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CLCULO DE VOLMENES MEDIANTE EL MTODO DE CAPASCILNDRICAS
INTRODUCCIN
Al introducir la integracin, vimos que el rea es solamente una de las muchas aplicaciones
de la integral definida. Otra aplicacin importante la tenemos en su uso para calcular el
volumen de un slido tridimensional.
Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una
regin tridimensional llamada slido de revolucin generado por la regin plana alrededorde lo que se conoce como eje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecerfrecuentemente en ingeniera y en procesos de produccin. Son ejemplos de slidos de
revolucin: ejes, embudos, pilares, botellas y mbolos.
Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro
paralelo al eje OXo al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que
no son de revolucin.
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CLCULO DE VOLMENES
VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN POR EL MTODO DE CAPAS
(CASCARONES CILNDRICOS)
Se conoce como el mtodo de capas o cascarones cilndricos porque utiliza capas
cilndricas.
Un cascarn cilndrico es un slido acotado por dos cilindros circulares rectosconcntricos. Para hallar el volumen de un slido de revolucin por el mtodo de capas se
utilizan las siguientes frmulas:
1. Se considera el slido de revolucin obtenido al girar en torno del eje y, y la reginR en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=bgira en torno al eje y. El volumen del slido est dado por:
2. Una frmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir laregin R en el primer cuadrante entre el eje y y la curva x= f(x), que queda entrey=c y y=d, gira en tono del eje x.
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DIFERENCIA DE LA FRMULA DE CAPAS:
Se asume que 0 g (x) f (x) en un intervalo [a, b] con a 0 . Sea la regin R delprimer cuadrante que est entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a y x=b. Entoncesel volumen V del slido de revolucin obtenido al girar R en torno al eje y, est dado
por:
Sea la regin R del primer cuadrante que est entre las curvas x= g(y) y x= f(y) paray=c y y=d. Entonces el volumen V del slido de revolucin obtenido al girar R en tornoal eje x, est dado por:
EJEMPLOS DE MTODO DE CORTEZAS CAPAS CILNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la regin limitada por la curva y el eje
alrededor del eje
Este mtodo se basa en utilizar anillos cilndricos de poco grosor llamados cortezas y que se
ilustra en la siguiente figura:
El volumen de una corteza cilndrica de radio exterior r2, radio interior r1 y altura est dado
por:
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que tambin se puede escribir como:
En el primer parntesis de la expresin obtenida se tiene el radio medio de la corteza,
denotado con r en la figura, es decir, que
Y en el segundo parntesis de dicha expresin se tiene el grosor de la corteza, denotado en la
figura con y que equivale a:
Luego entonces, tomando en consideracin esto, el volumen de la corteza cilndrica se puede
escribir como:
Por lo que.
Sea f una funcin continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b] , donde
0 a
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CEBOLLAS Y TRONCOS DE MADERA.
El mtodo de clculo integral que se explica en esta pgina, el de los casquetes cilndricos,
proporciona una forma alternativa de calcular volmenes de slidos de revolucin. En
ciertos casos es el nico mtodo viable porque el de las secciones transversales puede
resultar a veces difcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Pinsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del slido de revolucin que se
genera al hacer girar sobre el ejey la regin que est comprendida, en el primer cuadrante,
entre la curvay = x3
+ 4x2 3x + 1 y la verticalx = 3 (Animacin 1).
Animacin 1
A primera vista puede parecer que el mtodo ms adecuado para este clculo consiste en
hacer repetidas secciones transversales horizontales del slido tajarlo por decirlo as y en
integrar luego los volmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias
dificultades. La primera est en que las secciones transversales son, en unas zonas del
slido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a
tener que dividir la regin de integracin en varias subregiones, lo que resulta algo
engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio
de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funcin de la variabley,
lo que no es fcil de lograr en este caso (Figura 1).
Figura 1
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_1.htm -
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En cambio, el mtodo de los casquetes cilndricos funciona muy bien en esta situacin.
Bsicamente consiste en dividir el slido de revolucin en una serie de casquetes
cilndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volmenes de estoscasquetes para obtener el volumen total. En laAnimacin 2
Animacin 2
Se puede ver cmo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y
cmo se produce el slido de revolucin. Es por esto por lo que a este mtodo se le conoce
tambin como el mtodo de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los
"cascarones" cilndricos.
Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geomtrica que
est involucrada en este mtodo. Quizs resulte til pensar en objetos cotidianos que
presentan la misma configuracin.. El primero que viene a la mente es posiblemente un
trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo
de este vegetal estn dispuestos en una serie de capas ms o menos cilndricas que, cuando
se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los caractersticos "anillos"
de la cebolla (Figura 2).
Figura 2
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_1.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_2.htm -
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Tambin puede resultar til pensar en la estructura interna de un tronco de rbol pues sta
consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente
cilndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente
color (Figura 3).
Figura 3
Segn los bilogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los rboles pues
sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La nica parte
de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cmbium.
En los rboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la
madera que produce el cmbium en primavera y en verano es ms porosa y de un color ms
claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del rbol est compuesto
por un par de anillos concntricos nuevos cada ao, uno ms claro que el otro.
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_2.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_3.htm -
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Planteamiento general
El mtodo de los casquetes cilndricos.
Para comenzar a entender en detalle el mtodo de los casquetes cilndricos debemos
establecer cmo calcular el volumen Vde un casquete cilndrico de altura h cuyo radiointerior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en laFigura 4. Naturalmente
procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2del cilindro exterior,
as:
Figura 4
En esta expresin podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r= 1/2 (r2 + r1), el radio
medio de los cilindros, y si ponemos r= r2r1, el grosor del casquete cilndrico,
entonces podemos expresar el volumen Vde la forma siguiente:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_4.htm -
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Esta expresin puede recordarse fcilmente si se piensa en que el casquete cilndrico se
abre y se aplana convirtindose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra
laAnimacin 3.
Animacin 3
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del slido de
revolucin que se genera al hacer girar alrededor del ejey la regin que est comprendida
entre la curvay =f(x), conf(x) > 0, el ejex, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas
verticalesx = a yx = b, donde 0 < a < b. La regin aparece representada en laFigura 5y el
slido de revolucin que engendra en laAnimacin 4.
Figura 5
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_3.htm -
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Animacin 4
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi1,xi x =
(ba) /n. Seaxi* el punto medio del i-simo subintervalo. Consideremos el
rectnguloRi construido sobre el i-simo subintervalo con una altura def(xi*) y hagmoslo
girar en torno del ejey. Entonces se produce un casquete cilndrico que tiene como radio
medioxi*, como alturaf(xi*) y cuyo grosor es x =xi1xi. (VaseFigura 6). Por lo tanto,
el volumen Vi de este casquete cilndrico est dado por:
Figura 6
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_4.htm -
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Para obtener un clculo aproximado del volumen total del slido de revolucin debemos
poner n casquetes cilndricos de stos, unos dentro de los otros, como lo ilustra
laAnimacin 5y despus sumar los volmenes de todos ellos:
Animacin 5
Se puede probar que esta aproximacin ser mejor entre ms grande sea n, el nmero de
casquetes cilndricos. Por eso, se puede poner:
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el clculo de volmenes
con el mtodo de los casquetes cilndricos. Es la siguiente:
Regla general: El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor
del ejey la regin que est comprendida entre la curvay =f(x), conf(x) > 0, el ejex y las
rectas verticalesx = a yx = b, donde 0 < a < b, est dado por la integral:
En elEjemplo 1y en elEjemplo 2que aparecen a continuacin se ilustra la aplicacin
directa de la regla general.. Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos
especiales en los que hay que hacer unas pequeas modificaciones a la regla para ajustarla a
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%201http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%201http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%201http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%202http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%202http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%202http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%202http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%201http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_5.htm -
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una situacin determinada. Puede pasar por ejemplo que la regin que gira est limitada por
dos curvas (Ejemplo 3) o que gire alrededor de una recta vertical distinta al eje y (Ejemplo
4).
Ejemplo 1
El problema del comienzo.
Volvamos al problema planteado al comienzo de esta pgina, el de hallar el volumen del
slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el ejey la regin comprendida, en el
primer cuadrante, entre la curvay = x3 + 4x2 3x + 1 y la verticalx = 3. Como los
sealamos en laIntroduccin, este volumen no puede calcularse fcilmente con el mtodo
de las secciones transversales pero s con el mtodo de los casquetes cilndricos. En este
caso la regin que gira est delimitada por la curvaf(x) = x3 + 4x
2 3x + 1, por el ejex y
por las rectas verticalesx = 0 yx = 3. La altura de los casquetes cilndricos vara de acuerdo
a la funcinf(x) como lo muestra laAnimacin 6y por eso, la integral para el volumen es:
Animacin 6
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%203http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%203http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%203http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Introducci%C3%B3nhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Introducci%C3%B3nhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Introducci%C3%B3nhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_6.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Introducci%C3%B3nhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%204http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Texto.htm#Ejemplo%203 -
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Ejemplo 2
El volumen de un cono.
Demostrar, empleando el mtodo de los casquetes cilndricos, que el volumen de un cono
de altura h y con radio ren su abertura (Figura 7) est dado por:
Figura 7
Solucin. Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el slido que se
produce al hacer girar, alrededor del ejey, la regin triangular cuyos vrtices son (0,0),
(r,0) y (0,h), donde h y rson nmeros reales positivos (Animacin 7).
Animacin 7
La ecuacin de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_7.htm -
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puesto que su pendiente es m = h/ry su intercepto con el ejey es el punto (0,h).
Ahora bien, para aplicar el mtodo que nos ocupa, consideremos que el cono est formado
por una serie de casquetes cilndricos, incrustados los unos dentro de los
otros, cuyos radios varan de 0 a ry cuyas alturas varan de 0 a h. Naturalmente, la altura de
cada cilindro est dada por la recta y = ( h/r)x + h. Los casquetes cercanos al centro sonaltos y su radio es pequeo, mientras que los que se sitan ms al exterior tienen un radio
amplio pero su altura es pequea (Animacin 8).
Animacin 8
Debe ser claro entonces que un casquete cualquiera, de radio x, tiene como altura:
Tal como se puede apreciar en laFigura 8. Por lo tanto, el volumen del cono viene dado
por la integral:
Figura 8
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_8.htm -
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Ejemplo 3
Una regin delimitada por dos curvas.
Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar, alrededor del
ejey, la regin que est delimitada por la parbolay = x2 + 4x 3, por la cbicay =x3
6x2 + 12x 5 y por las verticalesx = 1 yx = 3.
Solucin. La regin en cuestin aparece dibujada en laFigura 9. En este caso, a diferencia
de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:
Figura 9
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_8.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htm -
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El slido de revolucin que se genera al hacer girar esta regin alrededor del ejey puede
verse en laAnimacin 9. Obsrvese que est limitado arriba y abajo por dos superficies de
revolucin curvas y en la parte interior y en la exterior por dossuperficies cilndricas.
Animacin 9
Consideremos ahora que este slido est formado por una serie de casquetes
cilndricos incrustados, como antes, los unos dentro de los otros (Animacin 10). Esta vez
los casquetes no slo varan en cuanto a su radio y a su altura, sino que varan adems en
cuanto a su ubicacin respecto del ejex, puesto que su base inferior est situada en la
parbolay = x2 + 4x 3 mientras que su base superior est situada en la cbica y =x3
6x2 + 12x 5 . Por lo tanto, un casquete cilndrico de radio x tiene como altura (Figura 10):
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_9.htm -
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Animacin 10 Figura 10
Por lo tanto, el volumen de este slido de revolucin est dado por la integral:
Ejemplo 4
Alrededor de una vertical distinta al ejey.
Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor
de la recta verticalx = 1, la regin que est comprendida entre el ejex, las rectas
verticalesx = 2, x = 3, y la curvay =f(x) donde:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_10.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_10.htm -
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La regin en cuestin aparece representada en laFigura 11. Lo especial de este
ejemplo es que la regin gira alrededor de una recta vertical que no es el
ejey como en los ejemplos anteriores. Esto puede apreciarse en laAnimacin
11y trae como consecuencia que el radio medio de un casquete cilndrico
cualquiera, que tiene como alturaf(x), esx 1 y nox como en los casos
anteriores puesto que el casquete cilndrico tiene como eje de rotacin la recta
verticalx = 1 (Figura 12). Por eso la integral del volumen es:
Figura 11
Animacin 11
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_11.htm -
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Figura 12
Esta integral puede descomponer en dos integrales, as:
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la
sustitucin u =x2 2x, por lo cual du = 2(x 1)dx y, respecto de los lmites de
integracin, six = 2, entonces u = 0 y six = 3, entonces u = 3. As pues:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Anim_11.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Casquetes_cilindricos/Pags/Figura_12.htm -
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EJEMPLOS DE MTODO DE CORTEZAS CAPAS CILNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la regin limitada por la curva y el eje
alrededor del eje
Si se fueran a usar arandelas de espedor o ancho se tendra que buscar con la simetra
que tiene la curva con repecto a la recta x=2 , cal es el radio exterior en funcin de y
cal el exterior en trminos de , es decir despejar de en trminos de
resolviendo la ecuacin cuadrtica lo cual me dice que
.
con lo cual despus de efectuar y simplificar lo cual es
siempre un proceso! Adems an no se ha realizado la integral y se est contando con que
se pudo expresar en trminos de .
Ahora tomemos rectngulos paralelos al eje de rotacin, que al girar producen cilindros
concntricos circulares (cortezas cilndricas o capas cilndricas). Estas capas tienen una
altura , un radio exterior un radio interior ; si se abre un cilindro de estos se produce
una lmina delgada rectangular cuya rea es 2 y cuyo espesor es Su volumen
estar dado por 2 .
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Traduciendo al caso de la curva del ejemplo haciendo una particin regular
del intervalo en un subintervalo cualquiera si la altura de
una corteza es ; el radio de una corteza es , el espesor
quedando el volumen de la isima corteza con lo cual
Volumen total. Ahora tomando el lmite cuando se obtiene
Si se generaliza este proceso para una curva contnua con
.
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Ejemplo:
Calcular el volumen del slido de revolucin obtenido al rotar la circunferencia de
centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)
El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la circunferencia la que
genera el volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la que genera
el volumen de la parte interior.
Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilndricas (producidas por rectngulos
paralelos a la recta
El radio es la distancia al eje de rotacin desde cualquier ordenada es decir
La altura y el espesor con lo cual que conduce a laintegral
integral que se calcula haciendo
y al reemplazar
Con lo cual (unidades cbicas).
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Otra manera de ver el volumen de una corteza cilndrica.
Sea el radio exterior de la corteza , el radio interior de la corteza, h la altura.
El volumen del cascarn ser la diferencia entre el volumen externo y el volumen interno es
decir
Observemos que es el promedio de los radios que se podra llamar ypodramos llamarlo el espesor de la capa cilndrica.
Ya utilizando la expresin del volumen obtenida, al hacer una particin regular del
intervalo , en el intervalo el volumen de una corteza ser
con
Haciendo suma de volmenes de cortezas
Al tomar el lmite cuando
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BIBLIOGRAFA Y CRDITOS
En los siguientes textos se encuentra informacin adicional sobre el mtodo de los
casquetes cilndricos y se podrn hallar tambin abundantes ejercicios.
EDWARDS, HENRY - PENNEY, DAVID. Calculus: Early Transcendetals Version, Sixth
Edition, Prentice-Hall, 2003, Chapter 6.3. Volumes by the Method of Cylindrical Shells, p.
419-427.
STEWART, JAMES. Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Brooks/Cole,
2003, Chapter 6.3: Volumes by Cylindrical Shells, p. 455-459.
SWOKOWSKI, EARL. Clculo con geometra analtica, Grupo Editorial Iberoamrica,
1989, Captulo 6.3. Determinacin de volmenes mediante envolventes cilndricas, p. 297-
301.
VARBERG, DALE - PURCELL, EDWIN. Calculus, Seventh Edition, Prentice-Hall,1997, Chapter 6.3. Volumes of Solids of Revolution: Shells, p. 313-319.
Las grficas y las animaciones fueron realizadas por el autor utilizandoMaple 7de
Waterloo Maple Inc. junto con el paquete Calplots desarrollado por Harald Pleym. Para su
posterior edicin se utiliz el programa GIF Construction Set Professional de Alchemy
MindWorks; para la edicin de frmulas matemticas,MathType 5 de Design Science Inc.
y para la elaboracin de la pgina, FrontPage 2002 de Microsoft. Las fotografas fueron
tomadas por el autor.