupo de transformaciones basadas en la rotación del plano tiempo-

frecuencia que buscan mejorar la concentración de energía para señales cuyos componentes no

están alineados con el eje del tiempo o de la frecuencia (como lo son las DP) [20]. Un ejemplo de

estas TFA son la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) y la transformación fraccional

de Fourier (FRFT)


10

Capítulo 3 – TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER

11

3 TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER

Este capítulo presenta la definición matemática, propiedades y aplicaciones de la versión continua

de la Transformación Fraccional de Fourier (FRFT). Adicionalmente, y con el propósito de

presentar una definición compacta de esta transformada, se describe el proceso para el cálculo de la

versión discreta de la FRFT (DFRFT). Finalmente, se hacen algunas aclaraciones para la correcta

aplicación de la DFRFT, haciendo énfasis en los requerimientos que se deben cumplir para que los

resultados de la DFRFT tengan correspondencia con los obtenidos con la FRFT.

3.1 PRELIMINARES

A diferencia de la transformación convencional de Fourier (FT), la transformación Fraccional de

Fourier (FRFT) describe las señales en términos de funciones chirp en lugar de funciones

senusoidales. Como características principales, la FRFT ejerce un aumento de la concentración de

energía a la vez de separar mejor el espectro de la frecuencia. Igualmente, y desde el punto de vista

computacional, la aplicación de la FRFT se puede realizar por medio de códigos más flexibles en

comparación con otras clases de transformadas, a la vez de tener bajos costos computacionales en

su implementación.

Gracias a estas características la FRFT ha presentado muy buenos resultados en áreas tales como

filtrado, detección, recuperación, reconstrucción y síntesis de señales, óptica, comunicaciones y

mecánica cuántica [21],[23],[24]. Sin embargo, ha sido poco usada en el área de la ingeniería

eléctrica, llegando a tener resultados interesantes en el estudio de rayos [25],[26] y hundimientos de

tensión (sags) [27], siendo una herramienta muy efectiva también en el filtro de dichas señales. Por

tanto, y en vista de su versatilidad en el procesamiento de señales junto con su novedad en el campo

eléctrico, este proyecto de grado propone el uso de la FRFT para analizar Descargas Parciales (DP),

una de las tantas perturbaciones electromagnéticas pertenecientes a la rama de la electricidad.

3.2 GENERALIDADES

La transformación fraccional de Fourier (FRFT), pertenece al grupo de transformaciones rotadas y

es una forma generalizada de la transformación convencional de Fourier (FT). Fue introducida por

primera vez por Victor Namias en 1980 quien no sabia de los trabajos realizados con anterioridad

por Wiener en 1929, Weyl en 1930, Condon en 1937, Kober en 1939, Guinand en 1956, Patterson

en 1959, Bargmann en 1961, Bruijin en 1973 y Khare en 1974. Aunque la idea fue la misma, estos

autores discutieron la FRFT en un contexto general y no con el mismo nombre [23].

La FRFT se define como una rotación de la señal que genera un espacio híbrido entre el dominio

temporal y el dominio en la frecuencia (relacionado con la FT) conocido como dominio fraccional

de Fourier [22]. El operador FRFT es un operador lineal que corresponde a la rotación de la señal a

través de un ángulo α, cuya característica principal radica en que cuando el dominio

fraccional se convierte en el dominio frecuencial convencional dado por una FT, mientras que

cuando la FRFT obtiene la misma señal en el dominio del tiempo. De esta manera, debe

tener un valor intermedio entre [21],[24].

Dentro de este rango de valores de se produce una representación de la señal que puede ser

considerada como una rotación de la señal en el plano tiempo-frecuencia. De esta manera, la señal

rotada gira formando un plano modificado (u,v) generado por el ángulo con el plano convencional


12

tiempo-frecuencia (t,). Una interpretación gráfica de la explicación anterior se puede observar en

la Figura 3.1 [22].

Figura 3.1. Plano tiempo frecuencia y un conjunto de coordenadas (u,v) rotada por un ángulo α.


3.3 LA TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER CONTINUA (FRFT)

3.3.1 El operador Transformada de Fourier

Para llegar a una definición formal de la trasformación Fraccional de Fourier (FRFT) se requiere de

la definición convencional. Así, la transformada radial normalizada de Fourier (FT) de una señal

x(t) y su inversa está definida como:

( )

√ ∫ ( )

(3.1)

( )

√ ∫ ( )

(3.2)

Es conveniente usar esta versión debido a que permitirá escribir la FRFT y su correspondiente

inversa en una sola expresión. Dicho esto, la transformada de Fourier convencional se puede tratar

como un operador de valor igual a 1 ( ), mientras que la inversa se puede considerar como un

operador de valor -1 ( ). Así, de esta manera se tiene que:

, ( )-

√ ∫ ( )

( ) (3.3)

Y su correspondiente inversa

, ( )-

√ ∫ ( ) ( )

(3.4)


13

Los operadores y son complejos conjugados uno del otro y satisfacen la relación por lo que se cumplen las siguientes relaciones [40]:

* ( )+ ( ) * ( )+ ( )

* ( )+ ( ) * ( )+ ( )

En términos del operador, matemáticamente es posible aplicar múltiples veces la transformación a

la señal x(t). Así, aplicando el mismo concepto, se pueden aplicar potencias enteras „a‟ a la

definición dada, dando como resultado

, ( )- ( ) (3.5a)

, ( )- ( ) (3.5b)

, ( )- ( ) (3.5c)

, ( )- ( ) (3.5d)

, ( )- ( ) (3.5e)

, ( )- ( ) (3.5f)

, ( )- ( ) (3.5g)

, ( )- ( ) (3.5h)

, ( )- ( ) (3.5i)

Se puede observar que cuando a=4 el valor obtenido resulta ser la función original. Es por esto que

una forma compacta de definir el operador esta dado en (3.6)

, ( )- * ( )+ (3.6)

3.3.2 Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite son una solución a la ecuación diferencial

Para n entero y en donde ( ).

Una característica importante de estos polinomios es que satisfacen las siguientes relaciones de

recurrencia [41]:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

La función ( ) ( ⁄ ) ( ) es importante para el concepto de la FRFT debido a que dicha

función es una función propia del operador transformada de Fourier [40], cuya correspondiente

transformada Fourier es


14

( ⁄ ) ( ) (

) ( ⁄ ) ( ) (3.7)

Así, se puede observar que la transformada de Fourier de la función ( ) es ella misma

multiplicada por una constante exponencial. Expresada de otro modo se tiene que:

* ( )+ (

) ( ) (3.8)

Donde „u‟ es el ya mencionado dominio fraccional de Fourier, el cual se introduce para diferenciar

la aplicación del operador Fourier a la señal. Con esto, para el presente documento se deja la

variable „ω’ solamente para hablar de una transformación en el dominio netamente de la frecuencia.

A partir de lo anterior se puede asegurar que así como ( ) es una función propia de operador

transformada de Fourier, la constante es un valor propio del mismo operador.

3.3.3 Transformación Fraccional de Fourier Continua

Una función real f(x) definida en el intervalo infinito (-∞,∞) puede ser expandida en series de

polinomios de Hermite con la siguiente expresión [40],[41]

( ) ∑ ( )

(3.9)

Cuyo coeficiente es definido como [40][41]

√ ∫ ( ) ( )

n=0, 1, 2,…

(3.10)

Aplicando el operador transformada de Fourier a la función definida en (3.9) y teniendo en cuenta

(3.8) se tiene que

* ( )+ ∑ (

) ( )

(3.11)

Reemplazando (3.10) en (3.11) se tiene que

* ( )+ ∑

√ ∫ ( ) ( ) ( )

(

) ( )

(3.12a)

Y organizando la ecuación se tiene que


15

* ( )+ ∫ ( )

√ ( )

∑ (

)

( ) ( )

(3.12b)

En donde ( )

√ ( ) ∑ .

/

( ) ( )

es conocido como el núcleo de

la transformada fraccional de Fourier (kernel). Para obtener una representación más integral del

núcleo ( ) es apropiado el uso de la fórmula de Mehler descrita en (3.13), ya que el cálculo por

medio de series es impráctico y más extenso [41].

∑

( ) ( ) .

/

√ (

( )

)

Restricción

|z| < 1

(3.13)

Para aplicar correctamente la fórmula (3.13) se debe considerar que . Sin embargo, el

término no cumple la restricción de la fórmula de Mehler (|z| < 1). Este inconveniente

se soluciona mediante prolongación analítica la cual es una rama de la variable compleja encargada

de estudiar la posibilidad de extender las regiones de definición de funciones analíticas. Después de

realizar el análisis correspondiente, se concluye que la ecuación de Mehler es aplicable siempre y

cuando . Así, simplificando la ecuación (3.12b) con la ayuda de la fórmula de

Mehler se tiene que:

( ) (

) (3.14)

Siendo √( ) y . Como la ecuación (3.14) sólo es válida para , es necesario encontrar una expresión adecuada para ( ) de tal forma que el

operador reproduzca todos los casos. Esto se consigue usando la función de Dirac. Como

, sólo se consideran los valores y para explicar lo anterior. Así, cuando

, ( ) ( ) y cuando , la ecuación en este caso sería ( ) ( ) A

partir de lo anterior, es posible presentar la definición formal de la Transformación Fraccional de

Fourier (FFRT) continua de la siguiente manera

* ( )+ ( ) ∫ ( )

( ) (3.15)

En donde

( )

(

)

( ) ( )

Observando detalladamente la ecuación (3.15) se puede observar que, cuando ( ), el

núcleo de la transformada ( ) √ ( ) y „u‟ se convierte en „ω’. Con lo anterior,

la definición de la FRFT dada en (3.14) se reduce a la definición de la FT dada en (3.1).


16

Finalmente, y en pro de introducir la definición discreta de la FRFT, el núcleo de la transformación

( ) también puede ser expresado en términos de su expansión espectral como se muestra en

[42] ,[43] y cuya equivalencia es demostrada en [40] de la siguiente manera:

( ) ∑ ( ) ( )

(3.16)

Donde ( ) son las funciones normalizadas de Hermite-Gauss de orden n [42], definidas como

[41]:

( ) [

√ ]

( )

⁄

(3.17)

Observando (3.16), se puede ver que las funciones normalizadas de Hermite-Gauss son funciones

propias del núcleo de la FRFT. Así, la equivalencia entre (3.14) y (3.16) puede ser expresada como

[43]:

( ) ∑ ( ) ∫ ( ) ( )

(3.18)

3.4 TRANSFORMACIÓN FRACCIONAL DE FOURIER DISCRETA (DFRFT)

De la misma manera que se puede obtener una definición de la FRFT a partir de una definición

normalizada de la transformación de Fourier convencional, la versión discreta de la FRFT (DFRFT)

se puede estimar haciendo uso de la definición de la transformación discreta de Fourier (DFT). Sin

embargo, no existe un único método para llegar a la definición de la DFRFT a partir de la DFT. No

obstante, la definición a utilizar debe cumplir los siguientes requerimientos:

(1) Unitaridad, es decir, ser un operador Unitario

(2) Aditividad, es decir,

(3) Reversibilidad, es decir, reducción a la transformación Fourier convencional cuando ;

(4) Aproximación a la FRFT continua

Dentro de la literatura de la DFRFT se encuentran diferentes versiones utilizadas para este

propósito, dentro de las cuales se destacan tres: DFRFT por muestreo, DFRFT de suma ponderada

(o de combinación lineal), y la DFRFT por descomposición espectral. Con el propósito de no

extender de más el presente documento, a continuación se presenta un breve comparativo entre los

métodos mencionados:


17

Tabla 3.1. Comparación entre los principales métodos para definir la DFRFT

Fuente: Autores

Así, y como se puede observar en la Tabla 3.1, el método por descomposición espectral cumple con

todos los requerimientos mencionados, por lo que es el método elegido para definir la DFRFT en

este proyecto de grado. Igualmente, se ha agregado la comparación de la complejidad

computacional debido a que al implementar un aplicativo computacional (descrito en el capítulo 5),

se requiere un algoritmo que presente eficiencia en los cálculos a realizar.

3.4.1 Descomposición espectral de la DFT

Como se mencionó en la sección anterior, para llegar a una definición compacta de la DFRFT se

debe empezar por la definición de la DFT. Por tanto, al igual que la FRFT en su versión continua,

es necesario definir la DFT normalizada como sigue [44],[45]:

* ( )+, -

√ ∑ , -

.

/

( )⁄

( ⁄ )

(3.18)

En donde , - 0 √( ⁄ )1 ( ) es una señal discretizada de N muestras. Teniendo en

cuenta la ecuación (3.18) se puede interpretar la DFT como un operador sobre un espacio

vectorial complejo [44][45]. De acuerdo a este concepto, es posible reescribir (3.18) mediante

su representación en la base canónica ortonormal así:

( , -), - , -

√ ∑

.

/

con

(3.19)

Según [46], con esta definición se puede expresar aplicando el teorema de descomposición

espectral, quedando de la siguiente forma:

VERSIÓN DESCRIPCIÓN UNITARIDAD ADITIVIDAD REVERSIBILIDADAPROXIMACIÓN

A LA FRFT

COMPLEJIDAD

COMPUTACIONAL

DFRFT por muestreo

Se basa en la discretización de las

señales de entrada y de salida de la

FRFT y la alicación del concepto de

interpolación de Nyquist

X X Alta

DFRFT de suma

ponderada o de

combinación lineal

La DFRFT puede ser obtenida

mediante el uso de DFRT conocidas u

órdenes fraccionales especialesX Baja

DFRFT por

descomposición

espectral

See basa en la descomposición

matricial del núcleo de la DFRT,

llegando a la DFRFT por medio del

uso de vectores y valores propios

Media


18

, - ∑ , -( ) , -

con

(3.20)

En donde , - es el n-ésimo vector propio ortonormal de la representación matricial de la DFT

asociado a su correspondiente valor propio [45]. A partir de (3.20), y por medio de conceptos

tales como valores y vectores propios de una función u operador lineal, multiplicidad, entre otros;

es posible establecer una relación entre la DFT y la DFRFT. En este proceso se utilizan las

funciones discretas de las funciones Hermite-Gauss (presentadas al final de la sección 3.3.3 como

funciones propias de la FRFT) como puente conector. Así, por medio de la descomposición

espectral en [43] y [42] se presenta una relación entre la DFRFT y la versión compacta de la DFT,

la cual se explicará de manera general conforme continúe el capítulo.

Para encontrar la relación entre DFT y DFRFT, es necesario tener en cuenta los siguientes

ponderados [45]:

Definición 1:

Un operador lineal sobre , es unitario si y es normal si . De igual manera

una matriz se dice normal si

Teorema 1:

Un operador o una matriz es diagonalizable si y solo si existe una base ortonormal de

formada por vectores propios de o en

Teorema 2:

Si dos operadores A y B conmutan, es decir, AB=BA, existirá un conjunto de vectores propios

comunes entre A y B

Es importante resaltar que, el valor propio del operador definido en (3.19) posee

cuatro valores propios (1, -j, -1, j) a los cuales les corresponden cuatro subespacios vectoriales

propios que pueden ser diferenciados entre pares e impares [42],[43],[47]. Por lo anterior, e

intentando encontrar un conjunto de vectores propios reales de , [48] introduce una nueva matriz

que conmute la matriz y pueda cumplir con el Teorema 2. Esto permitirá hallar los vectores

propios previamente mencionados pero con diferentes valores propios. La matriz es definida

como:

[

( ) ]

Donde

(3.21)


19

Como la matriz es simétrica, sus vectores propios son todos reales y ortonormales el uno del otro,

formando así una base ortonormal la cual es equivalente a los polinomios de Hermite-Gauss en el

caso de la FRFT continua [49].

3.4.2 Definiendo la DFRT

La expansión espectral de la DFRFT viene dada por la siguiente expresión [42]:

, - ∑ , -( ) , -

con

(3.22)

En donde , - es un vector propio ortonormal arbitrario de la matriz DFT de dimensión y

es asociado a su correspondiente valor propio [42][45]. Sin embargo, para que sea válida la

definición de la DFRFT se debe recordar que debe cumplir las propiedades descritas en el inicio de

la sección 3.4 [42]:

(5) Unitaridad

(6) Aditividad

(7) Reducción a la transformación Fourier convencional cuando ;

(8) Aproximación a la FRFT continua

La condición (1) se cumple pues los valores propios tienen magnitud unitaria. Para

verificar la condición (2) es necesario definir una matriz ortonormal formada por vectores propios

de la matriz y una matriz diagonal formada por los valores propios de . De acuerdo a lo

anterior, y teniendo en cuenta que se tiene que:

( )( ) (3.23)

Por otro lado, la condición (3) se comprueba fácilmente ya que cuando la ecuación (3.23) se

convierte en la ecuación (3.20). Finalmente, la condición (4) se cumple como se demostrará en la

Sección 3.5.

3.4.3 Ecuación diferencial de las funciones de Hermite-Gauss

La ecuación diferencial de Hermite-Gauss está definida como:

( )

( ) ( ) (3.24)

En donde ( ) es una constante. Esta ecuación es relevante debido a que sus soluciones

propias de energía finita son las funciones de Hermite-Gauss presentadas en la ecuación (3.17). De

esta manera, es posible expresar la ecuación (3.24) como un operador transformada de Fourier y

un operador diferencial, quedando de la siguiente manera [42],[43],[45]:


20

( ) ( ) ( ) (3.25)

A continuación se define el operador ( ). Aplicando el operador transformada de

Fourier y usando el operador se tiene que:

( )

( ) (3.26)

Lo anterior permite comprobar nuevamente el Teorema 2. Esto es importante ya que demuestra que

las ecuaciones de Hermite-Gauss propias de la FRFT continua, poseen un conjunto de vectores

propios con la FT. Luego de desarrollar algunos procedimientos matemáticos, se puede concluir que

haciendo uso del Teorema 1 y la ecuación de Harper [50] se puede expresar la ecuación diferencial

en forma de operación matricial de manera que , o reescribiendo de otra forma ( ) , en donde la matriz es definida como:

[

( ) ]

En donde

(3.27)

Observando las matrices (3.21) y (3.27), se puede ver que guardan ciertas similitudes, por lo cual se

puede establecer la relación matricial , en donde es una matriz identidad de

dimensiones al igual que . Usar la relación anterior es posible ya que, como se demostró

previamente, si conmuta con , se puede concluir que conmuta con .

3.4.4 Representación matricial de la DFRFT

Como se dijo anteriormente, los vectores propios del núcleo de la DFT poseen vectores propios que

pueden ser pares e impares [47], y al ser una matriz que conmuta con dicho núcleo, se debe

asumir que esta matriz también posee vectores pares e impares. Sin embargo, gracias a que es una

matriz real y simétrica, sus vectores propios son ortogonales el uno del otro, y por ello, se puede

afirmar que cada vector propio es único.

De esta manera, el objetivo ahora es encontrar un único conjunto de vectores propios que a su vez

sean un conjunto de vectores propios de la matriz de la DFT. Si se tiene en cuenta esta condición y

se relaciona esto con las definiciones presentadas para FRFT, se puede decir que la versión

normalizada de estos vectores propios es equivalente a la versión discreta de las funciones Hermite-

Gauss [42]. Sin embargo, para obtener una adecuada correspondencia entre la DFT y la DFRFT,

estas funciones deben ser muestreadas con un período de √( ⁄ ) [43].

Existen muchas formas de elegir dos vectores propios tales que ellos sean ortogonales. Sin embargo

solo existe una forma de elegir un vector par y un vector impar tal que sean vectores comunes entre

y la matriz DFT. Para ello se introduce la matriz P que descompone un vector arbitrario f[n] en


21

sus componentes pares e impares. Para esto, esta matriz mapea la parte par de un vector de N-

dimensiones para las primeras [(N/2)+1] componentes y la parte impar para las componentes

restantes. De esta manera, se tiene que la matriz P puede ser definida como:

√ [√

]

( )

√

[ √

√ ]

( )

(3.28)

En esta matriz, los elementos no expresados son iguales a cero. Si se considera la transformación de

similaridad , y conociendo que [42], se espera que la matriz resultante tenga

la forma de un bloque diagonal:

0

1 (3.29)

Gracias a la ecuación (3.29), se puede apreciar que los vectores propios de pueden ser

determinados separadamente desde las matrices y , y los vectores correspondientes de son

simplemente la extensión par/impar de los vectores propios de [42]. Por lo anterior, el

problema se reduce a encontrar los vectores propios de las matrices y . Sin embargo, es

necesario ordenar el conjunto de vectores propios para verificar que corresponden a funciones de

Hermite-Gauss.

En [42] se propone un método para el ordenamiento de estos vectores propios y está basado en los

cruces por cero de las funciones Hermite Gauss discretas en analogía con los ceros de las funciones

de Hermite- Gauss continuas. De esta manera, se puede concluir que los vectores propios deben de

ordenarse de manera decreciente teniendo como referencia sus respectivos valores propios. Lo

anterior en formulación matemática se puede expresar como:

,

- ,

- (3.30)

En donde y son los vectores propios pares e impares ordenados;

y son matrices

que contienen los vectores propios de . Puesto que las matrices mostradas en (3.30) son

ortonormales y contienen los vectores propios de la matriz [45], se puede definir la representación

matricial del operador DFRFT como:

, - ∑ , -( ) , -

( )

con

(3.31)

En donde , - es la k-ésima función discreta de Hermite-Gauss. Finalmente se puede calcular la

DFRFT de una señal , - discreta con un tiempo de muestreo de la siguiente manera:


22

, - , - (3.32)

3.5 CORRESPONDENCIA ENTRE LA FRFT Y LA DFRFT

Como se estableció desde la ecuación (3.22), la definición de la DFRFT presentada en este capítulo

cumple con las tres primeras propiedades necesarias para que su aproximación respecto a la FRFT

continua sea válida. Sin embargo, en esta sección se presenta el cumplimiento del requerimiento

final que permite establecer una relación compacta de la DFRFT para obtener resultados confiables.

Inicialmente hay que recordar que las funciones Hermite-Gauss presentadas en (3.16) son funciones

propias de la FRFT. De acuerdo a esto, en [51] se establece que estas funciones tienen una varianza

asociada √( , donde es el tiempo de muestreo de la señal. De esta manera, cuando la

varianza es calculada usando esta expresión se puede aproximar directamente la FRFT con la

DFRFT. Este comportamiento en la varianza es conocida como rotación circular [51]. Sin

embargo, como se puede apreciar en la Figura 3.2, la correspondencia entre FRFT y la DFRFT

pierde su aproximación directa si √( , en cuyo caso la DFRFT realiza una rotación

elíptica en el plano tiempo-frecuencia.

Figura 3.2. Tres casos diferentes de concepto de rotación para la DFRFT en el plano tiempo-frecuencia


Teniendo en cuenta lo anterior, en [51] se presenta una demostración desde el punto de vista

geométrico, en donde, aunque la señal discretizada tenga un tiempo de muestreo que produzca una

rotación elíptica en la DFRFT, al usar la varianza , una compensación angular y un factor de

compensación de fase , se puede hallar una relación entre dicha rotación y la rotación circular.

Este procedimiento permite aproximar correctamente la definición de la DFRFT con la FRFT

continua en todos los casos.

A partir de esta relación entre rotación circular y elíptica, es posible establecer una serie de pasos

con los cuales la definición de la DFRFT presentada en este capítulo se aproxima correctamente a la

definición de la FRFT continua [45]. Estos pasos se presentan a continuación

1. Calcular el ángulo de rotación ( ) 2. Calcular la resolución en el dominio fraccional , definida como [51]

√ (

⁄ ) (3.33)


23

3. Organizar una sucesión de muestras tal que el . Estos puntos corresponden al

dominio fraccional de la DFRFT.

4. Calcular la DFRFT de la señal discreta , - para el orden fraccional por medio

de la definición presentada en (3.32)

5. Calcular el factor de compensación de fase ( ) definido como [51]

( ) √

(

) (

) (3.34)

6. Aplicar la siguiente relación

( ) , ( )- ( ) (3.35)

En donde ( ) es el resultado del cálculo realizado en el paso 4.

Así, la relación (3.35) expresa finalmente que la FRFT continua de orden puede implementarse

mediante una DFRFT de orden multiplicada por el factor de compensación , ( )-


24

Capítulo 4 – CÓDIGOS Y VALIDACIÓN

25

4 CODIGOS Y VALIDACIÓN

En el capítulo 3 se presentó de manera general, el proceso para obtener una definición compacta de

la Transformación Fraccional de Fourier continua (FRFT) y su versión discreta. En el presente

capítulo, se describen los algoritmos desarrollados para el cálculo de la DFRFT los cuales se

utilizaron procesar las señales adquiridas experimentalmente. Además, se presentan ejemplos donde

se muestra la correspondiente validación de los códigos implementados. Esta validación se realizó,

tomando como referencia la metodología presentada en [45] donde se analizaron señales

encontradas en la literatura cuyas transformadas de Fourier son ampliamente conocidas.

4.1. ALGORITMOS

De acuerdo a las definiciones dadas en el capítulo anterior, en [21] y [45] se presenta un esquema

simplificado que describe los algoritmos que pueden ser usados para implementar la transformación

Fraccional de Fourier Discreta (DFRFT). Este algoritmo básico se muestra en la Figura 4.1 y está

estructurado de la siguiente manera:

Figura 4.1. Algoritmo de la DFRFT de orden ‘a’


Este algoritmo es aplicable siempre y cuando la DFRFT realice una rotación circular, es decir,

cuando el tiempo de muestreo de la señal bajo análisis sea igual a √ . Sin embargo, en caso

que el tiempo de muestreo de la señal sea diferente a √ , la DFRFT aplicada realizará una

rotación elíptica en el plano tiempo frecuencia Lo anterior, hace necesario que se consideren los

factores de compensación descritos en la sección 3.5, dando como resultado el procedimiento

ilustrado en la Figura 4.2 para el cálculo de una DFRFT por descomposición espectral.

Teniendo como base el procedimiento de creación del algoritmo 1, A continuación, se presenta de

manera general las definiciones de las matrices y ecuaciones que permiten obtener la definición

compacta de la DFRFT por descomposición espectral:


26

Figura 4.2. Algoritmo 1 de la DFRFT de orden 'b'

4.1.1 Generación de las matrices ‘S’ y ‘P’

Recordando la ecuación (3.27), la matriz „S‟ viene dada por:

S =

-2 1 0 0 1

1 (

) 1 0 0

0 1 (

) 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 1 ( ( )

)

(3.27)

Y la matriz „P‟ dada en (3.28) está dada por:

√

√ 0 0

0 Ir Jr

1

0 Jr -Ir

√

√ 0 0

0

Ir

Jr

0 Jr -Ir

(3.28)

4.1.2 Calcular las matrices ‘Even’ y ‘Odd’

Como se comentó en la sección 3.4.4 ecuación (3.29) del presente documento, por medio de la

operación matricial se pueden extraer las componentes pares e impares de la matriz „S‟ como

se presenta a continuación:

Even 0

0 Odd

(3.29)

Siendo „S‟ y „P‟ matrices con dimensiones , -, su respectiva operación dará como resultado una

matriz de dimensiones , -, y al extraer las matrices correspondientes, se tendrá que será

una matriz de dimensiones ,( ) ( )- y una matriz de dimensiones ,( ) ( )-.


27

4.1.3 Calcular las matrices ‘ ’

En este punto es importante mencionar que en algunos documentos de la literatura se denota la

matriz „ ‟ como „u‟. Sin embargo, en este documento la variable „u‟ hace referencia al dominio

fraccional de la DFRFT. Lo anterior se aclara con el fin de evitar confusiones que pueda tener el

lector cuando realice alguna comparación entre este documento y uno externo al mismo.

Inicialmente se deben extraer los valores y vectores propios de las matrices „Even‟ y „Odd‟, y como

se explicó en la sección 3.4.4, los vectores propios resultantes deben ser ordenados de manera

descendente con respecto a sus valores propios

Valores Propios

Even

Vectores Propios

Vectores propios de la matriz ‘Even’ ordenados

decrecientemente con respecto a sus valores propios

(4.1)

Valores Propios

Odd

Vectores Propios

Vectores propios de la matriz ‘Odd’ ordenados

decrecientemente con respecto a sus valores propios

(4.2)

Con esta información, se procede a aplicar la definición de la Ecuación (3.30), en la cual se rellena

las matrices y con ceros para poder realizar la operación matricial, de la siguiente manera:

, - ,

- (3.30)

Con esto, la matriz tendrá dimensiones , ( )- y la matriz tendrá

dimensiones , ( )-.

4.1.4 Calcular el ángulo de rotación ‘ ’

Como se ha mencionado en varias ocasiones, son pocos los casos en los que la DFRFT realiza una

rotación circular, y como en la gran mayoría de casos la DFRFT hará una rotación elíptica, se hace

necesario el cálculo del ángulo . Para su cálculo es necesario primero calcular la varianza

mencionada en la sección 3.5 del presente documento, así:

√

En donde

(4.3)

Con este valor, y teniendo en cuenta que „a‟ es el operador fraccional y ( ) se procede a

calcular ( ) . Finalmente, se calcula el operador fraccional „b‟ de la rotación

elíptica como .


28

En este punto, se incorpora en el algoritmo el cálculo de la resolución en el dominio fraccional

descrita en la Ecuación (3.33):

√ (

⁄ )

(3.33)

Con el anterior cálculo, se procede al cálculo del vector „u‟ (dominio fraccional de la transformada),

el cual es un vector espaciado por y de dimensión , -.

4.1.5 Calcular la matriz , -

La matriz , - viene dada por la siguiente expresión:

, - ∑ , -( ) , -

( )

con

(4.4)

Se puede apreciar que esta expresión es igual que la presentada en la ecuación (3.31), con la única

variante que el orden fraccional „a‟ es reemplazado por el nuevo operador fraccional „b‟. representa una matriz diagonal con los valores propios de la transformada de Fourier, la matriz

, - es la hallada en la ecuación (3.30) y la matriz , - corresponde a la matriz , - pero

transpuesta. Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene que:

( )( )

( )

0 .

/1 0.

/ .

/1 0.

/ 1

(4.5a)

( )( )

( )

0 .

/1 0.

/ .

/1 0.

/ 1

(4.5b)

Con estas operaciones matriciales, se obtienen dos matrices de dimensiones , -, con las cuales

se obtiene finalmente la matriz , - al sumarlas entre ellas.

4.1.6 Calcular la DFRFT de orden ‘b’

Antes de calcular la DFRFT y como se mencionó en la sección 3.5, se debe calcular el factor de

compensación de fase „Z‟

( ) √

(

) (

) (3.34)


29

Obteniendo este valor de la compensación de fase „Z‟ y el de la varianza descrita en la ecuación

(4.3), se calcula la finalmente la DFRFT de una señal , - discreta con dimensión , - de

acuerdo a la siguiente ecuación:

( )( ) , - , - (4.6)

4.2. REDUCCIÓN DEL TIEMPO COMPUTACIONAL

Como se mencionó al inicio de la sección 3.4, la complejidad computacional de la DFRFT por

descomposición espectral es media en comparación con los otros métodos. Esto se debe a que

cuando el número de muestras de una señal aumenta el tiempo computacional que toma

determinado programa en ejecutar todo el proceso aumenta, presentándose un crecimiento

exponencial en el tiempo de respuesta del algoritmo [45]. La información anterior es relevante

puesto que las señales adquiridas en aplicaciones de ingeniería generalmente tienen un número de

muestras considerables debido a la gran necesidad de establecer parámetros de identificación y

caracterización de los fenómenos bajo estudio, haciendo que la aplicación de la DFRFT para estas

señales alcance una complejidad computacional alta.

Sin embargo,, [21] y [45] proponen un método para disminuir considerablemente los tiempos de

cómputo de la descomposición espectral como se ilustra en la Figura 4.3, el cual se basa en la

precarga de ciertas matrices propias del proceso descrito en 4.1:

Figura 4.3. Algoritmo 2: pre-calculando la matriz 'uk'


El procedimiento del Algoritmo 2 es posible debido a que las matrices S, P, Even, Odd y uk

dependen únicamente del número de muestras N, y al poder establecer un número de muestras fijo

para analizar ciertas señales, este procedimiento permite reducir los tiempos de cómputo de la

DFRFT [45].

Sin embargo, es posible disminuir mucho más el tiempo de cómputo con el algoritmo presentado en

la Figura 4.3 Así, un nuevo tercer algoritmo se presenta en la Figura 4.4, el cual propone la

precarga de la matriz :


30

Figura 4.4. Algoritmo 3: pre-calculando la matriz Fb


El inconveniente para poder ejecutar satisfactoriamente el Algoritmo 3 radica en que la matriz

no sólo depende del número de muestras N (como es el caso de la matriz ), sino también del

tiempo de muestreo y más importante, del orden fraccional „b‟ (que depende a su vez del orden

fraccional „a‟) [45]. No obstante y para resolver el inconveniente, luego de varias pruebas realizadas

con diferentes órdenes fraccionales se notó que entre más pequeño era el tiempo de muestreo , el

valor del ángulo de compensación tiende a , lo que a su vez hace que el orden fraccional „b‟

tienda a „1‟.

Para mostrar un ejemplo de lo dicho, en la Tabla 4.1 se presentan los resultados obtenidos de las

variables σ, β y „b’ de acuerdo a valores escogidos tanto del dominio fraccional „a‟ como de

tiempos de muestreo . Así, de los resultados mostrados en la Tabla 4.1 se puede concluir que para

tiempos de muestreo muy pequeños y para cualquier orden fraccional „a‟ establecido, el orden

fraccional „b‟ tiende a la unidad. Debido a esto, para el cálculo previo de la matriz se puede fijar

el valor de ‘b’ en 1.

Por último, es importante mencionar que la reducción de tiempos computacionales dados por los

nuevos algoritmos presentados hace que la descomposición espectral sea quizá el mejor método a

aplicar hasta la fecha de la DFRFT.


31

Tabla 4.1. Valores de σ, β y ‘b’ de acuerdo a valores definidos de ‘a’ y Ts

Ts √

(

)

a =

0,1

N =

50

0

10 us 0,06332574 1,545482649 0,983884812

1 us 0,006332574 1,570543136 0,999838814

100 ns 0,000633257 1,570793795 0,999998388

10 ns 6,33257E-05 1,570796301 0,999999984

N =

50

00

10 us 6,332573978 0,003949569 0,002514374

1 us 0,633257398 0,376153113 0,239466509

100 ns 0,06332574 1,545482649 0,983884812

10 ns 0,006332574 1,570543136 0,999838814

a =

0,9

N =

50

0

10 us 0,06332574 1,570161182 0,999595654

1 us 0,006332574 1,570789975 0,999995957

100 ns 0,000633257 1,570796263 0,99999996

10 ns 6,33257E-05 1,570796326 0,99999999

N =

50

00

10 us 6,332573978 0,156162366 0,09941605

1 us 0,633257398 1,507367003 0,959619638

100 ns 0,06332574 1,570161182 0,999595654

10 ns 0,006332574 1,570789975 0,999995957

Fuente: Autores

4.2.1. Tiempo computacional de los algoritmos

Para hacerse una idea de la reducción obtenida debido a la precarga de las señales, en [45] se

presenta una gráfica (Figura 4.5) que muestra una comparación entre el número de muestras N y el

tiempo de cómputo total aplicando los tres algoritmos. Estos resultados permiten concluir que el

Algoritmo 3 permite una disminución sustancial en los tiempos de cómputo a medida que el número

de muestras aumenta:

Figura 4.5. Tiempos de cómputo para los algoritmos propuestos de la DFRFT

Fuente: Tomado de [45]


32

Para las pruebas realizadas para obtener las gráficas de la Figura 4.5, se utilizó un computador de 4

núcleos con velocidad de procesamiento de 2.4 GHz y una memoria RAM de 8GB. Sin embargo,

debido al continuo avance tecnológico, se pueden obtener menores tiempos de cómputo utilizando

un computador con especificaciones superiores a las presentadas en [45].

Para terminar, es importante concluir que, si una señal con una determinada cantidad de muestras N

tiene un tiempo de muestreo Ts muy pequeño, es posible aplicar cualquiera de los 3 algoritmos para

obtener resultados casi iguales. Sin embargo, la diferencia principal radicará en que al aplicar el

Algoritmo 3 se disminuirá significativamente la complejidad computacional, lo que permitirá o

aplicar la DFRFT por descomposición espectral en equipos con capacidades bajas, o en aplicar la

DFRFT a un mayor número de muestras en equipos con altas capacidades de cómputo lo que

permitirá obtener resultados más precisos.

4.3. VALIDACIÓN DE ALGORITMOS

Para comprobar que tanto la definición de la DFRFT como la de los algoritmos desarrollados se

aproximan adecuadamente a la definición de la FRFT, se utilizó el requerimiento de reversalidad

mencionado al inicio de la sección 3.4, el cual establece que la DFRFT se debe reducir a la DFT

convencional cuando el orden fraccional „a‟ sea igual a uno, mientras que cuando „a‟ sea igual a

cero la DFRFT debe reducirse a presentar la señal en el dominio del tiempo.

Así, para verificar esto se aplicó una metodología similar a la presentada en [45], teniendo en cuenta

las siguientes condiciones:

Seleccionar una señal cuya FT sea conocida

Aplicar el algoritmo de la DFRFT con y comparar el resultado con la señal en el

dominio del tiempo

Aplicar el algoritmo de la DFRFT con y comparar el resultado con la señal en el

dominio de la frecuencia. Para esta comparación se utilizó la función „fft‟ del programa

Matlab®, el cual usa el algoritmo de la transformación rápida de Fourier

Analizar los resultados y presentar conclusiones.

4.3.1. Señal Gaussiana

Según lo documentado en la literatura, la FT de una señal gaussiana es otra señal gaussiana. De esta

manera, al analizar la señal gaussiana ( ) ( ) se obtienen los resultados de la Figura

4.6.

Como se puede observar, cuando la DFRFT computa el algoritmo con se obtiene como

resultado la misma señal de entrada, mientras que cuando el algoritmo presenta el mismo

resultado que el Algoritmo de la FFT. Aunque las formas de onda de las señales son iguales, las

magnitudes resultantes entre la FFT y la DFRFT difieren. Lo anterior es normal y se presenta

debido a que la definición de la DFRFT proviene de la definición radial normalizada de Fourier

(ecuación 3.18), a diferencia de la definición tradicional FT que ejecuta el algoritmo de la FFT.


33

Señal de Entrada

DFRFT (a=0)

Algoritmo FFT

DFRFT (a=1)

Figura 4.6. FFT y DFRFT para la señal Gaussiana

Fuente: Autores

4.3.2. Pulso rectangular

La función bajo análisis es

( ) 2

Como es bien sabido, la transformada convencional de Fourier para un pulso rectangular es la

función seno cardinal, por lo que se espera este mismo resultado para la DFRFT cuando a=1. En el

caso de a=0 la señal tiene que ser la misma que x(t). Teniendo esto en cuenta, las gráficas

resultantes se presentan en la Figura 4.7:

Señal de Entrada

DFRFT (a=0)

Algoritmo FFT

DFRFT (a=1)

Figura 4.7. FFT y DFRFT para la señal rectangular

Fuente: Autores


34

De igual manera, es interesante observar el comportamiento resultante a medida que el orden

fraccional va cambiando, permitiendo ver que en ciertos valores la concentración de energía

aumenta con respecto a una FT convencional. Igualmente, se puede observar que a medida que el

orden fraccional disminuye, la función resultante se va asemejando más al pulso rectangular de

entrada para finalmente concordar con el resultado de a=0 presentada en la Figura 4.8.

DFRFT (a=0.75)

DFRFT (a=0.5)

DFRFT (a=0.25)

DFRFT (a=0.1)

Figura 4.8. DFRFT con diferentes órdenes fraccionales para la señal rectangular

(RojoParte Real - NegroParte imaginaria) Fuente: Autores

4.3.3. Señal Seno con componentes armónicas

En este caso, la función a analizar esta dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Donde y es la frecuencia fundamental de la señal (que para este caso será 60 Hz). El

resultado esperado al aplicar la FT convencional a esta señal es un conjunto de pulsos ubicados en

cada frecuencia existente de la señal.

Al igual que en el caso anterior, al establecer la condición escoger a=0 se observa que la DFRFT

presenta la señal original. Adicionalmente, se presenta la DFRFT resultante para diferentes órdenes

fraccionales, en los cuales se puede apreciar que en valores pequeños de „a‟ existe una mayor

concentración de energía.


35

Señal de Entrada

DFRFT (a=0)

Algoritmo FFT

DFRFT (a=1)

Figura 4.9. FFT y DFRFT para la señal seno con contenido armónico

Fuente: Autores

DFRFT (a=0.1)

DFRFT (a=0.25)

DFRFT (a=0.5)

DFRFT (a=0.75)

Figura 4.10. DFRFT con diferentes órdenes fraccionales para la señal Seno con contenido armónico

Fuente: Autores


36

4.3.4. Señal diente de sierra

Para este caso se programa una señal cuya recta principal está dada por la ecuación y

que tiene un período . Dicho esto, los resultados obtenidos luego de aplicar las

transformaciones respectivas se presentan en la Figura 4.11:

Señal de Entrada

DFRFT (a=0)

Algoritmo FFT

DFRFT (a=1)

Figura 4.11. FFT y DFRFT para la señal diente de sierra

Fuente: Autores

Gran cantidad de señales se tienen disponibles en la literatura para poder analizar el cumplimiento

de las condiciones propias de la DFRFT. Sin embargo, para los casos analizados se puede concluir

que el código desarrollado de la DFRFT por descomposición espectral es aplicable a cualquier señal

que se desee analizar, cumpliendo las condiciones de aproximación a la FRFT continua y su

correlación con un procesamiento de señales realizado con la definición clásica de Fourier.

Capítulo 5 – APLICATIVO COMPUTACIONAL

37

5. APLICATIVO COMPUTACIONAL

En este capítulo se presenta la descripción y estructura del aplicativo desarrollado para caracterizar

las señales de Descargas Parciales (DP) adquiridas. El aplicativo integra los algoritmos descritos en

el capítulo 4 junto con una interfaz gráfica desarrollada en el entorno de MATLAB® que facilitará

el análisis de las señales.

5.1.PRELIMINARES

Muchas herramientas computacionales se han desarrollado en amplios campos de la ingeniería

eléctrica para el análisis de señales transitorias producidas por fenómenos electromagnéticos, las

cuales afectan el comportamiento normal de un sistema eléctrico. Dentro de estas perturbaciones se

encuentran: descargas parciales (DP), transitorios de apertura o cierre de interruptores,

sobretensiones, descargas eléctricas atmosféricas.

Según la NTC 5001 las sobretensiones transitorias se definen como: “perturbaciones de muy corta

duración, durando típicamente menos de medio ciclo, por ejemplo, unos pocos microsegundos (µs)

hasta unos varios milisegundos (ms). Las sobretensiones transitorias pueden ser de impulso u

oscilatorias y estos pueden deteriorar el aislamiento de los equipos o componentes electrónicos”

[52]. De esta manera, para el procesamiento de las señales de descargas parciales adquiridas

experimentalmente se desarrollaron y validaron algoritmos basados en la DFRFT (ver Capítulo 4).

Posteriormente fueron integrados dentro de un aplicativo computacional con el fin de facilitar el

análisis y caracterización de cualquier evento transitorio de corta duración.

El software ha sido desarrollado en MATLAB® dado que este entorno computacional facilita la

implementación de algoritmos con manejo de matrices, representación de datos, funciones y

operaciones con números complejos, además de integrar algoritmos con interfaces de usuario

(GUI).

5.2. APLICATIVO

El aplicativo computacional realiza cálculos y graficas que permiten el análisis de las señales

transitorias en el domino fraccional (dominio hibrido generado por la rotación del plano tiempo-

frecuencia). Las señales pueden haber sido adquiridas por un método experimental (archivo.csv,

archivo.txt) o pueden estar previamente organizadas en un archivo binario *.mat. Con esta

herramienta se realizaron todos los análisis presentados en el Capítulo 7. La aplicación para el

procesamiento de señales de DP usando DFRFT permite:

Importar señales de DP que han sido adquiridas experimentalmente.

Recortar el número de muestras de la señal original.

Calcular la DFRFT, con el algoritmo completo y con el algoritmo de matrices precargadas.

Graficar los resultados obtenidos por la DFRFT en diferentes órdenes fraccionales.

Observar valores representativos de la señal en el dominio del tiempo y fraccional.

En la Tabla 5.1 y Tabla 5.2, se describen las funciones que conforman la herramienta

computacional.


38

Tabla 5.1. Funciones operativas para la creación de ventanas de la interfaz

SECCIÓN NOMBRE DESCRIPCIÓN

Generación ventanas

de la Interfaz

Interfaz_DFRFT.m Permite la ejecución de los cinco (5) módulos

Recortar.m Permite recortar la señal cargada bajo dos condiciones

Dominio_Fraccional.m Permite visualizar los parámetros de análisis de la señal

en el dominio fraccional

Fuente: Autores

Tabla 5.2. Funciones operativas para el cálculo de la DFRFT y graficar

SECCIÓN NOMBRE DESCRIPCIÓN

Funciones operativas

DfrFT.m Calcula la transformación fraccional de Fourier Discreta

(DFRFT) de la señal cargada

DfrFT_precargada.m Calcula la transformación fraccional de Fourier Discreta

(DFRFT) de la señal con matrices precargadas

DfrFT_recortada.m Calcula la transformación fraccional de Fourier Discreta

(DFRFT) de la señal recortada

Funciones interfaz

abrir Permite cargar la señal según el tipo de archivo

graficartiempo Grafica la señal cargada en el dominio del tiempo

recortar Abre una ventana simultanea para ingresar parámetros

para recortar la señal

graficarrec Grafica la señal recortada


39

Funciones interfaz

comparar Compara la gráfica en el tiempo de la señal original y de

la señal recortada

parametrostiempo Permite calcular los parámetros en el dominio del tiempo

calcular

Calcula la transformación fraccional de Fourier Discreta

(DFRFT) de la señal cargada y grafica el absXu Vs

dominio fraccional o la parte real e imaginaria de la señal

bajo análisis.

parametrosdfrft Permite calcular los parámetros de análisis de la señal en

el dominio fraccional

picosprincipales Calcula la amplitud y la posición en u (Dominio

fraccional) de los picos principales de la señal

picointerno Calcula la amplitud y la posición en u (Dominio

fraccional) del pico interno de la señal

lobulaterales Calcula la amplitud y la posición en u (Dominio

fraccional) de los lóbulos laterales de la señal

domfraccional Permite la apertura de la interfaz Dominio_Fraccional.m

reiniciar Reinicia el software

salir Permite salir del software

ayuda_abrir Despliega una guía de ayuda para el módulo Cargar señal

ayuda_ajustar Despliega una guía de ayuda para el módulo Ajustar señal

ayuda_implementacion Despliega una guía de ayuda para el módulo

implementación

ayuda_tiempo Despliega una guía de ayuda para el módulo Dominio

tiempo

ayuda_fraccional Despliega una guía de ayuda para el módulo Dominio

fraccional

Fuente: Autores

En este capítulo se abarca de forma muy general los componentes y el funcionamiento de cada uno

de los módulos. Para obtener más información de cada etapa se dispone un Manual de usuario y un

Tutorial

La interfaz gráfica de la herramienta computacional se compone por un menú superior y cinco (5)

módulos como se muestran en la Figura 5.1:

Módulo 1 : Cargar archivo

Módulo 2: Ajustar señal

Módulo 3: Implementación DFRFT

Módulo 4: Dominio del tiempo

Módulo 5: Dominio Fraccional


40

Figura 5.1. Interfaz gráfica de la herramienta DFRFT

Fuente: Autores


41

5.2.1. Menú superior del Software

El Menú superior del software presenta alternativas para el usuario que facilitan la ejecución del

aplicativo computacional. En el Menú se encuentran las opciones Ayuda, Salir, Reiniciar como se

puede observar en la Figura 5.2.

Figura 5.2. Visualización del Menú del software

Fuente: Autores

En la opción Ayuda del software se presentan las guías de cada etapa de la herramienta con el fin de

facilitar el manejo para el usuario. El aplicativo computacional contiene las siguientes ayudas:

Guía módulo cargar señal: Presenta una guía para cargar los archivos a la herramienta

computacional.

Guía módulo ajustar señal: Explica las dos modalidades bajo las cuales se puede recortar la señal

de entrada y presenta la ayuda para ingresar los parámetros necesarios para ajustar la señal.

Guía módulo implementación DFRFT: Presenta la ayuda de los datos a ingresar, tipos de gráfico

y los dos algoritmos que pueden ser usados para el cálculo de la DFRFT.

Guía módulo tiempo: Brinda una guía acerca de los parámetros a analizar en el dominio del

tiempo.

Guía módulo fraccional: Brinda una guía acerca de los parámetros a analizar en el dominio

fraccional.

Guía programa general: Presenta una explicación extendida del aplicativo computacional por

medio del Manual de Usuario y un ejemplo mediante el Tutorial.

La opción About presenta los datos del programa, versión e información de sus autores y un

documento (pdf) con la información de las funciones y archivos necesarios para el funcionamiento

de la herramienta.

5.2.2. Módulo 1: Cargar Archivo

Es el modulo inicial del aplicativo computacional encargado de abrir el archivo proveniente de

algún método de adquisición experimental (osciloscopio, analizador de señales, etc.) o con ayuda de

otras herramientas de simulación. En la Figura 5.3 se puede visualizar el módulo 1 donde el usuario

puede elegir el tipo de señal a cargar, puede ser descarga Parcial u otra señal. Al seleccionar la

primera opción la herramienta cambiará el eje (y) de la gráfica por corriente y al seleccionar la

segunda por amplitud.

El software tiene versatilidad para cargar señales. Para ello cuenta con un menú desplegable para

seleccionar la extensión del archivo que puede ser: *.mat, *.txt, *.csv. Se debe tener en cuenta que


42

el archivo debe estar organizado de la siguiente forma: el primer vector corresponde al tiempo y el

segundo a la amplitud/corriente.

Una vez ingresada la señal se determina el número de muestras y el tiempo de muestreo de la señal.

El primero debe ser una cifra par, en caso de ser impar la herramienta lo ajusta automáticamente a

un valor par eliminando la última fila de los vectores de la señal. Para finalizar el módulo, el usuario

debe ingresar el valor de la sensibilidad, es decir la ganancia en [V/A] del instrumento de medición

con el que se realizó la adquisición de la señal. En caso de no tener un factor de ganancia, el

software ajusta ese valor automáticamente a uno.

Figura 5.3. Visualización del tipo de señal

Fuente: Autores

El Módulo 1: Cargar archivo, incluye el botón Graficar para visualizar la señal en el dominio del

tiempo. También, cuenta con un botón de Ayuda que despliega un archivo en PDF con una guía del

módulo para el usuario. Por último, en la Figura 5.4 se presenta el algoritmo que describe el

funcionamiento del Módulo 1.


43

Figura 5.4. Algoritmo Módulo 1

Fuente: Autores

5.2.3. Módulo 2: Ajustar Señal

Es una etapa opcional del aplicativo, cuya función es recortar el vector tiempo de la señal original

para lograr concentrarse en un área específica de la gráfica para su análisis. El módulo 2 se puede

visualizar en la Figura 5.5.


44

Figura 5.5 Visualización Módulo 2

Fuente: Autores

El Modulo 2: Ajustar Señal está conformado por el botón Recortar señal que despliega la

ventana auxiliar que se observa en la Figura 5.6, en donde se presentan dos alternativas para

recortar la señal: por Tiempo o Muestra.

Figura 5.6. Visualización de alternativas de recortar señal

Fuente: Autores

Con la opción recortar la señal por Tiempo el usuario debe ingresar el tiempo inicial y el tiempo

final de la señal deseada. Con estos valores de tiempo el software los aproxima a la muestra

correspondiente y de esta forma se establece la cantidad de muestras con las que se realizara el

cálculo de la DFRFT. Con la segunda opción por Muestra, el usuario puede establecer la cantidad

de muestras con las que quiere realizar el cálculo. Para ello, debe ingresar en donde quiere iniciar la

muestra y finalizar la muestra.

En tal caso que la cantidad de muestras ingresada sea una cifra impar, el software lo ajusta

automáticamente a un valor par eliminando la última fila de los vectores de la señal. Una vez

ingresados los parámetros se determina nuevamente el número de muestras y el tiempo de

muestreo. El usuario puede visualizar la señal recortada con el botón Graficar del módulo 2 (Figura

5.5) y puede comparar simultáneamente la señal original y la recortada con el botón Comparar


45

gráficas (Figura 5.5). El módulo cuenta con un botón de Ayuda que despliega un archivo en PDF

con una guía del módulo para el usuario. Por último, en la Figura 5.7 se presenta el algoritmo que

describe el funcionamiento del Módulo 2.


Fuente: Autores

5.2.4. Módulo 3: Implementación DFRFT

En esta sección se realiza el cálculo de la DFRFT a las señales que han sido cargadas y ajustadas

previamente. Para el cálculo de la DFRFT se desarrollaron y validaron algoritmos que fueron

presentados en el Capítulo 4, los cuales se integraron en el aplicativo computacional. En este

módulo se debe ingresar parámetros como el orden fraccional (valor entre cero y uno) y umbral

referencia %. Este último parámetro se grafica simultáneamente con el espectro de la señal

analizada en el dominio fraccional con el fin de detectar el número de lóbulos que están por encima

dicha referencia. En la Figura 5.8 se ilustra el módulo 3.


46

Figura 5.8. Visualización de la Módulo 3

Fuente: Autores

El cálculo de la DFRFT se puede realizar con la señal original o con la señal recortada. Además, el

software presenta dos alternativas para realizar el cálculo de la DFRFT: código completo y código

con precarga de matrices. El código completo realiza el cálculo con el algoritmo completo. Sin

embargo, este proceso tarda bastante tiempo cuando el número de muestras es muy grande ya que

requiere mayor tiempo computacional.

Se planteó una segunda alternativa llamada DFRFT por precarga de señales la cual se basa en el

Algoritmo 3 descrito en el capítulo 4. En este caso, el aplicativo computacional contiene cuatro

matrices precargadas dependiendo del número de muestras de la señal: DFRFT por precarga

N=250, DFRFT por precarga N=500, DFRFT por precarga N=1000 y DFRFT por precarga

N=2000 para realizar el cálculo de la DFRFT.

Para visualizar los resultados de la aplicación de la DFRFT el software presenta dos alternativas:

Valor absoluto o Parte real e imaginaria. Al seleccionar la primera opción se graficara el valor

absoluto de Xu en función de u. Al seleccionar la segunda se despliega una ventana auxiliar en

donde en donde se muestra por separado la parte real del vector Xu en función de u y la parte

imaginaria del vector Xu en función de u. Por último, en la Figura 5.9 se presenta el algoritmo que

describe el funcionamiento del Módulo 3.


47

Figura 5.9.Algoritmo Módulo 3

Fuente: Autores


48

5.2.5. Módulo 4: Dominio Tiempo

El módulo 4 se encarga de calcular y mostrar los parámetros de la señal en el dominio del tiempo.

Un ejemplo de este proceso se muestra en la Figura 5.10. Los parámetros a calcular son los

siguientes: I máximo), Tiempo de Imax, I mínimo, Duración y N° de cruces por cero.

Figura 5.10. Visualización parámetros en el dominio del tiempo

Fuente: Autores

En el caso de señales de descargas parciales, I máximo (en amperios) es el valor pico de la

corriente de la señal transitoria, Tiempo de Imax (en segundos) es valor en el que se produce la

corriente pico, I mínimo (en amperios) es valor mínimo de la corriente de la señal transitoria,

Duración (en segundos) es tiempo en el que transcurre la señal desde su inicio y hasta que decrece

al 15% del valor máximo de la señal. Finalmente, el Número de cruces por cero cuantifica el

número de veces que la señal cruza por cero en la duración de la señal.

El Módulo 4: Dominio Tiempo se puede visualizar en la Figura 5.11. Está conformado por un

menú desplegable para elegir la señal a la cual se le calcularan los parámetros que puede ser Señal

original o Señal Recortada. El botón Calcular computa y presenta los resultados de los parámetros

en el dominio del tiempo. También, cuenta con un botón de Ayuda que despliega un archivo en

PDF con una guía del módulo para el usuario.


49

Figura 5.11. Visualización Módulo 4

Fuente: Autores

Por último, en la Figura 5.12 se presenta el algoritmo que describe el funcionamiento del Módulo 4.


Fuente: Autores

5.2.6. Módulo 5: Dominio Fraccional

El Módulo 5: Dominio Fraccional se encarga de calcular parámetros de la señal en el dominio

fraccional los cuales facilitan el análisis y caracterización de las señales. Como se muestra en la


50

Figura 5.13, los parámetros a calcular son: Valor max de la transformada, N° Picos principales,

Valor max pico interno, N° lóbulos laterales.

Figura 5.13. Visualización parámetros en el dominio fraccional

Fuente: Autores

En donde Valor max de la transformada representa el valor máximo de la transformada discreta

fraccional de Fourier (DFRFT), N° Picos principales es la cantidad de picos con el valor máximo

de la transformada (con su respectiva amplitud y valor en u), Separación picos principales

corresponde a la distancia en el domino fraccional entre los picos principales en el dominio

fraccional, Valor max pico interno representa el valor máximo del pico interno (con su respectiva

amplitud y valor en u), N° lóbulos laterales es la cantidad de lóbulos que está por encima de la

referencia (con su respectiva amplitud y valor en u).

Figura 5.14 Visualización Módulo 5

Fuente: Autores

En la Figura 5.14, se puede observar que el módulo está conformado por el botón + ubicado en el

lado derecho de las casillas N° Picos principales, Valor max pico interno y N° Lóbulos laterales.

Haciendo click en este botón se indica la posición de cada pico o lóbulo encontrado en la


51

transformada fraccional de la señal. También, compara el valor máximo del pico o lóbulo con

respecto al valor máximo de la transformada.

Para el cálculo del N° Lóbulos laterales, en el módulo 3 se ha capturado el valor Umbral de

Referencia %. Este umbral se grafica simultáneamente con el espectro en el dominio fraccional

con el fin de detectar el número de lóbulos que están por encima de la referencia. Los valores de los

lóbulos laterales pueden ser exportados a una tabla en Excel. El archivo se guardara en la carpeta

del software.

Adicionalmente, el módulo cuenta con el botón más información, el cual despliega una ventana

auxiliar en donde se realiza la gráfica del valor máximo de la transformada en función del orden

fraccional. También, contiene un botón de Ayuda que despliega un archivo en PDF con una guía

del módulo para el usuario. Finalmente, en la Figura 5.15 se presenta el algoritmo que describe el

funcionamiento del Módulo 5.


Fuente: Autores


52

Capítulo 6 – TRABAJO EXPERIMENTAL

53

6. TRABAJO EXPERIMENTAL PARA LA GENERACION Y MEDIDA DE

DESCARGAS PARCIALES EN TRANSFORMADORES

En este capítulo se describe el proceso de diseño y construcción del módulo de pruebas para

obtención de señales de descargas parciales (DP). Además, se explica el procedimiento de

instrumentación y adquisición de señales eléctricas producidas por DP. Todas las pruebas se

llevaron a cabo en el laboratorio de alta tensión (LAT) de la Universidad Distrital Francisco José de

Caldas en la Facultad Tecnológica.

6.1. REVISIÓN DE MONTAJES EN LA LITERATURA

Dentro de la literatura científica se pueden encontrar variedad de montajes que permiten la

generación de una DP dentro del aceite dieléctrico en un transformador. Sin embargo, debido a que

las pruebas que se van a realizar para este proyecto se van a hacer en el Laboratorio de Alta Tensión

(LAT) de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas sede tecnológica, el montaje debe ser lo

más práctico y sencillo posible, sin dejar de ser confiable. A continuación, se presentan las opciones

más representativas que se pueden implementar.

6.1.1. Montaje 1

Este montaje incluye tanto método eléctrico como acústico. El montaje de la Figura 6.1 consta de

sensores ubicados en la superficie de un tanque de hierro con dimensiones de 50 cm x 50 cm x 50

cm y llenado con aceite, mientras que al electrodo final se le acopla un circuito que mide a señal

eléctrica producida por la Descarga Parcial [53]. En este montaje se aplicó a los electrodos una

tensión de 20 kV RMS a 60 Hz para generar la DP. Adicionalmente, se implementó una

configuración de electrodos punta-punta como fuente de la descarga, mientras que una placa de

acrílico de 1 mm de espesor se usó en medio de las dos puntas.

Figura 6.1. Montaje Experimental



54

6.1.2. Montaje 2

Los electrodos usados en este montaje constan de una configuración punta-placa inmersos en aceite

dieléctrico, los cuales fueron usados como fuente de la DP. Para este montaje, se utilizó un CT de

alta frecuencia que permitía la medición eléctrica de la señal producida por la DP. En este trabajo,

la señal medida sirve como referencia para determinar el tiempo de propagación de la señal acústica

generada por el sistema de electrodos [11].

El montaje implementado se muestra en la Figura 6.2 y fue realizado en un tanque de transformador

con unas dimensiones de 90 cm x 110 cm x 60 cm y con los devanados removidos.



6.1.3. Montaje 3

Este montaje se describe en la Figura 6.3. Fue utilizado para la generación de las DP realizando un

aumento progresivo de la tensión del sistema desde 0 hasta 50 kV mientras tenían una

configuración de electrodos inmersa en el aceite dieléctrico dentro de un encerramiento metálico

con dimensiones de 74 cm x 74 cm x 100 cm [54]. En este montaje se utilizaron tres

configuraciones de electrodos como se puede observar en la Figura 6.4.

Figura 6.3. Montaje experimental



55

(a)Configuración Punta-Placa (b)Configuración Placa-Placa (c)Electrodo Flotante

Figura 6.4. Configuración del sistema de electrodo


En todos los casos se utilizó un papel prensado en medio de la configuración de electrodos con un

espesor de 1.6 mm. Finalmente, se usó un sensor acústico, el cual fue ubicado en las paredes del

encerramiento metálico en diferentes posiciones con el fin de detectar el lugar de la DP. Dentro de

las conclusiones generadas del trabajo donde se empleó este montaje se pudieron apreciar

resultados similares en las señales generadas con las tres configuraciones de electrodos. Esto

permite afirmar que cualquier configuración es útil para su implementación.

6.1.4. Montaje 4

El montaje experimental fue realizado dentro de un tanque de transformador con unas dimensiones

de 60 cm x 60 cm x 60 cm y se muestra en la Figura 6.5. Para el montaje se utilizaron dos

configuraciones de electrodos: una configuración placa-placa, que permite una uniformidad en el

campo eléctrico; y una configuración punta-placa, que permite una no uniformidad en el campo

eléctrico. Asimismo, se hizo uso de papel prensado entre la configuración de electrodos.



Este montaje fue ideado principalmente para la detección de Descargas Parciales por medio del

método acústico. Sin embargo, se mantiene el patrón de usar un elemento no conductor dentro de

los electrodos a usar [55].


56

6.2. GENERADOR DE DESCARGAS PARCIALES USADO EN ESTE TRABAJO

De acuerdo a la revisión presentada en la anterior sección, se pueden establecer ciertos parámetros

que son comunes en los montajes experimentales, con los cuales se puede diseñar un modelo

apropiado para los alcances de este trabajo de grado. Dentro de las características técnicas a

destacar en los montajes revisados se tiene: un generador de Alta Tensión AC que aplica la tensión

requerida para producir la descarga, una carcasa o cuba de un transformador con sus devanados

extraídos; un sistema de electrodos inmersos en aceite dieléctrico dentro de la carcasa, un material

dieléctrico ubicado en medio de los electrodos, un sistema de instrumentación que adquiere la señal

requerida; y un sistema de registro para las señales.

A partir de lo anterior se establece el montaje presentado en la Figura 6.6, el cual tiene en cuenta

ciertos elementos y equipos disponibles en el laboratorio de Alta Tensión de la Universidad

Distrital. El montaje presentado se divide principalmente en 3 etapas:

Generación y medición de altas tensiones compuesto por un transformador, una resistencia

y un divisor de tensión.

Generación de Descargas parciales conformado por un tanque de transformador, bujes,

sistema de electrodos inmerso en aceite y un material dieléctrico en medio de los

electrodos.

Adquisición de señales generadas compuesto por un equipo de instrumentación y uno de

registro.

Figura 6.6. Montaje implementado en el LAT

Fuente: Autores

6.2.1. Etapa de generación y medición de altas tensiones

En esta etapa se generan tensiones AC para alimentar al módulo de generación de DP y de esta

forma obtener las señales que estarán bajo análisis. Como se puede observar en la Figura 6.6, el

modulo está conformado por un transformador de 5 kVA con relación de tensión 2 X 0,22/100/0,22


57

kV y frecuencia de 50 Hz. A la salida de este equipo se conecta una resistencia de 3,6 MΩ

encargada de limitar la corriente del circuito.

Transformador AC Resistencia 3.6 MΩ Divisor Resistivo

Figura 6.7. Elementos del LAT utilizados para la generación y medición de altas tensiones

Fuente: Autores

Para medir la tensión aplicada por el transformador, se cuenta con un divisor resistivo con una

relación experimental de 7029. El divisor está conformado por una rama de alta tensión (resistencia

de 280 MΩ) y una rama de baja tensión (resistencia de 40 kΩ). En esta última se conecta un

multímetro de referencia Fluke 289, equipo que registra un valor en baja tensión que, multiplicado

por la relación del divisor, arroja el valor en alta tensión a la cual se generan las DP.

6.2.2. Etapa de generación de DP

En esta etapa se generan las descargas parciales, las cuales serán adquiridas, pre-procesadas y

posteriormente caracterizadas y analizadas. De acuerdo a los montajes analizados de la literatura,

esta etapa debe tener un sistema de electrodos inmersos en aceite dieléctrico dentro de un tanque de

transformador. Teniendo en cuenta lo anterior, se diseñó e implementó un módulo, el cual fue

construido para cumplir las necesidades de este proyecto de grado. Este módulo está conformado

principalmente por una cuba de un transformador y un sistema de electrodos especialmente

diseñado de acuerdo a la cuba construida.

El diseño de la cuba de transformador se presenta en Figura 6.8. Se puede resaltar que en su diseño

se incluyó una ventana con el fin de observar los electrodos inmersos en aceite dieléctrico, y los

huecos para la ubicación de los bujes que soportaron el sistema de electrodos.

Siendo esta investigación orientada a transformadores de distribución, se optó por revisar catálogos

de transformadores de distribución reales y se tomó como referencia la medida de un transformador

de 15KVA como se observa en la Figura 6.9. Sin embargo, la altura se redujo a 51x55x50 cm para

poder llenarlo completamente. De esta manera, se evitó el uso de mayor cantidad de aceite

dieléctrico. La construcción del tanque se realizó con ayuda de la empresa de transformadores

AWA INGENIERÍA LTDA, quien también suministró el aceite dieléctrico necesario para el trabajo

experimental. En el Anexo A se presenta un registro fotográfico de la etapa de construcción del

tanque de transformador. En la Figura 6.10 se puede apreciar el tanque de transformador construido,

el cual está conformado por:

Una tapa removible


58

Un buje de media tensión ubicado en la tapa

Una ventana en la parte frontal para observar el interior del tanque

Un buje de baja tensión ubicado en la parte inferior de módulo

Una abertura que facilita el vaciado del tanque cuando se requiera

Un medidor de aceite (instalado de manera adicional)

Un sistema de electrodos especialmente diseñado del cual se hablará más adelante.

Vale aclarar que, al ser el tanque metálico, en la parte derecha (visto desde el frente) posee un

tornillo cuya finalidad es equipotencializar la carcasa al sistema de puesta a tierra del lugar en el

cual se vaya a ejecutar las pruebas.

Vista General

Vista Superior

Vista Frontal

Figura 6.8. Diseño de un tanque de transformador

Fuente: Autores

Figura 6.9. Dimensiones transformador monofásico

Fuente: Adaptado de Catálogo Transformadores Magnetron


59

Figura 6.10. Modulo para la generación de DP

Fuente: Autores

Aceite dieléctrico

El aceite dieléctrico es un elemento esencial en el funcionamiento de los transformadores

sumergidos, ya que facilita su correcto funcionamiento y permite su refrigeración. Dentro de las

características eléctricas más relevantes del aceite cabe resaltar su densidad y su tensión de ruptura

dieléctrica. Este parámetro debe ser alto ya que muestra la capacidad que tiene el aislamiento para

aislar una diferencia de tensión a una determinada distancia [56][57].

Asimismo, este tipo de aislamiento debe tener principalmente: una baja viscosidad para facilitar la

formación de corrientes de convección entre las fuentes de calor y las paredes frías, un calor

específico elevado para favorecer la captación del calor existente en los arrollamientos y en el

hierro, una alta conductividad térmica para permitir la transmisión del calor por el aceite y de esta

manera acelerar su evacuación y un punto de inflamación alto con el fin de reducir el riesgo de

incendio [56],[57]. En la Tabla 6.1 se presentan las características del aceite utilizado.


60

Tabla 6.1. Ficha técnica del aceite dieléctrico utilizado

PROPIEDADES FÍSICAS UNIDADES METODO

ASTM ESPECIFICACIONES VALORES

TIPICOS

Apariencia D-1524 Claro libre de sedimentos

Gravedad especifica 15.5 ° Kg/dm3 D-1298 0.895 0.88

Punto de inflamación PM °C D-92 145 150

Viscosidad 40°C cSt D-445 12 10.5

Viscosidad 0°C cSt D-445 76 72.6

Punto de fluidez °C D-97 -40 <-45

Punto de anilina °C D-611 63 83 76

PROPIEDADES QUIMICAS

Azufre corrosivo D-1275 No corrosivo No corrosivo

Valor de neutralización mg KCH/g D-974 0.03 0.01

Antioxidante, fenoles Wt% D-2668 0.3 0.25

Bifenoles, Policlorinados ppm D-4059 - -

Contenido de agua mg/kg D-1315 3 <20

Contenido de aromáticos 96 S-590 8

PROPIEDADES ELÉCTRICAS

Disipación eléctrica a 25°C D-924 0.05 0.01

Voltaje de interrupción kV D-877 50

Tensión interfacial mN/m D-971 46

ESTABILIDAD A LA OXIDACIÓN

A 72h D-2440 0.3 0.1

Valor de neutralización mg KOH/g 0.1 0.05

Residuo Wt96 -

A 164h D-2440 0.3 0.1

Valor de neutralización mg KOH/g 0.2 0.05

Residuo Wt96 2.3

Bomba rotativo minutos D-2112

Fuente: Tomado de Transformadores AWA

Teniendo en cuenta las dimensiones del tanque del transformador, y con la idea de mantener el

tanque construido completamente lleno de aceite, se pudieron adquirir 37 galones de aceite (10

galones comprados y 17 galones prestados por la empresa).

Por otra parte, de acuerdo a lo expuesto en la sección 6.1, en el interior del tanque se debe ubicar un

sistema de electrodos los cuales deben quedar inmersos en el aceite dieléctrico. Al igual que con la

cuba, no se encontraba disponible en el laboratorio de alta tensión un sistema de electrodos práctico.

Por lo anterior, durante el diseño del tanque también se contempló un sistema de fijación de

electrodos dedicado, el cual sería sostenido por medio de los bujes instalados en los extremos

superiores e inferiores del tanque.

Para sostener el electrodo superior del arreglo generador de DP, se diseñó la estructura mostrada en

la Figura 6.11, la cual consta de una varilla de cobre torneada que realiza la conexión en uno de sus

extremos con el accesorio roscado del buje de media tensión. En el otro extremo de la varilla se

diseñó una abertura para encajar una varilla de menor diámetro a la cual se conecta el electrodo


61

superior. Como elemento adicional, y con el propósito de controlar la distancia de separación del

sistema de electrodos, la varilla más delgada tiene marcas cada 5 mm que permiten un ajuste de la

distancia.

Figura 6.11. Diseño de la varilla

Fuente: Autores

De acuerdo a este diseño, se torneó una varilla de cobre al 97% de pureza de una longitud

aproximada de 1 metro y un diámetro de ¾”. La varilla para roscar el electrodo es de diámetro de

½”. La unión entre varillas se asegura por medio de un acople roscado. Finalmente se acopló un

tornillo sobre parte media para estabilizar la varilla cuando se encontrará dentro del buje, dando

como resultado final el subsistema presentado en la Figura 6.12.

Figura 6.12. Sistema de electrodos utilizado en el montaje experimental

Fuente: Autores

Por otro lado, para ubicar el electrodo inferior se realizó una extensión del tornillo propio del buje

de baja tensión (colocado en la parte inferior del tanque) por medio de una varilla roscada y una

unión bimetálica con el fin de elevar el segundo electrodo hasta la parte media del tanque. El

resultado se presenta en la Figura 6.13.


62

Figura 6.13. Sistema de fijación del electrodo inferior

Fuente: Autores

Para seleccionar la configuración de electrodos se revisaron diversos montajes, concluyendo que la

mayoría utiliza configuraciones punta-punta, placa-placa y punta-placa. De esta manera, se optó por

la configuración placa-placa, la cual tiene la facilidad de realizar presión al material que se ubicaba

en la mitad del arreglo de electrodos sin llegar a su fractura, a la vez que puede crear un campo

eléctrico uniforme en el dieléctrico. Esto último es muy importante ya que al tener un campo

homogéneo la descarga parcial se formará a través del material a diferencia de la configuración

punta-placa, la cual tiene una mayor probabilidad de generar una descarga superficial en el material.

Por otro lado, se identificó que existían dos materiales predominantes para ser usados entre la

configuración de electrodos: láminas de acrílico y cartón prensado. Pensando tanto en la facilidad

de manipulación como en la cantidad de placas necesarias (al finalizar cada prueba el material se

degrada y es necesario cambiarlo), se eligió el cartón prensado. Este cartón es un conjunto de capas

de papel que se unen en fases mientras el material aún está en estado húmedo, consiguiendo así un

aislamiento con un grosor superior y de mejores características dieléctricas que otros materiales

[56], [57].

Dentro de sus características más importantes del cartón se puede resaltar: alta rigidez dieléctrica,

una constante dieléctrica lo más cercana posible a la del aceite, bajas pérdidas dieléctrica, una buena

capacidad de impregnación con aceite dieléctrico, un alto punto de fusión y la capacidad de soportar

altas cargas térmicas durante corto tiempo [56], [57]. Finalmente, cabe destacar que la tensión de

ruptura del cartón prensado utilizado fue de 9.52 kV, valor confirmado experimentalmente. Este

dato es muy importante ya que para evitar disrupción total en el material, las pruebas se hicieron

con una tensión por debajo de este valor.

6.2.3. Etapa para la adquisición de señales

Es la etapa del trabajo experimental encargada de capturar las señales de DP generadas en el

módulo del transformador y el arreglo de electrodos. Está conformada por el instrumento de

medición de la descarga generada y el equipo de adquisición de la señal que permite almacenarla y

posteriormente procesarla digitalmente.

.Ancho de banda de una Descarga Parcial


63

La IEC 60270 es el estándar que establece los criterios para la medición de descargas parciales.

Según esta norma, una DP es una descarga eléctrica localizada que une parcialmente el aislamiento

entre conductores y que puede o no puede ocurrir adyacente a un conductor [58]. Además, las DP

son en general una consecuencia de concentraciones de esfuerzos eléctricos en el aislamiento o en

la superficie del aislamiento. Generalmente, tales descargas aparecen como pulsos que tienen una

duración de mucho menos de 1 µs.

Asimismo, la IEC 60270 establece que los elementos de medición para las DPs se pueden clasificar

en sistemas de banda ancha, los cuales deben tener un ancho de banda de 100kHz a 400 kHz; y de

banda angosta, que deben tener un ancho de banda de 9 kHz a 30 kHz con una frecuencia media

entre los 50 kHz hasta 1 MHz.

Con la finalidad de establecer niveles aceptables en equipos nuevos, y de acuerdo a la tecnología

actual de la época (1970), se aceptó de manera unánime el rango de frecuencias presentes en [58] ,

[59]. Sin embargo, estos valores de frecuencia no están relacionados en lo absoluto con el fenómeno

físico de las DP o con su evolución en el tiempo, y como se demostró en investigaciones más

recientes, un pulso de una DP puede tener un tiempo de frente de hasta 0.7 ns, lo que equivale a

frecuencias cercanas a 1GHz. Por ello, los nuevos métodos de medición de DP son conocidos como

banda ultra ancha (UWB por sus siglas en inglés), cuyos equipos de medición deben de tener un

ancho de banda de alta frecuencia/muy alta frecuencia (HF/VHF) o ultra alta frecuencia (UHF)

[60],[61]. Estos rangos se muestran en la Figura 6.14.

Figura 6.14. Sistemas de detección eléctricos de DP’s.


El frente de onda de una DP está en el orden de los nanosegundos, por lo que la onda inicial de

tensión tiene frecuencias que varían desde los kHz hasta los GHz. Sin embargo, la inductancia de

las conexiones de los equipos de medida al objeto bajo prueba puede limitar la frecuencia superior

al orden de los MHz [59]. Otra característica importante a tener en cuenta para determinar las

frecuencias de una DP es la degradación del material bajo prueba como lo demuestra [60],

concluyendo que a mayor envejecimiento/degradación de un material, mayor es la frecuencia

superior medida.

Equipo de instrumentación utilizado


64

La adquisición de las señales es una parte fundamental del trabajo experimental encargada de sensar

las variables del montaje a partir de las cuales se realiza el monitoreo y posterior captura. Así,

teniendo como referencia el hecho que una descarga parcial se presenta en rangos de frecuencia en

el orden de los MHz, inicialmente se desarrolló como trabajo alterno la elaboración de una Bobina

Rogowski que permitiera la adquisición de las DP‟s. Sin embargo, debido al tiempo que requería, a

la vez de las limitaciones que se tenían tanto en presupuesto como en equipos de calibración, se

optó por encontrar un equipo de medición calibrado y usado para la medición de transitorios.

Inicialmente se empezaron pruebas con los equipos disponibles en el laboratorio, en las cuales se

observaba que, a medida que el ancho de banda del equipo aumentaba, mayor espectro de

frecuencia se encontraba en la DP. Sin embargo, llegó un punto tal en el que la frecuencia principal

de la DP se mantenía estable, rondando por el orden de los 21-25 MHz. Este valor fue comprobado

por 2 equipos de medición: una bobina Rogowski Pearson Modelo 2877 y un CT Bergoz E0.5-B,

ambos suministrados por el Laboratorio de Compatibilidad de la Universidad Nacional de

Colombia.

Así, en la Tabla 6.2 se presenta de manera resumida las características más sobresalientes de la

Bobina Pearson, mientras que en la Tabla 6.3 se presentan las características principales del CT

Bergoz:

Tabla 6.2. Especificaciones técnicas Pearson Ref.

2877

Sensibilidad 1 MΩ: 1 V/A

Corriente pico máxima 100 A

Corriente máxima RMS 2,5 A

Tasa de caída 0.2% /µs

Tiempo de subida 2 ns

Baja frecuencia 3 dB 300 Hz

Alta frecuencia 3 dB 200 MHz

Temperatura de operación 0 °C a 65 °C

Conector de salida BNC

Diámetro externo 65.0 mm

Diámetro interno 25.00 mm

Fuente: Hoja de datos Pearson Ref. 2877

Tabla 6.3. Especificaciones técnicas CT E-0.5-B

Sensibilidad

1 MΩ: 0.5 V/A

50Ω: 0.25 V/A

Corriente pico máxima 2000 A

Corriente máxima RMS 22 A

Tasa de caída 0.03% /µs

Tiempo de subida 1.75 ns

Baja frecuencia 3 dB 48 Hz

Alta frecuencia 3 dB 200 MHz

Temperatura de operación -20 °C a + 120 °C

Conector de salida BNC

Diámetro externo 73.0 mm

Diámetro interno 37.00 mm

Fuente: Hoja de datos CT E-0.5-B

Debido a que estos dos elementos presentaron resultados equiparables en la adquisición de las

señales, por disponibilidad del equipo se usó el CT Bergoz E0.5-B para adquirir las señales del

montaje experimental presentado en la Figura 6.6.


65

Captura y almacenamiento de señales

Para capturar las señales medidas por el transformador de corriente se utilizó un osciloscopio

Tektronix DPO7054C. Este equipo de alto rendimiento maneja un ancho de banda de hasta 3,5 GHz

y velocidades de muestreo de hasta 40 GS/s. Adicionalmente, cuenta con un sistema operativo

Windows que le permite ejecutar su propio software de análisis para las señales registradas. Al igual

que el CT, sus características más importantes se presentan en la Tabla 6.4, mientras que las

especificaciones técnicas se pueden observar en el Anexo C.

Tabla 6.4. Especificaciones técnicas osciloscopio Tektronix DPO7054C

Sistema vertical

Canales de Entrada 4

Ancho de Banda (-3dB) 3.5 GHz

Tiempo de subida 10% -

90%

415 ps

Tiempo de subida 20% -

80%

260 ps

Sensibilidad

1 MΩ: 1mV/div - 10 V/div

50 Ω: 1mV/div - 1 V/div

Resolución Vertical 8 bits

Sistema de tiempo base

Rango de tiempo base 100 ps/div a 1000 s/div

50 ps/div a 1000 s/div

Tiempo de resolución 1 ps

500 fs

Rango de tiempo de

retraso de tiempo base

50 ns a 250 s

Rango de corrección de

desviación de canal a

canal

± 200 ns

Sistema de adquisición

Frecuencia de muestreo en

tiempo Real 20 GSa/s（canal individual)

10 GSa/s（dos canales）


66

5 Gsa/s (3-4 canales)

Frecuencia de muestreo

equivalente

4 TSa/s

Fuente: Hoja de datos osciloscopio Tektronix DPO7054C

6.3. METODOLOGÍA IMPLEMENTADA PARA LA MEDICIÓN DE DP EN

LABORATORIO

La metodología desarrollada para la adquisición de las señales se fue perfeccionando a medida que

aumentaba tanto la experiencia de adquisición como la experticia en la manipulación de equipos de

laboratorio. A continuación, se presenta el procedimiento empleado para la adquisición de señales

de DP en el laboratorio.

6.3.1. Paso 1: Alistamiento del Laboratorio

Antes de cada prueba se debe verificar todo el procedimiento de seguridad del laboratorio en el cual

se estén desarrollando las pruebas. Estas medidas mitigan y disminuyen la probabilidad de un fallo

en los equipos y en el montaje experimental. Esta verificación incluye las siguientes actividades:

verificación de conexiones del transformador, conexiones del módulo de mando, sistema de

apantallamiento (Jaula de Faraday) y en general, cualquier otro elemento que haga parte del área de

prueba y esté conectado al sistema de referencia. Adicionalmente, se verifica el buen estado de los

equipos de instrumentación y se realizan mediciones de continuidad y/o resistencia de algunos

elementos según aplique.

6.3.2. Paso 2: Montaje de sistema de Generación y medición de altas tensiones

Se implementa el circuito mostrado en la Figura 6.6 para la generación y medición de altas

tensiones. Este montaje incluye la conexión del transformador la resistencia limitadora de corriente

junto al sistema de medida en baja tensión que para este caso es un divisor resistivo.

Recomendaciones:

Conocer la relación de transformación de los instrumentos de medición utilizados.

6.3.3. Paso 3: Montaje de sistema de Generación de DP‟s

Para la generación de las DP‟s se utiliza el módulo mostrado en la Figura 6.10, el cual se llena con

aceite dieléctrico al menos hasta que el electrodo inferior se encuentre inmerso totalmente en el

aceite. Se prepara una lámina de cartón prensado y se presiona contra el electrodo inferior hasta que

quede fijo en él. Posteriormente se procede a cerrar la cuba con la tapa de forma que el electrodo

superior presione la lámina de cartón. Por último, se conecta el módulo de generación de DP‟s al

sistema de generación y medición de altas tensiones por medio de un conductor adecuado.

Recomendaciones:

Limpiar la cuba por la parte interior para evitar que polvo o elementos extraños interfieran

con la prueba.


67

Sumergir la lámina de cartón en el aceite dieléctrico hasta impregnarlo totalmente con el

fluido. Presionarlo transversalmente dentro del aceite para eliminar el aire que pueda tener

en su interior.

Verificar continuidad entre cada punto metálico de la cuba con el sistema de puesta a tierra.

Lo anterior se hace para evitar que la tapa y la cuba estén a diferente potencial, ocasionando

una descarga entre ellos que afecte la medida.

6.3.4. Paso 4: Montaje del sistema de instrumentación

Se procede a conectar el equipo de instrumentación al módulo de DP´s. Para este caso, se empleó

un transformador de corriente cuyas características fueron explicadas anteriormente. Se conecta por

medio de un cable 14AWG, el cual se enrolla cuatro veces entre el CT con el fin de aumentar la

sensibilidad a un valor de 2V/A. Por último, el CT se conecta a un canal del osciloscopio por medio

de una sonda con conector BNC.

Recomendaciones:

Conocer la sensibilidad del equipo de instrumentación y el adecuado acople para la

conexión con el osciloscopio.

El equipo de instrumentación se puede ubicar en una caja metálica con el fin de reducir

interferencias electromagnéticas producidas externamente al montaje. Tener en cuenta que

esta caja debe ser debidamente conectada al sistema de puesta a tierra del laboratorio.

6.3.5. Paso 5: Adquisición de señales de DP´s

Inicialmente, se procede a configurar el osciloscopio para adquirir las señales de DP‟s. Debido que

es un pulso oscilante de baja energía se ajusta la escala vertical y el trigger en el orden de los

mV/div y el tiempo de muestreo en el orden de los ns. Sin embargo, teniendo en cuenta que en este

trabajo se utilizó como herramienta de trabajo la transformación fraccional se deben tener en cuenta

algunas consideraciones relacionadas con el tiempo de muestreo que serán explicadas más adelante.

Posteriormente, se busca identificar la tensión en la que se produce la ruptura del material elevando

la tensión hasta obtener disrupción. Esto se realiza con el fin de establecer la tensión crítica y

realizar las pruebas por debajo de este valor. Este proceso se debe repetir entre 5 y 10 veces

aproximadamente para establecer el rango en el que se puede encontrar esta tensión.

Con la señal ya adquirida por el osciloscopio y presentada en la pantalla del mismo, se procede a

guardar la señal en una memoria USB previamente conectada. Este archivo quedará con la

extensión *.csv, en donde sus datos están separados por comas.

Recomendaciones:

Para evitar que los pulsos generados al elevar la tensión del transformador interfirieran con

la medida, la elevación de tensión se debe realizar en varias etapas: Inicialmente, se debe

aumentar la tensión a una tercera parte de la tensión crítica. Se espera un lapso de tiempo

considerable (para efectos de este trabajo de grado fueron 5 minutos); segundo, se sube un

poco más la tensión hasta alcanzar un valor más alto y se esperaban otro tiempo

considerable; y tercero, si en ninguna de las dos tensiones anteriores se produce la descarga,

se recomienda subir un poco más la tensión hasta llegar a un valor de cercano a la tensión

crítica y esperar hasta que se genere la descarga. En caso que en este punto no se produjera


68

la descarga pasado el tiempo pertinente, se debe desenergizar el circuito e iniciar

nuevamente la prueba.

6.3.6. Consideraciones adicionales

El muestreo es el proceso mediante el cual se convierte una señal (parámetro continuo en el tiempo

o espacio) en una secuencia numérica (función discreta en el dominio del tiempo o del espacio).

Así, y en vista que para el procesamiento de señales se requiere una señal discretizada, es requerido

cumplir con el teorema de muestreo de una señal, el cual establece que es posible reconstruir una

señal continua en el tiempo por medio de una señal discretizada muestreada a una frecuencia igual o

mayor a dos veces el ancho de banda de la señal.

Este teorema, comúnmente llamado Teorema de Nyquist, es una base para muestrear señales cuyo

análisis se quiera realizar por medio de las trasformaciones más conocidas, dentro de las cuales se

encuentra la FT convencional. Sin embargo, debido a que la FRFT pertenece al grupo de

transformaciones rotadas, este teorema es aplicable teniendo en cuenta también parámetros propios

de la transformación, como es el caso del operador ‘a’.

Dicho esto, y para evitar solapamiento en la señal, el tiempo de muestreo que requiere la

transformación fraccional es directamente proporcional al orden fraccional „ ‟, es decir, a menor

orden fraccional, menor tiempo de muestreo se necesita. Así, para conocer el tiempo de muestreo

requerido para determinado orden fraccional, se debe aplicar la ecuación (6.1).

(6.1)

Donde

, Tiempo de muestreo mínimo de la señal para determinado orden fraccional „a‟

, Ancho de banda de la señal a tratar

⁄ , Siendo „ ‟ el orden fraccional

De igual manera que la FRFT tiene relación directa con la FT cuando el orden fraccional a = 1, se

puede apreciar que con este operador la ecuación (6.1 se reduce al Teorema de Nyquist tradicional.

Como se mencionó en la sección 6.2.3, en las señales tomadas inicialmente para el fenómeno de

descargas parciales en el laboratorio de la Universidad Distrital se pudo evidenciar que éstas

presentan una frecuencia predominante entre 21 y 25 MHz, razón por la cual, para el cálculo de la

frecuencia de muestreo a implementar en la adquisición de las señales se tomará como ancho de

banda el doble esta frecuencia, es decir, 50 MHz.

Teniendo en cuenta lo anterior, y según la ecuación (6.1), se presenta la Tabla 6.5 en la que se

pueden observar los tiempos de muestreo requeridos de acuerdo a diferentes órdenes fraccionales:

Observando los resultados de la Tabla 6.5 se puede apreciar que, si se usa un tiempo de muestreo de

10 ns en la adquisición, el algoritmo implementado solamente puede ser usado con un orden

fraccional a = 1 sin que haya solapamiento. De la misma manera, si se usa un tiempo de muestreo

aproximado de 1,5643 ns, es posible analizar señales con el algoritmo con un orden fraccional

desde a = 1 hasta a = 0,1 evitando el fenómeno mencionado.


69

Así, para efectos del análisis que se requiere realizar en el presente proyecto de grado se escogen

como parámetros de adquisición una ventana de 1 µs con un tiempo de muestreo Ts de 1 ns. Esta

elección es suficiente para analizar las señales desde un orden fraccional desde a = 0,1 hasta a = 1

sin tener problemas de solapamiento en la señal.


70

Tabla 6.5. Tiempos de muestro requeridos para diferentes órdenes fraccionales

Orden

Fraccional

[a] Alfa [α]

Tiempo de

Muestreo

[Ts] (s)

Tiempo de

Muestreo

[Ts] (ns)

1 1,57079633 1,0E-08 10

0.9 1,41371669 9,9E-09 9,87688341

0.8 1,25663706 9,5E-09 9,51056516

0.7 1,09955743 8,9E-09 8,91006524

0.6 0,9424778 8,1E-09 8,09016994

0.5 0,78539816 7,1E-09 7,07106781

0.4 0,62831853 5,9E-09 5,87785252

0.3 0,4712389 4,5E-09 4,539905

0.2 0,31415927 3,1E-09 3,09016994

0.1 0,15707963 1,6E-09 1,56434465

0.01 0,01570796 1,6E-10 0,15707317

Fuente: Autores


71

Capítulo 7 – ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

72

7. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

En este capítulo se integran las actividades realizadas en el trabajo experimental, el desarrollo de las

pruebas en el laboratorio y los resultados obtenidos del aplicativo computacional, con el fin de

analizar y caracterizar las señales de descargas parciales (DP) adquiridas. Se analizarán las señales

en el dominio del tiempo y en el dominio fraccional y se presentarán conclusiones sobre los

resultados obtenidos.

7.1. CARACTERÍSTICAS DE LOS DATOS ANALIZADOS Y METODOLOGÍA

En el capítulo 5 se presentó el aplicativo computacional que facilito la caracterización de las señales

producidas por descargas parciales (DP). En esta aplicación se puede visualizar, tanto la gráfica de

entrada en el dominio del tiempo, como la gráfica resultante en el dominio fraccional. Además, se

pueden definir varios parámetros de acuerdo a las preferencias del usuario, y se puede observar

cierta información relevante de las señales. Por otro lado, en el Capítulo 6 se presentó el

procedimiento experimental realizado en el Laboratorio de Alta Tensión, del cual se extrajeron las

señales de las DP. Estas señales son objeto de estudio en este capítulo y fueron procesadas de

manera individual por el aplicativo.

Inicialmente, las sesenta (60) señales adquiridas pasaron por el aplicativo computacional y se

extrajeron los parámetros tanto en el dominio del tiempo, como en el dominio fraccional. Es

importante recordar que las señales fueron extraídas con una sensibilidad de 2V/A. Sin embargo,

con ayuda de la opción „Sensibilidad‟ del aplicativo, los datos resultantes de cada señal pueden ser

ajustados, obteniendo el valor real de corriente de cada descarga.

Si bien el aplicativo computacional facilita la obtención de determinados parámetros, no permite el

análisis conjunto de los resultados obtenidos para todas las señales, Por lo tanto, para la

manipulación de los datos que llevarán a obtener conclusiones de las señales, se debe extraer la

información obtenida y organizarla en una plantilla en EXCEL. Estos resultados se encuentran en el

Anexo D (en medio magnético).

Posteriormente, se realizó un análisis estadístico utilizando gráficos de barras que permiten

visualizar la distribución de los datos y, a partir de estos, identificar los patrones de comportamiento

y pautas de variación que son difíciles de extraer. Para generar las distribuciones de los datos, se

organizó en diferentes tablas los valores de cada parámetro bajo estudio en función del número de

señales capturadas.

7.2. SEÑALES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

Para la caracterización en el dominio del tiempo se analizaron los siguientes parámetros: el valor

máximo de la corriente (I máx), el tiempo en el que se produce el valor máximo de corriente (t-

Imax), el valor mínimo de la corriente (Imín), la duración de la señal (Duración) y el número de

cruces por cero de la señal (N° de cruces por cero). Estos parámetros se describen gráficamente en

la Figura 7.1.


73

Figura 7.1. Parámetros en el dominio del tiempo

Fuente: Autores

7.2.1. Valor máximo de la corriente [Imax]

El valor máximo se define como el valor pico positivo de la señal transitoria. En la distribución

mostrada en la Figura 7.2, se puede observar que los valores de corriente máxima de las DP son

mayores a 2,25 mA. Adicionalmente, el 75% de las señales se encuentran en el intervalo entre 2,25

mA y 3,375 mA).

Figura 7.2. Valor máximo de la corriente de las señales de DP

Fuente: Autores

0 0

45

15

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 1,125] (1,125 - 2,25] (2,25 - 3,375] (3,375 - 4,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR MÁXIMO DE CORRIENTE [mA]


74

7.2.2. Valor mínimo de la corriente [Imin]

Este parámetro se define como el valor máximo negativo (mínimo) de la señal transitoria. En la

Figura 7.3 se presenta una distribución asimétrica donde todos los valores se encuentran por encima

de -0,75 mA. Adicionalmente, el 73,3% de las señales se encuentran en el intervalo entre -1,5 mA y

-2,25 mA, presentando un comportamiento similar al del valor máximo de la corriente. Por último,

el valor máximo de todos los registros (presentado por la señal 13) es atípico, ya que solo el 3,3%

de todas las señales analizadas presentan un valor mínimo similar.

Figura 7.3. Valor mínimo de la corriente de las señales de DP

Fuente: Autores

7.2.3. Tiempo de Corriente máxima [t_Imax]

El tiempo de corriente máximo es el tiempo en el que se produce el valor máximo de la corriente de

la señal transitoria. La distribución mostrada en la Figura 7.4 permite observar que todas las señales

poseen un tiempo de ocurrencia entre 90 ns y 120 ns.

Figura 7.4. Tiempo de corriente máxima

Fuente: Autores

0

14

44

2

0

10

20

30

40

50

60

[0 ; -0,75] (-0,75 ; -1,5] (-1,5 ; -2,25] (-2,25 ; -3]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR MÍNIMO DE CORRIENTE (mA)

0 0 0

60

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 30] (30 - 60] (60 - 90] (90 - 120]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

TIEMPO IMAX [ns]


75

7.2.4. Duración

La duración se define como el tiempo en el que transcurre la señal desde su inicio hasta que decrece

al 15% de su valor máximo. En la distribución mostrada en la Figura 7.5 se observan datos con

agrupaciones variadas en donde todas las señales tienen una duración por encima de 105 ns.

Adicionalmente, no se presenta una agrupación predominante ya que el 41,6% de las señales se

encuentran en el intervalo entre 210 ns y 315 ns.

Figura 7.5. Duración de las señales de DP

Fuente: Autores

7.2.5. Número de Cruces por cero

El número de cruces por cero se relaciona con la cantidad de veces que la señal cruza por cero en el

intervalo de duración de la señal. En la Figura 7.6 se evidencia una distribución donde el 43,3 % de

las señales se encuentran en el intervalo entre 30 y 60 cruces por cero. De esto se puede concluir,

que las oscilaciones de las señales son muy variadas, por lo que no presentan intervalos de

ocurrencia fijos.

Figura 7.6. Número de Cruces por cero

Fuente: Autores

0

18

25

17

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 105] (105 - 210] (210 - 315] (315 - 420]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

DURACIÓN [ns]

12

26

13

7

2

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 30] (30 - 60] (60 - 90] (90 - 120] (120 - 150]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

CRUCES´POR CERO


76

De acuerdo a los resultados obtenidos, en la Tabla 7.1 se presenta un resumen de los resultados

calculados para cada parámetro en el dominio del tiempo.

Tabla 7.1. Resumen Parámetros en el dominio del tiempo

Valor

mínimo

Valor

máximo

Valor

promedio Rango de datos con mayor frecuencia

Corriente máxima [mA] 2,63 4,18 3,18 2,25 < f ≤ 3,375

Corriente mínima [mA] -2,90 -1,29 -1,69 -1,5 < f ≤ -2,25

Tiempo Imax [ns] 100 107 104,62 90 < f ≤ 120

Duración [ns] 130 419 263,88 210 < f ≤ 315

Cruces por cero 10 142 57 30 < f ≤ 60

Fuente: Autores

7.3. DOMINIO FRACCIONAL

La caracterización en el dominio fraccional se realiza a partir de los parámetros calculados por el

aplicativo computacional a las señales adquiridas experimentalmente. En la Figura 7.7 se presenta

una explicación gráfica general de los parámetros en el dominio fraccional. Sin embargo, para la

elaboración de las distribuciones se tendrán en cuenta, además de los parámetros mencionados,

otros elementos que de cierta manera podrán aportar información adicional.

Figura 7.7. Visualización parámetros en el dominio fraccional

Fuente: Autores

Teniendo como punto de partida la información suministrada por la Figura 7.7, se puede apreciar

que Max(DFRFT) representa el valor máximo del pico principal obtenido por la transformada

fraccional discreta de Fourier (DFRFT), N° Picos principales es la cantidad de picos con el valor


77

máximo de la transformada (con su respectiva amplitud y valor en u), Separación picos

principales corresponde a la distancia en el domino fraccional entre los picos principales, Valor

máx. pico interno representa el valor del mayor pico interno presentado entre los dos picos

principales (con su respectiva amplitud y valor en u), N° picos (o lóbulos) laterales es la cantidad

de picos externos a los picos principales que están por encima de la referencia (con su respectiva

amplitud y valor en u). Vale resaltar que, aunque el usuario del aplicativo computacional es libre de

elegir el porcentaje de referencia con el que quiera obtener información de las señales, para efectos

del análisis y caracterización de las señales en este trabajo de grado, la referencia tomada para

definir un pico lateral corresponde al 20% del valor máximo presentado por la transformada. El

valor de la referencia se definió aplicando una metodología a prueba y error, por debajo de este

valor el aplicativo detectaba muchos puntos que no eran picos laterales sino ruido y con valor de

referencia mayor no detectaba ciertos picos laterales. Por lo que, se eligió el valor del 20% con el

que se obtuvo buenos resultados.

Para cada una de las señales se calcularon todos los parámetros con orden fraccional desde „0.1‟

hasta „1‟ en intervalos de „0.1‟. Así, para el dominio fraccional se tiene un volumen de información

mayor al del tiempo, ya que a cada una de las sesenta (60) señales se le calculan los parámetros para

diez ordenes fraccionales diferentes, obteniendo 600 datos por cada uno de los parámetros.

Presentar y caracterizar este gran volumen de información se convierte en un proceso tedioso. Por

tal razón, se decide buscar un orden fraccional óptimo para realizar todo el proceso de análisis y

caracterización. Para ello, y en pro de aprovechar la concentración y aumento de energía

proporcionado por la reducción del orden fraccional de la transformada (una de las características

más sobresalientes de la misma), se tomó como referencia tanto el valor máximo de la transformada

como la separación de los picos principales, parámetros que al compararse con respecto al orden

fraccional dan como resultado la gráfica que se presenta en la Figura 7.8.

Figura 7.8. Gráfica Max (DFRFT) vs Separación Picos Principales

Fuente: Autores


78

La Figura 7.8 comprueba uno de los principales enunciados de la Transformación Fraccional de

Fourier, el cual establece que a menor orden fraccional se presenta una mayor magnitud a la vez de

comprimir los picos resultantes. Así, el valor máximo resultante de la transformación es

inversamente proporcional al orden fraccional mientras que la separación entre los picos principales

es directamente proporcional al mismo. De esta manera, se obtiene que a un orden fraccional

pequeño se tendrá un mayor valor máximo de la transformada a la vez de presentar una separación

de picos reducida.

Teniendo en cuenta lo anterior, se opta por analizar y caracterizar el banco de señales con un orden

fraccional de „0.3‟, valor en el cual existe un balance entre la separación y la magnitud máxima

resultante. Bajo esta premisa se procede a presentar todos los análisis de datos de los parámetros

para el orden fraccional óptimo „0.3‟ mediante la elaboración de histogramas, los cuales permiten

presentar la información de forma visual, ordenada y comprensible tal como se evidenció en el

análisis en el dominio del tiempo de la sección 7.2.

7.3.1. Máximo de la Transformada [Max(DFRFT)]

El Max(DFRFT) se define como el máximo valor de la transformada fraccional resultante. En la

Figura 7.9 se aprecia que todas las señales poseen un valor máximo por encima de 3,0x10-11

.

Adicionalmente, el 78,3% de las señales se encuentran en el intervalo entre 4,5x10-11

y 6,0x10-11

.

Figura 7.9. Valor máximo de la transformada

Fuente: Autores

7.3.2. Separación de Picos Principales [Sep. Picos PRINC.]

La Sep. Picos PRINC se define como la separación de los picos principales en donde ocurre el

máximo valor de la transformada. La distribución mostrada en la Figura 7.10 permite concluir que

la separación de picos solamente puede presentarse entre dos valores, teniendo como dato que de 60

señales, exista una probabilidad que una señal tenga una separación del 66,67% del máximo

presentado, mientras que, por otro lado, existe una probabilidad del 33,33% que la señal tenga una

separación de picos igual al máximo presentado.

0 0

6

47

7

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 1,5] (1,5 - 3] (3 - 4,5] (4,5 - 6] (6 - 7,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR MÁXIMO DFRFT (valores deben ser multiplicados por 1x10-11)


79

Figura 7.10. Separación de picos principales

Fuente: Autores

7.3.3. Valor del Pico Interno más prominente [Max. Pico INT.]

El Max. Pico INT se define como el máximo valor que alcanza uno de los picos internos a los

principales. En la Figura 7.11 se puede observar que todas las señales poseen un valor por encima

de 1,8 x10-11

. Sin embargo, el 70% de las señales se encuentran en el intervalo entre 1,8x10-11

y

2,4E x10-11

.

Figura 7.11. Valor máximo del pico interno

Fuente: Autores

7.3.4. Posición en el eje de la Abscisa del máximo pico interno [(u) Pico INT.]

El (u) Pico INT se define como el valor en el eje de la abscisa en donde ocurre el Max. Pico Interno.

En la distribución mostrada en la Figura 7.12, se puede observar una agrupación importante de

datos en el intervalo entre 2,125x107 y 4,25x10

7 siendo esta cantidad correspondiente al 66,6% del

total de las señales. Además, se evidencia que existen dos señales con un valor por debajo de

2,125x107 que pueden ser consideradas como señales con comportamiento atípico con respecto a las

demás del banco de señales.

40

20

0

10

20

30

40

50

60

1,83E+08 1,88E+08

NÚ

MER

O D

E SE

ÑA

LES

SEPARACIÓN [u]

0 0 0

42

18

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 0,6] (0,6 - 1,2] (1,2 - 1,8] (1,8 - 2,4] (2,4 - 3]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

MAX. PICO INTERNO (valores deben ser multiplicados por 1x10-11)


80

Figura 7.12. Posición en el eje de la Abscisa del máximo pico interno

Fuente: Autores

7.3.5. Relación Valores (Pico interno/Máximo) de la transformada

El Pico interno/Máximo se define como la relación entre el máximo valor de un pico interno con

respecto al máximo valor registrado de la transformada. En la Figura 7.13 se puede observar que el

66,6% de las señales tienen una relación entre 0,4 y 0,5, al igual que sólo una señal tiene una

relación menor o igual a 0,3.

Figura 7.13. Valor máximo pico interno/ Máximo de la transformada

Fuente: Autores

7.3.6. Número de Picos Laterales

Un Pico lateral es un valor máximo por encima de la referencia cuya ocurrencia se encuentra en la

parte exterior a los picos principales de cada señal. Teniendo esto en cuenta, en la Figura 7.14 se

puede observar que todas las señales al menos tienen dos picos laterales. Sin embargo, se puede

concluir que sólo una señal posee dos picos y solo dos señales presentan seis picos laterales.

2

40

9 9

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 2,125] (2,125 - 4,25] (4,25 - 6,375] (6,375 - 8,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

OCURRENCIA EN [u] (valores deben ser multiplicados por 1x107)

0 1

11

40

8

0

10

20

30

40

50

60

≤ 0.2 (0.2 - 0.3] (0.3 - 0.4] (0.4 -0.5] (0.5 - 0.6]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR DE RELACIÓN


81

Figura 7.14. Número de picos laterales

Fuente: Autores

Finalmente es importante concluir que, de 60 señales extraídas, existe una probabilidad de más del

81% de que la transformación fraccional resultante tenga como mínimo cuatro picos laterales.

Debido a esto, y para efectos de este proyecto de grado, se analizará la información sólo hasta el

cuarto pico lateral. Lo anterior en vista que, si se quiere analizar datos del quinto pico lateral, se

tiene que tener en cuenta de entrada que el 70% del total de muestras (42 señales) no poseen pico

lateral quinto.

7.3.7. Máximo Valor Primer Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 1]

El Max. Pico LATERAL „n‟ se define como el valor de la transformada que alcanza el lóbulo

lateral „n‟. En la Figura 7.15 se puede observar que el 68,3% de las señales se encuentran en el

intervalo entre 1,8x10-11

y 2,7x10-11

. Sin embargo, se evidencia que existen solamente dos señales

con un valor por encima de 2,7x10-11

las cuales pueden ser consideradas como señales con

comportamiento atípico con respecto a las demás del banco de señales.

Figura 7.15. Valor máximo primer pico lateral

Fuente: Autores

0 1

10

31

16

2

0

10

20

30

40

50

60

0 - 1 2 3 4 5 6

NÚ

MER

O D

E SE

ÑA

LES

N° PICOS LATERALES

0

17

41

2

0

10

20

30

40

50

60

0 - 0,9 0,9 - 1,8 1,8 - 2,7 2,7 - 3,6

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

MAX. PICO LAT. 1 (valores deben ser multiplicados por 1x10-11)


82

7.3.8. Posición en el eje de la Abscisa del Primer Pico Lateral [(u) Pico LAT. 1]

El (u) Pico LAT. „n‟ se define como el valor en el eje de la abscisa en donde ocurre el lóbulo lateral

„n‟. En la distribución mostrada en la Figura 7.16 se evidencia que existen cuatro señales con un

valor entre 1,0x108 y 1,1x10

8 mientras que más del 93,3% tienen una ocurrencia en el dominio

fraccional mayor a 1,1 x108.

Figura 7.16. Posición en el eje de la Abscisa del primer pico lateral

Fuente: Autores

7.3.9. Relación Valores (Pico Lat. 1/Máximo) de la transformada

El Pico Lat. „n‟/Máximo se define como la relación entre el valor del lóbulo lateral „n‟ con respecto

al máximo valor registrado de la transformada. En la Figura 7.17, se puede observar que

aproximadamente el 53,3 % de las señales tienen una relación entre 0,3 y 0,4, mientras que un

38,3% tiene una relación entre el 0,4 y 0,5. Así, se puede concluir que existe una probabilidad del

91% que el pico lateral 01 tenga un valor entre 0,3 y 0,5.

Figura 7.17. Valor máximo pico lateral 1/ Máximo de la transformada

Fuente: Autores

0 4

14

42

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 1] (1 - 1,1] (1,1 - 1,2] (1,2 - 1,3]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S


0 4

32

23

1

0

10

20

30

40

50

60

≤ 0.2 (0,2 - 0,3] (0,3 - 0,4] (0,4 - 0,5] (0,5 - 0,6]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR DE RELACIÓN


83

7.3.10. Máximo Valor Segundo Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 2]

En la Figura 7.18 se puede observar que todas las señales presentan un valor igual o mayor a 1,4

x10-11

. Adicionalmente, el 65% de las señales se encuentran en el intervalo entre 2,1x10-11

y 2,8x10-

11.

Figura 7.18. Valor máximo segundo pico lateral

Fuente: Autores

7.3.11. Posición en el eje de la Abscisa del Segundo Pico Lateral [(u) Pico LAT. 2]

En la Figura 7.19 se puede concluir que el pico lateral 2 tiene una ocurrencia del 100% en el

dominio fraccional. Esta información es completamente relevante ya que concluye que una

descarga parcial que tenga un pico lateral 2 siempre va a ocurrir en un mismo valor en el dominio

fraccional.

0 0

16

39

5

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 0,7] (0,7 - 1,4] (1,4 - 2,1] (2,1 - 2,8] (2,8 - 3,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S


60

0

10

20

30

40

50

60

3,05E+08

NÚ

MER

O D

E SE

ÑA

LES

OCURRENCIA EN [u]


84

Figura 7.19. Posición en el eje de la Abscisa del segundo pico lateral

Fuente: Autores


En la Figura 7.20 se puede observar que los valores de las relaciones resultantes están por encima

de 0,3. Adicionalmente, el 51,6% de las señales presentan una relación entre 0,4 y 0,5. El valor

máximo que se puede presentar es de 0,67.


Fuente: Autores

7.3.13. Máximo Valor Tercer Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 3]

En la Figura 7.21 se puede observar que todas las señales presentan un valor igual o mayor a

0,5x10-11

. Adicionalmente, el 45% de las señales se encuentran en el intervalo entre 1,5x10-11

y

2,0x10-11

mientras que el 3.33% de las señales tiene un valor menor a 1,0x10-11

0

14

31

12

3

0

10

20

30

40

50

60

≤ 0,3 (0,3 - 0,4] (0,4 - 0,5] (0,5 - 0,6] (0,6 - 0,7]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR DE RELACIÓN


85

Figura 7.21. Valor máximo tercer pico lateral

Fuente: Autores

7.3.14. Posición en el eje de la Abscisa del Tercer Pico Lateral [(u) Pico LAT. 3]

Por el lado del eje de la abscisa del pico lateral 3, la distribución presentada en la Figura 7.22

revela que todas las señales tienen un valor igual o mayor a 2,8x108. No es de extrañar que exista

una señal atípica ya que hay que recordar que hay una señal que no posee este pico lateral, por lo

que el valor correspondiente es cero.

Figura 7.22. Posición en el eje de la Abscisa del tercer pico lateral

Fuente: Autores


La Figura 7.23 permite observar que existe una probabilidad del 40% que la relación entre el pico

lateral 3 y el máximo esté entre 0,2 y 0,3, mientras que existe una probabilidad del 43,3% que de 60

señales adquiridas, exista una relación entre el pico lateral 3 y el máximo entre 0,3 y 0,4. Así, se

puede concluir que existe una probabilidad aproximadamente de 83,3% que la relación resultante

esté entre el 0,2 y 0,4.

0 2

17

27

13

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 0,5] (0,5 - 1] (1 - 1,5] (1,5 - 2] (2 - 2,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S


1 0 0 0

59

0

10

20

30

40

50

60

0 - 0,7 0,7 - 1,4 1,4 - 2,1 2,1 - 2,8 2,8 - 3,5

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S



86


Fuente: Autores

7.3.16. Máximo Valor Cuarto Pico Lateral [Max. Pico LATERAL 4]

La distribución presentada en la Figura 7.24 permite observar que existe una agrupación de datos

dispersa, en la cual el valor máximo del pico lateral 4 tiene una probabilidad del 45% de estar entre

1,0x10-11

y 1,5x10-11

.

Figura 7.24. Valor máximo cuarto pico lateral

Fuente: Autores

7.3.17. Posición en el eje de la Abscisa del Cuarto Pico Lateral [(u) Pico LAT. 4]

En la distribución mostrada en la Figura 7.25 se evidencia que el 18,3% de las señales se encuentra

en un intervalo entre 0 y 1,75x108 mientras que más del 80% tienen una ocurrencia en el dominio

fraccional entre 1,75x108 y 3,5x10

8

1

24 26

9

0

10

20

30

40

50

60

0 0.2 - 0.3 0.3 - 0.4 0.4 - 0.5

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR DE RELACIÓN

11

2

27

19

1

0

10

20

30

40

50

60

[0 - 0,5] (0,5 - 1] (1 - 1,5] (1,5 - 2] (2 - 2,5]

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S



87

Figura 7.25. Posición en el eje de la Abscisa del cuarto pico lateral

Fuente: Autores


Sin contar con las 11 señales que no poseen cuarto pico lateral, en la Figura 7.26 evidencia que el

58,3% de las señales que sí tienen pico lateral 4 tienen una relación entre 0,2 y 0,3. Vale resaltar

que la máxima relación extraída es de 0,4497.


Fuente: Autores

En la Tabla 7.2, se presenta un resumen de los valores para cada parámetro en el dominio del

fraccional.

11

48

0 0 1

0

10

20

30

40

50

60

0 - 1,75 1,75 - 3,5 3,5 - 5,25 5,25 - 7 7 - 8,75

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S


11

35

10

4

0

10

20

30

40

50

60

0 0,2 - 0,3 0,3 - 0,4 0,4 - 0,5

NÚ

ME

RO

DE

SE

ÑA

LE

S

VALOR DE RELACIÓN


88

Tabla 7.2. Resumen Parámetros en el dominio fraccional

Valor

mínimo

Valor

máximo

Valor

promedio

Rango de datos con mayor

frecuencia

Max. DFRFT 4,04 x10-11

7,27 x10-11

5,26 x10-11

4,5 x10-11

< f ≤ 6,0 x10-11

Sep. Picos Principales 1,83 x108 1,88 x10

8 1,84 x10

8 1,83 x10

8 o 1,88 x10

8

Max. Pico Interno 1,92 x10-11

2,69 x10-11

2,30 x10-11

1,8 x10-11

< f ≤ 2,4 x10-11

Posición 'u' Pico interno 1,71 x107 8,27 x10

7 4,08 x10

7 2,125 x10

7 < f ≤ 4,25 x10

7

Rel. P.interno/Max DFRFT 0,29 0,56 0,44 0,4 < f ≤ 0,5

N° Picos Laterales 2 6 4 4

Max. Pico Lateral 01 1,41 x10-11

3,51 x10-11

2,02 x10-11

1,8 x10-11

< f ≤ 2,7 x10-11

Posición 'u' Pico Lateral 01 1,03 x108 1,28 x10

8 1,22 x10

8 1,2 x10

8 < f ≤ 1,3 x10

8

Rel. P.Lat. 01/Max DFRFT 0,26 0,51 0,38 0,30 < f ≤ 0,40


3,19 x10-11

2,37851

x10-11

2,1 x10

-11 < f ≤ 2,8 x10

-11


8 3,05 x10

8

3,05 x10

8



2,48x10-11

1,68 x10-11

1,5 x10-11

< f ≤ 2,0 x10-11


8 3,33 x10

8 2,8 x10

8 < f ≤ 3,5 x10

8



2,45 x10-11

1,43 x10-11

1,0 x10-11

< f ≤ 1,5 x10-11


8 3,53 x10

8 1,75 x10

8 < f ≤ 3,5 x10

8


Fuente: Autores


89

Capítulo 8 – CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

90

8. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

En el presente trabajo de grado se logró analizar y caracterizar el fenómeno de descargas

parciales, desarrollando algoritmos basados en la versión discreta de la transformación

fraccional de Fourier (DFRFT), que permitieron la extracción de parámetros de las señales

adquiridas experimentalmente para su posterior análisis y caracterización. De esta manera,

se consiguió dar cumplimiento al objetivo general y a su vez dar respuesta a la pregunta

problema planteada en este trabajo de grado.

Se presentaron tres (3) algoritmos de la versión discreta de la transformación fraccional de

Fourier (DFRFT), donde se observa que para señales de descargas parciales con unas

especificaciones de tiempo de muestreo, se puede aplicar un algoritmo reducido de precarga

de matrices que facilita y reduce los tiempos de cómputo.

Una de las principales dificultades de este trabajo de grado se presentó en la etapa de

instrumentación del trabajo experimental, ya que en un principio se desarrolló como trabajo

alterno la elaboración de una Bobina Rogowski que permitiera la adquisición de las DP‟s.

Sin embargo, debido al tiempo que requería, a la vez de las limitaciones que se tenían tanto

en presupuesto como en equipos de calibración, se optó por encontrar un equipo de medida

externamente a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

La transformación fraccional de Fourier (FRFT) es una herramienta matemática novedosa y

con gran potencial, que ha sido poco explorada en Colombia para el estudio de

perturbaciones electromagnéticas. Con el desarrollo de este trabajo de grado se logró

comprobar que presenta buenos resultados para el análisis y caracterización de descargas

parciales (DP) en transformadores de distribución. Por lo que, sería interesante continuar la

exploración en otros campos de la ingeniería eléctrica, en los cuales se pueden aprovechar

las propiedades de la FRFT, permitiendo la expansión y el fortalecimiento de las líneas de

investigación desarrolladas en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Para evitar el fenómeno de solapamiento al pasar las señales por el algoritmo desarrollado,

es importante tener un tiempo de muestreo adecuado de acuerdo al mínimo orden fraccional

en el que se desea analizar la señal. Sin embargo, y si no se requiere un análisis a órdenes

fraccionales tan bajos, las señales pueden ser adquiridas con un tiempo de muestreo mayor

y obtener resultados aceptables.

Matlab(R) fue una herramienta práctica e intuitiva para desarrollar el aplicativo

computacional, con el cual se extrajeron los parámetros de las señales de una manera más

eficiente. Sin embargo, aunque el aplicativo fue desarrollado principalmente para el análisis

y caracterización de las DP's, éste puede analizar otro tipo de perturbaciones

electromagnéticas existentes en la rama de la ingeniería eléctrica.

Para detectar y caracterizar las señales de descargas parciales (DP) se recurrió al método

eléctrico, el cual arroja resultados 'apropiados' de acuerdo al montaje realizado. Sin

embargo, al ser un método que requiere la desconexión total del equipo bajo prueba, sería


91

interesante realizar las pruebas por medio de otro método de detección, con el cual se puede

complementar y/o comparar resultados obtenidos en este proyecto de grado.

En la etapa de generación de DP‟s del montaje experimental se utilizó una configuración

placa-placa con la cual se consiguieron buenos resultados. Sin embargo, como trabajo

futuro se podría utilizar otro tipo de configuración de electrodos para determinar las

diferencias que se pueden presentar en las señales adquiridas.

En la etapa de adquisición de señales del montaje experimental se utilizó un transformador

de corriente (CT), como equipo de instrumentación para capturar las señales de descargas

parciales (DP). Por lo que, resultaría interesante diseñar y construir un sistema de

instrumentación propio para la medición de descargas parciales, con el fin de complementar

el montaje experimental diseñado y construido en el presente trabajo de grado y de esta

forma, disponer en el laboratorio de alta tensión de la universidad de un montaje propio

para la adquisición de este tipo de perturbaciones electromagnéticas.

El análisis del banco de señales de descargas parciales (DP) se realizó con un orden

fraccional de 0.3. Por lo que, es posible analizar y caracterizar todo el banco de señales con

un orden fraccional diferente y obtener resultados similares.

En el presente trabajo se realizó un análisis estadístico para identificar el comportamiento

de los parámetros de las descargas parciales. Para ello se estudió la distribución individual

de cada parámetro con respecto al número de señales. Sin embargo, es posible realizar otro

tipo de análisis estadístico en el que se relacionen uno o más parámetros con el fin

identificar otro tipo de patrones en las señales bajo análisis.


92

REFERENCIAS

93

REFERENCIAS

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REFERENCIAS

98

ANEXOS

99

ANEXO A: PROTOTIPO DEL TANQUE (CUBA) DEL TRANSFORMADOR DE

DISTRIBUCIÓN PARA LAS PRUEBAS EXPERIMENTALES

De acuerdo a los montajes experimentales investigados y presentados en la sección 4.1 del presente

documento, el recipiente que simula el tanque de un transformador real tiene que ser de hierro. Sin

embargo, todos los modelos de tanques presentados eran a escala, y sus dimensiones no se

ajustaban a las de un transformador real. Por ello, en la Figura A. se presentan los datos de un

transformador monofásico MAGNETRON con sus respectivas dimensiones de acuerdo a la

potencia de diseño.

Figura A.1. Transformador monofásico

Fuente: Tomado de catálogo Transformadores Magnetron

Con estas dimensiones se diseñó un tanque de transformador como se muestra en la Figura A.2. Sin

embargo, la altura se redujo a la mitad pensando en la premisa que el volumen del tanque debe ser

llenado con aceite dieléctrico.

Vista General

Vista Superior

Vista Frontal

ANEXOS

100

Figura A.2 .Diseño de un tanque de transformador

Fuente: Autores

De manera básica, el tanque se diseñó con: Aberturas tanto en la parte superior como en la inferior

con las dimensiones que permitieron la colocación de 2 bujes que van a ser utilizados para soportar

los electrodos; una ventana, la cual permitirá ver en el interior de la cuba la configuración de

electrodos; y una abertura que permita el vaciado del tanque cuando se requiera.

Después de su diseño, se pasó a la etapa de construcción, la cual fue realizada con ayuda de la

empresa de transformadores AWA INGENIERÍA Ldta, la cual también ayudó en la obtención del

aceite dieléctrico necesario para realizar las pruebas. En la Figura A.3 se presenta de manera

general el proceso de construcción del tanque.

ARMAZÓN

METÁLICO

PINTURA

COLOCACIÓN

DEL ACRÍLICO

PARA LA VENTANA

ANEXOS

101

COLOCACIÓN DEL BUJE

SUPERIOR

COLOCACIÓN

DEL BUJE

INFERIOR

RESULTADO

FINAL

Figura A.3.Construcción del tanque de transformador

Fuente: Autores

Para comprobar que no hubiera fugas se dejó el tanque durante dos semanas lleno de aceite

dieléctrico. En la Figura A.4 se puede observar el proceso de llenado del tanque.

ANEXOS

102

Figura A.4. Llenado del tanque con Aceite Dieléctrico

Fuente: Autores

Finalmente, el tanque fue transportado al LAT junto con los 40 galones necesarios para llenarlo.

ANEXOS

103

ANEXO B: FICHA TÉCNICA CT CURRENT TRANSFORMER E 0.5B

ANEXOS

104

ANEXOS

105

ANEXO C: FICHA TÉCNICA OSCILOSCOPIO TEKTRONIX DPO7054C

DPO7054C

Input Channels 4

Bandwidth 500 MHz

Rise Time 10% to 90% (Typical) 460 ps

Rise Time 20% to 80% (Typical) 310 ps

DC Gain Accuracy ± 1% with offset/position set to 0

Effective Number of Bits (Typical, sine wave input at instrument

bandwidth, 50 mV/div, 50 Ω Input Impedance, maximum sample

rate, 20k point record length)

6.8 bits

Random Noise (RMS, typical, sample mode, full BW, maximum sample rate, 50 Ω)

Step Gain 1 V 19.4 mV

500 mV 10.5 mV

200 mV 4.72 mV

100 mV 2.64 mV

50 mV 1.07 mV

20 mV 0.487 mV

10 mV 0.273 mV

5 mV 0.173 mV

2 mV 0.112 mV

1 mV 0.087 mV

Maximum Sample Rate (1 ch) 20 GS/s

Maximum Sample Rate (2 ch) 10 GS/s

Maximum Sample Rate (3-4 ch) 5 GS/s

Maximum Equivalent Time Sampling

Rate

4 TS/s

Maximum Record Length with

Standard Configuration

125 M (1 ch), 50 M (2 ch), 25 M

(3-4 ch)

Maximum Record Length with Option

5RL

250 M (1 ch), 125 M (2 ch), 50 M

(3-4 ch)

Maximum Duration at Highest Realtime

Sample Rate (1 ch)

1-2 ms with standard record

length, up to 10 ms with optional

record length

Time Base Range 1.25 ps/div to 8 Ms/div

Time Resolution (in ET/IT mode) 500 fs

ANEXOS

106

Vertical system – Analog channels

Input impedance 1 MΩ ±1% with 13 pF ±2 pF, 50 Ω ±1%

Input coupling AC, DC, GND

Input sensitivity

1 MΩ: 1 mV/div to 10 V/div

50 Ω: 1 mV/div to 1 V/div

Vertical resolution 8 bit (>11 bit with Hi Res)

Delay between any two channels, typical ≤100 ps (50 Ω, DC coupling and equal V/div at or above 10 mV/div)

Channel-to-Channel isolation (Any two channels at equal Vertical Scale settings) (Typical)

≥100:1 at ≤100 MHz

≥30:1 between 100 MHz and 2.5 GHz

≥20:1 between 2.5 GHz and 3.5 GHz

Max input voltage 1 MΩ ±150 V, derate at 20 dB/decade to 9 VRMS above 200 kHz

Max input voltage 50 Ω 5 VRMS, with peaks ≤ ±24 V

Offset range 1 mV/div to 50 mV/div: ±1 V

50.5 mV/div to 99.5 mV/div: ±(1.5 V – 10 divisions)

100 mV/div to 500 mV/div: ±10 V

505 mV/div to 995 mV/div: ±(15 V – 10 divisions)

1 V/div to 5 V/div: ±100 V

5.05 V/div to 10 V/div: ±(150 V – 10 divisions)

Offset accuracy 1 mV/div to 9.95 mV/div: ±0.2% × (offset – position) ±0.1 div ±1.5

mV

10 mV/div to 99.5 mV/div: ±0.35% × (offset – position) ±0.1 div

±1.5 mV

100 mV/div to 1 V/div: ±0.35% × (offset – position) ±0.1 div ±15

mV

1.01 V/div to 10 V/div: ±0.25% × (offset – position) ±0.1 div ±150

mV

Position range ±5 divisions

Horizontal system

Time base delay time range -10 divisions to 1000 s

Channel-to-channel deskew range ±75 ns

Delta time measurement accuracy ((0.06 / sample rate) + (2.5 ppm × Reading)) RMS

Trigger jitter (RMS) 1.5 psRMS with enhanced triggering OFF

<100 fsRMS with enhanced triggering ON

Timebase stability (aperture

uncertainty), typical <1 psRMS (<2 psPeak) for record duration <10 μs (typical)

<2.5 psRMS for record duration <30 ms

ANEXOS

107

<65 parts/trillion for record durations <10 s

Time base accuracy ±2.5 ppm + aging <1 ppm per year

Acquisition system

Acquisition modes

Sample Acquires and displays sampled values

Peak detect Captures and displays narrow glitches at all real-time sampling rates.

Glitch widths: 1 ns at ≤10 GS/s

Averaging From 2 to 10,000 waveforms can be included in an average

waveform

Envelope From 1 to 2×109 waveforms included in min-max envelope

Hi-Res Real-time boxcar averaging reduces random noise and increases

resolution

Roll mode Scrolls sequential waveform points across the display in a right-to-

left rolling motion at sweep speeds slower than 50 ms/div.

Works at sample rates up to 10 MS/s with a maximum record length

of 40 MS

FastAcq® FastAcq® optimizes the instrument for analysis of dynamic signals

and capture of infrequent events, capturing >250,000 wfms/s on

all 4 channels simultaneously

Waveform database Accumulates waveform data providing a three-dimensional array of

amplitude, time, and counts

FastFrame™ Acquisition memory divided into segments; maximum trigger rate

>310,000 waveforms per second. Time of arrival recorded with

each event. Frame finder tool helps to visually identify transients

Pinpoint® trigger system

Trigger sensitivity

Internal DC coupled 0.7 div from DC to 50 MHz, increasing to 1.2 div at rated analog

bandwidth (typical), up to 2.5 GHz. 2.5 div at 3.5 GHz

Aux input (external trigger)

1 MΩ

250 mV from DC to 50 MHz, increasing to 350 mV at 250 MHz

(typical)

Trigger delay by time 3.2 ns to 3,000,000 s

Trigger delay by events 1 to 2,000,000,000 events

Main trigger modes Auto, Normal, and Single

Enhanced triggering Enhanced triggering corrects the difference in timing between the

trigger path and the acquired data path (supports all Pinpoint

trigger types on both A- and B-Events except pattern trigger);

Default On (user-selectable); Not available in FastAcq mode.

Trigger sequences Main, Delayed by Time, Delayed by Events, Reset by Time, Reset

by State, Reset by Transition, B Event Scan. All sequences can

include separate horizontal delay after the trigger event to position

the acquisition window in time.

ANEXOS

108

Communications-related triggers Support for AMI, HDB3, BnZS, CMI, MLT3, and NRZ encoded

communications signals. Select among isolated positive or negative

one, zero pulse form, or eye patterns as applicable to the standard.

Requires Option MTM

Video trigger formats and field

rates

Triggers from negative sync composite video, field 1 or field 2 for

interlaced systems, any field, specific line, or any line for

interlaced or noninterlaced systems. Supported systems include

NTSC, PAL, SECAM, and HDTV 1080/24sF, 1080p/25, 1080i/50,

1080i/60, 1080p/24, 720p/60, 480p/60

Serial pattern trigger

NRZ-Encoded Data DPO7254C and DPO7354C only, requires Opt. ST1G. Up to 64 bit

serial word recognizer, bits specified in binary (high, low, don't

care) or hex format. Trigger on NRZ-encoded data up to 1.25

GBaud.

Clock recovery system (DPO7254C and DPO7354C only, requires Opt. ST1G or MTM)

Clock recovery phase locked

loop bandwidth Fixed at FBaud/500

Clock recovery frequency

range 1.5 MBaud to 1.25 Gbaud

Clock recovery jitter (RMS) 20 psRMS + 1.25% Unit Interval RMS for PRBS data patterns

20 psRMS + 1.25% Unit Interval RMS for repeating "0011” data

pattern

Clock recovery tracking/

acquisition range ±5% of requested baud rate (typical)

Minimum signal amplitude

needed for clock recovery 1 divp-p up to 1.25 Gbaud

Trigger level range

Any channel ±12 divisions from center of screen

Auxiliary input TekVPI interface; ±5 V (50 Ω); 150 V, derate at 20 dB/decade to 9

VRMS above 200 kHz (1 MΩ)

Line Fixed at 0 V

Trigger coupling DC

HF Rej (attenuates >30 kHz)

LF Rej (attenuates <80 kHz)

Noise Reject (reduces sensitivity)

Trigger holdoff range 250 ns min to 100 s

Trigger types A Event and Delayed B Event trigger types: edge, glitch, width,

runt, timeout, transition time, logic pattern, logic state, setup/hold,

window - all except Edge, Pattern, and State can be Logic State

qualified by up to two channels.

Edge Positive, negative, or either slope on any channel or front-panel

auxiliary input. Coupling includes DC, AC, noise reject, HF reject,

and LF reject.

Glitch Trigger on or reject glitches of positive, negative, or either polarity.

Minimum glitch width is 170 ps (typical) with rearm time of

250 ps (for DPO7254C or DPO7354C).

Width Trigger on width of positive or negative pulse either within or

outside selectable limits (225 ps to 10 s).

ANEXOS

109

Runt Trigger on a pulse that crosses one threshold but fails to cross a

second threshold before crossing the first again. Event can be

time- or logic-qualified.

Window Trigger on an event that enters or exits a window defined by two

user-adjustable thresholds. Event can be time or logic qualified.

Timeout Trigger on an event which remains high, low, or either, for a

specified time period (300 ps to 1 s).

Transition Trigger on pulse edge rates that are faster or slower than specified.

Slope may be positive, negative, or either.

Setup/Hold Trigger on violations of both setup time and hold time between

clock and data present on any two input channels.

Logic Pattern Trigger when pattern goes false or stays true for specified period of

time (300 ps to 1 s). Pattern (AND, OR, NAND, NOR) specified

for all analog input channels defined as high, low, or don‟t care.

Logic State Any logical pattern of channels (1, 2, 3) clocked by edge on channel

4. Trigger on rising or falling clock edge.

Parallel Bus Trigger on specified data value on defined parallel bus.

Video Trigger on all lines, specific line number, odd, even, or all fields on

NTSC, PAL, SECAM, and HDTV 480p/60, 576p/50, 875i/60,

720p/30, 720p/50, 720p/60, 1080/24sF, 1080i/50, 1080p/25,

1080i/60, 1080p/24, 1080p/25, 1080p/50, 1080p/60, Bi-level,

Trilevel.

Visual Trigger Trigger on up to 8 user-specified areas, including rectangle, triangle,

trapezoid, hexagon, and user-specified shapes on any of the

analog channels.

Optional trigger types

Serial Pattern Captures serial data stream with built-in clock recovery for NRZ

standards up to 1.25 Gb/s. Extended with pattern lock triggering to

capture repeated acquisitions of long serial data patterns. Provided

as part of Opt. ST1G.

Comm Support for AMI, HDB3, BnZS, CMI, MLT3, and NRZ encoded

signals. Provided as part of Option MTM.

I2C Trigger on Start, Repeated Start, Stop, Missing ACK, Address (7 or

10 bit), Data (1-5 bytes), or Address and Data on I2C buses up

to 10 Mb/s. Provided as part of Opt. SR-EMBD.

SPI Trigger on Slave Select, Idle Time, or Data (1-6 words) on SPI

buses up to 10 Mb/s. Provided as part of Opt. SR-EMBD.

CAN Trigger on Start of Frame, Frame Type (Data, Remote, Error, or

Overload), Identifier, Data, Identifier and Data, End of Frame,

Missing Ack, Bit Stuff Error or CRC Error on CAN buses up to 1

Mb/s. Provided as part of Opt. SR-AUTO.

LIN Trigger on Sync, Identifier, Data, Ident and Data, Wakeup Frame,

Sleep Frame, and Error on LIN buses up to 1 Mb/s. Provided as

part of Opt. SR-AUTO.

FlexRay Trigger on Indicator Bits (Normal, Payload, Null, Sync, Startup),

Cycle Count, Header Fields (Indicator Bits, Identifier, Payload

Length, Header CRC, and Cycle Count), Identifier, Data, Identifier

and Data, End Of Frame, and Error on FlexRay buses up to

10 Mb/s. Provided as part of Opt. SR-AUTO.

ANEXOS

110

MIL-STD-1553B Trigger on Sync, Command Word, Status Word, Data Word, Idle

Time, and Error on MIL-STD-1553 buses up to 1 Mb/s. Provided

as part of Opt. SR-AERO.

RS-232/422/485/UART Trigger on Start Bit, End of Packet, Data (1-5 words), and Parity

Error on RS-232 buses up to 10 Mb/s. Provided as part of Opt.

SR-COMP.

USB 2.0 Low speed Trigger on Sync, Reset, Suspend, Resume, End of Packet, Token

(Address) Packet, Data Packet, Handshake Packet, Special

Packet, Error. Provided as part of Opt. SR-USB.

Token Packet Trigger – Any token type, SOF, OUT, IN, SETUP;

Address can be specified for Any, OUT, IN, and SETUP token

types. Address can be further specified to trigger on ≤, <, =, >, ≥, !=

a particular value, or inside or outside a range. Frame number

can be specified for SOF token using Binary, Hex, Unsigned

Decimal, and Don't Care digits.

Data Packet Trigger – Any data type, DATA0, DATA1; Data can be

further specified to trigger on ≤, <, =, >, ≥, != a particular data

value, or inside or outside of a range.

Handshake Packet Trigger – Any handshake type, ACK, NAK,

STALL.

Special Packet Trigger – Any special type, Reserved.

Error Trigger – PID Check, CRC5 or CRC16, Bit Stuffing.

USB 2.0 Full speed Trigger on Sync, Reset, Suspend, Resume, End of Packet, Token

(Address) Packet, Data Packet, Handshake Packet, Special

Packet, Error. Provided as part of Opt. SR-USB.

Token Packet Trigger – Any token type, SOF, OUT, IN, SETUP;

Address can be specified for Any, OUT, IN, and SETUP token

types. Address can be further specified to trigger on ≤, <, =, >, ≥, !=

a particular value, or inside or outside a range. Frame number

can be specified for SOF token using Binary, Hex, Unsigned

Decimal, and Don't Care digits.

Data Packet Trigger – Any data type, DATA0, DATA1; Data can be

further specified to trigger on ≤, <, =, >, ≥, != a particular data

value, or inside or outside a range.

Handshake Packet Trigger – Any handshake type, ACK, NAK,

STALL.

Special Packet Trigger – Any special type, PRE, Reserved.

Error Trigger – PID Check, CRC5 or CRC16, Bit Stuffing.

USB 2.0 High speed No protocol-level triggering. Provided as part of Opt. SR-USB.

USB 2.0 High speed decoding and search only available on ≥1 GHz

models.

Waveform analysis

ANEXOS

111

Search and Mark Events Use Advanced Search and Mark to automatically mark events and

document waveforms. Search positive/negative slopes or both,

glitches, runts, pulse widths, transition rate, setup and hold, timeout,

windows, or find any logic or state pattern, up to 8 different event

types on any of the 4 analog channels. Search DDR Read or Write

bursts with Opt. DDRA.

When an event of interest is found with a hardware trigger, other

similar events can be found using "Mark All Trigger Events in

Record" in the Pinpoint trigger control windows.

The Event table summarizes all found events. All events are time

stamped in reference to trigger position. You can choose to stop

acquisitions when an event is found.

Waveform measurements

Cursors Waveform and Screen

Automatic measurements 53, of which 8 can be displayed on-screen at any one time

Measurement Statistics Mean, Minimum, Maximum, Standard Deviation

Reference Levels User-definable reference levels for automatic measurements can be

specified in either percent or units

Gating Isolate the specific occurrence within an acquisition to take

measurements on, using either screen or waveform cursors

Amplitude related Amplitude, High, Low, Maximum, Minimum, Peak-to-Peak, Mean,

Cycle Mean, RMS, Cycle RMS, Positive Overshoot, Negative

Overshoot

Time related Rise Time, Fall Time, Positive Width, Negative Width, Positive

Duty Cycle, Negative Duty Cycle, Period, Frequency, Delay

Combination Area, Cycle Area, Phase, Burst Width

Histogram related Waveform Count, Hits in Box, Peak Hits, Median, Maximum,

Minimum, Peak-to-Peak, Mean (μ), Standard Deviation (sigma), μ

+1sigma, μ+2sigma, μ+3sigma

Eye-pattern related Extinction Ratio (absolute, %, dB), Eye Height, Eye Width, Eye

Top, Eye Base, Crossing %, Jitter (p-p, RMS, 6sigma), Noise (p-p,

RMS), Signal/Noise Ratio, Cycle Distortion, Q-Factor

Waveform Histograms A waveform histogram provides an array of data values representing

the total number of hits inside a user-defined region of the

display. A waveform histogram is both a visual graph of the hit

distribution and a numeric array of values that can be measured.

Sources – Channel 1, Channel 2, Channel 3, Channel 4, Ref 1, Ref 2,

Ref 3, Ref 4, Math 1, Math 2, Math 3, Math 4

Types – Vertical, Horizontal

Waveform processing/math

Number of Math Waveforms Up to 4

Arithmetic Add, Subtract, Multiply, Divide Waveforms and Scalars

Algebraic expressions Define extensive algebraic expressions including waveforms,

scalars, user-adjustable variables, and results of parametric

measurements. Perform math on math using complex equations. e.g.

(Integral (CH1 – Mean(CH1)) × 1.414 × VAR1)

ANEXOS

112

Math functions Average, Invert, Integrate, Differentiate, Square Root, Exponential,

Log 10, Log e, Abs, Ceiling, Floor, Min, Max, Sin, Cos, Tan,

ASin, ACos, ATan, Sinh, Cosh, Tanh

Relational Boolean result of comparison >, <, ≥, ≤, ==, !=

Frequency domain functions Spectral Magnitude and Phase, Real and Imaginary Spectra

FFT vertical units Magnitude: Linear, dB, dBm Phase: Degrees, radians, group delay

FFT window functions Rectangular, Hamming, Hanning, Kaiser-Bessel, Blackman-Harris,

Gaussian, Flattop2, Tek Exponential

Waveform definition As an arbitrary math expression

Filtering function User-definable filters. Users specify a file containing the coefficients

of the filter. Several example filter files are provided

Customized Functions using

Math Plug-in Interface An interface is provided to allow users to create their own custom

math functions in MATLAB or Visual Studio

Mask function Generates a Waveform Database pixel map from a sample

waveform. Sample count can be defined

Software

IVI Driver Provides a standard instrument programming interface for common

applications such as LabVIEW, LabWindows/CVI,

Microsoft .NET and MATLAB. IVI-COM standard

LXI Class C Web Interface Connect to the DPO7000C Series through a standard web browser

by simply entering the oscilloscope‟s IP address in the address bar of

the browser. The web interface enables viewing of instrument status

and configuration, and status and modification of

network settings. All web interaction conforms to LXI Class C

specification

Display system

Display type 307.3 mm (12.1 in.) liquid-crystal active-matrix color display

Display resolution 1024 horizontal × 768 vertical pixels (XGA)

Waveform styles Vectors, Dots, Variable Persistence, Infinite Persistence

Color palettes Normal, Green, Gray, Temperature, Spectral, and User-defined

Format YT, XY

Horizontal divisions 10

Vertical divisions 10

Computer system and peripherals

Operating system Windows 7 Ultimate 64-bit

Instrument operation verified with version 1.1 of the National

Institute of Standards and Technology (NIST) DSS Baseline

Requirements, also known as the United States Government

Configuration Baseline (USGCB)

ANEXOS

113

CPU Intel i7-2600 processor, quad core, 3.4 GHz

System memory ≥8 GB

Hard disk drive Removable hard disk drive, ≥500 GB capacity (3.5 in. SATA)

CD/DVD drive Front-panel CD-R/W, DVD-R drive

Mouse Optical wheel mouse, USB interface

Keyboard Order 119-7083-xx for small keyboard; USB interface and hub

Input/Output ports

USB 2.0 High-speed Host Ports Supports USB mass storage devices, printers, keyboard, and mouse. Ports

on front and side panels of the instrument. Can be

disabled

USB 3.0 SuperSpeed Host Ports Supports USB mass storage devices, printers, keyboard, and mouse. Ports

on side panel of the instrument. Can be disabled

GPIB interface Rear panel. IEEE 488.2 standard

LAN port RJ-45 connector, supports 10BASE-T, 100BASE-T, and 1000BASE-T

Video out port DVI-I and VGA connectors, connect to show the oscilloscope display on an

external monitor or projector. Support for extended

desktop and clone mode

Audio input/output Miniature phone jacks for stereo microphone input and stereo line output

Keyboard port PS/2 compatible

Mouse port PS/2 compatible

Auxiliary input Front panel. See trigger specifications

Auxiliary Out (Software switchable) Trigger Out: A TTL compatible pulse when the oscilloscope triggers

Time Base Reference Out: A TTL compatible output of internal 10 MHz

reference oscillator

External time base reference in Time base system can phase lock to an external 10 MHz reference (10 MHz

±1%)

Analog Signal Output BNC connector provides a buffered version of the Ch3 signal. 50 mV/div

±20% into a 1 MΩ load, 25 mV/div ±20% into a 50 Ω

load. Bandwidth is 100 MHz into a 50 Ω load

Probe compensator output Front-panel pins

Amplitude: 1 V ±20% into a ≥50 Ω load

Frequency: 1 kHz ±5%

Recovered Clock (DPO7254C and

DPO7354C only) (Enabled by Opt. MTM.) BNC connector, ≤1.25 Gb/s, output swing ≥130

mVp-p into 50 Ω

Recovered Data (DPO7254C and DPO7354C

only) (Enabled by Opt. MTM.) BNC connector, ≤1.25 Gb/s, output swing 200 mV

into 50 Ω

LXI web interface (LAN eXtensions for

instrumentation) Class: LXI Class C Version: 1.3

aplicaciÓn de la transformaciÓn fraccional de …

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