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7/23/2019 TRADUCCION A.1 A.2 (LIBRO ANLISIS SISMICO).pdf

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Apndice / evaluacin numrica de

espectro de respuesta

A.1 sistemas elsticos lineales

Como se explica en el captulo 1, el espectro de respuesta elstica se obtiene integrando la siguienteecuacin de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad

en el que se definen todas las variables en el captulo 1, a excepcin de la aceleracin del suelo la

historia, que ahora se denota por a (t). Un nmero de mtodos eficientes estn disponibles para la

integracin de la ecuacin A.1. Una tcnica exacta fue desarrollada por W.D. Iwan en un estudio no

publicado en el Instituto de Tecnologa de California y fue informado ms tarde por Nigam y Jennings

[2]. En este mtodo, la ecuacin se resuelve Al analticamente dentro de cada paso de tiempo

sucesivos asumir la aceleracin del suelo vara linealmente entre puntos designados.

Donde la aceleracin suelo, a (t), ha sido reemplazado por su lineal a tramos aproximacin. Las

soluciones para el desplazamiento relativo, u, y la velocidad, u, son

y

En estas expresiones es la frecuencia natural amortiguada circular, = , y yson constantes. Estas constantes se evalan mediante la definicin

Por lo tanto, C, y C2 son:


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El desplazamiento relativo y la velocidad al final del tiempo de paso, + y +, puede serdeterminada mediante la sustitucin de la ecuacin A.5 como en la ecuacin A.3 y el ajuste

t=+ Frmulas La recursividad resultante para+y + puede expresarse convenientementeen forma matricial como:

Donde

Los elementos de las matrices A y B son funciones de , y , y se les da por Nigam y Jennings [2].Despus de la simplificacin de elementos

y

, los coeficientes de la Ay Bson

Y

Si se digitaliza el registro a intervalos de tiempo iguales, los coeficientes de A y B son constante para

una frecuencia dada. Por lo tanto, dadas las condiciones iniciales para el solo-grado- de libertad del

sistema, por lo general (0) = (0) = 0, clculos de respuesta se efecten rpidamente mediantela aplicacin de las relaciones de recursin definida por la ecuacin A.6. Seguimiento de la

cantidades de respuesta como la computacin avanza permite la determinacin de la


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desplazamiento relativo mximo, i.e. es decir el desplazamiento espectral. Los clculos son

repetidos para una familia de frecuencias para cada valor de atenuacin seleccionado. De ese modo

un todo conjunto de espectros de respuesta elstica se desarrolla para el registro terremoto dado.

El procedimiento descrito anteriormente puede, por supuesto, ser aplicado a acelerogramas

digitalizado a intervalos de tiempo desiguales. Sin embargo, la evaluacin de las matrices A y B en

cada paso de la integracin, es decir, para cada , aumenta el tiempo de clculoconsiderablemente. La experiencia ha demostrado que este aumento en el tiempo de clculo puedeser 100% o ms. Para mantener la eficiencia computacional para registros digitalizados en el

momento desigual intervalos, Nigam y Jennings [2] recomiendan un mtodo aproximado que

implica coordenada temporal redondeo. Sin embargo, con el desarrollo de procesamiento uniforme

y procedimientos de correccin, los registros se digitalizaron rutinariamente en los pasos de tiempo

iguales de 0.0 1 o 0,02 seg. Por lo tanto, no es necesario, en la medida en la discusin que aqu se

refiere, a considerar el tratamiento de los registros digitalizados a intervalos de tiempo desiguales.

El paso de tiempo utilizado en los clculos de respuesta se selecciona como el menor de los

intervalos digitalizado de la acelerograma terremoto o alguna fraccin del perodo de vibraciones,

por ejemplo T/10. Para los sistemas cuya perodo natural regula la seleccin de , es decir, paralas frecuencias altas, debe ser elegido de manera que una integral nmero de pasos de tiempocomprende el intervalo digitalizada de la acelerograma. Esta restriccin a conserva intervalos detiempo uniformes y garantiza que la respuesta cantidades se computarn a tiempos

correspondientes a los del terremoto dado rcord. Por ejemplo, supongamos que la respuesta de

un sistema con T = 0.12 seg es ser determinar. Adems, suponga que el acelerograma terremoto se

digitaliza en intervalos de 0,02 seg. No Si el paso de tiempo es superar, por ejemplo, T / 10 o

digitalizada intervalo, debe ser seleccionado como 0,01 segundos, proporcionando dos pasos detiempo entre los sucesivos valores digitalizados de la aceleracin.

Aparte de las incertidumbres relacionadas con el registro y tratamiento de la acelerograma s, los

errores en los clculos espectrales son el resultado de aproximaciones empleado en la tcnica de

integracin numrica utilizado para el clculo de respuesta. En este sentido, el mtodo descrito en

el presente documento es exacta. Sin embargo, el error es introducido por discretizacion. Es decir,

el verdadero desplazamiento o velocidad mxima, es decir, la magnitud espectral, no, en general,

ocurren en uno de los momentos discretos en el que se hacen clculos. El error mximo se produce

cuando los verdaderos cadas mximas a mitad de camino entre dos puntos de tiempo consecutivos,

como se representa en la figura A.1. Si la

Fig. A.1El valor mximo y los valores calculados.


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respuesta en el paso de tiempo se aproxima por una sinusoide de frecuencia igual a la frecuencia

natural del sistema de un solo grado de libertad [2], el error mximo es

Las verdaderas cantidades espectrales son mayores que las calculadas en los puntos de tiempo

discretos. Al seleccionar apropiadamente el paso de tiempo, sin embargo, el error mximo en el

ordenadas espectrales pueden ser controlados. Por ejemplo, la expresin anterior da 4,9% error

para = T/10, 1,2% para T / 20, y 0,3% para T / 40. Por lo tanto, un paso de tiempo correspondientea = T/20 es generalmente adecuado.

A.2 Sistemas de histresis bilineales

El modelo de carga-deformacin bilineal histertica es muestra en la Figura A.2. En esta figura,

representa el nivel de rendimiento inicial; y son la corriente positiva y negativa los nivelesde rendimiento; s, el conjunto actual que queda despus de una excursin de ceder; k, la inicialrigidez elstica y descarga; y la, la relacin de la rigidez de endurecimiento por deformacin a la

rigidez elstica. Inicialmente, por supuesto, s = 0, = y, = Tenga en cuenta quese muestra endurecimiento cinemtico para el sistema bilineal, en el que la corriente positiva y los

niveles de rendimiento negativas estn separadas por una regin de deformacin elstica del

linealmente magnitud 2.

Fig. A.2Modelo Bilineal de carga-deformacin de histresis.


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Considerar en primer lugar la respuesta elstica lineal que sigue descarga. Para este caso, la

ecuacin de movimiento para +es:

Donde todos los smbolos se definen como antes. Esta ecuacin puede ser ms convenientemente

expresado como

Dnde:

La notacin , en la ecuacin A. 12 se utiliza por conveniencia desde, La solucin de laecuacin A. 12 se da por la ecuacin A.6 con la sustitucin de , y +para y +,

en el que los coeficientes de las matrices A y B se definen por las ecuaciones A.8 y A.9.

Los s de ajuste necesarios en la Ecuacin A.13 se calculan en el momento de la descarga. Despus

de una excursin de rendimiento positivo, el conjunto viene dada por s = (1 - a) ( ); trasuna excursin de negativo rendimiento, s = (1 - a) ( ). En estas ecuaciones, es eldesplazamiento relativo calculado en el instante de la descarga. Al mismo tiempo, los niveles de

rendimiento actuales se actualizan. Por ejemplo, despus de una excursin de un rendimiento

positivo, = y = 2.

Ahora considere excursiones de carga ms all de los niveles de rendimiento actuales para el sistema

bilineal. Con referencia a la figura A.2, la ecuacin de movimiento para los desplazamientos relativos

mayor que el nivel actual de rendimiento positivo es

Esta ecuacin diferencial se aplica para > hasta que se detecta la descarga, cuando elproducto + < 0. Simplificando la ecuacin A.15 da:

En el cual


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Y

Tenga en cuenta que y , propiedades equivalentes asociadas a la rama de endurecimiento pordeformacin del modelo de fuerzadeformacin, se definen slo para > 0. Para una excursin

de negativo rendimiento, para < , Ecuacin A.16 se aplica con la modificacin,

El carcter de la solucin de la Ecuacin A.16 puede ser subamortiguado ( < 1), crticamenteamortiguado ( = 1), o sobreamortiguado ( > 1). Sin embargo, para la mayora de los sistemasbilineales de inters prctico, se subamortigua la respuesta. Por ejemplo, cuando = 0.05 y = 0.02,

0.05 y 0.10, el mayor valor de es 0.05/0.02o 0.35. Por lo tanto, la solucin tal como se expresapor la ecuacin A.14 sostiene con la sustitucin de y para y en los elementos de A y B quefiguran en la ecuacin A.8 y A.9.

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