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METODOS NUMÉRICOS
Trabajo colaborativo 2
PRESENTADO POR:
GRUPO:
TUTOR:
CARLOS EDMUNDO LÓPEZ SARASTY
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
DIC DE 2011
INTRODUCCIÓN
El segundo trabajo colaborativo del curso, pretende aplicar los conocimientos adquiridoscon el estudio de la segunda unidad del módulo “Sistemas de ecuaciones algebraicaslineales Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales” por medio de ejercicios prácticos y
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el desarrollo de mapas conceptuales que complementan el trabajo. Con la etapa detransferencia se completa las fases de aprendizaje planteadas por la universidad para cadaunidad del modulo y he aquí donde radica su importancia.
Básicamente los conceptos que se trabajaron en este trabajo son los métodos por los cuales
se pueden encontrar raíces como por ejemplo; el método gráfico, el método de bisección, laregla falsa, la secante, el método de Newton-Raphson entre otros.
MAPAS CONCEPTUALES UNIDAD 2
CAPÍTULO 1.
.
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CAPÍTULO 2.
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DESARROLLO DE EJERCICIOS
1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución delsiguiente sistema:
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2x1 – x2 + x3 = 53x1 + 3x2 - 9x3 = 63x1 - 3x2 + 5x3 = 8
2. Dado el sistema lineal: x1 – x2 + ax3 = -2
-x1 + 2x2 – ax3 = 3
ax1 + x2 + x3 = 2
a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema notiene solución.b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistematiene infinitas soluciones.c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tieneuna única solución.
SOLUCIÓN:
Por definición para que un sistema de ecuaciones tenga solución, se requiere que eldeterminante de la matriz de coeficientes de ese sistema sea diferente a cero. Por lo tantopara saber a qué valores del parámetro "a" el sistema no tiene solución o tiene infinitassoluciones, se hace necesario calcular que valor de "a" hace que el determinante tengavalor 0. De esta forma y siendo la matriz de coeficientes:
A =
El determinante respectivo está dado por:
| A | = [ 1* 2 * 1 + (-1)(-a)a + a(-1)(1) ] - [ a * 2 * a + (-a)(1)(1) + 1(-1)(-1) ] ==>
| A | = [ 2 + a² - a ] - [ 2a² - a + 1 ] ==>
| A | = 2 + a² - a - 2a² + a - 1 ==>
| A | = -a² + 1
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Si para que el sistema no tenga solución (o tenga múltiples) es necesario que | A | = 0, entonces:
| A | = 0 ==>
-a² + 1 = 0 ==>
a = 1 y a = -1
a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución:
Si hacemos a = 1, podemos comprobar por simple inspección que la primera y terceracolumna de la matriz son iguales; esto es suficiente para establecer que el sistema NO tienesolución para a = 1.
Si ahora hacemos a = -1 vamos a ver que la primera columna es igual a la primera fila"transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el número de filas y columnasindependientes), es menor al número de incógnitas con lo cual tenemos un sistema queadmite infinitas soluciones. Así por ejemplo con a = -1, tenemos una solución haciendo x₁ = -1, x₂ = 1 y x₃ = 0; tenemos otra solución haciendo que x₁ = 0, x₂ = 1 y x₃ = 1 y podemosencontrar muchas otras soluciones SIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor0.
b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas
soluciones:
El sistema tiene infinitas soluciones cuando a = -1, porque con este valor podemos notar
que la primera columna es similar a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rangode la matriz (el número de columnas y filas independientes), es menor al número deincógnitas con lo cual tenemos un sistema que admite infinitas soluciones. Así por ejemplocon a = -1, tenemos una solución haciendo x₁ = -1, x₂ = 1 y x₃ = 0; tenemos otra soluciónhaciendo que x₁ = 0, x₂ = 1 y x₃ = 1 y podemos encontrar muchas otras solucionesSIEMPRE haciendo que una de las variables tenga valor 0.
c) Obtener el valor o los valores de "a" para los cuales el sistema tiene una única solución."
Como podemos notar si el parámetro "a" es distinto de 1 o -1, el sistema tiene una única
solución (que dependerá del valor particular de "a").
El sistema tendrá una única solución para todo a ∈ ℝ - {-1, 1} (o sea "a" perteneciente a losReales excluidos el -1 y el 1).
Cuando a = 1 o a = -1, es posible que el sistema no tenga solución, o tenga solucionesmúltiples.
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3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el
método de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal.Según los resultados concluya la posible solución delsistema, es decir, concrete cual es la solución
10x1 – x2 + 0 = 9-x1 + 10x2 – 2x3 = 70 - 2x2 + 10x3 = 6
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SOLUCIÓN:
70,75820,79100,9
72X10XX
OSREEMPLAZAM
0,758X
0,75810
0,7926
10
2X6XPARA..X
0,79X
0,7910
0,9027
10
X2X7X.PARA..X
0,9X
0,910
09
10
X9X.PARA..X
0X 0X0X
1ITERACION
310
2X6X
610X2X0CION..3..EN..ECUAPARA..X
210
X2X7X
72X10XXCION..2..EN..ECUAPARA..X
110
X9X
90X10XCION..1..EN..ECUAPARA..X
X..X..XDESPEJAMOS
321
3
2
33
2
13
22
1
2
11
32
1
2
3
323
13
2
3212
2
1
211
32...1
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95787375,0X
95787375,010
9957475,0791495,027
10
XX27XXPARA
9957475,0X
9957475,010
957475,09
10
X9XXPARA
4ITERACION
799681,6
7791495,02957475,01099495,0
7X2X10X
OSREEMPLAZAM
791495,0X
791495,010
957475,026
10
X26XXPARA
957475,0X
957475,010
99495,07899,027
10
XX27XXPARA
99495,0X
99495,010
9495,09
10
X9XXPARA
3ITERACION
79362,6
77899,029495,010979,0
7X2X10X
OSREEMPLAZAM
7899,0X
7899,010
9495,026
10
X26XXPARA
9495,0X
9495,010
979,0758,027
10
XX27XXPARA
979,0X
979,010
79,09
10
X9XXPARA
2CONITERACION
7484,5
2
13
22
1
2
11
321
3
2
33
2
13
22
1
2
11
321
3
2
33
2
13
22
1
2
11
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79998405,6
779157475,0295787375,0109957475,0
7X2X10XOSREEMPLAZAM
79157475,0X
79157475,010
95787375,026
10
X26XXPARA
321
3
2
33
4. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de gradodesconocido, con el método de Diferencias divididas de Newton:
X 0 1 2 3
F(x) 6 8 12 18
SOLUCIÓN
P (x) = c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) + c3 (x )(x − 1)(x − 2)
P(0) = 6 => c0 = 6
P(1) = 8 => c0 + c1 (x) = 8 => 6 + c1(1) = 8 => c1=2
P(2) = 12 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) => 6 + 2(2) + c2 (2) (2 – 1) = 12
=> c2(2) = 2 => c2 = 1
P(3) = 18 => c0 + c1 (x) + c2 (x )(x − 1) + c3 (x )(x − 1)(x − 2) = 18
6 + 2(3) + 1(3)(3 – 1) + c3 (3)(3 – 1)(3 – 2) = 18
6 + 6 + 6 + c3 (6) = 18 c3(6) = 18 – 18 => c3 = 0Por lo tanto
P(x) = 6 + 2 (x) + (x )(x − 1) => x^2 – x + 2x + 6 =>
P(x) = x^2 + x + 6
Hallamos P(0,5) P(5) = (0,5)^2 + (0,5) + 6 = 0,25 + 0,5 + 6 = 6,75 P(5) = 6,75
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CONCLUSIÓNES
- Se hallan soluciones para sistemas de ecuaciones lineales y no lineales
- Se encuentran raíces por medio de métodos de Bisección, Newton Raphson, métodoiterativo de punto fijo y método de regla falsa.
- Los mapas conceptuales facilitaron el entendimiento de los capítulos de la unidad.