trabjo fisico de a original guidhooooooooo

8/2/2019 Trabjo Fisico de a Original GUIDHOOOOOOOOO

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CLCULO DE VOLMENES MEDIANTE EL MTODO DE CAPASCILNDRICAS

INTRODUCCIN

Al introducir la integracin, vimos que el rea es solamente una de las muchas aplicaciones

de la integral definida. Otra aplicacin importante la tenemos en su uso para calcular el

volumen de un slido tridimensional.

Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una

regin tridimensional llamada slido de revolucin generado por la regin plana alrededorde lo que se conoce como eje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecerfrecuentemente en ingeniera y en procesos de produccin. Son ejemplos de slidos de

revolucin: ejes, embudos, pilares, botellas y mbolos.

Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro

paralelo al eje OXo al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que

no son de revolucin.


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CLCULO DE VOLMENES

VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN POR EL MTODO DE CAPAS

(CASCARONES CILNDRICOS)

Se conoce como el mtodo de capas o cascarones cilndricos porque utiliza capas

cilndricas.

Un cascarn cilndrico es un slido acotado por dos cilindros circulares rectosconcntricos. Para hallar el volumen de un slido de revolucin por el mtodo de capas se

utilizan las siguientes frmulas:

1. Se considera el slido de revolucin obtenido al girar en torno del eje y, y la reginR en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=bgira en torno al eje y. El volumen del slido est dado por:

2. Una frmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir laregin R en el primer cuadrante entre el eje y y la curva x= f(x), que queda entrey=c y y=d, gira en tono del eje x.


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DIFERENCIA DE LA FRMULA DE CAPAS:

Se asume que 0 g (x) f (x) en un intervalo [a, b] con a 0 . Sea la regin R delprimer cuadrante que est entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a y x=b. Entoncesel volumen V del slido de revolucin obtenido al girar R en torno al eje y, est dado

por:

Sea la regin R del primer cuadrante que est entre las curvas x= g(y) y x= f(y) paray=c y y=d. Entonces el volumen V del slido de revolucin obtenido al girar R en tornoal eje x, est dado por:

EJEMPLOS DE MTODO DE CORTEZAS CAPAS CILNDRICAS:

Supongamos que se quiere rotar la regin limitada por la curva y el eje

alrededor del eje

Este mtodo se basa en utilizar anillos cilndricos de poco grosor llamados cortezas y que se

ilustra en la siguiente figura:

El volumen de una corteza cilndrica de radio exterior r2, radio interior r1 y altura est dado

por:


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que tambin se puede escribir como:

En el primer parntesis de la expresin obtenida se tiene el radio medio de la corteza,

denotado con r en la figura, es decir, que

Y en el segundo parntesis de dicha expresin se tiene el grosor de la corteza, denotado en la

figura con y que equivale a:

Luego entonces, tomando en consideracin esto, el volumen de la corteza cilndrica se puede

escribir como:

Por lo que.

Sea f una funcin continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b] , donde

0 a


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CEBOLLAS Y TRONCOS DE MADERA.

El mtodo de clculo integral que se explica en esta pgina, el de los casquetes cilndricos,

proporciona una forma alternativa de calcular volmenes de slidos de revolucin. En

ciertos casos es el nico mtodo viable porque el de las secciones transversales puede

resultar a veces difcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

Pinsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del slido de revolucin que se

genera al hacer girar sobre el ejey la regin que est comprendida, en el primer cuadrante,

entre la curvay = x3

+ 4x2 3x + 1 y la verticalx = 3 (Animacin 1).

Animacin 1

A primera vista puede parecer que el mtodo ms adecuado para este clculo consiste en

hacer repetidas secciones transversales horizontales del slido tajarlo por decirlo as y en

integrar luego los volmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias

dificultades. La primera est en que las secciones transversales son, en unas zonas del

slido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a

tener que dividir la regin de integracin en varias subregiones, lo que resulta algo

engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio

de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funcin de la variabley,

lo que no es fcil de lograr en este caso (Figura 1).

Figura 1
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En cambio, el mtodo de los casquetes cilndricos funciona muy bien en esta situacin.

Bsicamente consiste en dividir el slido de revolucin en una serie de casquetes

cilndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volmenes de estoscasquetes para obtener el volumen total. En laAnimacin 2

Animacin 2

Se puede ver cmo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y

cmo se produce el slido de revolucin. Es por esto por lo que a este mtodo se le conoce

tambin como el mtodo de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los

"cascarones" cilndricos.

Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geomtrica que

est involucrada en este mtodo. Quizs resulte til pensar en objetos cotidianos que

presentan la misma configuracin.. El primero que viene a la mente es posiblemente un

trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo

de este vegetal estn dispuestos en una serie de capas ms o menos cilndricas que, cuando

se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los caractersticos "anillos"

de la cebolla (Figura 2).

Figura 2
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Tambin puede resultar til pensar en la estructura interna de un tronco de rbol pues sta

consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente

cilndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente

color (Figura 3).

Figura 3

Segn los bilogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los rboles pues

sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La nica parte

de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cmbium.

En los rboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la

madera que produce el cmbium en primavera y en verano es ms porosa y de un color ms

claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del rbol est compuesto

por un par de anillos concntricos nuevos cada ao, uno ms claro que el otro.
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Planteamiento general

El mtodo de los casquetes cilndricos.

Para comenzar a entender en detalle el mtodo de los casquetes cilndricos debemos

establecer cmo calcular el volumen Vde un casquete cilndrico de altura h cuyo radiointerior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en laFigura 4. Naturalmente

procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2del cilindro exterior,

as:

Figura 4

En esta expresin podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r= 1/2 (r2 + r1), el radio

medio de los cilindros, y si ponemos r= r2r1, el grosor del casquete cilndrico,

entonces podemos expresar el volumen Vde la forma siguiente:
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Esta expresin puede recordarse fcilmente si se piensa en que el casquete cilndrico se

abre y se aplana convirtindose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra

laAnimacin 3.

Animacin 3

Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del slido de

revolucin que se genera al hacer girar alrededor del ejey la regin que est comprendida

entre la curvay =f(x), conf(x) > 0, el ejex, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas

verticalesx = a yx = b, donde 0 < a < b. La regin aparece representada en laFigura 5y el

slido de revolucin que engendra en laAnimacin 4.

Figura 5
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Animacin 4

Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi1,xi x =

(ba) /n. Seaxi* el punto medio del i-simo subintervalo. Consideremos el

rectnguloRi construido sobre el i-simo subintervalo con una altura def(xi*) y hagmoslo

girar en torno del ejey. Entonces se produce un casquete cilndrico que tiene como radio

medioxi*, como alturaf(xi*) y cuyo grosor es x =xi1xi. (VaseFigura 6). Por lo tanto,

el volumen Vi de este casquete cilndrico est dado por:

Figura 6
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Para obtener un clculo aproximado del volumen total del slido de revolucin debemos

poner n casquetes cilndricos de stos, unos dentro de los otros, como lo ilustra

laAnimacin 5y despus sumar los volmenes de todos ellos:

Animacin 5

Se puede probar que esta aproximacin ser mejor entre ms grande sea n, el nmero de

casquetes cilndricos. Por eso, se puede poner:

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el clculo de volmenes

con el mtodo de los casquetes cilndricos. Es la siguiente:

Regla general: El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor

del ejey la regin que est comprendida entre la curvay =f(x), conf(x) > 0, el ejex y las

rectas verticalesx = a yx = b, donde 0 < a < b, est dado por la integral:

En elEjemplo 1y en elEjemplo 2que aparecen a continuacin se ilustra la aplicacin

directa de la regla general.. Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos

especiales en los que hay que hacer unas pequeas modificaciones a la regla para ajustarla a
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una situacin determinada. Puede pasar por ejemplo que la regin que gira est limitada por

dos curvas (Ejemplo 3) o que gire alrededor de una recta vertical distinta al eje y (Ejemplo

4).

Ejemplo 1

El problema del comienzo.

Volvamos al problema planteado al comienzo de esta pgina, el de hallar el volumen del

slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el ejey la regin comprendida, en el

primer cuadrante, entre la curvay = x3 + 4x2 3x + 1 y la verticalx = 3. Como los

sealamos en laIntroduccin, este volumen no puede calcularse fcilmente con el mtodo

de las secciones transversales pero s con el mtodo de los casquetes cilndricos. En este

caso la regin que gira est delimitada por la curvaf(x) = x3 + 4x

2 3x + 1, por el ejex y

por las rectas verticalesx = 0 yx = 3. La altura de los casquetes cilndricos vara de acuerdo

a la funcinf(x) como lo muestra laAnimacin 6y por eso, la integral para el volumen es:

Animacin 6
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Ejemplo 2

El volumen de un cono.

Demostrar, empleando el mtodo de los casquetes cilndricos, que el volumen de un cono

de altura h y con radio ren su abertura (Figura 7) est dado por:

Figura 7

Solucin. Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el slido que se

produce al hacer girar, alrededor del ejey, la regin triangular cuyos vrtices son (0,0),

(r,0) y (0,h), donde h y rson nmeros reales positivos (Animacin 7).

Animacin 7

La ecuacin de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es:
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puesto que su pendiente es m = h/ry su intercepto con el ejey es el punto (0,h).

Ahora bien, para aplicar el mtodo que nos ocupa, consideremos que el cono est formado

por una serie de casquetes cilndricos, incrustados los unos dentro de los

otros, cuyos radios varan de 0 a ry cuyas alturas varan de 0 a h. Naturalmente, la altura de

cada cilindro est dada por la recta y = ( h/r)x + h. Los casquetes cercanos al centro sonaltos y su radio es pequeo, mientras que los que se sitan ms al exterior tienen un radio

amplio pero su altura es pequea (Animacin 8).

Animacin 8

Debe ser claro entonces que un casquete cualquiera, de radio x, tiene como altura:

Tal como se puede apreciar en laFigura 8. Por lo tanto, el volumen del cono viene dado

por la integral:

Figura 8
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Ejemplo 3

Una regin delimitada por dos curvas.

Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar, alrededor del

ejey, la regin que est delimitada por la parbolay = x2 + 4x 3, por la cbicay =x3

6x2 + 12x 5 y por las verticalesx = 1 yx = 3.

Solucin. La regin en cuestin aparece dibujada en laFigura 9. En este caso, a diferencia

de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

Figura 9
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El slido de revolucin que se genera al hacer girar esta regin alrededor del ejey puede

verse en laAnimacin 9. Obsrvese que est limitado arriba y abajo por dos superficies de

revolucin curvas y en la parte interior y en la exterior por dossuperficies cilndricas.

Animacin 9

Consideremos ahora que este slido est formado por una serie de casquetes

cilndricos incrustados, como antes, los unos dentro de los otros (Animacin 10). Esta vez

los casquetes no slo varan en cuanto a su radio y a su altura, sino que varan adems en

cuanto a su ubicacin respecto del ejex, puesto que su base inferior est situada en la

parbolay = x2 + 4x 3 mientras que su base superior est situada en la cbica y =x3

6x2 + 12x 5 . Por lo tanto, un casquete cilndrico de radio x tiene como altura (Figura 10):
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Animacin 10 Figura 10

Por lo tanto, el volumen de este slido de revolucin est dado por la integral:

Ejemplo 4

Alrededor de una vertical distinta al ejey.

Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor

de la recta verticalx = 1, la regin que est comprendida entre el ejex, las rectas

verticalesx = 2, x = 3, y la curvay =f(x) donde:
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La regin en cuestin aparece representada en laFigura 11. Lo especial de este

ejemplo es que la regin gira alrededor de una recta vertical que no es el

ejey como en los ejemplos anteriores. Esto puede apreciarse en laAnimacin

11y trae como consecuencia que el radio medio de un casquete cilndrico

cualquiera, que tiene como alturaf(x), esx 1 y nox como en los casos

anteriores puesto que el casquete cilndrico tiene como eje de rotacin la recta

verticalx = 1 (Figura 12). Por eso la integral del volumen es:

Figura 11

Animacin 11
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Figura 12

Esta integral puede descomponer en dos integrales, as:

La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la

sustitucin u =x2 2x, por lo cual du = 2(x 1)dx y, respecto de los lmites de

integracin, six = 2, entonces u = 0 y six = 3, entonces u = 3. As pues:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htm


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EJEMPLOS DE MTODO DE CORTEZAS CAPAS CILNDRICAS:

Supongamos que se quiere rotar la regin limitada por la curva y el eje

alrededor del eje

Si se fueran a usar arandelas de espedor o ancho se tendra que buscar con la simetra

que tiene la curva con repecto a la recta x=2 , cal es el radio exterior en funcin de y

cal el exterior en trminos de , es decir despejar de en trminos de

resolviendo la ecuacin cuadrtica lo cual me dice que

.

con lo cual despus de efectuar y simplificar lo cual es

siempre un proceso! Adems an no se ha realizado la integral y se est contando con que

se pudo expresar en trminos de .

Ahora tomemos rectngulos paralelos al eje de rotacin, que al girar producen cilindros

concntricos circulares (cortezas cilndricas o capas cilndricas). Estas capas tienen una

altura , un radio exterior un radio interior ; si se abre un cilindro de estos se produce

una lmina delgada rectangular cuya rea es 2 y cuyo espesor es Su volumen

estar dado por 2 .


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Traduciendo al caso de la curva del ejemplo haciendo una particin regular

del intervalo en un subintervalo cualquiera si la altura de

una corteza es ; el radio de una corteza es , el espesor

quedando el volumen de la isima corteza con lo cual

Volumen total. Ahora tomando el lmite cuando se obtiene

Si se generaliza este proceso para una curva contnua con

.


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Ejemplo:

Calcular el volumen del slido de revolucin obtenido al rotar la circunferencia de

centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)

El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la circunferencia la que

genera el volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera

el volumen de la parte interior.

Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilndricas (producidas por rectngulos

paralelos a la recta

El radio es la distancia al eje de rotacin desde cualquier ordenada es decir

La altura y el espesor con lo cual que conduce a laintegral

integral que se calcula haciendo

y al reemplazar

Con lo cual (unidades cbicas).


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Otra manera de ver el volumen de una corteza cilndrica.

Sea el radio exterior de la corteza , el radio interior de la corteza, h la altura.

El volumen del cascarn ser la diferencia entre el volumen externo y el volumen interno es

decir

Observemos que es el promedio de los radios que se podra llamar ypodramos llamarlo el espesor de la capa cilndrica.

Ya utilizando la expresin del volumen obtenida, al hacer una particin regular del

intervalo , en el intervalo el volumen de una corteza ser

con

Haciendo suma de volmenes de cortezas

Al tomar el lmite cuando


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BIBLIOGRAFA Y CRDITOS

En los siguientes textos se encuentra informacin adicional sobre el mtodo de los

casquetes cilndricos y se podrn hallar tambin abundantes ejercicios.

EDWARDS, HENRY - PENNEY, DAVID. Calculus: Early Transcendetals Version, Sixth

Edition, Prentice-Hall, 2003, Chapter 6.3. Volumes by the Method of Cylindrical Shells, p.

419-427.

STEWART, JAMES. Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Brooks/Cole,

2003, Chapter 6.3: Volumes by Cylindrical Shells, p. 455-459.

SWOKOWSKI, EARL. Clculo con geometra analtica, Grupo Editorial Iberoamrica,

1989, Captulo 6.3. Determinacin de volmenes mediante envolventes cilndricas, p. 297-

301.

VARBERG, DALE - PURCELL, EDWIN. Calculus, Seventh Edition, Prentice-Hall,1997, Chapter 6.3. Volumes of Solids of Revolution: Shells, p. 313-319.

Las grficas y las animaciones fueron realizadas por el autor utilizandoMaple 7de

Waterloo Maple Inc. junto con el paquete Calplots desarrollado por Harald Pleym. Para su

posterior edicin se utiliz el programa GIF Construction Set Professional de Alchemy

MindWorks; para la edicin de frmulas matemticas,MathType 5 de Design Science Inc.

y para la elaboracin de la pgina, FrontPage 2002 de Microsoft. Las fotografas fueron

tomadas por el autor.

trabjo fisico de a original guidhooooooooo

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